文档内容
2023 学年嘉定区第二次质量调研
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上．】
1. 下列实数中，属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键．
根据有理数 的定义依次判断即可．
【详解】解：A、 是无理数，故本选项不符合题意；
B、 是无理数，故本选项不符合题意；
C、 是分数，是有理数，本选项符合题意；
D、 是无理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. 且 D.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ．当
，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
根据一元二次方程 的根的判别式的意义得到 ，解不等式即可．
【详解】解：∵关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴k的取值范围为 ．
故选：B．
3. 如果将抛物线 向下平移 个单位，那么平移后抛物线与 轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根
据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令 ，通过解解方程求解．
【详解】解：把抛物线 的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为 ，
令 ，则 ．
所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为 ．
故选B．
的
4. 已知一组数据 、 、 、 ，如果这组数据中 每一个数都减去常数 ，得到新的一组
数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（ ）
A. 平均数改变，方差不变； B. 平均数改变，方差改变；
C. 平均数不变，方差不变； D. 平均数不变，方差改变．
【答案】A【解析】
【分析】本题考查了方差和平均数，一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可
得出答案．
【详解】解：记原先平均数为 ， ，
新的平均数为 ，则 ，所以平均数改变；
记原先方差为 ，则 ，
则新的方差 ，
而 ，代入得 ，
∴ ，
∴平均数改变，方差不变，
故选：A．
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是正方形； B. 对角线相等的四边形是矩形；
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形； D. 对角线相等的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，利用特殊的四边形
的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形是等腰梯形或矩形，命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形是菱形或等腰梯形，命题错误，不符合题意；D、对角线相等的梯形是等腰梯形，命题正确，符合题意．
故选：D．
6. 在 中， ， ，以点 为圆心，半径为 的圆记作圆 ，那么下列说法
正确的是（ ）
A. 点 在圆 外，点 在圆 上； B. 点 在圆 上，点B在圆 内；
C. 点 在圆 外，点 在圆 内； D. 点 、 都在圆 外．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断
点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出 ，由等腰三角形的性质求出 ，
即可判断出点B和点A与 的位置关系，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的半径为6，∵ ，
∴点 在圆 外，点 在圆 内；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴4的平方根是±2．
为
故答案 ±2．
8. 计算： ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是多项式乘多项式的运算法则．第一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘再相
加即可．熟练掌握多项式乘多项式的运算方法是解决此题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
9. 随着某产品制造技术的不断发展，某地区用于这个技术开发的资金约为 元，这个数字用科
学记数法表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法 的表示方法，解题的关键是正确表示 和 的值．由科
学记数法的表示方法，表示出 和 的值，得到答案．【详解】
10. 不等式 的最小整数解是____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要查了求一元一次不等式的整数解．求出不等式的解集，即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，
∴不等式 的最小整数解是5．
故答案为：5
11. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为关于 的整式方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设 ，则方程 可转化为： ，
然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
【详解】解：设 ，
则方程 可转化为： ，
去分母，方程两边同时乘以 得： ，
故答案为： ．
12. 已知反比例函数 的图像经过点 ，则k的值为___________．
【答案】６【解析】
【分析】直接将点坐标 直接代入 ，即可求得 值．
【详解】解：将 代入 得： ，
解得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握其基础性质是解题的关键．
13. 某校田径运动队共有 名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表），
鞋号 号 号 号
号 号 号
人数
那么这 名男运动员鞋号的中位数是____．
【答案】 号
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小
到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果
这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：∵这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的第 、 个数的平均数为
，
∴由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 号，
故答案为： 号．
14. 在不透明的盒子中装有六张形状相同的卡片，这六张卡片分别印有正方形、平行四边形、等边三角形、
直角梯形、正六边形、圆等六种图形，如果从这不透明的盒子里随机抽出一张卡片，那么所抽到的这张卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念和概率的计算．在平面内如果将一个图形绕着某一个点旋转
后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．概率=所求情况数 总情况数．根据题意先
找出这六种图形当中中心对称图形的个数，然后利用概率的计算公式进行计算即可．熟练掌握中心对称图
形的概念和概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：正方形、平行四边形、等边三角形、直角梯形、正六边形、圆这六种图形中，中心对称图形
有正方形、平行四边形、正六边形和圆，因此随机抽出一张卡片，所抽到卡片恰为中心对称图形的概率是
．
故答案为： ．
15. 如图，在 中，线段 是边 上的中线，点 是 的中点，设向量 ， ，那么
向量 ____（结果用 、 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．
先用 的线性组合表示 ，再表示 即可．
【详解】解：∵ ，线段 是边 上的中线，∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
故答案为： ．
的
16. 如图在正方形 外侧作一个 ，已知 ， ，那么 等于
____．
【答案】 ##25度
【解析】
【分析】先根据“等边对等角”得 ，由此得 ，由正方形的性质可得
， ，由此得 ， ，进而可得 ．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
【详解】∵ 中， ， ，
，
，
又∵四边形 是正方形，
， ，，且 ，
，
故答案为： ．
17. 如图在圆O中， 是直径，弦 与 交于点 ，如果 ， ， ，点
是 的中点，连接 ，并延长 与圆 交于点 ，那么 ____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
连接 ， ，根据点 是 的中点，证 ，得 为直角三角形，根据已知条
件求出半径，进而求得 ，根据 ，利用勾股定理求出 ，即可得到 。
【详解】
点 是 的中点，
，
在 和 中，，
，
，
， ， 是直径，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
18. 定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角
中， ， ， ，如图4，如果点 在边 上，且 是准直角三角形，那么
____．【答案】 或 ．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是
本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解
【详解】当 时，如图，过点D作 于H，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ；
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是实数的运算，根据二次根式的化简，分数指数幂的运算，绝对值的性质即可求
解．
【详解】解：
20. 解方程组：【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握和运用解二元二次方程组的方法是解决本题的关键．
首先把第二个方程分解因式，得到两个二元一次方程，再组合成二个二元一次方程组，分别解方程组即可．
【详解】解：
由②得：
或
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
或
分别解这两个方程组，得原方程组的解是
，
21. 某东西方向的海岸线上有 、 两个码头，这两个码头相距 千米（ ），有一艘船 在这
两个码头附近航行．
（1）当船 航行了某一刻时，由码头 测得船 在北偏东 ，由码头 测得船 在北偏西 ，如图，
求码头 与 船的距离（ 的长），其结果保留 位有效数字；（参考数据∶ ， ， ， ）
（2）当船 继续航行了一段时间时，由码头 测得船 在北偏东 ，由码头 测得船 在北偏西 ，
船 到海岸线 的距离是 （即 ），如图，求 的长，其结果保留根号．
【答案】（1）码头 与 船的距离为 千米
（2）船 到海岸线 的距离 为 千米
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义．
（1）根据题意可得 ， ，进而得到 ，根据三角函数即可求解；
（2）过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得 ， ，进而得到
，根据 ，求出 ，推出 ，从而求出 ，最后
根据 ，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
又 ，
，在 中，
又 ， 千米，
（千米），
千米
答：码头 与 船的距离为 千米；
【小问2详解】
，
，
，
，
又 ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ， ，（千米）， （千米），
在 中，
（千米），
（千米），
在 中， ，
（千米），
答：船 到海岸线 的距离 为 千米．
22. 某企业在2022年1至3月的利润情况见表．
月份数（ ） 1 2 3
利润数（ ）（万
96 ？ 100
元）
（1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数 是月份数 的一次函数，求2月份的利润；
（2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3
月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率．
【答案】（1）2月份的利润为98万元
（2）这个企业利润数的月平均增长率为
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次
函数解析式，根据等量关系，列出方程．
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将 代入求值即可；
（2）设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据经过两个月后的5月份获得利润为121万元，列出方程，
求出结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为 ，根据题意得：，
解此方程组得： ，
∴利润数y与月份数x一次函数关系式为： ，
当 时， ，
答：2月份的利润为98万元；
【小问2详解】
解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得：
，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴ ．
答：这个企业利润数的月平均增长率为 ．
23. 如图，在梯形 中， ， ，点 在四边形 内部， ，连接
、 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）已知点 在 上，连接 ，如果 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边
形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先证明梯形 是等腰梯形，再 ，即可证明；
（2）先证明 ，再证明 ，即可证明．
【小问1详解】
证明 ∵ ，
∴梯形 是等腰梯形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即 是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）得
∴
∵
∴
∵四边形 是等腰梯形
∴
∴
∴
∵ ，∴
∴四边形 是平行四边形．
24. 在平面直角坐标系 （如图）中，已知抛物线 经过点 、 两点，与
轴的交点为 点，对称轴为直线 ．
（1）求此抛物线的表达式；
的
（2）已知以点 为圆心，半径为 圆记作圆 ，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆 外
切，试判断对称轴直线 与圆A的位置关系，请说明理由；
（3）已知点 在 轴的正半轴上，且在点 的上方，如果 ，请求出点 的坐标．
【答案】（1）此抛物线的表达式是
（2）对称轴直线 与圆A的位置是相离，理由见详解
（3）点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）设圆A的半径为r，又圆A与圆 外切，所以 ，得到 ，即 ，即可判
断；
（3）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为G，利用等角的正切值相等解决问题，，所以 ， ，所以 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 、 两点
∴ ，解得
∴此抛物线的表达式是 ；
【小问2详解】
答：对称轴直线 与圆A的位置是相离
根据（1）得，抛物线 的对称轴 是直线 ，
抛物线 与y轴的交点 点坐标为 ，
所以 ，
所以圆 的半径是 ，
设圆A的半径为r，又圆A与圆 外切，所以 ，
又 ，
所以 ，
对称轴 与x轴垂直，设垂足为M，那么 的长就是圆A到对称轴 的距离，
又对称轴 是直线 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
因为 ，即 ，
所以对称轴直线 与圆A的位置是相离．
【小问3详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为G，易得 ， ，
又 点坐标为 ， 点坐标为 ，
所以 轴，
所以 ， ，由勾股定理得 ，
所以 ，在 中， ，
在 中， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求解析式，圆与圆的位置关系，直线与圆的位
置关系，二次函数与角度的存在性问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 在菱形 中， ，点 在射线 上，连接 、 ．（1）如图，当点 是边 的中点，求 的正切值；
（2）如图，当点 在线段 的延长线上，连接 与边 交于点 ，如果 ， 的面积
等于 ，求 的长；
（3）当点 在边 上， 与 交于点 ，连接 并延长 与 的延长线交于点 ，如果
， 与以点 、 、 所组成的三角形相似，求 的长．
【答案】（1） 的正切值是
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，根据菱形的性质，结合已知判定 是等边三角形，证明
，后利用正切函数计算即可；
（2）取 的中点M，连接 ，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似
的判定和性质，勾股定理计算即可；
（3）过 作 点，垂足为 ，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出
方程解答即可．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵点 是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ 的正切值是 ．
【小问2详解】
解：取 的中点M，连接 ，由（1）可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积等于
∴
∵ 与 是同高的，设这个高为
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】过 作 点，垂足为
由（1）得： 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 与以点 、G、 组成的三角形相似
∴点 只能与点G对应，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股
定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键．
