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2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题
考试时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1
1. 在3，−7，0，9四个数中，最大的数是（ ）
1
A.3 B. −7 C.0 D.
9
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负
数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
1
−7<0< <3，
9
∴最大的数是：3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又
多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．
【详解】解：根据题意，可得30+20=50，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均
数，众数，方差都会受到影响，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a2⋅a4 =a8 B. 3a3−a3 =2a C. ( ab2 )3 =a3b6 D. ( a+b )2 =a2 +b2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．
【详解】解：a2⋅a4 =a6，故A不符合题意，
3a3−a3 =2a3，故B不符合题意；
( )3
ab2 =a3b6，故C符合题意；
( a+b )2 =a2 +2ab+b2，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法
则是解本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司3x−1≥ x+1
5. 不等式组 的解集是（ ）
x+4>4x−2
A. 1≤ x<2 B. x≤1 C. x>2 D. 1< x≤2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集．
3x−1≥ x+1①
【详解】解：
x+4>4x−2②
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为1≤ x<2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点
F 为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵AB∥OF ，
∴∠1+∠BFO=180°，
∴∠BFO=180°−155°=25°，
∵∠POF =∠2=30°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠3=∠POF +∠BFO=30°+25°=55°；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了
“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中
随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
1 1 1
1
A. B. C. D.
6 8 4 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立
夏”的概率．
【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
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学科网（北京）股份有限公司由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
2 1
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 = ．
12 6
故选：A．
【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和
概率的公式是解题的关键．
k
8. 关于x的函数y =kx−k和 y = (k ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
x
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学
思想和数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题．
k
【详解】解：当k >0时，函数y =kx−k的图象在第一、三、四象限，反比例函数y = (k ≠0)的图象
x
在第一、三象限；
k
当k <0时，函数y =kx−k的图象在第一、二、四象限，反比例函数y = (k ≠0)的图象在第二、四象
x
限；
结合选项可得出C选项正确．
故选C．
9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送
到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知
快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
900 900 900 900
A. +1= +3 B. −1= −3
x 2x x 2x
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学科网（北京）股份有限公司900 900 900 900
C. +1= −3 D. −1= +3
x 2x x 2x
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程．
【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
900 900
根据题意，得 −1= +3．
x 2x
故选：D．
10. 已知二次函数y = x2 +ax+b=( x−x )( x−x ) （a,b,x ,x 为常数），若1< x < x <3，记t =a+b，
1 2 1 2 1 2
则（ ）
A. −3 的解集．
2 x
8
【答案】（1）反比例函数的表达式为y = − ．
x
（2）15
（3）−8< x<−2或x>0．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，
掌握方程思想和数形结合是解题的关键．
1
y = x+5
（1）联立 2 求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
y =−2x
（2）求得B、C的坐标，利用S =S −S 求得即可；
△AOB △AOC △BOC
（3）根据图象即可求解．
【小问1详解】
1
y = x+5 x=−2
解：联立 2 ，解得 ，
y =−2x
y =4
∴A点坐标为
(−2，4 )
．
k k
将A (−2，4 ) 代入y = ，得4= ．
x −2
∴k =−8．
8
∴反比例函数的表达式为y = − ．
x
【小问2详解】
如图，
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学科网（北京）股份有限公司 1
y = x+5
2 x=−2 x=−8
联立 ，解得： 或 ．
8 y =4 y =1
y =
x
∴B
(−8,1 )
．
1
在y = x + 5中，令y=0，得x=−10．
2
故直线AB与x轴的交点为C
(−10，0 )
．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
1 1 1 1
则S =S −S = ·OC·AM − ·OC·BN = ×10×4− ×10×1=15．
AOB AOC BOC 2 2 2 2
【小问3详解】
由图象可得：
1 k
关于x的不等式 x+5> 的解集为−8< x<−2或x>0．
2 x
22. 2022年 4月 16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样
花费 320 元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多 4 个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模
型成本少20%．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为
25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批
模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元
（2）①w与a的函数关系式为w=6a+900；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利
润，最大利润为1098元
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）等量关系式：320 元购进“天宫”模型的数量=320元购进“神舟”模型的数量−4，据此列
方程，检验合理性，即可求解；
（2）①总利润=“神舟”模型的利润+“天宫”模型的利润，据此即可求解；
100
②可求a≤ ，再由一次函数的增减性，从而可求w=6a+900的最值．
3
【小问1详解】
解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，
320 320
根据题意得： = −4，
x 0.8x
解得x= 20，
经检验，x= 20是原方程的解，
0.8x=16(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
【小问2详解】
解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型 ( 100−a ) 个，
则w=( 35−20 ) a+( 25−16 )( 100−a )
=2a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
1
∴a≤ ( 100−a )，
8
100
解得a≤ ，
3
w=6a+900，6>0，
∴当x=33时，
w =33×6+900=1098（元）；
最大
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润1098元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及
不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作O，使得O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB=60°，PM =3，则所作的O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形
的面积是_________．
【答案】（1）见解析 （2）3 3−π
【解析】
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON ⊥ PA
于N点，然后以O点为圆心，OM 为半径作圆，则O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM ⊥ PB，ON ⊥ PN ，根据切线长定理得到∠MPO=∠NPO=30°，则
∠MON =120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM = 3，然后根据扇形的面积公式，
利用O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形的面积=S 四边形PMON −S 扇形MON 进行计算．
【小问1详解】
解：如图，O为所作；
；
【小问2详解】
解：∵PM 和PN 为O的切线，
1
∴OM ⊥ PB，ON ⊥ PN ，∠MPO=∠NPO= ∠APB=30°，
2
∴∠OMP=∠ONP=90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠MON =180°−∠APB=120°，
在RtPOM 中，∠MPO=30°，
3
∴OM = PM ⋅tan30°= ×3= 3，
3
∴O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形的面积
=S −S
四边形PMON 扇形MON
( )2
120×π× 3
1
=2× ×3× 3−
2 360
=3 3−π．
故答案为：3 3−π．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
24. 定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)，点Q ( c,d ) ，若c=ka，d =−kb，其中k为常数，且
k ≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点
(−4,6 )
是点
(
2,3
)
的“−2级变换点”．
4
（1）函数y =− 的图象上是否存在点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理
x
由；
1
( )
（2）点At, t−2与其“k级变换点” B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点 m2,y ，
1 2 1 2 1
2
( m2,y ) ．若k ≤−2，求证：y − y ≥2；
2 1 2
（3）关于x的二次函数y =nx2 −4nx−5n ( x≥0 ) 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在
直线y =−x+5上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，k =± 2
1
（2）见解析 （3）n的取值范围为00时和当n<0，x≥0时分类讨论即可．
【小问1详解】
4
解：函数y =− 的图象上存在点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”
x
根据“k级变换点”定义，点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”为 ( k,−2k ) ，
4
把点 ( k,−2k ) 代入y =− 中，
x
得k⋅(−2k )=−4，解得k
=± 2．
【小问2详解】
1
证明：点B为点At, t−2的“k级变换点”，
2
1
∴点B的坐标为kt,− kt+2k．
2
1 1
∴直线l ，l 的解析式分别为y = x−2和 y =− x+2k ．
1 2 2 2
1 1
当x=m2时，y − y = m2 −2− − m2 +2k =m2 −2k−2．
1 2 2 2
k ≤−2，
∴−2k−2≥2．
m2 ≥0，
∴m2 −2k−2≥2．
∴ y − y ≥2．
1 2
【小问3详解】
解：由题意得，二次函数y =nx2 −4nx−5n ( x≥0 ) 的图象上的点的
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学科网（北京）股份有限公司“1级变换点”都在函数y =−nx2 +4nx+5n ( x≥0 ) 的图象上．
由−nx2 +4nx+5n=−x+5，整理得nx2 −( 4n+1 ) x+5−5n=0．
△=
−(4n+1)
2 −4n(5−5n)=36n2 −12n+1=(6n−1)2 ≥0，
∴函数y=−nx2 +4nx+5n的图象与直线y =−x+5必有公共点．
由y =−nx2 +4nx+5n=−n ( x−5 )( x+1 ) 得该公共点为 ( 5,0 ) ．
1
①当n>0时，由( 6n−1 )2 ≠0得n≠ ．
6
又5n≤5得n≤1，
1
∴0
