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知识点15：轻绳连接体模型的动力学问题
考点一：轻绳连接体模型的动力学计算问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学观点解决连接体问题的思维是：使用整体法与隔离法确定研究对象后，再应用
正交分解法或分配原则法解题。
题型一：同条件同加速度连接体动力学的计算问题
【知识思维方法技巧】
可以直接用质量正比例分配原则法处理同条件同速度连接体的动力学计算的问题。
力的质量正比例分配原则法：一起加速运动的问题，物体间的相互作用力按质量正比例分
配。
与有无摩擦无关（若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同），与两物体间有
无连接物、何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且物体系统处于平面、斜面、竖
直方向此分配原则都成立。
（1）若外力F 作用于m1上，则m1和m2的相互作用力F12＝；
（2）若外力F 作用于m2上，则m1和m2的相互作用力F12＝；
【典例1 基础题】如图，两物块P、Q 置于水平地面上，其质量分别为m、2m，两者之间
用水平轻绳连接．两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，现对Q
施加一水平向右的拉力F，使两物块做匀加速直线运动，轻绳的张力大小为( )
A．F－2μmg B.F＋μmg C.F－μmg D.F
【典例1 基础题】【答案】 D
【解析】根据牛顿第二定律，对P、Q 的整体：F－μ·3mg＝3ma；对物块P：FT－μmg
－μmg＝ma，解得FT＝F，故选D.
【典例1 基础题对应练习】如图所示，有材料相同的P、Q 两物块通过轻绳相连，并在拉
力F 作用下沿固定的斜面向上运动，轻绳与拉力F 的方向均平行于斜面．当拉力F 一定时，
Q 受到绳的拉力( )
A．与斜面倾角θ 有关 B．与动摩擦因数有关
C．与系统运动状态有关 D．仅与两物块质量有关
【典例1 基础题对应练习】【答案】D
【解析】设P、Q 的质量分别为m1、m2，Q 受到绳的拉力大小为FT，两物块与斜面间的动
摩擦因数均为μ，根据牛顿第二定律，对整体分析，有F－(m1＋m2)gsin θ－μ(m1＋m2)gcos
θ＝(m1＋m2)a；对Q 分析，有FT－m2gsin θ－μm2gcos θ＝m2a，解得FT＝F，可见Q 受到
绳的拉力FT与斜面倾角θ、动摩擦因数μ 和系统运动状态均无关，当拉力F 一定时，仅与
1
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两物块质量有关，选项D 正确．
题型二：不同条件同加速度连接体动力学的计算问题
【知识思维方法技巧】
对于不同条件同速度连接体动力学的计算问题，我们先用整体法根据牛顿第二定律求加速
度，再用隔离法确定对象，使用正交分解法求出物体间的作用力。
【典例2 基础题】 如图所示，车厢水平底板上放置质量为M 的物块，物块上固定竖直轻杆
质量为m 的球用细线系在杆上O 点．当车厢在水平面上沿直线加速运动时，球和物块相对
车厢静止，细线偏离竖直方向的角度为θ，此时车厢底板对物块的摩擦力为Ff、支持力为
FN，已知重力加速度为g，则( )
A．Ff＝Mgsin θ B．Ff＝Mgtan θ C．FN＝(M＋m)g D．FN＝Mg
【典例2 基础题】【答案】C
【解析】以m 为研究对象，受力如图所示
由牛顿第二定律得mgtan θ＝ma，
解得a＝gtan θ
以M、m 整体为研究对象
在竖直方向上，由平衡条件有
FN＝(M＋m)g
在水平方向上，由牛顿第二定律有
Ff＝(M＋m)a＝(M＋m)gtan θ，故C 正确，A、B、D 错误．
【典例2 基础题对应练习】如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一质量为2m 的小车在
沿斜面向下的外力F 作用下下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球(质量为
m)的轻绳恰好水平。则外力F 的大小为( )
A．2mg B.mg C．6mg D．4.5mg
【典例2 基础题对应练习】【答案】D
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【解析】以小球为研究对象，分析受力情况可知：重力mg、绳的拉力T，小球的加速度方
向沿斜面向下，则mg 和T 的合力沿斜面向下。如图所示，
由牛顿第二定律得：＝ma，解得：a＝2g，
再对整体根据牛顿第二定律可得：F＋(2m＋m)gsin 30°＝3ma
解得：F＝4.5mg；
故选项D 正确。
题型三：同速率轻绳连接体动力学的计算问题
【知识思维方法技巧】
分别对两物体隔离分析，应用牛顿第二定律正交分解法进行求解。
【典例3 基础题】如图，两物块P、Q 用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P 静止
在水平桌面上。将一个水平向右的推力F 作用在P 上后，轻绳的张力变为原来的一半。已
知P、Q 两物块的质量分别为
、
，P 与桌面间的动摩擦因数
，
重力加速度
。则推力F 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3 基础题】【答案】A
【解析】P 静止在水平桌面上时，由平衡条件有
，
推力F 作用在P 上后，轻绳的张力变为原来的一半，即
故Q 物体加速下降，有
可得
而P 物体将有相同的加速度向右加速而受滑动摩擦力，对P 由牛顿第二定律
解得
，故选A。
【典例3 基础题对应练习】如图所示，自身重力不计的定滑轮固定在天花板上，跨过定滑
轮的轻绳两端分别与A、B 两物体相连，物体A 质量为m，物体B 质量为3m。重力加速度
为g，现由静止释放物体A、B，在物体A 上升、B 下降的运动过程中，定滑轮对天花板的
拉力为( )
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A.1.5mg B.2mg C.3mg D.4mg
【典例3 基础题对应练习】【答案】C
【解析】法一 隔离法
根据牛顿第二定律，对A 有：F－mg＝ma，对B 有：3mg－F＝3ma，联立解得加速度a＝
0.5g，F＝1.5mg，因定滑轮自身重力不计，则根据平衡条件得，定滑轮对天花板的拉力FT
＝2F＝2×1.5mg＝3mg，选项C 正确，A、B、D 错误(也可从超重或失重的角度分析)。
法二 整体法
沿轻绳方向，对A、B 组成的系统应用牛顿第二定律，则有3mg－mg＝4ma，对A 有：F－
mg＝ma，联立解得F＝1.5mg，则根据平衡条件有FT＝2F，解得定滑轮对天花板的拉力
FT＝3mg(也可以将A、B 及定滑轮视为系统，对系统应用牛顿第二定律，则有4mg－FT＝
3ma－ma，解得FT＝3mg)，选项C 正确。
题型四：不同速率轻绳连接体模型的动力学计算问题
类型一：一动一静模型
【知识思维方法技巧】
分别对轻绳连接体的两物体隔离分析，应用牛顿第二定律正交分解法进行求解。
【典例4a 基础题】建筑工人用如图所示的定滑轮装置运送建筑材料。一质量为70.0 kg 的
工人站在地面上，通过定滑轮将20.0 kg 的建筑材料以0.500 m/s2的加速度拉升，忽略绳子
和定滑轮的质量及定滑轮的摩擦，则工人对地面的压力大小为(g 取10 m/s2)( )
A．510 N B．490 N C．890 N D．910 N
【典例4a 基础题】【答案】B
【解析】设绳子对建材的拉力为F1，F1－mg＝ma；F1＝m(g＋a)＝210N，绳子对人的拉力
F2＝F1＝210 N，人处于静止状态，则地面对人的支持力FN＝Mg－F2＝490 N，由牛顿第三
定律知：人对地面的压力FN′＝FN＝490 N，故B 项正确。
【典例4a 基础题对应练习】建筑工人用如图所示的定滑轮装置运送建筑材料，质量为70.0
kg 的工人站在地面上，通过定滑轮将20.0 kg 的建筑材料以0.500 m/s2的加速度拉升，人拉
绳的方向与水平面成30°角，忽略绳子和定滑轮的质量及定滑轮的摩擦，则工人对地面的
压力大小为(g 取10 m/s2)( )
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A．490 N B．500 N C．595 N D．700 N
【典例4a 基础题对应练习】【答案】C
【解析】对建筑材料：由牛顿第二定律得：FT－mg＝ma，得FT＝m(g＋a)＝210 N
对人：人受到重力Mg、绳子的拉力FT和地面的支持力FN和摩擦力Ff，由竖直方向力平衡
得FN＋FTsin 30°＝Mg 解得，FN＝595 N，由牛顿第三定律得知工人对地面的压力大小为FN′
＝FN＝595 N.
类型二：含动滑轮轻绳连接体模型
考点二：轻绳连接体模型的动力学图象问题
【知识思维方法技巧】
连接体动力学图象问题的解题方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、a
t、Ft、Fa 图像等要注意这种转化。
①x－t 图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0 时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t 图线与t 轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知－t 图象的斜率为a，纵轴截距为v0。
⑤由v2－v0
2＝2ax 可知v2＝v0
2＋2ax，故v2－x 图象斜率为2a，纵轴截距为v0
2。
⑥由v2－v＝2ax 得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v0
2。
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择轻绳连接体模型的动力学图象问题
【典例1 基础题】早在公元前4 世纪末，我国的《墨经》中就有关于力和运动的一些见解，
如“绳直权重相若，则正矣。收，上者愈丧，下者愈得”，这句话所描述的与下述物理现
象相似。如图，一根跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂一重物，当两重物质量均为m 时，系统
处于平衡状态。若减小其中一个重物的质量，系统就无法保持平衡，上升的重物减小的质
量Δm 越多，另一个重物下降的加速度a 就越大。已知重力加速度为g，则a 与Δm 的关系
图象可能是( )
【典例1 基础题】【答案】C
【解析】本题考查连接体中质量变化导致加速度变化的问题。对整体由牛顿第二定律有
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mg－(m－Δm)g＝(m＋m－Δm)a，解得a＝·Δm＝，可知a 与Δm 不是线性关系，A、B 错误；
当Δm＝m 时，a＝g，且Δm<m 时，a<g，则可知D 错误，C 正确。
一题多解：其中一个重物质量为0 时，即Δm＝m 时，另一重物做自由落体运动，加速度大
小为g，可知B、D 错误；取Δm＝，a＝g＝，可知C 符合题意。
题型二：根据动力学图象分析计算轻绳连接体模型的动力学问题
【典例2 基础题】如图甲所示，某人通过动滑轮将质量为m 的货物提升到一定高处，动滑
轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a 与竖直向上的拉力T 之间的函数关系如图乙
所示。则下列判断正确的是( )
A．图线与纵轴的交点的绝对值为g B．图线的斜率在数值上等于货物的质量m
C．图线与横轴的交点N 的值mg D．图线的斜率在数值上等于货物质量的倒数
【典例2 基础题】【答案】A
【解析】对货物受力分析，受重力mg 和拉力2T，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝ma，
即a＝T－g，当T＝0 时，a＝－g，即图线与纵轴交点M 的值aM＝－g，所以图线与纵轴的
交点的绝对值为g，故A 正确；图线的斜率表示，故B、D 错误；当a＝0 时，T＝，即图
线与横轴交点N 的值为mg，故C 错误。
考点三：轻绳连接体模型的动力学临界极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界或极值条件的关键词
①题目中“刚好”“恰好”“正好”等关键词，明显表明题述的过程存在着临界点。
②题目中“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程存在着“起止
点”，而这些“起止点”一般对应临界状态。
③题目中“最大”“最小”“至多”“至少”等词语，表明题述的过程存在着极值，极值
点往往是临界点。
（2）常见临界问题的条件
①接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
②相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
③绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张
力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
④最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合力为零。
（3）解题技巧方法：
①物理分析方法（极限法、假设法）：正确进行受力分析和变化过程分析，把物理问题(或
过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。或者变
化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据牛顿第二定律列出物理量之间
的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数
极值)．
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题型一：轻绳断裂与松弛的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
轻绳断裂与松弛的临界极值条件：
绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝
0。
【典例1 基础题】（多选）如图所示，在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块，它们
中间有细线连接。已知m1＝3 kg，m2＝2 kg，连接它们的细线最大能承受6 N 的拉力。现用
水平外力F1向左拉m1或用水平外力F2向右拉m2，为保持细线不断，则( )
A．F1的最大值为10 N
B．F1的最大值为15 N
C．F2的最大值为10 N
D．F2的最大值为15 N
【典例1 基础题】【答案】BC
【解析】若向左拉m1，对m2分析，则Tm＝m2a，得出最大加速度a＝3 m/s2；对两物块系统
F1＝(m1＋m2)a＝(2＋3)×3 N＝15 N，选项B 正确，A 错误；若向右拉m2，对m1分析，则
Tm＝m1a′，得出最大加速度a′＝2 m/s2；对两物块系统：F2＝(m1＋m2)a′＝(2＋3)×2 N＝10
N，选项D 错误，C 正确。
题型二：轻绳连接体接触与脱离的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
两物体相接触或脱离，临界条件是：
刚好脱离时物体间的弹力恰好为零，两物体此时的速度、加速度均相同。
【典例2 基础题】如图所示，质量m＝2 kg 的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，
此时，细绳平行于斜面.取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).下列说法正确的是(
)
A．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 N
B．当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 N
C．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 N
D．当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N
【典例2 基础题】【答案】A
【解析】小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹
力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0，以小球为研究对象，根据牛顿第
二定律有Fcos θ＝ma0，Fsin θ－mg＝0，代入数据解得a0≈13.3 m/s2.
①由于a1＝5 m/s2<a0，可见小球仍在斜面上，此时小球的受力情况如图甲所示，以小球为
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研究对象，根据牛顿第二定律有F1sin θ＋FNcos θ－mg＝0，F1cos θ－FNsin θ＝ma1，代入
数据解得F1＝20 N，选项A 正确，B 错误；
②由于a2＝20 m/s2>a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子
与水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cos α＝ma2，F2sin
α－mg＝0，代入数据解得F2＝20 N，选项C、D 错误.
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