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数学参考答案与解析
１．Ａ ２．Ｃ
３．Ｂ
【命题说明】改编人教Ａ版选择性必修一第１３８页第１题．
４．Ｂ 【解析】【法一】由｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ－ｂ｜得：（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２，即ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２＝ａ２－２ａ·ｂ＋ｂ２，
解得ａ·ｂ＝０，则（ａ＋ｂ）·ａ＝ａ２＋ｂ·ａ，又｜ａ｜＝２得ａ２＝｜ａ｜２＝４．所以（ａ＋ｂ）·ａ＝４．故选：Ｂ．
【法二】（特殊值）由题意可设ｂ＝０．可得答案．
【法三】（数形结合）利用平行四边形法则结合投影向量知识．
【命题说明】改编人教Ａ版必修二第２３页第７题，复习向量运算常用方法．
１ １ １
５．Ｄ 【解析】因为ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，α∈（０，π），所以（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＝ ，即１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝ ，
２ ４ ４
３ ( π ３π)
所以ｓｉｎαｃｏｓα＝－ ．故α∈ ， ．故选：Ｄ．
８ ２ ４
１ ３ ( １ ) ３ １＋槡７ １－槡７
【法一】由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，ｓｉｎαｃｏｓα＝－ ，得ｓｉｎα －ｓｉｎα ＝－ ，可解得ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，
２ ８ ２ ８ ４ ４
１＋槡７ ４＋槡７
故ｔａｎα＝ ＝－ ．故选：Ｄ．
１－槡７ ３
【法二】由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝
１
，ｓｉｎαｃｏｓα＝－
３
，可得（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝
７
．得ｓｉｎα－ｃｏｓα＝
槡７
，
２ ８ ４ ２
１＋槡７ １－槡７ １＋槡７ ４＋槡７
得ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，故ｔａｎα＝ ＝－ ．故选：Ｄ．
４ ４ １－槡７ ３
３ ｓｉｎαｃｏｓα ｔａｎα ３ －４±槡７ ( π ３π)
【法三】因为ｓｉｎαｃｏｓα＝－ ，得 ＝ ＝－ ，解得ｔａｎα＝ ，又α∈ ， ，
８ ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α ｔａｎ２α＋１ ８ ３ ２ ４
４＋槡７
得ｔａｎα＝－ ．故选：Ｄ．
３
【命题说明】改编人教Ａ版必修一第２５６页第２４题，考查三角求值计算公式的多种变形灵活应用．
６．Ｃ 【解析】设等比数列｛ａ｝的公比为ｑ，ｑ≠０，若ｑ＝１，与题意矛盾，所以 ｑ≠１，等比数列｛ａ｝的前９项积为
ｎ ｎ
５ １ ５ １
１，则ａａ…ａ＝ａ９＝１ａ＝１，ａ＋ａ＝ 得 ＋ｑ＝ ，解得 ｑ＝ 或 ｑ＝２．又数列｛ａ｝递增，所以 ｑ＝２，故
１ ２ ９ ５ ５ ４ ６ ２ ｑ ２ ２ ｎ
ｎ２－９ｎ ｎ２－９ｎ
ａ＝２ｎ－５，则 ｌｏｇａ＝ｎ－５．故 Ｓ＝ ，Ｓ＝ ＞０得 ｎ＞９，则使 Ｓ＞０的正整数 ｎ最小值为 １０．
ｎ ２ ｎ ｎ ２ ｎ ２ ｎ
故选：Ｃ．
ｌｎｘ ｘ－ｙ
７．Ａ 【解析】【法一】点Ｐ（ｘ，ｙ）在曲线ｙ＝ 上，且点 Ｐ（ｘ，ｙ）到直线 ｙ＝ｘ的距离 ｄ＝ ０ ０ ，可先求点
０ ０ ｘ ０ ０ 槡２
ｌｎｘ
Ｐ（ｘ，ｙ）到ｙ＝ｘ距离的最小值．函数ｙ＝ 在Ｐ（ｘ，ｙ）处的切线斜率为１时，点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｙ＝ｘ的距离最
０ ０ ｘ ０ ０ ０ ０
ｌｎｘ １－ｌｎｘ １－ｌｎｘ 槡２
小．由ｙ＝ ，得ｙ′＝ ，令 ＝１，解得ｘ＝１，又点（１，０）到直线 ｙ＝ｘ的距离 ｄ＝ ，则 ｘ－ｙ 的最
ｘ ｘ２ ｘ２ ２ ０ ０
槡２
小值为槡２× ＝１．故选：Ａ．
２
【数学答案 第１页（共１０页）】
书书书ｌｎｘ ｌｎｘ ｌｎｘ ｘ２－ｌｎｘ
【法二】点Ｐ（ｘ，ｙ）是曲线ｙ＝ 上的动点，得 ｙ＝ ０，｜ｘ－ｙ｜＝ ｘ－ ０ ，设 ｇ（ｘ）＝ ，ｇ′（ｘ）＝
０ ０ ｘ ０ ｘ ０ ０ ０ ｘ ｘ
０ ０
( １)
２ｘ－ ｘ－ｘ２＋ｌｎｘ
ｘ ｘ２－１＋ｌｎｘ １
＝ ，设ｈ（ｘ）＝ｘ２－１＋ｌｎｘ，ｈ′（ｘ）＝２ｘ＋ ＞０，故 ｈ（ｘ）＝ｘ２－１＋ｌｎｘ在区间
ｘ２ ｘ２ ｘ
ｘ２－１＋ｌｎｘ
（０，＋∞）单调递增，又ｈ（１）＝０．所以 ｇ′（ｘ）＝ 在区间（０，１）的值小于０，在区间（１，＋∞）的值大
ｘ２
ｘ２－ｌｎｘ
于０．则ｇ（ｘ）＝ 在区间（０，１）单调递减，在区间（１，＋∞）单调递增．ｇ（１）＝１，所以 ｘ－ｙ ≥１，则
ｘ ０ ０
ｘ－ｙ 的最小值为１．故选：Ａ．
０ ０
【命题意图】高考中注意数形结合是常考技巧，特别是直线与曲线，使用最忌讳图不精准，要留心定义域，关键
点，奇偶对称周期性，渐近线等．
→ → → →
８．Ｃ 【解析】【法一】因为ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ＋ｚＯＣ（ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ），
１
所以当点Ｐ位于平面ＡＢＣ内时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，
１
设与平面ＡＢＣ平行的平面为α，
１
正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 的外接球球心为Ｏ′．
１ １ １ １
则当点Ｐ是平面α和球Ｏ′相切时的切点时，ｘ＋ｙ＋ｚ的值最大．
记棱ＡＢ的中点为Ｅ，则Ｏ′Ｅ⊥面ＡＢＣ，
１ １ １
故图中射线Ｏ′Ｅ与球Ｏ′的交点即为点Ｐ．
设棱ＡＢ，ＤＣ的中点分别为Ｆ，Ｇ，取过Ｏ，Ｏ′，Ｅ的截面，（如右图）
１ １
连接ＯＰ交直线ＦＧ于点Ｍ，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＦＧ垂足为Ｈ，
槡２
则Ｏ′Ｐ＝槡３，ＯＨ＝ ，
２
槡２
槡３＋
ＯＰ Ｏ′Ｐ＋ＯＨ ２
则ｘ＋ｙ＋ｚ的最大值为 ＝ ＝ ＝槡６＋１．
ＯＭ ＯＨ 槡２
２
【法二】建立如图的坐标系，得Ｏ（１，１，０），Ａ（２，０，０），Ｂ（２，２，０），Ｃ（０，２，２），
１
设正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 的外接球球心为Ｏ′，
１ １ １ １
→ → → →
则得Ｏ′（１，１，１），Ｏ′Ｏ＝（０，０，－１），ＯＡ＝（１，－１，０），ＯＢ＝（１，１，０），ＯＣ＝（－１，１，２），
１
→ → → → →
又ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ＋ｚＯＣ，得ＯＰ＝（ｘ＋ｙ－ｚ，－ｘ＋ｙ＋ｚ，２ｚ），
１
→ → →
Ｏ′Ｐ＝Ｏ′Ｏ＋ＯＰ＝（ｘ＋ｙ－ｚ，－ｘ＋ｙ＋ｚ，２ｚ－１），
又点Ｐ为棱长是２的正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 的外接球上一动点，
１ １ １ １
→
则 Ｏ′Ｐ ＝槡３．
得（ｘ＋ｙ－ｚ）２＋（－ｘ＋ｙ＋ｚ）２＋（２ｚ－１）２＝３，
ａ－ｂ＋ｃ＋１
ｘ＝
２
{ｘ＋ｙ－ｚ＝ａ
ａ＋ｂ
设 －ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｂｙ＝ ，则得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝３，
２
２ｚ－１＝ｃ
ｃ＋１
ｚ＝
２
ａ－ｂ＋ｃ＋１ ａ＋ｂ ｃ＋１ ａ＋ｃ ａ２＋ｃ２ ３－ｂ２
求 ＋ ＋ ＝ａ＋ｃ＋１的最大值．因为（ ）２≤ ＝ ，
２ ２ ２ ２ ２ ２
【数学答案 第２页（共１０页）】槡６ ａ＋ｃ 槡６
故当ｂ＝０，且ａ＝ｃ＝ 时， 取最大值为 ，
２ ２ ２
所以ａ＋ｃ＋１的最大值为槡６＋１，即ｘ＋ｙ＋ｘ的最大值为槡６＋１．
【命题意图】提醒最后阶段再次回归教材，再梳理教材中重要例题及结论．此题法一论依据必修二第２６页
→
例１，并推广到空间向量选择性必修一第２７页，空间一点 Ｐ位于平面 ＡＢＣ内充要条件是存在 ｘ，ｙ使ＯＰ＝
→ → → → → → → → → → → →
ＯＡ＋ｘＡＢ＋ｙＡＣ．再扩展ＯＰ＝ＯＡ＋ｘ（ＯＢ－ＯＡ）＋ｙ（ＯＣ－ＯＡ）＝（１－ｘ－ｙ）ＯＡ＋ｘＯＢ＋ｙＯＣ，即空间一点 Ｐ
→ → → → → → →
位于平面ＡＢＣ内充要条件是ＯＰ用基底ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ表示，ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ的系数和为１．
９．ＢＣ
( π) π
１０．ＡＣＤ 【解析】由题意将函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ＋ （ω＞０）向左平移 个单位得到的函数解析式为 ｙ＝
３ １２
( ( π) π) ( π π) π π π
ｓｉｎωｘ＋ ＋ ＝ｓｉｎωｘ＋ω ＋ ，若其为偶函数，则 ω ＋ ＝ｋπ＋ ，ｋ∈Ｚ，解得 ω＝１２ｋ＋２，
１２ ３ １２ ３ １２ ３ ２
( π)
ｋ∈Ｚ，又因为ω＞０，所以ω最小值为２．得ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ ．经计算选ＡＣＤ．
３
１１．ＡＢＣ 【解析】令ａ＝１，由ａ ＋（－１）ｎａ＝ｎ得数列｛ａ｝为１，２，０，３，１，６，０，７，１，１０…，故ＡＢ不正确．
１ ｎ＋１ ｎ ｎ
ａ－ａ＝１ ａ＋ａ＝１
２ １ ３ １
ａ＋ａ＝２ ａ＋ａ＝５
３ ２ ４ ２
ａ－ａ＝３ ａ＋ａ＝１
４ ３ ５ ３
ａ＋ａ＝４ ａ＋ａ＝９
５ ４ ６ ４
由ａ ＋（－１）ｎａ＝ｎ，得 ， 每相邻两式相加或相减得 ，
ｎ＋１ ｎ
ａ－ａ＝５ ａ＋ａ＝１
６ ５ ７ ５
ａ＋ａ＝６ ａ＋ａ＝１３
７ ６ ８ ６
ａ－ａ＝７ ａ＋ａ＝１
８ ７ ９ ７
… …
上式中可得ａ＋ａ＝１，ａ＋ａ＝１，…，故ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ ＝２５，所以Ｃ不正确．
３ １ ７ ５ １ ３ ５ ７ ９９
上式中也可得ａ＋ａ＝５，ａ＋ａ＝１３，…，得ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋＋ａ ＝２５２５，故Ｄ正确．
４ ２ ８ ６ ２ ４ ６ ８ １００
【复习建议】讲解可让学生取ａ＝１，分奇偶求数列通项公式．
１
１２．２０
槡５－１ → →
１３． 【解析】【法一】因为ＦＡ·ＡＢ＝０，所以△ＡＦＢ为直角三角形．
２
又｜ＦＡ｜＝ａ，｜ＡＢ｜＝槡ａ２＋ｂ２，｜ＦＢ｜＝ａ＋ｃ，
得ａ２＋ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｃ）２，ａ２＋ａ２＋ｂ２＝ａ２＋２ａｃ＋ｃ２２ｃ２＋２ａｃ－２ａ２＝０，
ｃ２ ｃ ｃ 槡５－１
＋ －１＝０ｅ＝ ＝ ．
ａ２ ａ ａ ２
→ →
【法二】因为ＦＡ·ＡＢ＝０，所以ＦＡ⊥ＡＢ．由射影定理得ＯＡ２＝ＯＦ·ＯＢｂ２＝ａｃ，
即ａ２－ｃ２＝ａｃ，
ｃ２
＋
ｃ
－１＝０ｅ＝
ｃ
＝
槡５－１
．
ａ２ ａ ａ ２
【命题意图】高考解析几何的核心，是用代数方法研究几何问题，其平面几何特征主要体现在直线、圆、圆锥
曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的固有几何性质，以及三角形、四边形、圆等基础图形的经典定理在坐标系中
的应用．解题的关键在于先挖掘几何特征，再进行代数运算．
【数学答案 第３页（共１０页）】８ ９×４＋８×３＋７×２＋６×１ ８０ ８
１４． 【解析】 ＝ ＝ ．
４５ Ｃ２Ｃ２ ４５０ ４５
１０ ５
【命题说明】改编人教Ａ版选择性必修三第８３页第７题
【变式练习】空间有三组平行平面，第一组有１０个，第二组有８个，第三组有５个，同一组平面中每相邻两平
面间距离均为１．不同两组的平面都相交，且交线不都平行，若从这三组平面构成的平行六面体中任取一个，
７
则取到的平行六面体的所有棱长都相等的概率为 ．
１８０
ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ２ｃｏｓＣ
１５．解：（１）根据正弦定理和余弦定理， ＋ ＝ 可得
ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ
ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ２ｃｏｓＣ ｂ２＋ｃ２－ａ２ ａ２＋ｃ２－ｂ２ ２（ａ２＋ｂ２－ｃ２）
＋ ＝ ，即 ＋ ＝ ，
ａ ｂ ｃ ２ａｂｃ ２ａｂｃ ２ａｂｃ
得２ｃ２＝ａ２＋ｂ２．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２分）
ａ２＋ｂ２－ｃ２ ａ２＋ｂ２ １
又ｃｏｓＣ＝ ＝ ≥ ，
２ａｂ ４ａｂ ２
当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４分）
[ １ ) π
所以ｃｏｓＣ∈ ，１，又因为０＜Ｃ＜π，所以０＜Ｃ≤ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
２ ３
π
（２）当角Ｃ最大时，Ｃ＝ ，且ａ＝ｂ，所以此△ＡＢＣ是等边三角形，设其边长为ｘ，
３
槡３ｘ ２槡３
点Ｄ在边ＡＢ上，则 ≤ＣＤ≤ｘ，又ＣＤ＝１，所以１≤ｘ≤ ，
２ ３
则△ＡＢＣ周长的取值范围为［３，２槡３］．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３分）
１６．解：（１）将甲部件测试数据从小到大排列，得
１１２０，１１５０，１１７０，１１９０，１２１０，１２３０，１２５０，１２８０，１３５０，１３８０， !!!!!!!!!!!!!!!!! （２分）
又１０×８０％＝８为整数，所以数据的第８０％分位数为第８个数据和第９个数据的平均数，
１２８０＋１３５０
＝１３１５．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５分）
２
３
（２）甲部件：数据共１０个，≥１２００小时的是１２１０，１２３０，１２５０，１２８０，１３５０，１３８０，共６个，频率为 ．
５
２
乙部件：数据共６个，≥１２００小时的是１３６０，１３１０，１２６０，１２２０，共４个，频率为 ．
３
１
丙部件：数据共４个，≥１２００小时的是１４２０，１３３０，共２个，频率为 ．!!!!!!!!!!!!! （８分）
２
３ ２ １
由频率估计概率得，甲部件获得优秀的概率为 ，乙部件获得优秀的概率为 ，丙部件获得优秀的概率为 ．
５ ３ ２
设甲部件获得优秀为事件Ａ，乙部件获得优秀为事件Ａ，丙部件获得优秀为事件Ａ．
１ ２ ３
— — — ２ １ １ １
Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｐ（ＡＡＡ）＝ × × ＝ ，
１ ２ ３ ５ ３ ２ １５
— — — — — — ３ １ １ ２ ２ １ ２ １ １ ３
Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（ＡＡＡ）＋Ｐ（ＡＡＡ）＋Ｐ（ＡＡＡ）＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ５ ３ ２ ５ ３ ２ ５ ３ ２ １０
— — — ３ ２ １ ３ １ １ ２ ２ １ １３
Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｐ（ＡＡＡ）＋Ｐ（ＡＡＡ）＋Ｐ（ＡＡＡ）＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ５ ３ ２ ５ ３ ２ ５ ３ ２ ３０
３ ２ １ １
Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｐ（ＡＡＡ）＝ × × ＝ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２分）
１ ２ ３ ５ ３ ２ ５
【数学答案 第４页（共１０页）】∴Ｘ的分布列为
Ｘ ０ １ ２ ３
１ ３ １３ １
Ｐ
１５ １０ ３０ ５
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３分）
３ １３ １ ５３
所以Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝１× ＋２× ＋３× ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５分）
１０ ３０ ５ ３０
１７．解：（１）由题意，ＡＡ⊥平面ＡＢＣ，则可过点Ｃ作ＣＯ∥ＡＡ交棱ＡＣ于点Ｏ，
１ １ １ １
则ＣＯ⊥平面ＡＢＣ，
１
又ＡＣ平面ＡＢＣ，得ＣＯ⊥ＡＣ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２分）
１
∵ＡＣ＝３，ＡＣ＝６，
１ １
∴Ｏ为棱ＡＣ的中点，
【法一】又因为△ＡＢＣ为等边三角形，所以ＢＯ⊥ＡＣ，
又ＣＯ∩ＢＯ＝Ｏ，∴ＡＣ⊥平面ＣＢＯ，
１ １
又ＢＣ平面ＣＢＯ，∴ＡＣ⊥ＢＣ，
１ １ １
又∵ＡＣ∥ＡＣ，则ＡＣ⊥ＢＣ，所以△ＡＢＣ为直角三角形；!!!!!!!!!!!!!!!!! （５分）
１ １ １ １ １ １ １
【法二】△ＡＢＣ是边长为６的等边三角形，所以ＯＢ＝３槡３，又ＣＯ＝３，
１
∴ＢＣ＝６，
１
又∵ＡＡ⊥平面ＡＢＣ，
１
∴ＡＡ⊥ＡＢ，又ＡＡ＝３，ＡＢ＝６，
１ １
∴ＡＢ＝３槡５，又ＡＣ＝３，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５分）
１ １ １ １ １ １ １
所以△ＡＢＣ为直角三角形；
１ １
（２）以点Ｏ为原点，分别以ＯＢ，ＯＣ，ＯＣ所在直线为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
１
Ｏ（０，０，０），Ａ（０，－３，０），Ａ（０，－３，３），Ｂ（３槡３，０，０），Ｃ（０，３，０），Ｃ（０，０，３），
１ １
→ → →
ＣＣ＝（０，－３，３），ＡＢ＝（３槡３，３，０），ＡＡ＝（０，０，３），!!!!!!!! （７分）
１ １
→ →
又ＢＤ＝２ＤＣ，所以Ｄ（槡３，２，０），
→ →
因为Ｅ为棱ＣＣ上一动点，可设ＣＥ＝λＣＣ＝（０，－３λ，３λ）．
１ １
→ → →
则ＤＥ＝ＤＣ＋λＣＣ＝（－槡３，１，０）＋（０，－３λ，３λ）＝（－槡３，１－３λ，３λ）
１
设平面ＡＢＢＡ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１ １
→
{ＡＡ
１
·ｎ＝０ {３ｚ＝０
则 ，即 ．
→
ＡＢ·ｎ＝０ ３槡３ｘ＋３ｙ＝０
可取ｎ＝（１，－槡３，０）．
→ →
因为ＤＥ∥平面ＡＢＢＡ，所以ＤＥ⊥ｎ，即ＤＥ·ｎ＝－槡３－槡３（１－３λ）＝０．
１ １
２ →
解得λ＝ ，得Ｅ（０，１，２），ＤＥ＝（－槡３，－１，２）．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０分）
３
→
又ＡＥ＝（０，４，－１），
１
设平面ＡＤＥ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１ １ １ １
【数学答案 第５页（共１０页）】→
{ＤＥ·ｍ＝０ { －槡３ｘ－ｙ＋２ｚ＝０
１ １
则 ，即 ．
→
ＡＥ·ｍ＝０ ４ｙ－ｚ＝０
１ １ １
可取ｍ＝
(７槡３
，１，４
)
．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２分）
３
又平面ＡＢＣ的法向量可取ｋ＝（０，０，１）．
ｋ·ｍ ４ ２槡３
则ｃｏｓ〈ｋ，ｍ〉＝ ＝ ＝ ，
｜ｋ｜·｜ｍ｜ ４９ ５
槡 ＋１＋１６
３
２槡３
所以平面ＡＤＥ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为 ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５分）
１ ５
１８．解：（１）由已知得渐近线方程为ｂｘ±ａｙ＝０，右焦点Ｆ（２，０），知ｃ＝２．
｜２ｂ｜
且 ＝１，又∵ａ２＋ｂ２＝ｃ２＝４，解得ｂ＝１，
槡ａ２＋ｂ２
ａ２＋１＝４解得ａ２＝４，
ｘ２
∴双曲线的标准方程为 －ｙ２＝１；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３分）
３
ｘ２
（２）【法一】当直线ｌ的斜率不存在时，直线ｌ方程为ｘ＝２，代入双曲线方程 －ｙ２＝１，
３
求得ｙ２＝
１
，不妨设Ｍ（２，
槡３
），Ｎ（２，－
槡３
）．
３ ３ ３
２槡３
故｜ＭＮ｜＝ ，又Ｆ（２，０），
３
１ １ ２槡３ ２槡３
故△ＯＭＮ的面积Ｓ ＝ ｜ＯＦ｜·｜ＭＮ｜＝ ×２× ＝ ；
△ＦＭＮ ２ ２ ３ ３
直线ｘ＝２符合题意．!!!!!!!!!!!!!!!!! （４分）
当直线ｌ的斜率存在时，设其方程为ｙ＝ｋ（ｘ－２）
(
ｋ≠±
槡３)
，
３
{ｘ２
－ｙ２＝１
与双曲线方程联立得： ３ （１－３ｋ２）ｘ２＋１２ｋ２ｘ－１２ｋ２－３＝０，
ｙ＝ｋ（ｘ－２）
直线ｌ与双曲线Ｅ交于Ｍ，Ｎ两点，△＝１４４ｋ４＋４（１－３ｋ２）（１２ｋ２＋３）＝１２ｋ２＋１２＞０，
设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），
１ １ ２ ２
１２ｋ２ １２ｋ２＋３
则ｘ＋ｘ＝ ，ｘｘ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
１ ２ ３ｋ２－１ １２ ３ｋ２－１
１２ｋ２ １２ｋ２＋３
故｜ＭＮ｜＝槡１＋ｋ２｜ｘ
１
－ｘ
２
｜＝槡１＋ｋ２
槡
（
３ｋ２－１
）２－４×
３ｋ２－１
｜２ｋ｜
点Ｏ到直线ｙ＝ｋ（ｘ－２）的距离ｈ＝ ，
槡１＋ｋ２
故△ＯＭＮ的面积Ｓ
△ＯＭＮ
＝
１
２
ｈ｜ＭＮ｜＝
１
２
×
槡
｜
１
２
＋
ｋ｜
ｋ２
×槡１＋ｋ２
槡
（
３
１
ｋ
２
２
ｋ
－
２
１
）２－４×
１
３
２
ｋ
ｋ
２
２
－
＋
１
３
＝
２
３
槡３
，
整理得｜ｋ｜
槡 （
１
３
２
ｋ
ｋ
２
２
－
＋
１
１
）
２
２
＝
２
３
槡３
１５ｋ２＝１，
【数学答案 第６页（共１０页）】解得ｋ２＝
１
，ｋ＝±
槡１５
， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８分）
１５ １５
槡１５
所以直线ｌ方程为ｙ＝± （ｘ－２）．
１５
２槡３ 槡１５
综上当Ｓ ＝ 时，直线ｌ的方程为ｘ＝２或ｙ＝± （ｘ－２）．!!!!!!!!!!!!! （１０分）
△ＯＭＮ ３ １５
ｘ２
【法二】当直线ｌ的斜率不存在时，直线ｌ的方程为ｘ＝２，代入双曲线方程 －ｙ２＝１，
３
求得ｙ２＝
１
，不妨设Ｍ（２，
槡３
），Ｎ（２，－
槡３
）．
３ ３ ３
２槡３
故｜ＭＮ｜＝ ，又Ｆ（２，０），
３
１ １ ２槡３ ２槡３
故△ＯＭＮ的面积Ｓ ＝ ｜ＯＦ｜·｜ＭＮ｜＝ ×２× ＝ ；
△ＦＭＮ ２ ２ ３ ３
直线ｘ＝２符合题意．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４分）
当直线ｌ的斜率存在时，设其方程为ｙ＝ｋ（ｘ－２）
(
ｋ≠±
槡３)
，
３
{ｘ２
－ｙ２＝１
与双曲线方程联立得： ３ （１－３ｋ２）ｘ２＋１２ｋ２ｘ－１２ｋ２－３＝０，
ｙ＝ｋ（ｘ－２）
直线ｌ与双曲线Ｅ交于Ｍ，Ｎ两点，△＝１４４ｋ４＋４（１－３ｋ２）（１２ｋ２＋３）＝１２ｋ２＋１２＞０，
设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），
１ １ ２ ２
１２ｋ２ １２ｋ２＋３
则ｘ＋ｘ＝ ，ｘｘ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
１ ２ ３ｋ２－１ １２ ３ｋ２－１
｜ｙ
１
－ｙ
２
｜＝｜ｋｘ
１
－ｋｘ
２
｜＝｜ｋ｜槡｜ｘ
１
－ｘ
２
｜，
１ ２槡３
故△ＯＭＮ的面积Ｓ
△ＯＭＮ
＝
２
｜ＯＦ｜·｜ｙ
１
－ｙ
２
｜＝｜ｋ｜槡｜ｘ
１
－ｘ
２
｜＝
３
，
即｜ｋ｜ （
１２ｋ２
）２－４×
１２ｋ２＋３
＝
２槡３
，
槡 ３ｋ２－１ ３ｋ２－１ ３
整理得１５ｋ２＝１，
解得ｋ２＝
１
，ｋ＝±
槡１５
， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８分）
１５ １５
槡１５
所以直线ｌ方程为ｙ＝± （ｘ－２）．
１５
２槡３ 槡１５
综上当Ｓ ＝ 时，直线ｌ的方程为ｘ＝２或ｙ＝± （ｘ－２）．!!!!!!!!!!!!! （１０分）
△ＯＭＮ ３ １５
【法三】由题意设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２（ｍ≠±槡３），
{ｘ２
－ｙ２＝１
３ （ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０
ｘ＝ｍｙ＋２
直线ｌ与双曲线Ｅ交于Ｍ，Ｎ两点，所以△＝１６ｍ２－４（ｍ２－３）＝１２ｍ２＋１２＞０，
另设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），
１ １ ２ ２
【数学答案 第７页（共１０页）】－４ｍ １
则ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
１ ２ ｍ２－３ １２ ｍ２－３
－４ｍ １
故｜ＭＮ｜＝槡（ｘ
１
－ｘ
２
）２＋（ｙ
１
－ｙ
２
）２＝槡（１＋ｍ２）（ｙ
１
－ｙ
２
）２＝槡１＋ｍ２
槡
（
ｍ２－３
）２－４
ｍ２－３
２
点Ｏ到直线ｘ＝ｍｙ＋２的距离ｈ＝ ，
槡１＋ｍ２
故△ＯＭＮ的面积Ｓ
△ＯＭＮ
＝
１
２
ｈ｜ＭＮ｜＝
槡１
１
＋ｍ２
×槡１＋ｍ２
槡
（
ｍ
－
２
４
－
ｍ
３
）２－４×
ｍ２
１
－３
＝
２
３
槡３
，
即 槡 （ ｍ
－
２
４
－
ｍ
３ ）２－４× ｍ２
１
－３ ＝
２
３
槡３
１
（
２
ｍ
ｍ
２
２
－
＋
３
１
）
２
２ ＝
４
３ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８分）
解得ｍ＝０或ｍ２＝１５，
２槡３ 槡１５
所以当Ｓ ＝ 时，直线ｌ的方程为ｘ＝２或ｙ＝± （ｘ－２）．!!!!!!!!!!!!! （１０分）
△ＯＭＮ ３ １５
【法四】由题意设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２（ｍ≠±槡３），
{ｘ２
－ｙ２＝１
３ （ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０
ｘ＝ｍｙ＋２
直线ｌ与双曲线Ｅ交于Ｍ，Ｎ两点，所以△＝１６ｍ２－４（ｍ２－３）＝１２ｍ２＋１２＞０，
另设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），
１ １ ２ ２
－４ｍ １
则ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
１ ２ ｍ２－３ １２ ｍ２－３
故△ＯＭＮ的面积Ｓ ＝
１
｜ＯＦ｜·｜ｙ－ｙ｜＝槡（ｙ＋ｙ）２－４ｙｙ＝
２槡３
，
△ＯＭＮ ２ １ ２ １ ２ １２ ３
即 槡 （ ｍ
－
２
４
－
ｍ
３ ）２－４× ｍ２
１
－３ ＝
２
３
槡３
１
（
２
ｍ
ｍ
２
２
－
＋
３
１
）
２
２ ＝
４
３ ，
解得ｍ＝０或ｍ２＝１５， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８分）
２槡３ 槡１５
所以当Ｓ ＝ 时，直线ｌ的方程为ｘ＝２或ｙ＝± （ｘ－２）．!!!!!!!!!!!!! （１０分）
△ＯＭＮ ３ １５
（３）由题意知Ａ（－槡３，０），Ｂ（槡３，０），故可设ｌ：ｘ＝ｍｙ＋２，直线与双曲线联立得，
{ｘ２
－ｙ２＝１
３ （ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０，
ｘ＝ｍｙ＋２
又因为直线ｌ与双曲线交于两点，则ｍ２≠３，Δ＞０，
设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），
１ １ ２ ２
－４ｍ １
则ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２分）
１ ２ ｍ２－３ １２ ｍ２－３
ｙ ｙ
所以直线ＡＭ，ＢＮ的方程分别为ｙ＝ １ （ｘ＋槡３），ｙ＝ ２ （ｘ－槡３），
ｘ＋槡３ ｘ－槡３
１ ２
ｙ
ｙ＝ １ （ｘ＋槡３）
联立 ｘ １ ＋槡３ 得 ｙ １ （ｘ＋槡３）＝ ｙ ２ （ｘ－槡３）
ｙ＝ ｙ ２ （ｘ－槡３） ｍｙ １ ＋２＋槡３ ｍｙ ２ ＋２－槡３
ｘ－槡３
２
【数学答案 第８页（共１０页）】２ｍｙｙ＋２（ｙ＋ｙ） ３
得ｘ＝ １２ １ ２ ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４分）
ｙ＋ｙ ２
１ ２
( ３ ) ｙ ｙ ｙ
则可设点Ｐ ，ｙ ，故可得ｋ＝ ０ ，ｋ＝ ０ ，ｋ＝ ０
２ ０ １ ３ ２ ３ ３ ３
＋槡３ －槡３ －２
２ ２ ２
ｙ ｙ
０ ＋ ０
３ ３
ｋ＋ｋ ２
＋槡３
２
－槡３
所以 １ ２＝ ＝２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１６分）
ｋ ｙ
３ ０
３
－２
２
ｋ＋ｋ
所以 １ ２为定值２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１７分）
ｋ
３
π π
１９．解：（１）【法一】当ａ＜０时，由ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｓｉｎｘ＋１（ａ∈Ｒ）得ｆ（ ）＝ａｌｎ ＜０，
２ ２
又当ｘ→０时，ｆ（ｘ）→＋∞，
( π) ( π)
又因为函数ｆ（ｘ）在 ０， 连续，所以ｆ（ｘ）在区间 ０， 定存在零点． !!!!!!!!!!!! （３分）
２ ２
π π
【法二】当ａ＜０时，由ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｓｉｎｘ＋１（ａ∈Ｒ）可知ｆ（ ）＝ａｌｎ ＜０，
２ ２
１ ( １) １
取ｘ＝ 得ｆ ＝－ａ－ｓｉｎ ＋１，
ｅ ｅ ｅ
１
因为ａ＜０－ａ＞０，－ｓｉｎ ＋１＞０，
ｅ
( １) ( π) ( π)
故ｆ ＞０，又函数ｆ（ｘ）在 ０， 连续，所以ｆ（ｘ）在区间 ０， 定存在零点．!!!!!!!!! （３分）
ｅ ２ ２
ａ ａ－ｘｃｏｓｘ
（２）因为ｆ′（ｘ）＝ －ｃｏｓｘ＝ ，
ｘ ｘ
ａ－ｘｃｏｓｘ
又ｆ（ｘ）在区间（０，π）单调递增，故ｆ′（ｘ）＝ ≥０在区间（０，π）恒成立．
ｘ
即ａ≥ｘｃｏｓｘ恒成立．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４分）
设ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ，ｘ∈（０，π），则ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ．
[ π )
当ｘ∈ ，π时，ｃｏｓｘ≤０，ｘｓｉｎｘ＞０，所以ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ＜０，
２
[ π )
则ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ在区间 ，π单调递减． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６分）
２
( π)
当ｘ∈ ０， 时，ｇ″（ｘ）＝－２ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ，又２ｓｉｎｘ＞０，ｘｃｏｓｘ＞０，
２
( π)
所以ｇ″（ｘ）＝－２ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＜０，可知ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ在区间 ０， 单调递减．
２
( π) π ( π) 槡２( π) π １ π 槡３ １
又ｇ′（０）＝１，ｇ′ ＝－ ，ｇ′ ＝ １－ ＞０，ｇ′（ ）＝ － × ＝ （３－槡３π）＜０，
２ ２ ４ ２ ４ ３ ２ ３ ２ ６
( π π)
故定存在ｘ∈ ， 使ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ＝０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８分）
０ ４ ３ ０ ０ ０ ０
所以ｘ∈（０，ｘ）时，ｇ′（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ在区间（０，ｘ）单调递增，
０ ０
ｘ∈（ｘ，π）时，ｇ′（ｘ）＜０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ在区间（０，ｘ）单调递减，
０ ０
【数学答案 第９页（共１０页）】所以ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ，ｘ∈（０，π）的最大值为ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ，
０ ０ ０
又因为ｃｏｓｘ－ｘｓｉｎｘ＝０，所以ｇ（ｘ）＝ｘ２ｓｉｎｘ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０分）
０ ０ ０ ０ ０ ０
( π)
因为ｙ＝ｘ２ｓｉｎｘ的导函数ｙ′＝２ｘｓｉｎｘ＋ｘ２ｃｏｓｘ在区间 ０， 大于０，
２
( π)
所以ｙ＝ｘ２ｓｉｎｘ在区间 ０， 单调递增，
２
( π π) ( π)２ 槡２ ( π)２ 槡３
又ｘ∈ ， ，所以０＜ ＜ｇ（ｘ）＜ ＜１，
０ ４ ３ ４ ２ ０ ３ ２
故大于ｇ（ｘ）的最小正整数为１，所以正整数ａ的最小值为１．!!!!!!!!!!!!!!! （１２分）
０
１
（３）由（２）知此时ａ＝１，ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｓｉｎｘ＋１，ｆ′（ｘ）＝ －ｃｏｓｘ，
ｘ
１ １ １ １ ｘ－ｘ
由题意知 －ｃｏｓｘ＝ －ｃｏｓｘ，即 － ＝ｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ ２ １＝ｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ，
ｘ １ ｘ ２ ｘ ｘ １ ２ ｘｘ １ ２
１ ２ １ ２ １２
ｘ－ｘ (ｘ＋ｘ) (ｘ－ｘ)
即 ２ １＝－２ｓｉｎ １ ２ ｓｉｎ １ ２ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３分）
ｘｘ ２ ２
１２
因为ｘ，ｘ∈（０，π），不妨设ｘ＞ｘ，
１ ２ １ ２
(ｘ－ｘ) ｘ－ｘ (ｘ＋ｘ)
得０＜ｓｉｎ １ ２ ＜１ ２，０＜ｓｉｎ １ ２ ≤１，
２ ２ ２
ｘ－ｘ (ｘ＋ｘ) (ｘ－ｘ) ｘ－ｘ
所以 ２ １＝－２ｓｉｎ １ ２ ｓｉｎ １ ２ ＞－２１ ２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４分）
ｘｘ ２ ２ ２
１２
整理得ｘｘ＞１，
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｓｉｎｘ＋１＋ｌｎｘ－ｓｉｎｘ＋１＝ｌｎｘｘ－（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘ）＋２
１ ２ １ １ ２ ２ １２ １ ２
∵ｘｘ＞１，则ｌｎｘｘ＞０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５分）
１２ １２
又ｓｉｎｘ≤１，ｓｉｎｘ≤１，则２－ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘ≥０．
１ ２ １ ２
ｌｎｘｘ－（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘ）＋２＞０，
１２ １ ２
得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＞０．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１７分）
１ ２
【数学答案 第１０页（共１０页）】
