2021年高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_全国卷·数学（2008-2025）

2021年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合A=  x -2< x<4  ，B=2,3,4,5 ，则A I B=（ ） 2 2,3 3,4 2,3,4 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求A B. I 【详解】由题设有AÇB=2,3， 故选：B . 2. 已知z =2-i，则zz +i=（ ） A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为z =2-i，故z =2+i，故z  z+i  =2-i2+2i=6+2i 第1页 | 共20页故选：C. 3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则pl =2p´ 2，解得l =2 2 . 故选：B. æ pö 4. 下列区间中，函数 f x=7sin ç x- ÷单调递增的区间是（ ） è 6 ø æ pö æπ ö æ 3pö æ3p ö A. ç 0, ÷ B. ç ,π ÷ C. ç p, ÷ D. ç ,2p÷ è 2 ø è2 ø è 2 ø è 2 ø 【答案】A 【解析】 p p p 【分析】解不等式2kp- < x- <2kp+ kÎZ，利用赋值法可得出结论. 2 6 2 æ p pö 【详解】因为函数y =sin x的单调递增区间为ç 2kp- ,2kp+ ÷ kÎZ ， è 2 2 ø æ pö p p p 对于函数 f x=7sin ç x- ÷，由2kp- < x- <2kp+ kÎZ， è 6 ø 2 6 2 p 2p 解得2kp- < x<2kp+ kÎZ， 3 3 æ p 2pö 取k =0，可得函数 f x 的一个单调递增区间为ç - , ÷， è 3 3 ø æ pö æ p 2pö æp ö æ p 2pö 则ç 0, ÷ Í ç - , ÷，ç ,p ÷ Ë ç - , ÷，A选项满足条件，B不满足条件； è 2ø è 3 3 ø è 2 ø è 3 3 ø æ5p 8pö 取k =1，可得函数 f x 的一个单调递增区间为ç , ÷， è 3 3 ø æ 3pö æ p 2pö æ 3pö æ5p 8pö æ3p ö æ5p 8pö ç p, ÷ Ë ç - , ÷且ç p, ÷ Ë ç , ÷，ç ,2p ÷ Ë ç , ÷，CD选项均不满足条件. è 2 ø è 3 3 ø è 2 ø è 3 3 ø è 2 ø è 3 3 ø 第2页 | 共20页故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y = Asinωx+φ 形式，再求 y = Asinωx+φ 的单调区间，只需把wx+j看作一个整体代入y =sin x的相应单调区间内即可，注意 要先把w化为正数． x2 y2 5. 已知F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点M 在C上，则 MF × MF 的最大值为（ ） 1 2 1 2 9 4 A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到 MF + MF =2a=6，借助基本不等式 1 2 2 æ MF + MF ö MF × MF ç 1 2 ÷ 即可得到答案． 1 2 2 è ø 【详解】由题，a2 =9,b2 =4，则 MF + MF =2a=6， 1 2 2 æ MF + MF ö 所以 MF × MF ç 1 2 ÷ =9（当且仅当 MF = MF =3时，等号成立）． 1 2 2 1 2 è ø 故选：C． 【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到． sinq1+sin2q 6. 若tanq=-2，则 =（ ） sinq+cosq 6 2 2 6 A. - B. - C. D. 5 5 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】将式子进行齐次化处理，代入tanq=-2即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： sinq1+sin2q sinq  sin2q+cos2q+2sinqcosq  = =sinqsinq+cosq sinq+cosq sinq+cosq sinqsinq+cosq tan2q+tanq 4-2 2 = = = = ． sin2q+cos2q 1+tan2q 1+4 5 第3页 | 共20页故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用tanq=-2，求出sinq,cosq的值，可能还需要分象限讨论其正负，通 过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7. 若过点 a,b 可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ） A. eb 0，此时函数 f t 单调递增， 当t >a时， f¢t<0，此时函数 f t 单调递减， 所以， f t = f a=ea， max 由题意可知，直线y =b与曲线y = f t 的图象有两个交点，则b< f t =ea， max 当t 0，当t >a+1时， f t<0，作出函数 f t 的图象如下图所示： 第4页 | 共20页由图可知，当04， 12 +22 5 5 11 5 11 5 所以，点P到直线AB的距离的最小值为 -4<2，最大值为 +4<10，A选项正确，B选项错 5 5 误； 如下图所示： 当ÐPBA最大或最小时，PB与圆M 相切，连接MP、BM ，可知PM ^ PB， BM = 0-52 +2-52 = 34， MP =4，由勾股定理可得 BP = BM 2 - MP 2 =3 2，CD选 项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r 的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d ，则圆C上一点P到直 线l的距离的取值范围是 d -r,d +r . uuur uuur uuur 12. 在正三棱柱ABC-ABC 中，AB = AA =1，点P满足BP=lBC+mBB ，其中lÎ0,1 ， 1 1 1 1 1 mÎ0,1 ，则（ ） A. 当l=1时，△ABP的周长为定值 1 B. 当m=1时，三棱锥P- ABC的体积为定值 1 1 C. 当l= 时，有且仅有一个点P，使得AP^ BP 2 1 1 D. 当m= 时，有且仅有一个点P，使得AB^平面ABP 2 1 1 【答案】BD 第8页 | 共20页【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数． 【详解】 易知，点P在矩形BCC B 内部（含边界）． 1 1 uuur uuur uuur uuur uuuur 对于A，当l=1时，BP=BC+mBB=BC+mCC ，即此时PÎ线段CC ，△ABP周长不是定值，故A 1 1 1 1 错误； uuur uuur uuur uuur uuuur 对于B，当m=1时，BP=lBC+BB=BB +lBC ，故此时P点轨迹为线段BC ，而BC //BC， 1 1 1 1 1 1 1 1 BC //平面ABC，则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 1 1 1 1 1 uuur 1uuur uuur uuur uuur uuur 对于C，当l= 时，BP= BC+mBB ，取BC，BC 中点分别为Q，H ，则BP= BQ+mQH ，所 2 2 1 1 1 æ 3 ö 以P点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ç ,0,1÷，P0,0,m ， 1ç 2 ÷ è ø æ 1 ö uuur æ 3 ö uuur æ 1 ö B ç è 0, 2 ,0 ÷ ø ，则A 1 P=ç ç è - 2 ,0,m-1÷ ÷ ø ，BP= ç è 0,- 2 ,m ÷ ø ，mm-1=0，所以m=0或m=1．故 H,Q均满足，故C错误； 1 uuur uuur 1uuur uuur uuuur uuuur 对于D，当m= 时，BP=lBC+ BB ，取BB ，CC 中点为M,N ．BP=BM +lMN，所以P点 2 2 1 1 1 第9页 | 共20页æ 1ö æ 3 ö uuur æ 3 1ö uuur æ 3 1 ö 轨迹为线段MN ．设P ç è 0,y 0 , 2 ÷ ø ，因为Aç ç è 2 ，0,0÷ ÷ ø ，所以AP=ç ç è - 2 ,y 0 , 2 ÷ ÷ ø ，A 1 B=ç ç è - 2 , 2 ,-1÷ ÷ ø 3 1 1 1 ，所以 + y - =0 y =- ，此时P与N 重合，故D正确． 4 2 0 2 0 2 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数 f x= x3 a×2x -2-x 是偶函数，则a=______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值. 【详解】因为 f x= x3 a×2x -2-x ，故 f -x=-x3 a×2-x -2x ， 因为 f x 为偶函数，故 f -x= f x ， 时x3 a×2x -2-x =-x3 a×2-x -2x ，整理得到 a-1 2x+2-x =0， 故a=1， 故答案为：1 14. 已知O为坐标原点，抛物线C：y2 =2px( p >0)的焦点为F ，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为 x轴上一点，且PQ^OP，若 FQ =6，则C的准线方程为______. 3 【答案】x=- 2 【解析】 【分析】先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 p，即得结果. uuur p p 【详解】不妨设P( ,p)\Q(6+ ,0),PQ=(6,-p) 2 2 p 3 因为PQ^OP，所以 ´6- p2 =0Q p >0\p =3\C的准线方程为x=- 2 2 3 故答案为：x=- 2 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 第10页 | 共20页15. 函数 f x= 2x-1-2lnx的最小值为______. 【答案】1 【解析】 1 1 【分析】由解析式知 f(x)定义域为(0,+¥)，讨论0< x 、 < x1、x>1，并结合导数研究的单调 2 2 性，即可求 f(x)最小值. 【详解】由题设知： f(x)=|2x-1|-2lnx定义域为(0,+¥)， 1 ∴当0< x 时， f(x)=1-2x-2lnx，此时 f(x)单调递减； 2 1 2 当 < x1时， f(x)=2x-1-2lnx，有 f¢(x)=2- 0，此时 f(x)单调递减； 2 x 2 当x>1时， f(x)=2x-1-2lnx，有 f¢(x)=2- >0，此时 f(x)单调递增； x 又 f(x)在各分段的界点处连续， ∴综上有：0< x1时， f(x)单调递减，x>1时， f(x)单调递增； ∴ f(x) f(1)=1 故答案为：1. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm´12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm´12dm，20dm´6dm两种规格的图形，它们的面 积之和S =240dm2，对折2次共可以得到5dm´12dm，10dm´6dm，20dm´3dm三种规格的图形， 1 它们的面积之和S =180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对 2 n 折n次，那么 åS =______dm2. k k=1 153+n 【答案】 (1). 5 (2). 720- 2n-4 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S ，再根据错位相减法得结果. n 5 5 3 【详解】（1）对折4次可得到如下规格： dm´12dm， dm´6dm，5dm´3dm，10dm´ dm， 4 2 2 3 20dm´ dm，共5种； 4 第11页 | 共20页120n+1 （2）由题意可得S =2´120，S =3´60，S =4´30，S =5´15，L，S = ， 1 2 3 4 n 2n-1 120´2 120´3 120´4 120n+1 设S = + + +L + ， 20 21 22 2n-1 1 120´2 120´3 120n 120n+1 则 S = + + + + ， L 2 21 22 2n-1 2n æ 1 ö 60 1- 1 æ1 1 1 ö 120n+1 ç è 2n-1 ÷ ø 120n+1 两式作差得 S =240+120 + + + - =240+ - ç L ÷ 2 è2 22 2n-1ø 2n 1 2n 1- 2 120 120n+1 120n+3 =360- - =360- ， 2n-1 2n 2n 240n+3 15n+3 因此，S =720- =720- . 2n 2n-4 15n+3 故答案为：5；720- . 2n-4 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于 a b  结构，其中 a  是等差数列， b  是等比数列，用错位相减法求和； n n n n （3）对于 a +b  结构，利用分组求和法； n n ì 1 ü 1 1æ 1 1 ö （4）对于í ý结构，其中 a  是等差数列，公差为dd ¹0 ，则 = ç - ÷，利用裂 a a n a a d a a î þ è ø n n+1 n n+1 n n+1 项相消法求和. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. ìa +1,n为奇数, 17. 已知数列 a  满足a =1，a =í n n 1 n+1 a +2,n为偶数. î n （1）记b =a ，写出b ，b ，并求数列 b  的通项公式； n 2n 1 2 n （2）求 a  的前20项和. n 【答案】（1）b =2,b =5；（2）300. 1 2 第12页 | 共20页【解析】 【分析】（1）根据题设中的递推关系可得b =b +3，从而可求 b  的通项. n+1 n n （2）根据题设中的递推关系可得 a n  的前20项和为S 20 可化为S 20 =2b 1 +b 2 + L +b 9 +b 10 -10，利用 （1）的结果可求S . 20 【详解】（1）由题设可得b =a =a +1=2,b =a =a +1=a +2+1=5 1 2 1 2 4 3 2 又a =a +1，a =a +2， 2k+2 2k+1 2k+1 2k 故a =a +3即b =b +3即b -b =3 2k+2 2k n+1 n n+1 n 所以 b  为等差数列，故b =2+n-1´3=3n-1. n n （2）设 a n  的前20项和为S 20 ，则S 20 =a 1 +a 2 +a 3 + L +a 20 ， 因为a 1 =a 2 -1,a 3 =a 4 -1, L ,a 19 =a 20 -1， 所以S 20 =2a 2 +a 4 + L +a 18 +a 20 -10 æ 9´10 ö =2b 1 +b 2 + L +b 9 +b 10 -10=2´ ç è 10´2+ 2 ´3 ÷ ø -10=300. 【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项 的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中 随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问 题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问 题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类 问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）B类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1 ）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 第13页 | 共20页【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100． PX =0=1-0.8=0.2； PX =20=0.81-0.6=0.32； PX =100=0.8´0.6=0.48． 所以X 的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）知，EX=0´0.2+20´0.32+100´0.48=54.4． 若小明先回答B问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． PY =0=1-0.6=0.4； PY =80=0.61-0.8=0.12； PX =100=0.8´0.6=0.48． 所以EY=0´0.4+80´0.12+100´0.48=57.6． 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题． 19. 记 V ABC 是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2 =ac，点D在边AC上， BDsinÐABC =asinC. （1）证明：BD=b； （2）若AD=2DC，求cosÐABC . 7 【答案】（1）证明见解析；（2）cosÐABC = . 12 【解析】 ac 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD= ，结合已知即可证结论. b 2b b （2）由题设BD=b,AD= ,DC = ，应用余弦定理求cosÐADB、cosÐCDB，又 3 3 b4 11b2 ÐADB=p-ÐCDB，可得2a2 + = ，结合已知及余弦定理即可求cosÐABC . a2 3 第14页 | 共20页【详解】 asinC c b sinC c （1）由题设，BD= ，由正弦定理知： = ，即 = ， sinÐABC sinC sinÐABC sinÐABC b ac ∴BD= ，又b2 =ac， b ∴BD=b，得证. 2b b （2）由题意知：BD=b,AD= ,DC = ， 3 3 4b2 13b2 b2 10b2 b2 + -c2 -c2 b2 + -a2 -a2 9 9 9 9 ∴cosÐADB= = ，同理cosÐCDB= = ， 2b 4b2 b 2b2 2b× 2b× 3 3 3 3 ∵ÐADB=p-ÐCDB， 13b2 10b2 -c2 a2 - 9 9 11b2 ∴ = ，整理得2a2 +c2 = ，又b2 =ac， 4b2 2b2 3 3 3 b4 11b2 a2 1 a2 3 ∴2a2 + = ，整理得6a4 -11a2b2 +3b4 =0，解得 = 或 = ， a2 3 b2 3 b2 2 a2 +c2 -b2 4 a2 由余弦定理知：cosÐABC = = - ， 2ac 3 2b2 a2 1 7 a2 3 7 当 = 时，cosÐABC = >1不合题意；当 = 时，cosÐABC = ； b2 3 6 b2 2 12 7 综上，cosÐABC = . 12 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ÐADB=p-ÐCDB得到a,b,c的数量关系，结合已知条 件及余弦定理求cosÐABC . 20. 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD^平面BCD，AB= AD，O为BD的中点. 第15页 | 共20页（1）证明：OA^CD； （2）若 OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE =2EA，且二面角E-BC-D的大小为 V 45°，求三棱锥A-BCD的体积. 3 【答案】(1)详见解析(2) 6 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABDI 平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD，AOÌ平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为CDÌ平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥BD, EF⊥CD, BDÇCD= D,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC 因为FM⊥BC，FM I EF = F,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF p 则ÐEMF 为二面角E-BC-D的平面角, ÐEMF = 4 因为BO=OD, OCD为正三角形,所以 OCD为直角三角形 V V 1 1 1 2 因为BE =2ED,\FM = BF = (1+ )= 2 2 3 3 2 从而EF=FM= \AO=1 3 QAO^平面BCD, 第16页 | 共20页1 1 1 3 所以V = AO×S = ´1´ ´1´ 3 = 3 DBCD 3 2 6 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.     21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F - 17,0 、F 17,0 MF - MF =2，点M 的轨迹为C. 1 2 1 2 （1）求C的方程； 1 （2）设点T 在直线x= 上，过T 的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且 2 TA ×TB = TP ×TQ ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. y2 【答案】（1）x2 - =1x1；（2）0. 16 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F 、F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值 1 2 ，即可得出轨迹C的方程； æ1 ö æ 1ö （2）设点T ç ,t ÷，设直线AB的方程为y-t =k ç x- ÷，设点Ax ,y  、Bx ,y  ，联立直线AB è2 ø 1 è 2ø 1 1 2 2 与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TA ×TB 的表达式，设直线PQ的斜率为k ，同理可得出 2 TP ×TQ 的表达式，由 TA ×TB = TP ×TQ 化简可得k +k 的值. 1 2 【详解】因为 MF - MF =2< FF =2 17， 1 2 1 2 所以，轨迹C是以点F 、F 为左、右焦点的双曲线的右支， 1 2 x2 y2 设轨迹C的方程为 - =1a>0,b>0，则2a=2，可得a=1，b= 17-a2 =4， a2 b2 y2 所以，轨迹C的方程为x2 - =1x1； 16 第17页 | 共20页æ1 ö （2）设点T ç ,t ÷，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点， è2 ø æ 1ö 1 不妨直线AB的方程为y-t =k ç x- ÷，即y =k x+t- k ， 1 è 2ø 1 2 1 ì 1 联立 ï í y =k 1 x+t- 2 k 1，消去y并整理可得  k2 -16  x2 +k 2t-k x+ æ ç t- 1 k ö ÷ 2 +16=0， ï î16x2 - y2 =16 1 1 1 è 2 1 ø 1 1 设点Ax ,y  、Bx ,y  ，则x > 且x > . 1 1 2 2 1 2 2 2 2 æ 1 ö k2 -2kt t- k +16 ç ÷ 由韦达定理可得x +x = 1 1 ， è 2 1 ø ， 1 2 k2 -16 x x = 1 1 2 k2 -16 1 所以，TA ×TB =  1+k2 × x - 1 × x - 1 =  1+k2 × æ x x - x 1 +x 2 + 1ö =  t2 +12  1+k 1 2 ， ç ÷ 1 1 2 2 2 1 è 1 2 2 4ø k2 -16 1  t2 +12  1+k2 设直线PQ的斜率为k ，同理可得TP ×TQ = 2 ， 2 k2 -16 2  t2 +12  1+k2  t2 +12  1+k2 因为 TA ×TB = TP ×TQ ，即 1 = 2 ，整理可得k2 =k2， k2 -16 k2 -16 1 2 1 2 即 k -k k +k =0，显然k -k ¹0，故k +k =0. 1 2 1 2 1 2 1 2 因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22. 已知函数 f x= x1-lnx . （1）讨论 f x 的单调性； 1 1 （2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2< + 0，当xÎ1,+¥ 时， f¢x<0， 故 f x 的递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,+¥ . lna+1 lnb+1 （2）因为blna-alnb=a-b，故blna+1=alnb+1 ，即 = ， a b æ1ö æ1ö 故 f ç ÷ = f ç ÷， èaø èbø 1 1 设 = x , = x ，由（1）可知不妨设0< x <1,x >1. a 1 b 2 1 2 因为xÎ0,1 时， f x= x1-lnx>0，xÎe,+¥ 时， f x= x1-lnx<0， 故1< x 2， 1 2 若x 2，x +x >2必成立. 2 1 2 若x <2， 要证：x +x >2，即证x >2-x ，而0<2-x <1， 2 1 2 1 2 2 故即证 f x > f 2-x  ，即证： f x > f 2-x  ，其中10， 所以g¢x>0，故gx 在 1,2 为增函数，所以gx> g1=0， 故 f x> f 2-x ，即 f x > f 2-x  成立，所以x +x >2成立， 2 2 1 2 综上，x +x >2成立. 1 2 第19页 | 共20页设x =tx ，则t >1， 2 1 lna+1 lnb+1 1 1 结合 = ， = x , = x 可得：x 1-lnx = x 1-lnx  ， a b a 1 b 2 1 1 2 2 t-1-tlnt 即：1-lnx =t1-lnt-lnx  ，故lnx = ， 1 1 1 t-1 要证：x +x 1， t-1 æ 1ö 2 则S¢t=lnt+1+ -1-lnt =ln ç 1+ ÷ - ， t+1 è tø t+1 先证明一个不等式：lnx+1 x. 1 -x 设ux=lnx+1-x，则u¢x= -1= ， x+1 x+1 当-10；当x>0时，u¢x<0， 故ux在 -1,0 上为增函数，在 0,+¥ 上为减函数，故ux =u0=0， max 故lnx+1 x成立 æ 1ö 1 2 由上述不等式可得当t >1时，ln ç 1+ ÷  < ，故S¢t<0恒成立， è tø t t+1 故St 在1,+¥上为减函数，故St