文档内容
2016-2017 学年江西省景德镇市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简（a+2b）（a﹣2b）=（ ）
A．a2﹣2b2 B．﹣a2﹣2b2C．﹣a2﹣4b2D．a2﹣4b2
2．（3分）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
3．（3分）将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20
厘米的圆柱体，在这个过程中不改变的是（ ）
A．圆柱的高B．圆柱的侧面积 C．圆柱的体积 D．圆柱的底面积
4．（3分）如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使
DF∥BC，只需满足下列条件中的（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠AFD C．∠1=∠AFD D．∠1=∠DFE
5．（3分）如果（﹣am）n=（﹣an）m，则（ ）
A．m为奇数，n为奇数 B．m为偶数，n为偶数
C．m，n奇偶性相同D．m，n奇偶性相反
6．（3分）小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去上学时以
每分30m的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m的速度行
走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的时间（t min）之间的函
数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
第1页（共25页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）2a3÷a2= ．
8．（3分）如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是 ．
9．（3分）若多项式x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m= ．
10．（3分）如图，将一张长方形纸片和一张直角三角形纸片叠放在一起，∠1+∠2
的度数是 ．
11．（3分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图
请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度h与n的
函数关系是 ．
12．（3分）如图1，直角△OAB（其中O为直角顶点，∠OAB=30°）的直角边OA与线
段OP重合在同一根射线OM上，它们绕着点O同时进行转动，△OAB沿着逆时
针方向，线段OP沿着顺时针方向，已知OA，OP分别与OM的夹角关于时间t的
变化图象如图2所示，则t= （单位：秒）时，有AB∥OP．
第2页（共25页）三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）已知x+y=4，x2+y2=9，求xy的值；
（2）如图，AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC=120°，求∠AOE的度数．
14．（6分）先化简，后求值：已知：[（x﹣2y）2﹣2y（2y﹣x）]÷2x，其中x=1，y=2．
15．（6分）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图a，图中共有 组对顶角；
（2）如图b，图中共有 组对顶角；
（3）如图c，图中共有 组对顶角．
16．（6分）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成
下列作图，过点P向线段AB引平行线．
第3页（共25页）17．（6分）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，
并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 …
（1）上表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）根据上表可知，该车邮箱的大小为 升，每小时耗油 升；
（3）请求出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
19．（8分）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分
∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
（2）如果∠COD=25°，那么∠BOE= ，
如果∠COD=60°，那么∠BOE= ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B
两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离
y 、y （千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
1 2
（1）A、B两地之间的距离为 千米；
第4页（共25页）（2）图中点M代表的实际意义是什么？
（3）分别求出甲，乙两人的速度，并求出他们的相遇点距离点 C多少千米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下
列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
（1）若小明同学心里想的是数9．请帮他计算出最后结果．
[（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9
（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，
得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a
（a≠ 0）．请你帮小明完成这个验证过程．
22．（9分）已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直
线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设
∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证
明；
第5页（共25页）（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论
是否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．（12分）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂直
的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速
度走完下列三条线路：：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发
点．记小川所在的位置距离出发点的距离为y（即所在位置与点O之间线段的长
度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似值3）
（1）a= ，b= ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持
原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
第6页（共25页）2016-2017 学年江西省景德镇市七年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017春•景德镇期中）化简（a+2b）（a﹣2b）=（ ）
A．a2﹣2b2 B．﹣a2﹣2b2C．﹣a2﹣4b2D．a2﹣4b2
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式=a2﹣4b2
故选（D）
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础
题型．
2．（3分）（2016•常州）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长
可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
【分析】根据垂线段最短得出结论．
【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC≤3，
∴CP的长可能是2，
故选A．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从
直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有
线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据
第7页（共25页）应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．（3分）（2017春•景德镇期中）将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱
体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程中不改变的是（ ）
A．圆柱的高B．圆柱的侧面积 C．圆柱的体积 D．圆柱的底面积
【分析】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是不发
生变化的量，可得答案．
【解答】解：一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20
厘米的圆柱体，在这个过程中不改变的是圆柱的体积，
圆柱的侧面积变化，底面积变化，高不变化，
故选：C．
【点评】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变
化的量，常量是不发生变化的量．
4．（3分）（2005•潍坊）如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且
EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠AFD C．∠1=∠AFD D．∠1=∠DFE
【分析】要使 DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中
∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF，BC的内错
角相等，则DF∥BC．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换），
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE．
故选D．
第8页（共25页）【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内
角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维
方式与能力．
5．（3分）（2017春•景德镇期中）如果（﹣am）n=（﹣an）m，则（ ）
A．m为奇数，n为奇数 B．m为偶数，n为偶数
C．m，n奇偶性相同D．m，n奇偶性相反
【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及合并同类项进行选择即可．
【解答】解：∵（﹣am）n=（﹣an）m，
∴m，n可以同时奇数，也可以同时偶数，
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，掌握运算法则是解题
的关键．
6．（3分）（2016•保康县模拟）小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某
天他从家去上学时以每分30m的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，
以每分45m的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的
时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．
【解答】解：小强离学校的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而减小，因
第9页（共25页）而选项A、B一定错误；
他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而
选项C错误；
行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，解决问题的关键理解以下两点：①理解图象是
反映的是哪两个变量的关系．②理解函数变量是随自变量的增大是如何变化的．
理解一些转折点的实际意义．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）（2015秋•景德镇期末）2a3÷a2= 2 a ．
【分析】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，据此求
出2a3÷a2的值是多少即可．
【解答】解：2a3÷a2=2a．
故答案为：2a．
【点评】此题主要考查了整式的除法，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法
则：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只
在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．（2）多项式除
以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
8．（3分）（2017春•景德镇期中）如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是
140° ．
【分析】先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．
【解答】解：∵一个角的余角是50°，则这个角为90°﹣50°=40°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣40°=140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题时牢记定义是关键，难
度一般．
9．（3分）（2017春•景德镇期中）若多项式x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m=
第10页（共25页）± 2 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出m的值．
【解答】解：∵（x±1）2=x2±2x+1，
∴﹣m=±2，
∴m=±2
故答案为：±2
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于
基础题型．
10．（3分）（2015春•淮阴区期末）如图，将一张长方形纸片和一张直角三角形纸
片叠放在一起，∠1+∠2的度数是 270 ° ．
【分析】连接AB，根据平行线的性质求出∠FAB+∠ABN，根据三角形内角和定理求
出∠CAB+∠CBA，即可求出答案．
【解答】解：如图，
连接AB，
∵EF∥MN，
∴∠FAB+∠ABN=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°﹣90°=90°，
即∠1+∠2=180°+90°=270°，
故答案为：270°
第11页（共25页）【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是
能正确作出辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补．
11．（3分）（2017春•景德镇期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整
齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起
时，它的高度h与n的函数关系是 h=n + 6 ．
【分析】根据等量关系，可得方程组，根据解方程组，可得纸杯的高，纸杯边沿的高
根据纸杯的高加纸杯边沿的高，可得答案．
【解答】解：设纸杯的高是x，纸杯边沿的高是y，由题意，得
，
解得 ．
高度h与n的函数关系是 h=（n﹣1）+7，
即h=n+6，
故答案为：h=n+6．
【点评】本题考查了函数关系式，利用方程组得出纸杯的高、纸杯边沿的高是解题
关键．
12．（3分）（2017春•景德镇期中）如图1，直角△OAB（其中O为直角顶点，
∠OAB=30°）的直角边OA与线段OP重合在同一根射线OM上，它们绕着点O同
时进行转动，△OAB沿着逆时针方向，线段OP沿着顺时针方向，已知OA，OP分
别与OM的夹角关于时间t的变化图象如图2所示，则t= 或 3 或 （单位：
秒）时，有AB∥OP．
第12页（共25页）【分析】先由图2中的信息得出OP的旋转速度和旋转情况，△OAB的旋转速度和
旋转情况，分三种情况计算．
【解答】当0＜t≤3时，Ⅰ、如图1，
此时，△OAB和OP同时旋转，旋转到如图1的位置时，BA∥OP，
∴∠AOP=∠A=30°，
∴60°t+10°t=30°，
∴t= ；
Ⅱ、如图2，
△OAB和OP同时旋转到如图2的位置时，AB∥OP，
∴∠BOP=∠B=90°﹣∠A=60°，
∴△OAB和OP同时旋转了360°﹣∠BOP﹣∠AOB=360°﹣60°﹣90°=210°，
∴60°t+10°t=210°，
∴t=3，
第13页（共25页）当3＜t＜6时，此时OP不动，△OAB按原速度，原方向旋转，不存在AB∥OP的情
况，
当6≤t≤9时，如图3，
此时，△OAB按原速度原方向旋转，OP也按原速度原方向旋转，旋转到如图3的
位置时，BA∥OP，
∴∠AOP=30°，OP旋转了60°（t﹣3），△OAB旋转了10°t，
∴60°（t﹣3）+10°t=360°+∠AOP=390°，
∴t= ．
故答案为 或3或 ．
【点评】此题主要考查了三角形和线段的旋转，旋转的旋转，平行线的性质，解本
题的关键是从图2中找到信息求出它们的旋转速度．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（2017春•景德镇期中）（1）已知x+y=4，x2+y2=9，求xy的值；
（2）如图，AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC=120°，求∠AOE的度数．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，代入后即可求出答案；
（2）先求出∠AOD，再根据角平分线定义求出即可．
【解答】解：（1）∵x+y=4，x2+y2=（x+y）2﹣2xy=9，
第14页（共25页）∴42﹣2xy=9，
∴2xy=7，
∴xy= ；
（2）∵∠AOC=120°，
∴∠AOD=180°﹣∠AOC=60°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE= ∠AOD=30°．
【点评】本题考查了角平分线定义，邻补角，完全平方公式等知识点，能熟记公式
的特点是解（1）的关键，能求出∠AOD是解（2）的关键．
14．（6分）（2017春•景德镇期中）先化简，后求值：已知：[（x﹣2y）2﹣2y（2y﹣
x）]÷2x，其中x=1，y=2．
【分析】先将原式化简，然后将x与y的值代入．
【解答】解：原式=（x2﹣4xy+4y2﹣4y2+2xy）÷2x= x﹣y，
将x=1，y=2代入，
∴原式=﹣ ，
【点评】本题考查整式混合运算，涉及去括号法则，完全平方公式，代入求值等知
识．
15．（6分）（2017春•景德镇期中）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平
角）：
（1）如图a，图中共有 2 组对顶角；
（2）如图b，图中共有 6 组对顶角；
（3）如图c，图中共有 1 2 组对顶角．
第15页（共25页）【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长
线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．
【解答】解：（1）如图a，图中共有1×2=2组对顶角；
（2）如图b，图中共有3×2=6组对顶角；
（3）如图c，图中共有6×2=12组对顶角．
故答案为：2；6；12．
【点评】本题主要考查了对顶角的定义，解题时注意：对顶角都是相对与两个角而
言，是指的两个角的一种位置关系．
16．（6分）（2017春•景德镇期中）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，
仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．
【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连
线的位置关系进行作图即可．
【解答】解：如图所示，PQ即为所求．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首
先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本
作图的方法作图．
第16页（共25页）17．（6分）（2017春•景德镇期中）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速
公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 …
（1）上表反映的两个变量中，自变量是 t ，因变量是 Q ；
（2）根据上表可知，该车邮箱的大小为 10 0 升，每小时耗油 6 升；
（3）请求出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）
【分析】（1）根据变量的定义即可判断．
（2）当t=0时，此时油箱剩余油量即为油箱大小，根据表格可知，1小时共耗油6
升．
（3）根据（2）即可求出Q的关系式．
【解答】解：（3）由（2）可知：Q=100﹣6t
故答案为：（1）t；Q
（2）100；6
【点评】本题考查函数关系，解题的关键是正确理解变量与常量，本题属于基础题
型．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）（2017春•景德镇期中）根据已知求值：
（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；
（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．
【分析】（1）先根据同底数幂乘法的逆运算将a3m+2n变形为a3m•a2n，根据已知条件
再分别将a3m=（am）3，a2n=（an）2，最后代入计算即可；
（2）将已知等式的左边化为3的幂的形式，则对应指数相等，可列关于m的方程，
解出即可．
【解答】解：（1）a3m+2n=（am）3•（an）2=23×52=200；
（2）∵3×9m×27m=321，
∴3×32m×33m=321，
31+5m=321，
第17页（共25页）∴1+5m=21，
m=4．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的
乘方法则是关键，并注意它们的逆运算．
19．（8分）（2017春•景德镇期中）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，
OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ∠ AOD ，∠AOE的邻补角为 ∠ BO E ；
（2）如果∠COD=25°，那么∠BOE= 65 ° ，
如果∠COD=60°，那么∠BOE= 30 ° ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；
（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；
（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，
∠AOE的邻补角为：∠BOE；
故答案为：∠AOD，∠BOE；
（2）∵∠COD=25°，∴∠AOC=2×25°=50°，
∴∠BOC=130°，
∴∠BOE= ×130°=65°，
∵∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BOE= ∠BOC=30°，
第18页（共25页）故答案为：65°，30°；
（3）由题意可得：
∠COD+∠BOE
= ∠AOC+ ∠BOC
= （∠AOC+∠BOC）
=90°．
【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
20．（8分）（2017春•景德镇期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，
乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、
乙两车到C地的距离y 、y （千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
1 2
（1）A、B两地之间的距离为 15 0 千米；
（2）图中点M代表的实际意义是什么？
（3）分别求出甲，乙两人的速度，并求出他们的相遇点距离点 C多少千米．
第19页（共25页）【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）根据（1）中AB的距离，可求出时间，再由两车速度一样，可以求出B到达C的
时间；
（3）设出直线的解析式，根据待定系数法求出解析式画出图形；
（4）由图象分别解出当1＜x＜1.2时和x＞1.2时甲、乙的解析式，令其相等，从而
解出时间．
【解答】解：（1）由图象可知AC=60，BC=90，
∴A、B两地距离为60+90=150km；
故答案为：150．
（2）∵甲乙两车匀速运动，
∵AC=60，BC=90，
∴v = =60（km/s），v = （km/s），
甲 乙
∴乙到达C的时间t= =1.2，
∴M点点M表示乙车1.2小时到达C地；
（3）∵v = =60（km/s），v = =75（km/s），
甲 乙
设t小时相遇，（60+75）t=150，
∴t= （小时），
此时乙车行驶了75× = （km），而乙车距离C点90km，
故他们的相遇点距离C点90﹣ = 千米．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，
相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）（2017•河北一模）在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个
第20页（共25页）非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
（1）若小明同学心里想的是数9．请帮他计算出最后结果．
[（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9
（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，
得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a
（a≠0）．请你帮小明完成这个验证过程．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结
果；
（2）根据题意列出关系式，化简得到结果，验证即可．
【解答】解：（1）[（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9
=18×2×25÷9
=100；
（2）[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a
=4a×25÷a
=100．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
22．（9分）（2017春•景德镇期中）已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于
点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点
（不与点E，F重合），设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证
明；
（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论
是否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．
第21页（共25页）【分析】（1）过P作PM∥a，求出a∥b∥PM，根据平行线的性质得出∠1=∠APM，
∠3=∠BPM，即可得出答案；
（2）不成立，画出图形，根据平行线的性质和三角形外角性质求出即可．
【解答】（1）∠1+∠3=∠2，
证明：
过P作PM∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥PM，
∴∠1=∠APM，∠3=∠BPM，
∴∠1+∠3=∠APM+∠BPM，
即∠1+∠3=∠2；
（2）不成立，
第22页（共25页）有两种情况：
①如图2，此时∠1+∠2=∠3，
理由是：∵a∥b，
∴∠3=∠PQE，
∵∠1+∠2=∠PQE，
∴∠1+∠2=∠3；
②如图3，
此时∠2+∠3=∠1，
理由是：∵a∥b，
∴∠1=∠PQF，
∵∠2+∠3=∠PQF，
∴∠2+∠3=∠1．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质等知识点，能熟练地运
用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角
第23页（共25页）相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．（12分）（2017春•景德镇期中）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中
AB与CD是一对互相垂直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向
匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：：①线段 OA、②圆弧
A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为
y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆
周率π取近似值3）
（1）a= 12 0 ，b= 1 1 ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持
原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值，从而可以解答本
题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得当t≤2时，y关于t的关系式；
（3）①根据题意和函数图象可以判断小川与小翔的聊天地点位于哪两个点之间，
计算出此时他距离终点O的距离；
②根据图象中的数据可以得到他此行总共花了多少分钟的时间．
【解答】解：（1）由题意可得，
a=（60÷1）×2=120，b= = =11，
第24页（共25页）故答案为：120，11；
（2）设t≤2时，y关于t的关系式是y=kt，
k×1=60，得k=60，
即t≤2时，y关于t的关系式是y=60t；
（3）①由函数图象可知，小川与小翔的聊天地点位于CO两点之间，
此时他距离终点O的距离为：120﹣（14.5﹣2﹣11）×60=120﹣90=30（米），
即此时他距离终点O的距离为30米；
②由题意可得，
他此行总共花的时间为：11+2+2=15（分钟），
即他此行总共花了15分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数
解析式，利用数形结合的思想解答．
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