2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题
考试时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1
1. 在3，−7，0，9四个数中，最大的数是（ ）
1
A.3 B. −7 C.0 D.
9
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负
数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
1
−7<0< <3，
9
∴最大的数是：3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又
多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．
【详解】解：根据题意，可得30+20=50，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均
数，众数，方差都会受到影响，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a2⋅a4 =a8 B. 3a3−a3 =2a C. ( ab2 )3 =a3b6 D. ( a+b )2 =a2 +b2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．
【详解】解：a2⋅a4 =a6，故A不符合题意，
3a3−a3 =2a3，故B不符合题意；
( )3
ab2 =a3b6，故C符合题意；
( a+b )2 =a2 +2ab+b2，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法
则是解本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司3x−1≥ x+1
5. 不等式组 的解集是（ ）
x+4>4x−2
A. 1≤ x<2 B. x≤1 C. x>2 D. 1< x≤2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集．
3x−1≥ x+1①
【详解】解：
x+4>4x−2②
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为1≤ x<2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点
F 为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵AB∥OF ，
∴∠1+∠BFO=180°，
∴∠BFO=180°−155°=25°，
∵∠POF =∠2=30°，
第3页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴∠3=∠POF +∠BFO=30°+25°=55°；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了
“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中
随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
1 1 1
1
A. B. C. D.
6 8 4 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立
夏”的概率．
【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
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学科网（北京）股份有限公司由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
2 1
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 = ．
12 6
故选：A．
【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和
概率的公式是解题的关键．
k
8. 关于x的函数y =kx−k和 y = (k ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
x
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学
思想和数形结合的思想解答．
根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题．
k
【详解】解：当k >0时，函数y =kx−k的图象在第一、三、四象限，反比例函数y = (k ≠0)的图象
x
在第一、三象限；
k
当k <0时，函数y =kx−k的图象在第一、二、四象限，反比例函数y = (k ≠0)的图象在第二、四象
x
限；
结合选项可得出C选项正确．
故选C．
9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送
到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知
快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
900 900 900 900
A. +1= +3 B. −1= −3
x 2x x 2x
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学科网（北京）股份有限公司900 900 900 900
C. +1= −3 D. −1= +3
x 2x x 2x
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程．
【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
900 900
根据题意，得 −1= +3．
x 2x
故选：D．
10. 已知二次函数y = x2 +ax+b=( x−x )( x−x ) （a,b,x ,x 为常数），若1< x < x <3，记t =a+b，
1 2 1 2 1 2
则（ ）
A. −3<t <0 B. −1<t <0 C. −1<t <3 D. 0<t <3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得a = −(x + x )，b= x x ，从而得到a+b=(x −1)(x −1)−1，再根据
1 2 1 2 1 2
1< x < x <3可得−1<( x −1 )( x −1 )−1<3，由此即可得到答案．
1 2 1 2
【详解】解：∵二次函数y = x2 +ax+b=( x−x )( x−x ) ，1< x < x <3，
1 2 1 2
∴x，x是方程x2 +ax+b=0的两个根，
1 2
∴a = −(x + x )，b= x x ，
1 2 1 2
∴a+b= −(x + x )+ x x ，
1 2 1 2
∴a+b=(x −1)(x −1)−1，
1 2
∵1< x < x <3，
1 2
∴0< x −1< x −1<2，
1 2
∴0<( x −1 )( x −1 )<4，
1 2
∴−1<( x −1 )( x −1 )−1<3，
1 2
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学科网（北京）股份有限公司∴−1<a+b<3，
∴−1<t <3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到a+b=(x −1)(x −1)−1是解
1 2
题的关键．
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分．）
11. 某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为________米．
【答案】2.5×10-5
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000025=2.5×10-5
故答案为：2.5×10-5．
12. 分解因式：2x2 −8=______．
【答案】2 ( x+2 )( x−2 )
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：2x2 −8=2 ( x2 −4 ) =2(x+2)(x−2)，
故答案为：2 ( x+2 )( x−2 )．
13. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高
度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y =−2x2 +4x+1，喷出
水珠的最大高度是______m．
【答案】3
第7页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：∵y =−2x2 +4x+1=−2(x−1)2 +3，
∴当x=1时，y =3，
最大值
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
14. 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B=30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB
1
于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于
2
点D．则CD与BD的数量关系是____．
1
【答案】CD= BD
2
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质可得∠BAC =60°，再根据角平分线的尺规作图可知AD平分∠BAC，
从而可得∠CAD=∠BAD=30°，然后根据等腰三角形的定义可得AD= BD，最后根据直角三角形的性
1
质可得CD= AD，由此即可得出答案．
2
【详解】解：在RtABC中，∠C =90°，∠B=30°，
∴∠BAC =90°−∠B=60°，
由角平分线的尺规作图可知，AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC =30°，
2
∴∠B =∠BAD，
∴AD = BD，
在 RtACD中，∠C =90°，∠CAD=30°，
1
∴CD= AD，
2
1
∴CD= BD，
2
第8页/共26页
学科网（北京）股份有限公司1
故答案为：CD= BD．
2
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含30°角的直角三角形，熟练掌握角平分
线的尺规作图是解题关键．
15. 如图，AB是O的直径，点C在圆上．将 AC沿AC翻折与AB交于点D．若OA=3cm,B C的度
数为40°，则 AD=____________cm．
5
【答案】 π
3
【解析】
【分析】如图：作 D关于AC的对称点 E，连接AE,BE,OE,则AD= AE ，然后再根据B C的度数为40°
可知∠CAB=20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE =180°−80°=100°，最后运用弧长
公式即可解答．
【详解】解：如图：作D关于AC的对称点E，连接AE,BE,OE,则AD= AE ，
∵B C的度数为40°，
∴∠CAB=20°，
∴∠EAB=2∠CAB=40°
∴∠EOB=2∠EAB=80°，
∴∠AOE =180°−80°=100°，
100°×2π×3 5
∴»
AE
的长度为 = π，
360° 3
5
∴
AD
的长度为 π．
3
第9页/共26页
学科网（北京）股份有限公司5
故答案为 π．
3
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得»
AE
的度数是解答本题的关键．
16. 如图，DE 平分等边ABC 的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC 分别与DF,EF 相交于G,H 两
点．若DG =m,EH =n，用含m,n的式子表示GH 的长是________．
【答案】 m2 +n2
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得S =S ，∠F =∠B =60°，从而可得S =S +S ，再
△BDE △FDE FHG ADG CHE
根据相似三角形的判定可证 ADG∽FHG,CHE∽FHG ，根据相似三角形的性质可得
S DG 2 m2 S EH 2 n2
ADG =
= ， CHE =
= ，然后将两个等式相加即可得．
S GH GH2 S GH GH2
FHG FHG
【详解】解：ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C =60°，
∵折叠△BDE得到VFDE，
∴BDE≌FDE，
∴S =S ，∠F =∠B=60°=∠A=∠C，
BDE FDE
DE平分等边ABC 的面积，
第10页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴S =S =S ，
梯形ACED BDE FDE
∴S =S +S ，
FHG ADG CHE
又∠AGD=∠FGH,∠CHE =∠FHG，
∴ADG∽FHG,CHE∽FHG，
S DG 2 m2 S EH 2 n2
∴ ADG =
= ， CHE =
= ，
S GH GH2 S GH GH2
FHG FHG
S S m2 +n2 S +S
∴ ADG + CHE = = ADG CHE =1，
S S GH2 S
FHG FHG FHG
∴GH2 =m2 +n2，
解得GH = m2 +n2 或GH =− m2 +n2 （不符合题意，舍去），
故答案为： m2 +n2 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：x2 −2x =4
【答案】x =1+ 5，x =1− 5．
1 2
【解析】
【分析】根据配方法即可求解．
【详解】x2 −2x =4
x2 −2x+1=5
(x−1)2 =5
x−1=± 5
∴x =1+ 5，x =1− 5．
1 2
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是配方法的应用．
18. 如图，AB//CD，∠B=∠D，直线EF 与AD，BC的延长线分别交于点E，F ．求证：
∠DEF =∠F ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件AB//CD，∠B=∠D，得到∠DCF =∠D，从而得到AD//BC ，即可证明
∠DEF =∠F ．
【详解】证明：∵AB//CD，
∴∠DCF =∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠DCF =∠D．
∴AD//BC ．
∴∠DEF =∠F ．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位
角相等，两直线平行．
1−x x2
19. 先化简，再求值：1+ ÷ ，其中x满足x2 −x−1=0
x+1 x2 +2x+1
2 ( x+1 )
【答案】 ，2．
x2
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式
2 ( x+1 )
= ，然后根据x2 −x−1=0，得x2 = x+1，最后把x2 = x+1代入计算即可求解，解题的关键是对
x2
相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用．
1−x x2
【详解】解：1+
÷
x+1 x2 +2x+1
x+1 1−x ( x+1 )2
=
+
×
x+1 x+1 x2
2 ( x+1 )2
= ×
x+1 x2
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学科网（北京）股份有限公司2 ( x+1 )
= ，
x2
∵x2 −x−1=0，
∴x2 = x+1，
2 ( x+1 )
∴原式= =2．
x+1
20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制
了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450 （2）36°
（3）见解析 （4）2500人
【解析】
【分析】（1）根据C的人数是117人，所占的比例是26%，据此即可求得此次调查的样本容量；
（2）用A类学生数除以450，再乘以360°即可得解；
（3）利用总人数减去A、C、D三类的人数即可求得B的人数，从而补全直方图；
（4）利用总人数25000乘以对应的百分比即可求得．
【小问1详解】
解：117÷26%=450，
答：此次调查的样本容量为是450，
第13页/共26页
学科网（北京）股份有限公司故答案为450．
【小问2详解】
45
解： ×360°=36°，
450
故答案为36°；
【小问3详解】
解：450−45−117−233=55
补全图形如下：
【小问4详解】
45
解：25000× =2500（人）
450
答：九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数共有2500人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
1 k
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = x + 5和 y =−2x的图象相于点 A，反比例函数y =
2 x
的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
1 k
（2）设一次函数y = x + 5的图象与反比例函数y＝ 的图象的另一个交点为B，连接OB，求
2 x
第14页/共26页
学科网（北京）股份有限公司ABO的面积；
1 k
（3）根据图象直接写出关于x的不等式 x+5> 的解集．
2 x
8
【答案】（1）反比例函数的表达式为y = − ．
x
（2）15
（3）−8< x<−2或x>0．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，
掌握方程思想和数形结合是解题的关键．
1
y = x+5
（1）联立 2 求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
y =−2x
（2）求得B、C的坐标，利用S =S −S 求得即可；
△AOB △AOC △BOC
（3）根据图象即可求解．
【小问1详解】
1
y = x+5 x=−2
解：联立 2 ，解得 ，
y =−2x
y =4
∴A点坐标为
(−2，4 )
．
k k
将A (−2，4 ) 代入y = ，得4= ．
x −2
∴k =−8．
8
∴反比例函数的表达式为y = − ．
x
【小问2详解】
如图，
第15页/共26页
学科网（北京）股份有限公司 1
y = x+5
2 x=−2 x=−8
联立 ，解得： 或 ．
8 y =4 y =1
y =
x
∴B
(−8,1 )
．
1
在y = x + 5中，令y=0，得x=−10．
2
故直线AB与x轴的交点为C
(−10，0 )
．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
1 1 1 1
则S =S −S = ·OC·AM − ·OC·BN = ×10×4− ×10×1=15．
AOB AOC BOC 2 2 2 2
【小问3详解】
由图象可得：
1 k
关于x的不等式 x+5> 的解集为−8< x<−2或x>0．
2 x
22. 2022年 4月 16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样
花费 320 元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多 4 个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模
型成本少20%．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为
25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批
模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元
（2）①w与a的函数关系式为w=6a+900；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利
润，最大利润为1098元
第16页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）等量关系式：320 元购进“天宫”模型的数量=320元购进“神舟”模型的数量−4，据此列
方程，检验合理性，即可求解；
（2）①总利润=“神舟”模型的利润+“天宫”模型的利润，据此即可求解；
100
②可求a≤ ，再由一次函数的增减性，从而可求w=6a+900的最值．
3
【小问1详解】
解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，
320 320
根据题意得： = −4，
x 0.8x
解得x= 20，
经检验，x= 20是原方程的解，
0.8x=16(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
【小问2详解】
解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型 ( 100−a ) 个，
则w=( 35−20 ) a+( 25−16 )( 100−a )
=2a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
1
∴a≤ ( 100−a )，
8
100
解得a≤ ，
3
w=6a+900，6>0，
∴当x=33时，
w =33×6+900=1098（元）；
最大
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润1098元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及
不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键．
第17页/共26页
学科网（北京）股份有限公司23. 如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作O，使得O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB=60°，PM =3，则所作的O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形
的面积是_________．
【答案】（1）见解析 （2）3 3−π
【解析】
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON ⊥ PA
于N点，然后以O点为圆心，OM 为半径作圆，则O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM ⊥ PB，ON ⊥ PN ，根据切线长定理得到∠MPO=∠NPO=30°，则
∠MON =120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM = 3，然后根据扇形的面积公式，
利用O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形的面积=S 四边形PMON −S 扇形MON 进行计算．
【小问1详解】
解：如图，O为所作；
；
【小问2详解】
解：∵PM 和PN 为O的切线，
1
∴OM ⊥ PB，ON ⊥ PN ，∠MPO=∠NPO= ∠APB=30°，
2
∴∠OMP=∠ONP=90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠MON =180°−∠APB=120°，
在RtPOM 中，∠MPO=30°，
3
∴OM = PM ⋅tan30°= ×3= 3，
3
∴O的劣弧M N 与PM、PN 所围成图形的面积
=S −S
四边形PMON 扇形MON
( )2
120×π× 3
1
=2× ×3× 3−
2 360
=3 3−π．
故答案为：3 3−π．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
24. 定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)，点Q ( c,d ) ，若c=ka，d =−kb，其中k为常数，且
k ≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点
(−4,6 )
是点
(
2,3
)
的“−2级变换点”．
4
（1）函数y =− 的图象上是否存在点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理
x
由；
1
( )
（2）点At, t−2与其“k级变换点” B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点 m2,y ，
1 2 1 2 1
2
( m2,y ) ．若k ≤−2，求证：y − y ≥2；
2 1 2
（3）关于x的二次函数y =nx2 −4nx−5n ( x≥0 ) 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在
直线y =−x+5上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，k =± 2
1
（2）见解析 （3）n的取值范围为0<n≤1且n≠
6
【解析】
【分析】（1）根据“k级变换点”定义求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司 1 1 1
（2）求出点B的坐标为kt,− kt+2k，得到直线l ，l 的解析式分别为y = x−2和 y =− x+2k ，
2 1 2 2 2
根据k ≤−2进行证明．
（3）由题意得，二次函数y =nx2 −4nx−5n ( x≥0 ) 的图象上的点的“1级变换点”都在函数
y =−nx2 +4nx+5n ( x≥0 ) 的图象上，得到函数y =−nx2 +4nx+5n的图象与直线y =−x+5必有公共
点．分当n>0时和当n<0，x≥0时分类讨论即可．
【小问1详解】
4
解：函数y =− 的图象上存在点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”
x
根据“k级变换点”定义，点 ( 1,2 ) 的“k级变换点”为 ( k,−2k ) ，
4
把点 ( k,−2k ) 代入y =− 中，
x
得k⋅(−2k )=−4，解得k
=± 2．
【小问2详解】
1
证明：点B为点At, t−2的“k级变换点”，
2
1
∴点B的坐标为kt,− kt+2k．
2
1 1
∴直线l ，l 的解析式分别为y = x−2和 y =− x+2k ．
1 2 2 2
1 1
当x=m2时，y − y = m2 −2− − m2 +2k =m2 −2k−2．
1 2 2 2
k ≤−2，
∴−2k−2≥2．
m2 ≥0，
∴m2 −2k−2≥2．
∴ y − y ≥2．
1 2
【小问3详解】
解：由题意得，二次函数y =nx2 −4nx−5n ( x≥0 ) 的图象上的点的
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学科网（北京）股份有限公司“1级变换点”都在函数y =−nx2 +4nx+5n ( x≥0 ) 的图象上．
由−nx2 +4nx+5n=−x+5，整理得nx2 −( 4n+1 ) x+5−5n=0．
△=
−(4n+1)
2 −4n(5−5n)=36n2 −12n+1=(6n−1)2 ≥0，
∴函数y=−nx2 +4nx+5n的图象与直线y =−x+5必有公共点．
由y =−nx2 +4nx+5n=−n ( x−5 )( x+1 ) 得该公共点为 ( 5,0 ) ．
1
①当n>0时，由( 6n−1 )2 ≠0得n≠ ．
6
又5n≤5得n≤1，
1
∴0<n≤1且n≠ ．
6
②当n<0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
1
综上，n的取值范围为0<n≤1且n≠ ．
6
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
25. 如图1，在ABC中，AB= AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN ．
初步尝试：（1）MN 与AC的数量关系是 ，MN 与AC的位置关系是 ．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC =90°， BC =4 2，先将BMN 绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得
到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF ．
①求∠BCF 的度数；
②求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC <90°，将BMN 绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF ．当旋
转角α满足0°<α<360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF 的
数量关系，并说明理由．
1
【答案】（1） MN = AC ，平行；（2）①30 度；② 6 2−2 6 ；（3） ∠BAE =∠ABF 或
2
∠BAE+∠ABF =180°
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）AB= AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN 是ABC的中位线，即可得出结
论；
（2）特例研讨：①连接EM，MN，NF ，证明BME是等边三角形，BNF是等边三角形，得出
∠FCB=30°；
DN AN 2 2
②连接AN，证明ADN∽BDE，则 = = = 2，设DE = x，则DN = 2x，在
DE BE 2
Rt△ABE中，BE =2，AE =2 3，则AD=2 3−x，在Rt△ADN中，AD2 = DN2 + AN2，勾股
定理求得x =4−2 3，则CD= DN +CN = 2x+2 2 =6 2−2 6 ；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC =∠ACB=θ，则
∠BAC =180°−2θ，得出∠BEC+∠BAC =180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定
理得出∠EAC =∠EBC =α−θ，表示∠BAE与∠ABF ，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，
C在同一个圆上，设∠ABC =∠ACB=θ，则∠BAC =∠BEF =180°−2θ，设∠NBF =β，则
∠EBM =β，则α+β=360°，表示∠BAE与∠ABF ，即可求解．
【详解】解：（1）∵AB= AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，
∴MN 是ABC的中位线，
1
∴MN = AC ，MN∥AC ；
2
1
故答案为：MN = BC，MN∥AC ；
2
（2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF ，
∵MN 是BAC的中位线，
∴MN∥AC ，
∴∠BMN =∠BAC =90°，
∵将BMN 绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，
第22页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴BE = BM，BF = BN；∠BEF =∠BMN =90°，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴∠AEB=∠BEF =90°，
在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，
1
∴ME = AB=MB，
2
∴BM =ME = BE，
∴BME是等边三角形，
∴∠ABE =60°，即旋转角α=60°，
∴∠NBF =60°，BN = BF ，
∴BNF是等边三角形，
又∵BN = NC，BN = NF，
∴NF = NC，
∴∠NCF =∠NFC，
∴∠BNF =∠NCF +∠NFC =2∠NFC =60°，
∴∠FCB=30°；
1
②如图所示，连接AN，AN = BC =2 2
2
∵AB = AC，∠BAC =90° ，BC =4 2，
2
∴AB= BC =4，∠ACB=∠ABC =45°，
2
∵∠ADN =∠BDE，∠ANB=∠BED=90°，
∴ADN∽BDE，
DN AN 2 2
∴ = = = 2，
DE BE 2
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学科网（北京）股份有限公司设DE = x，则DN = 2x，
在Rt△ABE中，BE =2，AE =2 3，则AD=2 3−x，
在Rt△ADN中，AD2 = DN2 + AN2，
∴(2 3−x)2 =( 2x)2 +(2 2)2，
解得：x =4−2 3 或 x=-2 3- 4 （舍去），
∴CD= DN +CN = 2x+2 2 =6 2−2 6；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，
∵AB= AC，
∴∠ABC =∠ACB，设∠ABC =∠ACB=θ，则∠BAC =180°−2θ，
∵MN 是ABC的中位线，
∴MN∥AC ，
∴∠MNB=∠MBN =θ，
∵将BMN 绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，
∴EBF≌MBN，∠MBE =∠NBF =α，
∴∠EBF =∠EFB=θ，
∴∠BEF =180°−2θ，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴∠BEC =2θ，
∴∠BEC+∠BAC =180°，
∴A，B，E，C在同一个圆上，
第24页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴∠EAC =∠EBC =α−θ，
∴∠BAE =∠BAC−∠EAC =（180°−2θ）−（α−θ）=180°−α−θ，
∵∠ABF =α+θ，
∴∠BAE+∠ABF =180°，
如图所示，当F在EC上时，
∵∠BEF =∠BAC，BC = BC，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC =∠ACB=θ，则∠BAC =∠BEF =180°−2θ，
将BMN 绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，
∴∠MBN =∠EBF ，
∴∠NBF =∠EBM .
设∠NBF =β，则∠EBM =β，则α+β=360°，
∴∠ABF =θ−β，
∵∠BFE =∠EBF =θ，∠EFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ECB=∠FCB=∠EFB−∠FBC =θ−β，
∵ E B = E B ，
∴∠EAB=∠ECB=θ−β，
∴∠BAE =∠ABF ，
综上所述，∠BAE =∠ABF 或∠BAE+∠ABF =180°．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质
与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性
质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．
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