文档文本内容
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分选择题(58分)和非选择题(92分)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域
书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线
数学试题第 1 页(共4页)
C : y = 2 x 2 ，则该抛物线的焦准距为 ( )
A． 2 B． 1 C．
1
2
D．
1
4
2．函数 f ( x ) = 2 x + 1 ，则 l i
x
m→
0
f ( 1 +
x )
x
− f ( 1 )
= ( )
A． 1 B． 2 C． 2 ln 2 D． 2 ln 2 + 1
3．已知等差数列 a
n
的前n项和为 S
n
，若a +a =30，S =117，则a =（ ）
3 9 9 11
A．17 B．19 C．25 D．28
4．某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5
C5C0+C1C4
人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于 7 5 5 7 的是（ ）
C5
12
A． P ( 1 ) = B． P ( 1 ) C．P(1) D． P ( 2 )
5. 吹气球时，记气球的半径r与体积 V 之间的函数关系为 r ( V ) ，
r(V) 为 r ( V ) 的导函数．已知 r ( V ) 在0≤V≤3上的图象如图所示，
若 0 ≤ V
1
V
2
≤ 3 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
r ( 1 )
1
−
−
r
0
( 0 )
r ( 2 )
2
−
−
r
1
( 1 )
B． r ' ( 1 ) r ' ( 2 )
C． r V 1 +
2
V 2 r ( V 1 ) +
2
r ( V 2 ) D．存在 V
0
( V
1
, V
2
) r(V )−r(V ) ，使得r(V )= 2 1
0 V −V
2 1
6．过点A(0,−1)作 y x 2 的切线 l ，切点为 B ，以AB为直径的圆与 y 轴交于另一点 C ，则 C 到 l 的距离为
（ ） A．
1
2
B．
2
5
5
C．1 D．
3
5
5
7．某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，
乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A．15种 B．19种 C．25种 D．46种
8．已知抛物线 C ：1 y 2 = 8 x
x2 y2
的准线经过双曲线C ： − =1(a0,b0)的左焦点F，过点F作双
2 a2 b2
曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为点
2
M ，延长 F M 与抛物线 C
1
相交于点N，若 O N + 3 O F = 4 O M （ O
为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）
2
x2 y2 x2 y2
A． −y2 =1 B．x2− =1 C．x2−y2 =1 D． − =1
3 3 2 2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数据
数学试题第 2 页(共4页)
a
1
, a
2
, a
3
, , a
8
的平均数为 M ，中位数为 N ，方差为 P ，极差为 Q ，设 b
i
= 3 a
i
− 2
( i = 1 , 2 , 3 , , 8 ) ，得到新数据 b
1
, b
2
, b
3
, , b
8
，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是( )
A.平均数是 3 M − 2 B.中位数是 3 N − 2 C.方差是 9 P D.极差是 3 Q − 2
10．已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F ，以 F 为圆心，r为半径作圆，记圆 F 与 C 交于 P , Q 两点，则
（ ）
A．r2 B．当 r = 3 时， △ P F Q 的面积为 2 2
C．当 P F Q =
2 π
3
时， r = 4 或 r =
5
4
D． F P F Q − 8
11．不动点定理是拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 f ( x ) ，存在 x
0
，使
得 f (x )=x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 为该函数的一个不动点，依据不动点定理，
0 0 0
下列说法正确的是（ ）
A．函数 f ( x ) = s i n x 只有1个不动点
B．函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 没有不动点，则 f ( x ) 没有零点
C．若函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 没有不动点，则方程 f ( f ( x ) ) = x 无实根
D． f ( x ) =
4 e x
x
− 2
有3个不动点
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知(1−2x)4 =a −2a x+4a x2 −8a x3 +16a x4，则
0 1 2 3 4
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
= __________．
1 2
13．已知函数 f (x)= x3−x2+ ,x−1,3， 点
3 3
A ( x
1
, y
1
) , B ( x
2
, y
2
) 为直线y=k(x−1) 与 f ( x ) 图象的
两个不同交点，且 y y 0，
1 2
O 为坐标原点，则 AOB面积的最大值为______．
14．比较三个数 a =
e l n
1
2
2
，b= ，
e
c =
3 3
4
e
的大小关系为 __________．（由小到大排序）
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）已知等比数列 a
n
满足：a =2，且
2
3 a 23 = a
1
a
4
．
(1)求数列
a
的通项公式；
n
(2)记 a
n
的前n项和为 S
n
，求 ( a
n
+ 1 3 ) S
n
的最大值．16．（15分）如图，在三棱锥
数学试题第 3 页(共4页)
A − B C D 中，其外接球球心为 B D 的
中点 O ，平面ABD⊥平面 B C D .已知AC= 2，BC= 3，BD=2.
(1)求证：平面 A O C ⊥ 平面BCD.
(2)求平面 A B C 与平面 A C D 的夹角的余弦值.
17.（15分）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的
重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾
客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，
并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表：
分组（单位：
分）
4 0 , 5 0 ) 5 0 , 6 0 ) 6 0 , 7 0 ) 7 0 , 8 0 ) 8 0 , 9 0 ) 9 0 ,1 0 0
频数 10 15 20 30 15 10
(1)若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为
1
2
，B品牌中AI手机
占比为
3
4
，A、B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI
手机的概率；
(2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：
1 1
①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为 ， ，其余
4 2
情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记
某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望 E ( X ) ；
(3)由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布
N ( ,2) ，其中近似为样本平均数 x ，近似为样本的标准差 s ，并已求得s=14.31.现将满意度得分
Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了
AI手机（每人一部），记Y为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“Y =k”的概率为
P(Y =k) ，求使P(Y =k)
取最大值时 k 的值.
参考数据：若 Z ~ N ( , 2 ) ，则P(−Z +)0.6827，P(−2Z +2)0.9545.18．（17分）如图，已知椭圆
数学试题第 4 页(共4页)
C :
x
4
2
+
y
3
2
= 1 ．点 P ( x
0
, y
0
) 在椭圆上且 y 0，
0
P Q , P R 分别经过C的左、
右焦点 F
1
, F
2
，且PF =FQ,PF =F R．
1 1 2 2
（1）若=2，求点 P 的坐标；
（2）证明：+是定值，并求出+的值；
（3）求四边形FQRF 面积最大值．
1 2
19．（17分）已知函数 f ( x ) = e x − 1 −
n
x
， n N ．
(1)证明： f ( x ) 有唯一零点；
(2)记 f (x) 的零点为 a
n
．
（i）数列 a
n
中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： 2
(
n + 1 − 1
)
n
i=
1
1
a
i
n + 1 +
2
l n n
．
