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知识点16：轻弹簧连接体模型的动力学问题
考点一：轻弹簧连接体模型的动力学计算问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学观点解决连接体问题的思维是：使用整体法与隔离法确定研究对象后，再应用
正交分解法或分配原则法解题。
题型一：同条件同加速度轻弹簧连接体模型的动力学计算问题
【知识思维方法技巧】
可以直接用质量正比例分配原则法处理同条件同速度连接体的动力学计算的问题。
力的质量正比例分配原则法：一起加速运动的问题，物体间的相互作用力按质量正比例分
配。
与有无摩擦无关（若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同），与两物体间有
无连接物、何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且物体系统处于平面、斜面、竖
直方向此分配原则都成立。
（1）若外力F 作用于m1上，则m1和m2的相互作用力F12＝；
（2）若外力F 作用于m2上，则m1和m2的相互作用力F12＝；
【典例1 提高题】(多选)如图所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m 和M 的物块A、B
用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F 作用于B 上且两物
块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F 沿着倾
角为θ 的光滑斜面方向作用于B 上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹
簧的伸长量为x2，则下列说法正确的是( )
A.若m>M，有x1＝x2
B.若m<M，有x1＝x2
C.若μ>sin θ，有x1>x2
D.若μ<sin θ，有x1<x2
【典例1 提高题】【答案】AB
【解析】在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1①
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
FT－μmg＝ma1②
联立①②解得FT＝③
在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－(m＋M)gsin θ＝(m＋M)a2④
隔离物块A，根据牛顿第二定律有
FT′－mgsin θ＝ma2⑤
联立④⑤解得FT′＝⑥
比较③⑥可知，弹簧弹力相等，即弹簧伸长量相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故
A、B 正确，C、D 错误.
【典例1 提高题对应练习】如图甲所示，在粗糙的水平面上，质量分别为mA和mB的物块
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A、B 用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，它们的质量之比为mA∶mB＝
2∶1.当用水平力F 作用于B 上且两物块以相同的加速度向右加速运动时(如图甲所示)，弹
簧的伸长量为xA；当用同样大小的力F 竖直向上拉B 且两物块以相同的加速度竖直向上运
动时(如图乙所示)，弹簧的伸长量为xB，则xA∶xB等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1
D．3∶2
【典例1 提高题对应练习】【答案】A
【解析】设mA＝2mB＝2m，对题图甲，运用整体法，由牛顿第二定律得，整体的加速度：
a＝＝－μg，对A 物块有：F 弹－μ·2mg＝2ma，得F 弹＝＝kxA；xA＝，对题图乙，运用整体
法，由牛顿第二定律得，整体的加速度：a′＝＝－g，对A 物体有：F 弹′－2mg＝2ma′，得
F 弹′＝＝kxB，xB＝，则xA∶xB＝1∶1.
题型二：不同速率轻弹簧连接体模型的动力学计算问题
考点二：轻弹簧连接体模型的动力学图象问题
【知识思维方法技巧】
连接体动力学图象问题的解题方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、a
t、Ft、Fa 图像等要注意这种转化。
①x－t 图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0 时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t 图线与t 轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知－t 图象的斜率为a，纵轴截距为v0。
⑤由v2－v0
2＝2ax 可知v2＝v0
2＋2ax，故v2－x 图象斜率为2a，纵轴截距为v0
2。
⑥由v2－v＝2ax 得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v0
2。
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择轻弹簧连接体模型的动力学图象问题
【典例1 提高题】（多选）如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平
地面上。一质量为m 的小球，从离弹簧上端高h 处自由下落，接触弹簧后继续向下运动。
小球从开始下落到小球第一次运动到最低点的过程中，下列关于小球的速度v、加速度a 随
时间t 变化的图象中符合实际情况的是( )
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【典例1 提高题】【答案】AD
【解析】在小球下落的开始阶段，小球做自由落体运动，加速度为g；接触弹簧后，开始
时重力大于弹力，加速度方向向下，随着小球不断下降，弹力逐渐变大，故小球做加速度
减小的加速运动，某时刻加速度可减小到零，此时速度最大；小球继续下降，弹力大于重
力，加速度方向变为向上，且加速度逐渐变大，直到速度减小到零，到达最低点，由对称
知识可知，到达最低点的加速度大于g，故A、D 正确。
题型二：根据运动学图象分析计算轻弹簧连接体模型的动力学问题
【典例2 提高题】(多选)如图甲所示，水平地面上轻弹簧左端固定，右端通过滑块压缩0.4
m 后锁定，t＝0 时解除锁定释放滑块．计算机通过滑块上的速度传感器描绘出滑块的vt 图
像如图乙所示，其中Oab 段为曲线，bc 段为直线，倾斜直线Od 是t＝0 时的速度图线的切
线，已知滑块质量m＝2.0 kg，取g＝10 m/s2.则以下说法正确的是( )
A．滑块与地面间的动摩擦因数为0.3 B．滑块与地面间的动摩擦因数为0.5
C．弹簧的劲度系数为175 N/m D．弹簧的劲度系数为150 N/m
【典例2a 提高题】【答案】BC
【解析】根据vt 图线的斜率表示加速度，由题中图像知，滑块脱离弹簧后的加速度大小a
＝＝ m/s2＝5 m/s2，由牛顿第二定律得，摩擦力大小为Ff＝μmg＝ma，所以μ＝＝0.5，故
A 错误，B 正确；刚释放时滑块的加速度为a′＝＝ m/s2＝30 m/s2，由牛顿第二定律得kx－
Ff＝ma′，代入数据解得k＝175 N/m，故C 正确，D 错误．
题型三：根据动力学图象分析计算轻弹簧连接体模型的动力学问题
【典例3 提高题】如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体
与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态．现用竖直向上的拉力F 作用在物体上，使物体
开始向上做匀加速运动，拉力F 与物体位移x 之间的关系如图乙所示(g＝10 m/s2)，则下列
结论正确的是( )
A．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态 B．弹簧的劲度系数为7.5 N/cm
C．物体的质量为3 kg D．物体的加速度大小为5 m/s2
【典例3 提高题】【答案】D
【解析】设物体的质量为m，开始时弹簧的压缩量为Δx，由平衡条件可得
kΔx＝mg ①
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现用竖直向上的拉力F 作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，根据拉力F 与物体
位移x 的关系可得
10＝ma ②
30－mg＝ma ③
联立①②③可以解得，物体的质量m＝2 kg，物体的加速度大小a＝5 m/s2，k＝500 N/m，
故只有D 正确．
考点三：轻弹簧连接体模型接触与脱离的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
两物体相接触或脱离，临界条件是：
刚好脱离时物体间的弹力恰好为零，两物体此时的速度、加速度均相同。
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