文档内容
几何-曲线型几何-弓形-3 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
弓形 B 1.认识弓形图 少考
2.掌握弓形图计算面积的方法
知识提要
弓形
概念
由弦及其所对的弧所组成的图形叫做弓形。
一般公式
弓形面积=扇形面积 - 三角形面积
精选例题
弓形
1. 如右图所示，这是由一个半径为 4 的圆把四分之一的圆周翻折而 得的图形，此图形的面
积为 ．（取 π=3.14）【答案】 41.12
【分析】 详解：如图1所示，阴影部分面积等于直角三角形 ABCD 的面积加上一个
1
半圆即 4×8÷2+ ×42π=8π+16=41.12．
2
2. 如下图所示的半圆的直径 BC=8 厘米，AB=AC，D 是 AC 的中点，则阴影部分的面
积是 ．（π 取 3.14）
【答案】 12.561
【分析】 S = S ，所以阴影部分的面积为
△ABD 2 △ABC
1 1 (8) 2
圆= π =4π=12.56(平方厘米).
4 4 2
3. 下图中，AB 是圆 O 的直径，长 6 厘米，正方形 BCDE 的一个顶点 E 在圆周上，
∠ABE=45∘，那么圆 O 中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分面积的差等于
平方厘米（取 π=3.14）．
【答案】 10.26
【分析】 经过分析可以得到：圆 O 中非阴影部分面积与正方形 BCDE 中非阴影部
分面积的差，就是大圆的面积减去正方形的面积．正方形的面积可以用
对角线×对角线÷2 得到．
32×3.14-6×6÷2=10.26.
4. 如图，已知三角形 GHI 是边长为 26 厘米的正三角形，圆 O 的半径为 15 厘米．
∠AOB=∠COD=∠EOF=90∘．求阴影部分的面积．【答案】 221.625 平方厘米．
【分析】
总阴影面积=每块阴影面积×3=(大弓形-小弓形)×3.
关键在于大弓形中三角形的面积，设 J 为弧 GI 的中点，则可知 GOIJ 是菱形，GOJ 是
正三角形，所以，三角形 GOD 的面积
1 15
× ×26.
2 2
所以大弓形的面积：
1 1 15
S = π×152- × ×26=235.5-97.5=138.
GJI 3 2 2
小弓形的面积：1 1
S = π×152- ×152=176.625-112.5=64.125.
FJE 4 2
所以，总阴影面积
(138-64.125)×3=221.625(平方厘米).
5. 图中阴影部分的面积是多少．（π 取 3.14）
【答案】 1.92
【分析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加
即可得到阴影部分的面积．
所分成的弓形的面积为：
[1
π×
(3) 2
-32×
1]
×
1
=
9
π-
9
；
2 2 4 2 16 8
1 1 9 9
另一部分的面积为： π×32-32× = π- ；
8 4 8 4
9 9 9 9 27 27
所以阴影部分面积为： π- + π- == π- =1.92375≈1.92．
16 8 8 4 16 86. 在一个边长为 2 厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影
部分的面积是多少平方厘米？
【答案】 2
【分析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，
那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积
1
和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于 22× =2 平方厘米．
2
7. 求下列各图中阴影部分的面积（π=3）
（1）
（2）（3）
（4）
（5）
（6）【答案】 （1）4.5（2）4（3）1（4）2（5）1.5（6）4.5
【分析】 略
8. 如图所示，求各图中阴部部分的面积．（图中长度单位为厘米，π 取 3.14）
【答案】 2.28cm2；4.56cm2；13.965cm2．
【分析】 （1）
S =2× (1 π×22-2×2÷2 )
阴 4
¿ =2.28(cm2 );
（2）
S =2× (1 π×22- 1 ×42)
阴 2 4
¿ =4.56(cm2 );
（3）
1 1
S = π×72- ×72
阴 4 2
¿ =13.965(cm2 ).
9. 求图中阴影部分的面积．【答案】 36
【分析】
如图，连接 BD，可知阴影部分的面积与三角形 BCD 的面积相等，即为
1 1
× ×12×12=36.
2 2
10. 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘米，
半径为 10 厘米，求阴影部分的面积．1
【答案】 124 平方厘米
3
【分析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结 AO ，AO ，BO ，BO ，O O ，如图所示，就可以得到两个等
1 2 1 2 1 2
边三角形（各边长均等于半径），则 ∠AO O =∠BO O =60∘，即 ∠AO B=120∘．
2 1 2 1 2
这样就可以求出以 O 为圆心的扇形 AO BO 的面积，然后再减去三角形 AO B 的面积，
2 1 2 2
就得到弓形的面积，三角形 AO B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB，高
2
是 O O 的一半．
1 2
所以，阴影部分面积 =2×(S -S )
扇形AO B △AO B
2 2
=2× ( 3.14×102× 120 - 1 ×17× 10)
360 2 2
1 1
=209 -85=124 (平方厘米)．
3 3
11. 如图，4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个
圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【答案】 8
【分析】 如下图所示：
可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为：
(1×1÷2)×4=0.5×4=2(平方厘米),
所以阴影部分的总面积为
2×4=8(平方厘米).
12. 已知三角形 ABC 是直角三角形，AC=4 厘米，BC=2 厘米，求阴影部分的面积．（π
取 3.14）【答案】 3.85 平方厘米．
【分析】 设两个半圆的交点为 D，接 CD，
S =S -S +S -S
阴影 大半圆 △ADC 小半圆 △BDC
¿ ¿
所以，
1 (4) 2 1 (2) 2 1
S阴影 = π× + π× - ×2×4
2 2 2 2 2
¿ =3.85(平方厘米).
22
13. 如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率 π 取近似值 ．
7
【答案】 14
【分析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大
圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为 7，所以
其面积为：
1 1 22
×72×π≈ ×72× =38.5．
4 4 7
1
四分之一大圆内的等腰直角三角形 ABC 的面积为 ×7×7=24.5，所以阴影部分的面积为
2
38.5-24.5=14．14. 如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块
阴影部分的面积之差．（π 取 3）
【答案】 0.5
【分析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，
再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中
割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如下图所示，可知弓形 BC 或
CD 均与弓形 AB 相同，所以不妨割去弓形 BC．剩下的图形中，容易看出来 AB 与 CD
是平行的，所以 △BCD 与 △ACD 的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形 ACD 的面积
60
相等，而扇形 ACD 的面积为 π×12× =0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为 0.5．
360
15. 求图中阴影部分的面积（单位：cm）．【答案】 9cm2
【分析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分
面积为
1
×(2+4)×3=9¿ cm2.
2
16. 如下图所示，AB 为圆 O 的直径，点 D 在圆 O 上．在梯形 ABCD 中，线段 AB 与
线段 DC 都分别垂直于 BC；AB=2CD；弧 DMB 是以点 C 为圆心的圆弧．请问下图中
22
阴影部分的面积与圆 O 的面积之比是多少？（取 π= ）
713
【答案】
44
22
【分析】 不妨设两圆的半径为 1，则圆 O 的面积为 ，阴影部分的面积等于梯形
7
ABCD 的面积减去弓形 DMB 的面积的 2 倍：
1 1 22 1 13
×(1+2)×1-2× × ×12+2× ×12= ,
2 4 7 2 14
所以面积比为
13 22 13
: = .
14 7 44
17. 大正方形的面积是 400 平方厘米，被平均分成 4 个相同的小正方形．请依次求出四个阴
影部分的面积？（π 取 3.14）
【答案】 21.5 平方厘米；28.5 平方厘米；57 平方厘米；28.5 平方厘米．
【分析】 大正方形的面积是 400 平方厘米，所以小正方形的面积是 100 平方厘米，
边长是 10 厘米．
阴影部分像镰刀，面积为小正方形减扇形
1
S =102- ×π×102=21.5(平方厘米);
1 4
阴影部分即弓形，面积为扇形减等腰直角三角形
1 1
S = ×π×102- ×102=28.5(平方厘米);
2 4 2
阴影部分像种子，面积为 2 倍的弓形
S =2S =2×28.5=57(平方厘米);
3 2
阴影部分像鱼的形状，右上角像鱼头，左下角为鱼尾，将鱼头一分为二分别补到鱼尾处，阴影
部分就变成一个弓形，即
S =S =28.5(平方厘米).
4 218. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π 取 3.14）
【答案】 12 平方厘米
【分析】 阴影部分可以合成三个斜边是 4 的等腰直角三角形，面积是
3×4×4÷4=12 平方厘米．
19. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 S ，空白部分面积为 S ，那么
1 2
这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取 3.14）
【答案】 57:100【分析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就
是一个圆的内接正方形．
设大圆半径为 r，则 S =2r2 ，S =πr2-2r2 ，所以
2 1
S :S =(3.14-2):2=57:100.
1 2
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
20. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么
阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 18.24
【分析】 如下图，我们将原题中阴影部分分成 ①、②、③、④ 4 个部分，并且这
4 个部分的面积相等．有 ②、③ 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．
二分之一圆的面积为
1
×4×4×π≈8×3.14=25.12.
2
其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为
1
×8×4=16,
2
所以 ②、③ 部分的面积和为
25.12-16=9.12(平方厘米).
而 ①、②、③、④ 四部分的面积和为 ②、③ 部分的面积和的 2 倍，即为
9.12×2=18.24(平方厘米).
所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米．
21. 请按照图中尺寸求出两图中阴影部分的面积分别为多少．（π 取 3.14）
【答案】 4.56；28.5
【分析】 （1）4× (1 ×π×22- 1 ×2×2 ) =4π-8=4.56；
4 2
（2）
1
×π×
(10) 2
-
[1
×10×10-
45
×π×102
]
2 2 2 360
25π-50¿=¿28.5.¿
¿
22. 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知
AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）【答案】 32.125
【分析】 连接 PD、AP、BD，如图，PD 平行于 AB，则在梯形 ABDP 中，对
角线交于 M 点，那么 △ABD 与 △ABP 面积相等，则阴影部分的面积转化为 △ABP 与
圆内的小弓形的面积和．
△ABP 的面积为：
10×(10÷2)÷2=25;
弓形面积：
3.14×5×5÷4-5×5÷2=7.125;
阴影部分面积为：
25+7.125=32.125.
23. 在下图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米，扇形 ADC 是以 D 为圆心，
以 AD 为半径的圆的一部分．求阴影部分的面积．（π=3.14）【答案】 1.14 平方厘米．
【分析】 如下图所示：
π 1
S = ×AD2- AD2,
1 4 2
S +S =
1
π×
(AC) 2
-
1
AD2=
1
π×AC2-
1
AD2.
2 3 2 2 2 8 2
因为
AC2=2AD2=4,
所以阴影部分的面积为：
π 1 1 1
×AD2- AD2+ π×AC2- AD21 1
4 2 8 2
π×AC2- AC2 ¿=¿π-2¿=¿1.14.¿
4 2
¿
