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专题30 动量守恒定律及其应用（三）
51．（2021·广东）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前
算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔
，乙与边框a 相隔
，算珠与导杆间的动摩擦因数
。现用手指将甲以
的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为
，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速
度g 取
。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
52．（2021·河北）如图，一滑雪道由
和
两段滑道组成，其中
段倾角为
，
段水平，
段和
段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为
的背包在滑道顶端A 处由静止滑下，若
后质量为
的
滑雪者从顶端以
的初速度、
的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并
立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为
，重力加速度取
，
，
，
忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：
（1）滑道
段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
53．（2020·海南）如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ 竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量
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的小物块a 从圆弧轨道最高点P 由静止释放，到最低点Q 时与另一质量
小物块b 发生弹
性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径
，传送带的长度L=1.25m，传送带以速度
顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数
，
。求
（1）碰撞前瞬间小物块a 对圆弧轨道的压力大小；
（2）碰后小物块a 能上升的最大高度；
（3）小物块b 从传送带的左端运动到右端所需要的时间。
54．（2020·江苏）一只质量为
的乌贼吸入
的水，静止在水中。遇到危险时，它在极短时间内把
吸入的水向后全部喷出，以
的速度向前逃窜。求该乌贼喷出的水的速度大小v。
55．（2020·天津）长为l 的轻绳上端固定，下端系着质量为
的小球A，处于静止状态。A 受到一个水平
瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A 回到最低点时，质量为
的小
球B 与之迎面正碰，碰后A、B 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，
重力加速度为g，求
（1）A 受到的水平瞬时冲量I 的大小；
（2）碰撞前瞬间B 的动能
至少多大？
56．（2020·山东）如图所示，一倾角为
的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q 两物块的质量分别为
m 和4m，Q 静止于斜面上A 处。某时刻，P 以沿斜面向上的速度v0与Q 发生弹性碰撞。Q 与斜面间的动摩
擦因数等于
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。
两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q 的速度减为零之前P 不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。
(1)求P 与Q 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；
(2)求第n 次碰撞使物块Q 上升的高度hn；
(3)求物块Q 从A 点上升的总高度H；
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(4)为保证在Q 的速度减为零之前P 不会与之发生碰撞，求A 点与挡板之间的最小距离s。
57．（2020·浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道
和倾角
的斜轨道
平滑连接而成。质量
的小滑块从弧形轨道离地高
处静止
释放。已知
，
，滑块与轨道
和
间的动摩擦因数均为
，弧形轨道和
圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O 等高的D 点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C 点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A 点x 处的质量为
的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因
数仍为0.25，求它们在轨道
上到达的高度h 与x 之间的关系。（碰撞时间不计，
，
）
58．（2019·海南）如图，用不可伸长轻绳将物块a 悬挂在O 点，初始时，轻绳处于水平拉直状态，现将a
由静止释放，当物块a 下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b 发生弹性碰撞（碰撞时间极短），
碰撞后b 滑行的最大距离为s，已知b 的质量是a 的3 倍，b 与水平面间的动摩擦因数为
，重力加速度大
小为g，求
(1)碰撞后瞬间物块b 速度的大小；
(2)轻绳的长度。
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59．（2019·全国）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为
，
；两者之间
有一被压缩的微型弹簧，A 与其右侧的竖直墙壁距离
，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，
使A、B 瞬间分离，两物块获得的动能之和为
。释放后，A 沿着与墙壁垂直的方向向右运动。
A、B 与地面之间的动摩擦因数均为
。重力加速度取
。A、B 运动过程中所涉及的碰撞均
为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B 速度的大小；
（2）物块A、B 中的哪一个先停止？该物块刚停止时A 与B 之间的距离是多少？
（3）A 和B 都停止后，A 与B 之间的距离是多少？
60．（2019·全国）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B 静
止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0 时刻，小物块A 在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后
与B 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A 返回到倾斜轨道上的P 点（图中未标出）时，速度减为0，此
时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A 运动的v-t 图像如图（b）所示，图中的v1和t1均
为未知量。已知A 的质量为m，初始时A 与B 的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B 的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A 克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，
然后将A 从P 点释放，一段时间后A 刚好能与B 再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
61．（2016·全国）如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其
面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上
斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3 m（h 小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为
m1=30 kg，冰块的质量为m2=10 kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g=10 m/s2。
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(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
62．（2014·北京）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A 和B 分别
静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A 无初速度释放，A 与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．
已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2m，A 与B 的质量相等，A 与B 整体与桌面之间的动摩擦因数
=0.2．取重
力加速度g=10m/s2，求：
（1）碰撞前瞬间A 的速率v．
（2）碰撞后瞬间A 与B 整体的速度．
（3）A 与B 整体在桌面上滑动的距离L．
63．（2018·海南）如图，光滑轨道PQO 的水平段QO=
，轨道在O 点与水平地面平滑连接．一质量为m
的小物块A 从高h 处由静止开始沿轨道下滑，在O 点与质量为4m 的静止小物块B 发生碰撞．A、B 与地面
间的动摩擦因数均为
=0.5，重力加速度大小为g．假设A、B 间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短．
求
(1)第一次碰撞后瞬间A 和B 速度的大小；
(2)A、B 均停止运动后，二者之间的距离．
【64．（2018·全国）汽车A 在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，
但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B 车向前滑动了
，A
车向前滑动了
。已知A 和B 的质量分别为
和
。两车与该冰雪路面间的动摩擦因
数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小
，求
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(1)碰撞后的瞬间B 车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A 车速度的大小。
65．（2014·全国）冰球运动员甲的质量为80.0kg。当他以5.0m/s 的速度向前运动时，与另一质量为
100kg、速度为3.0m/s 的迎面而来的运动员乙相撞。碰后甲恰好静止。假设碰撞时间极短，求：
(1)碰后乙的速度的大小；
(2)碰撞中总动能的损失。
66．（2017·北京）在磁感应强度为B 的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α 衰变．放射出
α 粒子（
）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q 分别表示α 粒子的质量和
电荷量．
（1）放射性原子核用
表示，新核的元素符号用Y 表示，写出该α 衰变的核反应方程．
（2）α 粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小．
（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α 粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损
△m．
67．（2017·天津）如图所示，物块A 和B 通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑
轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A 静止于水平地面上，B 悬于空中。先将B 竖直向上再举
高h=1.8 m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B 以大小相等的速度一起运动，之
后B 恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。空气阻力不计。求：
（1）B 从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
（2）A 的最大速度v 的大小；
（3）初始时B 离地面的高度H。
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68．（2016·全国）如图，水平地面上有两个静止的小物块a 和b，其连线与墙垂直，a 和b 相距l，b 与墙
之间也相距l；a 的质量为m，b 的质量为
，两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a 以初速度v0
向右滑动，此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g，求物块与地面间的动
摩擦因数满足的条件．
69．（2016·海南）如图，物块A 通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止，从发射器（图中
未画出）射出的物块B 沿水平方向与A 相撞，碰撞后两者粘连在一起运动；碰撞前B 的速度的大小v 及碰
撞后A 和B 一起上升的高度h 均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h 为纵坐标，v2为横坐标，利
用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92×10-3s2/m．已知物块A 和B 的质量分别为mA=0.400kg
和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.80m/s2。
（1）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求h–v2直线斜率的理论值k0；
（2）求k 值的相对误差δ（δ=
×100%，结果保留1 位有效数字）。
70．（2015·全国）两滑块a、b 沿水平面上同一条直线运动,并发生碰撞;碰撞后两者粘在一起运动;经过一
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段时间后,从光滑路段进入粗糙路段．两者的位置x 随时间t 变化的图象如图所示．求:
(1)滑块b、a 的质量之比;
(2)整个运动过程中,两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比．
71．（2015·全国）如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C 位于同一直线上，A 位于B、C 之间，
A 的质量为m，B、C 的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A 以某一速度向右运动，求m 和M 之间
应满足什么条件，才能使A 只与B、C 各发生一次碰撞，设物体间的碰撞都是弹性的。
72．（2015·广东）如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道
相切，半径R＝0.5m，物块A 以v0＝6m/s 的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨
道上P 处静止的物块B 碰撞，碰后粘在一起运动，P 点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排
列，每段长度都为L＝0.1m，物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ＝0.1，A、B 的质量均为m＝1kg(重力
加速度g 取10m/s2；A、B 视为质点，碰撞时间极短)。
(1)求A 滑过Q 点时的速度大小v 和受到的弹力大小F；
(2)若碰后AB 最终停止在第k 个粗糙段上，求k 的数值；
(3)求碰后AB 滑至第n 个(n＜k)光滑段上的速度vn与n 的关系式。
73．（2014·江苏）牛顿的《自然哲学的数学原理》中记载，A、B 两个玻璃球相碰，碰撞后的分离速度和
它们碰撞前的接近速度之比总是约为15 16
∶
．分离速度是指碰撞后B 对A 的速度，接近速度是指碰撞前A
对B 的速度．若上述过程是质量为2m 的玻璃球A 以速度v0碰撞质量为m 的静止玻璃球B，且为对心碰撞，
求碰撞后A、B 的速度大小．
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74．（2014·全国）如图，质量分别为
、
的两个小球A、B 静止在地面上方，B 球距地面的高度
h=0.8m，A 球在B 球的正上方，先将B 球释放，经过一段时间后再将A 球释放，当A 球下落t=0.3s 时，刚
好与B 球在地面上方的P 点处相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间A 球的速度恰为零，已知
，重力加
速度大小为
，忽略空气阻力及碰撞中的动能损失，求：
（i）B 球第一次到达地面时的速度；
（ii）P 点距离地面的高度。
75．（2014·天津）如图所示，水平地面上静止放置一辆小车A，质量
，上表面光滑，小车与地面
间的摩擦力极小，可以忽略不计．可视为质点的物块B 置于A 的最右端，B 的质量
．现对A 施加
一个水平向右的恒力F＝10N，A 运动一段时间后，小车左端固定的挡板B 发生碰撞，碰撞时间极短，碰后
A，B 粘合在一起，共同在F 的作用下继续运动，碰撞后经时间t＝0.6s，二者的速度达到
．求
（1）A 开始运动时加速度a 的大小；
（2）A，B 碰撞后瞬间的共同速度v 的大小；
（3）A 的上表面长度l；
76．（2014·安徽）在光滑水平面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，
L 为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ 为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0=5m/s
初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计，g 取10m/s2，求：
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（1）物块与凹槽相对静止时的共同速度；
（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；
（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。
77．（2015·海南）运动的原子核
放出
粒子后变成静止的原子核Y．已知X、Y 和
粒子的质量分别
是M、
和
，真空中的光速为c，
粒子的速度远小于光速．求反应后与反应前的总动能之差以及
粒
子的动能．
78．（2014·广东）如图的水平轨道中，AC 段的中点B 的正上方有一探测器，C 处有一竖直挡板，物体P1
沿轨道向右以速度v1与静止在A 点的物体P2碰撞，并接合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点，探测器
只在t1=2 s 至t2=4 s 内工作，已知P1、P2的质量都为m=1 kg，P 与AC 间的动摩擦因数为μ=0.1，AB 段长
L=4 m，g 取10 m/s2，P1、P2和P 均视为质点，P 与挡板的碰撞为弹性碰撞。
(1)若v1=6 m/s，求P1、P2碰后瞬间的速度大小v 和碰撞损失的动能ΔE；
(2)若P 与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B 点，求v1的取值范围和P 向左经过A 点时的最大动能
10
