文档内容
2014年上海市学鼎教育中考数学一模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x2﹣（x+7）2 D．y＝（x+1）（2x﹣1）
2．（4分）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或 ，那么
C．长度为1的向量叫做单位向量
D．如果m为实数，那么
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（
）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
4．（4分）如图，能推得DE∥BC的条件是（ ）
A．AD：AB＝DE：BC B．AD：DB＝DE：BC
C．AD：DB＝AE：EC D．AE：AC＝AD：DB
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则
sinB的值是（ ）
第1页（共29页）A． B． C． D．
6．（4分）如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果
△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知抛物线的表达式是y＝﹣2（x﹣1）2，那么它的顶点坐标是 ．
8．（4分）如果二次函数y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，那么a的值是
．
9．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，那么
所得抛物线的表达式为 ．
10．（4分）实际距离为3000米的两地，在比例尺为1：100000的地图上的距离为
厘米．
11．（4分）如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的周长比为 ．
12．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AM＝ cm，
那么AB＝ cm．
13．（4分）已知点G是△ABC的重心，AD是中线，如果AG＝6，那么AD＝
．
14．（4分）已知一个二次函数的图象具有以下特征：
（1）经过原点；
第2页（共29页）（2）在直线x＝1左侧的部分，图象下降，在直线x＝1右侧的部分，图象上升．
试写出一个符合要求的二次函数解析式． ．
15．（4分）已知A、B是抛物线y＝x2+2x﹣1上的两点（A在B的左侧），且AB与x
轴平行，AB＝4，则点A的坐标为 ．
16．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，联结AC、DE交于点
O．记向量 ＝ ， ＝ ，则向量 ＝ （用向量 、 表示）．
17．（4分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE⊥AB，垂足
为点E，若 ，则cotA＝ ．
18．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x
轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落
在点D的位置．则点D的坐标为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、．先化简，再求作：2（ + ）﹣ （2
﹣4 ）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
第3页（共29页）21．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求
这个函数的解析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．
22．（10分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的
小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂
直且长均为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB
＝66°．
（1）求点D与点C的高度差DH的长度；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（l 即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数
据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC
上，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：（1） ；
（2）FD⊥DG．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C
（0，﹣2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三
角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
第4页（共29页）（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四
边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿
CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度
沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．
伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC
﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停
止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝ ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必
写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t
的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
第5页（共29页）2014 年上海市学鼎教育中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x2﹣（x+7）2 D．y＝（x+1）（2x﹣1）
【考点】H1：二次函数的定义．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据二次函数的定义解答．
【解答】解：A、未知数的最高次数不是2，故本选项错误；
B、二次项系数a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；
C、∵y＝x2﹣（x+7）2＝﹣14x﹣49，即y＝﹣14x﹣49，没有二次项，故本选项错误；
D、由原方程得，y＝2x2﹣x﹣1，符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义．二次函数是指未知数的最高次数为二
次的多项式函数．二次函数可以表示为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）．
2．（4分）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或 ，那么
C．长度为1的向量叫做单位向量
D．如果m为实数，那么
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由平面向量的性质，即可得A与D正确，又由长度为1的向量叫做单位向
量，可得C正确，注意向量是有方向性的，所以B错误．
【解答】解：A、∵m、n为实数，∴（m+n） ＝m +n ，故本选项正确；
B、∵如果k＝0或 ，那么k ＝ ，故本选项错误；
第6页（共29页）C、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项正确；
D、∵如果m为实数，那么m（ + ）＝m +m ，故本选项正确．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌
握平面向量的性质是解此题的关键．
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（
）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据二次函数图象开口向下确定出a为负数，根据对称轴结合a为负数确
定出b的正负情况，根据二次函数图象与y轴的交点即可确定出c的正负情况
从而最后得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣ ＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴a＜0，b＜0，c＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口
方向、对称轴、与y轴的交点与系数的关系是解题的关键．
4．（4分）如图，能推得DE∥BC的条件是（ ）
第7页（共29页）A．AD：AB＝DE：BC B．AD：DB＝DE：BC
C．AD：DB＝AE：EC D．AE：AC＝AD：DB
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】14：证明题．
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那
么这条直线平行于三角形的第三边．
【解答】解：设DE∥BC，
那么AD：AB＝AE：AC，AD：DB＝AE：EC，DB：AB＝EC：AC，
选项A、B、D、不符合平行线分段成比例定理．
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵AD：DB＝AE：EC，
∴DE∥BC．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对平行线分线段成比例的理解和掌握，解答此题的关
键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则
sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；T1：锐角三角函数的定义．
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第8页（共29页）【专题】11：计算题．
【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，则斜边AB＝2CD
＝4，则即可求得sinB的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4．
∴sinB＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并
考查了正弦函数的定义．
6．（4分）如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果
△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】24：网格型．
【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果．
【解答】解：∵△RPQ∽△ABC，
∴ ，
即 ，
∴△RPQ的高为6．
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．解
第9页（共29页）题的关键是数形结合思想的应用．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知抛物线的表达式是y＝﹣2（x﹣1）2，那么它的顶点坐标是 （ 1 ， 0 ）
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】抛物线的表达式已经是顶点式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线的表达式是y＝﹣2（x﹣1）2，
∴它的顶点坐标是（1，0），
故答案为（1，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题比较简单．
8．（4分）如果二次函数y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，那么a的值是 ﹣ 1
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式（ ， ）求对称轴，即可求出
a的值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2ax+3
＝﹣（ x2+2ax+a2）+a2+1
＝﹣（x+a）2+a2+1，
由于对称轴是直线x＝﹣1，
∴a＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理
解和掌握，知对称轴．
9．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，那么
所得抛物线的表达式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 4 ） 2 + 5 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，利用顶点式根据平移不
改变二次项系数可得新抛物线解析式．
第10页（共29页）【解答】解：∵抛物线y＝3x2+5的顶点为（0，5），
∴向右平移4个单位得到的顶点为（4，5），
∴把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，
那么所得抛物线的表达式为 y＝3（x﹣4）2+5．
故答案为 y＝3（x﹣4）2+5
【点评】考查二次函数的平移情况；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次
项的系数；关键是根据左右平移只改变二次函数的顶点的横坐标得到新抛物
线的顶点．
10．（4分）实际距离为3000米的两地，在比例尺为1：100000的地图上的距离为
3 厘米．
【考点】S2：比例线段．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意由实际距离乘以比例尺即可得
出图上距离．
【解答】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．
3000米＝300000厘米得，
A，B两地的图上距离为300000÷100000＝3cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．
11．（4分）如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的周长比为 1 ：
．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比
的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可
求得它们的周长比．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，
∴这两个相似三角形的相似比是1： ，
∴它们的周长比是1： ．
故答案为：1： ．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三
第11页（共29页）角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应
用．
12．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AM＝ cm，
那么AB＝ 1 cm．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】34：方程思想．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝ AB，代入数据
求解即可．
【解答】解：由于M是线段AB的黄金分割点，
且AM为较长线段，
则AM＝ AB，
＝ AB，
则AB＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念．熟记黄金比的值列方程进行计算．
13．（4分）已知点G是△ABC的重心，AD是中线，如果AG＝6，那么AD＝ 9 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD即
可求出AD．
【解答】解：∵G是△ABC的重心，AD是中线，AG＝6，
∴GD＝3，
∴AD＝AG+GD＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟
练掌握．
14．（4分）已知一个二次函数的图象具有以下特征：
第12页（共29页）（1）经过原点；
（2）在直线x＝1左侧的部分，图象下降，在直线x＝1右侧的部分，图象上升．
试写出一个符合要求的二次函数解析式． y ＝ x 2 ﹣ 2 x ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】由于二次函数在直线x＝1左侧的部分，图象下降，在直线x＝1右侧的部
分，图象上升，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口
向上，
加上抛物线过原点，则二次函数解析式可为y＝x2﹣2x．
【解答】解：∵二次函数在直线x＝1左侧的部分，图象下降，在直线x＝1右侧的部
分，图象上升，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∵抛物线过原点，
∴满足条件的二次函数解析式可为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x．
故答案为y＝x2﹣2x．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是
（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
具有如下性质： 当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣
①
，时，y随x的增大而减小；x＞﹣ ，时，y随x的增大而增大；x＝﹣ ，时，
y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点． 当a＜0时，抛物线y＝
②
ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＞﹣ ，时，y随x的增大而减小；x＜﹣ ，时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ ，时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的
最高点．
15．（4分）已知A、B是抛物线y＝x2+2x﹣1上的两点（A在B的左侧），且AB与x
轴平行，AB＝4，则点A的坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ．
第13页（共29页）【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HF：
二次函数综合题．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出已知抛物线的对称轴和抛物线与X轴的交点C、D的坐标，利用
CD和AB的大小判断出A，B在X轴的上方，根据抛物线的对称性确定出A点
的横坐标，代入解析式即可求出A的纵坐标，代入即可．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1，
﹣ ＝﹣ ＝﹣1，
对称轴是直线x＝﹣1，
当y＝0时，x2+2x﹣1＝0，
解得：x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ，
1 2
x ﹣x ＝2 ，
1 2
∵a＝1，开口向上，
设抛物线y＝x2+2x﹣1于x轴交于C、D，
则CD＝2 ＜4，
∴点A、B在x轴的上方，且关于抛物线的对称轴对称，
设AB交对称轴于M，则AM＝BM＝2，
∵已知A在B的左侧，
∴A点的横坐标是：﹣3，
把x＝﹣3代入抛物线y＝x2+2x﹣1得：y＝2，
所以点A的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法等知识，利用抛物
线的对称性正确求出A的横坐标是解此题的关键，注意应先确定点AB的位置
16．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，联结AC、DE交于点
O．记向量 ＝ ， ＝ ，则向量 ＝ ﹣ （用向量 、 表示）．
第14页（共29页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行四边形法则，求出向量 的表达式，再根据相似三角形的性质即
可求出 的表达式．
【解答】解：∵ ＝ ﹣ ，
E是边AB的中点，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
∵△DOC∽△EOA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题结合平行四边形的性质考查了平面向量的相关概念，利用三角形法
则和相似三角形的性质是解题的关键．
17．（4分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE⊥AB，垂足
为点E，若 ，则cotA＝ 2 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】设DE＝3x，又知，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，故可知AD＝DC，根据
勾股定理求出AC和BC的长，最后根据三角函数的定义求出cotA．
【解答】解：设DE＝3x，
∵CE⊥AB，
第15页（共29页）∴三角形CDE为直角三角形，
∴CE＝4x，CD＝5x，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴AD＝DC＝5x，
在Rt△ACE中，AC＝4 x，
在Rt△BEC中，BC＝2 x，
利用三角函数值的定义，
cotA＝ ＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识点，要熟练掌握好边角之间的关系．
18．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x
轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落
在点D的位置．则点D的坐标为 （﹣ ， ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】46：几何变换．
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质
求出DF的长，进而求出D点坐标．
【解答】解：作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，
∵在△BCG与△ODG中，
∴△BCG≌△ODG，
∴GO＝GB，
∴设GO＝GB＝x，
第16页（共29页）则CG＝GD＝2﹣x，
于是在Rt 中，（2﹣x）2+12＝x2；
△CGB
解得x＝ ．
GD＝2﹣x＝2﹣ ＝ ；
∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，
∴∠BCG＝∠DFG，
∵∠BGC＝∠DGF，
∴△CBG∽△FDG，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ＝ ；
又∵DO＝1，
∴OF＝ ＝ ．
∴点D的坐标为（﹣ ， ）．
故答案为：（﹣ ， ）．
【点评】此题将翻折变换与相似三角形和勾股定理相结合，考查了三角形与矩形
的性质，有一定难度，是一道好题．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
第17页（共29页）【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三
角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值得到原式＝2（
﹣1）﹣1﹣3× + ，然后进行乘法运算后合并即可．
【解答】解：原式＝2（ ﹣1）﹣1﹣3× +
＝2 ﹣2﹣1﹣ +
＝ ﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整
数指数幂以及特殊角的三角函数值．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、．先化简，再求作：2（ + ）﹣ （2
﹣4 ）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】13：作图题．
【分析】首先将原式化简，再根据向量的意义画图即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ．
∴ ＝ ．
∴ 为所求向量
第18页（共29页）【点评】此题考查了向量的计算与向量的意义．此题培养了学生的动手能力，要注
意分析．
21．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求
这个函数的解析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】设所求的二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，
1）代入，求a、b、c的值，再用配方法求出顶点式，从而得出顶点坐标．
【解答】解：（1）设所求的二次函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
由这个函数的图象过A（0，1），可知c＝1．（1分）
再由这个函数的图象过点B（1，3）、C（﹣1，1），得
∴ （2分）
∴ （2分）
所以这个二次函数的解析式为：y＝x2+x+1．（1分）
（2）y＝x2+x+1 ．（2分）
∴这个二次函数的顶点坐标为 ．（2分）
【点评】本题考查了二次函数了的性质何用待定系数法求二次函数的解析式．
22．（10分）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的
小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂
直且长均为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB
＝66°．
第19页（共29页）（1）求点D与点C的高度差DH的长度；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（l 即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数
据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】（1）通过图观察可知DH高度包含3层台阶，因而DH＝每级小台阶高度
×小台阶层数．
（2）首先过点B作BM⊥AH，垂足为M．求得AM的长，在Rt△AMB中，
根据余弦函数 即可求得 AB 的长，那么根据不锈钢材料的总长度 l＝
AD+AB+BC，求得所用不锈钢材料的长．
【解答】解：（1）DH＝0.4×3＝1.2（米）．（2分）
（2）过点B作BM⊥AH，垂足为M．（1分）
由题意得：MH＝BC＝AD＝1，∠A＝66°．
∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2．（2分）
在Rt△AMB中，
∵ ，（1分）
∴AB＝ （米）．（2分）
∴l＝AD+AB+BC≈1+2.92+1≈4.9（米）．（1分）
答：点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．（1
分）
第20页（共29页）【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是在解题过程中作辅助线BM，利
用余弦概念及运算，从而把实际问题转化为数学问题加以解决．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC
上，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：（1） ；
（2）FD⊥DG．
【考点】J3：垂线；KN：直角三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）小题利用两角对应相等证明△ADC和△EGC相似即可；
（2）小题先证四边形AFEG是矩形，证出AF＝EG，进而证出两边成比例（ ＝
）且夹角相等，推出△AFD和△CGD相似，证出∠FDG＝90°，即可求出答
案．
【解答】（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴ ．
第21页（共29页）（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF＝EG．
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°，
即∠FDG＝90°，
∴FD⊥DG．
【点评】解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是
找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．题型较好，难度适
中．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C
（0，﹣2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三
角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四
边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
第22页（共29页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题；26：开放型；32：分类讨论．
【分析】（1）已知函数的图象经过A，B，C三点，把三点的坐标代入解析式就可以
得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式；
（2）E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，这两个三角形都
是直角三角形，因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论．
△AOC的三边已知，△BDE中，BD＝m﹣2，而DE＝﹣m．根据相似三角形的
对应边的比相等，就可以求出m的值；
（3）四边形ABEF是平行四边形，因而EF＝AB，且这两个点的纵坐标相同，E点
的纵坐标是m，把x＝m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标，则EF
的长就可以求出．根据EF＝AB就可以得到一个关于m的方程，解方程就可以
求出m的值．若m的值存在，就可以求出四边形的面积．
【解答】解：（1）根据题意，得
解得a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2．
∴y＝﹣x2+3x﹣2．
（2）当△EDB∽△AOC时，
得 或 ，
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m﹣2，
当 时，得 ，
∴ ，
∵点E在第四象限，
第23页（共29页）∴ ．
当 时，得 ，
∴ED＝2m﹣4，
∵点E在第四象限，
∴E （m，4﹣2m）．
2
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF＝AB＝1，
点F的横坐标为m﹣1，
当点E 的坐标为 时，点F 的坐标为（m﹣1， ），
1 1
∵点F 在抛物线的图象上，
1
∴ ＝﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，
∴2m2﹣11m+14＝0，
∴（2m﹣7）（m﹣2）＝0，
∴m＝ ，m＝2（舍去），
∴ ，
∴S ＝1× ．
平行四边形ABEF
当点E 的坐标为（m，4﹣2m）时，点F 的坐标为（m﹣1，4﹣2m），
2 2
∵点F 在抛物线的图象上，
2
∴4﹣2m＝﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，
∴m2﹣7m+10＝0，
∴（m﹣2）（m﹣5）＝0，
∴m＝2（舍去），m＝5，
∴F （4，﹣6），
2
∴S ＝1×6＝6．
平行四边形ABEF
第24页（共29页）【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定方
法，是一个存在性问题，在中考中经常出现．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿
CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度
沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．
伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC
﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停
止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝ 1 ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必
写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t
的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
【考点】HF：二次函数综合题；KH：等腰三角形的性质；KU：勾股定理的应用；S9：
相似三角形的判定与性质．
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【专题】16：压轴题．
第25页（共29页）【分析】（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对
应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，
由线段的对应比例关系求t；
（4） 第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点
G，由PC2＝QC2解得t；
①
第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t．
【解答】解：（1）做QF⊥AC，
②
∵AC＝3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴当t＝2时，AP＝3﹣2＝1；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．
∴BC＝4，
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴ ，
∴ ，
解得：QF＝ ；
故答案为：1， ；
（2）作QF⊥AC于点F，
如图1，AQ＝CP＝t，
∴AP＝3﹣t．
由△AQF∽△ABC，
得 ．
第26页（共29页）∴ ．
∴S＝ （3﹣t）• ，
即S＝﹣ t2+ t；
（3）能．
当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
①
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP＝90°．
由△APQ∽△ABC，得 ，
即 ．
解得 ；
如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
② 第27页（共29页）此时∠APQ＝90°．
由△AQP∽△ABC，得 ，
即 ．
解得 ，
综上：在点E从B向C运动的过程中，当t＝ 或 时，四边形QBED能成为直角
梯形；
（4）t＝ 或t＝ ．
点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．
①
∵sinB＝ ＝ ＝ ，
∴QG＝ （5﹣t），
同理BG＝ （5﹣t），
∴CG＝4﹣ （5﹣t），
∴PC＝t，QC2＝QG2+CG2＝[ （5﹣t）]2+[4﹣ （5﹣t）]2．
∵CD是PQ的中垂线，
∴PC＝QC
第28页（共29页）则PC2＝QC2，
得t2＝[ （5﹣t）]2+[4﹣ （5﹣t）]2，
解得t＝ ；
点P由A向C运动，DE经过点C，如图5．
PC＝6﹣t，可知由PC2＝QC2可知，
②
QC2＝QG2+CG2
（6﹣t）2＝[ （5﹣t）]2+[4﹣ （5﹣t）]2，
即t＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的
相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，
难度较大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:16:03；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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