2025 年高考数学第三次模拟考试
高三数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合U = {1,2,3,4,5}，A = {2,3}，B =¿，则B∩∁U A =（ ）
A．{4}
B．{2,4}
C．{1,2}
D．{1,3,5}
2．若复数z =
2
1+i，则|z +2|=（ ）
A．2
B．√2
C．10
D．√10
3．函数f (x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x在区间[−3.4,3.4]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若Cn
1 x +Cn
2 x
2+⋯+Cn
n x
n能被5 整除，则x，n 的一组值可能为（ ）
A．x =2,n=6
B．x = 4 ,n=6
C．x =8,n= 4
D．x =14 ,n= 4
5．若α ∈(0,π
2 )，tan2α =
cosα
2−sin α ，则tan α =（ ）
A．√15
3
B．√5
3
C．√15
15
D．√5
15
6．已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=1，⃗b⋅⃗c =0，⃗a⋅⃗b=1，⃗a⋅⃗c =−1，则|⃗b+⃗c|的最小值为
（ ）
A．1
B．√2
C．2
D．4
7．已知O为坐标原点，直线l过抛物线D: y
2=2 px ( p>0)的焦点F，与D及其准线依次交于A ,B ,C三点
（其中点B在A ,C之间），若|AF|= 4，|BC|=2|BF|,则△OAB的面积是（ ）
A．√3
B．4√3
3
C．2√3
D．8√3
3
8．在正四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，AB = 4，A1B1=2，若存在球O 与该正四棱台的各个面均相切，
则点A1到平面B1BC C1的距离为（ ）
A．4√2
3
B．√3
C．4√5
5
D．8√17
17
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据−3,−1,3,7,8,9,11,15的第25 百分位数是1；
B．若一组样本数据(xi, yi)(i=1,2,⋯,n)的对应样本点都在直线y =−1
3 x +1上，则这组样本数据的相
关系数为−1
3；
C．已知随机变量X ∼B (n, p)，若E (X )=36, D (X )=9，则n= 48；
D．某班有50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (100,10
2)，则理论上说在90∼100分的
人数约为17 人．（参考数据：p(μ−σ ≤X ≤μ+σ )≈0.6827，p(μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )≈0.9545，
p(μ−3σ ≤X ≤μ+3σ )≈0.9973)
10．函数f (x)=2cos x +sin2 x (x∈R)，则（ ）
A．f (x)的最小正周期是2π B．f (x)的值域是[−3√3
2
, 3√3
2 ]
C．f (x)的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是x =π
6 D．f (x)的零点是π
2 +k π,k ∈Z
11．已知椭圆C : x
2
4 + y
2
2 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，圆O: x
2+ y
2= 4，则下列说法正确
的是（ ）
A．若∠F1 P F2=90°，则△F1 P F2的面积为2
B．若∠F1 P F2=90°，则直线P F2被圆O截得的弦长为2√3
C．若△F1 P F2为等腰三角形，则满足条件的点P有2 个
D．若P为C与x轴正半轴的交点，MN为圆O的直径（M在第一象限），PN的中点为R，k PM =−k MR
（k表示斜率），则点R的横坐标为1
3
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知直线l: x +ay −5a−3=0与⊙C :( x−1)
2+( y −2)
2= 4，若直线l与⊙C相交于A ,B两点，且
|AB|=√14，则a= ．
13．已知数列{an}满足a1=2，an>0且an+1
2
−an
2= 1
2
n +1，则an
2−n= .
14．已知f ( x)= ln x−ax，g(x)=e
x−ax，若对任意x1∈(0,+∞)，都存在x2∈(0,+∞)，使得
f ( x1)g( x2)= x1 x2，则实数a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．15．（13 分）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a，b，c，且A =π
3 ，a= 4.
(1)若BC边上的高AD =2√3，求证：△ABC为等边三角形；
(2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM = 2√6
3
，求△ABC的周长.
16．（15 分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0< p<1)，输的概率为
1−p，每局比赛的结果是独立的．
(1)当p= 2
3时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3 分，失败者得−2分；方案
二：最终获胜者得1 分，失败者得0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
17．（15 分）已知函数f (x)=ae
x−ln x−1．
(1)设x =2是f (x)的极值点．求a的值，并讨论f (x)的零点个数；
(2)证明：当a≥1
e 时，f (x)≥0．
18．（17 分）在三棱柱ABC −A1B1C1中，点D在B1C上，且B1 D =2 DC，E为线段A1C上的动点.
(1)若E为A1C的中点，
（i）在图中画出△A B1C的重心G，并说明点G与线段BE 的位置关系；
（ii）求证：AC //平面BDE.
(2)若三棱柱ABC −A1B1C1是棱长均为2 的正三棱柱，当二面角E−AB−A1为π
3 时，求B1到平面ABE
的距离.
19．（17 分）已知双曲线 C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的离心率为 √5
2 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构
成的三角形的面积为 2 .
(1)求双曲线 C的方程；
(2)设 n∈N
*，an∈(0,π
2 )，a1=π
4 ，若点P(
2
cosan
,√bn) 在双曲线 C 上， C 在点P 处的切线 l
与两条渐近线分别交于 A ，B 两点， O 是坐标原点，且
1
|OA|
2 +
1
|OB|
2 = 2
5 (bn+1+bn) .
（i）证明数列{bn} 是等差数列，并求通项公式 bn ;
（ii）设数列{cosan}的前 n 项和为 Sn .求证:
对∀n∈N
*，4(√n+2−√2)
2<Sn
2≤2(
S1
√2 + S2
√3 +⋯+
Sn
√n+1)−1
2 [log2(n+1)] .
(其中 [log2(n+1)] 表示不超过 log2(n+1)的最大整数，例如 [0.7]=0，[2]=2，[5.3]=5 )
