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姓名 准考证号
x y
秘密 启用前 双曲线 2 2 (a b )的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线交右支于A，B
★ 7. a 2 - b 2 = 1 > 0, > 0 ₁ ₂ ₂
两点，且F B AF ，|AB| | F A | ，则离心率e
1 ⋅ 1 = 0 = 2 1 =
数 学
3 3
数 A. 4 - 3 B. 4 + 3 C. 4 + D. 4 -
2 2
( )
已知正数a，b满足a a ，b b ，则ab
8. ⋅ 3 = 10 log3 - 1 = 30 =
注意事项：
A.20 B.25 C.30 D.35
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
1. 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，有多项符
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3 6 18 .
2.
合题目要求 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分
回答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 . 6 0 .
3. 2B
( )
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 函数f (x) A (ωx φ) ω |φ| π 的图象如图所示，则下列说法正确的是
9. = sin + > 0, <
黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 2
0.5mm
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 函数f x 的最小正周期为 y
4. A. ( ) π
( )
f x 与直线y x 9π 有三个公共点 2 9π
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一 B. ( ) = 2 2 - O 8 x
8 5 40 . 8 3π
项是符合题目要求的 f x 取得最小值时，x k π(k Z) 8
. C. ( ) = π - ∈
集合A { x| x } ，B y N | y ，则A B 8
1. = ln ≤ 2 ={ ∈ 2 > 8 } ∩ =
( ] { } 将y f x 的图象向左平移π个单位长度，所得图象关于y轴对称
2 ，，， D. = ( )
A. 3,e B. 3,4,5,6,7,8 C.{4 5 6 7} D.∅ 4
-
若z( ) ，则zz 已知函数f x 满足对于任意的x，y R，都有f x y f x y f x f y ，且
2. 1+ i = -1+ 3i = 10. ( ) ∈ ( + ) + ( - ) = 2 ( ) ( )
A.2 B.3 C.4 D.5 f 1，则以下结论正确的是
已知a,b为单位向量，且(a b) a b ，则| a b| (1) =
2
3. - 2 ⊥( + ) 2 + =
f f f f f
A. (0) = 1 B. (1) + (2) + (3) + …+ (2026) = 0
A.1 B. 2 C. 3 D. 5
( ) ( )
已知θ是锐角， θ 3，则 π θ f x 是偶函数 f x 关于 3 对称
4. sin = tan - = C. ( ) D. ( ) - ,0
5 4 2
如图，在棱长为 的正方体ABCD A B C D 中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD
1 1 11. 2 - 1 1 1 1
A.7 B. C.-7 D.- B C
7 7 内一动点（含边界），则下列说法正确的是 1 1
若 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A D
5. 6 存在动点F，使B F 平面A EC 1 1
A. 1 ⊥ 1 1
1 1 3 3
A. B. C. D. 若D F 平面A EC ，则动点F的轨迹长度为 B
3 4 16 8 B. 1 // 1 1 2 F E C
A
在三棱锥P ABC中，AB AC ，且AB AC，PA ，PA 平面ABC，若P，A，B， 若F 平面A EC ，则三棱锥F A EC 体积的最大值为 D
6. - = = 2 ⊥ = 2 ⊥ C. ∉ 1 1 - 1 1 2
C四点都在球O的表面上，则点P到平面OAB的距离为
若正方体ABCD A B C D 的外接球为球O，则球O被平面A EC 所截截面圆的
D. - 1 1 1 1 1 1
3 2 3 面积为26π
A. 2 B. 3 C. D.
3 3 9
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1 4 2 4三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 （ 分）
3 5 15 . 17. 15
记 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知a ，c ，且 B C， 在如图（）所示的直角梯形ABCM中，BC AM，M
12. △ . = 4 = 2 2sin = 3sin 1 ∥
AB AM，AM AB BC ，点D是AM的中点，将
则 ABC的面积为 ⊥ =2 =2 =4
△ ▲ .
P
图形（）沿CD折起至图（），使得M到P处，且PB D C
13. 已知抛物线C：y 2 = 2 px ( p > 0 ) 的焦点为F，点P在C的准线上，线段PF与C交于点 1 2 = E C 数
E是PA上一动点，且PE λPA( λ )， D
Q，且 | PQ | = m， | QF | = n，（m，n >0 ），则p = ▲ . （用m，n表示） . 2 3 （ . ）求证：平面PBC 平面 = PCD； 0 < < 1 A B A B
1 ⊥ （） （）
已知f x 是五次函数，若x 是方程f x 的三重根，x 是方程f x 的 1 2
14. ( ) = 0 ( ) = 1 = 1 ( ) = -1 （）是否存在λ，使得平面BDE与平面PBC的夹角为 ？若存在，则求λ的值及点
2 45°
三重根，则f x 的解析式是 C到BE的距离；若不存在，请说明理由
( ) ▲ . .
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 分）
5 77 . . 18. 17
( )
15. （ 13 分） 椭圆C： x 2 y 2 (a b )的离心率e 1，且过点 , 3
a + b = 1 > > 0 = 3 .
2 2
{ } 2 2
已知数列 a 是等比数列，满足S ，且 a ，a ，a 成等差数列
n 3 = 14 4 1 2 2 3 . （）求椭圆C的方程；
1
{ }
（ 1 ）求数列 a n 的通项； （ 2 ）设P为椭圆左顶点，过左焦点F的直线（l l不过点P）交椭圆于M，N两点，直线
a PM，PN分别交直线x 于G，H两点
（）设b log2 n ，且 { b } 的前n项和为T，求证：1 T = -4 .
2 n = a n n ≤ n < 2.
n 2 求证：GFH为定值；
① ∠
（ 分） 记MN的中点Q到y轴的距离是d，点T是x轴上的一点，记MT的斜率k，NT的斜
16. 15 ② 1
某脑机接口系统对采集的脑电信号做三分类识别：分为主动运动信号（类 ）、被动 k k
A 率k，当 1 2是定值时，求定点T的坐标
2 d .
感知信号（类 ）、噪声干扰信号（类 ）大量测试数据表明：信号占比：P（类 ） ，
B C . A =0.5 （ 分）
19. 17
P（类 ） ，P（类 ）
( )x
B =0.25 C =0.25.
已知函数f (x) 1 ，x ，g x f x
= 1+ x ( > 0) ( ) = ln ( ).
类 正确识别为 的概率为 ，误判为 的概率为 ，误判为 的概率为 ；
A A 0.8 B 0.1 C 0.1
（）分析g(x)的单调性；
类 正确识别为 的概率为 ，误判为 的概率为 ，误判为 的概率为 ； 1
B B 0.8 A 0.1 C 0.1
( )
类 正确识别为 的概率为 ，误判为 的概率为 ，误判为 的概率为 （）求证：f (x) f 1 ，其中 是自然对数的底数；
C C 0.8 A 0.1 B 0.1. 2 x > e e
（）求随机抽取一个信号被识别为类 的概率； ( )
1 A （）记h x a 1 g x a a x，其中a ，求h x 的最小值M a
3 ( ) = 1+ x ( ) +[ - ln(1+ )]ln > 0 ( ) ( )
（）现随机检测 组独立信号，记误判带来的算力损耗为X（计每误判 次带来的算
2 4 1
M a
的表达式，并求 ( )的最大值
力损耗为 单位算力损耗），求X的分布列及数学期望 a .
1 .
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3 4 4 4