年普通高等学校招生全国统一考试 新 卷
2026 ( II )
一、选择题 本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题
: 8 5 40 .
给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的
.
1 3 2
8 6 8 6 8 6 8 6
1. − =
【答案】
A.− + B.− − C. + D. −
【解析】B1 3 2 1 6 9 2 8 6 选
若 01−36 9 = − + =− 则 − , B.
2. 01 = { , ,3,6, }, =01 9∣ = 0,39 ∩ =
【答案】
A.{ , } B.{ , } C.{ , , } D.{ , , }
【解析】 A 由 得 0 平方得 2 所以 0或 1 即 01 因此
01 选
= ≥ , = , = = , = { , }.
∩若 = { , },1 A. 3，则
3. 1 + 1 = , 1 − = 1 ⋅ =
2 3 3 2
A【.答案B】. C.− D.−
【解析】D 2 2 4 所以 1 3 1 选
4 2
−
双曲线
+2 2−
1
−
0
=
0
⋅
过
,
点
1
0
⋅
和
= 7=−
3
,
则
D
的
.
渐近线方程为
2 2 2
4. 3 2: − = 2>3, > , ,− ,
A. =± 6 B. =±2
3 6
C【. 答=案±】 D. =±
【解析】B过 10 得 2 1 代入 7 3 得 7 9 1 所以 2 12 渐近线为
2 4 2
2 3 选
, = . ,− , − = , = . =
± 棱 台=±上、下 底, 面均B为. 有一个内角60 的菱形，上、下底面边长分别为 棱台高
为、有、体积为 ∘
5. 2,3,
第 1 页 共 20 页19 19 19 19
12 6 4 2
A【.答案B】. c. D.
【解析】D两个底面积 22 60 2 3 32 60 9 3 所以
1 2 1 2
2 3
3 2 3 9 3 3 3 19∘ 选 ∘ ℎ
1 2 = sin = , = sin = . = + +
3 2 2
甲 、乙=、丙、丁+等 +人分为= 组,，每组D. 人，甲、乙必须在一组，丙、丁不能在
一组 排法有几种
6. 8 2 4
,
【答案】
A.10 B.12 C.16 D.24
【解析】设两组有区分 甲、乙所在组有 种 再从丙、丁中选 人，从其余 人
C
中选 人，与甲、乙同组，有2 4种 所以共有2 2 4 16种，选
. 2 ; 1 4
若1为第二象限角且3 2 × 8. 2 则× 1 × = C.
2
+sin
7. 3 3 1 5, sin cos = sin cos , −cos =
4 5 2 12
A【.答案B】. C. D.
【解析】 C 0 由已知得6 2 8 2 2 所以 2
4 2 又 为第二象限角故 1 2 因此 1 1 选
sin ≠ . sin cos5 = sin c5os −2sin ,2 cos =
+sin
sin若 . 为偶函数且 , sin = 2 ,cos 0 且=−当 . 3 3 −时cos = , 2C.
2
则
8-1. , + − = , ∈ , , = + + ,
2 3 2 3
4 3 4 3
A. =− , =− B. =− , =
【答案】
C. =− , =− D. =− , =
D
【解析】
方法一 由条件得 2 所以 4 。又 为偶函数故
4 。当 3 5 时， 与4 都在 3 3 内，于是
: + 2=−2 , + = 2 ,
4 − 2 = 4 ∈ 2, 化简得− 4 2, 0恒成立所以
4。又令 1 由 1 1 0及偶性得 1 0 所以 3 0 即9
− + − + = + + , + − = ,
3 0 故 3 选
=− = , + − = , = , = , +
+ = , = , D.
第 2 页 共 20 页方法二 两点秒杀。由 1代入原式，得 1 1 0，偶性给出 1
1 ，故 1 0 再由 3 1 0 得 3 0 即9 3 0 只剩
: = + − = =
、 。再由 3 1 0 5 1 0 且 1 1 得 3 5
− 2= ; 2 + 2 = ,2 = , 2 + +2 = , 2 2
即9 3 25 5 所以 4 故选
A D + − = , + = , − = , = ,
4 2 4 2
+若 + =为偶+函数+且 , =− , 2 0 且当 3 3 时 2
2
则
8-2. , + − = , ∈ , , = + + ,
2 3 2 3 4 3 4 3
【答案】
A. =− , =− B. =− , = C. =− , =− D. =− , =
【解析】
D
方法一 由 2 0 得 2 所以 4 即 是
以 为周期的函数。
: + − = , + =− , + = ,
又4 为偶函数 2 2 因此在 3 5 上 2 满足
2 2
4 。
, + = − , ∈ , , = + +
于是− 4= 4 2 4 2 8 16 4 与
2 比较得 8 所以 4。
− = − + − + = + − − + + + , =
又由 + +3 得 ,3 − 1− =0 由 , 1= 得 − 1 1 0 而 1 1 所以
1 0 从而 3 0。
= + = ; = + − = , − = ,
故 =3 , 9 3 = 0 代入 4 得 3 选
方法 二 = 偶函 + 数 加 + 反 = 周 , 期一 眼 = 看 − 出 , 2= 是对 , 称轴 D 所 . 以二次式 2
的对称轴就是 2 即 2 得 4。
: 2 2 , = , = + +
−
同时 1时 1= , 1= 0, 偶 性=−给 1 1 所以 1 0 再由
3 = 1 ,0 得 + 3 − 0。 = 于 , 是9 3 − =0 ,3 选 = ;
+ = , = + + = , = , D.
二、选择题 本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题
: 3 6 18 .
给出的选项中，有多项符 合题目要求 全部选对的得 分 部
. 6 ,
分选对的得部分分 有选错的得 分
, 0 .
已知 2 2 1 2 2 6 8 0 则
9. 圆心 ⊙ 坐 : 标 为 + 3= ,4⊙ : + 9− 时， − 与 + = 轴相 , 切
A.
11时，
−
与
,−
相
B.
切
= ⊙
C. =− ⊙ ⊙
第 3 页 共 20 页若 与 相交，两交点所在直线方程为6 8 2 0
【答案】
D. ⊙ ⊙ + − − =
【解析】BC 的方程可化为 3 2 4 2 25 圆心为 34 错
9时，半
⊙
径
4，圆心到
−
轴的距
+
离
为
−
，所
=
以与
−
轴
,
相切，
正
,
确
,
；
;
= 11时 6= 5 又 1 5 所以两 4 圆内切 正 确 B
若 = 两 − 圆相交 , 两 = 圆 , 方 程 = 相减 , 得 6− 8= , 1 0 错 ,C 故选 ;
等比数列 , 公比 1 + 0 2− − = ,D 记前 ; 项和 B 为 C. 则
1 3 1 2
10. 1 2 ≠ , > , = + , ,
1
2 3
A. =− B. > 2
2
2 1 1 3 1
C【.答 案 +】= + + D. = >
【解析】 A 由 CD 2 得2 2 因 0 所以
3 1 2 1 1 1 1 1
2 2 1 0=即 2 , 1= ,1 0 又= +1 故 , 1 > 正, 确
2
于 是 − − 1 =1 , 2 + 1 −1 = 。当 , ≠ 2时 , ， =− ,A ;1 2
1 2 1 2 1 1
1 3 2 2 3
−
错；
= − = − − = = + = < , B
因 所以
2 1 2 1 1
2 + = + + + + , 2 + = + +1 , 2 0 正确
2 1 1 2 1
又 记 + − + − =因 为 + + 2 + =1 + 所+ 以 = ,C 2 ; 2 。
1 3 1 3 1 3 1 1
而
= =1
1
, 1 =
0 所
−
以
, 2 =
正确
−
故选
=
1 3 2 3 1
= 2 =8− 斜率−为− 0< 的, 直线 过>点 1,D0 ; 为A等CD边.三角形 在 2
8 上 在 上。
11. : = , > − , ,△ , =
抛物 , 线 , 准线 方程为 2
A. 与 2 8 无交点时 =− 2
与 相交于唯一点 则抛物线焦点在直线 上
B. = >
C. 2时， 面 积, 最小值为 3 。
15
D【.答 =案】 △ .
ABD
第 4 页 共 20 页【解析】
方法一
由 2 :4 得 2 准线为 2 正确。
直线 = 为 = 1, 。联立 = 2 − 8, 得 2 2 2 2 8 2 0
2 2 8= 2 4+ 4 32 2 2= 。 所以 无 交+点时 − 2+， =正确, 。
Δ若=唯一 交−点为 −则 = 2 切−点 12 2 焦点 2 0>。此时 的斜率为 2 2
的斜率为 2 两直线夹角 满足 2 3 60 。而 在 上且
, = , , , , − ,
为等边三角形，直线 与 的夹角必须为60 ，故焦点∘不在直线 上， 错。
, t2an = ≠ = tan , △
当 2时 2 2。设 则点 到∘ 的距离
8
=2 , : =2 + , ,
4 2 4 2 1 1 。等边三角形以 为底时 2 所以
−
− 5+ 5 + 5 3
= 1 = 3 ≥ , = ,
， 正确。
5 3 15
故m选in = = D
方法二
ABD.
抛物线 : 2 8 即 2 4 故 2 准线 2 正确。
用参数 = 2 2 4= 切 线 , 为 = , 2 2 = 。 − 过 ,A 10 时有0 1 2 2 由
1 1
0取 ，临界斜率 2。斜率更大时与抛物线无交点， 正确。
2 = , , = + − , =− + , >
临界 切=点仍为 12 2 。=若 =焦点 20 在 上，则 就是 B。因为 与
重合必有 60 。但由斜率直接得 2 3 矛盾 错。
, ,
∘
2
面积,秒杀点∠ 等 边 =三角形的面积只由顶点 ta到n∠直线 , 的=距离≠决定,， ,C 。当
3
4 1 1
2时与 平行的抛物线切线给出最小距离。由 2得 2 于是
: = =
2 5
′
3
, 正确。 = = , , = ,
15
故m选in = ,D
三、填空题 本大题共 小题，每小题 分，共 分
ABD.
等差数列 : 1 3 5，则 5 15 .
1 4 6
【答案】
12. =− , = =_____.
24
第 5 页 共 20 页【解析】设公差为 由 3 得5 1 3 所以 2 又 5
4 1 6 1
9 则 1 1 3 5 7 9 24 应填
6
, = + , =− + , = . = + −
, 函 数 =− + 2+ 2+ 2 + + 有 = 两个 , 零点 : ， 24 则 . 的取值范围为
−
1 【 3 答 . 案】 4 = + − _____.
【解析】令,+∞2 则 0 且22 4 原方程等价于 4 因为 2 与 一
一对应两个零点等 价于上式有两−个 正根 当 0时 4 4 当且仅当 2时取
= , > , = . + = . =
等号所以要有两个正根需 4 应填 4
, . > , + ≥ , =
, 2 22 有 , 两 个 > 零点 , : 取值 ,+ 范 ∞ 围 .
1【3答. 案 】= + − , _____.
【解析】 ⌀ 设 2 则 0 原方程化为 2 0 即 2 函数 2 在
0上单调递增 值域为 0 所以 0时方程只有一个实根 0时方程无
= , > , + − = , = + . +
实根 故不存在使 有两个零点的 应填
> , ,+∞ , > , ≤
.球 体积为 4 3 四点 均,在球:面⌀上. ， 为等边
3 则 面积为
14-1. , , , , △ . = =
【 答=案】,27△3 .
16
【解析】
方法一 设球半径为 则 4 3 4 3 所以 3
3
又 : 3 且 , = , = .
因此 都在两等半径球的交圆上该交圆圆心是 的中点 半径
= = , = = , = = , = = .
2
3 3
2 , , 3 , , =
2 4 2
− = − = .
因为 为等边，所以其外接圆半径为 ，边长 3 3 3
2
所以 △ 3 2 3 27 27 3 应填 27 3 = = .
4 4 4 16 16
方法二 △ 由 体=积直 接=得球⋅半=径 , 3 而: . 3 所以 是等边三
角形
: = , = = = , △
3 3
设 .为 的中点则 同理 且 都在垂直于 的同一
2 2
平面内所以 是 的外心
, = . = = , , ,
2
等边三,角形面 积只△由 外 接 圆半径.确定， 3 3 2 3 3 3 27 3
4 4 2 16
= = ⋅ = .
第 6 页 共 20 页球 体积为4 3 四点均在球面上 为等边
2则 面积为
14-2. , , , , ,△ . = = =
【答案△】 5 3 _____.
4
【解析】
方法一 设 的边长为 为其中心则 由 与
3
知 共线且 垂直平面
: △ , , = . = = =
2 2
记 = , , , 由 ,2 2 2 3 得 2 . 2 2 3 作差得 2 2 1
3 3
又 = ℎ, 3 若= . 在 同=侧,则 = , ℎ 3 从+ = , + = 1 , 得 −1ℎ 与=
3
矛盾 故不在同侧所以 3 1 1
= . , , −ℎ = , −ℎ +ℎ = +ℎ = ,
3 3
于
+
是
ℎ >2 −
2
ℎ
2
;5
2 5 所以
, +ℎ =3
2
, −5 3ℎ = ,ℎ = .
3 3 4 4
方法二=由球−体ℎ积=得, = 3, △ 3 = 同=在球. 与以 为球心、 2为半径
的球的公共圆上此圆即 的外接圆
: = , = . , ,
设公共圆半径为 , 平面到 △ 的 距离为 . 截圆公式给出 2 2 2 2 1 所以
2 3
2 2 2 2 5 + −
, . = = ,
3
等边 = 三角形 − 面 积 = 只由 . 外接圆半径决定， 3 3 2 5 3 ，应填 5 3
4 4 4
已知球的体积为4 3 四 点 △ 均 在 =球表 面上= ， :为正.三角形，
2，则
14-3. , , , , △
【 答=案 】 =5 3 − △ =_____.
4
【解析】
方法一 设球半径为 则 4 3 4 3 所以 3
3
设 : 的外心为 , = 因, 为 = . 所以 平面 且
2 2 2
△ , = , = ℎ. = = , ⊥ ,
建立+ℎ坐标= 系. 令 000 00 00 球心为 00 由 2 得 2
2 2
, , , , , ,ℎ , , , , , , . = , +
ℎ由= . 得 2 2 2 2 所以 2 2 2
2 2
于是 = = , 0 + = ℎ− = , = ℎ − ℎ ,
2
ℎ +
ℎ− = ℎ > .
第 7 页 共 20 页从而 2 2 1 故 1 1 2 2 1 5
2 3 3 3
ℎ +
正三角 形 = ℎ 边 − 长 = ℎ = 3 ℎ ， , 因 ℎ 此 = = , 3= − 2 =3 . 3 2 5 3 ，应填 5 3
4 4 4 4
方法二 仍设 为 = 的外心 △ = 球 半 径= ⋅ 3 = : .
在过 的截面圆中球心在直线 上 记 则 2 2 2 且
: △ , = ℎ, = .
, , , . = , = − , ℎ = ±
于是 直. 接得到 2 2 2 2 2 2 2 2
所以 2 2 =1 +2 =2 − 2 +2 ±1 5 = ± = ℎ.
2 2 3 3 3 3
正三角 ℎ 形 = 面 积 = 与外 = 接圆 , 半 径 = 满 足 − =3 3 − 2 = 故 . 3 3 5 5 3
4 4 3 4
四、解答题 本大题共 小题 共 △分 解=答应 写 出, 必 要△的 文=字说⋅明、= 证明. 过程或演
算步骤
: 5 , 77 .
分 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间 天 ，得到频
.
率分布直方图如下
15.(13 ) ( )
.
求第一四分位数和中位数；
为首次故障时间小于 的概率估计值
(1)
(2) 求 365 :
(i)
工
厂
;
向某用户出售 件电子元件 为这 件产品首次出现故障小于
天件数则 100 求
(ii) 100 , 100 365
, ∼ B , , E ,D .
第 8 页 共 20 页【解析】
方法一 由频率分布直方图可得各组频率依次为
0:(.010)5 10 0.050.010 10 0.100.020 10 0.200.025 10 0.25
0.015 10 0.150.015 10 0.150.010 10 0.10
× = , × = , × = , × =
累积频率依次为
× = , × = , × =
0.25 0.15
0.05,0.15,0.35,0.60,0.75,0.90,1.
365 370
1 0.020
−
= +0.50 0.35 = ,
375 381
0.025
−
所以第一四分位数为 中 位=数为+ = .
首次故障时间小于 天对应前两组，
370, 381.
(2)(i) 365 0.05 0.10 0.15
由 1000.15 得 = + = .
(ii) ∼ B , , 100 0.15 15
100 0.15 0.85 12.75
E = × = ,
分 如图，三棱锥
= × × = .
中， ， ， ，
16.(15 ) −
∈ ⊥ ⊥ ⊥ .
求证 ；
(1)若 : 2⊥ 1 2 2 3，求 与平面 所成角的正弦值
【解析】
(2) = , = , = , = .
第 9 页 共 20 页方法一 因为 都在平面 内，且 ，
又 所以 平面 从而
:(1) , ∩ =
又 都在平面 内且
⊥ , ⊥ , ⊥ , ⊥ .
所以 平面
⊥ , , , ∩ = ,
因为 所以 在平面 内故 平面 于是
⊥ .
由 知 平面 ，所以 ，
∈ , , ⊂ , ⊥ .
(2) (1) ⊥ ⊥ 2 2 ⊥6 .
= 2 + 2 =3 2,
= 2+ 2= 4 ,
又 2 2 2 所以
= − = .
以 为原点， 所在直线为 轴，过 且平行于 的直线为 轴， 所在直
= + , ⊥ .
线为 轴建立空间直角坐标系
则 000 200 100. 00 2 22 3 0
所以 , , , 20 , , 2, − , , ,1 0 , , 2 , , 22, 3. 2
设平面 = 的, 一,−个法向, 量 =为 − , ,− ,由 = , 0,− . 0 可取
= 2, 6, ,3 2 ⋅ 2 =3 , ⋅ = ,
设 与平面 所成角为 又= ,− 6 6,− .
的 长度为 6 ， 的长度为 ,3 6 ， ⋅所 以= ,
6 6 6
6 3 6 3
sin = = .
6
故 与平面 所成角的正弦值为 ⋅
3
中 3 2 . 1
4
17-求1.证△ ,为co钝s 角=三角,co形s； + +sin sin = .
(1)若 △ 面 积为 7 ，求 周长
4
(2) △ △ .
第 10 页 共 20 页【 解析】
因为 ，所以
3
(1) + = −
4
由 2 1c得os + =−cos =− .
9 7
cos + +sin sin = ,
1
16 16
又 sin sin = − = .
3 7 5
cos + = cos cos −sin sin ,
4 16 16
所以 0 而 co0s 故cos =中−有一+ 个为=−钝角. 为钝角三角形
设内角 的对边分别为 ，面积为
cos cos < , cos > , , ,△ .
(2) , , , , .
9 7
1
16 4
sin = − = ,
1 1 7 7
所以 2
2 2 4 4
由= 知 sin = ⋅ 7 =设 , 的 外= 接.圆半径为 ，由正弦定理得
16
4 2 4 2 7 7 2 2
(1) sin sin = . △ =
16 4
所 以sin 2sin8 从=而 ⋅ = = ,
7
= ,
8 7
2 2 2
7 4
= sin = ⋅ = .
由余弦定理 2 2 2 2 得
= + − 2 c 2 os , 2 2 2 3 5
2 2 2 2 5 +4 =9 所+以 cos 3= + = .
故 + = 的周+ 长为+ = + =3 , 2 + = .
△ 在 中， +， + ，= 的+ 对边. 分别为 ， ， ， 3， 2
4
1
17-2. △ cos = cos +
证明 为钝角三角形；
+sin sin =
(1) △
第 11 页 共 20 页7
已知 ，求 周长
4
(【2)解析】 △ = △ .
由 ，得 ，所以 2 2 9 由题意得
16
7
(1) + 1+6 = + = − cos + = cos = .
s又in si2n = 1 . 2 7 所以 2
16
由正sin弦 定=理 −cos = , 于是sin sin = sin 1 .即 2
2 2
sin sin
由余弦定理,sin2 = s2in =2sin 2 , = s2in 2= 3, = .
2
将 2 代, 入，= 得+2 −2 5cos ，=即 2 +2 − 5 2 . 2 0
2
所以 =2 2 +0 解=得 2 或 −2 + = .
若 2 − 则 2 − =2 2 , 2 4 = 2 2 2 = 3. 2 所以 为钝角
若 =2 , 同理 = 为 钝 = 角 , = > + = , ;
所以， 为钝角三角形
= , .
因为△ 1 . 7 又 7，所以 2
2 4 4
(由2) 知 △2 = 2 s，in所 ,以sin = 2, △ = = .
又 (1)2 或 = 2= ，且 2= ，所 . 以 3
因此 = 的=周长 为 = 3 2 + = .
2
△ 分 已知椭圆 + + 2= 1+ .1 ，过椭圆焦点作垂直于 轴的直线，截
2
椭圆所得弦长为 2。
18-1.(17 ) : + = >
求椭圆 的离心率；
(1)
设点
在椭圆 上且 0，过 作 轴的垂线，垂足为 ；点
0 0 0
0 ， 0 连接 、 两直线交于点 点 的轨迹记为 。
(2) , ≠
求轨迹 的方程
, > , , ,
(i) 当 取何 值时轨;迹 存在对称中心 并将该曲线平移得到曲线 使坐标原点
为 的对称中心，判断 是什么曲线 ′
(ii) , ? ,
′ ′
?
第 12 页 共 20 页【解析】
方法一 椭圆中 1， 2 2 1。过焦点且垂直于 轴的弦为 ，代入椭
圆得 2 2 1 所以 2 1 2 1 1 弦长为 2 。
2:(1) = = 2 − 2 =
−
由2 + 2 得 = , 2， = 1 − ，故 = , 2。
2
= 由 , 知 椭 = 圆 2 = 2 1。 设 = = ，直线 的方程为 1，直线
2 0
上点满足 。
(2)(i) (1) : + = , + =
0 0
联 立得 0 = 0 于是 。
0 0
0 0
代入 0 2 = 2 + 1 , ， = 得 + 1 , 2 = −2 , 1 = ， 化 − 简得 2 2 1 2 。
0
2 2 2
+ = − +2 − = 2 + = −
所以轨迹 所在曲线方程为 2 1 。因 0 实际轨迹中 0。
0
2
将方程 展开得 1 1 2 +2 2= 1 − 0。 ≠ , ≠
2 2
(当ii) 2时方程, 为 −2 2 + 1 +0 此−时=为抛物线没有对称中心。
当 = 2时,曲线有对 称+中心 − = 2 ,0 。令 , 2 则平移后曲线
2 2 2 2
满足 1 1 2 2 2 。 ′
≠ 2 2 , 2 2 − , = − − , = ,
− + 2 2=2 2− 2 2 2 2 2 2 2
若0 2 则 1 所以 是双曲线 若 2 则
2 4 2 2 4
2 2 2 − − ′ −
1 所以 是椭圆。
2 < < , − = , ; > , +
− ′
综上 = 0且, 2时轨迹 存在对称中心 平移后 0 2时 为双曲线
2时 为椭圆。 ′
, > ≠ , ; , < < ,
′
方>法二 过焦点且垂直于 轴的焦点弦长为 2 2 。这里 1 所以 2 2 得
2 1 故 2。
:(1) = , = , =
2
, =设 , =，且 在 上，记 ，则 ， 。
0 0
(又2)(i)在 上, 而 的截 距 式为 = 1 所以 = 1 =。
0 0
, 2 + = 2, = = − 2
因为 在椭圆 2 1上，所以 2 2 1 。
2 2
, + =2 +2 = = −
故轨迹 所在曲线方程为 2 1 。
2
ℳ + = −
第 13 页 共 20 页由 2 2 1 2 直接得 1 1 2 2 2 1 0。
2 2 2
(二ii)次项中+ 2的=系数−为 ,时即 −2时 曲 线+退 为+抛 −物线=没有对称中心 其余 0
时直接配方中心为 2 0 。
202 , = , , ; >
把 , 中心平移到 , 原点后方 − 程 , 为 1 1 2 2 2 。所以0 2时两二次项异
2 2 2 2
号 为双曲线 2时两二次项同号且有实点 为椭圆。
, − + = − < <
′ ′
2
, 分 椭;圆 > 2 1 过右焦点且垂直于, 轴的直线被 截得弦长为 2
2
18-求2.离(1心7 率) ； : + = , .
(1) 为坐标原 点，给定点 0 0 ； 0 在 上，过点 作
0 0 0 0 0
轴垂线，垂足为 与 交于点
(2) , ≠ , ≠
当 在 上运动时， 的轨迹为
, .
求 的方程
.
(i) 为何值时; 有中心点 当 有中心点时平移 到 使 为 的中心点
0
说明 是什么形状 ′ ′
(ii) , ? , , ,
′
【解析】
?
方法一 设椭圆半焦距为 ，则 2 2 1
2
过右焦:点(1且) 垂直于 轴的直 线为 = 代入− .得 2 1
2
所以 2 1 2 1 截得的弦长 为 =2 于 , 是 2 2 得 + = 2 . 1 故 2
2 2 2
由 = 知 − =2 . 2 1 设 , ，因为 = 0 , ， = 且 , 同 = 时在 , = 与 = 上 . 故
0
2
存在实数 使 即
0 0
(2)(i) (1) : + = . , , ,
又 在 上 , 可 写 = 成 , 1= , = 于 . 是 1
0 0
由 1 , 得 = 0−所 以+ ,0 0 = 0 0− , = .
0 0
0 0 0 0 0 0
= − , = + , 2 = + , = 2 + .2
反解得 0 0 代入 0 2 1 得 0 2 1
0 0 0 0 2 0 0 2 2
故 的 方程 = 为 − 2 , 2= − 2 . + 2 其 = 中 , 实际 轨 − 迹满足 + = 0 .
0 0
2
2 + = − , ≠ .
展开得 0 1 2 2 2 2 2 0
0 0 0
2
(ii) − + + − = .
第 14 页 共 20 页当 2 2时， 2 项消失，方程化为 2 1 0，为抛物线，无中心点
0 0
当 2 = 2时中 心为 2 0 0 所以 有+ 中 心−点的=充要条件是 2 .
0 2 2 0
0
令
≠ 2,
0
则
− ,
为平
,
移后
的中心
≠± .
2 2
0 ′
若 0 = − − 2 , 则 = , 2 0 2 2 2 2 0 2 2 1 所 . 以 为双曲线
0 2 4 2
′ − 0 −0 ′
若 < 2 < 则 , 0 2 : 2 2 2 0 2 − 2 2 1 所 = 以 , 为 椭圆 .
0 2 4 2
′ −0 −0 ′
> , : + 2 2 = , 2 . 2
方法二 椭圆的通径长为 本题 1 所以 2 从而 2 1
2
用:截(1距) 式更快 直线 的 方, 程为 = , 1 ，=直线, 与 = 同, 线=，故, = 0.
0 0 0
( 当 2)(i) 0时两式相除 . 整理 得 1 1 1 且 + = 0 于是 0 0 当 = 0 时
0 0
0 0 0 0 0
也对应同一公式
≠ , = + , = , = − , = − ; =
代入 0 2 2 1 . ，很快得到 2 2 2 2 ，即为 的方程，实际轨迹满
0 0 0
2 2
足 0
+ = + = −
将≠方程. 变形为 2 2 1 2
2 0
(ii) + = − . 2
令 则 2 2 1 2
2 0
这就 是 = 以 , 原 点 = 为 , 焦点 、 + 准 线 = 为 − 0 、离 . 心率为 2 的二次曲线
2 0
所以 2时为抛物线无中 心 = 点 2时有 中心点中心为 . 2 0 0
0 0 2 2
0
= , ; ≠± , − , .
平移到中心后二次曲线形状不变因此0 2时 为双曲线 2时
0 0
为椭圆 ′ ′
, , < < , >
. 分 已知 3 1
19-
当
1.(17
0时
)
，
= − +
对
.
0恒成立，求 的取值范围；
(1) 当 > 0时， + − > 2∀ > 对 0恒成 立，求 的最小值
【解析】
(2) > + + − > ∀ > .
方法一 令 ，
则 :(1) ℎ =1 + − 4 −
ℎ = − + − .
第 15 页 共 20 页若 0 则 时 不合题意 若 0 则 0 也不合题意
故 0
< , →+∞ ℎ →−∞, ; = , ℎ = , .
当 > 0.时 1 1 0
′
所以 > , 在 ℎ 0 = 上 单调 − 递增 + + > ,
当 从 ℎ 右 侧趋于 ,+ 时 ∞ . 4 因此原条件等价于 4 0
即 4 0 ,ℎ → − , − ≥ ,
故 的 ≥ 取 ln 值 . 范围为 4
令 [ln ,+∞). 2 ，
( 则 2) = + + 2− −
− −
记 = 2+ − + − 当 0. 时 0
− −
再记 = + −2 , 即 = − . > 2 , > . 2
− −
有 0 0= − , = − − 且 + − . 0
′ − − ′′ −
所以 = , 0 从 而= + 0 − − , = − > .
′
若 2 则 > , > .2 0 故原不等式恒成立
若 ≥−2 ,由于 0= 0+ 0+且 0> ,2 2 0 所以. 0足够小时
0 不合题意 ′ ′′
<− , = = , = + < , >
故 < 2, 的最小值 . 为
方法二 不等式 可转化为
≥− , -2.
令 :1(1) + 4 − 1 > + − + > − .
则原
题
等
=
价
于
− = − +
对任
,
意 0恒成立
求导得 +1 > 4 易知 在> 0 .上单调递增
′ ′
因为 0 =3 +0 1− 2. 4 0 所以存,在+∞唯一 01 . 使得 0
0 0
′ ′ ′
当 0 =−时，< , =0 − 单>调递, 减； ∈ , , = .
0
′
当 ∈ , 时 < 0, 单调递增
0
′
令 ∈ ,+∞ , > 则, .
′ ′ ′
若Δ 0= 当 + − 时, Δ = + − .
0
′ ′
≤ , > − , + ≤ ,
第 16 页 共 20 页从而 0 单调递减且 时 不恒大于 不合题意
′
若 Δ 0 ，≤由于,Δ 在 0 , 单→调+递∞增，Δ →−∞, 0, .
′
故 > ,+∞0 在 0 单调递增
′ ′ ′
所以 Δ = 0+ − >0,Δ 4,+∞ .
要使 Δ > Δ0恒成 = 立 只 需 − =4 −0 即 . 4 0
因为 Δ 0> 所以 , 4 解 得 − 4≥ , − ≥ .
所以 的 > 取 , 值范围 是 ≥ ,4 ≥ ln .
不 等式 [ ,+∞)2. 恒成立，
( 令 2) + + − >2
则问 ℎ 题 转 = 化 为 + + 0 在 − −0时 恒 成 . 立且 0 0
求导得 ℎ > > 其中, ℎ = .1 3
′ ′ ′ ′
再求导得ℎ = + − − , 其 中 = + 2− .
′′ ′′ ′′ ′′
由 ℎ0得 = 2 +所 以+ −在 , 2 单 调=递 减+ 在 .2 单调递增
′′ ′
要使
=
0恒
成
=−
立我
.
们分析
其
必要条
−∞
件
,− , − ,+∞ .
若 ℎ 2 >则 0 ,2 2 2 :0
′′ ′′
由于 <−0 , 0ℎ这说=明在 充=分接 近+ 时 < . 0 进而 0 0 矛盾 所以
必须有′ 2 ′
ℎ = , 0 ,ℎ < , ℎ < ℎ = , .
下面证明
≥−
.2是充分的
当 2 时≥设− :
′ ′ ′
则 ≥− , = ℎ = + − − ,
′ ′′ ′′
因为 = 2且 + 0− 所 以 − . 且 2
如果 ≥− 2 则> , + 0> − +从 >而− . 0
′′ ′′ ′
如果 − ≤−2 ,由于 + > ≥2 在 − ,2时单 调 递增> 且. 所以
亦′′有 0
− >− , = + >− , + > − ,
′′ ′′ ′
因此 +对 于>任 意 − 0和, 2 > . 2 2 2
′ ′
, > ≥− , ≥ − = − − − − .
第 17 页 共 20 页而 2 2 1 2 1 2 2
′ ′ − − − − −
− − − − = − − − − = + − −
−
令
.
− −
求导 得 = + − − , 0 对于 0
′ − − − −
所以 =0 +0 从 + 而 − −2 +0 = − > ( > ).
即 >0在 =0恒, 成立 ≥在 −0 > 单. 调递增 0 0恒成立 综上
的最′ 小值为
ℎ > > ,ℎ ,+∞ ,ℎ > ℎ = . ,
方法三 必要条件探路 题设不等式即
-2.
令 :(1) : 4 1 + − − > − ,
则
= − =
对
−0恒
成
+
立
.
让 +0 必 > 然 有 > 0 即 . 4 1 1 4 0
+
显然 → 不能 , 0 否 则 ≥ 时 , 减 − 小 故 + ≥ 0⇒ 得 出 − 4≥ 充 . 分性验证
当 4时由于 1 4是增函数
≤ ( →+∞ ), > , ≥ ln . :
由于被积函数单调递′增随 增大积 分区间右移积分值增大 + ′
≥ ln , = + − . + − = .
故 , 0, 4. 0 充分性得证
0
′
因此 +的 取−值 范 围是> 4 = − = − ≥ . .
端 点效应秒杀 原不 [ 等 式 , 转 +∞ 化 ) 为 . 2 0在 0
时恒成立
(2) : ℎ = + + − − > >
由于 0 . 0 0 0 由局部泰勒展开可知必须有 0 0才能保证 趋近于
的右侧时函数值′为正 ′′
ℎ = ,ℎ = , , ℎ ≥ 0
′′ ′′ ′′
故 0 2 2.ℎ 2 = 0+ + − ,
′′ ′′
直接 ℎ 解得 = 2 = 全局 验 + 证 下 ≥ 证 . 2满足条件即可
当 2 时≥− . 2: =− 2 2 1. 1
′ ′ ′ − −
令 =− ,ℎ1 = −1 −则 − − = − + + .
− ′ − −
当 0=时 − 0+故 + , 0 0 从= 而 − 0= − .
′ ′
故 > 在 , 0时 > 单调 , 递 增 ， > = 0, 0ℎ 恒 成立 > .
由于 ℎ 2> 为必要条件且 ℎ 2时 > 成 ℎ 立故 = 的最小 . 值为
≥− , =− , -2.
第 18 页 共 20 页分 已知函数 曲线 在点 0 0 处的切线方
程为 2 1。
19-2.(17 ) = + + , = ,
求 ；
=− +
(1) 若对 , 任 意 0 恒成立求 的取值范围
(2)若对任意 >0, + − > 2 恒成, 立 求 的最小值; 。
2
(3) > , + + − > + ,
【解析】
方法一 1 ，所以 0 ， 0 1 。
′ ′
由切线 : 方 (1 程 ) =2 +1 得 + 11 2 = 所 以 3= +1 。所以
3=− 1 。 + , = , + =− , =− , =
令 = − + ，则 4 。
( 若 2) ℎ0 ， = 原 不 等式为 0 +0 ， − 不 成 立 − 。 = ℎ + −ℎ −
若 = 0 当 时 > 4 1 4
不成立。
< , →+∞ ,ℎ + −ℎ − = − + − →−∞,
若 0 设 4 。因为 1 在 0上单调
递增 所以 ′
> , = ℎ + −ℎ − ℎ = + >
, 0 故 0 4 。
′ ′ ′
要对 任 = 意 ℎ +0 恒 − 成 ℎ 立 需且 > 只 , 需 > 4 =0 。 又 − 0 所以 4 即
4综上， 4。
> , − ≥ > , ≥ , ≥
ln
先说明题
干
≥
中
ln
的一个细节 因为 0对任意实数 恒成立，若不限制
2，则 2时右边为负，左边为正，条件恒成立，此时 无最小值。下面
(3) : >
按求最小值时常用的有效限制 2处理。
>− <−
当 0 3 1 0 >当− 0 1 2 3 1 1 2
2
3
0。故 0。
< , = − + > ; ≥ , ≥ + + − + = − +
2
令> > 则
= + + − , 1 。
′ ′ ′ − −
2
当 2= +1 时−令 −0 左=边 趋 于+2 −右 边为+ 。+由 于0 2 1且
2
0 有2 2 故不成立。
− < <− 2 , → , , + < + <
> , + > ,
第 19 页 共 20 页当 1时由上式得 0 所以 0 2 。又 2 1 所以
2 2 不等式成立′。
≥− 2 , > , > = + ≥ ,
因 此 在≥ + 2, 下 1 最小值为 1。严格按原题字面 2或 1
均成立 所以不存在最小值。
>− , ≥− , min =− , <− ≥−
方法二, 切线过 0，截距就是 0 ，斜率就是 0 1 。故 1，
1 2 即 3 1。 ′
:(1) = = = + =
+ 仍 令 =− , =− 。 , 若 = 0，取 足够大， 4 0，不成
立； 0也不成 立。
(2) ℎ = < ℎ + −ℎ − <
对 0= 令 0 必须有 4 0 所以 4。
反过 来 > 若 , → 4, 则对任意 −0 ≥ , ≥ ln
, ≥ ln , >1 , 4 0。
+
故 + −4 。 − = − + − >
2
先用≥ ln 0确定必要条件。在 2下，必须有2 。由于 0
2
得 1。
(3) → >− ≥ + > ,
若 ≥−1 则 2 2
2 。 − −
≥− , + + − − = + − + − ≥
− −
令 − − + − 2 则 0 0 0 故
0因此 − − 2 2 所以′ 1 在− 2下 。
= − − + − , 2= , = + > ,
若不加 2 仍无最小值。
> + + − > ≥ + , min =− ( >− )
>− ,
第 20 页 共 20 页
