文档内容
黄浦区 2023 年九年级学业水平考试模拟考数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1. 本试卷含三个大题，共25题；
2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
（下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相
应位置上）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. 0 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣
【答案】B
【解析】
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，
进行比较．
【详解】最小的数是﹣2，故选B．
【点睛】本题考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，
负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意
两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2. 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A. 等边三角形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 圆
【答案】D
【解析】
【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完
全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．
【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称
轴，圆的对称轴条数最多，
故选：D．
【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．
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学科网（北京）股份有限公司3. 设a是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ，一定成立，故本选项符合题意；
B、当 时， ，故本选项不符合题意；
C、当 时， ，故本选项不符合题意；
D、当 时， ，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4. 某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表：
课外书籍（本） 1 2 3 4 5
人数（人） 10 10 20 5 5
对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ）
A. 众数和平均数相等 B. 中位数和平均数相等
C. 中位数和众数相等 D. 中位数、众数和平均数都相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用数据处理中各参考量的定义求解判断即可．
【详解】众数是指出现最多的数，为3；
中位数是指大小排序后位于中间的一位数或中间两位数的平均值，为3；
平均数为总数除以总量的值，为 ；
中位数和众数相等，只有选项C正确．
故选C．
【点睛】本题考查数据处理中中位数、众数、平均数的定义和算法，熟悉数据参考量的算法和正确的计算
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关系．
5. “利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究
函数 ，其图像经过（ ）
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限
C. 第一、三象限 D. 第二、四象限．
【答案】D
【解析】
【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解．
【详解】解：当 时， ；此时点在二象限；
当 时， ；此时点在四象限．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
6. 要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ）
A. 任选两个角，测量它们的角度； B. 测量四条边的长度；
C. 测量两条对角线的长度； D. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离．
【答案】D
【解析】
【分析】利用矩形的判定定理逐个选项查看即可．
【详解】选项A中任意两个角只能判定一对角互补或相等，或两个直角，有可能为直角梯形，判断四边形
为矩形需要3个角是直角，选项A错误；
选项B中，四条边的关系为对边相等，可能仅是平行四边形，选项B错误；
选项C中，对角线长度相等但是不是平行四边形时，仅为普通四边形，选项C错误；
选项D中，根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等，判断对角线互相平分则为平行四边形，又通过对
角线相等判断为矩形．
故选D．
【点睛】矩形的判定定理有3条，三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；有一个角是直角的
平行四边形．熟练的应用判定定理是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 冬季某日中午12时的气温是3 ，经过10小时后气温下降8 ，那么该时刻的气温是________ ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】用 进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：该时刻的气温是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数减法的实际应用．熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键．
8. 计算： ____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】如果一个数x，使得 ，则x就是a的立方根，据此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的计算，熟练掌握立方根的定义是解题关键．
9. 已知 ，那么 ________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，把 代入计算可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：当 时，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
10. 已知关于x的方程 无实数根，那么k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【详解】 为关于x的一元二次方程，无实根则
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，须注意确保方程的二次项系数不为0，才能保证是一元二次
方程，才能使用根的判别式．熟悉一元二次方程根的判别式的公式和正确的计算是解题的关键．
11. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机
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学科网（北京）股份有限公司出手一次平局的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键．
12. 已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么这个反比例函数可
以是________．（只需写出一个）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，
∴这个反比例函数可以是 ．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数 ，当 时，图象
位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象位于第二、四象限内，在每
一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
13. 已知一次函数的图像经过点 ，且与直线 平行，那么这个一次函数的解析式是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设一次函数的解析式为 ，由题可知， ，再代入点 求出 ，进而得出一次函数
解析式．
【详解】解：设一次函数解析式是 ，
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学科网（北京）股份有限公司该一次函数与直线 平行，
，
一次函数的图象经过点 ，
，
解得： ，
一次函数的解析式是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
14. 某学校为了解七年级学生某天书面作业完成时间的情况，从该校七年级学生中随机抽取40人进行调查，
调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每个小组包括最小值，不包括最大值）．根据图中信息，该
校七年级200名学生中，这一天书面作业完成时间少于90分钟的约有________人．
【答案】170
【解析】
【分析】根据频数直方图可知40人中有34人完成时间少于90分钟，求出所占百分比，再估计200人中完
成时间少于90分钟的人数即可．
【详解】解：由题意得：
（人）
故答案为：170．
【点睛】本题主要考查样本与总体的关系，熟练掌握用样本估计总体是解决本题的关键．
15. 已知点G是 的重心，设 ， ，那么 用 、 可表示为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】如图，先根据向量的减法法则求出 ，根据D点是 边的中点求出 ，再由向量的
加法法则求出 ，然后根据G是 的重心即可求出 ．
【详解】如图，D点是 边的中点，G是 的重心，
∵ ， ，
∴
∵D点是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的重心，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
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学科网（北京）股份有限公司16. 在直角坐标平面内，已知点 ， ，将线段 平移得到线段 （点A的对应点是
点 ，点B的对应点是点 ），如果点 坐标是 ，那么点 的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B的横坐标减3，纵坐标加3即为点
的坐标．
【详解】解：∵ 平移后对应点 的坐标为 ，
∴A点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴ 平移后的坐标是： 即 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，
上下移，横不变，纵加减．
17. 七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图所示，取一张边长为20厘米的正方
形纸板，联结对角线 ；分别取 中点E、F，联结 ；过点A作 垂线，分别交
于G、H两点；分别取 中点M、N，联结 ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其
中四边形 的面积是________平方厘米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】50
【解析】
【分析】根据勾股定理求出BD，证明四边形 是正方形，即可解得．
【详解】根据勾股定理可得，
，
∵ 中点E、F，联结 ，
∴ ，
，
∵N是 的中点，
∴
∵根据对称性， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
是
∴四边形 正方形，
∴ ，
故答案为：50．
【点睛】此题考查了正方形的证明和面积，解题的关键是熟悉正方形的性质．
18. 我们规定：在四边形 中，O是边 上的一点．如果 与 全等，那么点O叫做该四
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学科网（北京）股份有限公司边形的“等形点”．在四边形 中， ， ， ， ，如果该四边形
的“等形点”在边 上，那么四边形 的周长是________．
【答案】8或
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得到 ，分两种情况讨论：当 时，证明四边形
时平行四边形，据此即可求出四边形 的周长；当 时，根据全等三角形的性
质，推出 ， ，利用勾股定理，依次求出 ， ，即可求出四边形
的周长．
【详解】解： ， ，
，
四边形 的“等形点”在边 上，
如图1，当 时，则 ，
，
四边形 时平行四边形，
，
四边形 的周长为 ；
如图2，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
四边形 的周长为 ，
故答案为：8或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角
形的性质是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】把括号内通分进行减法运算，再将除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：原式＝
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
20. 解方程组：
【答案】 ，
【解析】
【分析】由方程②，得 ③，将③代入①，得 ，解得 ，将
代入③，得 ；将 代入③，得 ，即可得到方程组的解
【详解】解：由方程②，得 ③
将③代入①，得
解，得
将 代入③，得 ；
将 代入③，得
所以，原方程的解是 ， ．
【点睛】此题考查了二元二次方程组，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．
21. 小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：
优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；
优惠活动二：所有商品打八折．
（两种优惠活动不能同享）
（1）如果小丽的妈妈看中一件价格 元的衣服和一双 元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划
算？请通过计算说明；
（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多
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学科网（北京）股份有限公司少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？
【答案】（1）选择伏惠活动一更划算，见解析
（2）当裤子价格低于 元时，推荐选择优惠活动二，见解析
【解析】
【分析】（1）分别计算出两种优惠活动的总价格，再比较那个价格更低即可得解答；
（2）按照优惠活动列出不等式解答．
【小问1详解】
解：选择优惠活动一更划算，理由如下：
活动一价格： （元），
活动二价格： （元），
∵ ，
∴选择优惠活动一更划算．
【小问2详解】
解：当裤子价低于 元时，推荐选择优惠活动二，
设裤子的价格为 元，
则活动一的价格为 元；
活动二的价格为 元，
由题意，得 ，
解，得 ．
∴当裤子价格低于 元时，推荐选择优惠活动二．
【点睛】本题考查了方案选择问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
22. 已知，如图， 的半径为 ，半径 被弦 垂直平分，交点为 ，点 在圆上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）求弦 长；
（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则 ，由线段垂直平分线性质得 ．进而由勾股定理得
，再由垂径定理即可求解；
（2）连接 ， ，先证 是等边三角形，再证 ，利用扇形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：连接 ，则 ，
∵弦 垂直平分 ，
∴ ．
在 中，
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学科网（北京）股份有限公司∵半径 垂直 ，
∴
∴ ；
【小问2详解】
解：在 中， ，
∴ ．
连接 ， ，
∵ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵ ， ．
∵ ，
∴
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键
是由条件推出阴影的面积=扇形的面积．
23. 已知：如图，在正方形 中，点 在对角线 的延长线上，作 ，且 ，连
接 ．
（1）求证： ；
（2）延长 交射线 于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，再由 ， ，可得
，则 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质及补角的性质可得 ，再由
，推出 ，根据相似三角形的性质可得 ，由 ，
等量代换，即可得出结论；
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
又 ，
．
【小问2详解】
证明：如图，延长 交射线 于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
由（1）知 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
又
， ，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线
经过点A、B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是 的外接圆的圆心，求点P坐标；
（3）点D坐标是 ，点M、N在抛物线上，且四边形 是平行四边形，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）点P的坐标是
（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线 ，由点P是 的外接圆的圆心得到点P在 的垂直平分
线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是 ．设点P坐标为 ，由 ，求出 ，
即可得到点P的坐标；
（3）先说明点 ，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（ ），则点M坐标是 ，
点N坐标是 ，把点 坐标代入 ，解得 （负值
已舍），得到点M坐标是 ，点N坐标是 ，利用两点间距离公式即可得到线段 的长．
【小问1详解】
解：把 代入 得 ，
∴点B坐标是 ，
把 代入 ，得 ，
∴点A坐标是 ，
将点A、B坐标代入 ，得 ，
解得 ．
∴抛物线的表达式是 ．
【小问2详解】
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴抛物线的对称轴是直线 ，
∵点P是 的外接圆的圆心．
∴点P在 的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．
∴点P横坐标是 ．
设点P坐标 ，
为
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴．点P的坐标是 ．
【小问3详解】
∵点O是 中点，即O是平行四边形 对角线交点，
又∵四边形 是平行四边形，
∴点 ，N关于原点对称．
设点M的横坐标为m（ ），
则点M坐标是 ，点N坐标是 ，
把点 坐标代入 ，
得 ，
解得 （负值已舍），
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点M坐标是 ，点N坐标是 ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外
接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
25. 如图，在菱形 中， ，E是边 上一点，过点E作 ，垂足为点H，点G在
边 上，且 ，联结 ，分别交 于点M、N．
（1）已知 ，
①当 时，求 的面积；
②以点H为圆心， 为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且仅有一个公共
点，求 的值；
（2）延长 交边 于点P，当设 ，请用含x的代数式表示 的值．
【答案】（1）① ；② 或
（2）
【解析】
【分析】（1）①联结 交 于点 O，根据菱形的性质可得 ，再由锐角三角函数可得
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学科网（北京）股份有限公司的长，再由 ，可得 ，即可求解；②先证明四边形 是平行四边形，可
得 ，从而得到 ，进而得到 ，继而得到 ，再由 ，
可得 ，再由 ，可得 ， ，在 中，根据勾股
定理可得 然后分两种情况：当两圆外切时，当两圆内切时，即可求解；
（2）先证明 ． ．取 中点Q，联结 ，再证明 ，
可得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：①联结 交 于点O，
∵四边形 是菱形，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ．
∴ ；
②在菱形 中， ， ，即 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
在 中， ．
当两圆外切时，
8 ，解得 ；
当两圆内切时，
，解得 ；
综上所述， 长是 或 ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
取 中点Q，联结 ，
由（1）得： ，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理等知
识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
