文档内容
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时
间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置.
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作
答一律无效.
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1.已知集合 ，则 _____.
2.已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____.
3.已知一组数据 的平均数为4，则 的值是_____.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____.
第1页 | 共7页6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离
心率是____.
7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
8.已知 = ，则 的值是____.
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10.将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是
____.
11.设{a}是公差为d的等差数列，{b}是公比为q的等比数列．已知数列{a+b}的前n项和
n n n n
，则d+q的值是_______．
12.已知 ，则 的最小值是_______．
13.在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
第2页 | 共7页（m为常数），则CD的长度是________．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足
，则△PAB面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC-ABC 中，AB⊥AC，BC⊥平面ABC，E，F分别是AC，BC的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：EF∥平面ABC ；
1 1
（2）求证：平面ABC⊥平面ABB．
1 1
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
第3页 | 共7页（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与
MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到
的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的
距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端
点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总
造价最低?
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，点A在椭圆E上且
1 2
在第一象限内，AF⊥FF，直线AF 与椭圆E相交于另一点B．
2 1 2 1
第4页 | 共7页（1）求 AFF 的周长；
1 2
△
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记 OAB与 MAB的面积分别为S，S，若S=3S，求点M的坐标．
1 2 2 1
△ △
19.已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若
求证： ．
20.已知数列 的首项a=1，前n项和为S．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有
1 n
成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且a＞0，求数列 的通项公式；
n
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且a≥0?若存在，求λ的取值范围；若
n
不存在，说明理由，
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]
21.平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．
第5页 | 共7页（1）求实数 ， 的值；
（2）求矩阵 的逆矩阵 ．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中
， ）．
（1）求 ， 的值
（2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
C．[选修4-5：不等式选讲]
23.设 ，解不等式 ．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的
中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换
放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X，恰有2个黑球的概率为p，恰有1个黑
n n
球的概率为q．
n
第6页 | 共7页（1）求p·q 和p·q；
1 1 2 2
（2）求2p+q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X)(用n表示) ．
n n n-1 n-1 n n
第7页 | 共7页
