文档内容
2015年河北省中考数学试卷
一.选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个选项中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•河北）计算：3 2×（﹣1）=（ ）
﹣
A5 B 1 C 1 D 6
﹣
． ． ． ．
2．（3分）（2015•河北）下列说法正确的是（ ）
A1的相反数是﹣1 B 1的倒数是﹣1
． ．
C 1的立方根是±1 D 1是无理数
． ．﹣
3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小
孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A B C D
． ． ． ．
4．（3分）（2015•河北）下列运算正确的是（ ）
A B 6×107=6000000
（ ）﹣1=
． ．
﹣
C （2a）2=2a2 D a3•a2=a5
． ．
5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）
A B C D
． ． ． ．6．（3分）（2015•河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外
心不是点O的是（ ）
A△ABE B △ACF C △ABD D △ADE
． ． ． ．
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（ ）
A段① B 段② C 段③ D 段④
． ． ． ．
8．（3分）（2015•河北）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A120° B 130° C 140° D 150°
． ． ． ．
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东
30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）
A B C D
． ． ． ．
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）
成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）A B C D
． ． ． ．
11．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（
）
A要消去y，可以将①×5+②×2 B 要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
． ．
C 要消去y，可以将①×5+②×3 D 要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
． ．
12．（2分）（2015•河北）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）
Aa＜1 B a＞1 C a≤1 D a≥1
． ． ． ．
13．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3
相差2的概率是（ ）
A B C D
． ． ． ．
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l：y= x 3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，
﹣ ﹣
则a可能在（ ）
A1＜a＜2 B 2＜a＜0 C 3≤a≤ 2 D 10＜a＜﹣4
． ．﹣ ． ﹣ ﹣ ．﹣
15．（2分）（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为
PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）A②③ B ②⑤ C ①③④ D ④⑤
． ． ． ．
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各
自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A甲、乙都可以 B 甲、乙都不可以
． ．
C 甲不可以、乙可以 D 甲可以、乙不可以
． ．
二.填空题（4个小题，每小题3分，共12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=20150，则a= ．
18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则 的值为 ．
19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边
重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1 ∠2= ．
﹣
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A ，得第2条线段A A ；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段A A ；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．三.解答题（共6个小题，共66分）
21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所
示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x= +1，求所捂二次三项式的值．
22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”
是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．
23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入
该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入
容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大 ，求y与x大 的函数关系式（不必写出x大 的范围）；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小
①求y与x小 的函数关系式（不必写出x小 范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？24．（11分）（2015•河北）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人
员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
A，B产品单价变化统计表
第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
=5.9，s 2= [（6 5.9）2+（5.2 5.9）2+（6.5 5.9）2 =
A
﹣ ﹣ ﹣
（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次] 的单价比上一次的单价降低了
%
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m
＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．
25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y= （x h）
﹣ ﹣
2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点（x ，y ），（x ，y ），其中x ＞x ≥0，
c c 1 1 2 2 1 2
比较y 与y 的大小；
1 2
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长
DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD
位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α
（0°≤α≤60°）．
发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是
多少时，OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数
式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．2015 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（1-10小题每小题3分，11-16小题每小题3分，共42分每小题的四个选项中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•河北）计算：3 2×（﹣1）=（ ）
﹣
A5 B 1 C 1 D 6
﹣
． ． ． ．
考点：有理数的混合运算．
菁优网版权所有
分析：先算乘法，再算减法，由此顺序计算即可．
解答：解：原式=3 （﹣2）
﹣
=3+2
=5．
故选：A．
点评：此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的关键．
2．（3分）（2015•河北）下列说法正确的是（ ）
A1的相反数是﹣1 B 1的倒数是﹣1
． ．
C 1的立方根是±1 D 1是无理数
． ．﹣
考点：立方根；相反数；倒数；无理数．
菁优网版权所有
分析：根据相反数、倒数、立方根，即可解答．
解答：解：A、1的相反数是﹣1，正确；
B、1的倒数是1，故错误；
C、1的立方根是1，故错误；
D、﹣1是有理数，故错误；
故选：A．
点评：本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定
义．
3．（3分）（2015•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小
孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：剪纸问题．
菁优网版权所有
分析：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解答：解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结
论．故选C．
点评：此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要
注意培养．
4．（3分）（2015•河北）下列运算正确的是（ ）
A B 6×107=6000000
（ ）﹣1=
． ．
﹣
C （2a）2=2a2 D a3•a2=a5
． ．
考点：幂的乘方与积的乘方；科学记数法—原数；同底数幂的乘法；负整数指数幂．
菁优网版权所有
分析：A：根据负整数指数幂的运算方法判断即可．
B：科学记数法a×10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动
n位所得到的数，据此判断即可．
C：根据积的乘方的运算方法判断即可．
D：根据同底数幂的乘法法则判断即可．
解答：
解：∵ =2，
∴选项A不正确；
6×107=60000000，
∵
∴选项B不正确；
∵（2a）2=4a2，
∴选项C不正确；
a3•a2=a5，
∵
∴选项D正确．
故选：D．
点评：（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a
﹣
p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练
掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是
底数不变，指数相加．
（4）此题还考查了科学计数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：科学记
数法a×10n表示的数“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得
到的数．若科学记数法表示较小的数a×10 n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左
﹣
移动n位得到原数．
5．（3分）（2015•河北）如图所示的三视图所对应的几何体是（ ）A B C D
． ． ． ．
考点：由三视图判断几何体．
菁优网版权所有
分析：对所给四个几何体，分别从主视图和俯视图进行判断．
解答：解：从主视图可判断A错误；从俯视图可判断C、D错误．
故选B．
点评：本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视
图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体
形状．
6．（3分）（2015•河北）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外
心不是点O的是（ ）
A△ABE B △ACF C △ABD D △ADE
． ． ． ．
考点：三角形的外接圆与外心．
菁优网版权所有
分析：利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，进而判断得出即可．
解答：解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
点评：此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
7．（3分）（2015•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（ ）
A段① B 段② C 段③ D 段④
． ． ． ．考点：估算无理数的大小；实数与数轴．
菁优网版权所有
分析：根据数的平方，即可解答．
解答：解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，
7.84＜8＜8.41，
∵
∴ ，
∴ 的点落在段③，
故选：C．
点评：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．
8．（3分）（2015•河北）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A120° B 130° C 140° D 150°
． ． ． ．
考点：平行线的性质；垂线．
菁优网版权所有
分析：如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质
求出∠ACD即可解决问题．
解答：解：如图，延长AC交EF于点G；
AB EF，
∵ ∥
∴∠DGC=∠BAC=50°；
CD EF，
∵ ⊥
∴∠CDG=90°，
∴∠ACD=90°+50°=140°，
故选C．
点评：该题主要考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应
用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的
性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．
9．（3分）（2015•河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东
30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：方向角．
菁优网版权所有
分析：根据方向角的定义，即可解答．解答：解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
点评：本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
10．（3分）（2015•河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）
成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．
菁优网版权所有
分析：
设y= （k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解答：
解：设y= （k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y= ，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
点评：此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出
函数的图象．
11．（2分）（2015•河北）利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（
）
A要消去y，可以将①×5+②×2 B 要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
． ．
C 要消去y，可以将①×5+②×3 D 要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
． ．
考点：解二元一次方程组．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解：利用加减消元法解方程组 ，要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2．
故选D
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
12．（2分）（2015•河北）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）
Aa＜1 B a＞1 C a≤1 D a≥1
． ． ． ．考点：根的判别式．
菁优网版权所有
分析：根据根的判别式得出b2 4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
﹣
解答：解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2 4ac=22 4×1×a＜0，
﹣ ﹣
解得：a＞1．
故选B．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况
与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
⇔
13．（2分）（2015•河北）将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3
相差2的概率是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点：概率公式．
菁优网版权所有
分析：由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，
向上的一面的点数为与点数3相差2的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得
答案．
解答：解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰
子，向上的一面的点数为点数3相差2的有2种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为点数3相差2的概率是： = ．
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
14．（2分）（2015•河北）如图，直线l：y= x 3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，
﹣ ﹣
则a可能在（ ）
A1＜a＜2 B 2＜a＜0 C 3≤a≤ 2 D 10＜a＜﹣4
． ．﹣ ． ﹣ ﹣ ．﹣
考点：两条直线相交或平行问题．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
先求出直线y= x 3与y轴的交点，则根据题意得到a＜﹣3时，直线y= x 3与
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，而四个选项中，只有﹣10＜a＜﹣4满足条件，
故选D．
解答：
解：∵直线y= x 3与y轴的交点为（0，﹣3），
﹣ ﹣而直线y= x 3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，
﹣ ﹣
∴a＜﹣3．
故选D．
点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应
的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它
们的自变量系数相同，即k值相同．
15．（2分）（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为
PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A②③ B ②⑤ C ①③④ D ④⑤
． ． ． ．
考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．
菁优网版权所有
分析：
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN= AB，从而判断
出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离
不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相
等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN= AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∵
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选B．
点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形
的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
16．（2分）（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各
自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A甲、乙都可以 B 甲、乙都不可以
． ．
C 甲不可以、乙可以 D 甲可以、乙不可以
． ．
考点：图形的剪拼．
菁优网版权所有
分析：根据图形可得甲可以拼一个边长为 的正方形，图乙可以拼一个边长为 的正方
形．
解答：解：所作图形如图所示，
甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选A．
点评：本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．
二.填空题（4个小题，每小题3分，共12分）
17．（3分）（2015•河北）若|a|=20150，则a= ± 1 ．
考点：绝对值；零指数幂．
菁优网版权所有
分析：先根据0次幂，得到|a|=1，再根据互为相反数的绝对值相等，即可解答．
解答：解：∵|a|=20150，
∴|a|=1，
∴a=±1，
故答案为：±1．
点评：本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记互为相反数的两个数绝对值相等．
18．（3分）（2015•河北）若a=2b≠0，则 的值为 ．
考点：分式的化简求值．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：把a=2b代入原式计算，约分即可得到结果．
解答：解：∵a=2b，
∴原式= = ，
故答案为：
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（3分）（2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边
重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1 ∠2= 24 ° ．
﹣
考点：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
分析：首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个
内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1 ∠2
﹣
的度数即可．
解答：解：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：
（5 2）×180°÷5
﹣
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：
（6 2）×180°÷6
﹣
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1 ∠2
﹣
=（90° 60°）+（120° 108°）﹣（108° 90°）
﹣ ﹣ ﹣
=30°+12° 18°
﹣
=24°．
故答案为：24°．
点评：此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边
形的内角和=（n 2）•180（ n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一
﹣
个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
20．（3分）（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A ，得第2条线段A A ；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段A A ；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
考点：等腰三角形的性质．
菁优网版权所有
分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A AB的度数，∠A A C的度
1 2 1
数，∠A A B的度数，∠A A C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°
3 2 4 3即可求解．
解答：解：由题意可知：AO=A A，A A=A A ，…，
1 1 2 1
则∠AOA
1
=∠OA
1
A，∠A
1
OA
2
=∠A
1
A
2
A，…，
BOC=9°，
∵∠
∴∠A
1
AB=18°，∠A
2
A
1
C=27°，∠A
3
A
2
B=36°的度数，∠A
4
A
3
C=45，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
故答案为：9．
点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的
一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三.解答题（共6个小题，共66分）
21．（10分）（2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所
示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x= +1，求所捂二次三项式的值．
考点：整式的混合运算—化简求值．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把x的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）设所捂的二次三项式为A，
根据题意得：A=x2 5x+1+3x=x2 2x+1；
﹣ ﹣
（2）当x= +1时，原式=7+2 2 2+1=6．
﹣ ﹣
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（10分）（2015•河北）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”
是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB= CD
求证：四边形ABCD是 平行 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别相等 ．
考点：平行四边形的判定；命题与定理．
菁优网版权所有
分析：（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四
边形；
（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD △CDB可得∠ADB=∠DBC，
≌
∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行
四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行
四边形两组对边分别相等．
解答：解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：连接BD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD △CDB（SSS），
≌
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四
边形．
23．（10分）（2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入
该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入
容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大 ，求y与x大 的函数关系式（不必写出x大 的范围）；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小
①求y与x小 的函数关系式（不必写出x小 范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
考点：一次函数的应用．
菁优网版权所有
分析：（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；
（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；
②根据题意列出不等式，即可解答．
解答：解：（1）根据题意得：y=4x大+210；
（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，
∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，
解得： ，
x小 为自然数，
∵
∴x小 最大为8，即最多能放入8个小球．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次
不等式．
24．（11分）（2015•河北）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人
员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
A，B产品单价变化统计表
第一次 第二次 第三次
A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5
B产品单价（元/件） 3.5 4 3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
=5.9，s 2= [（6 5.9）2+（5.2 5.9）2+（6.5 5.9）2 =
A
﹣ ﹣ ﹣
（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的] 单价比上一次的单价降低了 2 5
%
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m
＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．
考点：方差；统计表；折线统计图；算术平均数；中位数．
菁优网版权所有
分析：（1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；
（2）分别计算平均数及方差即可；
（3）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A产品这四次
单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1”列式求m即可．
解答：解：（1）如图2所示：B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 =25%，
（2） = （3.5+4+3）=3.5，
= = ，
B产品的方差小，
∵
∴B产品的单价波动小；
（3）第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为 = ；
对于B产品，∵m＜0，
∴第四次单价大于3，
1＞ ，
∵ ﹣
∴第四次单价小于4，
∴ ×2 1= ，
﹣
∴m=25．
点评：本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识，解题的关键是根据方差公
式进行有关的运算，难度不大．
25．（11分）（2015•河北）如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y= （x h）
﹣ ﹣
2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y ，求y 的最大值，此时l上有两点（x ，y ），（x ，y ），其中x ＞x ≥0，
c c 1 1 2 2 1 2
比较y 与y 的大小；
1 2
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
考点：二次函数综合题．
菁优网版权所有分析：（1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；
利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：y = h2+1，则由二次函数的最值的求法易得
C
﹣
y 的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y 与y 的大
c 1 2
小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A（﹣5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的
比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，
0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．
解答：解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y= （x h）2+1，得
﹣ ﹣
1= （2 h）2+1．
﹣ ﹣
解得h=2．
则该函数解析式为y= （x 2）2+1（或y= x2+4x 3）．
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
（2）点C的横坐标为0，则y = h2+1．
C
﹣
当h=0时，y =有最大值1，
C
此时，抛物线l为：y= x2+1，对称轴为y轴，开口方向向下，
﹣
所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，
所以，x ＞x ≥0，y ＜y ；
1 2 1 2
（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（﹣5，0），
∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．
把x= 1，y=0代入y= （x h）2+1，得
﹣ ﹣ ﹣
0= （﹣1 h）2+1，
﹣ ﹣
解得h =0，h = 2．
1 2
﹣
但是当h= 2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x ﹣ = 4，y=0代入y= （x h）2+1，得
﹣ ﹣ ﹣
h= 5或h= 3（舍去）．
﹣ ﹣
综上所述，h的值是0或﹣5．
点评：本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数
图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综
合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍．
26．（14分）（2015•河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长
DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD
位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α
（0°≤α≤60° ）．
发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，
OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数
式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．考点：圆的综合题．
菁优网版权所有
分析：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得
α=60° 45°=15°；
﹣
（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有
AP≥OP OA=2 1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果
﹣ ﹣
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作
RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°
﹣
30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结
果；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON △BMN求出
∽
BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=
AO=2 1，求出x的取值范围是0＜x≤ 1；
﹣ ﹣ ﹣
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分
别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，求出
OS= =2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2 ，KO′=2 在R t△KGO′
﹣
中，∠O′=30°，求得KG= KO′= ，在R t△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD
﹣
相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且
为切点，得到α=60°于是结论可求．
解答：解：发现：（1）在，
当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60° 45°=15°；
﹣
（2）如图2，连接AP，
OA+AP≥OP，
∵
当OP过点A，即α=60°时，等号成立，
∴AP≥OP OA=2 1=1，
﹣ ﹣
∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，
∴PA的最小值=1；
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60° 30°=30°，
﹣
AD BC，
∵ ∥∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S扇形KRQ = = ，
在R t△RKE中，RE=RK•sin60°= ，
∴S
△PRK
= •RE= ，∴S阴影= + ；
拓展：如图5，
OAN= MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∵∠ ∠
∴△AON △BMN，
∽
∴ ，即 ，
∴BN= ，
如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=
AO=2 1，
﹣ ﹣
∴x的取值范围是0＜x≤ 1；
﹣
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分
别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，
OS= =2，
在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2 ，KO′=2 ，
﹣
在R t△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG= KO′= ，
﹣
∴在R t△OGK中，sinα= = = ，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα= = =
= ；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，
∴α=60°，
∴sinα=sin60 ，
综上所述sinα的值为： 或 或 ．点评：本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正
确的画出图形是解题的关键．
