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沈阳市第一二0中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试题
一、解答题
1．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过
适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数 的图象，现定义双曲正弦函数
，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知 ）
(1)证明：①倍元关系： ；②平方关系：
(2)对任意 ，恒有 成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： ．
2．已知数列 是等差数列， ，其前5项和为15；数列 是等比数列，且 ， ， ，
成等差数列．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列的前 项和 ．
(3)若将数列 中的所有项按原顺序依次插入数列 中，组成一个新数列：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， 与 之间插入 项 中的项，该新数列记
作数列 ，求数列 的前211项的和 ．
3．已知函数 .
(1)求函数 的最大值；(2)若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
4．已知数列 的前 项和为 ， 且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若对一切 ，不等式 均成立，求实数 的取值范围．
5．已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线平行于直线 ，求实数 的值；
(2)讨论函数 的单调区间．
二、填空题
6．若不等式 对任意 恒成立，则正实数t的取值范围是________．
7．已知函数 的定义域为R， ，若对任意 ，都有 ，则不等式
的解集为_______．
8．已知 为等差数列， ， ，则 ______．
三、多选题
9．已知函数 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B． 在 处的切线方程为：C．若函数 ， 使得 成立，则
D．若函数 有两个零点 ，则
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在两个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若 时， ，则t的最小值为2
11．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（ ）
A．在数列 中， 最大 B．在数列 中， 或 最大
C． D．当 时，
四、单选题
12．已知函数 的定义域为 为 的导函数， ，
．若 ，则 （ ）
A．2026 B．1013 C．1 D．-1
13．已知函数 ，若方程 有三个根，则实数k的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
14．已知 和 分别是数列 和 的前 项和，且满足 ， ，若对 ，使
得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
15．已知 ，函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．在数列 中， ， ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
19．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 ABD ABC AD D B D D A C B
题号 19
答案 C
1．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：① ；
② .
（2）构造函数
①当 时，因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，故 单调递增，
此时 ，故对任意 恒成立，符合题意；
②当 时，令 ，
则 恒成立，故 单调递增，
由 与 ，
可知存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，则 在 内单调递减，
故对任意 ，即 ，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为 .（3）由（2）知：当 时， ，令 ，则 ，
令 单调递增，
所以 ，即 恒成立，
所以 ，则 ，
令 单调递增，
所以 ，即 恒成立，令 ，
所以
.
2．(1) ， .
(2)
(3)21216
【详解】（1）由 得公差 ，
又因为 ，
得 ，
化简得 ，解得 ，
所以 .由 ， ， 成等差数列，得
由 是等比数列，设 代入 ，
得 ，消去 ，
得 ，化简并解得 ，
.
（2）由（1）得 ，
，
第一部分为 ，
令 ，
，
两式相减：
，
，，
第二部分利用裂项求和：
，
合并： ；
（3）由题可知新数列 中， 前有 项，
令 ，得 前有 项，
令 ，得 前有 项，
恰好位于 与 之间，所以前 项中包含 的前八项，
剩下的全是 中的项， ，即 的前 项，
.
3．(1)1
(2)
(3)【详解】（1） ，定义域为 ， ，
令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 .
（2）因为函数 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
由（1）可知， 的最大值为1，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）若函数 在 上恒成立，即 在 成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
因为 ，所以当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 时不符合题意；
当 时，令 ，
①当 时，即 时，则 恒成立，
即 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 时符合题意；②当 时，即 时，令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增，所以当 时， ，
所以 时，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
4．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）已知 ，当 时， .
则 ，
所以 ，即 .
当 时， ，
则 ， ，满足 .
因此，数列 是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
故不等式 可化为 ，即 .设 ， ，故只需 即可.
，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ， ，所以 ，即 .
因此， 在 时取得最大值为 ，
故实数 的取值范围为 .
5．(1)
(2)当 时， 在 递增;当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
【详解】（1） ，定义域为
所以 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 .
（2） ，定义域为 ，
若 ，则 在 恒成立，故 在 递增;
若 ，令 得 ，令 得 ，故 在 单调递减，在 单调递增;
综上所述：当 时， 在 递增，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
6．
【详解】因 ,则 等价于 ，
即 ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增，
因为不等式 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，
因为 ，所以 ， ，
所以 对任意 恒成立，
则 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，则 ，即 在 上单调递减，
则 ，故 ，
则正实数t的取值范围是 .
7．
【详解】 ， ，
， 的每一项都除以 不等号方向不变，即 ，
，设 ，则 ，
， ， ，
为R上的减函数， ，
等价于 ， 为R上的减函数，
的解为 ， 等价于 ，
的解集为 .
故答案为：
8．
【详解】在等差数列 中，由 ，得 ，解得
由 ，得 ，解得 ，公差 ，
所以 .
9．ABD
【详解】对于A，由 ，则 ，故A正确；对于B，由 ，则 ，
所以 ， ，故 在 处的切线方程为 ，即 ，故B正确；
对于C，因为 ，
要存在 ，使得 成立，即 有解，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
，所以只需 ，即得 ，故C错误；
对于D，由 ，则 ， ，
当 时， ，即 单调递减，
当 时， ，即 单调递增，
若函数 有两个零点 ，则 ，且 ，
要证 ，即证 ，又 在 上单调递增，
即证 ，即证 ，
只要证 ，
即证 ，
令 ， ，
则 ，当 时， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 单调递减，
当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，而 ，
令 ， ，
则 ，即 在 上单调递减，故 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 对 恒成立，
又 ，则 ，即 成立，
即 成立，问题得证，故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【详解】对于A，由 ，得 ，∴ ，故A正确；
对于B， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 是函数的极小值， 是函数的极大值，故B正确；对于C，当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，再根据单调性可知，当
时，方程 有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
11．AD
【详解】由 ， ，得 ，
所以等差数列 的公差 ,
所以等差数列 是递减的等差数列，则最大项为 ，故A正确，B错误，
又因为得 且公差 ,所以当 时， ，估D正确；
，所以 ，故C错误；
12．D
【详解】因为 且 ，所以 ，
因为 ，所以 关于直线 对称，
则原函数 关于点 对称，所以
所以 ，
令 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 的周期为 ，
又 ，即 ，所以 的周期也为 ，
由 得 ，
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
13．B
【详解】当 ， ，则 ，
因为当 ， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增； ， ， ，
当 ， ， ，
设 ，则 过定点 ，当 ， 图像与 图像相切时，设切点为 ，则切线斜率为 ，
切线方程： ，因为切线过点 ，代入得：
， 化简得 ，
因为 在单调递增，当 ， ，所以 ，切线斜率 ，此时 图像与 图
像有两个交点；
当 过原点， ，因为 ，此时 图像与 图像有四个交点；
所以当 时， 图像与 图像有三个交点，从而方程 有三个根.
14．D
【详解】由 得 ,∴ ,
,
∴ ,∴ ,
∴数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ,∴ ，
∵ ，∴ 为等差数列，∴ ,
,
记
当n∈N*时， 为 的单调递减函数，
∴
恒成立的充分必要条件是 ,解得 或 ，
故选：D
15．D
【详解】由题意得： ，令 ，
所以 ，所以 在 单调递增，且 ， ，
又因为 在 上不单调，所以 ，解得 .
16．A
【详解】由 ，整理可得 ，
等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
17．C
【详解】由已知得 ，所以 ， ， ，
故选：C.
18．B
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
19．C
【详解】由 ，故 .
可得 .
