文档内容
几何-曲线型几何-圆-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆 B 1.了解有关圆的概念和性质 少考
2.学习圆的周长和面积公式的推导
3.运用圆的性质以及周长和面积公
式进行计算
知识提要
圆
概念
圆是由一条曲线围成的平面图形．
圆中心的一点叫圆心，用 O 表示．
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示．
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示．
直径所在的直线是圆的对称轴．
性质
圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；
在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍．d=2r；圆有无数条对称轴；
圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；
所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
公式
圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
精选例题
圆
1. 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆．
哪个图中阴影部分的面积大？为什么？
【答案】 两图中阴影部分的面积相等．
【分析】 设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有
a a a
个圆，从而正方形内部共有 × 个圆，于是这些圆的总面积为：
2r 2r 2r
a a 1
S =πr2 ⋅ ⋅ = πa2 ．
阴影 2r 2r 4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边
长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分
的面积就是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
2. 如图所示，大圆周长是小圆周长的 n(n>1) 倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚
动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【答案】 n-1 或 n+1．
【分析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为 2π×(n-1)．
2π×(n-1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n-1（圈）．
2π⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为 2π×(n+1)．
2π×(n+1)
所以小圆绕自己的圆心转动了： =n+1（圈）．
2π
3. 下图中，阴影部分面积为多少？（AB=3）
【答案】 4.5
【分析】 方法一：阴影=小圆-柳叶=4.5；
方法二：阴影=小正方形EHFG=3×3÷2=4.5．
4. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的
面积是多少？（π 取 3.14）【答案】 20
【分析】 阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成
一个顶角为 60∘ 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分
的面积等于两个圆的面积，为 20．
5. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 26. 如下图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中
的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（π 取 3）
【答案】 19
【分析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看出，与原图相比，
正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补
1
在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图
4
形的面积为 42+π×12=19（平方厘米）．
在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的
图形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关
键。
7. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚
到位置 ②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14，答案保留两位小数．）【答案】 228.07
【分析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示．
半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4π 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面
积之和是
(18+16+14)×4=192(平方厘米);
60∘ 的扇形 BGH 的面积为
1 8π
×42×π= ;
6 3
PIMNO 部分的面积为 (12+π) 平方厘米．
所以总面积为
8π 23
4π+192+ +12+π=204+ π≈228.07(平方厘米).
3 3
8. 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起
始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
【答案】 见解析．
【分析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等
边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180∘-60∘-60∘=60∘.
而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120∘．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的
圆旋转了
360∘-60∘-60∘-90∘=150∘.
而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300∘．
长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一
圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边．
120∘×8+300∘×4=2160∘,
所以这枚硬币转动了 2160∘，即自身转动了 6 圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2π 即滚动了一圈．
