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北师八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数 、π、 、 、0. 中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
2．下面二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． = B． =6 C． D．
4．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1.5，2，3D． ， ，3
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环，
方差分别为S 2=0.63，S 2=0.51，S 2=0.48，S 2=0.42，则四人中成绩最稳定的是
甲 乙 丙 丁
（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠4=∠6C．∠4=∠5D．∠1+∠3=180°
第1页（共27页）8．已知方程组 ，则2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．若定义：（f a，b）=（﹣a，b），g（m，n）=（m，﹣n），例如（f 1，2）=（﹣1，2），g（﹣4，
﹣5）=（﹣4，5），则g（f（2，﹣3））=（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
10．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： = ．
12．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均
数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为
分．
13．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成
的四边形的面积是 ．
14．已知点A（0，2m）和点B（﹣1，m+1），直线AB∥x轴，则m= ．
15．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，求出这两个角的
度数？设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意所列方程组是 ．
16．如图，直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段
第2页（共27页）OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时
间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：（2﹣ ）（2+ ）+（2﹣ ）2﹣ ．
18．（6分）解方程组： ．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C
（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C （不写画法）；
1 1 1
点A关于x轴对称的点坐标为
点B关于y轴对称的点坐标为
点C关于原点对称的点坐标为
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 ．
第3页（共27页）四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）甲、乙两位同学5次数学成绩统计如表，他们的5次总成绩相同，小明
根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．
第1 第2次 第3次 第4 第5
次 次 次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a= ， = ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S 2=360，乙成绩的方差是 ，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或
甲
“乙”）．从平均数和方差的角度分析， 将被选中．
第4页（共27页）21．（7分）已知：如图，∠1+∠D=90°，BE∥FC，且DF⊥BE与点G，并分别与AB、CD
交于点F、D．求证：AB∥CD．（完成证明并写出推理依据）
证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+ ∠ =90°（ ），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴ = （等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（ ），
∴∠1= （ ），
∴AB∥CD（ ）．
22．（7分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆
A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计
划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据
以上信息，解答下列问题：
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且
BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
第5页（共27页）24．（9分）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开
往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S （千米）、S （千米）
甲 乙
与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）分别求出S 、S 与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
甲 乙
（2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇；
（3）当两车相距300千米时，求t的值．
25．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+1的图象与x轴，
y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
第6页（共27页）第7页（共27页）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数 、π、 、 、0. 中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而
无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 、π是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下面二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次
根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含分母，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方
数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．下列计算正确的是（ ）
A． = B． =6 C． D．
第8页（共27页）【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=2 ﹣ = ，正确；
B、原式= = ，错误；
C、 + 为最简结果，错误；
D、原式= =2，错误，
故选A
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1.5，2，3D． ， ，3
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，
即可解答．
【解答】解：A、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；
B、52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意；
C、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，符合题意；
D、（ ）2+32=（ ）2，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知
三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环，
方差分别为S 2=0.63，S 2=0.51，S 2=0.48，S 2=0.42，则四人中成绩最稳定的是
甲 乙 丙 丁
（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据
第9页（共27页）越稳定．
【解答】解：∵S 2=0.63，S 2=0.51，S 2=0.48，S 2=0.42，
甲 乙 丙 丁
∴S 2＞S 2＞S 2＞S 2，
甲 乙 丙 丁
故选D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；
根据对顶角的性质对②进行判断；
根据三角形外角性质对③进行判断；
根据非负数的性质对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这
样的真命题叫做定理．
7．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
第10页（共27页）A．∠1=∠2B．∠4=∠6C．∠4=∠5D．∠1+∠3=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，不能判定AB∥CD，故A错误；
B．当∠4=∠6时，根据内错角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故B正确；
C．∠4与∠5不是同位角、内错角，不能判定AB∥CD，故C错误；
D．当∠1+∠3=180°时，∠1+∠2=180°，可得EF∥GH，不能判定AB∥CD，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错
角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平
行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行
8．已知方程组 ，则2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】解二元一次方程组．
【分析】将x﹣y，3x+2y的值整体代入即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴2（x﹣y）﹣3（3x+2y）
=2×5﹣3×（﹣1）
=10+3
=13．
答：2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为13．
故选：C．
第11页（共27页）【点评】此题考查了解二元一次方程组，本题不需要解方程，只需要整体思想的应
用求解．
9．若定义：（f a，b）=（﹣a，b），g（m，n）=（m，﹣n），例如（f 1，2）=（﹣1，2），g（﹣4，
﹣5）=（﹣4，5），则g（f（2，﹣3））=（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【考点】点的坐标．
【专题】新定义．
【分析】根据新定义先求出f（2，﹣3），然后根据g的定义解答即可．
【解答】解：根据定义，f（2，﹣3）=（﹣2，﹣3），
所以，g（f（2，﹣3））=g（﹣2，﹣3）=（﹣2，3）．
故选B．
【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关
键．
10．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数y=kx+b的图象位置可得k＞0，b＞0，
然后根据系数的正负判断函数y=﹣bx+k的图象位置．
【解答】解：∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴函数y=﹣bx+k的图象经过第一、二、四象限．
第12页（共27页）故选C．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b
＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y
轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象
限；k＞0，b＜0 y=kx+b的图象经过一、三、四象
⇔
限；k＜0，b＞0 y=kx+b的图象
经过一、二、四
⇔
象限；k＜0，b＜0 y=kx+b的图象经过二、三、
⇔
四象限．
⇔
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： = 3 0 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】系数和被开方数分别相乘，最后化成最简二次根式即可．
【解答】解：3 ×2 =6 =30 ，
故答案为：30 ．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，主要考查学生的计算能力．
12．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均
数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为
88 分．
【考点】加权平均数．
【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计
算即可．
【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88（分）；
故答案为：88．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用
到的知识点是加权平均数．
13．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成
的四边形的面积是 10 8 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
第13页（共27页）【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的面
积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可．
【解答】解：∵92+122=225，152=225，
∴92+122=152，
这个三角形为直角三角形，且9和12是两条直角边；
∴拼成的四边形的面积= ×9×12×2=108．
故答案为：108．
【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．已知点A（0，2m）和点B（﹣1，m+1），直线AB∥x轴，则m= 1 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可．
【解答】解：∵A（0，2m）和点B（﹣1，m+1），直线AB∥x轴，
∴m+1=2m，
解得m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同
是解题的关键．
15．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，求出这两个角的
度数？设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为 x°，y°，根据题意所列方程组是
．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
第14页（共27页）【分析】根据两角互余和题目所给的关系，列出方程组．
【解答】解：设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°、y°，
由题意得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是根据
题意找出合适的等量关系列方程组．
16．如图，直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段
OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时
间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为 2 或 4 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】分类讨论．
【分析】分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵由 ，得 ，
∴C（2，2）；
如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2，
②如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过C作CM⊥OA于M，
第15页（共27页）∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，等腰直角三角形等知识
点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：（2﹣ ）（2+ ）+（2﹣ ）2﹣ ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．
第16页（共27页）【解答】解：原式=4﹣5+4﹣4 +2﹣ =5﹣ ．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据方程组的特点采用相应的方法求解，用加减法较简单．
【解答】解：①×2+②，得11x=22，
x=2，
代入①，得y=﹣1．
所以方程组的解为 ．
【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C
（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C （不写画法）；
1 1 1
点A关于x轴对称的点坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 3 ）
点B关于y轴对称的点坐标为 （﹣ 2 ， 0 ）
点C关于原点对称的点坐标为 （ 3 ， 1 ）
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 9 ．
【考点】作图-轴对称变换．
第17页（共27页）【分析】（1）直接利用关于坐标轴对称点的性质得出各对应点位置即可；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）点A关于x轴对称的点坐标为 （﹣1，﹣3）；
点B关于y轴对称的点坐标为：（﹣2，0）；
点C关于原点对称的点坐标为：（3，1）；
故答案为：（﹣1，﹣3），（﹣2，0），（3，1）；
（2）△ABC的面积是：4×5﹣ ×2×4﹣ ×3×3﹣ ×1×5=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点
位置是解题关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）甲、乙两位同学5次数学成绩统计如表，他们的5次总成绩相同，小明
根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．
第1 第2次 第3次 第4 第5
次 次 次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a= 4 0 ， = 6 0 ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
第18页（共27页）（3）S 2=360，乙成绩的方差是 16 0 ，可看出 乙 的成绩比较稳定（填“甲”
甲
或“乙”）．从平均数和方差的角度分析， 乙 将被选中．
【考点】方差；折线统计图；算术平均数．
【分析】（1）根据题意和平均数的计算公式计算即可；
（2）根据求出的a的值，完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）根据方差的计算公式计算，根据方差的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵他们的5次总成绩相同，
∴90+40+70+40+60=70+50+70+a+70，
解得a=40，
（70+50+70+40+70）=60，
故答案为：40；60；
（2）如图所示：
（3）S2 = [（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]=160．
乙
∵S2 ＜S 2，
乙 甲
∴乙的成绩稳定，
从平均数和方差的角度分析，乙将被选中，
故答案为：160；乙；乙．
第19页（共27页）【点评】本题考查的是条形统计图、方差的计算和性质，读懂条形统计图、获取正
确的信息、掌握方差的计算公式是解题的关键．
21．（7分）已知：如图，∠1+∠D=90°，BE∥FC，且DF⊥BE与点G，并分别与AB、CD
交于点F、D．求证：AB∥CD．（完成证明并写出推理依据）
证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+ ∠ D =90°（ 三角形内角和定理 ），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴ ∠ 1 = ∠ 2 （等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠1= ∠ C （ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据 DF⊥BE 利用垂直的定义以及三角形内角和定理即可得出
∠2+∠D=90°，利用等量代换即可得出∠1=∠2，再根据平行线的性质可得出
∠2=∠C，进而可得出∠1=∠C，利用平行线的判定定理即可得出AB∥CD．
【解答】证明：∵DF⊥BE（已知），
第20页（共27页）∴∠2+∠D=90°（三角形内角和定理），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠C（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠D；三角形内角和定理；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠C；等
量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行
线的判定与性质定理是解题的关键．
22．（7分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆
A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计
划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据
以上信息，解答下列问题：
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货 10吨；”
“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，
组成方程组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车
方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
第21页（共27页），
解得： ．
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a= ，
∵a、b都是正整数，
∴ 或 或 ．
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是
各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且
BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以
第22页（共27页）△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后等腰直角
三角形的性质即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG= =DO，
∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD
∴AD=2 ，
第23页（共27页）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平
行线的性质以及平行线分行段定理．
24．（9分）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开
往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S （千米）、S （千米）
甲 乙
与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）分别求出S 、S 与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
甲 乙
（2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇；
（3）当两车相距300千米时，求t的值．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象可以分别求得S 、S 与t的函数关系式；
甲 乙
（2）将t=0代入S =﹣180t+600，即可求得A、B两城之间的距离，然后将（1）中的
甲
两个函数相等，即可求得t为何值时两车相遇；
（3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得t的值．
【解答】解：（1）设S 与t的函数关系式是S =kt+b，
甲 甲
，得 ，
即S 与t的函数关系式是S =﹣180t+600，
甲 甲
设S 与t的函数关系式是S =at，
乙 甲
第24页（共27页）则120=a×1，得a=120，
即S 与t的函数关系式是S =120t；
乙 甲
（2）将t=0代入S =﹣180t+600，得
甲
S =﹣180×0+600，得S =600，
甲 甲
令﹣180t+600=120t，
解得，t=2，
即A、B两城之间的距离是600千米，t为2时两车相遇；
（3）由题意可得，
|﹣180t+600﹣120t|=300，
解得，t =1，t =3，
1 3
即当两车相距300千米时，t的值是1或3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件．
25．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+1的图象与x轴，
y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；一次函数及其应用．
【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长
第25页（共27页）即可；
（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角
形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可
（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时
△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线y= x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根据勾股定理得：AB= = ；
（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；
（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最
小，
第26页（共27页）∵B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
设直线B′D的解析式为y=kx+b，
把B′与D坐标代入得： ，
解得： ，即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，
令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析
式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定
理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
第27页（共27页）
