12 月联考参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
C
B
A
A
B
BD
ABD
ACD
1．C
集合A = 0,1
,B = N,A ∩B = 0,1
;
2．D
对于A 选项，y = x 在定义域内是增函数，B,C 选项，函数在定义域内不单调，选D.
3. A
当x > 0 时，f x
=
1
3
x
, 当x < 0 时，f x
=- 1
3
x
, 故选A
4. C
当区间a,b
的长度b-a
< ε 时，区间a,b
内的每一个值都可以作为近似解，经检验，
1.875-1.75
= 0.125 > 0.1, 1.8125-1.75
= 0.0625 < 0.1 满足条件，故选C.
5．B
函数f x
是R 上的奇函数，由f 1
= 1, 得f -1
=-1, 经检验，选B.
6．A
对于选项A, 令a =-1,b =-2,c =-3, 则a + b = c, 矛盾，故选A.
7．A
若m > n > 1, 则
mn
log
<
mm
log
= 1, 反过来，
1
2 1
log
= 0 < 1 ⇏1
2 > 1, 即m > n > 1 是
mn
log
< 1 成立的充分不必要条件, 故选A.
8．B
函数f x
= x-1
x-2 = 1 +
1
x-2 , 其对称中心为2,1
, 该点在直线y = ax + b 上，于是由2a +
b = 1,a2+ b2= a2+ 1-2a
2= 5a2- 4a + 1 = 5 a- 2
5
2
+ 1
5 ≥1
5 .
9．BD 令x = 1
2 ，得f 1
= 1, 故A 选项错误，f 2x
= 8x3 = 2x
3, 故f x
= x3,B 选项正确，对
于C,f 2x
的定义域为-1,1
, -2 ≤2x ≤2, 即f 可以作用[-2,2] 范围内的数，故f x
的定义域为
-2,2
, 故选项C 错误，由于f x
是-2,2
上的奇函数，f x-1
是f x
向右平移一个单位，故
f x
关于1,0
点成中心对称, 故D 选项正确.
10．ABD 由于0 =
0.31
log
<
0.30.4
log
<
0.30.3
log
= 1,
20.4
log
<
20.5
log
=-1 故选项A,B 正确，对于
D 选项，由mn < 0, m+n
mn
= 1
m + 1
n =
0.40.3
log
+
0.42
log
=
0.40.6
log
< 1, 得m + n > mn, 故正确.
11．ACD
如图，作出函数M x
的图象，联立方程y = x - 2 及y =-x2 + 4x
- 3 得x2 - 3x + 1 = 0, 解得：B 点横坐标为3+
5
2
,B 点纵坐标为
5-1
2
, 故选项A 正确；M x
= m 有三个不相等的实根，m = 1
或m =
5-1
2
, 故选项B 错误；令y = 1, 当x ≤1 时，x2 - 4x + 3
= 1, 解得A 点横坐标为2 -
2 , 当x > 1 时，容易解得x = 2 或x
= 3，因此b - a 长度的最大值为3 - 2-
2
=
2 + 1, 故选项C
正确；对于D 选项，取y = x, 联立y = M x
解得D 点横坐标为
5+
13
2
, 根据图象，取区间0,3
及0, 5+
13
2
满足条件．故正
确.
二、填空题
12．0,e
易知x > 1 时，
x
ln
= 1, 解得：x = e，当x ≤1 时，-ex + 2 = 1, 解得：x = 0. 即方程的
解集为0,e
.
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13 ．3
令f x
=
x
ln
+ 2 x , 则
f x
在0.+∞
单调递增, 由条件知f m
= 1 , f 3-n
=
3-n
+
ln
2 3-n
= 1 故f m
= f 3-n
⇒m = 3 - n, 即m + n = 3.
14．-∞,10
依题设有k + b = 3, 一次函数y = kx + b 在x 轴、y 轴的截距分别为：- b
k ,b, 图象与
坐标轴围成的三角形的面积为1
2 - b
k ∙b
= b2
2 k
≤2 ⇒
3-k
2
2 k
≤2 ⇒3-k
2 ≤4 k
，若k < 0, 上式
化成k2 - 2k + 9 ≤0, 无解，故k > 0, 此时上述不等式化成k2 - 10k + 9 ≤0 ⇒1 ≤k ≤9, k≠3
故P
= 1,3
∪3,9
, 若存在x ∈P，使得不等式x2 + 9 > mx 成立，即m < x2+9
x
成立，m 小于代数式
x2+9
x
的最大值就可以了，令函数g x
= x2+9
x
, 熟知g x
在1,3
上是递减的，在3,9
是递增
的，而g 1
= g 9
= 10, 所以m 的取值范围为-∞,10
15.
解：I
原式= 5
5
5
2
log
- 2(
2
lg +
5
lg )
= 5
2 - 2
= 1
2 ................................................................................................6 分
Ⅱ
由a
1
2 - a
- 1
2 =
5, 得：5 = (a
1
2 - a
- 1
2 )2= a+a-1 - 2 ⇒a+a-1 = 7.........................8 分
而(a
1
2 + a
- 1
2 )2= a+a-1 + 2 = 9, 故a
1
2 + a
- 1
2 = 3........................................................10 分
进一步有a
3
2 + a
- 3
2 = (a
1
2 + a
- 1
2 ) a-1+a-1
= 18.......................................................12 分
于是a
3
2 +a
- 3
2 +2
a+a-1-1
= 20
6 = 10
3 ...............................................................................13 分
16. 解：I
a3+ b3- a2b+ab2
= a+b
a2-ab+b2
- ab a+b
= a+b
a-b)2
由a,b > 0 知a+b
a-b)2
≥0, 因此a3+ b3≥a2b+ab2.......................................6 分
Ⅱ
证明：由题设a,b,c > 0, 及基本不等式a+b ≥2 ab 知,
(a + b)2≥4ab ⇒(a+b)2
ab
≥4 ⇒a+b
ab
≥
4
a+b ⇒1
a + 1
b ≥
4
a+b .................................12 分
同理，1
b + 1
c ≥
4
b+c , 1
c + 1
a ≥
4
c+a
( 1
a + 1
b ) +
1
b + 1
c
+
1
c + 1
a
≥
4
a+b +
4
b+c +
4
c+a .........................................14 分
即：1
a + 1
b + 1
c ≥
2
a+b +
2
b+c +
2
c+a ...............................................................15 分
17. 解：I
当总质比为50 时，v = 2000 ∙
50
ln
，由参考数据得v = 2000 × 3.9 = 7800m/s，
7800 < 7900, 即该型火箭的最大速度达不到第一宇宙速度；..........................................5 分
（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，该型火箭的喷流相对速度为3000m/s，总质比变
为M
3m ，要使火箭的最大速度至少增加1000m/s，则需3000
M
3m
ln
- 2000
M
m
ln
≥1000，化简得：
3
M
3m
ln
- 2
M
m
ln
≥1，整理得
( M
3m )3
ln
-
( M
m
ln
)2≥1，即
M
27m
ln
≥1 ⇒
M
27m ≥e
即：M
m ≥27e
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由参考数据，2.718 < e < 2.719 ⇒73.386 < 27e < 73.413，
因此，技术改进前火箭的总质比的最小整数值为74....................................................15 分
18. I
以题意，f 1
= 0, 即a + b + c = 0，又f x+y
= a x+y
2+b x+y
+c
（1）,
f x
+ f y
+ 2xy + 2 = a(x2+ y2) + b(x + y) + 2c + 2xy + 2 （2）比较（1）（2）式的系数得：
2a = 2,c + 2 = 0, 即a = 1,c =-2, 进而b = 1................................................................4 分
所以f x
= x2+ x - 2.............................................................................................5 分
Ⅱ
依题设k x2+x-2
< k2+1
x 对∀k ∈0,2
恒成立，
（1）当k = 0 时，x > 0,..........................................................................................7 分
（2）当0 < k ≤2 时，x2+x-2
x
< k2+1
k
,
令g k
= k2+1
k
, 则g k
= k + 1
k
≥2, 当且仅当k = 1 取等号................................11 分
此时只须x2+x-2
x
< 2, 即x2- x - 2 < 0, 解得：-1 < x < 2....................................16 分
由（1）（2）可得x 的取值范围为0,2
...............................................................17 分
19. 解：I
由f x
=
3 9x+1
-kx
log
为偶函数知，
f x
- f -x
=
3 9x+1
-kx
log
-
3 9-x+1
-kx
log
=
3 9x+1
9-x+1 -2kx=
3
9x+1
9x
9x+1
-2kx=
log
log
39x-2kx=2x-2kx=0
log
解得k = 1...........................................................................................................5 分
Ⅱ
当x ≥0 时，g x
=
3 9x+1
-2x-a
log
有零点，令g x
= 0,
则a =
3 9x+1
-2x
log
令m x
=
3 9x+1
-2x
log
=
3 9x+1
9x
log
=
3(1+ 1
9x )
log
, 下面证明m x
在[0, +∞) 是单调递减
的。
∀0 ≤x1< x2<+∞,m x1
- m x2
=
3(1+ 1
9x1 )
log
-
3(1+ 1
9x2 )
log
由0 ≤x1< x2, 得9x1< 9x2⇒1
9x1 > 1
9x2 ⇒1 + 1
9x1 > 1 + 1
9x2 ⇒
3(1+ 1
9x1 )
log
>
3(1+ 1
9x2 )
log
即m x1
> m x2
, 得证；
于是m x
≤m 0
=
32
log
.....................................................................................8 分
显然1 + 1
9x > 1,m x
> 0，因此实数a 的取值范围是(0,
32
log
]..........................................10 分
Ⅲ
函数f x
与h x
的图象只有一个公共点⇔方程f x
= h x
有唯一解，即
3 9x+1
-x
log
=
3 m∙3x-2m
log
有唯一解，进一步变形得：
3 9x+1
log
=
3 m(3x-2)∙3x
log
⇒9x+ 1 = m(3x- 2) ∙3x⇒m-1
9x- 2m ∙3x- 1 = 0
令3x= t, 则t > 0, 上述方程化为m-1
t2- 2m ∙t - 1 = 0 有一个正根...........................12 分
（1）若m = 1,t =- 1
2 , 舍去；
（2）若m > 1,m - 1 > 0, 此时方程恰有一正根，满足；
（3）若m < 1, 此时若方程有两不同根，则两根必同号，不满足，若方程有两相同根，
Δ = 4m2+ 4 m-1
= 0，解得m = -1+
5
2
, 此时方程为负根，舍去，或m = -1-
5
2
满足.
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综上，实数m 的取值范围为1,+∞
∪
-1-
5
2
...................................................17 分
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