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数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.C
【解析】 y N, 选项 错误 B, 选项 错误；显然A B ，选项 错误；故选项 正确
∵ ∈ ∴ A ; ∵ 3∉ ∴ B ⋂ ≠ ∅ D C .
2.D
-
【解析】将原式两边取模得 |z| ,则 |z| zz |z| 2
, 2 = 10 = 5, ∴ = = 5.
3.A
【解析】 (a b) (a b) (a b) (a b) ， a b ( a b) 2 | a b|
∵ - 2 ⊥ + , ∴ - 2 ⋅ + = 0 ∴ ⋅ = -1, ∴ 2 + = 1,∴ 2 + = 1.
4.B
【解析】 θ 3（θ是锐角） θ = 4 θ = 3，
sin = ⇒ cos ⇒ tan
5 5 4
( ) π θ 3
tan - tan 1-
π θ 4 4 1，故选
tan - = = = B.
4 π θ 3 7
1+ tan tan 1+
4 4
5.C
【解析】根据题意，分两步：第一步，先从 个人里选 人，其位置不变，有 种选法；第二步，对于剩余的 个
2
6 2 C6 = 15 4
人，每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有 种站法，被占了自己位置的那个人在剩下三个位置中任
3
选一个，有 种站法，其余 人只有一种站法，因此 个人共有 种站法，故不同的站法有
1
C3 = 3 2 4 3× 3= 9 15× 9 =
种 而基本事件总数为 6 ，所以所求概率为135 3
135 . A6 = 720 = .
720 16
P
M Q N
6.D
【解析】把三棱锥补成右图中的长方体ABDC PMQN，则球心O在长方形ABQN上，点P到平面
-
A
OAB的距离就是点P到AN的距离，为2 × 2 2 3 故 正确 B C
= . D . D
6 3
（第 题答图）
6
7.B
【解析】依题意知： AF B = A ，B 设 | AF | ，则 | BF | ，|AB| ，则 | AF | a，
∠ 1 90°, = 60° = 30°. 1 = 1 1 = 3 = 2 2 = 1- 2
| BF 2 | = 3 - 2 a， ∴ | AF 2 | + | BF 2 | = |AB| = 2 ， ∴ a = 3 - 1 . 在 △ AF 1 F 2 中， | AF 1 | = 1 , | AF 2 | = 1 - y B
4
| | | | | |
AF 2 AF 2 F F 2 c F F
2 a = 3- 3 , | F 1 F 2 | = 2 c ,cos A = 1 + | AF | 2 · | A - F | 1 2 = 1，解得c 2 = 5- 2 3， ∴ e 2 = a 2 2 = 1 O A 2 x
2 2 1 2 2 8
，故选 （第 题答图）
4 + 3 B. 7
数学试题答案 第 页（共 页）
1 78.C
( ) b ( ) b b
【解析】由b b ，得 b ，即
log3 - 1 = 30 log3 - 1 = 10 log3 = 10.
3 3 3
令f (x) x· x ，则f ' x x x x x x ，
= 3 - 10 ( ) = 3 + ·3 ln3= 3 (1+ ln3)
当x 时，f (x) ，f (x)在 ( ∞) 上单调递增
> 0 ′ > 0 0, + .
( )
b b b b
由a· a ， 可得a ， ，且f (a) f ，
3 = 10 log3 = 10 > 0 > 1 = log3 = 0
3 3 3 3
b b ab
a ，即 a ， a a ，得ab
∴ = log3 3 = ∴ ⋅ 3 = = 10 = 30.
3 3 3
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.AC
【解析】由图象得：9π 3π 3T，解得T ，故 正确；
- = = π A
8 8 4
( )
由T ，ω ，得ω ，又A ，将点 3π 代入f (x)中得：
= π > 0 = 2 = 2 , 2
8
( )
3π φ ，即3π φ π k k Z，解得φ π k ，k Z
sin 2 × + = 1 + = + 2 π, ∈ = - + 2 π ∈ .
8 4 2 4
又 |φ| π， φ π，
∵ < ∴ = -
2 4
( )
函数f (x) x π
∴ = 2sin 2 - .
4
y x与y x只有一个公共点，
∵ = = sin
y x与y x只有一个公共点，
∴ = 2 = 2sin
y x 与y x只有一个公共点，
∴ = 2 (2 ) = 2sin2
( ) é ( )ù ( ) ( )
y x 9π 与 y ê x 9π ú x π - x π 只有一个公共点
∴ = 2 2 - = 2sinë2 - û = 2sin 2 - 2π = 2sin 2 -
8 8 4 4
( )
9π , ，故 错误；
0 B
8
( )
令 x π ，即 x π π k k Z，
sin 2 - = -1 2 - = - + 2 π, ∈
4 4 2
解得x k π，k Z，故 正确；
= π - ∈ C
8
é ( ) ù ( )
将y=f (x)的图象向左平移π个单位长度，得g(x) ê x π πú x π ，
= 2sinë2 + - û= 2sin 2 +
4 4 4 4
g( ) π ，图象不关于y轴对称，故 错误
0 = 2sin = 1≠ ± 2 D .
4
故选
AC.
10.ACD
z
【解析】构造函数f x π x 逐项验证即可得 正确
( ) = cos . ACD . B C
3 1 1
A D
1 1
11.BCD
【解析】以B为坐标原点，分别以BA BC BB 所在直线为x y z轴，
, , 1 , , B
E C y
建立如图所示的空间直角坐标系， A F
D
则D( ) A ( ) B ( ) C ( ) E( ) ， x
2,2,0 , 1 2,0,2 , 1 0,0,2 , 1 0,2,2 , 0,1,0 （第 题答图 ）
11 1
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2 7设F ( x y ) ，且x y [ ] ，易得平面A EC 的法向量为n ( )
, ,0 , ∈ 0,2 1 1 = 2,2, -1 .
若B F 平面A EC ，则B F n，
1 ⊥ 1 1 1 //
x y
由 -2，解得x y ，不合题意， 不存在动点F，使B F 平面A EC ，故 错误；
= = = =4 ∴ 1 ⊥ 1 1 A
2 2 -1 B C
如图，取AD的中点M，CD的中点N， 1 1
A D
连接MN，则MN A C MN 平面A EC ， 动点F的轨迹为线段MN，其长度为 ，故 1 1
// 1 1,∴ // 1 1 ∴ 2
正确； B C
B E
F N
( ) A
C A C E 2 M D
向量法计算点E到直线A C 的距离为 C E2 1 1⋅ 1 3 2，
1 1 1 - | C A | = 2 （第 11 题答图 2 ）
1 1
则 A EC 的面积为1 3 2 ，
△ 1 1 × 2 2 × = 3
2 2
显然，当F与D重合时，三棱锥F A EC 的体积最大，则EF ED ( )，
- 1 1 = = 2,1,0
| |
EF n
点F到平面A EC 的距离为 ⋅ ，
1 1 |n| = 2
三棱锥F A EC 体积的最大值为1 ，故 正确；
∴ - 1 1 × 3× 2 = 2 C
3
对于选项 ， 正方体ABCD A B C D
外接球的球心为O( )
，半径R ，
D ∵ - 1 1 1 1 1,1,1 = 3
| |
EO n
则EO ( )，则点O到平面A EC 的距离为d ⋅ 1，
= 1,0,1 1 1 = |n| =
3
( )
( ) 2
故球O被平面A EC 所截截面圆半径r R 2 d 2 2 1 26，
1 1 = - = 3 - =
3 3
截面圆的面积为 r
2
26π，故 正确
∴ π = D .
9
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
3 15
12.
4
b B
【解析】由正弦定理得 sin 3， b 3 c ．
c = C = ∴ = = 3
sin 2 2
b c a
2 2 2
则 A + - 9 + 4 - 16 1．
cos = bc = = -
2 12 4
A 15，∴ ABC的面积是3 15
∴ sin = △ .
4 4
n(m n)
+ y
13. m
P
【解析】如图，设准线与x轴交于点E，过点Q作QD PE于点D，
⊥ D Q
| | | |
由抛物线定义得 DQ QF n
= = . E O F x
PEF PDQ，
∵△ ∼ △
|EF| |PF| |EF| m n n m n
∴ | DQ | = | PQ | ，即 n = m + ，得p = |EF| = ( m + ) . （第 13 题答图）
f x x x x
5 4 3
14. ( ) = -12 + 30 - 20 + 1
【解析】由题知f x 是四次函数，则 ，是方程f x 的二重根，不妨设f x ax 2 x 2 a x 4 x 3 x 2 ，
′( ) 0 1 ′( ) = 0 ′( ) = ( - 1) = ( - 2 + )
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3 7( )
x x x
5 4 3
则f x a c f c 又 f ， a
( ) = - + + .∵ (0) = 1, ∴ = 1. ∵ (1) = -1 ∴ = -60.
5 2 3
f x x x x
5 4 3
∴ ( ) = -12 + 30 - 20 + 1.
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
{ }
（）解：设q是等比数列 a 的公比，则
15. 1 n
依题意，可得 a a a , …………………………………………………………………………………… 分
4 2 = 4 1 + 3 1
a q a a q 2 q 2 q ， ……………………………………………………………………… 分
⇒ 4 1 = 4 1 + 1 ⇒ - 4 + 4 = 0 2
q ………………………………………………………………………………………………………… 分
⇒ = 2. 3
又S a q q 2 a …………………………………………………………………………… 分
3 = 1(1+ + )= 14 ⇒ 1 = 2, 4
a n ………………………………………………………………………………………………………… 分
∴ n = 2 . 5
a n
（）证明： a n， b log2 n ………………………………………………………………………… 分
2 ∵ n = 2 ∴ n= a = n. 6
n
2
n
又 T 1 2 3 ，
∵ n = + + + ⋯+ n ①
2 3
2 2 2 2
n n
1T 1 2 - 1 ， ………………………………………………………………… 分
∴ n = + + ⋯+ n + n ② 8
2 3 +1
2 2 2 2 2
é ( )nù
1 êê 1 úú
( ) n ë1- û n
得 1T 1 1 1 1 2 2 ， …………………………… 分
∴ ① - ② , n = + + + ⋯+ n - n = - n 10
2 3 +1 +1
2 2 2 2 2 2 1 2
1-
2
n
T + 2 ………………………………………………………………………………………… 分
∴ n = 2 - n < 2. 11
2
( ) ( )
n n n
又T T + 3 + 2 + 1 ，
n +1 - n = 2 - n +1 - 2 - n = n +1 > 0
2 2 2
{ }
T 是递增数列，
∴ n
T T 1，
∴ n ≥ 1 =
2
1 T …………………………………………………………………………………………………… 分
∴ ≤ n < 2. 13
2
解：记事件A “真实为运动类”，B “真实为感知类”，C “真实为噪声类”，
16. = = =
D “识别为类 ”，D “识别为类 ”，D “识别为类 ”
1= A 2 = B 3 = C .
由题意知：P（A） ，P（B） ，P（C） ，P（D|A） ，P（D|B） ，P（D|C） ……………………… 分
=0.5 =0.25 =0.25 1 =0.8 1 =0.1 1 =0.1. 2
（）由全概率公式：P D P A P D |A P B P D |B P C P D |C
1 ( 1)= ( ) ( 1 ) + ( ) ( 1 ) + ( ) ( 1 )
……………………………………… 分
= 0.5× 0.8 + 0.25× 0.1+ 0.25× 0.1= 0.45. 5
（）单次误判概率：P P A P B P C
2 = ( )(1- 0.8) + ( )(1- 0.8) + ( )(1- 0.8)
…………………………………………… 分
= 0.5× 0.2 + 0.25× 0.2 + 0.25× 0.2 = 0.2. 10
用X表示 次检测中误判的次数，则X B ……………………………………………………………… 分
4 ~ (4,0.2), 11
P X k k k k k
4-
∴ ( = ) = C4(0.2) (0.8) ,( = 0,1,2,3,4).
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4 7P X
0 0 4
( = 0) = C4 × 0.2 × 0.8 = 0.4096,
P X
1 1 3
( = 1) = C4 × 0.2 × 0.8 = 0.4096,
P X
2 2 2
( = 2) = C4 × 0.2 × 0.8 = 0.1536,
P X
3 3
( = 3) = C4 × 0.2 × 0.8 = 0.0256,
P X
4 4
( = 4) = C4 × 0.2 = 0.0016.
X的分布列是
∴
X
0 1 2 3 4
P
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
…………………………………………………………………………………………………………………… 分
14
E X np …………………………………………………………………………………… 分
∴ ( ) = = 4 × 0.2 = 0.8. 15
（）证明：由题知四边形ABCD是边长为 的正方形，且AB PD ， BD AB AD
2 2
17. 1 2 = =2 ∴ = + = 2 2.
又PB ， PD 2 + BD 2 PB 2 ， PD BD …………………………………… 分 z
= 2 3 ∴ = ∴ ⊥ . 1
又依题意知PD CD，BD CD D, PD 平面ABCD，… 分 P
⊥ ⋂ = ∴ ⊥ 3
PD BC 又CD BC，CD PD = D, BC 平面PCD. E C
∴ ⊥ . ⊥ ⋂ ∴ ⊥ D y
…………………………………………………………………… 分
5 A B
又BC 平面PBC， 平面PBC 平面PCD ………………… 分 x
⊂ ∴ ⊥ . 6
（）解：由（）可知PD 平面ABCD， 以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示
2 1 ⊥ ∴
的空间直角坐标系，则D（ ，，），A（ ，，），B（ ，，），C（ ，，），P（ ，，） PE λPA, E（ λ，， λ），
0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 .∵ = ∴ 2 0 2-2
（λ （ ，））………………………………………………………………………………………………………… 分
∈ 0 1 7
DB （ ，，），DE （ λ，， λ），CP （ ， ，），CB （ ，，） ……………………………………… 分
∴ = 2 2 0 = 2 0 2-2 = 0 -2 2 = 2 0 0 . 8
设m （x，y，z），n （x，y，z）分别是平面BDE和平面PBC的法向量
{
= 1 1 1 = 2 2 2 .
m DB x y
则 ⋅ = 2 1 + 2 1 = 0,
m DE λx λ z
⋅ = 2 1 +(2 - 2 ) 1 = 0,
取x λ，则m λ λ λ ……………………………………………………………………… 分
{ 1 = 1- = (1- , - 1, - ). 10
n CP y z
⋅ = -2 2 + 2 2 = 0,
n CB x
⋅ = 2 2 = 0,
取y ，n …………………………………………………………………………………………… 分
2 = 1 = (0,1,1). 11
设平面BDE与平面PBC的夹角为θ
.
|m n|
则 θ ⋅ 1 2 ………………………………………… 分
cos = |m||n| = λ λ λ · = cos45° = 12
2 2 2 2
(1- ) +( - 1) + 2
λ λ 1 , 存在λ 1，使得平面BDE与平面PBC的夹角为 …………………………… 分
∵ ∈(0,1), ∴ = ∴ = 45°. 13
3 3
( ) ( )
此时，E 2 4 BE 4 4 BC
,0, , ∴ = - , - 2, , =(-2,0,0),
3 3 3 3
æ ö2
( ) ç ÷
BC BE 2 ç 8 ÷
则点C到BE的距离d = |BC| 2 - | B ⋅ E | = 4 - ç çç 3 ÷ ÷÷ = 2 221 .
ç 16 16 ÷ 17
è + 4 + ø
9 9
点C到BE的距离是2 221 ……………………………………………………………………………… 分
∴ . 15
17
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5 7解：（）依题意有：
18. 1
c
e 1，3 3 ，a
2
b
2
c
2
， ……………………………………………………………………… 分
a = = a + b = 1 = + 2
2 2
2 4
a ，b ，……………………………………………………………………………………………… 分
2 2
∴ = 4 = 3 3
x y
2 2
椭圆C的方程： ……………………………………………………………………………… 分
∴ + = 1. 4
4 3
（）显然P（ ，），F（ ，），………………………………………………………………………………… 分
2 -2 0 -1 0 5
设l：x my ，代入 x 2 y 2 ，得 m 2 y 2 my
= - 1 3 + 4 = 12 (3 + 4) - 6 - 9 = 0.
设M（x ，y），N（x ，y），则有：
1 1 2 2
m
y y 6 ，y y -9 ………………………………………………………………………… 分
1 + 2 = m 2 1 2 = m 2 . 7
3 + 4 3 + 4
y
直线PMy 1 (x ) …………………………………………………………………………… 分
①∴ : = x + 2 . 8
1 + 2
y y
令x ，得y -2 1 ，同理，y -2 2 ,
= -4 G = x H = x
1 + 2 2 + 2
y y
k G，k H …………………………………………………………………………………… 分
∴ FG = FH = , 10
-3 -3
( )
y y y y
k k 1 -2 1 -2 2 4 1 2
∴ FG FH = my ·my = ·m y y m y y
2
9 1 + 1 2 + 1 9 1 2 + ( 1 + 2)+ 1
-9
m
4 3 2 + 4
= · m m = -1,
2 2
9 -9 6
m + m + 1
2 2
3 + 4 3 + 4
FG FH， GFH （定值） ……………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ ∴ ∠ = 90° 12
设定点T（t，），则由 知，
② 0 ①
( )
x x ( ) m 2
x 1 + 2 1 my my 1 6 -4
Q = = 1 + 2 - 2 = m 2 - 2 = m 2 .
2 2 2 3 + 4 3 + 4
d 4
∴ = m .
2
3 + 4
y y
k 1 ，k 2 ， …………………………………………………………………… 分
∵ 1 = my - t 2 = my - t 14
1 1- 2 1-
-9
y y
m
k k 1 2 3 2 + 4
∴ 1 2 = m 2 y 1 y 2 - m( 1+ t)( y 1 + y 2 ) +(1+ t ) 2 = -9 m 2 - 6 ( 1+ t)m 2 t + 2
m m +( 1)
2 2
3 + 4 3 + 4
-9 ，………………………………………………………………………………… 分
= m 2 (t 2 ) (t + ) 2 15
3 - 4 + 4 1
k k m m
2 2
1 2 -9 3 + 4 -27 - 36 是定值
∴ d = 3 m 2 (t 2 - 4 ) + 4( t + 1) 2 ⋅ 4 = 12 m 2 (t 2 - 4 ) + 16( t + 1) 2 .
-27 -36 ,∴ t 5，
∴
12
(t
2 - 4
) =
16(
t +
1) 2
= -
2
( )
定点T -5 , …………………………………………………………………………………………… 分
∴ 0 . 17
2
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6 7（）解：g x 的定义域是 ∞ ………………………………………………………………………………… 分
19. 1 ( ) ( (0, + ) ). 1
g x f x x 1 x x x ，
∵ ( ) = ln ( ) = ln 1+ x = [ln( + 1) - ln ]
x
g (x) + 1 1 ……………………………………………………………………………………… 分
∴ ′ = ln x - x . 2
+ 1
t
令t 1 t ，则g t t ，
= x ( > 0) ′( ) = ln( + 1) - t
+ 1
t
g (t) 1 1 t ，……………………………………………………………… 分
″ = t - t 2 = t 2 > 0, (∵ > 0) 3
1+ (1+ ) (1+ )
g (t)在 ∞ 上严格单调递增，且g ( ) ，故对所有t ，都有g (t) ；
∴ ′ (0, + ) ′ 0 = 0 > 0 ′ > 0
即g (x) 对所有x 成立
′ > 0 > 0 .
g x 在 ∞ 上严格单调递增 …………………………………………………………………………… 分
∴ ( ) (0, + ) . 4
( ) é ( )ù ( )
（）证明： f (x) f 1 êf x f 1 ú x 1 1 x ，………………………… 分
2 ∵ x > e ⇔ lnë ( ) x û> 1⇔ ln 1+ x + x ln( + 1) > 1 6
( ) ( )
x
由（）可知 1 1 ， 1 1 ， x ，……………………………… 分
1 ln 1+ x - x > 0 ∴ ln 1+ x > x ∴ ln( + 1) > x 7
1+ 1+ + 1
( )
x
x 1 1 x 1 ，
∴ ln 1+ x + x ln( + 1) > x + x = 1
+ 1 + 1
( )
f x f 1 . ………………………………………………………………………………………………… 分
∴ ( ) x > e 9
( ) ( ) ( )
（）解： h x a 1 x 1 a a x a x 1 a a x，
3 ∵ ( ) = 1+ x ln 1+ x +[ - ln(1+ )]ln = (1+ )ln 1+ x +[ - ln(1+ )]ln
( ) ( )
x a a
h x a 1 a x 1 - ln(1+ )
∴ ′( ) = ln 1+ x + (1+ ) x -x + x
2
1+
a é ( ) ù a é ( )ù
êx 1 1 a ú êg x g 1 ú …………………………………………………………… 分
= x ë ln 1+ x - a ln(1+ )û= x ë ( ) - a û. 11
( )
令k x g x g 1 ，由（）可知g x 在 ∞ 上单调递增，
( ) = ( ) - a 1 ( ) (0, + )
( ) ( )
当x 1 时，k x ，h x ，h x 在 1 上单调递减；
∴ ∈ 0,a ( ) < 0 ′( ) < 0 ( ) 0,a
( ) ( )
当x 1 ∞ 时，k x ，h x ，h x 在 1 ∞ 上单调递增，………………………………………… 分
∈ a + ( ) > 0 ′( ) > 0 ( ) a, + 13
( )
M a h 1 a a a a a …………………………………………………… 分
∴ ( ) = a =( + 1)ln(1+ ) -[ - ln(1+ )]ln . 14
M a aM (a) M(a)
设F a ( )， F (a) ′ - ，
( ) = a ∴ ′ = a
2
é a a ( ) ù
aê a - ln(1+ ) 1 aú a a a a a
ë1+ ln(1+ ) - a - 1- a ln û-( + 1)ln( + 1) +[ - ln( + 1)]ln
F a + 1
∴ ′( ) = a
2
é a ù
ê a ú a
ëa - ln(1+ )ûln ……………………………………………………………………………………… 分
+ 1 . 15
= a
2
x a
由（）知 x ,∴ a ，
2 ln( + 1) > x a - ln(1+ ) < 0
+ 1 + 1
当a ( ) 时，F a ；当a ( ∞) 时，F a ，
∴ ∈ 0,1 ′( ) > 0 ∈ 1, + ′( ) < 0
F a 在（ ，）上单调递增，在（ ， ∞）上单调递减，
∴ ( ) 0 1 1 +
éM a ù
ê ( )ú F a F ………………………………………………………………………… 分
∴ ë a û = ( )max = (1) = 2ln2. 17
max
数学试题答案 第 页（共 页）
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