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2019年福建省中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（ ）
A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106
3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形
4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的
折线统计图，则下列判断错误的是（ ）
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3
C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
8．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍
多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天
阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个
字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+ x+ x＝34685
9．（4分）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则
∠APB等于（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
10．（4分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y）、C（3﹣m，
1
n）、D（ ，y）、E（2，y），则y、y、y的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣9＝ ．
12．（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，
则点C所表示的数是 ．
13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢
迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根
据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是 ．
15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别
是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，函数y＝ （k＞3，
x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝
．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解方程组 ．
18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF
＝CE．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣ ），其中x＝ +1．
20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于
△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定
的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废
水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规
模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的
废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理
一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记
录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水
处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额
外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修
次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费
500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维
修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买 1台该种机器，为决策在购买
机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用
期内的维修次数，整理得下表；
维修次数 8 9 10 11 12
频率（台数） 10 20 30 30 10（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的
概率；
（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应
一次性额外购10次还是11次维修服务？
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延
长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4 ，求tan∠BAD的值．
25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂
直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且
△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
