文档内容
2019年上海市徐汇实验中学中考数学一模试卷
一．选择题（满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2 ，c＝ ，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
2．（4分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是
（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
3．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10
米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5 米 B．5 米 C．2 米 D．4 米
4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中： ∠ADE＝∠C；
① ②
＝ ； ＝ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
③
A． B． C． D．
5．（4①分）②下列判断错误的是②（③ ） ①③ ①②③
A．0• ＝
B．如果 ， ，其中 ，那么 ∥
C．设 为单位向量，那么| |＝1
第1页（共27页）D．如果| ＝2| |，那么 ＝2 或 ＝﹣2
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变
量分别取x ，x（0＜x ＜x ＜4）时，对应的函数值是y ，y ，且y ＝y ，设该函数图象的对称
1 2 1 2 1 2 1 2
轴是x＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知 ，则xy＝ ．
8．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB＝10cm，则较长线段AP的长是 cm．
9．（4分）若2| |＝3，那么3| |＝ ．
10．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于 ．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之
比为9：16，则DE：EC＝ ．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝ ．
13．（4分）如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小
正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m
的结果为m＝ ．
14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝
1：3， ＝ ，则用 表示 是： ＝ ．
15．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为
第2页（共27页）．
16．（4分）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A
处，用测角仪测得建筑物顶部 B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝
米．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝ ，
那么GE＝ ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且
点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 ＝ ，则 ＝ ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+（﹣1）2019
20．（10分）已知：如图，在 ▱ABCD中，设 ＝ ， ＝ ．
（1）填空： ＝ （用 、 的式子表示）
（2）在图中求作 + ．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
第3页（共27页）21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
22．（10分）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日
正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日
正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD
＝44.5m．
（1）求楼间距MN；
（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，
sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
23．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连
接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．
（1）求证：∠FAE＝∠EBA；
（2）求证：AH＝BE；
（3）若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．
第4页（共27页）24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，
抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符
合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下
思考：
（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那
么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图 ，在△ABC中，
AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°． ①
（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图 ，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，
使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出②证明，可以直接用到第（1）问的结论．
（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的
两条邻边AB与BC的数量关系．
第5页（共27页）第6页（共27页）2019年上海市徐汇实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2 ，c＝ ，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相
等即可得出答案．
【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；
B、2×5＝2 × ，能成比例；
C、1×4≠2×3，不能成比例；
D、1×4＝2×2，能成比例．
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让
最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．（4分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是
（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用
顶点式可得抛物线解析式．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式
为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上
下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
3．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10
第7页（共27页）米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5 米 B．5 米 C．2 米 D．4 米
【分析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
【解答】解：作BC⊥地面于点C，
设BC＝x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，
∴AC＝2x米，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，
解得，x＝2 ，即BC＝2 米，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题
的关键．
4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中： ∠ADE＝∠C；
① ②
＝ ； ＝ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
③
A． B． C． D．
【分析①】②根据有两组角对应②相等③的两个三角形相似①对③进行判断；根据两①组②对应③边的比相
第8页（共27页） ①等且夹角对应相等的两个三角形相似对 进行判断．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ②③
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当 ＝ 时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对
应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．0• ＝
B．如果 ， ，其中 ，那么 ∥
C．设 为单位向量，那么| |＝1
D．如果| ＝2| |，那么 ＝2 或 ＝﹣2
【分析】轨迹平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：A、0• ＝ ，正确，故本选项不符合题意．
B、由 ， ，得到： ＝ ， ＝﹣ ，故两向量方向相反， ∥ ，正确，
故本选项不符合题意．
C、 为单位向量，那么| ＝1，正确，故本选项不符合题意．
D、由| ＝2| |，只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符
合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变
量分别取x ，x（0＜x ＜x ＜4）时，对应的函数值是y ，y ，且y ＝y ，设该函数图象的对称
1 2 1 2 1 2 1 2
轴是x＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【解答】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x ，1），
0
∴x ＞4，
0
∴对称轴为x＝m中2＜m＜4，
故选：C．
第9页（共27页）【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知 ，则xy＝ 6 ．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴xy＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
8．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB＝10cm，则较长线段AP的长是 ﹣ 5
cm．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝ AB，把AB＝10cm代入计算即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝ AB，
而AB＝10cm，
∴AP＝ ＝ ；
故答案为： ﹣5．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
第10页（共27页）9．（4分）若2| |＝3，那么3| |＝ ．
【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．
【解答】解：由2| |＝3得到：| |＝ ，
故3| |＝3× ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础
题．
10．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于 1 ．
【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．
【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之
比为9：16，则DE：EC＝ 3 ： 1 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根
据相似三角形的性质可得出 ＝ ，再结合EC＝CD﹣DE即可求出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，
∴ ＝ ，
第11页（共27页）∵ ＝ ＝ ＝3．
故答案为：3：1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的
性质求出DE、BA之间的关系是解题的关键．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝ ．
【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴cosA＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余
弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
13．（4分）如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小
正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m
的结果为m＝ 2 n + 5 ．
【分析】如图，过A作AB⊥FG于B，根据相似三角形的性质得到 ＝2，设小正
方形的边长为1，则答正方形的边长为m，求得BC＝2DE＝2，CD＝ AB＝ （m﹣1），列
方程即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AB⊥FG于B，
则△ABC∽△CDE，
第12页（共27页）∴ ＝2，
设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m，
∴AB＝m﹣1，BF＝n，DE＝1，
∴BC＝2DE＝2，CD＝ AB＝ （m﹣1），
∴FG＝FB+BC+CD+DG＝n+2+ （m﹣1）+1＝m，
∴m＝2n+5，
故答案为：2n+5．
【点评】本题考查了列代数式，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，正确的作出辅助
线构造相似三角形是解题的关键．
14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝
1：3， ＝ ，则用 表示 是： ＝ ﹣ 2 ．
【分析】此题只需根据梯形的中位线定理得到EF和AD的关系即可．
【解答】解：根据AD：BC＝1：3，则BC＝AD．
根据梯形的中位线定理，得EF＝2AD．
又∵ ＝ ，
∴ ＝﹣2 ．
【点评】考查了梯形的中位线定理．
15．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为 4
．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，勾股定理求出AD的长，利用重心的性质即可求出
DG的长，利用余切的定义解答即可．
第13页（共27页）【解答】解：作AD⊥BC于D，
则点G在AD上，连接GC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝ BC＝4，
由勾股定理得，AD＝ ＝3，
∵G为△ABC的重心，
∴DG＝ AD＝1，
∴cot∠GCB＝ ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形
三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
16．（4分）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A
处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝ 16. 8
米．
【分析】在Rt△ABC中，已知角的邻边求对边，可以用正切求BC，再加上CE即可．
【解答】解：过A作AC⊥BE于C，
则AC＝DE＝15，
根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，
第14页（共27页）则BE＝BC+CE＝16.8（米），
故答案为：16.8．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的概念是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝ ，
那么GE＝ ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，
本题得以解决．
【解答】解：作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝ ，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴ ，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG＝ ，
∴ ，
第15页（共27页）得BE＝ ，
∴GE＝BE﹣BG＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且
点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】由中点定义可得DE＝CE，再由翻折的性质得出DE＝EF，BF＝BC，∠BFE＝∠D
＝90°，从而得到DE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△EDG≌Rt△EFG，得出DG＝
FG，设DG＝a，求出GA、AD，再由矩形的对边相等得出AD＝BC，求出BF，再求出BG，由
勾股定理得出AB，再求比值即可．
【解答】解：连接GE，
∵点E是CD的中点，
∴EC＝DE，
∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，
∴EF＝DE，∠BFE＝90°，
在Rt△EDG和Rt△EFG中
，
第16页（共27页）∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），
∴FG＝DG，
∵ ＝ ，
∴设DG＝FG＝a，则AG＝7a，
故AD＝BC＝8a，
则BG＝BF+FG＝9a，
∴AB＝ ＝4 a，
故 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、以及翻折变
换的性质；熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+（﹣1）2019
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ +2﹣1﹣1
＝ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）已知：如图，在 ▱ABCD中，设 ＝ ， ＝ ．
（1）填空： ＝ ﹣ （用 、 的式子表示）
（2）在图中求作 + ．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
第17页（共27页）【分析】（1）根据三角形法则可知： ＝ + ，延长即可解决问题；
（2）连接BD．因为 ＝ + ， ＝ ，即可推出 ＝ + ．
【解答】解：（1）∵ ＝ + ， ＝ ， ＝ ．
∴ ＝ ﹣ ．
故答案为 ﹣ ．
（2）连接BD．
∵ ＝ + ， ＝ ，
∴ ＝ + ．
∴ 即为所求；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．
【解答】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得 ．
解得 ，
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
第18页（共27页）（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
y＝﹣2x2+3x+1＝﹣2（x2﹣ x+ ）+1+ ＝﹣2（x﹣ ）2+ ．
所以抛物线的顶点坐标是（ ， ）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数
解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．
22．（10分）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日
正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日
正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD
＝44.5m．
（1）求楼间距MN；
（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，
sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
【分析】（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，构造矩形EPNM、直角△PEC和直角
△PED．利用锐角三角函数用含EP的代数式表示出EC、ED，由CD＝ED﹣EC得方程，求
解即可；
（2）计算EC，得CM的高，由3米一层得点C所在层数．
【解答】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，
则四边形PEMN为矩形．
∴EP＝MN
由题意知：∠EPD＝55.7°
∠EPC＝30°．
在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP
第19页（共27页）＝tan30°×EP＝ EP≈0.58EP，
在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP
＝tan55.7°×EP≈1.47EP，
∵CD＝ED﹣EC，
∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5
∴EP＝MN＝50（m）
答：楼间距MN为50m．
（2）∵EC＝0.58EP
＝0.58×50＝29（m）
∴CM＝90﹣29＝61（m）
∵61÷3≈20.3≈21（层）
答：点C位于第21层．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上
建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
23．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连
接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．
（1）求证：∠FAE＝∠EBA；
（2）求证：AH＝BE；
（3）若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．
第20页（共27页）【分析】（1）由∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA证△AEF∽△BEA，据此可得；
（2）根据菱形的性质得AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，利用“ASA”证△ABE≌△DAH
可得答案；
（3）连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，利用AE＝DH＝3、BH＝5，结合菱
形的性质可得AC＝2AP＝8 、PH＝1，由CG∥BD且P为AC中点知CG＝2，根据勾股
定理知AG＝14，BE＝AH＝ AG＝7，利用△AEF∽△BEA知 ＝ ，据此求得AF＝
，由FG＝AG﹣AF可得答案．
【解答】解：（1）∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴∠FAE＝∠ABE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，
∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，
在△ABE和△DAH中，
∵ ，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AH＝BE；
（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，
第21页（共27页）∵△ABE≌△DAH，
∴AE＝DH＝3，
则BD＝BH+DH＝8，
∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，
∵AB＝BD＝8，
∴AP＝ ＝4 ，
则AC＝2AP＝8 ，
∵CG∥BD，且P为AC中点，
∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，
∴AG＝ ＝14，BE＝AH＝ AG＝7，
∵△AEF∽△BEA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：AF＝ ，
∴FG＝AG﹣AF＝14﹣ ＝ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱
形的性质和中位线定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质
等知识点．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，
抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
第22页（共27页）（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符
合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二
次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和
纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝ ＝ ，
BC＝ ＝3 ，
BD＝ ＝2 ，
∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，
第23页（共27页）∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
若以CD为底边，则P D＝P C，
1 1
①设P
1
点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P
1
C2＝x2+（3﹣y）2，P
1
D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P 点（x，y）在抛物线上，
1
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x ＝ ，x ＝ ＜1，应舍去，
1 2
∴x＝ ，
∴y＝4﹣x＝ ，
即点P 坐标为（ ， ）．
1
若以CD为一腰，
②∵点P
2
在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P
2
与点C关于直线x＝1对称，
此时点P 坐标为（2，3）．
2
∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）．
【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形
第24页（共27页）的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
25．（14分）小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下
思考：
（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那
么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图 ，在△ABC中，
AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°． ①
（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图 ，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，
使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出②证明，可以直接用到第（1）问的结论．
（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的
两条邻边AB与BC的数量关系．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；
（2）先判断出OE＝ AC，即可得出OE＝ BD，即可得出结论；
（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°，
（2）如图 ，连接AC，BD，OE，
∵四边形A②BCD是矩形，
第25页（共27页）∴OA＝OB＝OC＝OD＝ AC＝ BD，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝ AC，
∴OE＝ BD，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥DE；
（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，
由（2）知，∠BED＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，
过点B作BF⊥AE于F，
∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，
∴AB＝2BF，AF＝ BF，
∴AE＝2 BF，
∴AE＝ AB，
∴BC＝ AB．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°
角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B＝∠BAD，解
第26页（共27页）（2）的关键是判断出OE＝ AC，解（3）的关键是判断出△ABE是底角为30°的等腰三角
形，进而构造直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．
第27页（共27页）
