文档内容
初中数学
2025年⼴东省⼴州市⻩埔区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市⻩埔区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
下列四种化学仪器的⽰意图中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进⾏判断即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的⼀条直线，使图形沿⼀条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的图形能找到这样的⼀条直线，使图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以是轴对称图形．
故选：B．
单选题
截⾄2025年3⽉18⽇，电影《哪吒之魔童闹海》的票房约为15200000000元，将15200000000⽤科学
记数法表⽰为（ ）
A. 15.2×1011
B. 15.2×1010
/ C. 1.52×1011
D. 1.52×1010
答案
D
解析
本题考查科学记数法，科学记数法就是将数表⽰为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n值可
正可负，当表⽰的数绝对值小于1时，n值为负；当表⽰的数绝对值⼤于10时，n值为正；熟记
科学记数法的表⽰⽅法，准确找到a，n是解决问题的关键．
解：15200000000=1.52×1010，
故选：D．
单选题
下列⼏何体中，俯视图为三⻆形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案
D
/ 解析
解：A．俯视图是有圆⼼的圆，故A不符合题意；
B．俯视图是圆，故B不符合题意；
C．俯视图是正⽅形，故C不符合题意；
D．俯视图是三⻆形，故D符合题意．
故选：D．
单选题
下列运算正确的是（ ）
A. 4a−2a=2
B. (−2a) 2 =−4a2
C. −12a2÷4a=3a
D. √20−√5=√5
答案
D
解析
本题考查了合并同类项、积的乘⽅，单项式除以单项式，⼆次根式的减法，熟练掌握以上知
识点是解答本题的关键．
根据合并同类项法则、积的乘⽅公式，单项式除以单项式法则，⼆次根式的减法法则逐项判
断即可解答．
解：A、4a−2a=2a≠2，故A选项错误；
B、(−2a) 2 =4a2≠−4a2，故B选项错误；
C、−12a2÷4a=−3a≠3a，故C选项错误；
D、√20−√5=2√5−√5=√5，故D选项正确；
故选：D．
单选题
中华⼈⺠共和国第⼗五届运动会将于2025年11⽉9⽇⾄21⽇在粤港澳三地共同举⾏．两名运动员进
⾏了10次某运动项⽬的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要⽐较这两名运动员的成绩哪⼀位
更稳定，通常还需要⽐较他们成绩的( )
A. 中位数
B. 众数
C. ⽅差
D. 以上都不对
答案
/ C
解析
本题考查了⽅差的意义，掌握⽅差的意义：是反映⼀组数据波动⼤小，稳定程度的量；⽅差
越⼤，表明这组数据偏离平均数越⼤，即波动越⼤，反之也成⽴是关键．根据⽅差的意义：
是反映⼀组数据波动⼤小，稳定程度的量；⽅差越⼤，表明这组数据偏离平均数越⼤，即波
动越⼤，反之也成⽴．
解：由于⽅差能反映数据的稳定性，需要⽐较这两名学⽣⽴定跳远成绩的⽅差．
故选：C．
单选题
在Rt△ABC中，∠ABC =90∘，AB=2，AC =3，则∠C的余弦值为（ ）
A. √5
3
B. 2
3
C. 3√5
5
D. 3√13
13
答案
A
解析
BC
如图，由勾股定理得BC =√AC2−AB2，求出BC的值，根据cosC = 计算可得结果．
AC
解：如图
∵∠ABC =90∘，AB=2，AC =3
∴BC =√AC2−AB2=√5
BC √5
∴cosC = =
AC 3
故选A．
本题考查了勾股定理，余弦．解题的关键在于正确的计算．
单选题
4
如图，正⽐例函数y =kx的图象与反⽐例函数y = 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为
1 2
x
4，当y >y 时，x的取值范围是（ ）
2 1
/ A. x<−4或x>4
B. x<−4或04
答案
B
解析
本题考查了反⽐例函数与⼀次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满⾜两个函数解析式是关
键．根据反⽐例函数与⼀次函数的交点问题解答本题即可．
4
解：∵正⽐例函数y
1
=kx的图象与反⽐例函数y
2
= 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标
x
为4，
∴点A的横坐标为−4．
根据函数图象可知：当y >y 时，x的取值范围是00时，⽅程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，⽅程
有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，⽅程⽆实数根是解题的关键．根据题意得出关于x的
⼀元⼆次⽅程，再利⽤根的判别式解答即可．
a b
解：∵ =ad−bc，
c d
x 1
∴关于x的⽅程 =0可化为x(x−k)−8=0，即x2−kx−8=0，
8 x−k
∵a=1，b=−k，c=−8，
∴Δ=(−k)2−4×1×(−8)=k2+32>0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
单选题
如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE =2，AB=8，则AC的⻓为（ ）
A. 8
B. 10
C. 4√5
D. 4√3
答案
C
解析
连接OA，设OA=r，则OE =r−2，根据勾股定理，列出关于r的⽅程，解⽅程，得出r=5
，再在Rt△ACE中，利⽤勾股定理求出AC的⻓即可．
解：连接OA，如图所⽰：
∵CD⊥AB，
/ 1
∴AE =BE = AB=4，
2
设OA=r，则OE =OD−DE =r−2，
在Rt△OAE中，OA2=OE2+AE2，
即r2=(r−2) 2 +42，
解得：r=5，
∴CE =2r−DE =10−2=8，
∴AC =√CE2+AE2=√82+42=4√5，故C正确．
故选：C．
本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据题意求出圆的半径，是解题的关键．
单选题
如图，在平⾯直⻆坐标系xOy中，点O，O ，A，A ，B，B ，C……都是平⾏四边形的顶点，点A
1 1 1
，B，C……在x轴正半轴上，∠AOO =45∘，OA=1，AB=2，BC =3，OO =√2，
1 1
AA =2√2，BB =3√2……，平⾏四边形按照此规律依次排列，则第6个平⾏四边形的对称中⼼
1 1
的坐标是( )
A. 5
6,
( 2)
B. (10,3)
C. 5
15,
( 2)
D. (21,3)
答案
D
解析
本题考查的是点的坐标变化规律，中⼼对称和平⾏四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解
题的关键．根据题意，先求出前⼏个点的坐标，即可找出规律：第n个平⾏四边形的对称中⼼
n
坐标为 1+2+3+⋯+n, ，即可求解．
( 2)
解：如图所⽰，作O M⊥x轴于点M，
1
∵∠AOO
1
=45∘，OO
1
=√2，
/ ∴OM =O
1
M =1，
∵OA=1，
∴M，A重合，
∴O
1
A⊥OA，
1
则O A的中点即为第1个平⾏四边形的对称中点，其坐标为 1, ；
1
( 2)
同理可得：A B⊥AB，OB=0A+AB=3，A B=AB=2，
1 1
则A B的中点即为第2个平⾏四边形的对称中点，其坐标为(1+2,1)；
1
3
同理可得：第3个平⾏四边形的对称中⼼的坐标是 1+2+3, ；
( 2)
⋯
n
同理可得：第n个平⾏四边形的对称中⼼的坐标是 1+2+3+⋯+n, ；
( 2)
6 6×7
∴第6个平⾏四边形的对称中⼼的坐标是 1+2+3+4+5+6, ，即 ，3)=(21，3)
( 2) 2
，
故选：D．
⼆、填空题
填空题
若⼆次根式√x−1有意义，则x的取值范围是 ．
答案
x≥1
解析
根据⼆次根式的性质可知，被开⽅数⼤于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
解：根据⼆次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查了⼆次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开⽅数⼤于等于0．
填空题
物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的⾼为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为
28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的⾼为 cm．
/ 答案
3
解析
本题考查了相似三⻆形的应⽤，熟练掌握相似三⻆形的判定与性质是解题的关键．根据题意
可得：AB//CD，从而可得∠ABE =∠CDE，∠BAE =∠DCE，进而可得△ABE ∽△CDE
，然后利⽤相似三⻆形的性质进⾏计算，即可解答．
解：由题意得：AB//CD，
∴∠ABE =∠CDE，∠BAE =∠DCE，
∴△ABE ∽△CDE，
AB BE
∴ = ，
CD DE
12 28
∴ = ，
CD 7
解得：CD=3，
∴像CD的⾼为3cm，
故答案为：3．
填空题
2025年我国⼈⼯智能领域取得重⼤突破，国产⼤模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优
势⽕爆全球．在单词DeepSeek中任意选择⼀个字⺟，选到字⺟“e”的概率是 ．
答案
1
2
解析
本题主要考查了求频率，⽤字⺟e的个数除以字⺟的总个数即可得到答案．
解：“深度求索”的英语单词“DeepSeek”中，共有8个字⺟，其中字⺟“e”出现4次，
4 1
∴字⺟“e”出现的频率是 = ，
8 2
1
故答案为： ．
2
填空题
若x=3是关于x的⽅程ax2−bx=3的解，则2025−3a+b的值为 ．
答案
2024
解析
/ 此题考查了⼀元⼆次⽅程的解，解答本题的关键要明确：⽅程的解即为能使⽅程左右两边相
等的未知数的值．把x=3代⼊⽅程求出3a−b=1的值，代⼊2025−3a+b计算即可求出值．
解：把x=3代⼊⽅程ax2−bx=3得：9a−3b=3，即3a−b=1，
2025−3a+b=2025−(3a−b)=2025−1=2024，
故答案为：2024．
填空题
如图，已知矩形ABCD，AB=6,BC =8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的
中点，则FG= ．
答案
√10
解析
本题考查矩形的性质，平⾏线的性质，⻆平分线的定义，等腰三⻆形的判定和性质，勾股定
理，三⻆形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键．
连接DE．由矩形的性质可间接证明得出AB=BE =6，从而可求出EC =2，再由勾股定理
可求出DE =2√10，最后根据三⻆形中位线定理求解即可．
解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD=BC =8，AD//BC，
∴∠DAE =∠AEB
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE =∠BAE，
∴∠BAE =∠AEB，
∴AB=BE =6
∴EC =BC−BE =2，
∴DE =√CE2+CD2=√62+22=2√10，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
/ 1
∴FG= DE =√10，
2
故答案为：√10．
填空题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB=√10，点D是平⾯内⼀点，且CD=1．过点B
作BE⊥AD于点E．
①若CD⊥AE，则AD的⻓为 ；
②当线段CD绕点C在平⾯内旋转时，线段BE⻓度的最⼤值为 ．
答案
3 ；4
解析
（1）由勾股定理可求解；
（2）根据题意识别出点E是在以AB为直径的圆上运动，点D是在以C为圆⼼，以1为半径的
圆上运动，所以当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最⼤，BE最⼤，由勾
股定理可求解．
解：①∵CD⊥AE，
∴AD=√AC2−CD2=√10−1=3，
故答案为：3；
②∵BE⊥AE，
∴∠BEA=90∘，
∴点E是在以AB为直径的圆上运动，
∵CD=1，且CD是绕点C旋转，
∴点D是在以C为圆⼼，以1为半径的圆上运动，
如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最⼤，BE最⼤，
由题意可得：AD=3，
/ ∵四边形AECB为圆的内接四边形，∠ACB=90∘，CA=CB=√10，
∴∠CED=∠CBA=45∘，∠CEB=∠CAB=45∘，AB=2√5，
∴DE =CD=1，∠AEB=90∘，
∴AE =2，
∴BE =√AB2−AE2=√20−4=4，
故答案为：4．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三⻆形的性质、圆周⻆定理、切线的性质、勾股定理等，
解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线．
三、解答题
解答题
解⽅程：x2+2x−8=0．
答案
x =−4,x =2
1 2
解析
本题主要考查解⼀元⼆次⽅程，运⽤因式分解法求解即可．
解：x2+2x−8=0
∴(x+4)(x−2)=0，
∴x+4=0或x−2=0，
解得x =−4,x =2．
1 2
解答题
如图，已知∠BAC =∠ABD=90∘，∠ABC =∠BAD，求证：AC =BD．
答案
证明⻅解析
解析
本题考查了全等三⻆形的判定和性质，熟练掌握全等三⻆形的判定和性质定理是解题的关
键．根据全等三⻆形的判定和性质定理即可得到结论．
解：在△ABC与△BAD中，
/ ∠ABC =∠BAD
⎧AB=BA
⎨ ⎩∠BAC =∠ABD
∴△BAC ≌△ABD(ASA)
∴AC =BD
解答题
1 4
已知T = 1− ÷ ．
( m+1) m2−1
(1) 化简T；
2
(2) 若点P(m,m−1)在反⽐例函数y= 的图象上，求T的值．
x
答案
(1) m2−m
4
(2) 1
2
解析
(1) 1 4
解：T = 1− ÷
( m+1) m2−1
m+1−1 (m+1)(m−1)
= ×
m+1 4
m(m−1)
=
4
m2−m
=
4
2
(2) ∵点P(m,m−1)在反⽐例函数y= 的图象上，
x
2
∴m= ，
m−1
即m(m−1)=m2−m=2
2 1
∴原式= =
4 2
解答题
为响应“⾮遗进校园”活动，某校开设了四类⾮遗⽂化社团：A粤剧，B粤绣，C英歌舞，D醒狮，每
位同学只能选择其中⼀个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学⽣的情况，根据调查结果绘
制了不完整的统计图（如图）：
(1) 本次共调查了________名学⽣，其中参与B社团的⼈数是________⼈；
(2) 学校计划从A，B，C，D四个社团中任选两个社团进⾏成果展⽰，请⽤列表或画树状图的⽅
/ 法，求同时选中A和C两个社团的概率．
答案
(1) 50；5
(2) 1
6
解析
(1) 解：本次共调查了10÷20%=50（名)学⽣，
∴参与B社团的⼈数是50−10−25−10=5（⼈)．
故答案为：50；5．
(2) 列表如下：
A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
共有12种等可能的结果，其中同时选中A和C两个社团的结果有：(A,C)，(C,A)，共2种，
2 1
∴同时选中A和C两个社团的概率为 = ．
12 6
解答题
清明节是中国的传统节⽇之⼀，主要有踏⻘、扫墓、吃⻘团等习俗．某超市节前购进了甲、⼄两种
畅销口味的⻘团．已知购进90袋甲种⻘团和120袋⼄种⻘团的总⾦额是2340元，购进150袋甲种⻘团
和60袋⼄种⻘团的总⾦额是2220元．
(1) 求甲、⼄两种⻘团每袋的单价分别是多少元；
(2) 为满⾜消费者需求，该超市准备再次购进甲、⼄两种⻘团共150袋，若总⾦额不超过1750元，
最少应购进多少袋甲种⻘团？
答案
(1) 10元；12元
(2) 25袋
解析
(1) 解：设每袋甲种⻘团的单价是x元，每袋⼄种⻘团的单价是y元，
90x+120y=2340
根据题意得： ，
{150x+60y=2220
x=10
解得： ．
{y=12
答：每袋甲种⻘团的单价是10元，每袋⼄种⻘团的单价是12元；
(2) 设再次购进m袋甲种⻘团，则再次购进(150−m)袋⼄种⻘团，
/ 根据题意得：10m+12(150−m)⩽1750，
解得：m⩾25，
∴m的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种⻘团．
解答题
如图，△ABC中，∠ACB=90∘．
(1) 尺规作图：作⊙O，使圆⼼O在边AC上，且⊙O与AB，BC所在直线相切（保留作图痕迹，不
写作法）；
4
(2)
在（1）的条件下，若AC =9，cos∠ABC = ，求⊙O的半径r．
5
答案
(1) ⻅解析
(2) 4
解析
(1) 解：如图，作∠ABC的平分线，交AC于点O，以点O为圆⼼，OC的⻓为半径画圆，
则⊙O即为所求．
(2) 设⊙O与AB相切于点D，连接OD，
∴OC =OD，∠ADO=∠ACB=90∘，
∴∠AOD+∠A=∠ABC+∠A=90∘，
∴∠AOD=∠ABC，
4
∴cos∠ABC =cos∠AOD= ．
5
设⊙O的半径为r，
/ 则OC =OD=r，OA=AC−OC =9−r，
OD r 4
∴cos∠AOD= = = ，
OA 9−r 5
解得r=4，
经检验，r=4是原⽅程的解且符合题意，
∴⊙O的半径为4．
解答题
k
如图，直线y=2x+6与反⽐例函数y= (x>0)的图象交于点A(m,8)，与x轴交于点B．
x
(1) 求m的值和反⽐例函数的解析式；
(2) 点N是直线AB上的⼀点，过点N作平⾏于x轴的直线MN交反⽐例函数的图象于点M，连接
BN
BM， =3，求△BMN的⾯积．
AN
答案
8
(1) 1； y=
x
(2) 4或14
解析
(1) 解：∵直线y=2x+6经过点A(m,8)
∴2m+6=8
∴m=1
∴A(1,8)
∵反⽐例函数经过A(1,8)
∴k=8
8
∴反⽐例函数的解析式为y= ；
x
(2) 解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点N作NQ⊥x轴于点Q，
令y=2x+6=0，解得：x=−3，
∴B(−3,0)，
∴AP =y −y =8，BP =x −x =4，
A B A B
∴AB=√BP2+AP2=4√5，BP =4，
∴∠NQB=∠APB=90∘，
∵∠NBQ=∠ABP，
∴△NBQ∽△ABP，
/ BN BQ BN BQ
∴ = ，即 = ，
AB BP AN PQ
①点N在线段BA上，
BN
∵ =3，
AN
BQ
∴ =3，
PQ
∴BQ=3PQ，
∵BQ+PQ=BP =4，
∴BQ=3,PQ=1，
∴Q与O重合，如图，
∴点N在y轴上，即点N为AB与y轴交点重合，
将x=0代⼊y=2x+6，则y=6，
∴N(0,6)，
8 4
在反⽐例函数y= 中，当y=6时，x= ，
x 3
4
∴M ,6 ，
(3 )
1 1 4
∴S = MN ⋅y = × ×6=4，
△BNM N
2 2 3
②点N在线段BA的延⻓线上，
同理得：BQ=6，BN =12，
∴N(3,12)，
8 2
在反⽐例函数y= 中，当y=12时，x= ，
x 3
2
∴M ,12 ，
(3 )
1 1 2
S = MN ⋅y = × 3− ×12=14，
△BNM N
2 2 ( 3)
综上所述，S =4或14．
△BNM
/ 解答题
如图，在矩形ABCD中，AD=2√3+2，∠ACD=30∘，点P为射线CA上⼀动点，连接DP，将
线段DP绕点P逆时针旋转30∘得到线段EP，连接DE．
(1) 当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三⻆形；
(2) 当PE与矩形ABCD的边平⾏时，求线段DP的⻓；
(3) 在点P的运动过程中，线段DE的⻓度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存
在，请说明理由．
答案
(1) 证明⻅解析
(2) 2√3+2或 6+2√3
(3) 存在； √6
解析
(1) 证：在矩形ABCD中，∠ADC =90∘
∵点P为线段AC的中点
1
∴DP = AC =AP
2
∵∠ACD=30∘
∴∠DAP =90∘−∠ACD=60∘
∴△ADP是等边三⻆形;
(2) ①当PE//AB时
∴∠APE =∠ACD=30∘
∴∠APD=∠APE+∠DPE =60∘
∴∠APD=∠DAP =60∘
∴△ADP是等边三⻆形
/ ∴DP =AD=2√3+2
②当PE//AD时
在Rt△ACD中，∠ACD=30∘，AD=2√3+2，
∴CD=AD⋅tan60∘=6+2√3
∵PE//AD
∴∠ADP =∠DPE =30∘
∴∠PDC =∠ADP +∠ADC =120∘
∴∠APD=180∘−∠PDC−∠PCD=30∘
∴∠APD=∠PCD
∴DP =CD=6+2√3
综上，线段DP的⻓为2√3+2或6+2√3．
(3) 如图，过点D作DM⊥EP于点M
∵∠DPE =30∘，设DM =x
∴DP =2x，MP =√3x
∴ME =PE−PM =2x−√3x
∴
2
DE2=ME2+DM2= 2x−√3x +x2= 8−4√3 x2= 2−√3 ⋅(2x) 2 = 2−√3
( ) ( ) ( ) ( )
DP2
1
当DP⊥AC时，DP取得最小值，DP最小值为 CD=3+√3
2
∵当DP最小时，DE最小
2
∴DE最小值为 2−√3 × 3+√3 =√6
√( ) ( )
解答题
1 1 1
平⾯直⻆坐标系xOy中，抛物线G:y= x2− mx+ m2（m为实数）．
4 2 4
(1) 求抛物线G的对称轴；
(2) 3
已知A(x ,y )和B(x ,y )是抛物线G上的两点，若对于x = m，1≤x ≤2，都有y 1），抛物线G的图象总在直线l:y=x的下⽅，求t的最⼤
值．
答案
(1) x=m
2
(2)
m>4或 m<
3
(3) 9
解析
1
(1)
− m
2
解：抛物线G的对称轴为直线x=− =m；
1
2×
4
(2) 3 1
解：点A m,y 关于抛物线对称轴的对称点为A′ m,y ，
1 1
(2 ) (2 )
3 1
①当m>0时， m>m> m>0，
2 2
∴A(x ,y )在对称轴右侧，
1 1
3
∵对于x = m，1≤x ≤2，都有y 2或 m<1，
2 2
2
∴m>4或04或m< ；
3
(3) y= 1 x2− 1 mx+ 1 m2
解：联⽴⎧ 4 2 4 ，
⎨ y=x
⎩
消y得x2−(2m+4)x+m2=0，
∵当11），抛物线G的图象总在直线y=x的下⽅，且t最⼤，
结合图象知关于x的⽅程x2−(2m+4)x+m2=0的两个根为x =1，x =t，
1 2
将x=1代⼊⽅程得，
1−(2m+4)+m2=0，
解得m =−1，m =3，
1 2
当m =−1时，⽅程为x2−2x+1=0，
1
解得x =x =1，
1 2
∵t>1，
∴不符合题意，舍去；
/ 当m =3时，⽅程为x2−10x+9=0，
1
解得x =1，x =9，
1 2
∴t=9；
综上，t的最⼤值为9．
/
