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第20 讲 动力学和能量观点解决力学综合问题
——划重点之精细讲义系列
考点一 动力学观点的应用
若一个物体参与了多个运动过程，而运动过程只涉及运动和力的问题或只要求分
析物体的动力学物理量而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律和运动学规律求解．
【典例1】如图所示，质量M＝0.4 kg 的长薄板BC 静置于倾角为37° 的光滑斜面
上，在A 点有质量m＝0.1 kg 的小物体(可视为质点)以v0＝4.0 m/s 速度水平抛出，恰以
平行斜面的速度落在薄板的最上端B 并在薄板上运动，当小物体落在薄板上时，薄板
无初速度释放开始沿斜面向下运动，运动到薄板的最下端C 时，与薄板速度恰好相等，
已知小物体与薄板之间的动摩擦因数为0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，
求：
(1)A 点与B 点的水平距离；
(2)薄板BC 的长度．
【典例2】如图甲所示，一个物体放在足够大的水平地面上，若用水平变力拉动，
其加速度随力变化的图象如图乙所示．现从静止开始计时，改用图丙中周期性变化的
水平力F 作用(g 取10 m/s2)．求：
(1)物体的质量及物体与地面间的动摩擦因数；
(2)求周期力作用下物体在一个周期内的位移大小．
1
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考点二 能量观点的应用
一个物体参与了多个运动过程，若该过程涉及能量转化问题，并且有功能关系的
特点，则往往用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律求解．
【典例1】如图所示，半径R＝1.0 m 的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的
一个端点B 和圆心O 的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C 为轨道的最低点．
C 点右侧的光滑水平面上紧挨C 点静止放置一木板，木板质量M＝1 kg，上表面与C
点等高．质量为m＝1 kg 的物块(可视为质点)从空中A 点以v0＝1.2 m/s 的速度水平抛出，
恰好从轨道的B 端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，取g
＝10 m/s2.求：
(1)物块经过C 点时的速度vC；
(2)若木板足够长，物块在木板上相对滑动过程中产生的热量Q.
【典例2】一半径R＝1 m 的圆弧导轨与水平导轨相连，从圆弧导轨顶端A 静止释
放一个质量m＝0.02 kg 的木块，测得其滑至底端B 的速度vB＝3 m/s，以后又沿水平导
轨滑行BC＝3 m 而停止在C 点，如图所示，求：
(1)木块克服圆弧导轨摩擦力所做的功；
(2)木块在B 点对圆弧轨道的压力；
(3)BC 段导轨的动摩擦因数．(取g＝10 m/s2)
【典例3】如图所示，滑块质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以v0
＝3 的初速度由A 点开始向B 点滑行，AB＝5R，并滑上光滑的半径为R 的圆弧BC，在
2
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C 点正上方有一离C 点高度也为R 的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离
相等的小孔P、Q，P、Q 位于同一直径上，旋转时两孔均能达到C 点的正上方．若滑
块滑过C 点后穿过P 孔，又恰能从Q 孔落下，则平台转动的角速度ω 应满足什么条件？
考点三 动力学和能量观点的综合应用
物体在整个运动过程中，往往是包含直线运动、平抛运动、圆周运动等多种运动
形式的组合．解决这类问题应抓住物理情景中出现的运动状态与运动过程，将整个物
理过程分成几个简单的子过程，对每一个子过程分别进行受力分析、过程分析、能量
分析，选择合适的规律对相应的子过程列方程求解．
【典例1】某电视台“快乐向前冲”节目中的场地设施如图所示，AB 为水平直轨
道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R，角速度为
ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高
度差为H.选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从A 点下方的平台边缘处沿水平方
向做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置
释放，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m(不计身高大小)，人与转盘间的最大静摩
擦力为μmg，重力加速度为g.
(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都
不会被甩下转盘，转盘的角速度ω 应限制在什么范围？
(2)若已知H＝5 m，L＝8 m，a＝2 m/s2，g＝10 m/s2，且选手从某处C 点释放能恰
3
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好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？
(3)若电动悬挂器开动后，针对不同选手的动力与该选手重力关系皆为F＝0.6mg，
悬挂器在轨道上运动时存在恒定的摩擦阻力，选手在运动到(2)中所述位置C 点时，因
恐惧没有释放悬挂器，但立即关闭了它的电动机，则按照(2)中数据计算，悬挂器载着
选手还能继续向右滑行多远？
【典例2】如图所示，压力传感器能测量物体对其正压力的大小，现将质量分别
为M、m 的物块和小球通过轻绳固定，并跨过两个水平固定的定滑轮(滑轮光滑且较小)，
当小球在竖直面内左右摆动且高度相等时，物块始终没有离开水平放置的传感器．已
知小球摆动偏离竖直方向的最大角度为θ，滑轮O 到小球间轻绳长度为l，重力加速度
为g，求：
(1)小球摆到最低点速度大小；
(2)小球摆到最低点时，压力传感器示数为零，则的大小．
【典例3】某电视娱乐节目装置可简化为如图所示模型．倾角θ＝37°的斜面底端
与水平传送带平滑接触，传送带BC 长L＝6 m，始终以v0＝6 m/s 的速度顺时针运动．
将一个质量m＝1 kg 的物块由距斜面底端高度h1＝5.4 m 的A 点静止释放，物块通过B
点时速度的大小不变．物块与斜面、物块与传送带间动摩擦因数分别为μ1＝0.5、μ2＝
0.2，传送带上表面距地面的高度H＝5 m，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求物块由A 点运动到C 点的时间；
(2)若把物块从距斜面底端高度h2＝2.4 m 处静止释放，求物块落地点到C 点的水
平距离；
(3)求物块距斜面底端高度满足什么条件时，将物块静止释放均落到地面上的同一
点D.
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1．如图所示，质量m＝2.0 kg 的木块静止在高h＝1.8 m 的水平台上，木块距平台
右边缘l＝10 m，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2.用大小为F＝20 N、方向与水平方
向成37°角的力拉动木块，当木块运动到水平台末端时撤去F.不计空气阻力，g＝10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)木块离开平台时速度的大小；
(2)木块落地时距平台边缘的水平距离．
2．如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，水平段ab 粗糙，其距离为s＝3 m．
在b 点平滑过度，bcd 段光滑，cd 段是以O 为圆心、半径为R＝0.4 m 的一小段圆弧．
质量为m＝2 kg 的小物块静止于a 处，在一与水平方向成θ 角的恒力F 作用下开始沿轨
道匀加速运动，小物块到达b 处时撤去该恒力，小物块继续运动到d 处时速度水平，
此时轨道对小物块的支持力大小为FN＝15 N．小物块与ab 段的动摩擦因数为μ＝0.5，
g 取10 m/s2.求：
(1)小物块到达b 点时的速度大小vb；
(2)恒力F 的最小值Fmin.(计算结果可以用分式或根号表示)
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3．如图甲所示，物体A 放在粗糙的水平地面上，0～6 s 时间内受到水平拉力F 的
作用，力F 的大小如图乙所示，物体0～2 s 的运动情况如图丙所示，重力加速度g 取
10 m/s2.试求：
(1)物体的质量；
(2)物体与地面的动摩擦因数；
(3)0～6 s 内物体的位移大小．
4. 传送带现已广泛应用于机场、商店等公共场所，为人们的生活带来了很多的便
利．如图所示，一长度L＝7 m 的传送带与水平方向间的夹角 α＝30°，在电动机带动
下以v＝2 m/s 的速率顺时针匀速转动．在传送带上端接有一个斜面，斜面表面与传送
带表面都在同一平面内．将质量m＝2 kg 可视作质点的物体无初速地放在传送带底端，
物体经传送带作用后能到达斜面顶端且速度为零．若物体与传送带及物体与斜面间的
动摩擦因数都为μ＝，g＝10 m/s2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)物体在从传送带底端运动到斜面顶端过程中传送带对物体所做的功；
(2)传送带上方所接的斜面长度．
5．如图所示，传送带A、B 之间的距离为L＝3.2 m，与水平面间夹角θ＝37°，传
送带沿顺时针方向转动，速度恒为v＝2 m/s，在上端A 点无初速放置一个质量为m＝1
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kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ＝0.5，金属块滑离传送
带后，经过弯道，沿半径 R＝0.4 m 的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E，
已知B、D 两点的竖直高度差为h＝0.5 m(g 取10 m/s2 )．试求：
(1)金属块经过D 点时的速度；
(2)金属块在BCD 弯道上克服摩擦力做的功．
6．某校兴趣小组制作了一个游戏装置，其简化模型如图所示，在A 点用一弹射装
置将小滑块以某一水平速度弹射出去，沿水平直线轨道运动到B 点后，进入半径R＝
0.1 m 的光滑竖直圆形轨道，运行一周后自B 点向C 点运动，C 点右侧有一陷阱，C、
D 两点的竖直高度差h＝0.2 m，水平距离s＝0.6 m，水平轨道AB 长为L1＝0.5 m，BC
长为L2＝1.5 m，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若小滑块恰能通过圆形轨道的最高点，求小滑块在A 点弹射出的速度大小；
(2)若游戏规则为小滑块沿着圆形轨道运行一周离开圆形轨道后只要不掉进陷阱即
为胜出．求小滑块在A 点弹射出的速度大小范围．
7．如图所示，倾角
的斜面体固定在水平面上，一轻弹簧的下端固定在斜
面底端的挡板上，轻弹簧处于原长时其上端位于C 点，一根不可伸长的轻质细绳跨过
轻质滑轮连接物体A 和B，A、B 的质量分别为
和
，均可视为质点。物体A 与
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滑轮间的轻绳平行于斜面，与斜面间的动摩擦因数
。现使物体A 从距离C 点
处以
的初速度沿斜面向下运动。物体A 向下运动将弹簧压缩到最短后，
恰能回到C 点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g 取
，不计空气阻力，整
个过程中轻绳处于拉伸状态且物体B 未与滑轮接触，不计滑轮摩擦。求：
（1）A 沿斜面向下运动到C 点时轻绳的拉力；
（2）整个运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）物体A 沿斜面向上运动过程中的最大速度。
8．如图所示，一弹簧左端固定在墙面上，右端在水平地面的A 点上，A 点左侧地
面光滑，AB 段长
且粗糙，B 点右侧有长
的水平传送带，以
的速度顺时针匀速转动，C 点与倾角
的足够长斜面平滑相连。现推动滑块（视
为质点）压缩弹簧一段长度后释放。已知滑块与AB 段、传送带、斜面间的动摩擦因数
分别
，
，滑块的质量
，重力加速度g 取10
，不计空
气阻力。
，
。
（1）若滑块未滑上传送带，并最终静止在B 点，求弹簧被压缩到最大时具有的弹性势
能；
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（2）若滑块滑上传送带并经过C 点两次，最终静止在A 点，求：
①滑块第二次经过C 点时的速度大小；
②滑块第一次在传送带上运动过程中因摩擦产生的热量。
9．如图所示，AB 是倾角为=45°的倾斜轨道，BC 是一个水平轨道（物体经过B 处
时无机械能损失），AO 是一竖直线，O、B、C 在同一水平面上。竖直平面内的光滑
圆形轨道最低点与水平面相切于C 点，已知：A、O 两点间的距离为ℎ=1m，B、C 两点
间的距离d=2m，圆形轨道的半径R=1m。一质量为m=2kg 的小物体（可视为质点），
从与点水平距离x0=4.9m 的P 点水平抛出，恰好从A 点以平行斜面的速度进入倾斜轨
道，最后进入圆形轨道。小物体与倾斜轨道AB、水平轨道BC 之间的动摩擦因数都是
μ=0.5，重力加速度g=10m/s2。
（1）求小物体从P 点抛出时的速度v0和P 点的高度H；
（2）求小物体运动到圆形轨道最点D 时，对圆形轨道的压力大小；
（3）若小物体从Q 点（未在图中画出）水平抛出，恰好从A 点以平行斜面的速度进入
倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，求Q、O 两点的水平距离x
的取值范围。
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10．利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处．如图所示，已知传送
轨道平面与水平方向成
角，倾角也是
的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道
良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数
，皮带传动
装置按顺时针方向匀速转动的速度
，两轮轴心相距
，B、C 分别是传
送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量
的工件放在弹簧上，
用力将弹簧压缩至A 点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B 点时速度
，A、B 间的距离
。工件可视为质点，g 取
。求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）工件沿传送带上滑的时间。
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11．如图所示，竖直平面内有水平光滑直轨道AB，轨道左侧有一竖直光滑半圆轨
道CDE，其半径
，最低点E 与水平传送带平滑连接。现一质量为
、可
视为质点的滑块压缩弹簧（滑块与弹簧不相连），静止释放后滑块沿轨道ABCDE 运动，
BC 之间有小缝可供滑块通过，然后滑上传送带，最后落在水平地面P 点。滑块与传送
带之间的动摩擦因数
，传送带的EF 长度
，传送带轮子的半径
，
传送带以
的速度顺时针匀速转动，传送带下表面离地面高度
。某次
释放滑块时弹簧的弹性势能
，取
。求：
（1）滑块运动到E 点时对轨道的压力大小；
（2）落地点P 离开传送带右端的水平距离
；
（3）若要使滑块的落地点在同一位置，弹性势能的取值范围是多少？
12．如图所示，在竖直平面内长为L=0.9m 的粗糙水平面MN 左侧与半径R=0.89m
的四分之一光滑圆弧轨道平滑连接，右侧与一足够长的传送带平滑连接。传送带以恒
定的速率
逆时针转动.将物块A 从光滑圆弧最高点由静止释放，经过M 点运动到
N 点，再滑上传送带。已知A 的质量为
，物块A 与MN 间的动摩擦因数及传送
带间的动摩擦因数都为
，重力加速度
。求：
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（1）物块A 第一次运动到N 点时的速度
；
（2）物块A 在传送带上第一次向右运动到最右端的过程中，两者摩擦产生的热量；
（3）物块A 在MN 上运动的总路程s。
13．如图所示为某商家为了吸引顾客设计的抽奖活动。4 块尺寸相同的木板A、
B、C、D 随机排序并紧挨着放在水平地面上，木板长度均为
，质量均为
；下表面与地面间的动摩擦因数均为
，A、B、C、D 的上表面各有不
同的涂层，滑块与涂层间的动摩擦因数分别为
、
、
、
。顾客以某一水平速度
（未知），从左侧第一块木板的左端推出一质量
的滑块（视作质点）。从左向右数，若滑块最终停在第一、二、三、四块木
板上就会分别获得四、三、二、一等奖，滑离所有木板则不获奖。设最大静摩擦力与
滑动摩擦力相等，重力加速度g 取
。（结果可用根号表示）。
（1）若木板全部固定，要想获奖，求
的取值范围；
（2）若木板不固定，从左向右按照A、B、C、D 的方式放置，要获得最高奖项，求
的最小值。
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14．如图所示，长木板A 置于光滑水平面上，木板右端距固定平台距离d=4m，木
板厚度与光滑平台等高，平台上固定半径
的光滑半圆轨道，轨道末端与平台
相切。木板左端放置滑块B，滑块与木板上表面间的动摩擦因数
，给滑块施加
水平向右
的作用力，作用时间
后撤去
，滑块质量
，木板质量
，滑块没有滑离木板，不计空气阻力，重力加速度
。
（1）在0~t1时间内，分别求A、B 的加速度大小；
（2）若木板与平台间每次碰撞前后速度大小均不变，方向相反，最终滑块停在木板右
端，求木板长度；
（3）若木板长度
，且木板与平台第一次碰撞即与平台粘合在一起，滑块继
续运动，求滑块通过轨道最高点时对轨道压力大小。
15．如图所示，悬点O 下有一根长为
的轻绳，悬挂质量为
的小球
（小球与地面恰不挤压），将小球拉至与竖直方向成
角处静止释放，到达最低点时，
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与静止在悬挂点正下方的物块
发生弹性正碰（小球与滑块均视为质点），碰
撞后物块沿动摩擦因数为
的水平面滑动，水平面长为
，最后物块滑上
停在光滑平面上的滑板上，滑板平面与粗糙水平面齐平，滑板与物块间的动摩擦因数
，滑板质量
，物块没有从滑板上掉落，不计其它阻力。（g 取
）试求：
（1）小球摆到最低点与物块碰撞前对轻绳的拉力。
（2）物块到达粗糙水平面右端时，物块的速度。
（3）物块在滑板上滑动过程中产生的热量是多少？
（4）物块不从滑板上掉落，滑板至少要多长？
16．如图所示，质量
的小球被内壁光滑的弹射器从A 点弹出，沿水平直
轨道运动到B 点后，进入由两个四分之一细管（内径略大于小球的直径）组成的轨道，
从轨道最高点C 水平飞出时，对轨道上表面的压力大小
，之后落在倾角为
的斜面上的D 点。已知
，
，两个四分之一细管的半径均为
，C 点位于斜面底端的正上方，小球在AB 段运动时受到的阻力大小等于自身
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所受重力的
，其他摩擦均不计，小球可视为质点，取重力加速度大小
。
（1）求小球离开A 点时的速度大小
；
（2）求小球落到D 点时的动能
；
（3）当弹射器储存的弹性势能为多少时，小球落在斜面上时的动能最小，最小动能为
多少？
15
