2021年高考数学试卷（新高考Ⅱ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2021·高考数学真题

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷） 使用省份：海南､辽宁､重庆 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 2-i 1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） 1-3i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 2-i 【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置. 1-3i 2-i 2-i1+3i 5+5i 1+i æ1 1ö 【详解】 = = = ，所以该复数对应的点为ç , ÷， 1-3i 10 10 2 è2 2ø 该点在第一象限， 故选：A . 2. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B ={2,3,4}，则A I ð U B=（ ） A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3} 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求AÇ ð B . U 【详解】由题设可得ð B=1,5,6 ，故AÇ ð B =1,6 ， U U 故选：B. 3. 抛物线y2 =2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2 ，则 p=（ ） A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 p的值. 第1页 | 共20页æ p ö 【详解】抛物线的焦点坐标为ç ,0 ÷， è 2 ø p -0+1 其到直线x- y+1=0的距离： 2 ， d = = 2 1+1 解得： p =2( p=-6舍去). 故选：B. 4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位 于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一 个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直 接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S =2pr2(1-cosa)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ） A. 26% B. 34% C. 42% D. 50% 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： 6400 1- 2pr2(1-cosa) 1-cosa 6400+36000 . = = »0.42=42% 4pr2 2 2 故选：C. 5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） 56 28 2 A. 20+12 3 B. 28 2 C. D. 3 3 【答案】D 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 第2页 | 共20页因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，  2 所以该棱台的高h= 22 - 2 2- 2 = 2， 下底面面积S =16，上底面面积S =4， 1 2 1   1   28 所以该棱台的体积V = h S +S + S S = ´ 2´ 16+4+ 64 = 2 . 3 1 2 1 2 3 3 故选：D. 6. 某物理量的测量结果服从正态分布N  10,s2 ，下列结论中不正确的是（ ） A. s越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B. s越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. s越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. s越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，s2为数据的方差，所以s越小，数据在m=10附近越集中，所以测量结果落在 9.9,10.1 内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 ，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在 9.9,10.0 的概率与落在 10.2,10.3 的概率不同，所以一次测量 结果落在 9.9,10.2 的概率与落在 10,10.3 的概率不同，故D错误. 故选：D. 第3页 | 共20页1 7. 已知a =log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ） 5 8 2 A. c r ， a2 +b2 则直线l与圆C相离，故B正确； r2 若点Aa,b 在圆C外，则a2 +b2 >r2，所以d = < r ， a2 +b2 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点Aa,b 在直线l上，则a2 +b2 -r2 =0即a2 +b2=r2， r2 所以d = = r ，直线l与圆C相切，故D正确. a2 +b2 故选：ABD. 12. 设正整数n =a 0 ×20 +a 1 ×2+ L +a k-1 ×2k-1+a k ×2k，其中a i Î0,1 ，记wn=a 0 +a 1 + L +a k ．则（ ） A. w2n=wn B. w2n+3=wn+1 C. w8n+5=w4n+3 D. w  2n -1  =n 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用wn 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 第8页 | 共20页【详解】对于A选项，wn=a 0 +a 1 + L +a k ，2n=a 0 ×21+a 1 ×22 + L +a k-1 ×2k +a k ×2k+1， 所以，w2n=a 0 +a 1 + L +a k =wn ，A选项正确； 对于B选项，取n=2，2n+3=7=1×20 +1×21+1×22，\w7=3， 而2=0×20 +1×21，则w2=1，即w7¹w2+1，B选项错误； 对于C选项，8n+5=a 0 ×23 +a 1 ×24 + L +a k ×2k+3 +5=1×20 +1×22 +a 0 ×23 +a 1 ×24 + L +a k ×2k+3， 所以，w8n+5=2+a +a + +a ， 0 1 L k 4n+3=a ×22 +a ×23+ +a ×2k+2 +3=1×20 +1×21+a ×22 +a ×23+ +a ×2k+2， 0 1 L k 0 1 L k 所以，w4n+3=2+a 0 +a 1 + L +a k ，因此，w8n+5=w4n+3 ，C选项正确； 对于D选项，2n -1=20 +21+ +2n-1，故w  2n -1  =n，D选项正确. L 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． x2 y2 13. 已知双曲线 - =1a>0,b>0的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________ a2 b2 【答案】y =± 3x 【解析】 b2 【分析】由双曲线离心率公式可得 =3，再由渐近线方程即可得解. a2 x2 y2 【详解】因为双曲线 - =1a>0,b>0的离心率为2， a2 b2 c2 a2 +b2 b2 所以e= = =2，所以 =3， a2 a2 a2 b 所以该双曲线的渐近线方程为y =± x=± 3x. a 故答案为：y =± 3x. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x: _______． ① f x x = f x  f x  ；②当xÎ(0,+¥)时， f¢(x)>0；③ f¢(x)是奇函数． 1 2 1 2 第9页 | 共20页【答案】 f x= x4（答案不唯一， f x= x2n nÎN* 均满足） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的 f x . 【详解】取 f x= x4，则 f x x =x x 4 = x4x4 = f x  f x ，满足①， 1 2 1 2 1 2 1 2 f¢x=4x3，x>0时有 f¢x>0，满足②， f¢x=4x3的定义域为R， 又 f¢-x=-4x3 =-f¢x ，故 f ¢x 是奇函数，满足③. 故答案为： f x= x4（答案不唯一， f x= x2n nÎN* 均满足） r r r r r r r r r r r r r 15. 已知向量a+b+c=0， a =1， b = c =2，a×b+b×c+c×a=_______． 9 【答案】- 2 【解析】 r r r2 【分析】由已知可得 a+b+c =0，展开化简后可得结果. r r r2 r2 r2 r2 r r r r r r r r r r r r 【详解】由已知可得 a+b+c =a +b +c +2 a×b+b×c+c×a =9+2 a×b+b×c+c×a =0， r r r r r r 9 因此，a×b+b×c+c×a=- . 2 9 故答案为：- . 2 16. 已知函数 f(x)= ex -1,x <0,x >0，函数 f(x)的图象在点A  x , f x  和点B  x , f x  的两条切 1 2 1 1 2 2 | AM | 线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______． |BN | 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得x +x =0，结合直线方程及两点间距离公式可得 AM = 1+e2x 1 × x 1 2 1 ， BN = 1+e2x 2 × x ，化简即可得解. 2 ìï1-ex,x<0 ìï-ex,x<0 【详解】由题意， f x= ex -1 =í ，则 f¢x=í ， ïîex -1,x³0 ïîex,x>0 第10页 | 共20页所以点A  x ,1-ex 1  和点B  x ,ex 2 -1  ，k =-ex 1,k =ex 2, 1 2 AM BN 所以-ex 1 ×ex 2 =-1,x +x =0， 1 2 所以AM : y-1+ex 1 =-ex 1 x-x ,M  0,ex 1x -ex 1 +1  ， 1 1 所以 AM = x2 +  ex 1x 2 = 1+e2x 1 × x ， 1 1 1 同理 BN = 1+e2x 2 × x , 2 AM 1+e2x 1 × x 1+e2x 1 1+e2x 1 所以 = 1 = = =ex 1 Î0,1 BN 1+e2x 2 × x 1+e2x 2 1+e-2x 1 . 2 故答案为：(0,1) 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x +x =0，消去一个变量后，运算即可得解. 1 2 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 记S 是公差不为0的等差数列 a  的前n项和，若a = S ,a a = S ． n n 3 5 2 4 4 （1）求数列 a  的通项公式a ； n n （2）求使S >a 成立的n的最小值． n n 【答案】(1)a =2n-6；(2)7. n 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； 3 (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：S =5a ，则：a =5a ,\a =0， 5 3 3 3 3 设等差数列的公差为d ，从而有：a a =a -da +d=-d2， 2 4 3 3 S =a +a +a +a =a -2d+a -d+a +a -d=-2d， 4 1 2 3 4 3 3 3 3 从而：-d2 =-2d ，由于公差不为零，故：d =2， 数列的通项公式为：a =a +n-3d =2n-6. n 3 nn-1 (2)由数列的通项公式可得：a =2-6=-4，则：S =n´-4+ ´2=n2 -6n， 1 n 2 第11页 | 共20页则不等式S >a 即：n2 -5n>2n-6，整理可得：n-1n-6>0， n n 解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数 列的有关公式并能灵活运用. 18. 在 V ABC 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2.． （1）若2sinC =3sin A，求 ABC 的面积； V （2）是否存在正整数a，使得 ABC 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． V 15 7 【答案】（1） ；（2）存在，且a=2. 4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余 弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值. 【详解】（1）因为2sinC =3sin A，则2c=2a+2=3a，则a =4，故b=5，c=6， a2 +b2 - c2 1 3 7 cosC = = ，所以，C为锐角，则sinC = 1-cos2C = ， 2ab 8 8 1 1 3 7 15 7 因此，S = absinC = ´4´5´ = ； △ABC 2 2 8 4 （2）显然c>b>a，若 ABC 为钝角三角形，则C为钝角， V a2 +b2 -c2 a2 +a+12 -a+22 a2 -2a-3 由余弦定理可得cosC = = = <0， 2ab 2aa+1 2aa+1 解得-1a+2，可得a>1， aÎZ，故a=2. Q 19. 在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD =2,QD =QA= 5,QC =3． （1）证明：平面QAD^平面ABCD； 第12页 | 共20页（2）求二面角B-QD- A的平面角的余弦值． 2 【答案】（1）证明见解析；（2） . 3 【解析】 【分析】（1）取AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO ^平面ABCD，从而得到面QAD^面 ABCD. （2）在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T ，则OT ^ AD，建如图所示的空间坐标系，求出 平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】 （1）取AD的中点为O，连接QO,CO. 因为QA=QD，OA=OD，则QO ^ AD， 而AD=2,QA= 5，故QO= 5-1=2. 在正方形ABCD中，因为AD=2，故DO=1，故CO = 5， 因为QC =3，故QC2 =QO2 +OC2，故 QOC为直角三角形且QO^OC， V 因为OC AD=O，故QO ^平面ABCD， I 因为QOÌ平面QAD，故平面QAD^平面ABCD. （2）在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T ，则OT ^ AD， 结合（1）中的QO ^平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系. 第13页 | 共20页uuur uuur 则D0,1,0,Q0,0,2,B2,-1,0 ，故BQ=-2,1,2,BD=-2,2,0 . r 设平面QBD的法向量n=x,y,z， uuuv ìnv×BQ=0 ì-2x+ y+2z =0 1 则í uuuv 即í ，取x=1，则y =1,z = ， înv×BD=0 î-2x+2y =0 2 r æ 1ö 故n= ç 1,1, ÷. è 2ø ur r 1 2 ur cos m,n = = 而平面QAD的法向量为m=1,0,0，故 3 3. 1´ 2 2 二面角B-QD- A的平面角为锐角，故其余弦值为 . 3 x2 y2 6 20. 已知椭圆C的方程为 + =1(a >b>0)，右焦点为F( 2,0)，且离心率为 ． a2 b2 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN 与曲线x2 + y2 =b2(x >0)相切．证明：M，N，F三点共线的 充要条件是|MN |= 3． x2 【答案】（1） + y2 =1；（2）证明见解析. 3 【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a= 3，进而可得b2，即可得解； 第14页 | 共20页（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证 MN = 3； 充分性：设直线MN : y =kx+b,kb<0 ，由直线与圆相切得b2 =k2 +1，联立直线与椭圆方程结合弦 24k2 长公式可得 1+k2 × = 3，进而可得k =±1，即可得解. 1+3k2 c 6 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c= 2且e= = ，所以a= 3， a 3 x2 又b2 =a2 -c2 =1，所以椭圆方程为 + y2 =1； 3 （2）由（1）得，曲线为x2 + y2 =1(x>0)， 当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x=1，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设M x ,y ,Nx ,y  ， 1 1 2 2 必要性：   若M，N，F三点共线，可设直线MN : y =k x- 2 即kx- y- 2k =0， 2k 由直线MN 与曲线x2 + y2 =1(x>0)相切可得 =1，解得k =±1， k2 +1 ìy =±  x- 2  ï 3 2 3 联立í ï x2 + y2 =1 可得4x2 -6 2x+3=0，所以x 1 +x 2 = 2 ,x 1 ×x 2 = 4 ， î 3 所以 MN = 1+1× x +x 2 -4x ×x = 3, 1 2 1 2 所以必要性成立； 充分性：设直线MN : y =kx+b,kb<0 即kx- y+b=0， b 由直线MN 与曲线x2 + y2 =1(x>0)相切可得 =1，所以b2 =k2 +1， k2 +1 ìy =kx+b 联立 ï íx2 可得  1+3k2 x2 +6kbx+3b2 -3=0， + y2 =1 ï î 3 6kb 3b2 -3 所以x +x =- ,x ×x = ， 1 2 1+3k2 1 2 1+3k2 第15页 | 共20页æ 6kb ö 2 3b2 -3 所以 MN = 1+k2 × x +x 2 -4x ×x = 1+k2 - -4× ç ÷ 1 2 1 2 è 1+3k2 ø 1+3k2 24k2 = 1+k2 × = 3， 1+3k2 化简得3  k2 -1 2 =0，所以k =±1， ìï k =1 ìï k =-1 所以í 或í ，所以直线MN : y = x- 2 或y =-x+ 2 ， ïîb=- 2 ïîb= 2 所以直线MN 过点F( 2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN |= 3． 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代， 再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个 微生物个体繁殖下一代的个数，P(X =i)= p (i =0,1,2,3)． i （1）已知 p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1，求E(X)； 0 1 2 3 （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： p + p x+ p x2 + p x3 = x 0 1 2 3 的一个最小正实根，求证：当E(X)£1时， p=1，当E(X)>1时， p<1； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得E(X). （2）利用导数讨论函数的单调性，结合 f 1=0及极值点的范围可得 f x 的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】（1）E(X)=0´0.4+1´0.3+2´0.2+3´0.1=1. （2）设 f x= p x3 + p x2 +p -1x+ p ， 3 2 1 0 第16页 | 共20页因为 p + p + p + p =1，故 f x= p x3 + p x2 -p + p + p x+ p ， 3 2 1 0 3 2 2 0 3 0 若EX£1，则 p +2p +3p £1，故 p +2p £ p . 1 2 3 2 3 0 f¢x=3p x2 +2p x-p + p + p  ， 3 2 2 0 3 因为 f¢0=-p + p + p <0， f¢1= p +2p - p £0， 2 0 3 2 3 0 故 f ¢x 有两个不同零点x,x ，且x <0<1£ x ， 1 2 1 2 且xÎ-¥,x Èx ,+¥ 时， f¢x>0；xÎx ,x  时， f¢x<0； 1 2 1 2 故 f x 在 -¥,x  ， x ,+¥ 上为增函数，在 x ,x  上为减函数， 1 2 1 2 若x =1，因为 f x 在 x ,+¥ 为增函数且 f 1=0， 2 2 而当xÎ0,x  时，因为 f x 在 x ,x  上为减函数，故 f x> f x = f 1=0， 2 1 2 2 故1为 p + p x+ p x2 + p x3 = x的一个最小正实根， 0 1 2 3 若x >1，因为 f 1=0且在 0,x  上为减函数，故1为 p + p x+ p x2 + p x3 = x的一个最小正实根， 2 2 0 1 2 3 综上，若EX£1，则 p=1. 若EX>1，则 p +2p +3p >1，故 p +2p > p . 1 2 3 2 3 0 此时 f¢0=-p + p + p <0， f¢1= p +2p - p >0， 2 0 3 2 3 0 故 f ¢x 有两个不同零点x ,x ，且x <0< x <1， 3 4 3 4 且xÎ-¥,x 3  U x 4 ,+¥ 时， f¢x>0；xÎx 3 ,x 4  时， f¢x<0； 故 f x 在 -¥,x  ， x ,+¥ 上为增函数，在 x ,x  上为减函数， 3 4 3 4 而 f 1=0，故 f x <0， 4 又 f 0= p >0，故 f x 在 0,x  存在一个零点 p，且 p<1. 0 4 所以 p为 p + p x+ p x2 + p x3 = x的一个最小正实根，此时 p<1， 0 1 2 3 故当EX>1时， p<1. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 第17页 | 共20页22. 已知函数 f(x)=(x-1)ex -ax2 +b． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明： f(x)有一个零点 1 e2 ① 2a； 2 2 1 ②00, f x 单调递增； 当00, f x 单调递增， 2 若xÎ  ln2a,0  ，则 f 'x<0, f x 单调递减， 若xÎ0,+¥ ，则 f 'x>0, f x 单调递增； 1 当a= 时， f 'x³0, f x 在R上单调递增； 2 1 当a> 时，若xÎ-¥,0 ，则 f 'x>0, f x 单调递增， 2 若xÎ  0,ln2a ，则 f 'x<0, f x 单调递减， 若xÎ  ln2a,+¥  ，则 f 'x>0, f x 单调递增； (2)若选择条件①： 1 e2 由于 2a>1, f 0=b-1>0， 2 2 而 f -b=-1-be-b -ab2 -b<0， 而函数在区间 -¥,0 上单调递增，故函数在区间 -¥,0 上有一个零点. 第18页 | 共20页f  ln2a =2aéln2a-1ù-aéln2aù 2 +b ë û ë û >2aéln2a-1ù-aéln2aù 2 +2a ë û ë û =2aln2a-aéln2aù 2 ë û =aln2aé ë 2-ln2aù û， 1 e2 由于 4,4a<2， f 2=e2-4a+b>0， 而函数在区间 0,+¥ 上单调递增，故函数在区间 0,+¥ 上有一个零点. 当b<0时，构造函数Hx=ex -x-1，则H¢x=ex -1， 当xÎ-¥,0 时，H¢x<0,Hx 单调递减， 当xÎ0,+¥ 时，H¢x>0,Hx 单调递增， 注意到H0=0，故Hx³0恒成立，从而有：ex ³ x+1，此时： f x=x-1ex -ax2-b³x-1x+1-ax2+b =1-ax2+b-1 ， 1-b 当x> 时， 1-ax2+b-1>0， 1-a 1-b 取x = +1，则 f x >0， 0 1-a 0 æ 1-b ö 即： f 0<0, f ç +1÷>0， ç ÷ 1-a è ø 而函数在区间 0,+¥ 上单调递增，故函数在区间 0,+¥ 上有一个零点. f  ln2a =2aéln2a-1ù-aéln2aù 2 +b ë û ë û 第19页 | 共20页£2aéln2a-1ù-aéln2aù 2 +2a ë û ë û =2aln2a-aéln2aù 2 ë û =aln2aé ë 2-ln2aù û， 1 由于0