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2026 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
2. 已知平面向量 a，b 不共线，且 2a+yb=xa−3b，则
A. x=2，y =−3 B. x=−2，y =3
C. x=2，y =3 D. x=−2，y =−3
√
3. 已知集合 A={sin7π,cos5π,tan5π}，B ={− 3,−1,1}，则 A∩B =
6 3 4 2 2
√ √
A. {− 3,1} B. {− 3,1}
2 2 2
√
C. {−1,1} D. {− 3,−1,1}
2 2 2
4. 曲线 y =5x+8lnx 在点 (1,5) 处的切线方程为
A. y =3x+2 B. y =5x
C. y =8x−3 D. y =13x−8
5. 已知抛物线 C :y2 =2p x(p >0) 和 C :x2 =2p y(p >0) 均经过点 (4,8)，则 C 的焦点与 C 的焦点之间的
1 1 1 2 2 2 1 2
距离为
√ √
A. 12 B. 4 5 C. 6 D. 65
2
6. 已知函数 f(x)= x+2 的最大值为 f(0)，则 a=
ex+a
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
2 2
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 108 座
塔，依山势自上而下排列成 12 行，将第 i 行中塔的座数记为 a (i = 1,2,...,12)，其中 a = 1，a = 3，a = 5，
i 1 2 3
且 a ,a ,...,a 是一个首项为 1，公差为 2 的等差数列。将 a ,a ,...,a 分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的
1 2 12 1 2 12
2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 d(d>0) 的等差数列，则 d=
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 设 U = {(x ,x ,x ) | x ∈ {−2,−1,1,2},i = 1,2,3} 为空间中 64 个点构成的集合，点 P(1,1,1)。记样本空间
1 2 3 i
Ω=∁ {P}，从Ω中随机取一个点，定义随机变量X 如下：对Ω中的每个点A(x ,x ,x )，令X(A)=x +x +x ，
U 1 2 3 1 2 3
则 X 的数学期望为
数学试题第 1 页 (共 4 页)A. − 1 B. − 1 C. 0 D. 1
21 63 7
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 设 z =3+2i，则
A. z¯=3−2i B. |z|=5
C. z2 =5+12i D. z+3 ∈R
z−i
10. 在空间中，A、B 为两个定点，动点C 到直线AB 的距离为2，动点D到直线AB 的距离为1。若二面角C−AB−D
为 60◦，则
√
A. ∠CAD ≥60◦ B. CD ≥ 3
C. 当 AB ⊥CD 时，CD ⊥ 平面 ABD D. 当 AB ⊥ 平面 ACD 时，AC ⊥AD
√
11. 已知圆 C :(x+1)2+y2 =1，圆 C :(x−1)2+y2 =1，圆 C :x2+(y− 3)2 =1。直线 l:y =kx+b 与 C 、
1 2 3 1
C 、C 均有两个交点，记 l 被 C 、C 、C 截得的弦长分别为 s ,s ,s 。则
2 3 1 2 3 1 2 3
A. k 可以取任意实数
B. 满足 s =s =s 的直线 l 共有 3 条
1 2 3
C. 满足 s +s +s =3 的直线 l 多于 3 条
1 2 3
√
D. 当 b=0 时，s +s +s 的最大值为 2 21
1 2 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 双曲线 5x2−6y2 =1 的离心率为 .
13. 已知f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0≤θ <2π)是偶函数，f(x)在区间(0,π)单调递增，则θ = ，f(2π)=
3 3
.
14. 设实数 q 满足：存在数列 {a }，使得对于任意 n ∈ N∗，均有 a +a +···+a = n2+n，且 {a } 中有某些项
n 1 2 n n
a ,a ,··· ,a 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为 .
i1 i2 i9
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
C
1
如图，在直三棱柱 ABC−A 1 B 1 C 1 中，∠ACB =90◦，AC =BC，D、E 分 A 1
别为 AB、AC 1 的中点。 B 1
(1) 证明：DE ∥ 平面 BCC B ； E
1 1
(2) 设 CC =2，直线 DE 与平面 ACC A 所成的角为 45◦，求直线 DE 到
1 1 1 C
平面 BCC B 的距离。
1 1
A
D B
数学试题第 2 页 (共 4 页)16. (15 分)
√ √
已知在 △ABC 中，AB =3，BC =2 3，cosB = 3。
3
(1) 求 cosA；
√
(2) 设 D、E 两点满足：D 在 BA 的延长线上，DE ∥BC，AE ⊥AC。若 DE = 6，求 CE。
17. (15 分)
设整数 N ≥ 2。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次。当且仅当投中 1 次或 N 次均未投中时，停止练
习。设该同学每次投中的概率为 p(0<p<1)，各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。
(1) 当 N =4,p= 1 时，求 X 的分布列；
3
(2) 设 k,m 均为自然数。
(i) 当 k ⩽N −1 时，求 P(X >k)；
(ii) 当 k+m⩽N −1 时，证明：P(X >k+m|X >k)=P(X >m)。
18. (17 分)
已知椭圆 C : x2 + y2 =1(a>b>0) 的左焦点为 F(−1,0)，离心率为 1。
a2 b2 2
(1) 求 C 的方程；
(2) 设 O 为坐标原点，过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P,Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C
的另一个交点为 R。
(i) 若 △PQR 的面积是 △PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；
(ii) 求 tan∠PQR 的最大值。
19. (17 分)
已知函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x<0 时，f(x)=2x。对任意 x ∈R，定义集合 D(x )={d∈R|f(x +d)>
0 0 0
f(x )}。
0
(1) 若当 x≥0 时，f(x)=1−x，求 D(−1)；
(2) 若 f(x) 是奇函数，f(x )≤f(x )，且 x x ̸=0，证明：D(x )⊇D(x )；
1 2 1 2 1 2
(3) 设 f(x) 满足： 若 f(x )≤f(x )，则 D(x )⊇D(x )； 当 0<x<1 时，f(x)<f(0)。
1 2 1 2
(i) 证明：f(0)≥1；
(ii) 证明：f(x) 在区间 [0,+∞) 单调递增。
数学试题第 3 页 (共 4 页)
