查漏补缺04：数列（4考点20题型）（学生版）_数学_专项复习_2025年_2025年高考数学重难点讲义专练（新高考通用）

查漏补缺：数列
考点一：数列的概念与表示
知识点1 数列的有关概念
1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 有穷数列 项数有限
分类 无穷数列 项数无限
递增数列
按项与项
间的大小 递减数列 其中n∈N*
关系分类
常数列有界数列
存在正数M，使
按其他标
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
准分类
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列 的首项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 数列通项公式的求法
1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规
律写出此数列的一个通项．
2、公式法
（1）使用范围：若已知数列的前 n项和 S 与 的关系，求数列 的通项 可用公式
n
构造两式作差求解．
（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
3、累加法：适用于a ＝a＋f(n)，可变形为a －a＝f(n)
n＋1 n n＋1 n
要点：利用恒等式a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )(n≥2，n∈N*)求解
n 1 2 1 3 2 n n－1
4、累乘法：适用于a ＝f(n)a，可变形为＝f(n)
n＋1 n
要点：利用恒等式a＝a···…·(a≠0，n≥2，n∈N*)求解
n 1 n
5、构造法：对于不满足a ＝a＋f(n)，a ＝f(n)a 形式的递推关系，常采用构造法
n＋1 n n＋1 n
要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解
类型一：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为
首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出
类型二：形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整
理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求
出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： —①， ，两边同时乘以
得 —②，由①②两式相减得 ，即 ，构造等比数
列。
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）时，
要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），得：
，再结合第一种类型。
6、取倒数法：a ＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋
n＋1
要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为a ＝sa＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
n＋1 n
7、三项递推构造：适用于形如 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数
得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
8、不动点法f(x)=x f(x)
（1）定义：方程 的根称为函数 的不动点．
f(x) a =f(a )
利用函数 的不动点，可将某些递推关系 n+1 n 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，
这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列 中， 已知，且 时， （ 是常数），
①当 时，数列 为等差数列；
②当 时，数列 为常数数列；
③当 时，数列 为等比数列；
④当 时，称 是数列 的一阶特征方程，
其根 叫做特征方程的特征根，这时数列 的通项公式为： ；
a =m a =m a =p⋅a +q⋅a
（3）形如 1 1， 2 2， n+2 n+1 n（p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得
通项
a
n，其特征方程为
x2 =px+q
（*）．
β c c
（1）若方程（*）有二异根α、 ，则可令 （ 1、 2是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根α=
β
，则可令
a
n
=(c
1
+nc
2
)⋅αn
（
c
1、
c
2是待定常数）．
c c a =m a =m
(其中 1、 2可利用 1 1， 2 2求得)
【题型1 由an与Sn的关系求通项公式】
在数列问题中，数列的通项 与其前n 项和 之间关系如下 ，在使用这个关
系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛ ｝的 与 关系时，先令 求出首项 ，
然后令 求出通项 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令 求出通项
，也不对 进行检验．
已知S 求a 的三个步骤
n n
（1）利用a＝S 求出a.
1 1 1
（2）当n≥2时，利用a＝S－S (n≥2)求出a 的表达式．
n n n－1 n
（3）看a 是否符合n≥2时a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形
1 n式，即a＝
n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
（1）利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
（2）利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
1．（24-25高三下·重庆北碚·月考）数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式是 .
2．（24-25高三下·山西·开学考试）数列 的前 项和 满足 ，则 ．
3．（24-25高三下·重庆·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则
.
4．（24-25高三下·山东临沂·一模）设数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 时，
的最小值为（ ）
A．49 B．50 C．99 D．100
5．（23-24高三下·四川内江·专题练习）数列 为正项数列， 为数列 的前 项和，且
，则数列 的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【题型2 由递推关系求数列的通项公式】
1、累加法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）构造：
2、累乘法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）构造：3、构造法：
（1）形如 （ 为常数， 且 ）的递推式，可构造 ，转化为等
比数列求解．也可以与类比式 作差，由 ，构造 为等比数列，
然后利用叠加法求通项．
（2）形如 ， ）的递推式，当 时，两边同除以 转化为关于
的等差数列；当 时，两边人可以同除以 得 ，转化为 ．
（3）通过配凑转化为 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以
为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
4、取倒数法：对于 ，取倒数得 ．
当 时，数列 是等差数列；
当 时，令 ，则 ，可用待定系数法求解．
1．（24-25高三下·福建厦门·二模）已知数列 满足 ， ，则 的前6项和为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B．6 C．12 D．203．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知数列 中， ， （ ，且 ），则通
项公式 （ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河北·模拟预测）已知函数 满足 ，且 ，设数列
满足 ，则数列 的前n项和的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知数列 中， ， ， ， 为数列
的前项和，则数列 的通项公式 ； .
【题型3 数列的周期性及应用】
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而
求有关项的值或者前 项的和．
1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）若在数列 中， ， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25高三下·重庆南岸·月考）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．23．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·贵州·月考）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）数列 中， ， ，且 （ ），则
为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【题型4 用函数研究数列的单调性和最值】
求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据 的类型作出相应的函数图象，或利
用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式 研究数列的单调性，
利用 确定最大项，利用 确定最小项．
（3）比较法：
①若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递增数列，所以数列 的最小项为 ；
②若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
1．（24-25高三下·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为 ，该数列的前50项中最大项是
（ ）A． B． C． D．
2．（24-25高三下·江西·模拟预测）已知数列 满足 的前12项组成一组数据，其第90
百分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·辽宁·一模）已知在数列 中， ，则 的前
项中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列 的通项公式是 （ ），若数
列 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·安徽铜陵·开学考试）已知数列 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 所有项恒大于等于 B．若 ，则 是单调递增数列
C．若 是常数列，则 D．若 ，则 是单调递增数列
考点二：等差数列及其前n项和
知识点1 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： ( ， 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： ．（2）前 项和公式： ．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，
且一次项系数为公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
②前n项和：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0.
知识点2 等差数列的性质
已知数列 是等差数列， 是其前 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： ．
（2）若 ，则 ．
（3）若 的公差为d，则 也是等差数列，公差为 ．
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列．
2、等差数列前 项和的性质
（1） ；
（2） ；
（3）两个等差数列 ， 的前n项和 ， 之间的关系为 .
（4）数列 ， ， ，…构成等差数列．
（5）若项数为 ，则 ， ；
（6）若项数为 ，则 ， ， ， .
【题型1 等差数列的基本量求解】
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，体
1 n n
现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用
1
它们表示已知量和未知量是常用方法．1．（24-25高三上·四川绵阳·模拟预测）等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（24-25高三下·福建龙岩·月考）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．132 B．88 C．44 D．33
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
（ ）
A．56 B．60 C．64 D．68
4．（24-25高三下·山东泰安·月考）公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ，
则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
5．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知 为等差数列 的前n项和，若 ，则 =
（ ）
A．39 B．52 C．65 D．78
【题型2 等差数列的性质及应用】
1、在等差数列{a}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为
n
a ＝a＋(m－n)d.
m n
2、等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
n
3、等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q，则a＋a ＝a＋a(n，m，p，q∈N*)，
n n m p q
特别地，若m＋n＝2p，则a＋a ＝2a.
n m p
1．（24-25高三下·安徽合肥·月考） 为等差数列 的前 项和，已知 ，则 为
（ ）
A．25 B．30 C．35 D．55
2．（24-25高三下·广东·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 的值为
（ ）A．18 B．15 C．12 D．9
3．（24-25高三下·福建厦门·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·海南·月考）（多选）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当 时， 取得最大值
C． D．使得 成立的最大自然数 是15
5．（24-25高三下·四川成都·二模）已知正项等差数列 满足 ，则
（ ）
A．4050 B．2025 C．4048 D．2024
【题型3 等差数列的前n项和性质及应用】
1、等差数列的依次k项之和，S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列．
k 2k k 3k 2k
2、数列{a}是等差数列⇔S＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
n n
3、若S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，公差为d，
奇 偶 ⇔
①当项数为偶数2n时，S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②当项数为奇数2n－1时，S －S ＝a，＝.
奇 偶 n
1．（24-25高三下·山西·一模）设 是等差数列 的前n项和，若 ， ，则 的公差
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三下·吉林长春·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．0 B．3 C．6 D．123．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列 的前 项和分别为 ，满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽六安·月考）（多选）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，
若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 最大 B．使得 成立的最小自然数
C． D．数列 中最小项为
5．（24-25高三上·山西吕梁·月考）（多选）记 为等差数列 的前n项和，则（ ）
A． B．若 的公差不为 ， ，则
C． ， ， 成等差数列 D． 是等差数列
【题型4 等差数列的单调性及最值】
1、二次函数法： 将S ＝na ＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次
n 1
函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a>0，d<0，时，S 取得最大值；当a<0，d>0，时，S 取得最小值．
1 n 1 n
特别地，若a>0，d>0，则S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则S 是{S}的最大值．
1 1 n 1 1 n
1．（24-25高三上·广西贵港·月考）已知等差数列 的前 项和是 ，则数列 中最小
的项为第 项.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列 的各项均为正整数，且 ，则 的最小值是
.
3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
则 取最小值时， 的值为（ ）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15
4．（24-25高三上·云南昆明·月考）（多选）数列 的前n项和为 ，已知 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． 为等差数列 B． 不可能为常数列
C．若 为递增数列，则 D．若 为递增数列，则
5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则
（ ）
A．数列 为递增数列 B．
C． 的最大值为 D．
【题型5 等差数列的判定与证明】
1、定义法： 或 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 ；
3、等差中项法： 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
5、前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．（24-25高三下·山东菏泽·一模）已知数列 ，则“ ， ， ”是“数列 为等
差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三下·上海·月考）若数列 满足： ，则 的通项公式
为 ．3．（24-25高三下·全国·专题练习）若数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)求证： 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式.
4．（24-25高三下·陕西汉中·二模）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求 .
【题型6 含绝对值等差数列求和】
含绝对值等差数列求和步骤：
第一步，解不等式a≥0(或a≤0)寻找{a}的正负项分界点．
n n n
第二步，求和：①若a 各项均为正数(或均为负数)，则{|a|}各项的和等于{a}的各项的和(或其相反数)；②
n n n
若a>0，d<0(或a<0，d>0)，这时数列{a}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
1 1 n
1．（24-25高三上·天津·月考）已知等差数列 中， ， ，设 ，则
（ ）
A．245 B．263 C．281 D．290
2．（24-25高三上·重庆·月考）已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求数列 的前 项和 .3．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
考点三：等比数列及其前n项和
知识点1 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
数学语言表达式： ( ， 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，其中 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；
通项公式的推广： .
（2）等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
知识点2 等比数列的性质已知 是等比数列， 是数列 的前 项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 .
（2）若 ， (项数相同)是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数列．
（ 3 ） 若 ， 则 有 ， 推 广 ：
（4）若 是等比数列，且 ，则 （ 且 ）是以 为首项， 为公差的
等差数列。
（5）若 是等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列。
2、等比数列前 项和的性质
（1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ；
（2）对 ，有 ；
（3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且
）
【题型1 等比数列的基本量求解】
注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式求和时要先
判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量： ，已知其中三个
量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 与q，在解题中根据已知条件建立关于a 与q
1 1
的方程或者方程组，是解题的关键．2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当 时， ；当
时， ；在判断等比数列单调性时，也必须对 与 分类讨论．
1．（24-25高三下·河北沧州·一模）已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．72 B． C．144 D．
2．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， ，
则 的值为（ ）
A．5 B．10 C．9 D．6
3．（24-25高三上·云南昭通·月考）设 为正项递增的等比数列 的前 项和，且 ，
则 （ ）
A．63 B． C．127 D． 或127
4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， ， 成等差数
列，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知公比为 的等比数列 的前 和为 ， ， ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【题型2 等比数列的性质及应用】
若 成等比数列，则 为 和 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“ 为 和 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前 n项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若 ，则有 ”，可以减少运算量，提高解题
速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
1．（24-25高三上·云南·月考）已知 是公比为2的等比数列，若 ，则
．
2．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列 为等比数列， ，公比 ，则数列 的
前 项积 最大时， （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B．8 C．9 D．16
5．（24-25高三下·河南南阳·模拟预测）（多选）已知等比数列 不是递增数列，其前 项和为 ，且
， ， 成等差数列， ，则（ ）
A．
B．C．数列 的最大项为
D．数列 的最小项为
【题型3 等比数列的判定与证明】
1、定义法： 为常数且 数列 是等比数列．
2、等比中项法： 数列 是等比数列．
3、通项公式法： 数列 是等比数列．
4、前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .
1．（24-25高三下·全国·专题练习）（多选）已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 ， ， 成等比数列
B．若 为等差数列，则 为等比数列
C．若 ，则数列 为等比数列
D．若 ， ， ，则 为等比数列
2．（24-25高三下·福建厦门·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求满足 的最小正整数 的值.3．（24-25高三下·山西·月考）数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
4．（24-25高三下·吉林延边·一模）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求 ， ；
(2)证明：数列 为等比数列；
(3)求数列 的通项公式.
【题型4 等差与等比数列综合】
解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间
的关系。注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之
间的相关转化。
1．（24-25高三上·山东·月考）已知等比数列 的各项都是正数， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前50项之和.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）在数列 中， ， .(1)证明：数列 是等差数列.
(2)求 的通项公式.
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
3．（24-25高三下·河南·模拟预测）已知项数为 的数列 满足： 且
．
(1)若 为等比数列，求 的值；
(2)若 是等差数列，求公差 的值．
4．（24-25高三上·山西·期末）数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求证：数列 是等差数列，并求 的表达式；
(2)设 ，求数列 的最大项的值.
考点四：数列求和及其综合应用
知识点1 几种数列求和的常用方法
1、公式法
（1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减法．
2、分组转化法求和：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列
的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a ＝(－1)nf(n)类型，
n
可采用两项合并求解．
4、倒序相加法：如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那
n
么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通
过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．
6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.
【题型1 分组转化法求数列的前n项和】
分组转化法求和的常见类型：
** 错误的表达式 **若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列；
n n n n n
** 错误的表达式 **通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列.
n n n
1．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 在函数
的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．3．（24-25高三上·云南昭通·月考）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
4．（24-25高三下·黑龙江大庆·模拟预测）设 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等
差数列．令 ， 为数列 的前n项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【题型2 裂项相消法求数列的前n项和】
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
（1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n1
1 1 1 1  2n1 1 1
     
（3）
n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)
（4）
n2(n1)2 n2 (n1)2
n1 1 1 1  1 1
     ( nk  n)
（5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k
2n (2n11)(2n 1) 1 1
  
(2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11
（7）
1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数 ，点 在曲线
上，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，记 ，求 ．
2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， 是 和
的等差中项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2025项和3．（24-25高三下·河北保定·一模）记数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
4．（24-25高三上·天津河东·月考）已知等比数列 的各项均为正数， 、 、 成等差数列，且满
足 ，等差数列数列 的前 项和 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ， ， 的前 项和 ，求 ．
【题型3 错位相减法求数列的前n项和】
1、错位相减法解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的
n n n n表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
c =(An+B)⋅qn
3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
．
1．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知数列 的前n项和 ，数列 的前n项和 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 ．
2．（24-25高三下·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
3．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）已知数列 的前n项和为 ，且满足
(1)证明数列 为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和4．（24-25高三上·安徽芜湖·月考）已知数列 的首项为 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项和 ．
【题型4 数列与不等式证明问题】
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（24-25高三下·甘肃·一模）数列 满足 ，数列 满足 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求其通项公式；
(2)若数列 满足 是数列 的前 项和，对 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（24-25高三下·四川德阳·二模）已知数列 前 项和为 ，满足 ，且
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)令 ，讨论 与 的大小关系；(3)对任意正整数 恒成立，求正整数 的最小值．
3．（24-25高三下·重庆·一模）已知等差数列 满足： ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的公差不为零，且数列 满足： ，记数列 的前n项和为 ，求证：
；
4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列 满足， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【题型5 数列中的探究问题】
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方
法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来
进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不
定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归
谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得
出原命题结论成立．
1．（24-25高三下·广东广州·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.在数列 中是否存在 项
、 、 （其中 、 、 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 项；若不存在，请说明
理由.
2．（24-25高三上·山东泰安·月考）已知等差数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，问：是否存在 ，使得 成等比数列，若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由
3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式．
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？
若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．4．（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于一个数列 ，定义 ，其中 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且对任意的 ，都有 ．
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出 的值，并确定 满
足的等量关系；若不存在，请说明理由．
【题型6 数列新定义问题】
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五
种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透
彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若对 ，都有 ，则称 与 为“k级相
邻数列”．
(1)设 的前n项和 ，且 ，试判断 与 是否为“2级相邻数列”，并说
明理由；
(2)若 ，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知 ，由数列 的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若 与 为
“1级相邻数列”，求满足条件的数列 的个数．2．（24-25高三下·广东广州·月考）定义： ， ，已知数列 满足
．
(1)若 ， ，求 ， 的值；
(2)若 ， ，使得 恒成立．探究：是否存在正整数 ，使得 ，若存在请求出所有
的 ，若不存在请说明理由；
(3)若数列 为正项数列，且集合 的元素个数为有限个，证明：不存在实数 ，使
得 ．
3．（24-25高三下·山东聊城·一模）若各项为正数的无穷数列 满足：对于 都有 ，
其中 为非零常数，则称数列 为“平方等差数列”.
(1)判断无穷数列 和 是否是“平方等差数列”，并说明理由；
(2)若 是“平方等差数列”.
（ⅰ）证明：存在正整数 ，使得不等式 成立；
（ⅱ）证明：存在正整数 ，使得 .
4．（24-25高三下·福建厦门·一模）若数列 满足数列 是等差数列，则称 为“绝对等差数
列”， 的公差称为 的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列” 的“绝对公差”为2，且 ，求 的值；
(2)已知“绝对等差数列” 满足 ， ，且 的“绝对公差”为1，记 为 的前n项和．
（ⅰ）若 ，求 ；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得．