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玉溪一中2025--2026 学年下学期高二年级期中考
数学学科试卷
总分：150 分，考试时间：120 分钟 命题人：张琪冉伊 马志娟
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 等比数列
的公比为
，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知向量
，
，若
，则
A.2 B.
C.3 D.
3. 在
中，已知
为60°，则BC 的长度为
A.
B.
C.12 D.28
4. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为
A.
B.2π
C.7π D.
5. 已知
，则
A．
B．
C．
D．
6.如图，
是抛物线
上一点，
是抛物线的焦点，
，则
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A.8 B.4 C.
D.
7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P(单
位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e 为自然对数的底数，P0
为污染物的初始含量)，过滤2 h 后检测，发现污染物的含量为原来的16
25
，要使污染
物的含量不超过初始值的1
100
，则至少需要过滤(参考数据:lg 2≈0.3)
A.10 h
B.20 h C.30 h
D.40 h
8.设
若函数
，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 已知圆
：
和圆
：
，则下列说法正确
的是
A．若
，则圆
和圆
相离
B．若
，则圆
和圆
的公共弦所在直线的方程是
C．若圆
和圆
内切，则
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D．若圆
和圆
外切，则
10. 已知函数
，则下列说法正确的是
A．
的周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递减
D．
是
的一个对称中心
11. 1688 年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程
，则下列选项中正确的是
A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B．笛卡尔叶形线关于直线
对称
C．当
时，若点
是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则
的最大值为
D．当
时，若点
是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则
的最大值为4
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 在三棱柱
中，
，
，
，则异
面直线
所成角的余弦值为________.
3
3
:
4
0
C x
y
axy
y
x
3
a
,
P x y
PO
5 2
1
a
,
P x y
xy
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13. 函数
的最小值为________.
14. 笼子里有6 只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，
重复3 次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为X，则数学期望
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13 分）已知数列
的前n 项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，若
，求
；
16.（本小题15 分）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度
x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量
与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y 与海水浓
度x 之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的经验回归方程为
.
海水浓度
（‰）
3
4
5
6
7
亩产量
(吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差
(1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
(2)（i）完成上述残差表；
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（ii）在统计学中，常用决定系数
来刻画回归效果，
越大，模型拟合效果越好，并
用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定
系数
，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
（参考公式：残差
，决定系数
参考数据：
）
17.（本小题15 分）在正三棱锥
中，
平面
，垂足为点
，过
作平面
与棱
，
，
，
交于点D，E，F，G.
(1)求证：E，O，F 三点共线；
(2)若四边形
为平行四边形，求
的值.
18.（本小题17 分）已知函数
．
(1)求证：
；
(2)若函数
无零点，求实数a 的取值范围．
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19.（本小题17 分）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若动点
为椭圆外一点，过P 作椭圆C 的切线，切点分别为M，N，直线OP 与
椭圆交于A，B 两点（点A 在PO 延长线上）．
（ⅰ）求直线MN 的方程；
（ⅱ）
的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P 的轨迹，若不存在，请
说明理由．
