安徽芜湖市第一中学2025-2026 学年高二第二学期期中教学质量检测数学
试题
一、单选题
1．定义在R 上的函数
( )
f x ，若
1
(1)
2026
f ¢
=
，则
0
(1 2026
)
(1)
lim
x
f
x
f
x
D ®
-
D
-
=
D
（ ）
A．1
-
B．
1
2
-
C．2
D．4
2．
3
2
2
x
y
z
-
+
展开式中，xyz 的系数为（ ）
A．32
-
B．32
C．24
-
D．24
3．下列运算正确的是（ ）
A．sin
cos
12
12
π
π
¢
æ
ö =
ç
÷
è
ø
B．
1
4
4
x
x
x
-
¢ =
×
C．
5
6
1
5
x
x
-
-
¢ = -
D．
6
1
log
ln6
x
x
¢ =
4．已知函数
ln
1
x
f x
x
x
=
+
-
，则
y
f x
=
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．离散型随机变量X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
P
m
0.3
n
0.2
若
2.7
E X =
，则下列结论错误的是（ ）
A．
0.5
m
n
+
=
B．
3
1
7.1
E
X -
=
C．
0.81
D X =
D．
2
0.5
P X >
=
6．已知函数
1 ex
f x
x
=
+
，方程
R
f x
a a
=
Î
解的个数有两个，则a的取值范围为（ ）
A．
2
1
e
a < -
B．
2
1
0
e
a
-
<
<
C．
2
1
e
a = -
或
0
a ³
D．
2
1
e
a > -
7．某空间站由A ，B ，C 三个舱构成，某次实验需要5 名宇航员同时在3 个舱中开展，每个人只能去1 个
舱，每个舱至少安排1 名宇航员，其中宇航员甲只能去A 舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35
B．36
C．42
D．50
8．已知函数
( )
e
e
(
0)
x
x
f x
x
ax
b
ab a
=
-
-
+
>
，若
( )
0
f x ³
，则
1
b
a
- 最大值为（ ）
A．
2
e-
B．
1
e-
C．e
D．
2e
二、多选题
9．下列不等式中，在
0, ¥
+
上恒成立的是（ ）
A．
2
2x
x
>
B．sin x
x
<
C．e
2
x
x
>
D．
1
ln
1
x
x
³ -
10．已知事件A，B，且
1
3
P A =
，
1
5
P B A =
，
3
5
P B A =
，则（ ）
A．
2
5
P B A =
B．
1
15
P AB =
C．
2
5
P AB =
D．
4
15
P B =
11．已知函数
2
ln
1
1
f x
x
x
=
- -
- ，则下列结论正确的是（ ）
A．
f x 的单调递增区间是
0,1 ，
1,+¥
B．
f x 的值域为R
C．
2026
2027
log
2027
log
2026
1
f
f
+
=
D．若
e
1
e
1
b
b
f a
b
+
=
-
-
，
0,1
aÎ
，
0,
bÎ
+¥ ，则e
1
b
a
= .
三、填空题
12．已知曲线
ln
y
x
x
=
+
在点
1,1 处的切线与曲线
2
2
3
1
y
ax
a
x
=
+
+
+ 只有一个公共点，则a =__________.
13．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
2
1.6 r
p
分，其中r（单位：cm）是瓶子
的半径，已知每出售1mL 的饮料，可获利0.4 分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润
最大时，瓶子的半径为______cm．
14．已知
100
100
2
99
100
0
1
2
99
100
1
2026
2026
x
x
a
a x
a x
a x
a
x
+
+
-
=
+
+
+
+
+
L
，若存在
0,1, 2,
,100
k Î
L
使得
0
ka <
，则k 的最大值为__________．
四、解答题
15．已知函数
3
2
1
( )
3
10
1
3
f x
x
x
x
=
-
+
+ ．
(1)求曲线
( )
y
f x
=
在(0, 1) 处的切线方程；
(2)若P 是曲线
( )
y
f x
=
上一动点，求
( )
y
f x
=
在P 处的切线l 的倾斜角q 的取值范围．
16．某学校有A，B 两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选
择了A 餐厅的学生第二天选择A 餐厅的概率为1
4 ，选择B 餐厅的概率为3
4 ；前一天选择B 餐厅的学生第二
天选择A 餐厅的概率为
1
2 ，选择B 餐厅的概率也是
1
2 ，如此往复.记同学甲第n 天选择B 餐厅的概率为
n
p .
(1)求同学甲第二天选择B 餐厅的概率；
(2)证明：数列
3
5
np
ì
ü
-
í
ý
î
þ为等比数列，并求出
n
p .
17．已知函数
2
( )
ln (
)
2
m
f x
x
x
x m
R
=
-
-
Î
.
(1)当
2
m =
时，求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若
0
x
" >
，不等式
2
( )
f x
x
>
恒成立，求实数m 的取值范围.
18．一辆汽车上有n个座位，编号从1 到n．现在编号为1 到n的乘客依次上车，编号为1 的乘客比较顽皮，
上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2 的乘客上了车后会先看看2 号座位有没有人，如果有，
那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2 号座位没有人，那么他就在2 号座位坐下，
编号为3 及后面的乘客的选择座位方式与2 号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机
等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
(1)当
4
n =
时，求4 号乘客坐在编号4 号座位上的概率P ；
(2)当
4
n =
时，设X 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为i 的乘客坐在了编号为i 的座位上为
坐在了自己的座位上），求随机变量X 的期望．
19．已知函数
e
1
x
f x
ax
=
-
+ .
(1)讨论
f x 的极值；
(2)已知
1
a > ，函数
( )
f x 有两个不同的零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
<
和一个极值点
0x ，记
1
1
,
A x
f
x
，
2
2
,
B x
f x
，
0
0
,
C x
f x
，试判断AC 与BC 的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
9．BCD
10．ABC
11．ABD
12．0或
1
2
13．6
14．49
15．（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
3
2
2
Δ
0
Δ
0
Δ
0
1 (Δ )
3(Δ )
10Δ
(Δ )
(0)
1
3
(0)
lim
lim
lim
(Δ )
3Δ
10
10
Δ
Δ
3
x
x
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
x
x
®
®
®
ù
-
+
¢
ú
-
é
ö
=
=
=
-
+
=
ú
÷
êë
øú
û
．
方法二：
2
( )
6
10
f
x
x
x
¢
=
-
+
，则
(0)
10
f ¢
=
所以在
(0,1)
P
处的切线方程为
1
(0)(
0)
y
f
x
¢
- =
-
，整理得
10
1
y
x
=
+
（2）设
,
P x y ，在P 处的切线斜率为
f
x
¢
=
2
6
10
x
x
-
+
，
即
2
( )
(
3)
1
1
k
f
x
x
¢
=
=
-
+ ³ ，由斜率
tan
k
q
=
，
1
k ³ ，
且
[0,π)
q Î
得，
π π
,
4 2
q
é
ö
Î
÷
êë
ø
.
16．（1）设
iB = “同学甲第i 天选择B 餐厅”，
1,2,3,
i
n
=
×××
根据题意可知：
1
1
2
P B
=
，
2
1
1
2
P B B
=
，
2
1
3
4
P B B
=
.
由全概率公式可得
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
3
5
2
2
2
4
8
P B
P B
P B B
P B
P B B
=
+
=
´
+
´
=
即同学甲第二天选择B 餐厅的概率为5
8 .
（2）设
n
B =“甲第n 天选择B 餐厅”，则
n
n
p
P B
=
，
1
n
n
P B
p
= -
，
*
nÎN
，
当
2
n ³
时，由全概率公式可得
1
1
n
n
n
n
n
n
p
P B
P B B
P B B
-
-
=
=
+
1
1
1
1
|
|
n
n
n
n
n
n
P B
P B
B
P B
P B
B
-
-
-
-
=
+
1
1
1
1
3
1
3
1
2
4
4
4
n
n
n
p
p
p
-
-
-
=
+
-
= -
+
则
1
1
3
4
4
n
n
p
p -
= -
+
，
整理得
1
1
3
1
3
3
1
3
5
4
4
5
4
5
n
n
n
p
p
p
-
-
æ
ö
-
= -
+
-
= -
-
ç
÷
è
ø
又因为
1
3
1
0
5
10
p -
= -
¹
，
所以
3
5
np
ì
ü
-
í
ý
î
þ是以
1
10
-
为首项，
1
4
-
为公比的等比数列，
所以
1
3
1
1
5
10
4
n
np
-
æ
ö
=
-
´ -
ç
÷
è
ø
.
17．（1）函数
2
( )
ln
2
m
f x
x
x
x
=
-
-
的定义域为(0,
)
+¥ ，
当
2
m =
时，
2
( )
ln
f x
x
x
x
=
-
-
，所以
1
(2
1)(
1)
( )
2
1
x
x
f
x
x
x
x
+
-
¢
=
- -
=
，
当
(0,1)
xÎ
时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 在(0, 1) 上为减函数，
当
(1,
)
xÎ
+¥ 时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 在(1,
)
+¥ 上为增函数，
综上所述：
( )
f x 在(0, 1) 上为减函数，在(1,
)
+¥ 上为增函数；
（2）若
0
x
" >
，不等式
2
( )
f x
x
>
恒成立，
则
2
1
ln
1
2
m
x
x
x
> +
+
对
0
x >
均成立，所以
max
2
1
ln
(1
)
2
m
x
x
x
>
+
+
令
2
1
ln
( )
1
x
g x
x
x
= +
+
，
则
2
2
2
2
3
3
1
2 ln
1
1 2ln
1 2ln
( )
(
)
x
x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
¢
= -
+
= -
+
=
，
令( )
1 2ln
h x
x
x
= -
-
，显然( )
1 2ln
h x
x
x
= -
-
为(0,
)
+¥ 上的减函数，
又(1)
1
2ln1 1
0
h
= -
- =
，
所以
(0,1)
xÎ
，( )
0
h x >
，
( )
0
g x
¢
>
则
( )
g x 在(0, 1) 上为增函数，
当
(1,
)
xÎ
+¥ 时，( )
0
h x <
，
( )
0
g x
¢
<
则
( )
g x 在(1,
)
+¥ 上为减函数，
所以
max
1
ln1
( )
(1)
1
2
1
1
g x
g
=
= +
+
=
，所以
2
2
m >
，所以
4
m >
，
所以实数m 的取值范围为(4,
)
+¥ .
18．（1）设1 号乘客坐在i 号位上时，4 号乘客坐在4 号位的概率为
iP ，
则
1
2
3
4
P
P
P
P
P
=
+
+
+
，
1
1
4
P =
，
2
1
1
1
1
1
4
3
3
2
8
P
æ
ö
=
´
+
´
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
1
1
4
2
8
P =
´
=
，
4
0
P =
，
所以
1
1
1
1
0
4
8
8
2
P =
+
+
+
=
.
（2）随机变量X 所有可能的取值为0，1，2，4；
1
6
4
4
24
P X =
=
=
，
1
1
1
1
1
11
2
1
4
3
4
2
4
24
P X =
=
´
+
´
+
´ =
，
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
4
3
2
4
3
4
2
24
P X =
=
´
´
+
´
´ +
´
=
，
1
1
1
1
0
4
3
2
24
P X =
=
´
´
=
，
所以
6
11
6
1
13
4
2
1
0
24
24
24
24
6
E X =
´ +
´ +
´ +
´
=
.
19．（1）由
e
1
x
f x
ax
=
-
+ ，得
ex
f
x
a
¢
=
-
，
当
0
a £
时，对任意
,
xÎ -¥ +¥ ，
0
f
x
¢
<
，
所以
f x 在
,
-¥ +¥ 单调递减，无极值；
当
0
a >
时，令
0
f
x
¢
>
，得
ln
x
a
<
；令
0
f
x
¢
<
，得
ln
x
a
>
.
f x 在
,ln a
-¥
单调递增，在
ln ,a +¥ 单调递减，
函数
f x 在
ln
x
a
=
处取得极大值，极大值为ln
1
a
a
a
-
+ ，无极小值，
综上所述，
0
a £
时，无极值；
0
a >
时，在
ln
x
a
=
处取得极大值，极大值为ln
1
a
a
a
-
+ ，无极小值；
（2）
1
a > ，函数
f x 有两个不同的零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
<
和一个极值点
0x ，
由（1）知
f x 在
,ln a
-¥
单调递增，在
ln ,a +¥ 单调递减，
故
0
ln
x
a
=
为
f x 的极大值点，极大值
ln
ln
1
f
a
a
a
a
=
-
+ ，
令
ln
1
m a
a
a
a
=
-
+ ，
(1,
)
Î
+¥
a
.
则
ln
0
m a
a
=
>
¢
，故
( )
m a 在(1,
)
+¥ 单调递增，故
(ln )
( )
(1)
0
f
a
m a
m
=
>
=
，
又注意到
(0)
0
f
=
，故
0
x =
为
f x 的一个零点，
此外
2
(2ln )
2 ln
1
( )
f
a
a
a
a
n a
=
-
+ =
，
(1,
)
Î
+¥
a
，
则
2(ln
1
)
n a
a
a
¢
=
+ -
，记( )
ln
1
s a
a
a
=
+ -
，
(1,
)
Î
+¥
a
，
则
1
1
1
0
a
s a
a
a
¢
-
=
- =
<
，所以( )
s a 在(1,
)
+¥ 上单调递减，所以( )
(1)
0
s a
s
<
=
，
即
0
n a
¢
<
，故( )
n a 在
1,+¥ 单调递减，故
1,
a
¥
" Î
+
，
(2ln )
( )
(1)
0
f
a
n a
n
=
<
=
.
由零点存在性定理，知
f x 有零点
ln ,2ln
t
a
a
Î
，因为ln
0
a >
，所以
1
2
0,
x
x
t
=
= ，
则
0,0
A
，
2,0
B x
，
ln ,
(ln )
C
a f
a
.
设
ln ,0
D
a
，则
2
ln ,
ln
BD
x
a AD
a
=
-
=
，显然
2
2ln
x
a
<
，
2
ln
ln
x
a
a
-
<
，
所以BD
AD
<
，
CD 为
ABC
V
的高，由勾股定理得
2
2
2
2
,
BC
BD
CD
AC
AD
CD
=
+
=
+
，
故BC
AC
<
.
