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陕西咸阳市实验中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
1．二项式 的展开式中所有二项式系数和为64，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．设 ， ，向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
4．将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，
则不同的分配方法种数为（ ）
A．180 B．240 C．360 D．480
5．已知 是定义域为 的函数 的导函数，且函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上为增函数
B． 的最小值为
C． 的极大值为 ，极小值为
D． 的极小值点为0，极大值点为1
6．已知随机事件 、 ， ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
7．已知 是定义在 的偶函数，当 时， ，且 ，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点 ， ，点 在圆 : 上运动，则（ ）
A．直线 与圆 相离
B． 的最大值为
C． 的面积的最小值为
D．圆 半径为2
10．下列说法正确的是（ ）
A．某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有 种
B．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成156个无重复数字的四位数偶数
C．英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个 不相邻一共可以得到英文
单词的个数为2520个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
D．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有216种
11．（多选）如图，棱长均为2的正三棱柱 中， 分别是 的中点，则（ ）A．异面直线 与 所成角为
B． 平面
C．平面 平面
D．点 到平面 的距离为
三、填空题
12．已知 是等差数列， ， ，则 ___________．
13．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的
5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.
（用数字作答）
14．已知 恰能被13整除，则 的最大负整数取值为______.
四、解答题
15．设 是等比数列，公比不为1．已知 ，且 成等差数列．（1）求 的通项公式；
（2）若数列 设 的前n项和为 ，求 ；
16．若 ，求：
(1)求 的值；
(2) ；
(3) ．
17．如图，在四棱锥 中， ， ， 底面 ， ， ，
是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
18．已知函数 ， ．
(1)求 的极值；
(2)若 在 单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当 时，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数a的取值范围．
19．已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，点 是 上一点，
，且 的面积为 ．
(1)求 的方程．(2)过 的直线 与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，设 ， ，证明：
为定值．参考答案
1．C
2．D
3．C
4．B
5．D
6．C
7．A
8．B
9．ACD
10．BC
11．ACD
12．1011
13．1560
14．
15．（1）解： ， ， 成等差数列， ， ，
解得 ．
．
（2）
．
16．（1）二项式 展开式的通项为 ，其中 ．
因为 ，所以 ．
（2） ，
令 ，解得 ；
令 ，整理得 ，
故 ．
（3） 的展开式通项为 ，则 ，
其中 且 ，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ．
所以
令 可得 ，
所以 ．
17．（1）取 的中点 ，连接 ， .
为 的中点， 且 ，
又 ， ， ， ，且 ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）以 为原点，直线 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
， ，
， ， ， ， ， ，
， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，取 ，则 ， ，
则平面 的法向量为 ，
则 ， .
设 与平面 所成的角为 ，
则有 ，
，
，
直线 与平面 所成角的余弦值为 .
18．（1） ，求导得 ， ，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，故 在 处取极小值0，无极大值．
（2）函数 ，
求导得 ，由 在 单调递增，得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，因此 ， ，
设 ， ， ，则 在 上单调递增，
于是 ，即 ，所以 的取值范围为 .
（3）若对任意的 ，总存在 ，使得 ，
则当 时， ，
当 时， ，
即 在 上单调递增， ，
函数 ， ， ，
求导得 ，
由 ，得 ，函数 在 上单调递减，
则 ，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
19．（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）由题可知， ，直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
所以 .
由 ，得 .
由 ， ，
得 ，
所以 ，即 ，
所以
，
即 为定值，定值为 .
