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2024-2025 学年七年级上学期第一次月考试卷
数学试题·全解全析
考试内容：第1至2章，满分120分，难度系数：0.65
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义
相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上 ”记作 ，那么气温为“零下 ”应表示
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“ ”，零下温度记作“ ”，
由此求解．
【详解】解：气温为“零上 ”记作 ，那么气温为“零下 ”应表示为 ，
故选：C．
2．下列各数中： ，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解： ，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有 ， ， ，共3个．
故选：C．
3．下列化简结果为 的是( )
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，根据相反数的定义，绝对值的定义化简，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可．
【详解】A. ，原说法错误，不符合题意；
B. ， ，则 ，说法正确；
C. ，则 ，原说法错误，不符合题意；
D. ，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．不改变原式的值，将 写成省略加号的和的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了省略加号的和的形式，正确理解省略加号和括号的形式是正确进行加减运算的基础．
根据多重符号的化简法则即可把每个加数中的括号去掉，从而得到．
【详解】解： ，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司6．如图所示，下列关于 ， ， 的说法中正确的个数是（ ）
①
②
③
④
⑤
⑥ 到原点的距离大于 到原点的距离
⑦在 与 之间有2个整数
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，由a，b，c在数轴上的位置得到 ，
进而逐项求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，①正确；
，②错误；
，③错误；
，④正确；
，⑤正确；
到原点的距离小于 到原点的距离，⑥错误；
在 与 之间有2个整数，⑦正确．
正确的有4个．
故选：B．
7．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是 ，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对
折，若点A在点B的右边，且 ，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出 的长度．根据图1算出 的
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学科网（北京）股份有限公司长度13，图2中的 ，用 就是 的长度，用两点之间的距离公式得出点 表示的数．
【详解】解：图1： ，
图 ，
，
点 表示的数是： ，
故选：B
8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（
）
甲：
乙：
丙：
丁：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，
要先做括号内的运算．考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算
加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混
合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【详解】解：甲： ，原来没有做对；
乙： ，原来没有做对；
丙： ，做对了；
丁： ，原来没有做对．
故选：C．
9．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入 ，则输出的结果是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，把 代入数值转换器，判断得出结果
即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
则输出结果为： ，
故选： ．
10．下列说法：①若m满足 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 是正数；
④若三个有理数a，b，c满足 ，则 ，
其中正确的是有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有
两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字
母 表示有理数，则数 绝对值要由字母 本身的取值来确定：①当 是正有理数时， 的绝对值是它本
身 ；②当 是负有理数时， 的绝对值是它的相反数 ；③当 是零时， 的绝对值是零．依此即可求
解．
【详解】解：①若 满足 ，则 ，则 ，当 时， ，原来的
说法是错误的；
②若 ，则 ，所以 ，原来的说法是正确的；
③当 时，分四种情况讨论：
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学科网（北京）股份有限公司当 ，且 时， ，则 是正数，
当 ，且 时， ，则 是正数，
当 ，且 时， ，则 是正数，
当 ，且 时， ，则 是正数，
④当 、 、 三个都是正数时，则 ，不符合题意；
当 、 、 有两个正数，一个负数时，不妨设 、 为正，则 ，
；
当 、 、 有两个负数，一个正数时，不妨设 、 为负，则 ，不
符合题意；
当 、 、 三个都是负数时，则 ，不符合题意；
当三个有理数 ， ， 满足 ，则 ，
原来的说法是错误的；
故选：B
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11． 的绝对值是 ； 是 的相反数．
【答案】 8
【分析】本题考查了绝对值以及相反数的性质，根据负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个
数互为相反数，据此进行作答即可．
【详解】解： 的绝对值是 ；
∵
∴ 是8的相反数
故答案为： ，8．
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学科网（北京）股份有限公司12． 年武汉马拉松于 月 日如期举行，报名人数高达 人．其中 用科学记数法可表
示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小
数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是正整数，当原数绝对值小于1时， 是负整数；
由此进行求解即可得到答案，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13．2024年1月1日，我市某地4个时刻的气温（单位： ）分别为 ，0，1， ，其中最低的气温
是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴最低的气温是 ；
故答案为： ．
14．用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为 ．
【答案】1.83
【分析】本题考查近似数．根据近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，即可得到答案．
【详解】解：1.825精确到0.01的值为1.83.
故答案为：1.83 ．
15．在数轴上有一段线段，长度为 ， ，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数
点最少为 .
【答案】
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据 可得当 ，且这条线段的起点
不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解．
【详解】解： ，
当 ，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为 个，
故答案为： ．
16．按照如图所示的操作步骤，若输入 的值为 ，则输出的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据操作步骤列出式子进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为： ．
17．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，
已知 表示不超过 的最大整数，例如 ， ．现定义 ，例如
，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可．
【详解】根据题意得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
18．规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有 ，请你根据新运算，计算
的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混
合运算顺序和运算法则．
先根据定义计算出 ，再计算 即可．
【详解】解：由题意知
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
故答案为：5．
19．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数
的“差绝对值运算”．例如，对于 ， ， 进行“差绝对值运算”，得到： ．
对 ， ， ， 进行“差绝对值运算”的结果是 ；
， ， 的“差绝对值运算”的最小值是 ；
当 ， ， 时， ， ， 的“差绝对值运算”化简结果是 ，以上说法中
正确的为 ．
【答案】
【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】 对 ， ， ， 进行“差绝对值运算”得：
，
故 正确；
对 ， ， 进行“差绝对值运算”得：
，
∵ 表示的是数轴上点 到 和 的距离之和，
∴ 的最小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， 的“差绝对值运算”的最小值是： ，故 不正确；
对 ， ， 进行“差绝对值运算”得： ，
当 ， ， ，
，故 正确；
综上 正确，
故答案为： ．
20．若a、b、c是整数，且 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据
绝对值的非负性以及题意，可知当 时，则 ，当 时，则 ，分类讨论计算
即可．
【详解】解： a、b、c是整数，
， 是整数，
，
又 ，
时，则 或 时，则 ，
当 时，
则 ，
；
当 时，
则 ，
；
当 时，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
则 ，
，
综上可得： ，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共8小题，共70分）
21．（本题16分）计算下列各题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1) (2)3 (3) (4)
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键．
（1）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得；
（2）利用有理数乘法的分配律计算即可得；
（3）先计算乘方、除法，再计算乘法，最后计算加减法即可得；
（4）先计算乘方、乘法，再计算减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
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学科网（北京）股份有限公司．
（4）解：原式
．
22．（本题6分）阅读下列材料：
计算：
解法一：原式 ；
解法二：原式 ；
解法三：原式的倒数为 ，
故原式 ．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的；
(2)请你运用合适的方法计算： ．
【答案】(1)一； (2) ．
【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错．
（2）选择适当且正确的方法解答即可．
本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的，
故答案为：一．
（2）解：原式的倒数为
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学科网（北京）股份有限公司，
故原式 ．
23．（本题6分）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： , ，并
比较它们的大小．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】此题考查了数轴、用数轴上的点表示数、借助数轴比较有理数的大小等知识，准确表示出各数
是解题的关键．
先补全数轴，再根据数在数轴上的位置标出各数，按照从小到大的顺序用小于号连接即可．
【详解】解： ，
在数轴上标出各数如下：
比较大小如下；
．
24．（本题8分）如图所示，观察数轴，请回答：
(1)点 与点 的距离为 ，点 与点 的距离为 ；
(2)点 与点 的距离为 ，点 与点 的距离为 ；发现：在数轴上，如果点 与点 分
别表示数 ， ，则他们之间的距离可表示为 （用 ， 表示）
【答案】(1) ，
(2) ， ，
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）直接根据数轴上两点间的距离进行计算即可．
（2）根据数轴上两点间的距离进行计算，再进行规律总结，即可得到答案．
【详解】（1）解：点 与点 的距离为 ，
点 与点 的距离为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：点 与点 的距离为 ，点 与点 的距离为 ，
在数轴上，如果点 与点 分别表示数 ， ，则他们之间的距离可表示为 ，
故答案为：4，7， ．
25．（本题8分）对于有理数 、 ，定义运算： ．
(1)计算 的值；
(2)计算 ．
【答案】(1)21 (2)15
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键．
（1）根据新定义运算法则列式计算；
（2）根据新定义运算法则先求得 ，然后再算括号外面的即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ，
．
26．（本题8分）“滴滴”司机沈师傅从上午 在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批
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学科网（北京）股份有限公司乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗油0.4升，则 汽车共耗油多少升？
(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈
师傅在上午 一共收入多少元？
【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米
(2) 汽车共耗油21.2升
(3)沈师傅在上午 一共收入156元
【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的
关键．
（1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面；
（2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案；
（3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费
用总额，即可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米；
（2）解：
，
∴ （升），
∴ 汽车共耗油21.2升．
（3）解：∵共营运十批乘客，
∴起步费为： （元），
超过3千米的收费总额为：
（元），
∴ （元），
∴沈师傅在上午 一共收入156元
27．（本题8分）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握
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学科网（北京）股份有限公司了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若 ，则 的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号）
（2）若 ，且a、b为整数，则 的最大值为 ；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若 ，试比较 与0的大小．
【答案】（1）①②
（2）9
（3） ， 时，若 ，则 ，若 ，则 ，若 ，则 ； ，
时，若 ，则 ，若 ，则 ，若 ，则 ．
【分析】本题考查了有理数加法和乘法法则及分类讨论的应用：
（1）根据a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案；
（2） 最大，需a、b同号，而 知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案；
（3）根据a、b异号，分类讨论 与0的大小．
【详解】（1）解： ，
a、b同号，
a、b同为正数时， ；
a、b同为负数时， ；
故答案为：①②；
（2）解： ， 最大，
a、b同号，
，
a、b同为负数，
a、b为整数，
a、b分别为 和 ，此时 ；或a、b分别为 和 ，此时 ；或a、b分别为 和 ，此
时 ，
故答案为：9；
（3）解： ，
a、b异号，
①设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
②设 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
综上所述， ， 时，若 ，则 ，若 ，则 ，若 ，则 ；
， 时，若 ，则 ，若 ，则 ，若 ，则 ．
28．（本题10分）在数学兴趣活动中，小容为了求 的值，写出下列解题过程．
解：设 ①
两边同乘以2得：
②
由②-①得：
(1)应用结论：根据题目的结论，直接写出： ______；
(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算： ；
(3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解
的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出 结果．
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学科网（北京）股份有限公司如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分．
①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？
②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算 ？
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②见解析
【分析】本题考查数字类规律探索题和图形类规律探索题，审清题意观察出式子前后的变化和规律是解
题的关键．
（1）将 代入 中即可得解；
（2）模仿题目中的算法计算即可；
（3） 根据图示可知每次剩余部分再取一半，由此可解；
分割出的部分面积和等于1减去剩余部分的和，据此可解．
【详解】（1）解：由题干得： ，
将 代入 得： ，
故答案为： ；
（2）解：设
两边同乘 得：
由 得： ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解： 答：小容将面积为 的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为 ；部分Ⅱ是部分Ⅰ面
积的一半， ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， ， ，以此类推，第 次分出部分，
，剩余阴影部分的面积也是 ；
可以看做各个部分的面积和，即为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
