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第 21 讲 圆
第一部分：知识点梳理
知识点一 与圆有关的概念
1.圆的定义
定义一 如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点
P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.
定义二 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC；
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 直径是圆内最长的弦。
3.弧、半圆、优弧、劣弧
（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧；
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图 ；
（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图 .
4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6.弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7.同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不
相等的两个圆叫做同心圆。
8.等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
知识点二 圆的相关性质及推理
1.圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆
的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）如图，①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④ ；⑤ ，
只要已知其中两个结论，则可以推出另外三个结论，即“知二推三”.
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的
垂线，构造直角三角形（如图Rt△COE）.
3.弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
第 1 页 共 30 页推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等。
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两
个度数和为180°。
5.圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做
这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆的内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等
弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
知识点三 点与圆、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
P
r P r P
r
d d d
图1 图2 图3
(1)dr 点在⊙O外．
2.直线与
⇔
圆的位置关系：
⇔ ⇔
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
r r r
图示 d
d
d
公共点个数 2 1 0
公共点名称 交点 切点 -
直线名称 割线 切线 -
结论 d＜r 相交 d=r 相切 d＞r 相 离
⇔ ⇔ ⇔
3.切线的性质与判定
（1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线
垂直于经过切点的半径。
（2）切线的判定
第 2 页 共 30 页①定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
②数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切；
③判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
▶切线判定常考的两种类型：
①直线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；
②直线与圆没有公共点时，作垂直，证半径。
（3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
知识点四 确定圆的条件
1.过一点作圆：经过一点A作圆，可以作无数个，如图所示：
2.过两点作圆：经过两点A、B作圆，也可以作无数个，如图所示：
3.过不在同一条直线上的三个点作圆
经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段
AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆有且只有一
个，
结论： 不在同一条直线直线上的三个点可以确定一个圆 .
4.三角形的外接圆与内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O为△ABC的外心，△ABC为⊙O的一个内接三角形. 三角形的外心
是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径.
A
O
B C
其中，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝
角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：
第 3 页 共 30 页三角形的外接圆与内切圆对比
图形 名称 性质 位置 角度关系
外心（三角形外接圆 到三角形三个顶点
外心不一定在
的圆心，三角形三边 的距离相等，都等 ∠BOC＝2∠A
三角形的内部
中垂线的交点） 于外接圆的半径
内心（三角形内切圆 到三角形三边距离
内心一定在三
的圆心，三角形三条 相等，都等于内切
角形的内部 ∠BOC＝90°+
内角平分线的交点） 圆的半径
∠A
知识点五 正多边形与圆
1. 圆内接正多边形的相关概念
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 半径 R
中心：正多边形的外接圆的圆心。
中心角
半径：正多边形外接圆的半径。 O
中心角：正多边形每一边所对的圆心角。
边心距 r
边心距：中心到正多边形的一边的距离。
2.正多边形的对称性：
正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
边数为偶数的正多边形，是中心对称图形，它的中心（外接圆的圆心）就是对称中心.
边数为奇数的正多边形，不是中心对称图形，例如正三角形，正五边形等.
3.正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角= ； (2)正n边形每个中心角=每个外角= ；
知识点六 弧长、扇形面积、圆锥的公式（☆☆☆）
1.弧长公式
如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为 ，那么 的圆心角所对
第 4 页 共 30 页的弧长公式为 ； 即弧长公式为
2.扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；
（2）扇形的面积公式：
在半径为 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(整个圆的面积)为 ；
所以 的圆心角所对的扇形面积公式 .
3. 圆锥的相关概念与公式
（1）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
（2）把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于
圆锥的母线长. 如图，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为
.圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，由勾股定理 .
所以，圆锥的侧面积公式为 .
圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
4.弧长、扇形面积、圆锥的公式归纳
P
2πr
O
l
R h
n°
l B O r A
（1）弧长公式： （其中l表示弧长，R是半径，n表示圆心角.）
（2）扇形面积公式：
（3）圆锥侧面积公式：S = πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
侧
（4）圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
第二部分：考点突破
考点1圆的有关概念与性质
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉
第 5 页 共 30 页到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
2．（2022·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C， ，OC＝ OD，则
∠ABD的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形
的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
4．（2010·甘肃兰州·中考真题）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形
的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2垂径定理
5．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
第 6 页 共 30 页（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则 的
最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是 的弦，半径 于点 ．若 ， ．则
的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则 的
半径长为（ ）
第 7 页 共 30 页A．4 B． C．5 D．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高
点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，
以点 为圆心， 长为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
11．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．则
的长是 ．
12．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如
图是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切
于点 ，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为
．
第 8 页 共 30 页13．（2025·湖北·中考真题）如图， 是 的外接圆， ．过点 作 ，垂足为
，交 于点 ，交 于点 ．过点 作 的切线，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
考点3圆心角与圆周角
14．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
第 9 页 共 30 页A． B． C． D．
17．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·广东·中考真题）如图，在直径 为 的圆内有一个圆心角为 的扇形 ．随机地往
圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
第 10 页 共 30 页20．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
21．（2025·陕西·中考真题）如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为
．
22．（2025·安徽·中考真题）如图， 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O在线段 上．已知
，则 的大小为 ．
23．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为直径 延长线上一点，
， ，则 ．
24．（2023·江苏·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若 ，
，则 的直径 ．
第 11 页 共 30 页考点4点、直线与圆位置关系
25．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形 中， ， ， 的外接圆为 ，且半径
为5，边 中点为 ，如果以 为圆心的圆与 相交，那么 的半径可以为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
26．（2025·福建·中考真题）如图， 与 相切于点A， 的延长线交 于点C． ，且交
于点B．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）．
A． B． C． D．
28．（2025·云南·中考真题）已知 的半径为 ，若点 在 上，则点 到圆心 的距离为
．
29．（2025·黑龙江·中考真题）如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径， ，
第 12 页 共 30 页30．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， 的半径
为6，则 的长为 ．
31．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形 中， ， 与梯形 的各
边都相切，且 的面积为 ，则点 到 的距离为 ．
32．（2024·江苏徐州·中考真题）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点
，若 ，则 °．
33．（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意一点，
点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ， ，则 的
长为 ．
第 13 页 共 30 页考点5切线的性质与判定、切线长定理
34．（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于点A，
连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·福建·中考真题）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，
且 为 的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ﹐点C在 上，
，连接 并延长，交 于点D，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
第 14 页 共 30 页A． B． C． D．
37．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形 中， 分别与扇形 相切于
点 ．若 ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
38．（2023·湖南湘西·中考真题）如图， 为 的直径，点 在 的延长线上， ， 与 相切，
切点分别为C，D．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
39．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为圆心， 为半
径的弧恰好与 相切，切点为 ．若 ，则 的值是（ ）
第 15 页 共 30 页A． B． C． D．
40．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，
OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC=DT B．AD= DT C．BD=BO D．2OC=5AC
41．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，点D在 的延长
线上，连接 ， ，过点B作 ，交 于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若点B是 的中点，且 ，求 的半径．
42．（2025·青海·中考真题）如图，线段 经过圆心 ，交 于点 ， ， 为 的弦，连接 ，
．
第 16 页 共 30 页(1)求证：直线 是 的切线；
(2)已知 ，求 的长（结果保留 ）．
43．（2025·山东·中考真题）如图，在 中，点 在 上，边 交 于点 ， 于点 ．
是 的平分线．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．
44．（2024·四川自贡·中考真题）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为D，
E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是 ， ________， ________；若 ， ，则
半径长为________；
第 17 页 共 30 页(2)如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．
求证： 是 的切线．
45．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接 ， ， ，
取 的中点C，连接 并延长，交 于点D，连接 ．
(1)求证： ；
(2)延长 交 的延长线于点E．若 ， ，求 的长．
考点6三角形的外接圆、内切圆
46．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
47．（2023·广东广州·中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
48．（2023·山东泰安·中考真题）如图， 是 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
， ，则阴影部分的面积是（ ）
第 18 页 共 30 页A． B． C． D．
49．（2023·湖北·中考真题）如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上
的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面
积为（ ）
A． B． C． D．
50．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点 是 的外心，∠ ，连结 ， ，则 的
度数是（ ）．
A． B． C． D．
52．（2023·湖北·中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别相切
于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
第 19 页 共 30 页53．（2022·江苏常州·中考真题）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，则
的半径是 ．
54．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， ， ，
为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
考点7正多边形与圆
55．（2024·四川雅安·中考真题）如图， 的周长为 ，正六边形 内接于 ．则 的
面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
56．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐
家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，
第 20 页 共 30 页则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
57．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形 和正五边形 内接于 ， 和 相交于
点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
58．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
59．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 与正六边形 的边 ， 分别相切于点C，F．若
，则 的半径长为 ．
60．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示
意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰
好是 的内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留 ）
第 21 页 共 30 页61．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形 的边长为2，以点A为圆心， 为半径画弧 ，
得到扇形 （阴影部分）．若扇形 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是
．
考点8弧长、扇形面积、圆锥侧面积
62．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在 中，如果 的圆心角所对的弧长是 ，那么 的半径
是（ ）
A． B． C． D．
63．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，母线长为 ，则该圆锥
的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
64．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海
域某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经线
圈上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
第 22 页 共 30 页C． （千米） D． （千米）
65．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若圆锥的母线长
为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
66．（2025·山西·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 为圆心、
的长为半径画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
67．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
68．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图的
圆心角为 度．
69．（2025·江苏连云港·中考真题）如图， 是 的内接三角形， ．若 的半径为
2，则劣弧 的长为 ．
70．（2025·四川成都·中考真题）如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形
为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
第 23 页 共 30 页71．（2025·四川凉山·中考真题）如图， 内接于 ，若 ，则 的
长为 ．
72．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形 的边长为4，中心为点 ，以点 为圆心，
以 长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
73．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， ， ，D是 的中点，分别以B，
C为圆心， 长为半径作弧，交 于点E，交 于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
74．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形 为某运动场内的投掷区， 所在圆的圆心为O、A、
B、N、O在同一直线上．直线 与 所在 相切于点 ．此时测得 ；从点 处沿 方
向前进8.0米到达B处．直线 与 所在 相切于点 ，此时测得 ．（参考数据：
）
第 24 页 共 30 页(1)求圆心角 的度数；
(2)求 的弧长（结果精确到 米）．
考点9圆的综合问题
75．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在 中， 是 的中点， ， ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，若点 为 上一点， ，且 ， ， 三点均在 上，连接 ， 与 相切于
点 ，
①求 __________；
②求 的半径 ；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线 ，交 于点 ，保留作图痕迹，不用写出作法和理
由．
76．（2025·湖南·中考真题）如图， 的顶点 ， 在 上，圆心 在边 上， ，
与 相切于点 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
第 25 页 共 30 页77．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形 中， ．以 为直径的
经过点D，且与边 交于点E，连接 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的长．
78．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆
O的切线，交 的延长线于点D，在 上取点E，使 ，连接 ，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求半圆O的半径及 的长．
79．（2025·江苏连云港·中考真题）已知 是 的高， 是 的外接圆．
第 26 页 共 30 页(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若 的半径为 ，求证： ；
(3)如图3，延长 交 于点 ，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ， ，
，求 的长．
80．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ，以 ， 为边作 ．
(1)当 经过圆心O时（如图1），求 的度数；
(2)当 与 相切时（如图2），若 的半径为6，求 的长．
81．（2025·天津·中考真题）已知 与 相切于点 与 相交于点D，E为
上一点．
(1)如图①，求 的大小；
(2)如图②，当 时， 与 相交于点 ，延长 与 相交于点 ，若 的半径为3，求
和 的长．
82．（2025·新疆·中考真题）如图， 为 的直径，C为 上一点， 于点F，
， 交 于点G，交 于点D．
第 27 页 共 30 页(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
83．（2025·山东威海·中考真题）如图， 是 的切线，点A为切点．点B为 上一点，射线
交于点C，连接 ，点D在 上，过点D作， ，交 于点F，作 ，垂足为
点E． ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
84．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是 的直径，半径 ，垂足为 ， ， 是 延
长线上一点，连接 ，交 于点 ，连接 ， ．过点 作 的切线，切点为 ，交
的延长线于点 ．
(1)求 的长；
(2)求 的度数；
(3)求 的值．
第 28 页 共 30 页85．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径
与弦 相交于点F，点D是 延长线上的一点， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ，求 的长．
86．（2025·四川德阳·中考真题）在 中直径 与弦 交于点 ， ，连接 ，过点 作
的切线与 的延长线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)连接 ， ，再连接 并延长交 于点 ，
证明： ；
若 ，求 的直径．
87．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径
与弦 相交于点F、点D是 延长线上的一点且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ．求 的长．
第 29 页 共 30 页88．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知 是 的直径， 是 上一点，过 作直线 与
的延长线交于 点，过点A作 于 点，连结 、 ，且 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 与 的长度；
(3)在（2）的条件下，若 为 上的一动点，且 在直线 上方，连结 ．当四边形
面积最大时，求 的长度．
89．（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点D，点
O是边 上一点，以点O为圆心、 长为半径作圆， 恰好经过点D，交 于点E．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若点E为 的中点， ，求阴影部分的面积；
(3)连接 ，若 ，求 的值．
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