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重庆市第八中学校2025-2026学年高二下学期阶段性检测（二）
数学试题
一、单选题
1．随机变量 ，则 等于（ ）
A．3 B．5 C．12 D．15
2．已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的 ，甲､乙车间
的优品率分别为 .现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并
利用 列联表，计算可得 ，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．某学生是该校女生，那么她有 的可能爱好数学
B．某学生是该校男生，那么他有 的可能爱好数学C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关”
D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”
5．空间中有三组平行平面， 第一组有 3 个， 第二组有 2 个， 第三组有 4 个， 不同两组的平面都相
交， 且交线不都平行， 则这些平面可以构成平行六面体的个数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
6．已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则 （ ）
A．0或 B．0或 C． 或 D．0
7．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由
甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中
随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸
球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知事件 发生的概率分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 互为对立事件 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则事件 与事件 相互独立
10．已知函数 有两个极值点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
11．将一颗质地均匀的骰子（点数为 ）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（ ）A．三个点数之积大于 的概率为
B．三个点数之和大于 的概率为
C．若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为
D．若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为
三、填空题
12．已知随机变量 ，且 ，则 展开式中各项系数之和为
____________.
13．已知实数 满足 ，则 的
方差的最大值为__________.
14．已知函数 ．若函数 （e为自然对数的底数）恰有4
个零点，则k的取值范围是______．
四、解答题
15．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，M、N分别是 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．16．2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初
六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为
准）．
日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六
上映第x天 1 2 3 4 5 6
票房y（单位：
0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6
亿元）
(1)根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留
一位小数）；
(2)在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有
1人两部电影均没看过，现从这6人中随机抽取3人，记X为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求X
的分布列及方差，参考数据及公式如下：
参考数据： ， ， ， ．
参考公式： ， ．
17．已知双曲线C： （ ），焦距为 ，点 ， 分别为双曲线的左右焦点．
(1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程；
(2)过点 作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得 ？若存在，
请求出k的值；若不存在说明理由；
(3)点Q为双曲线右支上的动点，求 的最小值．
18．已知函数 ．
(1)设函数 ，求 的最小值；
(2)对任意 ，都有 ，求k的取值范围；(3)对任意 ，直线 与曲线 有且仅有一个公共点，求m的取值范围．
19．2026年马年春晚《武 》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武
术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．
比赛采用 局 胜制（即先赢得 局者获胜）．
(1)当 时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望 ；
(2)设在该赛制下机器人获胜的概率为 ．
①求 和 的值，并比较它们的大小，据此说明 和 哪种赛制对机器人更有利；
②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
参考答案
1．C
【详解】 ，则 .
2．B
【详解】设产品来自甲车间为事件 ，产品来自乙车间为事件 ，取到优品为事件C.
由题可得， ， ，
则由全概率公式， .
3．B
【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成：
图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中， 更接近 ，所以 ；
图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中， 更接近 ，所以 ，综上可得， .
4．D
【详解】因为 ，
所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”，
故选：D.
5．B
【详解】空间有三组平行平面，第一组有3个，第二组有2个，第三组有4个，
要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行，
故从第一组3个平行平面中任选2个，作为平行六面体的一组对面，共有 种不同的取法，
再从第二组2个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第二组对面，共有 种不同的取法，
再从第三组4个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第三组对面，共有 种不同的取法，
由分步乘法计数原理可知，可以构成 个平行六面体.
故选：B
6．A
【详解】由 ，得 ，
当 时， ，即在点 处的切线斜率为2，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
联立 ，消去 整理得 ，
因为切线与曲线 只有一个公共点，
所以方程 只有一个根，
当 时，方程为 只有一个根，满足题意；
当 时，有 ，即 ，解得 ，综上， 或 .
7．C
【详解】设事件 “第 次球在甲手中”， “第 次球在乙手中”， “第 次球在丙手中”，
那么由题意可知： ，又 ，
所以 ，构造等比数列 ，
因为第一次由甲传球，可认为第 次传球在甲，即 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
故 ，
则 .
故选：C.
8．A
【详解】设A事件为“经过3次摸球没有能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”.
则
选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共 种选法，
前4次摸球的情况数：这2个编号需至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编
号”），
因此前4次的情况数为 （减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况），
第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法，
因此，事件B的情况数为 ，总摸球可能数为 ，
所以 ，由题意 ，所以 .
9．BCD
【详解】对于A：由 ，若 ，则事件 与事件 不是对立事件，
若 ，则事件 与事件 互为对立事件，故A错误；
对于B：若 ，则 ，故B正确；
对于C：若 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D：若 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以事件 与事件 相互独立，故D正确.
故选：BCD.
10．BCD
【详解】A项，函数 有两个极值点 ，
则 至少有两正根.
， ，
设 ，
当 时， ，即 没有实数根，不符合题意；
当 时，由题意知方程 有两不等正根，设两根为 ，则有 ，解得 .
即 的取值范围是为 ，故A错误；
BC项，因为 是方程 的两个不同的实数根，
所以 ， ，故BC正确；
D项，
，
设 ，
因为 在 上单调递减，所以 .
且当 ，故 .
即 ，故D正确．
故选：BCD．
11．ABD
【详解】连续拋掷3次，总基本事件数为 ．
对于A，由 ，所以要三个点数之积大于 的组合只有 和 ，
若三个点数分别为 时，即在这三个点数中选一个为 ，另外两个为 ，共有 种；
若三个点数分别为 时，共有 种，
所以三个点数之积大于150的概率为 ，故A正确；对于B，设三个点数为 ，其和 的范围为 ，
由对称性， 与 的概率相等（因为 ， ， 对应的和为
），
所以 和 的概率相等，所以 ，故B正确；
对于C，不考虑点数的先后顺序，三个点数能构成等比数列的情况有：
若三个点数全相等，即有 ， ， ， ， ， ，共有 种，
若三个点数全不相等，仅有 ，即这三个点数全排列，共有 种，
所以能构成等比数列的概率为 ，故C错误；
对于D，考虑点数的先后顺序，三个点数 为等差数列等价于 ，
又三个点数之和是奇数的总基本事件数为 ，则在此条件下， 为偶数， 为奇数，
若 时， ，即三个点数为 ，共有 种；
若 时， ，即三个点数为 ， ， ， ， ，共有 种；
若 时， ，即三个点数为 ， ， ，共有 种，
所以能构成等差数列的概率为 ，故D正确．
12．64
【详解】已知随机变量 ，且 ，
由正态分布的对称性可得 与 关于 对称，
即 ，则 ，解得 .
令 ， 展开式中各项系数之和为 .
13．【详解】设 分别对应 ，（ ）.
则 ，
所以 的方差为：
，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 .
所以当 或 时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为 .
所以该组数据方差的最大值为： .
14．
【详解】易知，当 时， ，所以 是 的一个零点.
所以 时， 有3个零点，即 有3个根，
即 和 的图象有3个交点．
设 ， ，则 和 的图象有3个交点．
当 时， 和 的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去．
函数 恒过定点 且对称轴为 ，作出 和 的大致图象，当 ，若 与 的图象相切， ，
设切点 ，则 ，解得 ．
和 的图象有3个交点，则 ．
当 ， 时满足题意，解得 ，
综上所述， ．
故答案为： ．
15．(1)连结 ， ， 为矩形，
，点 为 中点，
又 为 的中点； ，
又 平面 ； 平面 ，
平面 ；
(2)
【详解】（1）略
（2）分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，可知 ，
，
设平面 的法向量 ；
， ；
令 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量是 ，
由 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
，
设二面角 的夹角为 ，
则 ，
二面角 的正弦值为 .
16．(1)线性回归方程为 ，第七日票房预测为1.6亿元；(2) 的分布列为：
0 1 2
方差 （或0.4）.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
2
a^= y−b^x=1.3− ×3.5=0.9，
17.5
所以回归方程为： ，当 时， 亿元，
正月初七，预计《镖人》的票房为 亿元．
（2）由题意可知， 人中同时看过两部电影的只有 人，
所以 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
数学期望为 ．
则 .
17．(1)双曲线C的标准方程为 ，渐近线方程为(2)不存在，理由如下：
由题意可得直线 的方程为 ，设 、 ，
联立 ，消去 可得 ，
则 ，且 ，
若 ，则 ，即有 ，
即 ，则该方程无解，故不存在这样的 ；
(3)
【详解】（1）由双曲线 的焦距为 ，则 ，
即双曲线C： ，则渐近线方程为 ；
（2）略
（3）由双曲线定义可得 ，则 ，
由 ，故 .
18．(1)
(2)(3)
【详解】（1）由题意可知： ， ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
所以 在 内的最小值为 .
（2）若 ， ，可得 ，
原题意等价于 在 内恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
由（1）可知： 在 内单调递增，则 ，
可得 ，可知 在 内单调递增，
则 ，可得 ，可知 在 内单调递增，
则 ，可得 ，
所以实数k的取值范围为 .
（3）令 ， ，则 ，原题意等价于对任意 ， 与 在 内有且仅有1个交点，
则 在 内的值域为 ，且为单调函数，
且当 趋近于 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ；
可知 在 内单调递增，
则 在 内恒成立，
可得 ，即 在 内恒成立，
因为 ，
由（1）可知：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，
可得 ，即 ，
所以实数m的取值范围为 .
19．(1)分布列为：
2 3
0.52 0.48
期望为 .
(2)① ， ， ， 赛制对机器人更有利
②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析
【详解】（1）当 时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为 ，，
,
所以X的分布列为：
2 3
0.52 0.48
（2）①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为 ，
由题可知 为 局 胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种： 或 ，
所以 ，
为 局 胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种： 或 或 ，
，
所以 ，
所以 时， 局 胜制对机器人更有利.
②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大.
证明如下：
由①可知， ，
下面讨论 局与前 局的递推关系：
（i)若前 局中机器人恰好赢了 局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
其概率为 ，即 .
（ii)若前 局中机器人恰好赢了 局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，其获胜概率为 ，即 .
（iii）若前 局中机器人至少赢了 局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
其获胜概率为 .
，
，
