文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形
码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B. C.4 D.
4.下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A.13B.12C.9 D.6
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司6.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出
的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 （
），c为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样数据的样本极差相同
10.已知 为坐标原点，点 ， ， ，
，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A.点 到直线 的距离小于10
B.点 到直线 的距离大于2
C.当 最小时，
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司D.当 最大时，
12.在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ，
，则（ ）
A.当 时， 的周长为定值
B.当 时，三棱锥 的体积为定值
C.当 时，有且仅有一个点 ，使得
D.当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数 是偶函数，则 ______.
14.已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直，
为 轴上一点，且 .若 ，则 的准线方程为______.
15.函数 的最小值为______.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为
的长方形纸，对折 1 次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和
，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的
面积之和 ，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，
那么 ______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
18.（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从
中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个
问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B
类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.（12分）
记 是 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， . 已 知 ， 点 在 边 上 ，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.（12分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小
为 ，求三棱锥 的体积.
21.（12分）
在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足 .记 的轨迹
为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
22.（12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案
一､选择题：
1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. D 8. B
二､选择题：
9. CD 10. AC 11. ACD 12. BD
三､填空题：
13.1 14. 15. 1 16. ①. 5 ②.
四､解答题：
17. （1） ；（2） .
18. （1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
19.
（1）由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）由题意知： ，
∴ ，同理 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司∴ ，整理得 ，解得 或 ，
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .
20. （1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则 为二面角E-BC-D的平面角,
因为 , 为正三角形,所以 为直角三角形
因为 ,
从而EF=FM=
平面BCD,
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司所以
21. （1） ；（2） .
22. （1）函数的定义域为 ，
又 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）因为 ，故 ，即 ，
故 ，
设 ，由（1）可知不妨设 .
因为 时， ， 时， ，
故 .
先证： ，
若 ， 必成立.
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司若 ， 要证： ，即证 ，而 ，
故即证 ，即证： ，其中 .
设 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，故 在 为增函数，所以 ，
故 ，即 成立，所以 成立，
综上， 成立.
设 ，则 ，
结合 ， 可得： ，
即： ，故 ，
要证： ，即证 ，即证 ，
即证： ，即证： ，
令 ，
则 ，
先证明一个不等式： .
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，故 ，
故 成立
由上述不等式可得当 时， ，故 恒成立，
故 在 上为减函数，故 ，
故 成立，即 成立.
.
综上所述，
扫码关注学科网数学服务号，第一时间获取2021年高考真题、答案、解析
及更多优质数学教学资源
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
学科网（北京）股份有限公司
