初中数学
2025年⼴东省⼴州市⽩云区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市⽩云区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
下列各数中，最⼤的是（ ）
A. −π
B. 0
C. 3
D. √3
答案
C
解析
本题主要考查了实数的⼤小⽐较，先估算⽆理数的⼤小，然后根据正数⼤于0，0⼤于负数，
进⾏判断即可．
解：∵−π<0<√3<3，
∴最⼤的数是3，
故选：C．
单选题
下列式⼦运算正确的是（ ）．
A. 4a−3a=1
B. a2+a2=a4
C. (a2)3=a6
D. a6÷a3=a2
答案
C
解析
本题主要考查了合并同类项、幂的乘⽅、同底数幂除法，解题关键在于运⽤相关法则来逐⼀
分析选项．
解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字⺟和指数不变，4a−3a=(4−3)a=a而不是
1，所以该选项错误．
B、同样依据合并同类项法则，a2+a2=(1+1)a2=2a2，并⾮a4，该选项错误．
C、按照幂的乘⽅法则，底数不变，指数相乘，(a2)3=a2×3=a6，此选项正确．
/ D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，a6÷a3=a6−3=a3，不是a2，该选项
错误．
故选：C．
单选题
如图，在围棋棋盘上建⽴的平⾯直⻆坐标系中，已知⿊棋①的坐标是(2,−2)，⽩棋③的坐标是
(−1,−3)，则⿊棋②的坐标是（ ）
A. (−2,1)
B. (−2,0)
C. (1,−2)
D. (0,−2)
答案
A
解析
本题考查⽤坐标表⽰实际位置，根据已知点的坐标，确定原点的位置，建⽴坐标系，进而确
定⿊棋②的坐标即可．
解：由题意，建⽴直⻆坐标系如下：
由图可知：⿊棋②的坐标是(−2,1)；
故选A．
单选题
⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则这个⼏何体是（ ）
/ A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三⻆形，可判断出这个⼏何体
应该是三棱柱．
故选：A．
单选题
如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，BC经过圆⼼O．若∠B=22∘，则∠C的⼤小是（ ）
/ A. 22∘
B. 44∘
C. 46∘
D. 68∘
答案
C
解析
本题考查了切线的性质，等腰三⻆形的性质，直⻆三⻆形的性质，连接OA，由切线的性质得
∠OAC =90∘，由等腰三⻆形的性质得到∠OAB=∠B=22∘，由三⻆形的外⻆性质得到
∠AOC =44∘，再由直⻆三⻆形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC =90∘，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=22∘，
∴∠AOC =∠B+∠OAB=44∘，
∴∠C =90∘−44∘=46∘，
故选：C．
单选题
数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第⼀次由⼀组⼈平分10元钱，每⼈分得若⼲，
第⼆次⽐第⼀次增加6⼈，平分40元钱，则第⼆次每⼈分得的钱与第⼀次相同，设第⼀次分钱的⼈
数为x⼈，则可列⽅程为（ ）
A. 10x=40(x+6)
B. 10(x−6)=40x
C. 10 40
=
x x+6
/ D. 10 40
=
x−6 x
答案
C
解析
本题主要考查了分式⽅程的应⽤．设第⼀次分钱的⼈数为x⼈，根据“第⼀次由⼀组⼈平分10
元钱，每⼈分得若⼲，第⼆次⽐第⼀次增加6⼈，平分40元钱，则第⼆次每⼈分得的钱与第⼀
次相同”，列出⽅程，即可求解．
解：设第⼀次分钱的⼈数为x⼈，根据题意得：
10 40
= ．
x x+6
故选：C
单选题
语⽂⽼师对全班学⽣在假期中的阅读量进⾏了统计，结果如下表所⽰．请根据表格数据，指出该班
学⽣假期读书数量的平均数与众数分别为（ ）
看书数量/（本）234 56
⼈数/（⼈） 661085
A. 4，4
B. 4，5
C. 5，4
D. 5，5
答案
A
解析
本题考查了众数和加权平均数，直接根据平均数及众数的定义求解即可．
解：由题意可知，假期⾥该班学⽣看书数量的平均数
(2×6+3×6+4×10+5×8+6×5)÷(6+6+10+8+5)=4（本），
∵看书数量为4本的有10⼈，⼈数最多，
∴众数为4本，
故选：A．
单选题
如图，⼀次函数y=ax+2与y=2x−1的图象相交于点P，则关于x的⽅程ax+2=2x−1的解是
（ ）
/ A. x=3
B. x=4
C. x=5
D. x=7
答案
B
解析
本题主要考查了⼀元⼀次⽅程的解与⼀次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为(4,7)，由
图象可以知道，当x=4时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把y=7代⼊y=2x−1，得：7=2x−1，
解得：x=4，
∴点P的坐标为(4,7)，
∵⼀次函数y=ax+2与y=2x−1的图象相交于点P，
∴关于x的⽅程ax+2=2x−1的解是x=4．
故选：B．
单选题
2a−x>3
关于x的不等式组 的解集中每⼀个值均不在−1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是
{2x+8>4a
（ ）
A. a<1或a>4.5
B. a≤1或a≥4.5
C. a>4或a<4.5
D. a≥4或a≤4.5
答案
B
解析
本题考查了由⼀元⼀次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进
/ 而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
2a−x>3①
解： ，
{2x+8>4a②
由①得，x<2a−3，
由②得，x>2a−4，
∴不等式组的解集为2a−4<x<2a−3，
∵不等式组解集中每⼀个值均不在−1≤x≤5的范围中，
∴2a−3≤−1或2a−4≥5，
解得a≤1或a≥4.5，
故选：B．
单选题
已知⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A(−5,0)、B(1,0)两点，与y轴交点C的纵坐标
是n，且3<n<4，则以下结论中不正确的是（ ）
A. abc>0
B. 16 12
− <b<−
5 5
C. 9c
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 −2,
( 5 )
D. 若m(am+b)>4a+2b，则m<−6或m>2
答案
D
解析
本题主要考查了⼆次函数的图象和性质，⼆次函数和⼀元⼆次⽅程的关系，⼆次函数和不等
式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握⼆次函数的性质．
利⽤⼆次函数的图象和性质，⼆次函数和⼀元⼆次⽅程的关系，⼆次函数和不等式的关系，
顶点坐标，对称轴等知识点逐项进⾏判断即可．
解：A. 因为⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A(−5,0)、B(1,0)两点，与y轴交
点C的纵坐标是n，且3<n<4，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于y轴的左侧，
∴a<0,b<0,c>0，
∴abc>0，故该选项正确，不符合题意；
B. 因为⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A(−5,0)、B(1,0)两点，当函数值为0
时，即当ax2+bx+c=0时，x =−5,x =1，
1 2
b c
x +x =− =−4，x ⋅x = =−5，
1 2 a 1 2 a
∴b=4a,c=−5a，
5
∴c=− b，
4
∵抛物线与y轴交点C的纵坐标是n，且3<n<4，
∴3<c<4，
/ 5
即3<− b<4，
4
16 12
解得− <b<− ，故该选项正确，不符合题意；
5 5
−5+1
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线x= =−2，所以顶点横坐标为−2，
2
4ac−b2 4ac−(4a)2 9c
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，y= = =c−4a= ，
4a 4a 5
9c
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 −2, ，故该选项正确，不符合题意；
( 5 )
D.当x=2时，抛物线的函数值为y=4a+2b+c，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横
坐标为x=−6，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当am2+bm+c>4a+2b+c时，−6<m<2，
即当m(am+b)>4a+2b时，−6<m<2，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
⼆、填空题
填空题
因式分解：a3−ab2= ．
答案
a(a+b)(a−b)
解析
【分析】：观察原式 a3−ab2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2−b2 是平⽅差公式，利⽤
平⽅差公式继续分解可得．
a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
填空题
3
分式⽅程 =1的解为 ．
x+2
答案
1
解析
去分⺟，解得x=1，经检验x=1是分式⽅程的解，即可得．
3
解： =1
x+2
去分⺟得，x+2=3，
解得，x=1，
经检验x=1是分式⽅程的解，
/ 故答案为：1．
本题考查了解分式⽅程，解题的关键是掌握解分式⽅程．
填空题
如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，AC与OB交于点D，点D是AC的中点，OC//AB，则AC =
．
答案
2√3
解析
本题考查了圆的基本概念、等边三⻆形的性质与判定、解直⻆三⻆形，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．先证明△ABD≌△COD得到AB=OC =2，推出△AOB是等边三⻆形，然
后在Rt△AOD中利⽤正弦的定义求出AD的⻓，即可求解．
解：∵点D是AC的中点，OA=OC =2，
∴AD=CD，OD⊥AC，
∵OC//AB，
∴∠BAD=∠OCD，∠ABD=∠COD，
∴△ABD≌△COD(AAS)，
∴AB=OC =2，
⼜∵OA=OB=2，
∴AB=OA=OB=2，
∴△AOB是等边三⻆形，
∴∠AOD=∠AOB=60∘，
AD √3
∴在Rt△AOD中，sin∠AOD= =sin60∘= ，
OA 2
√3
∴AD= OA=√3，
2
∴AC =2AD=2√3．
故答案为：2√3．
填空题
k
如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反⽐例函数y= (k≠0,x<0)的图象上，点B在x
x
轴上．若菱形ABCO的⾯积是8，则k的值为 ．
/ 答案
−4
解析
本题考查了反⽐例函数k值的⼏何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根
据反⽐例函数k值⼏何意义解答结构。
解：如图，连接AC交BO于点D，
∵菱形ABCO，
∴AC⊥BO，
∴∠ADO=90∘，
∵菱形ABCO的⾯积是8，
1
∴S
△ADO
=8× =2，
4
k
∵点A在反⽐例函数y= (k≠0,x<0)的图象上
x
∴|k|=2S
ADO
=2×2=4，
∵点A在第⼆象限，
∴k=−4，
故答案为： −4．
填空题
铁艺花窗是园林设计中常⻅的装饰元素．如图是⼀个花瓣造型的花窗⽰意图，由六条等弧连接而
⌢
成，六条弧所对应的弦构成⼀个正六边形，中⼼为点O，AB所在圆的圆⼼C恰好是△ABO的内⼼，
若AB=2√3，则阴影部分⾯积为 ．
/ 答案
8π−6√3
解析
本题考查正多边形与圆，解三⻆形，不规则图形的⾯积，过点C作CE⊥AB，根据正多边形的
性质得出△AOB为等边三⻆形，再由内⼼的性质确定∠CAO=∠CAE =∠CBE =30∘，得出
AE
∠ACB=120∘，求出AC = =2，CE =AC⋅sin30∘=1，再求⼸形AB的⾯积为
cos30∘
120×22×π 1 4
− AB⋅CE = π−√3，即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
360 2 3
解：如图所⽰：过点C作CE⊥AB，
∵六条弧所对应的弦构成⼀个正六边形，
∴∠AOB=60∘,OA=OB，
∴△AOB为等边三⻆形，
∵圆⼼C恰好是△ABO的内⼼，
∴∠CAO=∠CAE =∠CBE =30∘，
∴∠ACB=120∘，
∵AB=2√3，
∴AE =BE =√3，
AE
∴AC = =2，
cos30∘
∴CE =AC⋅sin30∘=1，
120×22×π 1 4
∴⼸形AB的⾯积为： − AB⋅CE = π−√3，
360 2 3
4
∴阴影部分⾯积为： π−√3 ×6=8π−6√3，
(3 )
故答案为：8π−6√3．
/ 填空题
12
如图，在▱ABCD中，AB=13，AD=20，∠ABC为锐⻆，且sin∠ABC = ，点E是AD边上的
13
动点，连接BE，作∠BEF =∠ABC，EF与BC边交于点F，则△BEF外接圆半径的最小值为
．
答案
26
3
解析
本题主要考查了圆周⻆定理、三⻆形的外接圆、平⾏四边形的性质、相似三⻆形的判定和性
质、解直⻆三⻆形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
作△BEF的外接圆⊙O，连接OB,OE,OF，OG⊥BC,EH⊥BC,AM⊥BC，垂⾜分别为点
G,H,M，由圆周⻆定理可得∠BOF =2∠BEF，得到∠FOG=∠ABC，可证
OG OF
△AMB∽△FGO，得到 = ，求出AM =12，得到BM =√AB2−AM2=5，设
BM AB
5
⊙O的半径为r，则OF =OE =r，可得OG= r，再利⽤垂线段最短即可得解．
13
解：如图，作△BEF的外接圆⊙O，连接OB,OE,OF，作OG⊥BC,EH⊥BC,AM⊥BC，垂
⾜分别为点G,H,M，
∴∠BOF =2∠BEF，
∵OB=OF，
1
∴∠FOG= ∠BOF =∠BEF，
2
∵∠BEF =∠ABC，
∴∠FOG=∠ABC，
∵∠AMB=∠FGO=90∘，
∴△AMB∽△FGO，
OG OF
∴ = ，
BM AB
12 AM
∵sin∠ABC = = ，AB=13，
13 AB
∴AM =12，
∵▱ABCD，AE⊥BC,EH⊥BC，
∴AM =EH =12，
在Rt△ABM中AB2=AM2+BM2，
∴BM =√AB2−AM2=5，
/ 设⊙O的半径为r，则OF =OE =r，
OG r
∴ = ，
5 13
5
∴OG= r，
13
∵OG+OE ≥EH，
5
∴ r+r≥12，
13
26
∴r≥ ，
3
26
∴△BEF外接圆半径的最小值为 ．
3
26
故答案为： ．
3
三、解答题
解答题
解不等式：2x+1>3，并把不等式解集表⽰在数轴上．
答案
x>1，数轴⻅解析．
解析
本题主要考查了解⼀元⼀次不等式及在数轴上表⽰不等式的解集，根据解⼀元⼀次不等式的
步骤，求出不等式的解集，并按要求将解集在数轴上表⽰出来即可．
解：2x+1>3，
2x>3−1，
2x>2，
x>1．
不等式解集在数轴上的表⽰为：
．
/ 解答题
如图，D是△ABC边AB上的点，AD=BC，BC//DE，∠B+∠C+∠E =180∘，求证：
AC =AE．
答案
⻅解析
解析
本题考查全等三⻆形的判定和性质，平⾏线的性质，得到∠ADE =∠CBA，根据三⻆形的内
⻆和为180度，推出∠E =∠BAC，AAS证明△EDA≌△ABC，即可得出结论．
证明：∵BC//DE，
∴∠ADE =∠CBA．
⼜∵∠B+∠C+∠E =180∘，∠B+∠C+∠BAC =180∘
∴∠E =∠BAC．
在△ABC和△EDA中，
∠ADE =∠CBA
⎧ ∠E =∠BAC ，
⎨
AD=BC
⎩
∴△EDA≌△ABC(AAS)，
∴AC =AE．
解答题
小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了⼀小段时间后⼜走到⽂具店买了些学习⽤品，在⽂具店停
留⼀小段时间后散步走回家．小云离家的距离y(km)与她所⽤的时间x(min)的关系如图所⽰，解答
下列问题：
(1) 小云家离体育场的距离为_____km；
(2) 请求出小云第35min时离家的距离．
/ 答案
(1) 2.5；
13
(2)
小云第 35min时离家的距离时 km．
6
解析
(1) 解：由题意得：小云家离体育场的距离为2.5km，
故答案为：2.5；
(2) 解：设从第30min到第45min这段时间，小云离家的距离y与她所⽤时间x(min)的解析式为
1
k=−
30k+b=2.5
⎧ 15
y=kx+b，则有： ，解得： ．
{45k+b=1.5
⎨b=
9
⎩ 2
1 9
所以，解析式为y=− x+
15 2
13
当x=35时，y= ．
6
13
答：小云第35min时离家的距离时 km．
6
解答题
2 a2−2a+1
已知：A= 1− ÷ ．
( a+1) a+1
(1) 化简A；
(2) 若函数y=−x2+4x−3的对称轴是x=a，求A的值．
答案
1
(1)
；
a−1
(2) 1．
解析
(1) 2 a2−2a+1
解∶A= 1− ÷
( a+1) a+1
a+1−2 a2−2a+1
= ÷
a+1 a+1
a−1 (a−1) 2
= ÷
a+1 a+1
a−1 a+1
= ⋅
a+1 (a−1) 2
1
= ；
a−1
(2) 解：∵函数y=−x2+4x−3的对称轴是x=a，
4
∴a=− =2，
2×(−1)
1 1
∴A= = =1．
a−1 2−1
/ 解答题
为培养学⽣对体育的兴趣并增强学⽣的体育意识，某初中学校计划开展“阳光体育活动”．活动内容
包括篮球、⾜球、乒乓球、⽻毛球和排球五项球类运动．为了解学⽣对这五项活动的偏好，学校随
机调查了部分学⽣，要求每名被调查学⽣从五项活动中选择⼀项且仅能选择⼀项．调查结果已绘制
成统计图表．现根据统计图提供的信息，解答相关问题．
(1) 本次被调查的学⽣有_______名，n=_______，补全条形统计图，并在条形图上⽅注明⼈
数；
(2) 扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆⼼⻆的度数为_______；
(3) 在被调查的学⽣中，有3名男⽣和2名⼥⽣选择排球项⽬．现从中随机选取2⼈协助组建排球社
（每⼈被选中的概率均等），求恰好选中1男1⼥的概率．
答案
(1) 100，5，⻅解析；
(2) 72∘；
3
(3)
．
5
解析
(1) 解：本次被调查的学⽣总⼈数为30÷30%=100（⼈），
5
喜爱“排球”的⼈数所占百分⽐为n%= ×100%=5%，
100
∴n=5，
喜爱“⾜球”的⼈数为：100−30−20−10−5=35（⼈），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
20
(2) 解：“乒乓球”对应的扇形的圆⼼⻆度数为360∘× =72∘，
100
/ 故答案为：72∘；
(3) 解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1⼥的结果有12种，
12 3
∴恰好选中1男1⼥的概率为 = ．
20 5
解答题
描点法是探究函数图象变化规律的重要⽅法．请⽤该⽅法探究函数y=√2−x的图象变化规律．
x… …
y … …
(1) 求函数⾃变量x的取值范围；
(2) 请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平⾯直⻆坐标系xOy中画出该函数的图象；
3
(3)
已知点A(m,n)是函数图象上的点，若n> ，求m的取值范围．
2
答案
(1) x≤2；
(2) ⻅解析；
3 1
(3)
若 n> 时， m的取值范围是 m<− ．
2 4
解析
(1) 解：求函数⾃变量x的取值范围为x≤2；
(2) 解：列表：
x … −7 −2 0 1 2
y ⋯ 3 2 √2 1 0
描点，连线，图象如下，
/ (3) 解：由函数图象可知，在⾃变量的取值范围内，函数值y随着x的增⼤而减小．
3 1 3 1
当n= 时，m=− ，即当n> 时，m<− ．
2 4 2 4
3 1
答：若n> 时，m的取值范围是m<− ．
2 4
解答题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘．
(1) 尺规作图：作∠CAB的⻆平分线AD，交线段BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)
在（1）作出的图中，若AC =2，tan∠BAD= ，求AB的⻓度．
2
答案
(1) ⻅解析；
10
(2)
．
3
解析
(1) 解：如图，射线AD即为所求．
(2) 解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD为∠CAB的平分线，∠ACB=90∘，
/ ∴DE =CD．
∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE =AC =2．
DE DE 1
∵tan∠BAD= = = ，
AE 2 2
∴DE =1，
∴DE =CD=1．
∵∠BED=∠BCA=90∘，∠DBE =∠ABC，
∴△DBE ∽△ABC，
BD DE BE BD 1 AB−2
∴ = = ，即 = = ，
AB AC BC AB 2 BD+1
10
∴AB= ．
3
解答题
如图，点E是▱ABCD边BC上的⼀点，AE =EF，∠AEF =∠ABC =a（90∘≤a≤180∘），AF交
CD于点G．
(1) 求证：∠EAF =∠BAE+∠DAF；
(2) 若AB=AD，∠GCF是否可以为直⻆，如果可以，求出此时a的值；如果不能请说明理由；
(3) 已知a=120∘且AB=4,AD=3，点E在线段BC上运动时，M为AF的中点，探究DM的⻓度
是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
答案
(1) ⻅解析
(2) 可以， 120∘
(3)
存在，
3
2
解析
(1) 证明：过点F作FI//AD，
/ 则∠DAF =∠IFA，∠CEF =∠IFE，
⼜∵∠AEF =∠ABC，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB，
∴∠BAE =∠FEC
∵AE =EF，
∴∠EAF =∠AFE =∠IFA+∠IFE=∠DAF +∠FEC =∠DAF +∠BAE．
(2) 解：在BC的延⻓线上截取EH =BC，连接FH．
∴EH =BC =AB，BE =CH，
由（1）知∠BAE =∠FEC，
在△ABE和△EHF中，
AB=EH
⎧∠BAE =∠HEF，
⎨
AE =EF
⎩
∴△ABE ≌△EHF(SAS)，
∴BE =FH，∠H =∠ABC =α，
∴FH =CH，
∴△CHF是等腰三⻆形，
180∘−α
∴∠FCH = ，
2
180∘−α 3α−180∘
∴∠GCF =α− = =90∘，
2 2
∴α=120∘．
(3) 解：延⻓BC到J，使得BJ =AB，延⻓EC到K，使得EK =AB．
由（2）中⽅法可得△ABE ≌△EKF，JK =BE，
∴∠K =∠ABC =120∘，
∴∠FJK =30∘，
所以点E在BC上运动时，点F在与BC所在直线成30∘⻆的线上运动．
即点M在与FJ平⾏的线上运动（L为AJ的中点，把AC绕点C旋转α度得到CP，点N为AP
的中点．点M在LN上运动），
过点L作LD′⊥AD，
∵AB=BJ =4，∠ABJ =120∘，
∴AJ =4√3，∠BAJ =30∘，
/ ∴AL=2√3，
∵∠JAD′=180∘−∠ABC−∠BAJ =30∘，
∴AD′=3，
∴D′与D重合，即∠ADL=90∘，
∴DL=√3，
过D作DO⊥LN于点O，
∴点D到线段LN的最小值等于点D到线段LN垂线段DO的⻓，
∵∠ALD=60∘，∠NLJ =180−∠AJF =60∘，
∴∠DLO=60∘，
3 3
∴DO=DL⋅sin60∘= ，即DM的最小值为 ．
2 2
解答题
已知⼆次函数y=−x2+(2a+4)x+b（a、b为常数）．该函数图象经过点(2,−a2+4)，与x轴交于
A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1) 试⽤关于a的代数式表⽰b；
(2) ⽤关于a的代数式表⽰△ABC的⾯积S，并描述随着a的变化，S的值如何变化？
(3) 若⼆次函数图象对称轴为直线x=1，过点C平⾏于x轴的直线交抛物线于点D（不同于点C
），交对称轴于点M，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与⼆次函数图象交于E，F两点，直
线CE与直线DF相交于点P．若S =3S ，请求出满⾜条件的直线l的解析式．
△COP △CDP
答案
(1) b=−a2−4a
(2) S =2 a2+4a ；当 a<−4时， S随着 a增⼤而减少；当 −4≤a≤−2时， S随着 a增⼤
而增⼤；当 −2<a≤0时， S随着 a增⼤而减少；当 a>0时， S随着 a增⼤而增⼤
3 3 5 23
(3)
y= x+ 或 y=− x+
2 2 6 6
解析
(1) 解：把(2,−a2+4)代⼊⼆次函数解析式得，−4+4a+8+b=−a2+4，
b=−a2−4a；
(2) ∵b=−a2−4a，
∴⼆次函数解析式为y=−x2+(2a+4)x−a2−4a，
当x=0时，y=−a2−4a，
∴C的坐标为(0,−a2−4a)，
当y=0时，−x2+(2a+4)x−a2−4a=0，
解得x =a+4，x =a，
1 2
∵点A在点B左侧，
∴A的坐标为(a,0)，B的坐标为(a+4,0)，
∴AB=a+4−a=4，
/ 1
∴S = ×4× −a2−4a =2 a2+4a ，
2
画函数图象如下：
当a<−4时，S随着a增⼤而减少；
当−4≤a≤−2时，S随着a增⼤而增⼤；
当−2<a≤0时，S随着a增⼤而减少；
当a>0时，S随着a增⼤而增⼤；
3 3 5 23
(3)
解：直线l的解析式为y= x+ 或y=− x+ ，理由如下：
2 2 6 6
∵抛物线的对称轴为直线x=a+2=1，
∴a=−1
∴⼆次函数解析式为y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，M(1,3)，
把y=3代⼊y=−x2+2x+3，得3=−x2+2x+3，
解得x =0，x =2，
1 2
∴D(2,3)，
设E(m,−m2+2m+3)，F(n,−n2+2n+3)，由题意知m≠n，且均不为0，2，
设直线EF的解析式为y=k x+b ，
1 1
−m2+2m+3=k m+b
1 1
由 ，
{−n2+2n+3=k n+b
1 1
k =2−m−n
1
解得 ，
{b =mn+3
1
∴直线EF的解析式为y=(2−m−n)x+mn+3，（记为①式）
∵直线EF过点M(1,3)，
∴3=2−m−n+mn+3，
∴mn=m+n−2，
同理设直线CE的解析式为y=k x+b ，
2 2
把E(m,−m2+2m+3)，(0,3)代⼊得，
−m2+2m+3=k m+b
2 2
，
{3=b
2
k =−m+2
2
解得 ，
{b =3
2
∴直线CE的解析式为y=(−m+2)x+3，（记为②式）
同理得直线DF的解析式为y=−nx+2n+3，（记为③式）
y=(−m+2)x+3
由②③式联⽴得 ，
{y=−nx+2n+3
/ 2n
x=
⎧ n−m+2
解得 ，
−2nm+4n
⎨y=
+3
⎩ n−m+2
2n −2nm+4n
∴P , +3 ，
(n−m+2 n−m+2 )
∵
−2mn+4n −2(m+n−2)+4n −2m−2n+4+4n 2n−2m+4
+3= +3= +3=
n−m+2 n−m+2 n−m+2 n−m+2
+3=5
，
2n
∴p ,5 ，
(n−m+2 )
∵C(0,3)，D(2,3)，
∴CD=2，
1
∴S = ×2×(5−3)=2，
△CDP
2
∵S
△COP
=3S
△CDP
=6，
1
∴ OC⋅|x p |=6，
2
1
∴ ×3|x p |=6，
2
∴|x
p
|=4，
∴x
P
=±4，
2n
当x =4时， =4，
p
n−m+2
整理得n=2m−4，
∵mn=m+n−2，
∴m(2m−4)=m+2m−4−2，
整理得2m2−7m+6=0，
3
解得m = ，m =2（不符合题意，舍去），
1 2
2
3
∴n=2m−4=2× −4=−1，
2
3 3
∴k
1
=2−m−n= ，b
1
=mn+3= ，
2 2
3 3
∴直线l的解析式为y= x+ ；
2 2
2n
当x =−4时， =−4，
p
n−m+2
2m−4
整理得n= ，
3
⼜∵mn=m+n−2，
2m−4 2m−4
∴m⋅ =m+ −2，
3 3
整理得2m2−9m+10=0，
5
解得m = ，m =2（不符合题意，舍去），
1 2
2
2m−4 1
∴n= = ，
3 3
5 23
∴k
1
=2−m−n=− ，b
1
=mn+3= ，
6 6
5 23
∴直线l的解析式为y=− x+ ；
6 6
/ 3 3 5 23
综上所述，当S =3S 时，直线l的解析式为y= x+ 或y=− x+ ．
△COP △CDP
2 2 6 6
/ 
