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高二下学期第二次质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
2．林老师希望从 中选2个不同的字母，从 中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的
后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．576个 B．288个
C．144个 D．72个
3．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）.
甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成
绩不低于85分”记为事件B，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A．35 B．15 C．-35 D．-15
7．将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（ ）A．36 B．44 C．65 D．72
8．已知 ，则 被8除的余数为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
9．若 ，则 的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.
给出的下列命题中正确的是（ ）.
A．记第 行中从左到右的第 个数为 ，则数列 的通项公式为
B．第k行各个数的和是
C．n阶“杨辉三角”中共有 个数
D．n阶“杨辉三角”的所有数的和是
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 有三个零点
B．C．曲线 上不同的两点 ， 处的切线分别为 ， ，若 ，则
D．若方程 有三个不同的实数根 ， ， ，则
12．已知 ，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
三、填空题
13．若 ，则 ________.
14．一个知识问答竞赛每题有3个选项.甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若
甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答.已知甲回答正确的概率为 ，则甲掌握该知识的概率
为__________.
15．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知 三个地区分别有 ， ， 的人患了流感，且这三个
地区的人口数之比是 ，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________.
16． 的展开式中 的系数为______________．（用数字作答）
四、解答题
17．已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
18．已知函数 有极小值 ．(1)求 的单调区间；
(2)求 在 上的最大值和最小值．
19．3个男生与3个女生站成一排．
(1)若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？
(2)若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？
(3)若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？
20．盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列.
21．某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品、7件B商品，
第二个超市中有7件A商品、8件B商品，第三个超市中有5件A商品、20件B商品.随机从这三个超市中
选取一个超市进行抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽取一件商品.
(1)求第一次抽到的是A商品的概率；
(2)求抽到A，B两种商品各一件的概率；
(3)在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率.参考答案
1．C
【详解】构造函数 ，
在 时恒成立，
所以 在 时单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
故选:C.
2．C
【详解】依题意，从 中选2个不同的字母有 种，然后从 中选3个不同的数字有 种，
再从选出的2个不同的字母有 种排法，最后从选出3个不同的数字插空有 种，根据分步乘法计数原
理知，满足要求的车牌号有 种.
故选：C.
3．B
【详解】由已知 ，
所以 ，
故选：B.
4．B
【详解】因为 ，则 ，
由题意可知，对任意的 ， 恒成立，即 ，
因为函数 在 上单调递减，故 ，所以 .
5．A
【详解】由题意知， ，表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率， ，
根据条件概率的计算公式得 .
6．C
【详解】在 的展开式中，
含 的项为 ，
所以所求系数为 .
7．A
【详解】由题可知，有1位同学分得两本书，其他2位同学各得一本，
可以先从4本书中挑出2本，将书分为3份，再将这三份书全排列分给3位同学，故不同分法的种数是
．
8．B
【详解】已知 ，
两边取导数可得， ，
令 ，可得 ，
而 ，
所以 被8除的余数即为 被8除的余数，
而 被8除的余数为2，
故选：B
9．BC
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 或 .
故选：BC.
10．BCD【详解】第i行各个数是 的展开式的二项式系数，
则数列 的通项公式为 ，故A错误；
各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第k行各个数的和是 ，故B正确；
第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有 个数，故C正确；
“杨辉三角”的所有数的和是 ，故D正确.,
故选：BCD
11．BCD
【详解】由 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 或 ，
所以 在区间 单调递减，在区间 ， 单调递增.
对于A，因为 ， ， ，
所以 在区间 内存在1个零点，故 在 上有2个零点，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 的图象关于点 中心对称，
令 ，得 ，
又 ，所以 ，故B正确；
对于C，依题意 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 .故C正确；
对于D，设 ，所以 ，所以 为定值，故D正确.
12．AD
【详解】对于A：由题意可得 ，则 ，故A正确；对于B：因为 ，所以展开式的二项式
系数和为 ，故B不正确；
对于C：令 ，则展开式的各项系数和为 ，所以C不正确；
对于D：令 ，得 ，令 ，得 ，所以
，故D正确．
13．7
【详解】因为 ，故 ，即 ，解得
故答案为：
14． /
【详解】用 表示甲掌握该知识，用 表示甲回答正确，
则由题意得， ， ，
由 ，
得 ，
则甲掌握该知识的概率为 .
15． /
【详解】用 表示这个人患了流感，分别用 ， ， 表示这个人来自 地区，则 ， ， .
， ， .
所以
.
故答案为：
16．
【详解】由二项式 的展开式的通项为 ，
其中含 项的系数为0，含 项的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ．
17．(1)1
(2)243
【详解】（1）令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，
则 .
（2）令 ，得 ，
则
.
18．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
(2)最大值为 ，最小值为 ．
【详解】（1） ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．
（2）由（1）知， 的极小值为 ，解得 ．
∵ 在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的极小值为 ，
的极大值为
又 ，
，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有 种方法；
（2）法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有 种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1
种排法，
所以共有 种方法；
法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即 种方法；
（3）先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有
种方法，
再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有 种方法，所以共有 种方法.
20．(1)(2)分布列见解析
【详解】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M，
所以 .
（2）由题意可知，X的可取值为1，2，3
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
21．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设事件 :第一次抽到的是A商品，事件 :抽到的商品来自于第一个超市，
事件 :抽到的商品来自于第二个超市，事件 :抽到的商品来自于第三个超市,
那么
（2）设事件 : 抽到 两种商品各一件,那么抽到 两种商品各一件分为两种情况，
分类第一次抽到 商品、第二次抽到 商品和第一次抽到 商品、第二次抽到 商品,则
.
（3）设事件 :第二次抽到的是B商品，那么
，
.
