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2025 年中考第一次模拟考试（北京卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空
间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个
平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的
定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做
中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项符不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
2．如图，点O在直线AB上， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先根据垂直的定义求出 ，再根据平角的定义即可得到 ．求出 是解题的关键．
【详解】解： ，
．
，
．
，
故选：A．
3．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置可知 ，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ， ， ， ，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确得到 是解题的关键．
4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得 且 ，
解得 且 ．
故选：D．
5．不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张
卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次记录的图案都是甲的结果数，然后根据概率公式
计算．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次记录的图案都是甲的结果数为1，
所以两次记录的图案都是甲的概率＝ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
6．中国信通院预计未来 年内将实现 的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球
移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，将原数化为 的形式，其中 ，n为
整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解： ，
故选：A．
7．如图1，图2，点C是 上一点，利用尺规过点C作 ，下列说法错误的是（ ）A．图1的原理是同位角相等，两直线平行
B．图2的原理是两直线平行，内错角相等
C．以点E为圆心，以 为半径作弧，得到弧
D．以点C为圆心，以 为半径作弧，得到弧
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方
法．
根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可．
【详解】解：A．图1的作图是作 ，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意；
B．以点E为圆心，以 为半径作弧，得到弧 ，故本选项不符合题意；
C．图2的作图是作 ，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意；
D．以点C为圆心，以 为半径作弧，得到弧 ，故本选项不符合题意，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以点 为圆心， 长为半径作圆， 是 上
一动点，连接 ，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转90°得 ，连接 ．若点 从点 出发，按照
逆时针方向以每秒 个单位长度运动，则第 秒时，点 的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点 每 秒运动一周，即得第 秒时与第 秒时的位置相同，过点 作 轴，垂足为点 ，证明
可得 ，可得 ， ，再根据点 的坐标即可求
解，由题意判断出点 的位置是解题的关键．
【详解】解：如图，点 沿逆时针方向运动，每秒走 个单位长度，每 秒运动一周，
，
∴第 秒时与第 秒时的位置相同，
过点 作 轴，垂足为点 ，则 ，
∴ ，
由旋转可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故选：D．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若 是二次根式，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题
的关键．根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】解： 是二次根式，
，即 ，
故答案为：．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提公因式 ，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键．
11．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可得出结果．
【详解】解：去分母，得： ，
移项，合并，得： ；
经检验， 是原方程的解；
故答案为： ．
【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程需要验根．
12．点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则 ．【答案】0
【分析】将点 代入 ，即用 和k表示出 ， 和k表示出 ．再将 和 相加
整理可得 ，再结合题意即可求出 ．
【详解】∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
故答案为：0．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是
解题关键．
13．中共中央、国务院印发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》指出：“把劳动教育纳入
人才培养全过程，贯通大中小学各学段”．某校现随机对七年级的50名学生进行调查，结果显示有12名
学生会做饭，若该校七年级共有300人，则会做饭的学生人数约为 ．
【答案】72
【分析】由50名学生中会做饭的学生百分比即可求解．
【详解】该校七年级会做饭的学生人数约有 （名）．
故答案为：
【点睛】本题考查由样本估计总体．确定样本中研究对象所占比例是解题关键．
14．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 °．【答案】69
【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC =180°-42°=138°，再由垂
径定理得出 ，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴ ，
∴BD=CD，
∴∠BDE= ∠BDC= ，
故答案为：69．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧是解题的关键．
15．如图，正方形 中，点 、 分别在边 ， 上， 与 交于点 ．若 ，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】证明 BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，则∠CGE＝90°，根据等角的余弦相等可得CG
的长，进而可△得结论．
【详解】解：∵正方形ABCD中，BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在 BCE和 CDF中，
△ △
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∴∠CBE＋∠CEB＝∠ECG＋∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝90°，
∴cos∠CBE＝cos∠ECG＝ ，
∴ ，
∴CG＝ ，
∴GF＝CF−CG＝5− ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明
BCE≌△CDF是解本题的关键．
△16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 8 31 11 6 17若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：
① ；② ；③ 中，经济损失最少的是
（填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
【答案】 ② 1040
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断
即可；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算
即可．
【详解】解：（1）①总停产时间： 分钟，
②总停产时间： 分钟，
③总停产时间： 分钟，
∴经济损失最少的是②，
故答案为：②；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，
分钟，
（元）
故答案为：1040．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】
【分析】利用算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数
幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．18．解不等式组： ．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．先化简，再求值 ，其中 满足
【答案】 ，2
【分析】首先根据分式的混合运算进行运算，得到最简分式，再由 可得 ，据此即可求
解．
【详解】解：
；
满足
解得： ，
当 时，原式 ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解法，准确化简分式是解决本题的关键．
20．在 中， ， 分别是边 的中点，延长 到点 ，使 ，连结
．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)连结 ，交 于点 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证；
（ ）由 可得 ， ，利用勾股定理得 ，再根据平行四边形的
性质得 ， ，利用勾股定理求出 即可求解；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行
四边形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ 分别为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在平行四边形 中， ， ，
在 中， ，
∴ ．
21．京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，
比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平
均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多
少？
【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为
千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区
出差的路程为 千米，
由题意得： ，
解得： ，
，
答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．
22．在平面直角坐标系 中，一次函数 经过点 ， ．
(1)求这个一次函数的解析式；(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出m的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象过点 ， ，
∴把 代入得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式 ；
（2）解：由（1）得：一次函数的解析式 ，
当 时， ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
把 代入 得： ，
∴ ，
解得： ．
当直线 与 平行时， ，此时函数 的值大于一次函数 的值，∴
23．某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级
中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用 表示，其中 ： ， ：
， ： ， ： ，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生在 组的分数为91，92，93，94
八年级20名学生在 组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94．
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 95 %
八年级 91 93 65%
(1)填空： ___________， ___________， ___________，并把条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪
个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
【答案】(1)92.5，94，60，补全统计图见解析
(2)八年级的学生成绩更好，理由见解析
(3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有1630人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出 、 的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得
的值，用总人数减去其它组的人数求出 组的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；
（3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为
（分 ，因此中位数 ，
八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数 ，
，即 ，
七年级 组的人数为 （人 ，
补全条形统计图如下：
故答案为：92.5，94，60；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优
秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）解：
（人 ，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目
中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键．24．如图， 是 的直径， ，过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，连接 交 于
点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）等弧所对的圆周角相等，得到 ，直径，得到 ，根据等角的余角
相等，即可得证；
（2）证明 ，求出 的长，勾股定理求出 的长，三角函数，推出 ，切线得
到 ，解直角三角形 ，求出 的长即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 的切线，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌
握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会
对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度 ，
与药物施用量 的关系数据统计如下表：
0 4 6 8 10 15 18 21
25 21 19 16 14 10 7 4
10 18 22 27 31 40 45 52
任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度
， 与药物施用量 的函数图象．任务2：猜想A，B植物的生长高度 ， 与药物施用量 的函数关系，并分别求出函数
关系式．
任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过 时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状
态，请直接写出满足平衡状态时，该药物施用量 的取值范围．
【答案】任务1：见解析
任务2： ， ,
任务3：
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，正确求出植物的生
长高度 ， 与药物施用量 的关系式是解题的关键．
（1）运用描点，连线的方法画出函数图像即可；
（2）运用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）分 和 两种情况分别建立不等式进行求解，然后借助函数图像即可解答．
【详解】解：任务1：如图：即为所求；任务2：选取两点 分别代入 可得： ，解得 ，
∴ ；
选取两点 分别代入 ；得： 解得 ，
∴ ；
任务3：当 时， 解得： ．
当 ，时 ，解得， ．
∴ .
∴在 时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态．
26．在平面直角坐标系 中，点 ，点 在抛物线 上．设抛物线的对称
轴为直线 ．
(1)若 ，求t的值；
(2)点 在该抛物线上，若对于 都有 ，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次函数 性质，熟悉相关结论是解题关键．
（1）由题意得 ，据此即可求解；
（2）分类讨论①当 时，②当 时，两种情况即可求解；
【详解】（1）解： 点 ，点 在抛物线 上，
且 ，抛物线的对称轴为 ，
，
．
（2）解： 点 ，点 ，点 在抛物线 上，
， ， ．
且 ．
①当 时，有 ，
②当 时，有 ，
．
．．
．
综上： ．
27．在正方形 中，E为 上一点，点M在 上，点N在 上，且 ，垂足为点F．
(1)如图1，当点N与点C重合时，求证： ；
(2)将图1中的 向上平移，使得F为 的中点，此时 与 相交于点H．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② ，见解析
【分析】（1）根据正方形的性质证明 即可；
（2）按题意补充图形即可；在 上截取 ，连接 交 于点K，作 交 于点T，
根据题意证明 ， ， 即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（2）①过 的中点F作 ，分别与 交于点M、H、N，如图即为补全的图形；图2
② ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 交 于点K，作 交 于点T，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知： ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正
方形的性质确定全等三角形是解本题的关键．
28．对于 和 上的一点 ，若平面内的点 满足：射线 与 交于点 （点 可以与点 重合，
且 ，则点 称为点 关于 的“阳光点”．已知点 为坐标原点， 的半径为 ，点 ．
(1)若点 是点 关于 的“阳光点”，且点 在 轴上，请写出一个符合条件的点 的坐标________；
(2)若点 是点 关于 的“阳光点”，且 ，求点 的横坐标t的取值范围；
(3)直线 与 轴交于点 ，且与 轴交于点 ，若线段 上存在点 关于 的“阳光点”，
请直接写出 的取值范围是________．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)(3) 或
【分析】（1）根据“阳光点”的定义即可解决问题（答案不唯一）；
（2）如图，在 轴上方作射线 ，与 交于 ，并在射线 上取点 ，使 ，则
，由对称性，将 关于 轴对称，得 ，则由题意， 上的点是满足条件的点 ，分别确
定点 与点 的横坐标即可；
（3） 是 上异于点 的任意一点，延长 到 ，使得 ，易知点 的运动轨迹是以
为圆心 为半径的圆，求出直线 与 相切时 的值，再求出直线 经过 时 的值，即可判
断，再根据对称性可得 时的取值范围．
【详解】（1）解：如图，设 与 交于点 ，
当点 的坐标为(2,0)时，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据“阳光点”定义可知，点 的坐标为(2,0)时符合题意，
故答案为：(2,0)（答案不唯一）；
（2）如图，在 轴上方作射线 ，与 交于 ，并在射线 上取点 ，使 ，则，由对称性，将 关于 轴对称，得 ，则由题意， 上的点是满足条件的点 ，设
交 轴于点 ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
作 轴于 ，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的直径， 的半径为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的横坐标 的取值范围是： ；
（3）如图， 是 上异于点 的任意一点，延长 到 ，使得 ，
∵直线 与 轴交于点 ，且与 轴交于点 ，
当 时， ；当 时， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即直线 与 轴的夹角为 ，
∵ 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
∴点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
当直线 与 相切于点 时，连接 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当直线 经过 时，满足条件，此时 ，
观察图像可知：当 时，线段 上存在点 关于 的“阳光点”，
根据对称性，同法可得当 时，也满足条件，
综上所述，若线段 上存在点 关于 的“阳光点”，则 的取值范围是 或
．
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查圆的综合题、锐角三角函数、直线与圆的位置关系、新定义等知识，解题的关键是理解
题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题．
