清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第一部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）

清单02  高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01  集合5 个重点题型
题型02  常用逻辑用语13 个重点题型
题型03  复数15 个重点题型
题型04  平面向量26 个重点题型
题型05  等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06  三角函数与诱导公式11 个重点题型   题型07  三角恒等变换24 个重点题型
题型08  三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09  解三角形小题35 个重点题型
题型10  解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12  函数的基本性质45 个重点题型
题型13  指数对数幂函数40 个重点题型
题型14  函数的图象6 个重点题型
题型15  函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16  导数小题36 个重点题型
题型17  导数大题40 个重点题型
题型18  数列小题40 个重点题型
题型19  数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21  立体几何大题35 个重点题型
题型22  直线与圆32 个重点题型
题型23  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25  排列组合27 个重点题型
题型26  二项式定理17 个重点题型
题型27  概率统计小题52 个重点题型
题型28  概率统计大题35 个重点题型
第一部分
题型01  集合5 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求交集
先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。
2
求补集
涉及交、补混合运算，需按顺序求解。
3
求并集
直接解不等式后取并集。
4
根据并集结果求参数
结合并集概念和集合元素的互异性。
5
根据集合相等求参数
利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。
1．（2026·河北衡水·一模）设集合




lg 4
A
y y
x
=
=
-
，
2
B
y y
x
x
ì
ü
ï
ï
=
=
+
í
ý
ï
ï
î
þ
，则A
B =
I
（   ）
A．

2 2,
é
+¥
ë
B．

2 2,4
éë
C．

3,+¥
D．

3,4
【答案】A
【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A
B
Ç
.
【详解】因为
2
2
2
2 2
y
x
x
x
x
=
+
³
×
=
，当且仅当
2
x
x
=
时，即当
2
x = ±
时，等号成立，
故

2
2 2,
B
y y
x
x
¥
ì
ü
ï
ï
é
=
=
+
=
+
í
ý
ë
ï
ï
î
þ
，
又因为




lg 4
A
y y
x
=
=
-
= R ，故

2 2,
A
B
é
=
+¥
ë
I
.
2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合
2
3
{
4
0},
{
0}
2
x
A
x x
B
x x
-
=
-
³
=
³
+
∣
∣
，若P
A
B
=
Ç
，则
P
Rð
为（   ）
A．{
2
3}
x
x
- £
<
∣
B．{
2
3}
x
x
- <
<
∣
C．{
2
x x £ -
∣
或
3}
x >
D．{
3
x x < -
∣
或
2}
x ³
【答案】A
【分析】解不等式化简集合
,
A B ，再利用交集、补集的定义求解.
【详解】解不等式
2
4
0
x -
³
，得
2
x £ - 或
2
x ³
，则
{ |
2
A
x x
=
£ - 或
2}
x ³
，
解不等式
3
0
2
x
x
-
³
+
，即
(
3)(
2)
0
2
0
x
x
x
-
+
³
ì
í +
¹
î
，得
2
x < - 或
3
x ³
，则
{ |
2
B
x x
=
< - 或
3}
x ³
，
因此
{ |
2
P
B
x
A
x
=
=
< -
I
或
3}
x ³
，所以
{ | 2
3}
P
x
x
=
- £
<
Rð
.
故选：A
3．（2026·江西抚州·一模）已知集合
2
{
7
10
0}
A
x x
x
=
-
+
<
，


2
8
x
B
x
=
£
，则A
B =
U
（   ）
A．

2
3
x
x
<
£
B．

5
x x <
C．

3
5
x
x
£
<
D．

3
x x £
【答案】B
【详解】因



2
7
10
0
2
5
0
x
x
x
x
-
+
<
Û
-
-
<
，解得2
5
x
<
<
，
则


2
5
A
x
x
=
<
<
，
由
3
2
8
2
x £
=
，解得
3
x £
，则


3
B
x x
=
£
，


5
A
B
x x
È
=
<
．
4．（2026·江苏·一模）设集合
{ 2,1, }
A
a
= -
，


2
1,
B
a
= -
，若A
B
U
含有4 个元素，则a =（   ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【详解】根据集合元素的互异性可知，
1
a ¹ ，
2
a ¹ - .
因为A
B
U
含有4 个元素，所以A
B
Ç
仅含有1 个元素，
若
2
a
A
Î
，则
2
1
a = 或
2
a
a
=
，所以
0
a =
或
1
a = ± .
若1
A
- Î
，则
1
a = - .
结合集合元素的互异性可知
0
a =
或
1
a = - .
当
0
a =
时，
{ 2,1,0}
A = -
，


1,0
B = -
，


2, 1,0,1
A
B
È
= -
-
，符合题意.
当
1
a = - 时，
{ 2,1, 1}
A = -
-
，


1,1
= -
B
，


2, 1,1
A
B
È
= -
-
，不符合题意.
综上，
0
a =
.
5．（2026·山东德州·一模）设集合




2
1, ,
,
, ,
A
a b
B
a
a ab
=
=
，若A
B
=
，则
3
3
a
b
+
=__________.
【答案】1
-
【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【详解】




2
1, ,
,
, ,
A
a b
B
a
a ab
=
=
Q
，A
B
=
，\
1
a ¹ 且
1
b ¹ 且
0
a ¹
且a
b
¹
，
2
1
a
ab
b
ì
=
\í
=
î
或
2
1
a
b
ab
ì
=
í
=
î
，
当
2
1
a
ab
b
ì
=
í
=
î
时，
1
a ¹
Q
且
1
b ¹ ，
1
0
a
b
= -
ì
\í =
î
，
3
3
1
a
b
\
+
= - .
当
2
1
a
b
ab
ì
=
í
=
î
时，解得
1
1
a
b
=
ì
í =
î
，
1
a ¹
Q
且
1
b ¹ ，
1
1
a
b
=
ì
\í =
î
不成立.
综上可得，
3
3
1
a
b
+
= - .
故答案为：1
- .
题型02  常用逻辑用语13 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
存在量词命题的否定
存在量词改全称量词，否定结论
2
全称量词命题的否定
全称量词改存在量词，否定结论
3
存在量词命题的否定
存在量词改全称量词，否定结论
4
命题真假判断 + 复合命题
先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断
5
简单命题的否定
直接否定判断，注意存在量词的使用
6
充分必要条件（数列）
结合等差数列定义，判断推出关系
7
充分必要条件（函数对称中心）
牢记对称中心性质，判断条件能否互推
8
充分必要条件（对立事件）
对立事件定义 + 概率公式，判断条件充分性与必要性
9
充分必要条件（直线与圆位置）
用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系
10
充分必要条件（平面向量）
向量垂直与数量积关系，判断充分必要性
11
充分必要条件（线面位置）
空间线面平行 / 垂直判定定理，判断推出关系
12
充分必要条件（三角函数象限）
三角函数符号与象限关系，判断条件
13
充分必要条件（函数单调性）
三角函数单调性关系，结合定义域判断条件
1．（2026·云南·模拟预测）命题“ x
$ ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- <
”的否定是（   ）
A．
x
" ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- ³
B．
x
" ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- <
C．x
$ ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- ³
D．x
$ ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- >
【答案】A
【分析】由命题的否定的概念选择即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题的否定为“
x
" ÎR ，
3
2
1
0
x
x
-
- ³
”.
故选：A．
2．（2026·山东德州·一模）命题“


2
2,
,
4
x
x
¥
" Î
+
³
”的否定为（    ）
A．


2
2,
,
4
x
x
¥
$ Ï
+
<
B．


2
2,
,
4
x
x
¥
$ Î
+
£
C．


2
2,
,
4
x
x
¥
$ Ï
+
³
D．


2
2,
,
4
x
x
¥
$ Î
+
<
【答案】D
【详解】易知命题“


2
2,
,
4
x
x
¥
" Î
+
³
”的否定为


2
2,
,
4
x
x
$ Î
+¥
<
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知命题


:
2,2
p
x
$ Î -
，sin
ex
x ³
，则
p
Ø 为（    ）
A．




, 2
2,
x
" Î -¥ -
+¥
U
，sin
ex
x ³
B．


2,2
x
" Î -
，sin
ex
x ³
C．




, 2
2,
x
" Î -¥ -
+¥
U
，sin
ex
x <
D．


2,2
x
" Î -
，sin
ex
x <
【答案】D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题


:
2,2
p
x
$ Î -
，sin
ex
x ³
的否定为


:
2,2
p
x
Ø
" Î -
，sin
ex
x <
，
故选：D．
4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题
:
R
p
x
" Î
，
1
1
x +
> ；命题
:
0
q
x
$ >
，
0.5
2
log
x
x
=
，则（    ）
A．p 和q 都是真命题
B．
p
Ø 和q 都是真命题
C．p 和
q
Ø 都是真命题
D．
p
Ø 和
q
Ø 都是真命题
【答案】B
【详解】当
0
x =
时，
1
1
x +
> 不成立，所以命题p 是假命题，
p
Ø 是真命题；
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数
2x
y =
与
0.5
log
y
x
=
在

0, ¥
+
上有一个交点，
则
0
x
$ >
，
0.5
2
log
x
x
=
，即命题q 是真命题，
q
Ø 是假命题.
5．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ）
A．菱形是矩形
B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形
D．存在是菱形的矩形
【答案】B
【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.
【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，
所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形.
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）若
*
, , ,
m n p qÎN 且m
n
p
q
+
=
+
，则“
m
n
p
q
a
a
a
a
+
=
+
”是“
na
为等差数列”
的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】由m
n
p
q
+
=
+
及等差数列的性质知，
若
na
为等差数列，则
m
n
p
q
a
a
a
a
+
=
+
，必要性成立；
数列：1，5，3，7 满足
1
4
2
3
a
a
a
a
+
=
+
，但不是等差数列，充分性不成立.
则“
m
n
p
q
a
a
a
a
+
=
+
”是“
na
为等差数列”的必要不充分条件.
7．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）“点M 的坐标为
,0 (
)
4
k
k
p
p
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ”是“点M 为函数
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
图象的对称中心”的（   ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的对称中心，再进行判断.
【详解】由
4
2
k
x
p
p
-
=
解得
2
4
k
x =
+
p
p ，所以
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的对称中心为(
,0)
2
4
kp
p
+
，k ÎZ.
而
,
4
x x
k
k
p
p
ì
ü
=
+
Î
í
ý
î
þ
Z ⫋
,
2
4
k
x x
k
p
p
ì
ü
=
+
Î
í
ý
î
þ
Z ，
所以“点M 的坐标为
,0 (
)
4
k
k
p
p
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ”是“点M 为函数
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 图象的对称中心”的充分不必要
条件.
8．（2026·广东汕头·模拟预测）“
( )
( )
1
P A
P B
+
= ”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的（   ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【详解】投掷一枚硬币3 次，满足

1
P A
P B
+
= ,但A
B
，
不一定是对立事件，
如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3 次正面”，
则
7
8
P A =
（）
，

1
8
P B =
，满足

1
P A
P B
+
＝，但A
B
，
不是对立事件.
若事件A 与事件B 是对立事件，则A
B
È
为必然事件，再由概率的加法公式得

1
P A
P B
＋
＝；
所以“
( )
( )
1
P A
P B
+
= ”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的必要不充分条件；
故选：D
9．（2026·山西运城·一模）已知直线:3
4
5
0
l
x
y
-
+
=
，圆




2
2
:
2
1
5
0
C
x
y
m
+
+
-
+
-
=
，则“0
4
m
<
<
”是“直
线l 与圆C 相交”的（   ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由



2
2
2
1
5
0
x
y
m
+
+
-
+
-
=
，得



2
2
2
1
5
x
y
m
+
+
-
=
-
，
因为方程表示圆，所以5
0
m
-
>
，解得
5
m <
.
所以圆C 的圆心为


2,1
C -
，半径为
5
r
m
=
-
，
所以圆心C 到直线:3
4
5
0
l
x
y
-
+
=
的距离为




2
2
3
2
4 1 5
1
3
4
d
´ -
- ´ +
=
=
+ -
，
若直线l 与圆C 相交可得d
r
<
，则可得1
5
m
<
-
，解得
4
m <
.
所以“0
4
m
<
<
”是“直线l 与圆C 相交”的充分不必要条件.
10．（2026·内蒙古包头·一模）若ar ，b
r 为非零向量，则“ //
a b
r
r
”是“ a
b
a
b
=
+
+
r
r
r
r
”的（   ）
A．必要不充分条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【分析】由向量共线用l 表示出
,
a
b
a
b
+
+
r
r
r
r
，应用向量数量积的运算律得a b
a b
×
=
r
r
r
r
，结合充分、必要性
的定义判断推出关系，即可得.
【详解】由ar ，b
r 为非零向量且//
a b
r
r
知，存在实数l ，使a
b
l
=
r
r
，
则
1
a
b
b
b
b
l
l
+
=
+
=
+
r
r
r
r
r
，
(
1)
a
b
b
b
b
l
l
+
=
+
=
+
r
r
r
r
r
，
当
0
l <
时，a
b
a
b
+
¹
+
r
r
r
r
，故充分性不成立，
由a
b
a
b
=
+
+
r
r
r
r
，则
2
2
(
)
a
b
a
b
+
=
+
r
r
r
r
，
故
2
2
2
2
|
2
|
2
a
a b
b
a
a b
b
+
×
+
=
+
+
r
r
r
r
r
r
r
r
，所以a b
a b
×
=
r
r
r
r
，
即
cos ,
cos ,
1
a b
a b
a b
a b
=
Þ
=
r
r
r
r
r
r
r
r
，故,
0
a b =
r
r
，
所以,a b
r r
同向共线，必要性成立，
所以“ //
a b
r
r ”是“ a
b
a
b
+
=
+
r
r
r
r
”的必要不充分条件.
11．（2026·河北张家口·一模）已知l 是一条直线，a ，b 为两个不同平面，若l
b
^
，则“ / /
l
a ”是
“a
b
^
”的（   ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因l 是一条直线，a ，b 为两个不同平面，l
b
^
，
当/ /
l
a 时，可过直线l 作平面g 与平面a 交于直线m ，根据线面平行的性质定理可得//
l m，
又l
b
^
，所以m
b
^
，又m
a
Ì
，所以a
b
^
，故充分性成立；
当a
b
^
时，当l
a
Ì
且l
b
^
时符合，但推不出/ /
l
a ，故必要性不成立.
所以“ / /
l
a ”是“a
b
^
”的充分不必要条件．
12．（2026·湖南·模拟预测）“sin
0
q >
”是“q 为第二象限角”的（   ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】若sin
0
q >
，则q 为第一象限、第二象限角或终边在y 轴正半轴上；
若q 为第二象限角，则sin
0
q >
，
所以“sin
0
q >
”是“q 为第二象限角”的必要不充分条件．
13．（2026·北京密云·一模）已知函数



π
sin
0
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
，则“
1
2
w =
”是“

f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增”
的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
1
2
w =
时，

1
π
sin 2
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
令
1
π
2
4
u
x
=
+
，当
π
0, 3
x
é
ù
Î ê
ú
ë
û 时，可得
π 5π
,
4 12
u
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
由正弦函数的性质，可得
sin
y
u
=
在π 5π
,
4 12
é
ù
ê
ú
ë
û 为单调递增函数，
所以当
1
2
w =
时，函数

f x 在区间
π
0, 3
x
é
ù
Î ê
ú
ë
û 上单调递增，即充分性成立；
反之：当
π
0, 3
x
é
ù
Î ê
ú
ë
û 时，可得
π
π
π
π
,
4
4
3
4
x
w
w
é
ù
+
Î
+
ê
ú
ë
û ，
又由正弦函数
sin
y
x
=
的单调递增区间为
π
π
2 π,
2 π ,
2
2
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ，
要使得函数

f x 在区间
π
0, 3
x
é
ù
Î ê
ú
ë
û 上单调递增，则满足π
π
π
π π
,
,
4
3
4
2 2
w
é
ù
é
ù
+
Í -
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，
即
π
π
π
3
4
2
w
+
£
，且
0
w >
，解得
3
0
4
w
<
£
，所以必要性不成立，
综上可得：“
1
2
w =
”是“

f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增”的充分不必要条件.
题型03  复数15 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求共轭复数的虚部
利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的相
反数。
2
利用周期性求共轭复数的虚部
利用虚数单位i 的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。
3
求复数的模
将复数化为代数形式，利用模长公式计算。
4
求复数的模
直接利用模长公式求解。
5
复数对应点的象限判断
设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象限。
6
复数模的最值问题（几何法）
利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问
题。
7
根据实部与虚部相等求参数
复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。
8
根据纯虚数求参数
复数除法化简，令实部为0 且虚部不为0，解方程求参数。
9
根据复数对应象限求参数范围
复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范围。
10
复数模的最值问题（三角形式）
将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。
11
复数模的取值范围（几何法）
利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问
题。
12
根据复数相等求参数（多选题）
利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。
13
复数模的几何意义与性质（多
选题）
利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。
14
复数运算与模的性质（多选题）
利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。
15
共轭复数与模的性质（多选题）
利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。
1．（2026·江西赣州·一模）复数z 满足
1 i
1 2i
z +
× = -
（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是（    ）
A．3
-
B．3i
-
C．1
D．i
【答案】C
【详解】由题意可得：
1 2i
(1 2i)i
1
1
3
i
i
1
z
-
-
=
- =
- = - -
-
，所以
3
i
z = - + ，所以复数z 的共轭复数的虚部为1.
2．（2026·吉林白山·二模）若复数
2
3
2026
i
i
i
i
z = +
+
+¼+
（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是
（   ）
A．1
B．1
-
C．i
D．i
-
【答案】B
【分析】先确定i 满足关系4i
1
n = ，4
1
i
i
n+ = ，4
2
i
1
n+ = - ，4
3
i
i
n+ = - ，再证明4
1
4
2
4
3
4
4
i
i
i
i
0
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
+
=
，由此
求结论.
【详解】因为2i
1
= - ，所以



2
2
4
2
i
i
1
1
=
= -
= ，
所以

4
4
i
i
1
n
n =
= ，4
1
4
i
i ·i
i
n
n
+ =
= ，4
2
i
1
n+ = - ，4
3
i
i
n+ = - ，
所以



4
1
4
2
4
3
4
4
i
i
i
i
i
1
i
1
0
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
+
= + -
+ -
+ =
，
所以复数
2
3
2026
i
i
i
i
z = +
+
+¼+
，2026
4 506
2
=
´
+
，
所以
2025
2026
i
i
i 1
z =
+
= -
即
1 i
z = - + ，
所以z 的共轭复数为1 i
- - ，其虚部为1
- .
3．（2026·福建莆田·二模）已知复数


i 1 2i
z =
-
，则z = （   ）
A．
5
B．3
C．2 5
D．5
【答案】A
【分析】根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】因为


2
i 1
2i
i
2i
2
i
z =
-
= -
=
+ ，
所以
2
2
2
1
5
z =
+
=
.
4．（2026·福建龙岩·一模）已知复数
π
π
2 cos
isin
3
3
z
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则z 的模为（    ）
A．1
B．2
C．
3
D．2
【答案】D
【分析】由复数模计算公式可得答案.
【详解】由题意
1
3i
z = -
，则


2
21
3
2
z =
+ -
=
.
故选：D
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数z 满足2
2
3i
z
z
-
=
-
，则在复平面内，复数z 对应的点位于（    ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】设


i
,
z
a
b a b
=
+
ÎR ，由2
2
3i
z
z
-
=
-
，得


2
i
i
2
3i
a
b
a
b
+
-
-
=
-
，
即
3 i
2
3i
a
b
+
=
-
，得
2,
1
a
b
=
= - ，
所以z 在复平面内对应的点为

2, 1
-
位于第四象限.
6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数z 满足
2i
3
z +
=
，则z 的最大值为（    ）
A．1
B．2
C．5
D．6
【答案】C
【分析】复数z 对应的点Z的轨迹为


0, 2
C
-
为圆心，半径
3
r = 的圆，设O 为坐标原点，求得
2
OC =
，可
求z 的最大值.
【详解】设


i,
,
z
x
y
x y
=
+
ÎR ，由
2i
3
z +
=
，可得


2
2
2
9
x
y
+
+
=
，
所以复数z 对应的点Z的轨迹为


0, 2
C
-
为圆心，半径
3
r = 的圆，
设O 为坐标原点，可得
2
OC =
，所以
2
2
=
+
z
x
y 的最大值为2
3
5
+
=
.
故选：C.
7．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数
i
1
2i
a
z
+
= -
的实部与虚部相等，则实数a 的值为（   ）
A．3
-
B．3
C．1
-
D．1
【答案】A
【详解】








i
1
2i
2
2
1 i
i
2
2
1i
1
2i
1
2i
1
2i
5
5
5
a
a
a
a
a
a
z
+
+
-
+
+
+
-
+
=
=
=
=
+
-
-
+
，
因为复数
i
1
2i
a
z
+
= -
的实部与虚部相等，所以
2
2
1
5
5
a
a
-
+
=
，得
3
a = - .
8．（2026·宁夏银川·一模）若
5
10i
3i
1
2i
m
z
-
=
+
+
（mÎR ）为纯虚数，则m = （   ）
A．2
-
B．2
C．4
-
D．4
【答案】D
【详解】








5
10i 1
2i
5
10i
5
10i 10 i
20
3i=
3i=
3i
4
1
2
i
1
2i
1
2i 1
2i
5
m
m
m
m
z
m
m
-
-
-
-
-
-
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
，
因为z 为纯虚数，
所以
4
0
m -
=
，且1 2
0
m
-
¹
，
所以
4
m =
.
9．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数(1 i)(
2i)
m
+
-
对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是
（    ）
A．(
, 2)
-¥ -
B．( 2,0)
-
C．(0,2)
D．(2,
)
+¥
【答案】A
【详解】由复数的乘法可得(1 i)(
2i)
2
(
2)i
m
m
m
+
-
=
+
+
-
，
而复数(1 i)(
2i)
m
+
-
对应的点在第三象限，故
2
0
2
0
m
m
+
<
ì
í
-
<
î
，
所以
2
m < - 即实数m 的取值范围是(
, 2)
-¥ -
.
10．（2026·四川成都·二模）若
1
2
i
z =
+ ，
2
cos
isin (
R)
z
q
q q
=
+
Î
，则
1
2
z
z
+
的最大值为（   ）
A．
7
B．
5
1
-
C．1
5
+
D．2 2
【答案】C
【详解】由




2
2
1
2
2
cos
i(1 sin )
2
cos
1 sin
z
z
q
q
q
q
+
=
+
+
+
=
+
+
+
6
4cos
2sin
q
q
=
+
+
6
2 5 sin(
)
q
j
=
+
+
，
其中tan
2
j =
，当sin(
)
1
q
j
+
= 时，
1
2
z
z
+
最大值为
2
6
2 5
(1
5)
1
5
+
=
+
= +
.
11．（2026·河南·模拟预测）若复数z 满足
1
z = ，则
2i
z -
的取值范围是（   ）
A．

0,2
B．

1,2
C．

1,3
D．

0,3
【答案】C
【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解.
【详解】复数z 满足
1
z = ，
表示复数z 在复平面内的轨迹是以原点

0,0 为圆心、半径为1的单位圆，
2i
z -
表示复数z 到点

0,2 的距离，
即求解单位圆上的点到

0,2 的距离取值范围，
因为

0,0 到点

0,2 的距离为2 ，
所以
2i
z -
的最大值为3，
2i
z -
的最小值为1，
故
2i
z -
的取值范围是

1,3 .
多选题
12．（2026·山西运城·一模）已知复数
2
7i
z =
+
，且2
0
z
az
b
+
+
=
（,a bÎR ），则（   ）
A．
2
a =
B．
2
a = -
C．
8
b = -
D．
8
b =
【答案】AC
【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可.
【详解】因为
2
7i
z =
+
，所以
2
7i
z =
-
，
又2
0
z
az
b
+
+
=
，所以



2 2
7i
2
7i
0
a
b
+
+
-
+
=
，即


4
2
14
7
i
0
a
b
a
+
+
+
-
=
，
所以
4
2
0
14
7 =0
a
b
a
+
+
=
ì
í
-
î
，解得
2
=
8
a
b
=
ì
í
-
î
.
13．（25-26 高三上·山东青岛·期末）设复数z 满足
2
2
4
z
z
-
=
，则（    ）
A．
2
2
2 2
z
z
-
-
+
=
B．
2
z ³
C．关于z 的方程


i
z
a
a a
=
+
ÎR 有解
D．若复数w 满足
1
w = ，则
2
1
z
w
-
³
-
【答案】ABD
【分析】设


i
,
z
x
y
x y
=
+
ÎR ，根据
2
2
4
z
z
-
=
可得
2
2
2
x
y
-
=
，故

,
P x y 在双曲线上，由双曲线的性质
可判断ABC 的正误，根据三角形不等式可判断D 的正误.
【详解】设


i
,
R
z
x
y
x y
=
+
Î
，则



2
2
i
4
i
x
y
x
y
+
-
=
+
，
整理得
2
2
2
2
4
2
i
2
i
x
y
xy
x
y
xy
-
-
+
=
-
+
，
故



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
x
y
x y
x
y
x y
-
-
+
=
-
+
即
2
2
2
x
y
-
=
，
故

,
P x y 在双曲线
2
2
2
x
y
-
=
上，焦点坐标为


2,0 ,
2,0 ,
-
实半轴长为2 ，
故
2
2
z
z
-
-
+
表示P 到两个焦点的距离差的绝对值，
故
2
2
2 2
z
z
-
-
+
=
，故A 正确；
z 即为P 到原点的距离，故OP 大于等于实半轴长，故
2
z ³
，故B 成立，
对于C，由


i
z
a
a a
=
+
ÎR 可得
i
i
x
y
a
a
+
=
+
，而, ,
R
x y aÎ
，
故
,
x
a y
a
=
=
，而
2
2
2
x
y
-
=
，故矛盾，故C 错误；
对于D，因为z 即为P 到原点的距离，由B 的分析可得
2
z ³
，
而
2
1
z
w
z
w
-
³
-
³
- ，故D 正确；
故选：ABD.
14．（2026·浙江·模拟预测）设
1
2
,
z z 为复数，其中


1
i
0
z
a
b ab
=
+
¹
，则下列正确的是（   ）
A．
2
2
1
1
z
z
=∣∣
B．
1
2
1
2
z
z
z
z
×
=
×
∣
∣∣∣∣∣
C．若
2
1
z ÎR ，则
2z ÎR
D．若
2
1
1
2
z
z
z
=
×
，则
1
2
z
z
=
【答案】BC
【分析】根据复数运算和模长运算判断A 错误，C 正确；根据复数性质判断B 正确；通过举反例判断D 错
误.
【详解】选项A，计算得：


2
2
2
2
1
(
)
2
i
z
a
bi
a
b
ab
=
+
=
-
+
，
2
2
2
1
|
|
z
a
b
=
+
，
因为
0
ab ¹
，所以
2
1z 的虚部2
0
ab ¹
，不可能等于实数
2
1
|
|
z
，故A 错误；
选项B，
1
2
1
2
|
| |
| |
|
z
z
z
z
×
=
×
是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B 正确；
选项C，设


2
i
,
z
m
n m n
=
+
ÎR ，则
2
2
2
2
2
2
1
|
|
z
m
ni
z
z
m
n
-
=
=
+
，
若
2
1
z ÎR ，则虚部
2
2
0
n
m
n
-
=
+
，得
0
n =
，故
2z
m
=
ÎR ，故C 正确；
选项D，
1
i,
0
z
a
b ab
=
+
¹
，故
1
0
z ¹
，由
2
1
1 2
z
z z
=
两边约去
1z 得
1
2
z
z
=
，不一定有
1
2
z
z
=
，
例如
1
2
1 i
z
z
=
= + 满足条件，但
1
2
1 i
z
z
= - ¹
，故D 错误.
15．（25-26 高三上·江西·月考）已知复数
1
2
,
z z ，下列说法正确的是（   ）
A．
1
2
1
2
z
z
z
z
+
=
+
B．若
1
2
0
z
z
-
> ，则
1
2
z
z
>
C．
1
2
1
2
z
z
z
z
×
=
×
D．若
2
1
0
z <
，则
1z 为纯虚数
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复
数的乘方运算即可判断选项D.
【详解】设
1
2
i,
i, , , ,
z
a
b z
c
d a b c d
=
+
=
+
ÎR ，
对于A，由



1
2
i
z
z
a
c
b
d
+
=
+
+
+
，则
1
2
(
)
(
)
z
z
a
c
b
d i
+
=
+
-
+
，
而
1
2
(
)
(
)i
z
z
a
c
b
d
+
=
+
-
+
，则
1
2
1
2
z
z
z
z
+
=
+
，故A 正确；
对于B，举例
1
2
2
i,
1
i
z
z
=
+
= + ，满足
1
2
1
0
z
z
-
= >
，但
1z ，
2z 无法比较大小，故B 错误；
对于C，由复数模的运算性质可知，
1 2
1
2
z z
z z
=
，故C 正确；
对于D，由
1
i
z
a
b
=
+
，则
2
2
2
2
1
(
i)
2
i
z
a
b
a
b
ab
=
+
=
-
+
，而
2
1
0
z <
，
可得
2
2
0
2
0
a
b
ab
ì
-
<
í
=
î
，则
0,
0
a
b
=
¹
，则
1
i
z
b
= -
为纯虚数，故D 正确．
故选：ACD
题型04  平面向量26 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
向量共线求参数
利用共线向量定理，设比例系数，根据向量不共线列方程组求解。
2
向量平行（共线）求参数
利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等），列方程求解。
3
向量垂直求参数
先求向量坐标，再根据数量积为0 列方程求解。
4
向量基底表示（网格图）
建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基底的线性组合。
5
几何图形中的向量线性表
示
利用三角形法则和平行四边形法则，结合线段比例关系进行向量分
解。
6
向量数量积的几何应用
将目标向量用基底表示，利用数量积的定义和运算律求解。
7
三点共线求参数
将向量分解为基底形式，利用三点共线时系数和为1 的性质求解。
8
向量数量积求模
根据向量数量积的定义和模长公式，结合已知条件列方程求解。
9
向量数量积的最值（几何
法）
利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转化为中点相关形式，结合
点到直线距离求最值。
10
向量垂直求夹角余弦值
由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹角公式求解。
11
向量合成与速度分解
根据实际航行方向，将速度分解为静水速度和水流速度，利用余弦定
理求解。
12
投影向量
利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘以原向量）求解。
13
向量数量积的最值（二次
函数）
建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数的二次函数，利用二次函
数性质求最值。
14
投影向量求夹角
由投影向量公式和数量积定义，建立方程求解夹角。
15
两两夹角相等求模
分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律求解。
16
投影向量（解三角形）
通过平方变形判断三角形形状，再代入投影向量公式求解。
17
向量线性运算与几何作图
作平行线构造平行四边形，利用向量加法法则和已知条件进行转化。
18
斜坐标系下的向量运算
根据新定义，将向量坐标转化为基底表示，利用数量积的运算律求解。
19
向量垂直与模长计算
由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关系，利用模长公式求解。
20
向量模的取值范围（几何
法）
将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线距离求模的最小值，最大
值无上界。
21
重心性质与向量分解
利用重心性质（中线交点）将向量分解，根据平面向量基本定理列方
程求解。
22
重心性质与向量运算
利用重心与中点的关系，将向量用基底表示，根据向量相等求参数。
23
向量数量积的最值（轨迹
与三角函数）
建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标数量积表示为三角函数，
利用辅助角公式求最值。
24
向量数量积的最值（函数
法）
根据图形几何关系，将目标数量积表示为参数的函数，利用二次函数
或单调性求最值。
25
向量线性运算与数量积
利用共线向量定理和平面向量基本定理，将目标向量用基底表示，结
合数量积运算律求解。
26
向量数量积的最值（坐标
与圆）
建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆，将目标数量积表示为参数
形式，利用三角函数或几何意义求最值。
1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知ar 、b
r 是两个不共线的向量，若向量3
2
a
b
-
r
r
与
8
xa
b
+
r
r
共线，则x =
（   ）
A．9
B．6
C．4
-
D．12
-
【答案】D
【详解】若向量3
2
a
b
-
r
r
与
8
xa
b
+
r
r
共线，
则存在实数
R
t Î
使得3
2
a
b
t
-
=
r
r


8
8
xa
b
xta
tb
+
=
+
r
r
r
r
，即



3
8
2
xt a
t
b
-
=
+
r
r
，
又ar 、b
r 是两个不共线的向量，所以
3
0
8
2
0
xt
t
-
=
ì
í
+
=
î
，解得
1
4
12
t
x
ì = -
ïí
ï = -
î
.
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知平面向量




1,
,
3, 2
2
a
k
b
k
= -
=
-
r
r
，若


// 2
a
a
b
+
r
r
r
，则k = （   ）
A．1
5
B．2
5
C．
1
5
-
D．
2
5
-
【答案】B
【详解】由于


2
1,4
2
a
b
k
+
=
-
r
r
，由


// 2
a
a
b
+
r
r
r
得


1 4
2
1
0
k
k
- ×
-
- ×
=
，解得
2
5
k =
．
3．（2026·重庆·模拟预测）若向量


4,6
a =
r
，


4,16
b =
r
且


2
a
a
b
l
^
+
r
r
r
，则l 的值为（   ）
A．
13
14
-
B．
4
5
-
C．4
5
D．13
14
【答案】A
【分析】根据条件，可得2a
b
l
+
r
r
坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案.
【详解】由题意，2
(8
4 ,12 16 )
a
b
l
l
l
+
=
+
+
r
r
，
因为


2
a
a
b
l
^
+
r
r
r
，所以


2
0
a
a
b
l
×
+
=
r
r
r
，
则4 (8
4 )
6 (12 16 )
0
l
l
´
+
+ ´
+
=
，解得
13
14
l = -
.
4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量, ,
a b c
r
r
r 在正方形网格中的位置如图所示，用基底

,
a b
r
r
表示cr ，则
（    ）
A．
2
3
c
a
b
=
-
r
r
r
B．
2
3
c
a
b
= -
-
r
r
r
C．
3
2
c
a
b
= -
+
r
r
r
D．
3
2
c
a
b
=
-
r
r
r
【答案】D
【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量, ,
a b c
r
r
r ，再表示为基底形式，利用待定
系数法，即可求解.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则

1,0
A
，

2,1
B
，


0,4
C
，


7,1
D
，
所以


1,1
a =
r
，


2,3
b = -
r
，


7, 3
c =
-
r
，
设向量c
ma
nb
=
+
r
r
r
则




2 ,
3
7, 3
c
ma
nb
m
n m
n
=
+
=
-
+
=
-
r
r
r
则
2
7
3
3
m
n
m
n
-
=
ì
í
+
= -
î
，解得
3
2
m
n
=
ì
í = -
î
所以
3
2
c
a
b
=
-
r
r
r
.
5．（25-26 高一上·安徽·期末）在梯形ABCD 中，AB ∥
,
3
CD CD
AB
=
，点E 在对角线AC 上，且
1
2
AE
EC
=
，则DE =
r
（    ）
A．
2
3
AB
AD
-
r
r
B．3
1
2
2
AB
AD
-
r
r
C．
1
2
3
AB
AD
-
r
r
D．1
3
2
2
AB
AD
-
r
r
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可.
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得，


1
1
2
3
3
3
DE
DA
AE
DA
AC
DA
AD
DC
AD
AB
=
+
=
+
=
+
+
= -
+
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
.
故选：A.
6．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形ABC 中，点E 为 BC 上靠近点B 的三等分点，则 
AE AC
×
=
r r
（    ）
A．8
3
B．2
C．4
3
D．10
3
【答案】A
【分析】将AE
r 表示为
,
AB AC
r r
，利用向量的数量积求解.
【详解】由已知条件可得，
1
1
2
1
(
)
3
3
3
3
AE
AB
BE
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
r
r
r
r
r
r
r
r
，
则
2
2
2
1
2
1
8
2 2cos60
2
3
3
3
3
3
AE AC
AB AC
AC
×
=
×
+
=
´ ´
+
´
=
o
r r
r r
r
.
7．（24-25 高一下·湖南岳阳·期末）如图，在
ABC
V
中，
2
AN
NC
=
r
r
，P 是BN 上一点，若
1
3
AP
t AB
AC
=
+
r
r
r
，则实数t 的值为（    ）
A．
1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
6
【答案】A
【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性
质求解即可.
【详解】
2
AN
NC
=
r
r
Q
，


2
AN
AC
AN
\
=
-
r
r
r
，
3
2
AC
AN
\
=
r
r
，
1
3
AP
t AB
AC
=
+
r
r
r
Q
，
1
3
1
3
2
2
AP
t AB
AN
t AB
AN
\
=
+
´
=
+
r
r
r
r
r
，
P
Q
是线段BN 上一点，
, ,
B P N
\
三点共线，
1
1
2
t
\ +
= ，
解得
1
2
t =
.
故选A.
8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量a
r
，b
r
满足
2
a =
r
，


3
2
9
a
b
a
b
-
×
+
=
r
r
r
r
，且向量a
r
，b
r
的夹角为
2π
3 ，则b =
r
（    ）
A．1
B．3
2
C．
3
D．2
【答案】A
【详解】因为
2
a =
r
，且向量a
r
，b
r
的夹角为2π
3 ，所以
2π
cos 3
a b
a
b
b
×
=
×
= -
r r
r
r
r
，
由


3
2
9
a
b
a
b
-
×
+
=
r
r
r
r
，得
2
2
3
2
9
a
a b
b
+
× -
=
r
r r
r
，
则
2
2
3
0
b
b
+
-
=
r
r
，解得
1
b =
r
（负值舍）.
9．（2026·福建龙岩·一模）已知线段AB 是圆
2
2
:
5
O x
y
+
=
的一条动弦，且
2
AB =
.若点P 为直线
3
10
0
x
y
+
+
=
上的任意一点，则
+
r
r
PA
PB 的最小值为（    ）
A．6
B．8
C．14
D．35
【答案】A
【分析】利用圆的性质求出弦AB 中点M 的轨迹，再根据向量运算将
+
r
r
PA
PB 转化为与点M 相关的形式，
最后结合点到直线的距离公式求出最小值.
【详解】设弦AB 中点为M ，根据圆的性质，OM
AB
^
，
2
2
5 1
2
2
AB
OM
OA
æ
ö
=
-
=
- =
ç
÷
è
ø
，
所以点M 的轨迹是以
(0,0)
O
为圆心，2 为半径的圆，
其方程为
2
2
4
x
y
+
= .
因为
2
PA
PB
PM
+
=
r
r
r ，
所以
2
PA
PB
PM
+
=
r
r
r
，
PM
r
的最小值为圆心O 到直线
3
10
0
x
y
+
+
=
的距离d 减去圆
2
2
4
x
y
+
= 的半径2.
2
2
10
5
( 3)
1
d =
=
+
，
min
min
2
2(5
2)
6
PA
PB
PM
+
=
=
-
=
r
r
r
.
故选：A.
10．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量


2,
a
x
= -
r
，


1,1
b = -
r
，若a
b
^
r
r ，则a
b
+
r
r 与b
r 的夹角的余弦值为
（   ）
A．
2
3
B．2 2
3
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】C
【详解】因为a
b
^
r
r ，则
0
a b
×
=
r r
，则2
0
x
+
=
，解得
2
x = - ，
则


2, 2
a = -
-
r
，


3, 1
a
b
+
= -
-
r
r
，
则a
b
+
r
r 与b
r 的夹角的余弦值为










2
2
2
2
3
1
1
1
2
5
5
10
2
3
1
1
1
a
b
b
a
b b
+
×
- ´ -
+ -
´
=
=
=
´
+
-
+ -
´
-
+
r
r
r
r r
r
.
11．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽1200m ，水流速度为向
东5km/h ，河南岸的A 码头与河北岸的B 码头的连线恰好与河的方向垂直，C 码头在B 码头的正东方向，
且
1000m
BC =
，D 码头在A 码头的正东方向，且
500m
AD =
，某小船从A 码头顺流而下，到达D 码头接了
客人后前往C 码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为13km/h ，则小船在静水中航行的速度大小
为（   ）
A．8km/h
B．9km/h
C．10km/h
D．12km/h
【答案】D
【分析】根据题意小船实际航行的方向应与DC 保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与
水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得.
【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与DC
r
保持一致，
设小船的船头方向为DN
r
，水流方向为DM
r ，DE 为河宽，
在Rt
DEC
△
中，
500
EC
BC
AD
=
-
=
，
1200
DE =
，
则
2
2
500
1200
1300
DC =
+
=
，
5
sin
13
EDC
Ð
=
，则
5
cos
13
CDM
Ð
=
，
设小船在静水中航行的速度大小为km/h
x
，
在
DPM
△
中，由余弦定理，
2
2
2
5
5
13
2
5 13
25 169
50
144
13
x =
+
-
´ ´
´
=
+
-
=
，
解得
12
x =
，即小船在静水中航行的速度大小为12km/h .
12．（2026·重庆·一模）已知平面向量a
r
，b
r
满足


3,1
a =
r
，


4 3, 1
b =
-
r
，则向量b
r
在a
r
方向上的投影向
量为（    ）
A．44 3
11
,
49
49
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．44 3
11
,
7
7
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．11 3 11
,
4
4
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．11 3 11
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【答案】C
【详解】因


3
4 3
1
1
11
a b
×
=
´
+ ´ -
=
r
r
，


2
2
3
1
2
a =
+
=
r
.
则向量b
r
在a
r
方向上的投影向量为


2
2
11
11 3 11
3,1
,
2
4
4
a b a
a
æ
ö
×
×
=
×
= ç
÷
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
.
13．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD 的边长为2，点E 在线段AC 上，则AE BE
×
r r 的最小值为
（   ）
A．
3
4
-
B．
1
2
-
C．
1
4
-
D．
1
8
-
【答案】B
【详解】在边长为2 的正方形ABCD 中，AC
AB
BC
=
+
r
r
r
，
设
(
),0
1
AE
xAC
x AB
BC
x
=
=
+
£
£
r
r
r
r
，
(
1)
BE
AE
AB
x
AB
xBC
=
-
=
-
+
r
r
r
r
r
，
而
0
AB BC
×
=
r r
，因此
2
(
) [(
1)
]
4 (
1)
4
AE BE
x AB
BC
x
AB
xBC
x x
x
×
=
+
×
-
+
=
-
+
r r
r
r
r
r
2
2
1
1
1
8
4
8(
)
4
2
2
x
x
x
=
-
=
-
-
³ -
，当且仅当
1
4
x =
时取等号，
所以AE BE
×
r r 的最小值为
1
2
-
.
14．（2026·云南·模拟预测）已知向量,a b
r
r
是非零向量，且满足
2
a
b
-
r
r
在b
r 方向上的投影向量为3b
-
r ，
2
a
b
=
r
r
，则,a b
r
r
的夹角为（   ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】C
【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.
【详解】由题意得
2
2
2
3
|
|
|
(
2
|
)
2
a
b
b
a b
b
b
b
b
b
b
-
×
×
-
=
= -
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，所以
2
2
3|
|
2
a b
b
b
×
= -
-
r
r
r
r
，即
2
|
|
a b
b
×
= -
r
r
r
，
于是
2
2
2
cos
2
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
1
=
=
=
|
2
|
|
a b
b
b
a
b
a
b
b
q
×
×
×
-
-
-
=
×
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，又
[0, π]
q Î
，
120
q =
° .
故选：C
15．（2026·山东德州·一模）若平面向量, ,
a b c
r
r
r 两两夹角相等，且
1,
2,
3
a
b
c
=
=
=
r
r
r
，则a
b
c
+
+
=
r
r
r
（    ）
A．
3
B．36
C．
3 或6
D．3 或36
【答案】C
【分析】依题意可得夹角为0°或120°，再分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为平面向量a
r
，b
r
，c
r
两两夹角相等，所以夹角有两种情况，
即a
r
，b
r
，c
r
两两夹角为0°或120°，
当夹角为0°时，
1
2
3
6
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
= +
+
=
r
r
r
r
r
r
；
当夹角为120°时，
3
1,
3,
2
a b
b c
c a
×
= -
×
= -
×
= -
r
r
r
r
r r
，
则


2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
+
+
=
+
+
=
+
+
+
×
+
×
+
×
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r




2
2
2
3
1
2
3
2
1
2
2
3
3
2
æ
ö
=
+
+
+ ´ -
+ ´ -
+ ´ -
=
ç
÷
è
ø
；
综上所述：
6
a
b
c
+
+
=
r
r
r
或
3
a
b
c
+
+
=
r
r
r
.
16．（2026·广东广州·二模）在
ABC
V
中，已知
2
AB
AC
AB
AC
AB
+
=
-
=
r
r
r
r
r
，则向量AC
r
在BC
r 上的投影向
量为（    ）
A．
3
4 BC
-
r
B．
3
4 BC
-
r
C．
3
4 BC
r
D．3
4 BC
uuur
【答案】D
【分析】首先根据数量积公式确定
ABC
V
的形状，再代入投影向量的公式.
【详解】AB
AC
AB
AC
+
=
-
r
r
r
r
两边平方得4
0
AB AC
×
=
r r
，即AB
AC
^
，
又
2
AB
AC
AB
-
=
r
r
r
两边平方得
2
2
2
2
4
AB
AB AC
AC
AB
-
×
+
=
r
r r
r
r ，
即
2
2
3
AC
AB
=
r
r ，即
3
AC
AB
=
r
r
，
如图，
30
BCA
Ð
=
o ，向量AC
r
与BC
r 的夹角为30o ，
3
2
AC
BC
=
r
r
所以向量AC
r
在BC
r 上的投影向量为
3
cos30
4
BC
AC
BC
BC
×
=
o
r
r
r
r
.
17．（2026·山东·模拟预测）已知点P 为
ABC
V
所在平面内一点，若
1
3
2
4
AP
AB
AC
=
+
r
r
r
，则
=
ABP
ACP
S
S
V
V
（   ）
A．3
B．3
2
C．2
3
D．1
3
【答案】B
【分析】过点A 作
1
3
,
2
4
AE
AB AF
AC
=
=
r
r r
r
，以
,
AE AF 为邻边作平行四边形AEPF ，利用
6
,
4
ABP
PFC
ACP
PFC
S
S
S
S
=
=
V
V
V
V
可得答案.
【详解】过点A 作
1
3
,
2
4
AE
AB AF
AC
=
=
r
r r
r
，
则
1
3
2
4
AP
AB
AC
AE
AF
=
+
=
+
r
r
r
r
r
，
以
,
AE AF 为邻边作平行四边形AEPF ，
所以
2
2
ABP
AEP
AFP
S
S
S
=
=
V
V
V
，
3
AFP
PFC
S
S
=
V
V
，
可得
6
,
4
ABP
PFC
ACP
PFC
S
S
S
S
=
=
V
V
V
V
，
所以
6
3
4
2
PFC
ABP
ACP
PFC
S
S
S
S
=
=
V
V
V
V
.
故选：B.
18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设
,
Ox Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，
1
2
,
e e
r r
分别是与x 轴，y 轴
正方向同向的单位向量.若向量
1
2
OP
xe
ye
=
+
r
r
r
，则有序实数对

,x y 叫做向量OP
r
在坐标系xOy 中的坐标.若在
该坐标系xOy 中，


2,1
OA =
r
，


4,5
OB = -
r
，则OA OB =
r r
g
（    ）
A．3
-
B．2
-
C．1
-
D．0
【答案】D
【详解】由平面向量数量积的定义可得
1
2
1
2
1
·
cos60
2
e e
e
e
=
×
×
=
o
r r
r
r
，
由题意可知
1
2
2
OA
e
e
=
+
r
r
r
，
1
2
4
5
OB
e
e
= -
+
r
r
r
，
所以



2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
·
2
·
4
5
8
6 ·
5
8
3
5
0
OAOB
e
e
e
e
e
e e
e
=
+
-
+
= -
+
+
= - + +
=
r r
r
r
r
r
r
r r
r
.
19．（2026·山西朔州·一模）已知向量




2, 1 ,
,4
AB
BC
m
=
-
=
r
r
，且AB
AC
AB
AC
+
=
-
r
r
r
r
，则AC =
r
（    ）
A．3 2
B．34
C．3 5
2
D．
61
2
【答案】C
【分析】由AB
AC
AB
AC
+
=
-
r
r
r
r
可得
0
AB AC
×
=
r r
，由


2,3
A
C
C
AB
B
m
=
+
=
+
r
r
r
可得
3 ,3
2
AC
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
，最后应用
模长公式即可求解.
【详解】因为AB
AC
AB
AC
+
=
-
r
r
r
r
，所以
2
2
(
)
(
)
AB
AC
AB
AC
+
=
-
r
r
r
r
，展开整理得
0
AB AC
×
=
r r
，
由




2, 1 ,
,4
AB
BC
m
=
-
=
r
r
得


2,3
A
C
C
AB
B
m
=
+
=
+
r
r
r
，即

2
2
3
0
m +
-
=
，
所以
1
2
m = -
，即
3 ,3
2
AC
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
所以
2
2
3
3 5
3
2
2
AC
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
r
.
20．（2026·广东广州·一模）已知向量


2,3
a =
r
，


0,1
b =
r
，向量c
r
满足


1
c
a
b
×
-
=
r
r
r
，则c
r
的取值范围是
（   ）
A．
2 ,
4
é
ö
+¥÷
ê
÷
ë
ø
B．
2
0, 4
æ
ù
ç
ú
çè
û
C．1 ,
8
é
ö
+¥÷
êë
ø
D．
1
0, 8
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】A
【详解】设


,
c
x y
=
r
.
已知


2,3
a =
r
，


0,1
b =
r
，所以


2,2
a
b
-
=
r
r
.
则


2
2
1
c
a
b
x
y
×
-
=
+
=
r
r
r
，即
1
2
x
y
+
=
.
因
2
2
c
x
y
=
+
r
表示点

,x y 到原点的距离，而点

,x y 是直线
1
2
x
y
+
=
上的点，
故cr 的最小值即为原点到直线
1
2
x
y
+
=
的距离
2
2
1
0
0
2
2
4
1
1
d
+
-
=
=
+
，
因为点

,x y 在直线
1
2
x
y
+
=
上，所以cr 可无限大，
所以cr 的取值范围是
2 ,
4
é
ö
+¥÷
ê
÷
ë
ø
.
21．（2026·浙江·模拟预测）已知点O 是
ABC
V
的重心，点P 是
ABC
V
所在平面内一点.若
1
1
OP
x OA
y OB
=
+
r
r
r
，且


2
2
1
2
1
2
,
,
,
OP
x CA
y CB x x
y y
=
+
ÎR
r
r
r
，则（    ）
A．
1
2
2
1
3
,
3
x
x
y
y
=
=
B．
2
1
1
2
3 ,
3
x
x y
y
=
=
C．


1
1
2
2
3
x
y
x
y
+
=
+
D．


2
2
1
1
3
x
y
x
y
+
=
+
【答案】C
【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为点O 是
ABC
V
的重心，所以
0
OA
OB
OC
+
+
=
r
r
r
r
，即


OC
OA
OB
= -
+
r
r
r
，




2
2
2
2
OP
x CA
y CB
x
OA
OC
y
OB
OC
=
+
=
-
+
-
r
r
r
r
r
r
r


2
2
2
2
x OA
x
y
OC
y OB
=
-
+
+
r
r
r



2
2
2
2
x OA
y OB
x
y
OA
OB
=
+
+
+
+
r
r
r
r




2
2
2
2
2
2
x
y
OA
y
x
OB
=
+
+
+
r
r
，
又
,
OA OB
r r
不共线，所以
1
2
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
=
+
ì
í
=
+
î
，故


1
1
2
2
3
x
y
x
y
+
=
+
.
故选：C
22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点M 是
ABC
V
的重心，若BM
AB
AC
l
m
=
+
r
r
r
，则
2
l
m
+
=（    ）
A．-1
B．
1
3
-
C．0
D．1
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】
设D 是AC 的中点，则
2
BM
MD
=
r
r .
所以
2
2 1
1
2
3
3 2
3
3
BM
BD
AC
AB
AC
AB
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
r
r
.
因为BM
AB
AC
l
m
=
+
r
r
r
，所以
2
1
,
3
3
l
m
= -
=
，
因此
2
0
l
m
+
=
.
23．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形ABCD 内有一个动点E ，AE
DE
^
，
3
4
DF
DC
=
r
r
，当A ，
E ，F 三点共线时，DE 的延长线与BC 交于点G ，正方形边长为2，则EF EG
×
r r
的最小值为（    ）
A．0
B．7
5 2
2
-
C．5 2
7
2
-
D．1
【答案】B
【分析】以A 为坐标原点，
,
AB AD 所在直线建立平面直角坐标系，根据AE
DE
^
可得到点E 的轨迹方程




2
2
1
1
0
x
y
x
+
-
=
>
，求出A ，E ，F 三点共线时点E 坐标，进而得到点G 坐标，设


cos ,1 sin
E
q
q
+
，表
示出EF EG
×
r r
，利用辅助角公式即可求出答案.
【详解】以A 为坐标原点，
,
AB AD 所在直线建立如图所示平面直角坐标系，
则

0,0
A
，


0,2
D
，
3 ,2
2
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，
设



,
0
E x y
x >
，则


,
AE
x y
=
r
，


,
2
DE
x y
=
-
r
，
因为AE
DE
^
，所以
2
2
2
0
AE DE
x
y
y
=
+
-
=
r r
g
，
所以点E 的轨迹方程为




2
2
1
1
0
x
y
x
+
-
=
>
，
直线AF 方程为
4
3
y
x
=
，
联立


2
2
1
1
4
3
x
y
y
x
ì
+
-
=
ïí
=
ïî
，解得
24
25
32
25
x
y
ì =
ïïí
ï
=
ïî
或
0
0
x
y
=
=
ì
í
î
（舍去），
所以当A ，E ，F 三点共线时，
24 32
,
25 25
E æ
ö
ç
÷
è
ø ，
此时直线DE 方程为
3
2
4
y
x
= -
+
，
令
2
x =
，解得
1
2
y =
，所以
1
2, 2
Gæ
ö
ç
÷
è
ø ，
设


cos ,1 sin
E
q
q
+
，其中
π π
,
2 2
q
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
则
3
cos ,1 sin
2
EF
q
q
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
r
，
1
2
cos ,
sin
2
EG
q
q
æ
ö
=
-
-
-
ç
÷
è
ø
r
，
所以
2
2
7
1
1
3
cos
cos
sin
sin
2
2
2
EF EG
q
q
q
q
×
=
-
+
-
-
+
r r


7
7
1
7
5 2
cos
sin
cos
2
2
2
2
2
q
q
q
j
=
-
-
=
-
-
，
其中
7 2
cos
10
j =
，
2
sin
10
j =
，
所以当


cos
1
q
j
-
= ，即
7 2
cos
10
q =
，
2
sin
10
q =
时，EF EG
×
r r
取得最小值，最小值为7
5 2
2
-
.
24．（2026·湖北·二模）如图，
ABC
V
是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角
形，若
8
AD =
，
4
BD =
，点M 为线段CE 上的动点，则(
)
AM
BC
MD
-
×
r
r
r
的最大值为（   ）
A．64
9
B．21
C．24
D．40
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得
60
FDE
DEF
EFD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，所以
120
CFB
AEC
BDA
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
又因为
8
AD =
，
4
BD =
，所以
8
BF
CE
AD
=
=
=
，
4
BD
DF
CF
EF
AE
DE
=
=
=
=
=
=
，
设
(0
1)
EM
EC
l
l
=
£
£
r
r
，则
(1
)
MC
EC
l
=
-
r
r
，所以
2
MD
ME
ED
ED
EC
ED
EF
l
l
=
+
=
-
=
-
r
r
r
r
r
r
r
，
(
)
2(
1)
2
AM
BC
AC
CM
AC
AB
CM
AB
EF
ED
DF
l
-
=
+
-
-
=
+
=
-
+
-
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，
所以(
)
[2(
1)
2
] (
2
)
AM
BC
MD
EF
ED
DF
ED
EF
l
l
-
×
=
-
+
-
×
-
r
r
r
r
r
r
r
r
2
2
4 (
1)
2(
1)
4
2
2
EF
ED EF
EF ED
ED
DF EF
DF ED
l l
l
l
l
= -
-
+
-
×
-
×
+
+
×
-
×
r
r r
r r
r
r r
r r
64 (
1)
16(
1)
32
32 16
8
l l
l
l
l
= -
-
+
-
-
+
+
+
2
2
1
64
64
24
64
40
2
l
l
l
æ
ö
= -
+
+
= -
-
+
ç
÷
è
ø
令
2
1
( )
64
40
2
f l
l
æ
ö
= -
-
+
ç
÷
è
ø
，在
1
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，在1 ,1
2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，
故(
)
AM
BC
MD
-
×
r
r
r
最大值为40，
故选：D．
25．（2026·湖南·模拟预测）如图，Rt
ABC
△
中，
90 ,
6
BAC
AB
Ð
=
°
=
，D 为AC 边靠近C 的三等分点，G
为BC 中点，过D 作AC 垂线交BC 于点E ，AG
BD
F
=
I
，若
4
FE AC
×
=
r r
，则AC =
r
（   ）
A．15
B．4
C．2 3
D．8
【答案】A
【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用
,
BA AC
r r
表示FE
r ，再利用数量积运算律求解.
【详解】由D 为AC 边靠近C 的三等分点，得


2
2
1
2
3
3
3
3
BD
BA
AD
BA
AC
BA
BC
BA
BA
BC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，
不妨设BF
BA
BG
l
m
=
+
r
r
r
，由
,
,
F A G 三点共线得
1
l
m
+
= ，
设BF
tBD
=
r
r ，则
2
BD
BA
BC
t
t
l
m
=
+
r
r
r
，
又
,
BA BC
uur uuur
不共线，则有
1
2
,
3 2
3
t
t
l
m
=
=
，
即
4
1
3
3
t
t
+
= ，解得
3
5
t =
，即
1
4
1
2
5
5
5
5
BF
BA
BG
BA
BC
=
+
=
+
r
r
r
r
r
，
由
,
90
DE
AC
BAC
^
Ð
=
°，得
/ /
DE
AB ，因
2
3
AD
AC
=
，
2
3
BE
BC
=
，
因此
2
1
2
1
4
(
)
3
5
5
5
15
FE
BE
BF
BC
BA
BC
BA
BC
=
-
=
-
+
= -
+
r
r
r
r
r
r
r
r
1
4
1
4
(
)
5
15
5
15
AB
AC
AB
AB
AC
=
+
-
= -
+
r
r
r
r
r
，
因
2
1
4
4
4
5
15
15
FE AC
BA
AC
AC
AC
æ
ö
×
= -
+
×
=
=
ç
÷
è
ø
r r
r
r
r
r
，
所以
15
AC =
r
.
26．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形ABCD 中，
4
AB =
，
2 2
BC =
，
4
BAD
p
Ð
=
，点P
Q
，
在四
边形ABCD 所在平面上，且满足
1
BP =
r
，2AQ
QP
=
r
r
，则DP DQ
×
r r
的最大值为（   ）
A．1
3
B．3
C．17
3
D．19
3
【答案】C
【详解】以点A 为原点建立如图所示直角坐标系，
因为
4
AB =
，
2 2
BC =
，
4
BAD
p
Ð
=
，
所以
(
,
),
(
, ),
(
,
)
B
D
C
2 2 2 2
2 2 0
4 2 2 2 ，
因为
1
BP =
r
，所以点P 在以
(2 2,2 2)
B
为圆心，半径为1 的圆上，
设点
(
cos ,
sin
),
( , )
P
Q x y
+
a
+
a
2 2
2 2
，
因为2AQ
QP
=
r
r
，所以( , )
(
cos
,
sin
)
x y
x
y
=
+
a -
+
a -
2
2 2
2 2
，
所以
2
2 2
cos
2
2 2
sin
x
x
y
y
a
a
ì
=
+
-
ïí
=
+
-
ïî
，解得
2 2
cos
3
2 2
sin
3
x
y
a
a
ì
+
=
ïïí
+
ï
=
ïî
，
所以
cos
sin
(
,
)
Q
+
a
+
a
2 2
2 2
3
3
，
所以
cos
4 2 2 2
sin
(cos ,2 2
sin
) (
,
)
3
3
DP DQ
-
+
×
=
+
×
r r
a
a
a
a
2
2
cos
4 2 cos
8
sin
4 2 sin
9
4 2 cos
4 2 sin
3
3
3
-
+
+
-
+
=
+
=
a
a
a
a
a
a
8
3
sin(
)
3
4
=
+
- p
a
，
所以当
4
2
p
p
a -
=
时，
8
3
sin(
)
3
4
+
- p
a
取得最大值为
8
17
3
3
3
+
=
.
题型05  等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
基本不等式求最值（条件变
形）
将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”代换，
利用基本不等式求最大值。
2
不等式性质判断正误
利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的方
法逐项判断。
3
基本不等式求最值（直接应
用）
将目标式变形为“和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最小值。
4
基本不等式求最值（构造一
元二次不等式）
由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不等
式，解不等式求最小值。
5
基本不等式求最值
基本不等式求最值的直接应用
6
不等式性质与充分必要条
件
对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、必
要条件的定义进行判断。
7
基本不等式求最值（构造函
数）
观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结合
基本不等式求最值。
8
基本不等式求最值（转化为
一元二次不等式）
由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关于目
标式的不等式，解不等式求最小值。
9
基本不等式与充分必要条
件
利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。
10
基本不等式求最值（等差中
项）
由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不等
式求最小值。
11
基本不等式求最值（正态分
布结合“1”的代换）
利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定值”的
式子，用基本不等式求最小值。
12
不等式性质判断（作差法、
函数单调性）
利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。
13
不等式性质判断（构造函
数）
根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，其
他选项通过举反例排除。
14
不等式性质判断（多选题）
利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。
15
基本不等式求最值（多选
题）
对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件是
否一致。
16
不等式性质与构造函数（多
选题）
利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调性，
从而分析其他选项。
1．（2026·福建泉州·二模）已知正数,a b 满足
2
1
a
b
+
= ，则a
b 的最大值为（   ）
A．1
8
B．1
4
C．
2
4
D．
1
2
【答案】A
【分析】由题设可得1
1
2
a
b
-
=
，0
1
a
<
< ，进而得到


1
2
a
a
a
b
-
=
，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意，,a b 为正数，且
2
1
a
b
+
= ，则1
1
2
a
b
-
=
，即0
1
a
<
< ，
所以


2
1
1
1
2
2
2
8
a
a
a
a
a
b
+ -
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
=
£
=
，
当且仅当
1
a
a

，即
1
2
a =
时等号成立，
则a
b 的最大值为1
8 .
故选：A
2．（2026·北京密云·一模）已知, ,
a b cÎR ，则下列结论中不正确的是（    ）
A．若
,
0
a
b c
>
<
，则a
c
b
c
+
<
+
B．若
3
3
a
b
>
，则a
b
>
C．若
2
2
ac
bc
>
，则a
b
>
D．若
a
b
<
，则a
b
<
【答案】A
【详解】对于A，因为a
b
> ，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，
a
c
b
c
+
>
+ ，故A 错.
对于B，因为函数
3
y
x
=
在R 上单调递增，
3
3
a
b
>
，所以a
b
> ，故B 正确
对于C， 已知
2
2
ac
bc
>
且
2
0
c ³
，说明
0
c ¹
，那么
2
0
c >
，不等式两边同除以
2c ，不等式方向不变，所以
a
b
> ，故C 正确.
对于D，已知
a
b
<
，所以
0,
0
a
b
³
³
，因为函数y
x
=
在

0, ¥
+
上单调递增，所以a
b
<
，故D 正确.
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若,
0
a b >
，则
2
4
1
a
b
b
a
+
+
的最小值为（    ）
A．2
B．2 2
C．4
D．3 2
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】
2
2
4
1
4
1
1
1
2
4
2 4
4
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
a
a
+
+
³
×
+
=
+
³
×
=
，
当且仅当
2
4
1
4
a
b
b
a
a
ì =
ïïí
ï
=
ïî
，即
1 ,
1
2
a
b
=
= 时取等号.
目标式最小值为4.
4．（2026·河北张家口·一模）已知实数
1
2
x >
，
1
y > ，且满足2
2
3
0
xy
x
y
-
-
-
=
，则2x
y
+
的最小值为（    ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果.
【详解】由2
2
3
0
xy
x
y
-
-
-
=
可得2
2
3
xy
x
y
=
+
+ ，
因为实数
1
2
x >
，
1
y > ，所以
2
2
2
2
x
y
xy
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，
因此可得
2
2
2
3
2
x
y
x
y
+
æ
ö
+
+
£ ç
÷
è
ø
，即



2
2
4 2
12
0
x
y
x
y
+
-
+
-
³
，
解得2
6
x
y
+
³
或2
2
x
y
+
£ - （舍），
当且仅当2x
y
=
时，即
3 ,
3
2
x
y
=
=
时，等号成立,
所以2x
y
+
的最小值为6.
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
,
0
a
b b
³
>
且
15
ab
a
b
=
+
+
，则ab 的最小值是（   ）
A．3
B．9
C．5
D．25
【答案】D
【详解】因为
0,
0
a
b
³
>
，所以
2
a
b
ab
+
³
，当且仅当a
b
=
时，等号成立，
所以



15
2
15
2
15
5
3
0
ab
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
=
+
+
³
+
Þ
-
-
=
-
+
³
，
解得
5
25
ab
ab
³
Þ
³
，当且仅当
5
a
b
=
=
时等号成立，所以ab 的最小值为25．
6．（2026·北京平谷·一模）若,
R
a bÎ
，则“
0
a
b
>
>
”是“ b
a
a
b
<
”的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对b
a
a
b
<
移项通分：
2
2
(
)(
)
0
b
a
b
a
b
a a
b
a
b
ab
ab
-
-
+
-
=
=
<
，
若
0
a
b
>
>
，则
0,
0,
0
b
a
a
b
ab
-
<
+
>
>
，因此(
)(
)
0
b
a a
b
ab
-
+
<
，即b
a
a
b
<
一定成立，充分性成立；
若b
a
a
b
<
，不一定能推出
0
a
b
>
>
，
举例：取
1,
2
a
b
=
= - ，满足
1
2
2
b
a
a
b
= - < -
=
，但不满足
0
a
b
>
>
，因此必要性不成立；
综上，“
0
a
b
>
>
”是“ b
a
a
b
<
”的充分不必要条件.
7．（2026·湖南永州·一模）若实数
0,
0
x
y
>
<
，且满足


2
2
1
1
1
x
x
y
y
+
+
+
+
= ，则
2
1
x
y
+ -
的最小值为
（    ）
A．
2
1
+
B．2 2
1
-
C．2
D．1
【答案】B
【分析】构造函数

2
1
f x
x
x
=
+
+ 利用其单调性结合条件等式得出x
y
= -
结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意实数
0,
0
x
y
>
<
，满足


2
2
1
1
1
x
x
y
y
+
+
+
+
= ，
2
2
2
1
1
1
1
x
x
y
y
y
y
\ +
+ =
= - +
+
+
+
，
而函数

2
1
f x
x
x
=
+
+ 在R 上单调递增，
所以



2
,
,
1
f x
f
y
x
y
x
y
=
-
\
= -
\ +
=
-


2
2
1
1
2 2
1
1
1
x
x
x
x
+
=
+
+
- ³
-
+
+
，
当且仅当
2
1
x =
- 时等号成立．
故选：B
8．（2026·湖南·模拟预测）若,
0
a b >
，且
4
ab
a
b
=
+
+ ，则a
b
+
的最小值为（   ）
A．12
B．16
C．2
2 5
+
D．41
2
【答案】C
【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.
【详解】因为
2
2
a
b
ab
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，
4
ab
a
b
=
+
+
，所以
2
4
2
a
b
a
b
+
æ
ö ³
+
+
ç
÷
è
ø
，
令
,
0
t
a
b t
=
+
>
，所以
2
4
16
0
t
t
-
-
³
，解得
2
2 5
t £
-
（舍去）或
2
2 5
t ³
+
，
即
2
2 5
a
b
+
³
+
，当且仅当
1
5
a
b
=
= +
时取等号，
所以a
b
+
的最小值为2
2 5
+
．
9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“
0,
0
a
b
>
>
”是“
2
a
b
ab
+
£
”的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可判断选项.
【详解】若
0,
0
a
b
>
>
，根据基本不等式可得
2
a
b
ab
+
£
，当且仅当a
b
=
时等号成立，所以由
0,
0
a
b
>
>
可得
2
a
b
ab
+
£
成立，
若
2
a
b
ab
+
£
，取
0
a
b
=
=
，满足
2
a
b
ab
+
£
，但不满足
0,
0
a
b
>
>
，所以由
2
a
b
ab
+
£
推不出
0,
0
a
b
>
>
，
所以“
0,
0
a
b
>
>
”是“
2
a
b
ab
+
£
”的充分不必要条件，
故选：A
10．（2026·江苏南京·三模）已知正数a ，b ，c 成等差数列，则1
4
b
a
c
+
+
的最小值为（    ）
A．3 2
B．2
2
C．6
D．4
【答案】A
【详解】由题意可知
2
a
c
b
+
=
，即
1
2
a
c
b
+
= ，则1
4
1
4
1
4
1
4
2
2
a
c
c
a
a
c
a
c
b
b
a
c
+
æ
ö
æ
ö
+
=
+
×
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
由基本不等式可知
4
4
2
4
c
a
c
a
a
c
a
c
+
³
×
=
，当且仅当
4
c
a
a
c
=
时，即
4
2
3
b
c
a
=
=
时取等号，
则1
4
9
5
2
2
c
a
b
a
c
b
æ
ö
+
+
³
ç
÷
è
ø
，所以1
4
9
9
2
3 2
2
2
b
b
b
a
c
b
b
+
+
³
+
³
×
=
，当且仅当
9
2
b
b

，即
3 2
2
b =
时取等号，
综上所述，当
3 2
2,
,
2 2
2
a
b
c



时，1
4
b
a
c
+
+
取得最小值3 2 .
11．（2026·山东东营·一模）已知随机变量


2
2,
N
z
s
~
，且



0
P
P
a
z
z
£
=
³
， 则当0
x
a
<
<
时， 1
4
x
a
x
+
-
的最小值为（    ）
A．7
3
B．5
2
C．5
4
D．9
4
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】根据题意，随机变量


2
2,
N
z
s
~
，且



0
P
P
a
z
z
£
=
³
，则有0
2
2
a
+
=
，解得
4
a =
.由
0
x
a
<
<
，即0
4
x
<
<
，
所以


1
4
1
4
1
1
4
1
4
4
1
4
4
9
4
5
5
2
4
4
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
-
-
æ
ö
æ
ö
é
ù
+
=
+
=
+
-
+
=
+
+
³
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ë
û
ç
÷
-
-
-
-
-
è
ø
è
ø
è
ø
，当且
仅当4
4
4
x
x
x
x
-
=
-
，即
4
3
x =
时取等号.
12．（2026·山东日照·一模）已知ln
ln
0
0
>
>
>
a
b
c
，
，则（    ）
A．2
2
a
b
<
B．b
c
b
a
c
a
+
<
+
C．
2
a
b
ab
+
<
D．
1
ab
a
b
+ >
+
【答案】D
【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD.
【详解】由ln
ln
0
a
b
>
>
可得
1
a
b
>
> ，
对于A，由于
1
a
b
>
> ，函数
2x
y =
为单调递增函数，故 2
2
a
b
>
，故A 错误，
对于B， 




c a
b
b
c
b
a
c
a
a a
c
-
+
-
=
+
+
，由于
1
a
b
>
> ，
0
c >
，故

0,
c a
b
-
>


0
a a
c
+
>
，
故



0
c a
b
a a
c
-
>
+
，则b
c
b
a
c
a
+
>
+
，故B 错误，
对于C，由于
1
a
b
>
> ，故 
2
a
b
ab
+
>
，故C 错误，
对于D， 





1
1
1
ab
a
b
a
b
+ -
+
=
-
-
，由于
1
a
b
>
> ，得


1
1
0
a
b
-
-
>
，故
1
ab
a
b
+ >
+
.
13．（2026·北京延庆·一模）已知,
R
a bÎ
，且a
b
> ，则下列不等式恒成立的是（    ）．
A．
2
a
b
ab
+
³
B．
2
2
1
1
1
1
a
b
>
+
+
C．对任意
R
cÎ
，
2
2
ac
bc
>
D．e
e
a
b
>
【答案】D
【详解】对A：当
1
a = ，
1
b = - 时，不等式
2
a
b
ab
+
³
不能成立；
对B：当
1
a = ，
1
b = - 时，不等式
2
2
1
1
1
1
a
b
>
+
+ 不能成立；
对C：当
0
c =
时，不等式
2
2
ac
bc
>
不能成立；
对D：因为e
1
> ，所以函数
ex
y =
在R 上单调递增，又a
b
> ，所以e
e
a
b
>
恒成立.故D 正确.
多选题
14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若6
2
a =
，6
3
b =
，则下列判断正确的是（    ）
A．
1
a
b
+
=
B．
1
4
ab <
C．
2
2
1
2
+
<
a
b
D．
1
2
b <
【答案】AB
【详解】对于选项A，因为6
2
a =
，6
3
b =
，所以
6
6
6
log 2
log 3
log 6
1
a
b
+
=
+
=
= ，故A 正确；
对于选项B，由
1
2
a
b
ab
+
= ³
可得
1
4
ab £
（又a
b
¹
，等号不成立），所以
1
4
ab <
，故B 正确；
对于选项C，由


2
2
2
2
1
2
a
b
a
b
ab
ab
+
=
+
-
= -
，由
1
4
ab <
，可得
2
2
1
1
1 2
4
2
a
b
+
> - ´
=
，所以
2
2
1
2
a
b
+
>
，故C
错误；
对于选项D，因为3
6
>
，所以
1
2
6
6
6
1
log 3
log
6
log 6
2
b =
>
=
=
，故D 错误.
15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
0
a >
，
0
b >
，且
2
1
a
b
+
= ，则下列说法正确的有（   ）
A．ab 的最大值为1
8
B．1
a
a
b
+
的最小值为2 2
C．
2
a
b
+
的最大值为2
D．2
4
a
b
+
的最小值为4
【答案】AC
【分析】选项A，由
2
1
a
b
+
= ，
0
a >
，
0
b >
，直接利用基本不等式求出ab 的范围，从而得到ab 的最大值；
选项B，将所求1
a
a
b
+
的1
a 的分子1转化为
2
+
a
b ，利用基本不等式求解即可；选项C，设
2
t
a
b
=
+
，则
2
2 2
2
2 2
1
t
a
ab
b
ab
=
+
+
=
+ ，由1
2 2ab
³
得到
2
2
t £
从而得到t 的范围，即可得到
2
a
b
+
的最大值；
选项D，将所求2
4
a
b
+
的4b 转化为
2
2 b ，利用基本不等式求解即可.
【详解】选项A，
2
1
a
b
+
=
Q
，
0
a >
，
0
b >
，
1
2
2 2
a
b
ab
\ =
+
³
，
1
8
ab
\
£
，当且仅当
2
a
b
=
，即
1
1
,
2
4
a
b
=
=
时，等号成立；
故ab 的最大值为1
8 ，故选项A 正确；
选项B，
2
1
a
b
+
=
Q
，
1
2
2
2
1
1
2
1
2 2
a
a
b
a
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a
b
+
\
+
=
+
= +
+
³ +
×
= +
，
当且仅当2b
a
a
b
=
时，即
2
2
1,
1
2
a
b
=
-
= -
时，等号成立，
故1
a
a
b
+
的最小值为1
2 2
+
，故选项B 错误；
选项C，设
2
t
a
b
=
+
，则
2
2 2
2
t
a
ab
b
=
+
+
，
2
1
a
b
+
=
Q
，
2
2 2
2
2 2
1
t
a
ab
b
ab
=
+
+
=
+ ，
1
2 2ab
³
Q
，
2
2 2
1 1 1
2
t
ab
=
+ £ + =
，
2
t
\ £
，
当且仅当
2
a
b
=
，即
1
1
,
2
4
a
b
=
=
时，等号成立，
故
2
a
b
+
的最大值为2 ，故选项C 正确；
选项D，
2
1
a
b
+
=
Q
，
2
2
2
2
4
2
2
2 2
2
2 2
2 2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
\
+
=
+
³
×
=
=
，
当且仅当
2
a
b
=
，即
1
1
,
2
4
a
b
=
=
时，等号成立，
故2
4
a
b
+
的最小值为2 2 ，故选项D 错误.
故选：AC.
16．（2026·山东烟台·一模）若
0
0
1
a
b
a
b
>
>
+
=
，
，
，则（   ）
A．
1
4
ab £
B．
1
a
b
+
£
C．
ln
0
a
b
+
<
D．e
2
a
b
+
<
【答案】AC
【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D.
【详解】对于A 项，因
0
a >
，
0
b >
，且
1
a
b
+
= ，则有
2
1
(
)
2
4
a
b
ab
+
£
=
，
当且仅当
1
2
a
b
=
=
时取“=”，A 正确；
对于B 项，因
0
a >
，
0
b >
，且
1
a
b
+
= ，则

2
1
2
1
2
1
2
2
4
a
b
a
b
ab
ab
+
=
+
+
= +
£ +
=
,
得
2
a
b
+
£
，则B 错误； 
对于C 项，因
0
a >
，
0
b >
，且
1
a
b
+
= ，则
1
a
b
= - ，
得
ln
1
ln
+
= -
+
a
b
b
b ，0
1
b
<
< ，
设
( )
1
ln
f x
x
x
= -
+
，0
1
x
<
< ，
得
1
1
( )
1
0
-
¢
= - +
=
>
x
f
x
x
x
，得函数
( )
f x 在

0,1 上单调递增，
得
( )
(1)
0
f x
f
<
=
，得1
ln
0
x
x
-
+
<
，
即1
ln
0
b
b
-
+
<
，得
ln
0
a
b
+
<
，故C 正确；
对于D 项，e
2
e
1
2
e
1,0
1
+
-
=
+ -
-
=
-
-
<
<
a
a
a
b
a
a
a
，
令( )
e
1,0
1
=
-
-
<
<
x
g x
x
x
，
得
( )
e
1
0
x
g x
¢
=
- >
，得函数( )
g x 在

0,1 上单调递增，
得( )
(0)
0
g x
g
>
=
，得e
1
0
x
x
-
- >
，即e
2
a
b
+
>
，故D 项错误.
题型06  三角函数与诱导公式11 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
弧长公式与圆锥
几何
利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥表
面积公式，求解底面半径。
2
弧长与圆心角关
系（地理问题）
由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比例
关系，用两地距离估算地球周长。
3
三角函数符号与
充分必要条件
根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分必
要条件的定义进行推理。
4
同角关系与两角
差公式求角
先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意根
据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。
5
同角关系求值
（弦化切）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正弦
余弦乘积的关系，代入求解。
6
同角关系求值
（平方关系）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的
四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。
7
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
8
二倍角公式与弦
化切
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
9
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
10
三角函数求值与
充分必要条件
根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由结
论能否推出条件，从而确定充分必要性。
11
诱导公式与弦化
切
先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余弦，
化为只含正切的形式，代入求解。
1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
（    ）
A．
2
2
B．
3
3
C．
1
2
D．1
【答案】B
【分析】设底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是一个半圆，可得
2
l
r
=
，代入表面积公式，结合条
件，即可得答案.
【详解】设底面半径为r，母线长为l，
由侧面展开图是一个半圆，得
π
2π
l
r
×
=
，解得
2
l
r
=
，
则侧面展开图的面积
2
1
2π
π
2π
2
S
r
l
rl
r
¢ =
´
´ =
=
，
所以圆锥的表面积
2
2
2
π
2π
3π
π
S
r
r
r
=
+
=
=
，解得
3
3
r =
.
2．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中
得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在
夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色
尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，
平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那
么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ）
A．40000km
B．41000km
C．42000km
D．43000km
【答案】B
【分析】根据整个圆周为360°，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可.
【详解】由平行线内错角相等，得
7
AOB
Ð
= °，
由题意可知，两地距离大约800km 则弧长
800km
AB =
，
所以圆周长
360
800
41142.9km
7
C =
´
»
，
所以估算得出的地球周长最接近的为41000km．
3．（2026·湖南·模拟预测）“sin
0
q >
”是“q 为第二象限角”的（   ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】若sin
0
q >
，则q 为第一象限、第二象限角或终边在y 轴正半轴上；
若q 为第二象限角，则sin
0
q >
，
所以“sin
0
q >
”是“q 为第二象限角”的必要不充分条件．
4．（2026·河南·模拟预测）若π
2π,tan
2
a
a
<
<
=
，则cos
sin
a
a
-
＝（   ）
A．
5
5
-
B．
3 5
5
-
C．3 5
5
D．
5
5
【答案】D
【详解】因为tan
2
a =
，所以sin
2
cos
a
a =
，所以
1
cos
sin
2
a
a
=
，因为
2
2
sin
cos
1
a
a
+
= ，
所以
2
2
1
sin
sin
1
4
a
a
+
= ，解得
2 5
sin
5
a = ±
.
又π
2π
a
<
<
，所以
2 5
sin
5
a = -
，
1
2 5
5
cos
2
5
5
a
æ
ö
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
所以
5
2 5
5
cos
sin
5
5
5
a
a
æ
ö
-
= -
- -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
5．（2026·四川德阳·二模）若1
tan
3
1
tan
3
q
q
-
=
+
，则
4
4
sin
cos
q
q
-
＝（   ）
A．
1
2
-
B．
1
2
C．
3
2
-
D．
3
2
【答案】C
【分析】由条件关系求出tanq ，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得
2
4
4
2
tan
1
sin
cos
tan
1
q
q
q
q
-
-
=
+
，
由此可求结论.
【详解】因为1
tan
3
1
tan
3
q
q
-
=
+
，
所以 3(1
tan )
3(1
tan )
q
q
-
=
+
故 
3
3
tan
2
3
3
3
q
-
=
=
-
+
，
因为



2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
tan
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
tan
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
-
-
-
=
-
+
=
-
=
=
+
+
，
又
2
2
tan
(2
3)
7
4 3
q =
-
=
-
，
所以














4
4
7
4 3
1
2 3
2 3
3
3
2
6
4 3
3
2 3
3
sin
cos
2
8
4 3
7
4 3
1
4 2
3
2 2
3
2
3
2
q
q
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
=
= -
-
-
+
-
-
-
-
.
6．（2026·甘肃·一模）已知
π
3
sin
4
5
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则tan x 的值为（    ）
A．7
-
B．
4
3
±
C．7
±
D．7
- 或
1
7
-
【答案】D
【分析】应用三角恒等变换及平方关系得
7
sin cos
50
x
x = -
，再应用齐次式及化弦为切求tan x .
【详解】由
π
2
3
3
sin
(sin
cos )
sin
cos
2
4
2
5
5
x
x
x
x
x
æ
ö
+
=
+
=
Þ
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
18
(sin
cos )
sin
2sin
cos
cos
25
x
x
x
x
x
x
+
=
+
+
=
，可得
7
sin cos
50
x
x = -
，
所以
2
2
2
sin
cos
tan
7
sin
cos
tan
1
50
x
x
x
x
x
x
=
= -
+
+
，则
2
7 tan
50tan
7
0
x
x
+
+
=
，
所以
1
(7 tan
1)(tan
7)
0
tan
7
x
x
x
+
+
=
Þ
= -
或tan
7
x = - ，经验证，均满足题设.
7．（2026·陕西商洛·二模）已知
5π
3
0
π
sin
2
3
a
a
æ
ö
<
<
-
=
ç
÷
è
ø
，
，则
2
sin
sin cos
a
a
a
-
= （     ）
A．1
3
B．2
2
3
-
C．2
2 2
3
+
D．2
3
【答案】B
【详解】因为
5π
3
sin
2
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，可得
3
cos
3
a =
．又0
π
a
<
<
，
所以
2
6
sin
1 cos
3
a
a
=
-
=
，所以
sin
tan
2
cos
a
a
a
=
=
．
所以
2
2
2
2
2
2
sin
sin cos
tan
tan
2
2
2
2
sin
sin cos
sin
cos
tan
1
2 1
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
=
=
=
+
+
+
．
8．（2026·广东汕头·一模）已知tan
2
q =
，则sin
sin cos2
cos
q
q
q
q
+
的值是（    ）
A．
1
5
-
B．2
5
C．
5
5
-
D．4
5
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含tanq 的形式，再代入已知条件计算.
【详解】
2
sin
sin
cos2
sin (1 cos2 )
sin
2cos
2sin
cos
cos
cos
cos
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
+
+
×
=
=
=
，
2
2
2
2
2
2
sin
2
2sin
cos
2tan
2 2
4
cos
2sin
cos
sin
sin
cos
1
tan
1
2
5
1
cos
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
´
=
=
=
=
=
+
+
+
+
9．（2026·湖北黄冈·一模）若sin100
a
° =
，则cos160° = （   ）
A．
2
2
1
a -
B．
2
1
2a
-
C．
2
1 a
-
D．
2
1
a -
【答案】B
【详解】利用诱导公式 ，得： 


sin100
sin 180
80
sin80
a =
=
-
=
o
o
o
o ，
故利用二倍角公式，得： 


2
2
cos160
cos 2 80
1
2sin 80
1
2a
=
´
= -
= -
o
o
o
.
10．（2026·山东滨州·一模）已知


0,π
a Î
，则“


1
sin π
2
a
-
=
”是“
3
cos
2
a =
”的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若


1
sin π
2
a
-
=
，则
1
sin
2
a =
，又


0,π
a Î
，所以
π
6
a =
或
5π
6
a =
，则
3
cos
2
a = ±
，
所以当


0,π
a Î
时，“


1
sin π
2
a
-
=
”推不出“
3
cos
2
a =
”；
若
3
cos
2
a =
，


0,π
a Î
，则
π
6
a =
，可得
1
sin
2
a =
，则


1
sin π
sin
2
a
a
-
=
=
，
所以当


0,π
a Î
时，“
3
cos
2
a =
”可以推出


1
sin π
2
a
-
=
.
综上，“


1
sin π
2
a
-
=
”是“
3
cos
2
a =
”的必要不充分条件.
11．（2025·山东烟台·一模）已知tan
2
a = - ，则


π
cos 2
3π
sin π
sin
2
a
a
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
-
-
-
ç
÷
è
ø
（   ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．2
-
D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为tan
2
a = - ，则


π
cos
sin
tan
2
2
2
3π
sin
cos
tan
1
2 1
sin π
sin
2
a
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
+
ç
÷
-
-
è
ø
=
= -
= -
= -
+
+
- +
æ
ö
-
-
-
ç
÷
è
ø
.
故选：C.
题型07  三角恒等变换24 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
两角和差公式与
弦化切
将已知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正弦
与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。
2
两角差公式与同
角关系
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的
余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。
3
两角和差公式与
弦化切
将已知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余弦
与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。
4
和差化积公式
将已知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的余
弦值。
5
两角和公式与角
范围确定
先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，从
而确定角的具体值。
6
两角差公式与同
角关系
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的
余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。
7
平方关系求二倍
角
将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦值。
8
同角关系与符号
判断
将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象
限，再通过构造齐次方程求解正切值。
9
同角关系求值（平
方关系）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦
的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。
10
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
11
三角恒等变换求
周期
利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据周
期公式求出最小正周期。
12
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
13
同角关系与两角
和正切公式
先由已知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正切
公式求解。
14
同角关系与象限
符号
由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角所
在的象限确定符号。
15
三角方程与零点
个数
先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内求
出所有解，统计解的个数。
16
和差化积与半角
公式
将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再转
化为半角正切形式求解。
17
同角关系与符号
判断
将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象
限，再通过构造齐次方程求解正切值。
18
诱导公式与弦化
切
先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，化
为只含正切的形式，代入求解。
19
两角差公式求角
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的
余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求出余弦值，进而确定角。
20
基本不等式求最
值
将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切之
积的不等式，求解最大值。
21
和差化积与两角
和差公式（多选
题）
将已知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角和
的正弦，再结合角范围判断各选项。
22
两角差公式与同
角关系（多选题）
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的
余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。
23
两角差公式与同
角关系（多选题）
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的
余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。
24
三角函数单调性
与不等式（多选
题）
利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及已知
条件，逐项分析判断不等式是否成立。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知


1
sin
3
a
b
+
=
，


1
sin
9
a
b
-
=
则tan
tan
a
b = （   ）
A．1
3
B．3
C．
1
2
D．2
【答案】D
【详解】


1
sin
3
a
b
+
=
Q
，


1
sin
9
a
b
-
=
，
1
sin cos
cos sin
3
a
b
a
b
\
+
=
①， 
1
sin cos
cos sin
9
a
b
a
b
-
=
②，
\①+②化简得：
2
sin cos
9
a
b =
，
①-②化简得：
1
cos sin
9
a
b =
，
两式相除得
sin
2
tan
sin cos
cos
9
2
sin
1
tan
cos sin
cos
9
a
a
a
b
a
b
b
a
b
b
=
=
=
=
．
2．（2026·山西大同·一模）已知cos
2sin
1
3cos
4sin
a
a
a
a
+
= -
-
，则
π
tan 2
4
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（    ）
A．3
-
B．
1
3
-
C．
1
7
-
D．7
-
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系求出tan
2
a =
，再根据三角恒等变换即可求出答案.
【详解】因为cos
2sin
1
3cos
4sin
a
a
a
a
+
= -
-
，
所以1
2tan
1
3
4tan
a
a
+
= -
-
，所以tan
2
a =
，
所以
2
2tan
4
tan2
1
tan
3
a
a
a
=
= -
-
，
所以
4
1
π
tan2
1
1
3
tan 2
4
4
1
tan2
7
1
3
a
a
a
-
+
+
æ
ö
+
=
=
= -
ç
÷
-
è
ø
+
.
3．（2026·江西·一模）已知


1
1
sin
sin cos
2
6
-
=
=
a
b
b
a
，
，则


cos 2
2
a
b
+
=（   ）
A．7
18
B．
7
18
-
C．7
9
D．
7
9
-
【答案】B
【详解】由


1
1
sin
sin cos
cos sin
sin cos
2
6
-
=
-
=
=
a
b
a
b
a
b
b
a
，
，可得
2
sin cos
3
a
b =
，所以


5
sin
sin cos
cos sin
6
a
b
a
b
a
b
+
=
+
=
，
所以




2
2
5
7
cos 2
2
1
2sin
1
2
6
18
æ
ö
+
= -
+
= - ´
= -
ç
÷
è
ø
a
b
a
b
．
4．（2026·广东深圳·一模）已知
4
cos
5
q =
，
π
0, 2
q
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
，则
π
sin
4
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（   ）
A．
2
5
-
B．
2
10
-
C．
2
10
D．
2
5
【答案】B
【详解】由于
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，则
2
3
sin
1 cos
5
q
q
=
-
=
，
于是
π
π
π
2
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
10
q
q
q
æ
ö
-
=
-
= -
ç
÷
è
ø
.
5．（2026·四川内江·二模）已知
π
3
sin 4
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，


0,π
a Î
，则sin2a = （   ）
A．24
25
B．7
25
C．
24
25
-
D．
7
25
-
【答案】B
【详解】因为
π
3
sin 4
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，所以
2
π
π
9
7
cos2
1 2sin
1 2
4
4
25
25
a
a
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
= - ´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又
π
π
cos2
cos
2
sin 2
4
2
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
7
sin2
25
a =
.
6．（2026·福建福州·模拟预测）已知


1
sin
3
a
b
+
=
，tan
3tan
a
b
=
，则


sin a
b
-
= （   ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．
1
6
-
D．1
6
【答案】D
【详解】
sin
sin
tan
3tan
3
sin
cos
3sin
cos
cos
cos
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
=
Þ
=
Þ
=
，
由


1
1
1
sin
sin
cos
cos
sin
3cos
sin
cos
sin
3
3
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
Þ
+
=
Þ
+
=
1
cos
sin
12
4
1
sin
cos
a
b
a
b
Þ
=
=
Þ
，
所以


1
1
1
sin
sin
cos
cos
sin
4
12
6
a
b
a
b
a
b
-
=
-
=
-
=
.
7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
π
3
sin
cos
6
5
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
sin 2
6
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（   ）
A．16
25
B．7
25
C．
7
25
-
D．
16
25
-
【答案】C
【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得
π
3
sin
3
5
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，再结合二倍角公式求值即可．
【详解】
π
3
1
sin
cos
sin
cos
sin
6
2
2
a
a
a
a
a
æ
ö
+
+
=
+
-
ç
÷
è
ø
1
3
π
3
sin
cos
sin
2
2
3
5
a
a
a
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
则
π
π
π
π
sin 2
sin 2
cos2
6
3
2
3
a
a
a
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
= -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
2
2
2
π
π
3
7
1 2sin
2sin
1
2
1
3
3
5
25
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
-
+
=
+
- =
´
- = -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
故选：C．
8．（2026·宁夏银川·一模）已知
5π
1
sin
cos
6
3
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos 2
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（   ）
A．
7
9
-
B．
7
25
-
C．7
25
D．7
9
【答案】A
【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可.
【详解】因为
5π
π
π
π
sin
cos
sin
cos
sin
sin
6
3
2
3
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
=
+
+
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
π
π
1
3
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
3
3
2
2
a
a
a
a
a
a
æ
ö
=
-
+
=
-
-
ç
÷
è
ø
1
3
π
sin
cos
sin
2
2
3
a
a
a
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
π
1
sin
3
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
则
2
π
π
π
π
cos 2
cos 2
π
cos 2
1 2sin
3
3
3
3
a
a
a
a
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
= -
-
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
2
1
7
1 2
3
9
é
ù
æ
ö
= -
- ´
= -
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
.
9．（2026·甘肃·一模）已知
π
3
sin
4
5
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则tan x 的值为（    ）
A．7
-
B．
4
3
±
C．7
±
D．7
- 或
1
7
-
【答案】D
【分析】应用三角恒等变换及平方关系得
7
sin cos
50
x
x = -
，再应用齐次式及化弦为切求tan x .
【详解】由
π
2
3
3
sin
(sin
cos )
sin
cos
2
4
2
5
5
x
x
x
x
x
æ
ö
+
=
+
=
Þ
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
18
(sin
cos )
sin
2sin
cos
cos
25
x
x
x
x
x
x
+
=
+
+
=
，可得
7
sin cos
50
x
x = -
，
所以
2
2
2
sin
cos
tan
7
sin
cos
tan
1
50
x
x
x
x
x
x
=
= -
+
+
，则
2
7 tan
50tan
7
0
x
x
+
+
=
，
所以
1
(7 tan
1)(tan
7)
0
tan
7
x
x
x
+
+
=
Þ
= -
或tan
7
x = - ，经验证，均满足题设.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知
π
1
cos(
)
6
4
a -
=
，则
π
sin(2
)
6
a +
= （   ）
A．1
8
B．
1
8
-
C．7
8
D．
7
8
-
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到
π
π
π
sin(2
)
cos(2
)
cos[2(
)]
6
3
6
a
a
a
+
=
-
=
-
，结合余弦的倍角公
式，即可求解.
【详解】由
π
π
π
π
π
sin(2
)
cos[(2
)
]
cos(2
)
cos[2(
)]
6
6
2
3
6
a
a
a
a
+
=
+
-
=
-
=
-
2
2
π
1
7
2cos (
) 1
2 ( )
1
6
4
8
a
=
-
- =
´
- = -
.
11．（2026·广东广州·一模）函数

π
π
sin
sin
6
3
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 的最小正周期是（   ）
A．2π
B．3π
2
C．π
D．π
2
【答案】C
【详解】因为

π
π
π
π
π
sin
sin
sin
sin
6
3
6
2
6
f x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
π
π
1
π
sin
c
3
6
os
sin 2
6
2
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，所以最小正周期为
2π
π
2
T =
=
.
12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
π
3
cos
4
5
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，则sin 2x 的值为（   ）
A．
24
25
-
B．24
25
C．
7
25
-
D．7
25
【答案】C
【分析】由诱导公式可得
π
sin 2
cos 2
2
x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，再结合条件利用二倍角公式求结论.
【详解】因为
π
3
cos
4
5
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
π
π
π
3
7
sin 2
cos 2
cos 2
2cos
1
2
1
2
4
4
5
25
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
- =
- = -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
13．（2026·新疆·模拟预测）已知
π π
,
4 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
7
sin 2
9
a =
，则
π
cos
4
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（    ）
A．
2 3
3
-
B．2 3
3
C．
1
3
-
D．1
3
【答案】C
【详解】


π
π
π
2
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
4
4
4
2
a
a
a
a
a
æ
ö
+
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
.


2
2
π
1
1
cos
(cos
sin
)
1 sin 2
4
2
2
a
a
a
a
æ
ö
+
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
因为
7
sin 2
9
a =
，所以
2
π
1
7
1
cos
1
4
2
9
9
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
π π
,
4 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π 3π
,
4
2
4
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，所以
π
1
cos
4
3
a
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
.
14．（2026·云南大理·二模）已知a 是第三象限角，
2
tan
3
a =
，则cos2
=
a
（    ）
A．
5
13
-
B．5
13
C．
12
13
-
D．12
13
【答案】B
【分析】根据二倍角公式和
2
2
sin
cos
1
a
a
+
= 将cos2a 转化为只含tana 的表达式，代入求解即可．
【详解】因为
2
tan
3
a =
，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
sin
1
tan
5
3
cos2
sin
cos
tan
1
13
2
1
3
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
- ç
÷
-
-
è
ø
=
=
=
=
+
+
æ
ö +
ç
÷
è
ø
．
故选：B．
15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数

cos3
cos2
f x
x
x
=
-
在区间

π,2π
-
的零点个数为（    ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】由

5
cos3
cos2
2sin
sin
2
2
x
x
f x
x
x
=
-
= -
，


π,2π
xÎ -
，令

0
f x =
，求解x 的值，判断选项.
【详解】由

5
cos3
cos2
2sin
sin
2
2
x
x
f x
x
x
=
-
= -
，


π,2π
xÎ -
，
令

0
f x =
，则
5
2sin
sin
=0
2
2
x
x
-
，
5
sin
=0
2
x
Þ
或sin
=0
2
x
，
故
1
5
π
2
x
k
=
或
2
1
2
=
π,
,
2
x k
k k ÎZ ，即
1
2 π
5
k
x =
或
2
1
2
=2
π,
,
x
k
k k ÎZ ，
由


π,2π
xÎ -
，则
1
2 π
π
2π,
5
k
- £
£
或
2
1
2
π
2
π
2π,
,
k
k k
- £
£
ÎZ ，
即
1
1
5
5,
2
k
k
-
£
£
ÎZ 或
2
2
1
1,
2
k
k
-
£
£
ÎZ ，
故
1
2, 1,0,1,2,3,4,5
k = -
-
或
2=0,1
k
，
综上所述，存在8 个零点,即为
4π
2π
2π 4π 6π 8π
,
.0.
,
,
,
,2π
5
5
5
5
5
5
-
-
.
故选：C.
16．（2025·江西南昌·二模）已知a 、b 终边不重合，sin
3cos
sin
3cos
a
b
b
a
-
=
-
，则


tan a
b
+
=（    ）
A．3
2
B．2
3
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【分析】由
2
2
a
b
a
b
a
+
-
=
+
，
2
2
a
b
a
b
b
+
-
=
-
代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得
出tan
2
a
b
+
的值，再利用二倍角的正切公式可求得


tan a
b
+
的值.
【详解】因为sin
3cos
sin
3cos
a
b
b
a
-
=
-
，所以


sin
sin
3 cos
cos
a
b
b
a
-
=
-
，
即sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
-
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
-
+
-
+
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2cos
sin
2
2
a
b
a
b
+
-
=
，
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
+
-
+
-
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
-
+
-
+
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2sin
sin
2
2
a
b
a
b
+
-
=
，
所以，
2
2
6
co
n
s
sin
sin
si
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
-
=
，
因为a 、b 的终边不重合，则


2 π
k
k
a
b
-
¹
ÎZ ，则


π
2
k
k
a
b
-
¹
ÎZ ，
所以sin
0
2
a
b
-
¹
，则3sin
cos
2
2
a
b
a
b
+
+
=
，所以
1
tan
2
3
a
b
+
=
，
因此，


2
1
2
2tan
3
3
2
tan
1
4
1
tan
1
2
9
a
b
a
b
a
b
+
´
+
=
=
=
+
-
-
.
故选：D.
17．（2026·四川成都·二模）已知
π ,π
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，且




π
4
sin cos
sin
sin
2
5
b
a
b
b
b
a
æ
ö
-
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，则1
cos2
sin2
a
a
-
=
（   ）
A．3
4
B．
3
4
-
C．4
3
D．
4
3
-
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出sina ，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二
倍角公式求解.
【详解】因为




π
4
sin cos
sin
sin
2
5
b
a
b
b
b
a
æ
ö
-
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
化简得




4
sin cos
cos
sin
5
b
a
b
b
a
b
-
+
-
=
，
即
4
sin
5
a =
，又
π ,π
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2
3
cos
1 sin
5
a
a
= -
-
= -
，
所以
2
1 cos2
2sin
sin
4
sin2
2sin
cos
cos
3
a
a
a
a
a
a
a
-
=
=
= -
.
18．（2026·广西南宁·一模）已知
2π
1
sin 2
3
3
q
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则
2
π
cos
12
q
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ＝（   ）
A．2
3
B．1
3
C．1
9
D．2
9
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得
2
π
π
cos 2
2cos
1
6
12
q
q
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，由诱导公式可得
π
2π
cos 2
sin 2
6
3
q
q
æ
ö
æ
ö
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
结合条件可求结论.
【详解】
2
π
π
cos 2
2cos
1
6
12
q
q
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
且
π
2π
π
2π
1
cos 2
cos 2
sin 2
6
3
2
3
3
q
q
q
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
故
2
π
π
1
cos 2
2cos
1
6
12
3
q
q
æ
ö
æ
ö
+
=
+
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
2
π
2
cos
12
3
q
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
故选：A
19．（25-26 高二上·山西·开学考试）若a ，b 为锐角，
π
1
cos 4
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
π
3
cos 4
2
3
b
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，则cos
2
b
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（   ）
A．
3
3
B．
3
3
-
C．
6
9
-
D．5 3
9
【答案】D
【分析】先利用“平方关系”可得
π
sin 4
a
æ
ö
+
ç
÷
è
ø，
π
sin 4
2
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
b
，注意符号看象限，再根据变形
π
π
2
4
4
2
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
b
b
a
a
结合两角和差公式即可得出．
【详解】因为
π
0
2
a
<
<
，则π
π
3π
4
4
4
<
+
<
a
，且
π
1
cos
0
4
3
æ
ö
+
=
>
ç
÷
è
ø
a
，
可得π
π
π
4
4
2
a
<
+
<
，且
2
π
π
2 2
sin
1 cos
4
4
3
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
a
a
；
又因为
π
0
2
b
<
<
，则π
π
π
4
4
2
2
<
+
<
b
，
且
π
3
cos 4
2
3
b
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，可得
2
π
π
6
sin
1 cos
4
2
4
2
3
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
b
b
；
所以
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
sin
2
4
4
2
4
4
2
4
4
2
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
+
=
+
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
b
b
b
b
a
a
a
a
1
3
2 2
6
3
3
3
3
=
´
+
´
5 3
9
=
．
故选：D.
20．（2026·山东临沂·一模）已知锐角a ，b 满足




sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
，则


sin a
b
-
的最大值是（   ）
A．3 10
10
B．
1
2
C．10
10
D．1
3
【答案】D
【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得


sin a
b
-
含t 的表示，即可根据基本不等式求解最
值.
【详解】由




sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
得sin
cos
cos
sin
3sin
cos
3cos
sin
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
-
，即
sin
cos
2cos
sin
a
b
a
b
=
，
由于a ，b 为锐角，故tan
2tan
a
b
=
，
设tan
,
0
t t
b =
>
，则
2
2
2
2
2
1
1
tan
2 ,sin
,cos
,sin
,cos
,
4
1
4
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
a
a
a
b
b
=
=
=
=
=
+
+
+
+


2
2
1
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sin
4
1
1
t
t
t
a
b
a
b
a
b
a
b
-
=
-
=
=
+
+
，
令

2
4
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
5
1
3
1
4
1
1
4
5
2 4
5
t
t
f t
t
t
t
t
t
t
t
t
=
=
=
£
=
+
+
+
+
+
+
×
+
，当且仅当
2
2
t =
时取到等号.故


sin a
b
-
的最大值为1
3 .
多选题
21．（25-26 高三上·山西晋城·月考）已知
36
sin cos
65
a
b = -
，


16
sin
65
a
b
+
= -
，则（    ）
A．
4
cos sin
13
a
b =
B．


56
sin
65
a
b
-
= -
C．tan
5
tan
9
a
b = -
D．
576
sin2 sin2
845
a
b = -
【答案】ABD
【分析】利用两角和的正弦公式可求出cos
sin
a
b 的值，可判断A 选项；利用两角差的正弦公式可判断B 选
项；利用切化弦可判断C 选项；利用二倍角的正弦公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为


16
sin
sin
cos
cos
sin
65
a
b
a
b
a
b
+
=
+
= -
，
36
sin cos
65
a
b = -
，
所以
4
cos
sin
13
a
b =
，故A 正确；
对于B 选项，


36
4
56
sin
sin
cos
cos
sin
65
13
65
a
b
a
b
a
b
-
=
-
= -
-
= -
，故B 正确；
对于C 选项，
36
tan
sin
cos
9
65
4
tan
cos
sin
5
13
a
a
b
b
a
b
-
=
=
= -
，故C 错误；
36
4
576
sin2αsin2β
2sinαcosα·2sin
cos
4sin
cos
cos
sin
4
65
13
845
b
b
a
b
a
b
æ
ö
=
=
=
´ -
´
= -
ç
÷
è
ø
，故D 正确.
故选：ABD.
22．（2025·山东聊城·三模）已知


1
sin
6
a
b
-
= -
，
1
sin cos
3
a
b =
，则（    ）
A．
1
cos sin
2
a
b = -
B．


5
sin
6
a
b
+
=
C．3tan
2tan
a
b
=
D．
1
sin2 sin2
12
a
b =
【答案】BC
【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算
判断D.
【详解】A 选项，已知


1
sin
=sin cos
cos sin
6
a
b
a
b
a
b
-
-
= -
，
1
sin cos
3
a
b =
，
则
1
1
1
cos sin
3
6
2
a
b =
+
=
，A 错误；
B 选项，


1
1
5
sin
sin cos
cos sin
3
2
6
a
b
a
b
a
b
+
=
+
=
+
=
，B 正确；
C 选项，
1
tan
sin cos
2
3
1
tan
cos sin
3
2
a
a
b
b
a
b
=
=
=
，所以3tan
2tan
a
b
=
，C 正确；
D 选项，sin2 sin2
2sin cos
2cos sin
4sin cos
cos sin
a
b
a
a
b
b
a
b
a
b
=
´
=
×
1
1
2
4
3
2
3
=
´
´
=
，D 错误；
故选：BC.
23．（2025·江苏南京·一模）已知


1
1
cos cos
,cos
4
3
a
b
a
b
=
+
=
，则（    ）
A．
1
sin sin
12
a
b =
B．


1
cos
6
a
b
-
=
C．
1
tan tan
3
a
b = -
D．
1
sin2 sin2
12
a
b =
【答案】BC
【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案.
【详解】由


1
cos
cos
cos
sin
sin
3
a
b
a
b
a
b
+
=
-
=
，且
1
cos
cos
4
a
b =
，则
1
sin
sin
12
a
b = -
，故A 错误；
由


1
1
1
cos
cos
cos
sin
sin
4
12
6
a
b
a
b
a
b
-
=
+
=
-
=
，故B 正确；
由
1
sin
sin
1
12
tan
tan
1
cos
cos
3
4
a
b
a
b
a
b
-
=
=
= -
，故C 正确；
由
1
1
1
sin 2 sin 2
2sin
2sin
cos
4sin
sin
cos
cos
4
12
4
12
acos
a
b
a
b
b
a
b
a
b
æ
ö
=
×
=
=
´ -
´
= -
ç
÷
è
ø
，故D 错误.
故选：BC.
24．（2026·广东广州·一模）已知x
y
¹
，则下列命题正确的是（   ）
A．
0 2
x y
$
Î
π
,
( ,
) ，


sin
sin
sin
x
y
x
y
+
<
+
B．
0 2
x y
"
Î
π
,
( ,
) ，sin
sin
2sin
2
x
y
x
y
+
+
<
C．
0 2
x y
$
Î
π
,
( ,
) ，


sin
sin
sin
x
y
x
y
-
<
-
D．
0 2
x y
"
Î
π
,
( ,
) ，sin
sin
2sin
2
x
y
x
y
-
-
<
【答案】BC
【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间
π
(0,
)
2 内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项.
【详解】对于A：已知
π
,
0, 2
x y
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则cos
1,cos
1
x
y
<
< ，根据和角公式：
sin(
)
sin cos
cos sin
sin
1 1 sin
sin
sin
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
=
+
<
× + ×
=
+
，故A 错误；
对于B：利用和差化积公式：sin
sin
2sin
cos
2
2
x
y
x
y
x
y
+
-
+
=
，因为
π
,
(0,
)
2
x yÎ
且x
y
¹
，所以
0
cos
1
2
x
y
-
<
< ，则sin
sin
2sin
2
x
y
x
y
+
+
<
对任意的,x y 成立，故B 正确；
对于C：已知
π
,
0, 2
x y
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，x
y
¹
，不妨设x
y
>
，则
π
(0,
)
2
x
y
-
Î
，
因为sin
sin
2cos
sin
2
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
，sin(
)
2sin
cos
2
2
x
y
x
y
x
y
-
-
-
=
，
且
π
,
0, 2
x y
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
0
2
2
x
y
x
y
+
-
>
>
，
又因为余弦函数在
π
(0,
)
2 上单调递减，所以cos
cos
2
2
x
y
x
y
+
-
<
，
两边同乘正数2sin
2
x
y
-
得：2cos
sin
2sin
cos
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
-
<
，
即sin
sin
sin(
)
x
y
x
y
-
<
-
，故C 正确；
对于D：因为sin
sin
2cos
sin
2
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
，所以原不等式等价于2cos
sin
2sin
2
2
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
<
，两边
同时除以2，得：cos
sin
sin
2
2
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
<
当x
y
>
时：sin
0
2
x
y
-
>
，两边除以正数sin
2
x
y
-
，得cos
1
2
x
y
+
< ，因为
π
,
0, 2
x y
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
0,
2
2
x
y
+
æ
ö
Îç
÷
è
ø，


cos
0,1
2
x
y
+
Î
，此时不等式成立；
当x
y
<
时：sin
0
2
x
y
-
<
，两边除以负数sin
2
x
y
-
，不等号方向改变，得cos
1
2
x
y
+
> ，但cos
2
x
y
+
的最大值
为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D 错误.
题型08  三角函数的图象及性质40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求最小正周期与对称中心
由周期公式求出 ω，再令整体角等于 kπ 解出对称中心坐标。
2
由奇偶性求参数
利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结合
余弦型函数的奇偶性求出参数。
3
由奇函数性质求函数值
利用奇函数在 x=0 处函数值为零，解出参数，再代入求值。
4
正弦型函数的性质判断
利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法判
断单调性，逐项分析。
5
正切型函数的对称中心与
参数求值
由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入求
值。
6
判断正弦型函数的单调区
间
画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调
性。
7
函数零点个数判断
将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交点
个数。
8
函数对称中心与充分必要
条件
先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的包
含关系。
9
三角函数图象平移与对称
中心
由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出参
数，再求最小值。
10
三角函数图象变换求解析
式（逆向）
从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析式。
11
图象平移与对称性结合求
参数
分别写出平移后的解析式，利用关于 y 轴对称的条件及都过原点，
列方程组求解。
12
由零点求参数与图象平移
将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差确
定平移方向与单位。
13
图象伸缩与平移求解析式
（逆向）
从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。
14
由奇偶性与平移求参数
化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。
15
由对称轴与单调性求参数
利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关
系，确定参数值。
16
图象平移后求对称中心
写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求解。
17
正切型函数的周期与对称
中心求参数
由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求最
小正参数。
18
零点与平移后偶函数求参
数范围
利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相
位，最后根据零点个数列不等式求范围。
19
图象平移与伸缩后求对称
中心
按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。
20
由最值点列方程组求参数
根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求参
数的可能值。
21
由零点个数与最值点求单
调区间
根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后整
体代换求单调增区间。
22
正切型函数性质综合（多选
题）
利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐项
判断。
23
正弦型函数的对称中心与
性质（多选题）
由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单调
性，逐项判断。
24
三角函数乘积型函数性质
（多选题）
利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零点。
25
正弦型与余弦型函数对称
性比较（多选题）
分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过平
移变换判断曲线间的关系。
26
图象平移与偶函数综合（多
选题）
由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单调
区间及零点之和的取值范围。
27
由图象求参数与函数性质
（多选题）
根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数及
平移后的奇偶性。
28
函数奇偶性、对称性、值域
与方程根（多选题）
利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分析
方程根的分布。
29
由图象求参数与性质（多选
题）
由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间及
参数范围。
30
化简后正切型函数性质（多
选题）
利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊值
验证值域。
31
含绝对值函数的性质（多选
题）
利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导数
求值域。
32
正弦型函数零点与单调性
参数范围（多选题）
由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调区
间确定参数范围。
33
三角函数在区间上的值域
求参数范围（填空题）
化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数范
围。
34
周期函数性质与值域（填空
题）
利用最大值条件求出周期，进而确定 ω 的最小值，再代回求给定
区间上的值域。
35
由存在两个最值点求参数
最小值（填空题）
分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求出
最小正整数。
36
由单调区间确定参数最小
值（填空题）
由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数的
最小值。
37
由对称轴与函数值求值（填
空题）
利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入已知函数值求参数，
最后计算目标值。
38
复合方程根的个数求参数
范围（填空题）
换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的个
数列不等式求解。
39
方程在区间上解的个数求
参数范围（填空题）
分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数确
定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。
40
图象中的三点共线求参数
（填空题）
由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，结
合周期与对称轴求解。
1．（2026·广东深圳·一模）函数
π
( )
sin
4
f x
x
w
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
(
0)
>
w
的最小正周期为π ，其图象的对称中心可以为
（   ）
A．5π ,0
8
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．3π ,0
8
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．π ,0
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】由题意知，2π
π
w =
，所以
2
w =
，故
π
( )
sin 2
4
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø .
令
π
2
π
4
x
k
-
=
，
Z
k Î
，则
π
π
8
2
k
x =
+
，
Z
k Î
，
所以该函数的对称中心为π
π ,0
8
2
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ，
Z
k Î
，显然只有A 符合.
2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
2
1
π
( )
cos(2
)(
0)
2
1
6
x
x
f x
x
j
j
-
=
×
+
-
>
+
为偶函数，则j 的最小值为（   ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．7π
6
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性定义确定函数
2
1
( )
2
1
x
x
g x
-
=
+
的奇偶性，进而得到函数
π
cos(2
)
6
y
x
j
=
+
-
的奇偶性，
再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值.
【详解】函数
2
1
π
( )
cos(2
)(
0)
2
1
6
x
x
f x
x
j
j
-
=
×
+
-
>
+
的定义域为R ，令函数
2
1
( )
2
1
x
x
g x
-
=
+
，
2
1
1 2
(
)
( )
2
1
2
1
x
x
x
x
g
x
g x
-
-
-
-
-
=
=
= -
+
+
，即函数( )
g x 是奇函数，
而函数
π
( )
( ) cos(2
)
6
f x
g x
x
j
=
×
+
-
是偶函数，则函数
π
cos(2
)
6
y
x
j
=
+
-
是奇函数，
因此
π
π
π,
6
2
k
k
j -
=
+
ÎZ ，解得
2π
π,
3
k
k
j =
+
ÎZ ，又
0
j >
，
所以当
0
k =
时，j 取得最小值2π
3 .
故选：C
3．（2026·黑龙江·一模）若函数



sin2
cos
(0
π)
f x
x
x
j
j
=
-
+
<
<
是奇函数，则
π
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
（   ）
A．0
B．1
3
2
-
C．1
3
2
+
D．
3
【答案】D
【分析】根据奇函数中

0
0
f
=
得出j ，再代入结合特殊角三角函数值求解.
【详解】由

0
0
f
=
，即cos
0
j =
，得
π
2
j =
，
所以

π
sin2
cos
sin2
sin
2
f x
x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
，则
π
3
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
．
故选：D.
4．（2026·四川泸州·二模）已知函数

π
sin π
3
f
x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则下列结论正确的是（   ）
A．

f x 的最小正周期为1
B．
2
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是偶函数
C．

f x 的图象关于直线
2
3
x =
对称
D．

f x 在区间
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递增
【答案】D
【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得
2
sin π
3
f
x
x
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以
π
π
3
x +
为整体，结合正弦函数单调性分析判断.
【详解】因为函数

π
sin π
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
对于选项A：

f x 的最小正周期为
2π
2
π
T =
=
，故A 错误；
对于选项B：


2
2
π
sin π
sin π
π
sin π
3
3
3
f
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
为奇函数，故B 错误；
对于选项C：因为
2
2π
π
sin
sin π
0
3
3
3
f æ
ö
æ
ö
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，不为最值，
所以

f x 的图象不关于直线
2
3
x =
对称，故C 错误；
对于选项D：因为
1 ,0
2
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，则
π
π π
π
,
3
6 3
x
æ
ö
+
Î -
ç
÷
è
ø ，
且正弦函数在
π π
,
6 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø内单调递增，所以

f x 在区间
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递增，故D 正确.
故选：D.
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数

π
tan 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的图象关于点

0,0
P x
对称，且
0
π
0, 4
x Îé
ù
ê
ú
ë
û ，则
0
π
8
f
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（   ）
A．1
B．1
-
C．
3
3
D．
3
【答案】A
【分析】根据正切型函数的对称中心及条件，可得
0x ，代入所求，计算求解，即可得答案.
【详解】由题意得
0
π
π
2
,
6
2
k
x
k
-
=
ÎZ ，解得
0
π
π ,
4
12
k
x
k
=
+
ÎZ ，
因为
0
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以令
0
k =
，解得
0
π
12
x =
，
则
π
π
5π
5π
π
π
tan 2
tan
1
12
8
24
24
6
4
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
=
´
-
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
6．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数
( )
2sin
1
3
π
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
单调递增的是（   ）
A．
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3π
π, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】D
【分析】作
( )
f x 的图象，结合函数图象判断选项．
【详解】
( )
f x 的部分图象如图所示， 
结合图象可知，选项中的区间，只有在3π ,2π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 中
( )
f x 单调递增.
7．（2026·福建福州·模拟预测）当


0,2π
xÎ
时，函数

π
2cos 3
sin
4
f x
x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
的零点个数为（   ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】令

0
f x =
，然后通过分析方程
π
2cos 3
sin
0
4
x
x
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
在给定区间

0,2π 内的解的个数来确定函
数的零点个数.
【详解】令

0
f x =
，即
π
2cos 3
sin
0
4
x
x
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，移项可得
π
2cos 3
sin
4
x
x
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，
对于
π
2cos 3
4
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，其周期
1
2π
3
T =
；对于
sin
g
x
= -
，其周期
2
2π
T =
；
当

0,2π
x
时，画出两个函数图象为：
由图象可以看出，方程
π
2cos 3
sin
0
4
x
x
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
在给定区间

0,2π 内的解的个数为6，
所以函数

π
2cos 3
sin
4
f x
x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
的零点个数为6.
8．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）“点M 的坐标为
,0 (
)
4
k
k
p
p
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ”是“点M 为函数
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
图象的对称中心”的（   ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的对称中心，再进行判断.
【详解】由
4
2
k
x
p
p
-
=
解得
2
4
k
x =
+
p
p ，所以
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的对称中心为(
,0)
2
4
kp
p
+
，k ÎZ.
而
,
4
x x
k
k
p
p
ì
ü
=
+
Î
í
ý
î
þ
Z ⫋
,
2
4
k
x x
k
p
p
ì
ü
=
+
Î
í
ý
î
þ
Z ，
所以“点M 的坐标为
,0 (
)
4
k
k
p
p
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ”是“点M 为函数
( )
3tan
4
f x
x
p
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 图象的对称中心”的充分不必要
条件.
9．（2026·山东济宁·一模）将函数



π
sin
0
3
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象向左平移π
6 个单位长度后，得到函数

y
g x
=
的图象，若
g x 图象的一个对称中心为π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø，则w 的最小值为（    ）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【分析】求出

f x 图象的对称中心后利用代入法可得
3
1,
Z
2
k
k
w
-
=
Î ，故可求w 的最小值.
【详解】因为
g x 图象的一个对称中心为π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø，故

f x 图象的对称中心为2π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
故
2π
π
π,
3
3
k k
w ´
+
=
ÎZ ，故
3
1,
2
k
k
w
-
=
ÎZ ，而
0
w >
，故
min
1
w
= .
10．（2026·湖北襄阳·一模）把函数

y
f x
=
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向左平移3
p 个单位长度，得到函数 
sin 2
12
x
π
y
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø的图象，则

f
x =（   ）
A．
7
sin 2
12
x
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．sin
4
x
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
C．
7
sin 2
12
x
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．sin
4
x
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】D
【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.
【详解】把函数 
sin 2
12
x
π
y
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø图象向右平移3
p 个单位长度，得到
π
1
π
3
 
sin
sin
2
12
2
4
x
π
y
x
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
ç
÷
è
ø
，再将
1
π
sin 2
4
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不变，得到

f
x = sin
4
x
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø.
11．（2026·广东佛山·二模）函数




sin
0
4, 0
π
f
x
x
w
j
w
j
=
+
<
<
<
<
的图象向右平移π
6 得到曲线
1
C ，
f x
的图象向左平移π
3 得到曲线
2
C ，若曲线
1
C 与
2
C 正好关于y 轴对称，且都经过原点，则
π
6
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
（   ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
【答案】C
【详解】由题意，
1
6
:
si
n
π
n
6
si
π
C
y
x
x
w
w
j
w
j
é
ù
æ
ö
=
-
+
=
-
ç
÷
ë
æ
ö
ê
ú
è
+
çè
ø
ø
û
÷
，
2
3
:
si
n
π
n
3
si
π
C
y
x
x
w
w
j
w
j
é
ù
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
ë
æ
ö
ê
ú
è
+
çè
ø
ø
û
÷
，
因为曲线
1
C 与
2
C 都经过原点，
所以
1
1
Z
π
6
π,
k
k
w
j =
+
-
Î
，
2
2
π,
Z
π
3
k
k
w
j
+
=
Î
，
则
1
1
π,
Z
π
6
k
k
w
j =
Î
+
，且
2
2
π,
Z
π
3
k
k
w
j
+
= -
Î
，
又因为曲线
1
C 与
2
C 正好关于y 轴对称，
所以
π
sin
sin
sin
sin
π
π
π
6
3
3
3
π
x
x
x
x
w
w
w
w
w
j
w
j
w
j
w
j
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
= -
-
=
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
-
-
÷
ç
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ，
则
Z
π
π
6
3
π
2 π,
k
k
w
w
j
j +
+
-
-
=
-
Î
，即
Z
π
12
π
π,
2
k
k
w
j =
-
+
Î
，
联立
1
1
2
2
π
π,
Z
6
π
π,
Z
3
π
π
π,
Z
2
12
0
4,
0
π
k
k
k
k
k
k
w
j
w
j
w
j
w
j
ì
=
+
Î
ï
ï
ï
= -
+
Î
ïïí
ï
=
-
+
Î
ï
ï <
<
ï <
<
ïî
，则
2,
3
w
j
=
=π，即

π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
则
π
π
π
3
sin 2
6
6
3
2
f æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
12．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数

sin2
cos2
f x
x
a
x
=
+
的一个零点是π
3 ，为了得到函数
2cos2
y
x
=
的图象，只需将

f x 的图象（    ）
A．向左平移π
12 个单位长度
B．向左平移π
6 个单位长度
C．向右平移π
12 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
【答案】A
【分析】由
π
0
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
求得
3
a =
，利用辅助角公式整理

f x ，再将
2cos2
y
x
=
整理成与

f x 相同结构，
比较得到结果.
【详解】已知
π
3
x =
是

sin2
cos2
f x
x
a
x
=
+
的零点，因此
π
0
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
代入得： 
π
π
sin 2
cos 2
0
3
3
a
æ
ö
æ
ö
×
+
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即 
3
1
0
2
2 a
-
=
，解得
3
a =
，
所以

1
3
π
sin2
3cos2
2
sin2
cos2
2sin 2
2
2
3
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
又
π
π
π
2cos2
2sin 2
2sin 2
2
12
3
y
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
=
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
所以将

f x 向左平移π
12 个单位长度得到函数
2cos2
y
x
=
的图象，
13．（2026·山东青岛·一模）把函数
( )
y
f x
=
图像上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向右平移π
3 个单位长度，得到函数
sin
y
x
=
的图像，则
( )
f x = （    ）
A．
π
cos 2
6
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
π
sin 2
3
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
1
π
cos 2
6
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1
π
sin 2
3
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】A
【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.
【详解】函数
sin
y
x
=
的图像向左平移π
3 个单位长度，得到
π
sin
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø.
所有点的横坐标缩小为原来的
1
2 倍，纵坐标不变，得到
π
sin 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø .
又
π
π
π
π
sin 2
cos 2
cos 2
3
3
2
6
y
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，所以

π
cos 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø .
14．（2026·陕西铜川·一模）设

f x 为奇函数，将

f x 的图像向左平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø个单位长度后，得到
函数
sin2
3cos2
g x
x
x
=
+
的图像，则j =（    ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
【答案】B
【分析】化简得
π
2sin 2
3
g x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，进而可得

π
2sin 2
2
3
f x
x
j
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø ，利用

f x 为奇函数，可求得j .
【详解】
1
3
sin2
3cos2
2
sin2
cos2
2
2
g x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
π
π
2 sin2 cos
cos2 sin
2sin 2
3
3
3
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
因为将

f x 的图像向左平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 个单位长度后，得到函数
sin2
3cos2
g x
x
x
=
+
的图像，
所以
g x 向右平移
π
0
2
j
j
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 个单位长度后，得到函数

f x 的图像，
所以





π
π
2sin 2
2sin 2
2
3
3
f x
g x
x
x
j
j
j
é
ù
æ
ö
=
-
=
-
+
=
-
+
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø ，
又因为

f x 为奇函数，所以
π
2
π,
3
k
k
j
-
+
=
ÎZ ，所以
π
π ,
6
2
k
k
j =
-
ÎZ，
又
π
0
2
j
<
<
，所以
π
6
j =
.
故选：B.
15．（2026·福建龙岩·一模）已知函数



π
2sin
0
6
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象关于直线
π
3
x =
对称，且在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递减，则w 的值为（    ）
A．
1
2
B．1
C．7
6
D．4
【答案】B
【分析】由函数



π
2sin
0
6
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象关于直线
π
3
x =
对称，可得
3
1,
k
k
w =
+
ÎZ ；由函数在区
间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，可得
2π
π
T
w
=
³
，从而得
2
w £
，即可得答案.
【详解】因为函数



π
2sin
0
6
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象关于直线
π
3
x =
对称，
所以π
π
π
π
,
3
6
2
k
k
w +
=
+
ÎZ ，
解得
3
1,
k
k
w =
+
ÎZ ，
又因为函数在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，
所以函数在
π
3
x =
处取得最大值，
所以π
π π
,π
,
2
3 3
2
T
æ
ö
é
ù
Ì
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ,
所以π
π
3
2
T
+
³
,
解得
2π
4π
3
T
w
=
³
，
解得
3
2
w £
.
又因为
3
1,
k
k
w =
+
ÎZ .
故选：B.
16．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数
π
3cos 2
1
6
y
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
的图象向右平移π
3 个单位长度，得到函数

f x
的图象，则

f x 图象的对称中心的坐标是（   ）
A．
π ,0
2
k
æ
ö
ç
÷
è
ø 

k ÎZ
B．
π ,1
2
k
æ
ö
ç
÷
è
ø 

k ÎZ
C．
π
π ,0
2
3
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 

k ÎZ
D．
π
π ,1
2
3
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 

k ÎZ
【答案】B
【详解】由题意可得

π
π
π
3cos 2
1
3cos 2
1
3sin 2
1
3
6
2
f x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+ =
-
+ =
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
令2
π,
x
k
k
=
ÎZ ，得
π ,
2
k
x
k
=
ÎZ ，此时



3sin
π
1
1
f x
k
=
+ = ，
所以

f x 图象的对称中心是
π ,1
2
k
æ
ö
ç
÷
è
ø 

k ÎZ .
17．（2026·湖北黄冈·一模）函数
( )
tan(
)(
0)
f x
x
w
j w
=
+
>
的图象关于点
,0
12
p
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，且直线
1
y = 与函数
( )
f x
图象的相邻两交点间距离为2
p ，则正实数j 的最小值为（   ）
A．12
p
B．6
p
C．3
p
D．2
3
p
【答案】C
【分析】由直线
1
y = 与函数
( )
f x 图象的相邻两交点间距离为π
2 ，求得最小正周期；根据正切函数的对称性
求得j ，从而求得其最小值.
【详解】因为直线
1
y = 与函数
( )
f x 图象的相邻两交点间距离为π
2 ，
所以函数
( )
f x 的最小正周期为π
2 ，所以
π
π
π
2
w
w
=
=
，所以
2
w =
.
由函数

f x 的图象关于点
,0
12
p
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
得
π
π
2
,
Z
12
2
k
k
j
´
+
=
Î
，所以
π
π ,
Z
2
6
k
k
j =
-
Î
.
所以正实数j 的最小值为π
π
π
2
6
3
-
=
.
18．（2026·河北张家口·一模）已知函数



π
2sin
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø，若
1
2
,
x x 是

2
f
x =
的解，且
满足
1
2 min
π
4
x
x
-
=
，将函数

f x 的图象向左平移π
6 个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数

f x
在π ,
6 q
æ
ö
ç
÷
è
ø上恰有2 个零点，则实数q 的取值范围为（    ）
A．
5π 11π
,
6
6
é
ö
÷
êë
ø
B．11π 17π
,
6
6
æ
ù
ç
ú
è
û
C．5π 11π
,
12
12
é
ö
÷
êë
ø
D．11π 17π
,
12
12
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】D
【分析】根据最小距离可得
2
w =
，再利用平移规则和函数奇偶性可求得
π
6
j =
，根据函数

f x 在π ,
6 q
æ
ö
ç
÷
è
ø内
恰有2 个零点可限定出
π
2
6
+
q
范围，即可解得实数q 的取值范围.
【详解】由

2
f
x =
，即


2
sin
2
x
w
j
+
=
，
可得
π
2 π,
Z
4
x
k
k
w
j
+
=
+
Î
或
3π
2 π,
Z
4
x
k
k
w
j
+
=
+
Î
，
根据正弦函数图象性质可知
1
2 min
1
3π
π
π
|
|
4
4
4
x
x
w
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
2
w =
，
则



2sin 2
x
x
f
j
=
+
；
将函数

f x 的图象向左平移π
6 个单位可得
π
π
2sin 2
2sin 2
6
3
y
x
x
j
j
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
又
π
2sin 2
3
y
x
j
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø 为偶函数，
则π
π
π,
Z
3
2
k
k
j
+
=
+
Î
，又
π
2
j <
，可得
π
6
j =
，
因此

π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø；
当
π ,
6
x
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，可知
π
π
π
2
,2
6
2
6
x
q
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
è
ø ，
若函数

f x 在π ,
6 q
æ
ö
ç
÷
è
ø内恰有2 个零点，可知
π
2π
2
3π
6
q
<
+
£
，
解得
2
11π
12
1
17π
q
<
£
，
所以实数q 的取值范围为11π 17π
,
12
12
æ
ù
ç
ú
è
û
.
19．（2026·河北保定·一模）将函数

sin
f x
x
=
的图象先向右平移π
4 个单位长度，再将其横坐标缩短到原
来的1
3 ，纵坐标不变，得到函数
g x 的图象，则
g x 图象的对称中心的坐标为（    ）
A．


π
π ,0
3
12
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z
B．


π
π ,0
3
12
k
k
æ
ö
-
Î
ç
÷
è
ø
Z
C．


3π
3 π
,0
4
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z
D．


3π
3 π
,0
4
k
k
æ
ö
-
Î
ç
÷
è
ø
Z
【答案】A
【分析】借助平移及伸缩变换性质可得
g x ，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解.
【详解】将函数

sin
f x
x
=
的图象向右平移π
4 个单位长度，可得
π
sin
4
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，
将其横坐标缩短到原来的1
3 ，可得
π
sin 3
4
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，即
π
sin 3
4
g x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，
令


π
3
π
4
x
k
k
-
=
ÎZ ，解得


π
π
3
12
k
x
k
=
+
ÎZ ，
即
g x 图象的对称中心的坐标为


π
π ,0
3
12
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z .
20．（2026·四川内江·二模）已知函数



2sin
f x
x
w
j
=
+
在
π
6
x = -
处取得最小值，在
π
3
x =
处取得最大值，
则j 的值可能为（   ）
A．
π
6
-
B．π
6
C．
π
3
-
D．π
3
【答案】A
【详解】因为函数



2sin
f x
x
w
j
=
+
在
π
6
x = -
处取得最小值，在
π
3
x =
处取得最大值，
则


1
1
2
2
π
π
2 π
6
2
,
π
π
2
π
3
2
k
k k
k
w
j
w
j
ì-
+
= -
+
ïï
Î
í
ï
+
=
+
ïî
Z ，
将上述两个等式作差得



2
1
1
2
π
π
2
π
,
2
k
k
k k
w =
+
-
ÎZ ，
所以




2
1
1
2
4
2
,
k
k
k k
w =
-
+
ÎZ
将




2
1
1
2
4
2
,
k
k
k k
w =
-
+
ÎZ 代入
2
π
π
2
π
3
2
k
w
j
+
=
+
可得



2
1
1
2
2
2
π
π
,
6
3
k
k
k k
j
+
= -
+
ÎZ ，
令
2
1
2
k
k
k
=
+
，则k ÎZ ，则


π
2 π
6
3
k
k
j = -
+
ÎZ ，故j 的可能取值为
π
6
-
，
BCD 选项均不符合题意.
21．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数

π
sin
4
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，其中
0
w >
，若

f x 在

0,π 恰有
两个零点，且
π
2
2
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，则函数

f x 在
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 上的单调增区间为（    ）
A．π π
,
4 2
é
ù
ê
ú
ë
û
B．π π
,
8 2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
π
0, 8
é
ù
ê
ú
ë
û
【答案】D
【分析】根据零点个数得7
11
4
4
w
£
<
，再根据
π
2
2
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，结合三角函数的图象与性质，求得
4
1
k
w =
- ，
Z
k Î
或
4
2
k
w =
-
，
Z
k Î
，从而得到
2
w =
，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案.
【详解】因为函数

π
sin
4
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，其中
0
w >
，若

f x 在

0,π 恰有两个零点，
所以π
π
π
π
4
4
4
x
w
w
£
+
£
+
，
所以
π
2π
π
3π
4
w
£
+
<
，
所以7
11
4
4
w
£
<
，
又因为
π
2
2
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，即
π
π
2
sin 2
4
2
w
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，
所以π
π
π
2 π,
Z
2
4
4
k
k
w +
= -
+
Î
或π
π
3π
2 π,
Z
2
4
4
k
k
w +
= -
+
Î
，
解得
4
1
k
w =
- ，
Z
k Î
或
4
2
k
w =
-
，
Z
k Î
，
结合7
11
4
4
w
£
<
，所以
2
w =
符合题意，
所以

π
sin 2
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
又因为当
π
π
π
2 π
2
2 π
2
4
2
k
x
k
-
+
£
+
£
+
，，
Z
k Î
，即
3π
π
π
π,
Z
8
8
k
x
k
k
-
+
£
£
+
Î
所以

f x 的单调增区间为
3π
π
π,
π ,
Z
8
8
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
函数

f x 在
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
上的单调增区间为
π
0, 8
é
ù
ê
ú
ë
û ，
故选：D.
多选题
22．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数

π
3tan 2
1
4
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，则（   ）
A．
π
4
4
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
B．

f x 的最小正周期为π
C．

f x 图象的对称中心为


π
π ,1
Z
2
8
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
D．不等式

4
f x £
的解集为
π
π
π
π ,
Z
2
8
2
4
k
k
x
x
k
ì
ü
-
<
£
+
Î
í
ý
î
þ
【答案】AD
【详解】对于A，
π
π
π
3tan 2
1
4
4
4
4
f æ
ö
æ
ö
=
´
-
+ =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故A 正确；
对于B，最小正周期
π
π
2
T
w
=
=
，故B 错误；
对于C，由
π
π
2
4
2
k
x -
=
得
π
π
4
8
k
x =
+
，
Z
k Î
，则

f x 的对称中心为


π
π ,1
Z
4
8
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
，故C 错误；
对于D，由

π
3tan 2
1
4
4
f x
x
æ
ö
=
-
+ £
ç
÷
è
ø
得
π
tan 2
1
4
x
æ
ö
-
£
ç
÷
è
ø
，则
π
π
π
π
2
π
2
4
4
k
x
k
-
<
-
£
+
，
解得π
π
π
π
2
8
2
4
k
k
x
-
<
£
+
，
Z
k Î
，故D 正确.
23．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数



sin 2
f x
x j
=
+


0
π
j
<
<
的图象关于点π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø中心对称．则（   ）
A．

f x 的最小正周期为π
B．直线
π
6
x =
是曲线

y
f x
=
的对称轴
C．将

f x 的图象向右平移π
4 个单位可得到函数
2π
cos
2
3
y
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø的图象
D．

f x 在区间
π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增
【答案】AC
【分析】先求出

f x 的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可.
【详解】由题意知，
π
sin 2
0
3
j
æ
ö
´
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
π
2
π
3
k
j
´
+
=
，
Z
k Î
，即
2π
π
3
k
j = -
+
，
Z
k Î
又0
π
j
<
<
，所以
π
3
j =
，所以

π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
选项A：最小正周期
2π
π
2
T =
=
，A 正确.
选项B：对称轴应满足
π
π
2
π
3
2
x
k
+
=
+
，
Z
k Î
，解得
π
π
12
2
k
x =
+
，
Z
k Î
.
故不存在
Z
k Î
，使得
π
6
x =
，B 错误.
选项C：

f x 的图象向右平移π
4 个单位得到
π
π
π
π
π
2π
sin 2
sin 2
cos
2
cos
2
4
3
6
2
6
3
y
x
x
x
x
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
=
-
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
，C 正确.
选项D：当
π
0, 3
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
π
π
2
,π
3
3
t
x
æ
ö
=
+
Îç
÷
è
ø
.
又
sin
y
t
=
在
π
,
3 2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递增，在π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减，所以

f x 在区间
π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上不是单调递增，D 错误.
故选：AC.
24．（2026·广东梅州·一模）关于函数
( )
sin
sin3
f x
x
x
=
×
，以下结论正确的有（    ）
A．
( )
f x 的图象是轴对称图形
B．
( )
f x 的最大值为1
C．
( )
f x 是以π 为一个周期的周期函数
D．
( )
f x 在[0,π]上有4 个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，
所以可先利用三角恒等变换公式将
( )
sin
sin3
f x
x
x
=
×
化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函
数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C，判断周期，可利用周
期函数的定义，验证
(
)
( )
f T
x
f x
+
=
是否成立来确定；对于D，求零点，令
( )
0
f x =
，结合三角函数的零点
性质求解，再统计[0,π]上的零点个数.
【详解】对于A，函数
( )
sin
sin3
f x
x
x
=
×
的定义域为R，且

(
)
sin(
) sin3(
)
( sin ) ( sin3 )
sin
sin3
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
×
-
= -
× -
=
×
=
，
即
( )
f x 为偶函数，
( )
f x 的图象是轴对称图形，A 正确；
对于B，




1
1
1
( )
sin
sin3
cos 4
cos 2
cos2
cos4
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
x
é
ù
=
×
= -
-
=
-
ë
û


2
2
1
1
1
1
cos2
2cos 2
1
cos 2
cos2
2
2
2
2
x
x
x
x
=
-
-
= -
+
+
，
令


cos2 ,
1,1
t
x t
=
Î -
，则
2
2
1
1
1
9
2
2
4
16
y
t
t
tæ
ö
= -
+
+
= -
-
+
ç
÷
è
ø
，
当
1
4
t =
时，
2
1
1
2
2
y
t
t
= -
+
+
取最大值9
16 ，即
( )
f x 的最大值为9
16 ，B 错误；
对于C，

(
π)
sin(
π) sin3(
π)
( sin )( sin3 )
sin
sin3
f x
x
x
x
x
x
x
f x
+
=
+
×
+
= -
-
=
×
=
，
即
( )
f x 是以π 为一个周期的周期函数，C 正确；
对于D，令
( )
0
f x =
，即sin
sin3
0
x
x
×
=
，故sin
0
x =
或sin3
0
x =
，
当sin
0
x =
时，在[0,π]上有
0,π
x =
满足题意；
当sin3
0
x =
时，在[0,π]上有
π 2π
0,
,
,π
3
3
x =
满足题意；
故
( )
f x 在[0,π]上有
π 2π
0,
,
,π
3
3
共4 个零点，D 正确.
25．（2026·江苏·一模）已知函数
( )
sin
3cos
f x
x
x
=
-
，
π
( )
2sin 2
3
g x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则下列结论正确的有（   ）
A．曲线
( )
y
f x
=
与曲线
( )
y
g x
=
存在相同的对称中心
B．曲线
( )
y
f x
=
与曲线
( )
y
g x
=
存在相同的对称轴
C．曲线
(2 )
y
f
x
=
向左平移π
3 个单位得到曲线
( )
y
g x
=
D．曲线
(2 )
y
f
x
=
与曲线
( )
y
g x
=
关于y 轴对称
【答案】AC
【详解】选项A，因为

1
3
π
sin
3cos
2
sin
cos
2sin
2
2
3
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
令
π
π
3
x
k
-
=
，

k ÎZ 得
π
π
3
x
k
=
+
，所以
( )
y
f x
=
的对称中心为


π
π
,0
3
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z . 
因为
π
2sin 2
3
g x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，令


π
2
π
3
x
m
m
+
=
ÎZ
，
，得
π
π
2
6
m
x =
-
，所以
( )
y
g x
=
的对称中心为


π
π ,0
2
6
m
m
æ
ö
-
Î
ç
÷
è
ø
Z .
假设存在相同对称中心，则


π
π
π
π
,
3
2
6
m
k
k m
+
=
-
ÎZ ，
化简得
2
1
m
k
-
= ，当
0,
1
k
m
=
= 时，
π
3
x =
，所以存在相同对称中心π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø，A 正确.
选项B，

π
2sin
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ：令


π
π
π
3
2
x
k
k
-
=
+
ÎZ ，得
5π
π
6
x
k
=
+
，对称轴为


5π
π
6
x
k
k
=
+
ÎZ .

π
2sin 2
3
g x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø：令


π
π
2
π
3
2
x
m
m
+
=
+
ÎZ ，得
π
π
2
12
m
x =
+
，对称轴为


π
π
2
12
m
x
m
=
+
ÎZ .
假设存在相同对称轴，则


5π
π
π
π
,
6
2
12
m
k
k m
+
=
+
ÎZ ，化简得2
4
3
m
k
-
=
，
左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B 错误.
选项C，


π
2
2sin 2
3
f
x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，平移π
3 个单位，得：

π
π
2π
π
π
2sin 2
2sin 2
2sin 2
3
3
3
3
3
y
x
x
x
g x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，C 正确.
选项D，若


2
y
f
x
=
与

y
g x
=
关于y 轴对称，则需满足


2
g x
f
x
=
-
.
因为


π
π
2
2sin
2
2sin 2
3
3
f
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
= -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，而
2sin 2
3
g x
x
p
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
显然
g x 与


2
f
x
-
不能恒相等，所以两曲线不关于y 轴对称，D 错误.
26．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数



π
sin 2
0
2
f x
x
j
j
æ
ö
=
+
<
<
ç
÷
è
ø 的图象向左平移π
6 后得到函数

y
g x
=
的图象，若
g x 是偶函数，则（   ）
A．
π
3
j =
B．函数

y
f x
=
的图象关于点5π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
C．函数

y
f x g x
=
在π π
,
3 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
D．函数


y
g x
f x
m
=
-
-
在

0,π 上的所有零点之和为2π
3 ，则m 的取值范围是
1
1, 2
æ
ù
-
ç
ú
è
û
【答案】BC
【分析】先由平移变换得
π
sin 2
3
g x
x
j
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø ，再
g x 是偶函数，得
π
6
j =
，进而可得

π
sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
及
cos2
g x
x
=
，再结合三角恒等变换得

1
π
1
sin 4
2
6
4
f x g x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，根据正弦函数的性质可判断BC 选
项，对D，将函数的零点转化为函数
π
cos 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø与y
m
=
图象在

0,π 上的交点的横坐标，进而转化为函
数
cos
y
t
=
在
π 7π
,
3
3
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 与y
m
=
交点的横坐标，从而可判断结果.
【详解】因为函数



π
sin 2
0
2
f x
x
j
j
æ
ö
=
+
<
<
ç
÷
è
ø 的图象向左平移π
6 后得到函数

y
g x
=
的图象，
所以
π
π
sin 2
sin 2
6
3
g x
x
x
j
j
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，又因为
g x 是偶函数，
所以
π
0
sin
1
3
g
j
æ
ö
=
+
= ±
ç
÷
è
ø
，得π
π
π
,
3
2
k
k
j
+
=
+
ÎZ ，即
π
π
,
6
k
k
j =
+
ÎZ ，
再由
π
0
2
j
<
<
，所以
π
0,
6
k
j
=
=
，所以A 错误；
对于B，因为

π
sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，所以
5π
5π
π
sin 2
sin π
0
12
12
6
f æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以函数

y
f x
=
的图象关于点5π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，B 正确；
对于C，因为
π
π
π
sin 2
sin 2
cos2
3
6
2
g x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以

y
f x g x
=
π
sin 2
cos2
6
x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
2
3
1
sin 2 cos2
cos 2
2
2
x
x
x
=
+


3
1
sin 4
1 cos4
4
4
x
x
=
+
+
1
3
1
1
π
1
sin 4
cos4
sin 4
2
2
2
2
6
4
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
π π
,
3 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
π
3π 13π
4
,
6
2
6
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û ，函数
π
sin 4
6
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 在π π
,
3 2
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递增，C 正确；
对于D，因为


y
g x
f x
=
-
π
cos2
sin 2
6
x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
1
3
cos2
sin 2
2
2
x
x
=
-
π
cos 2
3
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
所以函数


y
g x
f x
m
=
-
-
在

0,π 上的零点，转化为函数
π
cos 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø与y
m
=
图象在

0,π 上的交点的
横坐标，
令


π
π 7π
2
,
0,π ,
,
3
3
3
t
x
x
t
é
ù
=
+
Î
Îê
ú
ë
û ，所以函数
cos
y
t
=
在
π 7π
,
3
3
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 有两条对称轴
π
t =
和
2π
t =
，如图：
当
1
1
2
m
- <
<
时，函数
cos
y
t
=
与y
m
=
有两个交点，且关于
π
t =
对称，
即1
2
2 π
t
t
+
=
´
，所以
1
2
π
π
2
2
2π
3
3
x
x
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，得
1
2
2π
3
x
x
+
=
.
当
1
2
m =
时，函数
cos
y
t
=
与y
m
=
有3 个交点，1
2
3
π
5π
7π
,
,
3
3
3
t
t
t
=
=
=
，
1
2
3
π
5π
7π
13π
3
3
3
3
t
t
t
+
+
=
+
+
=
，所以
1
2
3
π
π
π
13π
2
2
2
3
3
3
3
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，得
1
2
3
5π
3
x
x
x
+
+
=
.
所以函数


y
g x
f x
m
=
-
-
在

0,π 上的所有零点之和为2π
3 ，则
1
1
2
m
- <
<
，D 错误.
27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数
( )
2sin(
)
0,
2
f x
x
p
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，其中
(0, 1)
A
-
，
π ,1
4
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则下列说法正确的是（    ）
A．
4
ω=
B．
π
6
j =
C．
( )
f x 在区间π 2π
,
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø恰有一个零点
D．将
( )
f x 图象向左移5π
12 个单位后关于y 轴对称
【答案】ACD
【分析】根据

0
1
f
= - ，结合j 的取值范围可求j 的值，判断B 的真假；在此基础上，再根据
π
1
4
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
可
求w 的值，判断A 的真假；求函数

f x 在区间π 2π
,
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø上的零点，判断C 的真假；将函数

f x 进行平移
变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D 的真假.
【详解】因为

0
1
f
= - Þ 2sin
1
j = - Þ
1
sin
2
j = -
，又
π
2
j <
，所以
π
6
j = -
，故B 错误；
因为
π
1
4
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
Þ
π
π
2sin
1
4
6
w
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
Þ
π
π
1
sin
4
6
2
w
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
由图可知，
π
π
π ,π
4
6
6
w
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø，所以
π
π
5π
4
6
6
w
-
=
Þ
4
ω=
，故A 正确；
所以

π
2sin 4
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，当
π 2π
,
2
3
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
π
11π 5π
4
,
6
6
2
x
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø ，所以方程

0
f x =
在π 2π
,
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø上只有
π
4
2π
6
x -
=
即
13π
24
x =
一个解，即函数
( )
f x 在区间π 2π
,
2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø恰有一个零点，故C 正确；
将
( )
f x 图象向左移5π
12 个单位后可得
5π
π
2sin 4
12
6
y
x
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3π
2sin 4
2
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
2cos4x
= -
，为偶函数，其图
象关于y 轴对称，故D 正确.
28．（2026·山西朔州·一模）已知

sin2
2cos
cos
x
f x
x
x
=
+
，则（    ）
A．

f x 是偶函数
B．

f x 的图象关于直线
3π
2
x =
对称
C．

f x 的值域为
2 2,2 2
é
ù
ë
û
-
D．当

f x
a
=
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 有2 个不同实根
1
2
,
x x 时，

1
2
a x
x
+
的取值范围是

π,
2π
【答案】AD
【分析】A 选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B 选项，根据对称性的性质判断；C 选项，分
π
π
2 π-
,2 π
2 π,π
2 π
2
2
x
k
k
k
k
é
ù
é
ù
Î
È
+
+
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û 和
π
3π
2 π,
2 π
π
2 π,
2 π
2
2
x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
Î
+
È
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 两种情况讨论；D 选项，结合
图象得到a 的范围和
1
2
x
x
+
，然后判断即可.
【详解】

f x 的定义域为

π,
Z
x x
k
k
¹
Î
，关于原点对称，









sin
2
sin 2
2cos
2cos
cos
cos
x
x
f
x
x
x
f x
x
x
-
-
=
+
-
=
+
=
-
，所以

f x 为偶函数，A 正确；









sin 2 3π
sin 2
3π
2cos 3π
2cos
cos 3π
cos
x
x
f
x
x
x
f x
x
x
-
-
=
+
-
=
-
= -
-
-
，所以

f x 关于3π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，B 错；
当
π
π
2 π,2 π
2 π,π
2 π
2
2
x
k
k
k
k
é
ù
é
ù
Î -
+
È
+
+
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，
Z
k Î
时，

π
2sin
2cos
2 2 sin
4
f x
x
x
x
æ
ö
= -
+
= -
-
ç
÷
è
ø ，
π
3π
π
π
3π
2 π,
2 π
2 π,
2 π
4
4
4
4
4
x
k
k
k
k
é
ù
é
ù
-
Î -
+
-
+
È
+
+
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，
Z
k Î
，则

2 2, 2
2,2 2
f x
é
ù
é
ù
Î -
-
È
ë
û
ë
û ，
当
π
3π
2 π,
2 π
π
2 π,
2 π
2
2
x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
Î
+
È
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
Z
k Î
时，

π
2 2 sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
π
π
3π
5π
7π
2 π,
2 π
2 π,
2 π
4
4
4
4
4
x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
+
Î
+
+
È
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
Z
k Î
，则


2 2, 2
2,2 2
f x
é
ù
Î -
-
È
ë
û ，
综上可得

f x 的值域为
2 2, 2
2,2 2
é
ù
é
ù
-
-
È
ë
û
ë
û ，C 错；
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，

π
2 2 sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，图象如下所示：
所以


2,2 2
aÎ
，
1
2
π
2
x
x
+
=
，则


1
2
π,
2π
a x
x
+
Î
，D 正确.
29．（2026·山东德州·一模）函数



π
cos
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，则（    ）
A．
π
3
j =
B．

f x 的图象关于点
π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
C．函数

f x 在区间
11π
7π
,
12
12
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
D．若

f x 在区间
π ,
12 a
é
ö
-
÷
êë
ø 上恰有一个最大值2 和一个最小值2
- ，则实数a 的取值范围为5π 4π
,
6
3
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】ABD
【分析】根据周期以及最值可得

π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求
解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
【详解】由图可得
2
A =
，函数的最小正周期
5π
π
2
π
6
3
T
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，又
0
w >
，所以
2π
2
T
w =
=
，
则



2cos 2
f x
x
j
=
+
，由
π
2π
2cos
2
3
3
f
j
æ
ö
æ
ö
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，得
2π
π
π
3
2k
j +
=
+
，k ÎZ ，
解得
π
2 π
3
k
j =
+
，k ÎZ ，又
π
π
2
2
j
-
<
<
，所以
π
3
j =
，故A 正确；
由上分析，得故

π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，因为
π
π
π
2cos 2
0
12
12
3
f æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故函数

f x 的图象关于点
π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，故B 正确；
令
π
2 π
π
2
2 π
3
k
x
k
-
£
+
£
，k ÎZ ，解得
2π
π
π
π
3
6
k
x
k
-
£
£
-
，k ÎZ ，
故函数

f x 的单调递增区间为
2π
π
π,
π
3
6
k
k
é
ù
-
+
-
+
ê
ú
ë
û k ÎZ ，
令
π
2 π
2
2 π+π
3
k
x
k
£
+
£
，k ÎZ ，解得
π
π
π
π+
6
3
k
x
k
-
£
£
，k ÎZ ，
故函数

f x 的单调递减区间为
π
π
π
, π
6
3
k
k
é
ù
ê
ú
-
+
ê
ú
ë
û
， k ÎZ ，
则函数

f x 在区间
11π
2π
,
12
3
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递减，在
2π
7π
,
3
12
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，故C 错误；
当
π ,
12
x
a
é
ö
Î -
÷
êë
ø时，则
π
π
π
2
,2
3
6
3
x
a
æ
ö
é
ö
+
Î
+
ç
÷
÷
ê
è
ø
ë
ø ，
要使

f x 在区间
π ,
12 a
é
ö
-
÷
êë
ø 上恰有一个最大值2 和一个最小值2
- ，
需使
π
2
π
2
3
π
3
a +
£
<
，解得5π
4π
6
3
a
<
£
，故D 正确.
故选：ABD.
30．（2026·河北邯郸·一模）已知函数

1 cos
sin
x
f x
x
-
=
，则（    ）
A．

f x 是奇函数
B．

f x 的最小正周期为π
C．

f x 在

0,π 上单调递增
D．

f x 的值域为R
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为

tan 2
x
f x =
，结合正切函数的性质判断
B、C，特殊值法说明D 即可.
【详解】由sin
0
x ¹
，得
π,
x
k
k
¹
ÎZ ，则

f x 的定义域关于原点对称，
且







1 cos
1 cos
sin
sin
x
x
f
x
f x
x
x
-
-
-
-
=
= -
= -
-
，所以

f x 是奇函数，A 正确．
由

2
1
1 2sin
1 cos
2
tan
sin
2
2sin
cos
2
2
x
x
x
f x
x
x
x
æ
ö
-
-
ç
÷
-
è
ø
=
=
=
，
其最小正周期
π
2π
1
2
T =
=
，且在


0,π
xÎ
上单调递增，B 不正确，C 正确．
由sin
0
x ¹
，可得cos
1
x ¹ ± ，则

0
f x ¹
，D 不正确．
31．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.



sin2
2sin
f
x
x
x x
=
+
ÎR 的说法正确的是（   ）
A．

f x 为奇函数
B．
π
2
x =
是

f x 图象的一条对称轴
C．

f x 为周期函数，且最小正周期为π D．

f x 的值域为
3 3 3 3
2
2
,
é
ù
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
【答案】AD
【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D.
【详解】对于A，








sin
2
2sin
sin2
2sin
sin2
2sin
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
+
-
= -
-
= -
+
= -
，

f x
\
为奇函数，
故A 正确.
对于B，
π
π
π
sin 2
2sin
sin 2
2cos
2
2
2
f
x
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
= -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
π
π
π
sin 2
2sin
sin 2
2cos
2
2
2
f
x
x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
π
π
2
2
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
\
+
¹
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
π
2
x
\
=
不是

f x 图象的一条对称轴，故B 错误；
对于C，






π
sin 2
π
2sin
π
sin 2
2sin
f
x
x
x
x
x
é
ù
+
=
+
+
+
=
-
ë
û
 ，



π
f x
f x
\
¹
+
，
π
\ 不是

f x 的周期，
故C 错误，
对于D，



2
2
2cos2
2cos
2 2cos
1
2cos
4cos
2cos
2
f
x
x
x
x
x
x
x
¢
=
+
=
-
+
=
+
-
，
令

0
f
x
¢
=
，即
2
4cos
2cos
2
0
x
x
+
-
=
，解得
1
cos
2
x =
或cos
1
x = - ，
当cos
1
x = - 时，sin
0
x =
，

0
f x =
，
当
1
cos
2
x =
时，
3
sin
2
x = ±
，

2sin cos
2sin
3sin
f x
x
x
x
x
=
+
=
，故函数极值为
3
3 3
3
2
2
æ
ö
´ ±
= ±
ç
÷
ç
÷
è
ø
.

f x
\
的值域为
3 3 3 3
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
，故D 正确.
32．（2026·重庆·一模）已知函数



π
4sin
2
0
3
f x
mx
m
æ
ö
=
+
-
>
ç
÷
è
ø
，则下列结论正确的是（    ）
A．若

f x 在
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有三个零点，则


15,23
mÎ
B．若

f x 在
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有三个零点
1
2
3
,
,
x x
x ，则


1
2
3
4
f x
x
x
+
+
= -
C．若

f x 在π π
,
6 4
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递增，则
2
0, 3
m
é
ù
Îê
ú
ë
û
D．若

f x 向左平移π
6 后的图象与

f x 图象关于
π
12
x =
对称，则
6
1,
m
k
k
=
+
ÎN
【答案】ABD
【分析】对于A，根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B，由选项A 可知
1
2
3
π
5π
π
13π
π
17π
,
,
3
6
3
6
3
6
mx
mx
mx
+
=
+
=
+
=
，代入即可求值；对于C，根据正弦函数的单调区间，确定区间
端点满足的不等式求解即可；对于D，根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可.
【详解】A，令
=0
f x
，即
π
1
sin
=
3
2
mx
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，解得
π
π
=2 π+
3
6
mx
k
+
或
π
5π
=2 π+
,
3
6
mx
k
k
Z
+
Î
，
当
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 时，可得
π
π
π
π
,
3
3
6
3
m
mx
é
ù
+
Î
+
ê
ú
ë
û ，要使

f x 在
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有三个零点，
则需
5π
π
π
π
2π+
4π+
6
6
3
6
m
£
+
<
，解之可得15
23
m
£
<
，故A 正确；
B，由A 可知
1
2
3
π
5π
π
13π
π
17π
,
,
3
6
3
6
3
6
mx
mx
mx
+
=
+
=
+
=
，
所以


1
2
3
π
5π
13π
17π
2π
31π
3
6
6
6
3
6
m x
x
x
+
+
+
=
+
+
-
=
，
所以


1
2
3
7π
4sin 4π
2
4
6
f x
x
x
æ
ö
+
+
=
+
-
= -
ç
÷
è
ø
，故B 正确；
C，由正弦函数的单调递增区间可知
π
π
π
2 π
2 π+
,
2
3
2
k
mx
k
k
Z
-
£
+
£
Î
，
取
0
k =
，则
5π
π
6
6
x
m
m
-
£
£
，若

f x 在π π
,
6 4
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递增，则需π π
5π
π
,
,
6 4
6
6
m
m
é
ù
é
ù
Ì -
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，
因
0
m >
，则只需π
π
4
6m
£
，则
2
0
3
m
<
£
，则
2
0, 3
m
æ
ù
Îç
ú
è
û ，故C 错误；
D，根据平移规则可知平移后函数为
π
π
π
π
4sin
+
2
4sin
2
6
3
6
3
m
g x
m x
mx
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，

g x 图象与

f x 图象关于
π
12
x =
对称，则
π
π
12
12
g
x
f
x
æ
ö
æ
ö
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
代入得
π
π
π
π
π
π
2
π ,
N
12
6
3
12
3
2
m
m
x
m x
k
k
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
+
+
+
+
=
+
Î
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
化简可知
π
2π
π
2 π,
3
3
m
k
k
z
+
=
+
Î ，继续化简可得
1 6 ,
N
m
k k
= +
Î
，故D 正确.
33．（25-26 高三上·广东·期末）已知函数


1
3sin
cos
cos
2
f x
x
x
x
=
+
-
，若

f x 在区间
π ,
6 m
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的值
域为
1 ,1
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û ，则实数m 的取值范围是__________.
【答案】π π
,
6 2
é
ù
ê
ú
ë
û
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数

f x ，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】由题可得



2
2
1
3
1
3sin cos
cos
sin 2
2cos
1
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
=
+
-
=
+
-
3
1
π
sin 2
cos2
sin 2
2
2
6
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
当
π ,
6
x
m
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û 时，
π
π
π
2
,2
6
6
6
x
m
é
ù
+
Î -
+
ê
ú
ë
û ，又
π
7π
1
sin
sin
6
6
2
æ
ö
-
=
= -
ç
÷
è
ø
，
π
sin
1
2 = ，
函数
sin
y
x
=
在
π π
,
6 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，在π 7π
,
2
6
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，而

f x 的值域为
1 ,1
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û ，
所以π
π
7π
2
2
6
6
m
£
+
£
，得π
π
6
2
m
£
£
，
所以实数m 的取值范围为π π
,
6 2
é
ù
ê
ú
ë
û .
故答案为：π π
,
6 2
é
ù
ê
ú
ë
û .
34．（2026·四川·模拟预测）设函数
π
( )
2cos(
)(
0)
3
f x
x
w
w
=
-
>
，若存在常数(
0)
l l <
，使得对任意xÎR ，
有
(
2 )
( )
f x
f x
l
l
+
=
，则当w 取最小值时，
( )
f x 在[ 1
]
3, 1
2
-
上的值域为_________.
【答案】
2
6
[0,
]
2
+
【分析】利用余弦函数的最大值求出l ，利用周期函数的性质求出函数
( )
f x 的周期，并求出w 的最小值，
再利用余弦函数性质求出值域.
【详解】函数

π
2cos(
)
3
f x
x
w
=
-
，则
π
(
2 )
2cos[ (
2 )
]
3
f x
x
l
w
l
+
=
+
-
，其最大值为2，
π
( )
2 cos(
)
3
f x
x
l
l
w
=
-
的最大值为2l
-
，由
(
2 )
( )
f x
f x
l
l
+
=
，得
1
l = - ，
因此对任意xÎR ，有
(
2)
( )
f x
f x
-
= -
，
(
4)
(
2)
( )
f x
f x
f x
-
= -
-
=
，即函数
( )
f x 的周期为4，
又函数
( )
f x 的最小正周期为2π
w ，于是
2π
4,
N
k
k
w
*
×
=
Î
，解得
π ,
N
2
k
k
w
*
=
Î
，
又
π
π
π
(
2)
2cos[ (
2)
]
2cos(
π)
2cos(
)
3
3
3
f x
x
x
k
x
w
w
w
-
=
-
-
=
-
-
= -
-
，因此k 为正奇数，
则
min
π
2
w
=
，
π
π
( )
2cos(
)
2
3
f x
x
=
-
，当
1 1]
3 2
[
,
x
-
Î
时，π
π
π
π
[
,
]
2
3
2
12
x -
Î -
-
，
当
1
3
x 
时，
min
( )
0
f x
=
；当
1
2
x =
时，
max
π
π
π
2
1
2
3
2
6
( )
2cos(
)
2cos(
)
2(
)
12
4
3
2
2
2
2
2
f x
+
=
-
=
-
=
´
+
´
=
，
所以，
( )
f x 在[ 1
]
3, 1
2
-
上的值域为
2
6
[0,
]
2
+
.
35．（2026·江苏镇江·一模）已知



*
sin
f
x
x
w
w
=
ÎN
，若在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上存在两个不相等的实数a ，b ，
满足


2
f a
f b
+
=
，则w 的最小正整数为________.
【答案】5
【详解】因为
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，所以
π
0, 2
x
w
w
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
又函数



*
sin
f
x
x
w
w
=
ÎN
在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上存在两个不相等的实数a ，b 使得


2
f a
f b
+
=
，
且

sin
1
f x
x
w
=
£ ，
所以函数在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上至少存在两个最大值点，
所以wp
p
³ 5
2
2 ，解得
5
w ³
，
所以w 的最小正整数为：5.
36．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数



1
sin
,
0
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
ç
÷
è
ø在区间

π,2 π
w
w
上单调递增，
在区间

2 π,3 π
w
w
上单调递减，则j 的最小值为__________．
【答案】π
2
【分析】本题根据正弦函数的单调性，结合已知条件求出w 的取值，再根据特定区间，考虑
2 π
x
w
=
处的函
数值得到关于j 的不等关系求出k 的范围即可分析求解.
【详解】显然
1
1
2π
π
,2 π
π
π
2
2
w
w
w
w
w
w
>
-
=
£
´
=
，可得
2
1
w £ ，所以1
1
2
w
<
£ .
函数

f x 在区间

π,2 π
w
w
上单调递增，在区间

2 π,3 π
w
w
上单调递减，所以 


2 π
1
f
w
= ，
于是
2
π
2
π
2 π,
2
k
k
w
j
+
=
+
ÎZ ，所以
2
π
2 π
2
π,
2
k
k
j
w
=
+
-
ÎZ ，
因为1
1
2
w
<
£ 且
0
j >
，所以
2
π
2
π
,
2 k
w
j
+
>
ÎZ ，
所以π
π
2 π
,
2
2
k
k
+
>
ÎZ ，解得
0
k >
，
所以由
2
π
2 π
2
π
2
k
j
w
=
+
-
可知当
1,
1
k
w
=
= 时，j 有最小为π
2 ．
37．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数



sin
sin (0
π)
f x
x
x
j
j
=
+
+
<
<
，若

f x 的图象关于直线
π
4
x =
对称，

2
2
f q =
，则sin2q 的值为______.
【答案】
1
2
-
/ 0.5
-
【分析】先利用和差化积公式化简

f x ，再根据对称性求出
π
2
j =
，利用

2
2
f q =
求出
π
1
sin
4
2
q
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
再计算sin 2q 即可
【详解】函数



sin
sin
2sin
cos
2
2
f x
x
x
x
j
j
j
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
，因为函数

f x 图象关于直线
π
4
x =
对称，
所以π
π
π,
4
2
2
k
k
j
+
=
+
ÎZ ，即
π
2 π,
2
k
k
j =
+
ÎZ，因为0
π
j
<
<
，所以
π
2
j =
，
所以

π
2sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
又

2
2
f q =
，所以
π
1
sin
4
2
q
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
π
π
π
π
sin 2
sin 2
cos 2
1 2sin
4
2
4
4
q
q
q
q
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
= -
+
= -
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
2
2
π
1
1
1
2sin
1
2
1
1
4
2
2
2
q
æ
ö
æ
ö
=
+
- =
´
- =
- = -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
38．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数





π
sin
0 ,
0,π
3
f x
x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
Î
ç
÷
è
ø
，关于x 的方程



2
2
2
3
3
0
f
x
f
x
-
+
+
=
有6 个不同的实数根，则w 的取值范围为_______________.
【答案】7 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
【分析】问题化为
π
π
π
[
,
π
)
3
3
3
x
w
w
+
Î
+
上
3
( )
2
f x =
有4 个不同实根，且
( )
1
f x = 有2 个不同实根，结合正弦
函数的图象得8π
π
13π
π
3
3
3
w
<
+
£
，即可得.
【详解】



2
2
2
3
3
[2 ( )
3][ ( ) 1]
0
f
x
f x
f x
f x
-
+
+
=
-
-
=
共有6 个不同的实根，
由
π
π
π
[
,
π
)
3
3
3
x
w
w
+
Î
+
，则
3
( )
2
f x =
有4 个不同实根，且
( )
1
f x = 有2 个不同实根，
根据正弦函数的图象知8π
π
13π
π
3
3
3
w
<
+
£
，可得7
4
3
w
<
£
.
故答案为：7 ,4
3
æ
ù
ç
ú
è
û
39．（2026·江西·一模）已知函数



2
sin
,
0,
5
f x
x
j
j
p
æ
ö
=
+
Î
ç
÷
è
ø
.若方程

3
2
f x =
在

0,211p 上恰有85 个
解，则j 的取值范围为__________.
【答案】
4π
π 2π
0,
,
15
3
3
æ
ù
æ
ù
È
ç
ç
ú
ú
è
û
è
û
【分析】先求得
( )
f x 的周期为5p ，则区间[0,211 )
p 内包含42（余p ）个完整周期，在完整周期内有84 个解，
则在余下区间

210 ,211
p
p 内有1 个解，设
2
5 x
q
j
=
+
，结合题意与任意角，可得
3
sin
2
q =
在区间
2
,
5
p
j j
é
ö
+
÷
êë
ø
内有1 个解，解得
2
3
k
p
q
p
=
+
或
2
2
3
k
p
q
p
=
+
，k ÎZ ，分情况讨论仅有的1 个解是3
p 或是2
3
p 即可求得j
的取值范围.
【详解】函数

2
sin 5
f x
x
j
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的周期
2
5
2
5
T
p
p
=
=
，每个周期内
2
3
sin 5
2
x
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
有2 个解，
( )
f x 在区间[0,211 )
p 内包含211
42
5
p
p
=
（余p ）个完整周期，
在完整周期内有42
2
84
´
=
个解，故余下区间

210 ,211
p
p 内有1 个解，
设
2
5 x
q
j
=
+
，则
2
2
sin
sin
84
,84
5
5
y
x
p
j
q q
p
j
p
j
æ
ö
æ
ö
é
ö
+
=
Î
+
+
+
ç
÷
ç
÷
÷
ê
è
ø
ë
è
=
øø ，
即
3
sin
2
q =
在区间
2
84
,84
5
p
p
j
p
j
é
ö
+
+
+
÷
êë
ø 内有1 个解，
由任意角可得
3
sin
2
q =
在区间
2
,
5
p
j j
é
ö
+
÷
êë
ø 内有1 个解，
解得
2
3
k
p
q
p
=
+
或
2
2
3
k
p
q
p
=
+
，k ÎZ ，
因为


0,
j
p
Î
，易得
0
k =
，则有：
①区间
2
,
5
p
j j
é
ö
+
÷
êë
ø 包含3
p 但不包含2
3
p ，
即
2
2
3
5
3
p
p
p
j
j
£
£
+
£
，且


0,
j
p
Î
，解得
4
0
15
p
j
<
£
，
②区间
2
,
5
p
j j
é
ö
+
÷
êë
ø 包含2
3
p 但不包含3
p ，
即
2
2
3
3
5
p
p
p
j
j
<
£
<
+
，且


0,
j
p
Î
，解得
2
3
3
p
p
j
<
£
，
综上，j 的取值范围为
4π
π 2π
0,
,
15
3
3
æ
ù
æ
ù
È
ç
ç
ú
ú
è
û
è
û
.
40．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知
0
w >
，在函数



sin
f x
x
w
j
=
+
的部分图象中，其图象上的
点, ,
A B C 是同一直线上的三点，且该直线与x 轴交于点D ，若
1
AD
DB
BC
=
=
= ，则w =__________.
【答案】
5π
4
【分析】设
0
(
,0)
D x
，
0
(
, )
A x
a b
-
，
0
(
,
)
B x
a
b
+
-
，


0
2 , 2
C x
a
b
+
-
且
2
2
1
a
b
+
= ，,
0
a b >
，结合已知条件






0
0
0
sin
sin
sin
2
2
x
a
b
x
a
b
x
a
b
w
w
j
w
w
j
w
w
j
ì
-
+
=
ï
+
+
= -
í
ï
+
+
= -
î
，进而得到
π
2
a
w
=
、




0
0
2cos
sin
x
x
w
j
w
j
+
= -
+
、


0
cos
x
b
w
j
+
= - ，即可求
解.
【详解】因为
1
AD
DB
BC
=
=
= ，
点, ,
A B C 是图象上的同一直线上的三点，直线与x 轴交于点D ，
,
A B 两点关于D 点对称.，
,
C D 两点关于B 点对称.，
设
0
(
,0)
D x
，
0
(
, )
A x
a b
-
，
0
(
,
)
B x
a
b
+
-
，


0
2 , 2
C x
a
b
+
-
，且
2
2
1
a
b
+
= ，,
0
a b >
，
所以






0
0
0
sin
sin
sin
2
2
x
a
b
x
a
b
x
a
b
w
w
j
w
w
j
w
w
j
ì
-
+
=
ï
+
+
= -
í
ï
+
+
= -
î
①，则




0
0
sin
sin
0
x
a
x
a
w
w
j
w
w
j
-
+
+
+
+
=
，
所以




0
2sin
cos
0
x
a
w
j
w
+
=
，故


0
sin
0
x
w
j
+
=
或


cos
0
a
w
=
，
若


0
sin
0
x
w
j
+
=
，即
0
(
,0)
D x
是

f x 的一个零点，不符合题意，
所以


cos
0
a
w
=
，则
π
π,
Z
2
a
k
k
w
=
+
Î
，而
2π
2
0
π
a
T
a
w
w
<
=
Þ
<
<
，
所以
π
2
a
w
=
，结合①有


0
0
π
2sin
sin
π
2
x
x
w
j
w
j
æ
ö
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
，所以




0
0
2cos
sin
x
x
w
j
w
j
+
= -
+
，
而


0
0
π
sin
cos
2
x
x
b
w
j
w
j
æ
ö
-
+
= -
+
=
ç
÷
è
ø
，所以


0
cos
0
x
b
w
j
+
= - <
，


0
sin
2
x
b
w
j
+
=
，
所以




2
2
2
0
0
1
sin
cos
5
1
5
x
x
b
b
w
j
w
j
+
+
+
=
= Þ
=
，
2
5
a =
，
所以
4
π
5π
2a
w =
=
.
题型09  解三角形小题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
已知三边求角
直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。
2
正弦定理化边为角求比值
由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关系，
进而求出比值。
3
解三角形的实际应用（测
量高度）
在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定理
求边长，最终得到高度。
4
同角关系与正弦定理求正
弦比
先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角的
正弦比。
5
余弦定理求面积
由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。
6
余弦定理与基本不等式求
面积最大值
由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求两
边乘积的最大值，进而求面积最大值。
7
正弦定理角化边与余弦定
理求角
利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关
系，再由余弦定理求角。
8
三角恒等变换求角与边
先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合
余弦定理求边。
9
面积公式与余弦定理结合
求面积
由已知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，再
求面积。
10
正弦定理、余弦定理与面
积公式求角
利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化简
得到角的余弦值。
11
角平分线性质与余弦定理
求线段长
由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，再
求目标线段。
12
二倍角公式与正弦定理判
断三角形形状
利用二倍角公式化简已知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的关
系，从而判断三角形形状。
13
锐角三角形中边角范围
由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正
弦，结合锐角条件确定取值范围。
14
正四面体中的解三角形
在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求角。
15
实际航行问题（正弦定理）
根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。
16
内切圆面积最值
利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不等
式求半径的最大值，进而求面积最大值。
17
中点向量与余弦定理求最
小值
利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定理
和基本不等式求最小值。
18
已知两角及一边解三角形
利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。
19
正弦定理与辅助角公式求
角
由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据三
角函数有界性确定角，再求面积。
20
余弦定理与基本不等式判
断角
将已知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，从
而判断角的性质。
21
面积公式与正弦值求角
（两解）
由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能值。
22
余弦定理与面积公式判断
选项
利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。
23
降幂公式与和差化积求角
利用降幂公式和和差化积化简已知等式，得到角的关系，再结合面积
公式求边。
24
几何图形中的解三角形
根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性质
求解边长和角度。
25
三角恒等变换与余弦定理
求边角关系
将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再结
合余弦定理判断选项。
26
正弦定理与三角恒等变换
求角及最值
利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式求
周长范围、向量数量积最值及中线最小值。
27
正弦定理与和差化积求角
及中线长
由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余弦
定理求边长和中线长。
28
诱导公式与两角和差公式
利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正弦
求角及外接圆半径
定理求外接圆半径和边长。
29
边角互化与向量数量积求
角及边长范围
利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求边，
利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。
30
正弦定理与余弦定理求角
将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦
值。
31
正弦定理与两角和公式求
边比
由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的比
例关系。
32
外心向量与余弦定理求面
积最大值
利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不等
式求面积的最大值。
33
三角形面积分割与正弦定
理求最值
将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示边
长，通过三角函数化简求最值。
34
三角形等分面积与基本不
等式求最短分割线
分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合基
本不等式求最小值。
35
正弦定理与换元法求分式
最小值
利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用判
别式法求最小值。
一、单选题
1．（2026·福建莆田·二模）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
5
a =
，
7
b =
，
8
c = ，
则B = （   ）
A．π
12
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【答案】B
【分析】根据余弦定理求出cos B 的值，再结合角B 的取值范围确定角B 的大小.
【详解】
2
2
2
2
2
2
5
8
7
1
cos
2
2 5 8
2
a
c
b
B
ac
+
-
+
-
=
=
=
´ ´
因为0
π
B
<
<
，所以
π
3
B =
.
故选：B.
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
3
cos
cos
5
a
B
b
A
c
-
=
，则tan
tan
A
B = （   ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得.
【详解】由
3
cos
cos
5
a
B
b
A
c
-
=
和正弦定理，得
3
sin
cos
sin
cos
sin
5
A
B
B
A
C
-
=
（*），
因sin
sin(π
)
sin(
)
sin
cos
sin
cos
C
A
B
A
B
A
B
B
A
=
-
-
=
+
=
+
，
将其代入（*）整理得sin
cos
4sin
cos
A
B
B
A
=
，
即得tan
4tan
A
B
=
，故tan
4
tan
A
B =
.
3．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点A
B
、，两
点与天汉楼底部中心O 在同一水平面上（O 为楼顶P 在底面的投影）．测得以下数据：
15 6
AB =
米，
45
75
AOB
OAB
Ð
Ð
=
=
o
o
，
，且从点A 测得P 的仰角a 满足
23
tan
15
a =
．则天汉楼主体高度PO 约为（     ）
A．45 米
B．46 米
C．69 米
D．70 米
【答案】C
【详解】在
AOB
V
中，由正弦定理得sin
sin
AB
OA
AOB
ABO
Ð
Ð
=
，
所以


3
15 6
sin 180
45
75
sin
2
45
sin
sin45
2
2
AB
AB
ABO
OA
AOB
´
×
-
-
×
Ð
=
=
=
=
Ð
o
o
o
o
米，
由tan
OP
OA
a =
，得
23
tan
45
69
15
OP
OA
a
=
×
=
´
=
米.
所以天汉楼主体高度PO 约为69 米.
4．（2026·山西运城·一模）在
ABC
V
中，
2
AC
AB
=
，
1
cos
2
B =
，则sinC =（   ）
A．1
3
B．
3
3
C．1
4
D．
3
4
【答案】D
【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得.
【详解】因为
1
cos
2
B =
，且0
π
B
<
<
，所以
2
3
sin
1 cos
2
B
B
=
-
=
.
又因为
ABC
V
中，
2
AC
AB
=
，由正弦定理得sin
sin
AB
AC
C
B
=
，
所以
1
3
sin
sin
2
4
C
B
=
=
.
5．（25-26 高三下·安徽·月考）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
6,
8 2
bc
b
c
a
=
+
-
=
，
则
ABC
V
的面积为（    ）
A．1
B．2
C．2
D．2 2
【答案】A
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2 2
cos
2
3
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，则
2
1
sin
1 cos
3
A
A
=
-
=
，
故
ABC
V
的面积为
1
1
1
sin
6
1
2
2
3
S
bc
A
=
=
´ ´
= .
6．（2026·山东菏泽·一模）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
5
ab =
，
2
c =
，则
ABC
V
的面积的最大值为（    ）
A．3
2
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由条件根据余弦定理求cosC 的表达式，利用基本不等式求cosC 的最小值，再由同角关系求sinC
的最大值，利用三角形面积公式求结论.
【详解】由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，又
5
ab =
，
2
c =
，
所以
2
2
4
cos
10
a
b
C
+
-
=
，
由基本不等式可得
2
2
2
10
a
b
ab
+
³
=
，当且仅当
5
a
b
=
=
时等号成立，
所以
10
4
3
cos
10
5
C
-
³
=
，又


0,π
C Î
，
所以
2
2
3
4
sin
1 cos
1
5
5
C
C
æ
ö
=
-
£
-
=
ç
÷
è
ø
，sin
0
C >
，
所以
ABC
V
的面积
1
1
4
sin
5
2
2
2
5
S
ab
C
=
£
´ ´
=
，
所以当
5
a
b
=
=
时，
ABC
V
的面积取最大值，最大值为2 .
7．（2026·北京延庆·一模）在
ABC
V
中，
120
C =
° ，
2
6
a
b
+
=
，sin
4sin
A
B
=
，则c = （    ）．
A．13
B．
21
C．17
4 3
+
D．17
4 3

【答案】B
【分析】由正弦定理角化边，求得,a b ，再由余弦定理即可求解.
【详解】 根据正弦定理
2
sin
sin
a
b
R
A
B
=
=
，结合条件sin
4sin
A
B
=
，可得： 
2 sin
4 2 sin
4
a
R
A
R
B
b
=
=
×
=
，
即
4
a
b
=
.
又已知
2
6
a
b
+
=
，代入
4
a
b
=
得：4
2
6
1
b
b
b
+
=
Þ
= ，因此
4
a =
.
由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
代入
1
4,
1,cos120
2
a
b
=
=
= -
o
，
2
2
2
1
4
1
2 4 1
21
2
c
æ
ö
=
+
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
 ，
因此
21
c =
.
8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
1
1
6
3,sin
sin
sin
tan
2
A
C
B
B
+
=
+
=
，则
2
b
ac = （    ）
A．
3
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先对 
1
1
3
sin
tan
B
B
+
=
 进行化简，求出角B ，再利用正弦定理将 
6
sin
sin
2
A
C
+
=
 转化为边
的关系，最后结合余弦定理求出 
2
b
ac
 的值.
【详解】由 
1
1
3
sin
tan
B
B
+
=
 ，得 
1
cos
3
sin
sin
B
B
B
+
=
 ，即 1 cos
3
sin
B
B
+
=
 ，
因为
2
1
cos
2cos 2
B
B
+
=
， sin
2sin
cos
2
2
B
B
B =
，
所以 
2
2cos 2
3
2sin
cos
2
2
B
B
B =
 ，即 
cos 2
3
sin 2
B
B =
 ，化简得
3
tan 2
3
B =
，
因为 0
π
B
<
<
 ，所以 
π
0
2
2
B
<
<
 ，
则
π
2
6
B =
 ， 
π
3
B =
；
由正弦定理可得 sin
,sin
2
2
a
c
A
C
R
R
=
=
 （ R 为 
ABC
V
外接圆半径），
所以 
6
sin
sin
2
2
2
a
c
A
C
R
R
+
=
+
=
 ，即 
6
2
2
a
c
R
+
=
 ，所以 
6
a
c
R
+
=
；
因为 
π
π
1
,cos
3
3
2
B =
=
 ，根据余弦定理得 
2
2
2
2
(
)
3
b
a
c
ac
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
，
6
a
c
R
+
=
 ，可得 
2
2
(
)
6
a
c
R
+
=
 ，
又因为 
π
3
2 ,sin
sin
sin
3
2
b
R
B
B =
=
=
 ，所以 
3
b
R
=
 ，则 
2
2
3
=
b
R ，
将 
2
2
3
=
b
R 和 
2
2
(
)
6
a
c
R
+
=
 代入 
2
2
(
)
3
b
a
c
ac
=
+
-
 中，可得
2
2
3
6
3
R
R
ac
=
-
 ，
移项可得 
2
3
3
ac
R
=
 ，即 
2
ac
R
=
，所以 
2
2
2
3
3
b
R
ac
R
=
=
.
故选：C.
9．（2026·江苏·一模）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
60
A =
°，
6sin
cos
bc
B
C
=
，
3
cos
sin
6
B
C =
，则
ABC
V
的面积为（   ）
A．1
B．3
2
C．3 3
2
D．3 3
【答案】B
【详解】因为
π
A
B
C
+
+
=
，所以
π
B
C
A
+
=
-
，
所以




sin
sin
cos
cos
sin
sin π
sin
B
C
B
C
B
C
A
A
+
=
+
=
-
=
，
所以sin
cos
sin
cos
sin
B
C
A
B
C
=
-
=
-
=
3
3
3
2
6
3
，
所以
3
6sin
cos
6
2 3
3
bc
B
C
=
=
´
=
，
所以
1
1
3
3
sin
2 3
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
=
=
´
´
=
V
10．（2026·四川成都·二模）记
ABC
V
的面积为S，
ABC
V
的外接圆半径为1，且
2
2
2
sin
sin
sin
S
A
B
C
=
+
-
，
则C = （   ）
A．4
p
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】A
【详解】由正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
（R 为
ABC
V
的外接圆半径），且
ABC
V
的外接圆半径为1，
得
sin
,sin
,sin
2
2
2
2
a
a
b
c
A
B
C
R
=
=
=
=
，
代入
2
2
2
sin
sin
sin
S
A
B
C
=
+
-
得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
a
b
c
a
b
c
S
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
+
-
=
，
又
in
1
2
s
S
ab
C
=
，所以1
2
cos
sin
2
4
ab
C
ab
C =
，化简得sin
cos
C
C
=
，
因为


0,π
C Î
，所以
π
4
C =
.
11．（2026·河南·模拟预测）在
ABC
V
中，
4
AB =
，
5
BC =
，
21
AC =
，D 为边AC 上一点，且BD 平分
ABC
Ð
，则BD = （   ）
A．20 3
9
B．
21
3
C．9
2
D．14
3
【答案】A
【分析】先根据三角形角平分线的性质确定AD 的长度，再利用余弦定理求cos A和BD 的长.
【详解】如图：
因为BD 平分
ABC
Ð
，所以
4
5
AD
AB
CD
BC
=
=
，又
21
AC =
，所以
4 21
9
AD =
.
在
ABC
V
中，根据余弦定理，可得
2
2
2
cos
2
+
-
=
×
×
AB
AC
BC
A
AB AC
16
21 25
3
8 21
2 21
+
-
=
=
，
在
ABD
△
中，根据余弦定理，
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB AD
A
=
+
- ×
×
×
16 21
4 21
3
16
2 4
81
9
2 21
´
=
+
- ´ ´
´
16 25
27
´
=
，
所以
4 5
20 3
9
3 3
BD
´
=
=
.
12．（2026·湖南怀化·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为
2
, , , sin
2 cos
cos
2
A
a b c a
C
b
b
a
B
+
=
+
，则
ABC
V
一定为（    ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在
ABC
V
中， 
2
sin
2 cos
cos
2
A
a
C
b
b
a
B
+
=
+
,
则
1
cos
sin
2
cos
2
A
a
C
b
b
a
B
+
+
=
´
+
，即sin
cos
cos
a
C
b
A
a
B
=
+
，
则


sin
sin
sin cos
sin
cos
sin
A
C
B
A
A
B
A
B
=
+
=
+
，即得sin
sin
sin
A
C
C
=
,
由于


0,π ,sin
0
C
C
Î
¹
，故sin
1
A = ，结合


0,π
AÎ
，可得
π
2
A =
，
即
ABC
V
一定为直角三角形，
13．（2026·广东广州·二模）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且
2
1
1
cos4
2
2
a
a
a
B
æ
ö
-
+
=
-
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
a
b
+
的取值范围（    ）
A．3 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2 ,2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．

2,4
D．

2,4
【答案】A
【分析】根据二倍角公式可得
2
2
2
2sin 2
sin 2
0
a
B a
B
+
-
×
=
，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三
角函数的性质可得
π
4
B =
，
1
a = ，即可根据正弦定理求解.
【详解】由
2
1
1
cos4
2
2
a
a
a
B
æ
ö
-
+
=
-
ç
÷
è
ø
可得




2
2
2
1
1
1
1 cos4
1 1 2sin 2
2sin 2
2
2
2
a
a
B
a
B
B
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
- +
=
-
- + -
= -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
因此
2
2
2
2sin 2
sin 2
0
a
B a
B
+
-
×
=
，
由于


4
2
2
2
Δ
4sin 2
4sin 2
4sin 2
sin 2
1
0
B
B
B
B
=
-
=
-
³
，
故
2
sin 2
1
0
B - ³
，即
2
sin 2
1
B ³ ，又
2
sin 2
1
B £ ，故
2
sin 2
1
B = ，
结合B 为锐角，则


2
0,π
BÎ
，故sin 2
1
B = ,且
π
4
B =
，此时
1
a = ，
因此
π
0
2
A
<
<
且
3π
π
0
4
2
C
A
<
=
-
<
，故π
π
4
2
A
<
<
，
又
sin
2
1
sin
2 sin
a
B
b
A
A
=
=
，则
2
2
1
1
2 sin
b
A
=
，
故
2
2
2
1
1
1
2 sin A
a
b = +
+
，
由于π
π
4
2
A
<
<
，则
2
sin
1
2
A
<
< ，
2
1
sin
1
2
A
<
< ，
故
2
2
2
1
1
3
1
,2
2 sin
2
a
b
A
æ
ö
+
= +
Îç
÷
è
ø
.
14．（2026·河北衡水·一模）在正四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，
3
CF
FD

r
r
，
3
CG
GA
=
r
r
，则cos
GEF
Ð
=
（   ）
A．2
7
B．5
14
C．3
7
D．3 7
14
【答案】B
【详解】连接GF ，设正四面体ABCD 的棱长为4，则
2
CE =
，
3
CF
CG
=
=
，
π
3
BCA
ACD
BCD
Ð
= Ð
= Ð
=
，则
CFG
△
为正三角形，所以
3
FG
CF
=
=
，
由余弦定理得
2
2
1
2
·
cos
9
4
2 3 2
7
2
EF
CF
CE
CF CE
ECF
=
+
-
Ð
=
+
- ´ ´ ´
=
，
2
2
1
2
·
cos
9
4
2 3 2
7
2
EG
CG
CE
CG CE
ECG
=
+
-
Ð
=
+
- ´ ´ ´
=
，
故
2
2
2
7
7
9
5
cos
2
·
2 7
14
EG
EF
FG
GEF
EG EF
+
-
+
-
Ð
=
=
=
´
.
15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A 处出发，沿着正东方向行驶到B 处，再从B 处向北偏西
30°方向行驶20 3 千米到达C 处，此时，C 处在A 处的东北方向，则A、C 两处之间的距离是（   ）
A．30 千米
B．30 2 千米
C．20 6 千米
D．20 7 千米
【答案】B
【详解】如图，由题意可知
20 3
BC =
千米，
45
BAC
Ð
=
° ，
60
ABC
Ð
=
° ，
则由正弦定理知
sin
20 3sin 60
30 2
sin
sin 45
BC
ABC
AC
BAC
Ð
°
=
=
=
Ð
°
千米.
16．（2026·河北保定·一模）已知ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
cos
cos
4 3cos ,
60
a
C
c
A
B B
+
=
=
o，则
ABC
V
的内切圆面积的最大值为（    ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【答案】A
【分析】设
ABC
V
的内切圆半径为r ，利用


1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
，把r 表示成关于a
c
+ 的函数，
利用基本不等式求出r 的最大值可得答案.
【详解】由cos
cos
4 3 cos
a
C
c
A
B
+
=
，
60
B =
° ，
得cos
cos
2 3
a
C
c
A
+
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2 3
2
2
a
b
c
b
c
a
a
c
ab
bc
+
-
+
-
×
+ ×
=
，
整理得
2 3
b =
.
设
ABC
V
的内切圆半径为r ，则


1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
，
所以
3
3
2
2
2 3
ac
ac
r
a
b
c
a
c
=
×
=
×
+
+
+
+
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
12
2
cos60
(
)
3
b
a
c
ac
a
c
ac
=
=
+
-
° =
+
-
，
得
2
(
)
12
3
a
c
ac
+
-
=
，所以


2
3
(
)
12
3
2 3
2
2
3
3
2 3
a
c
a
c
r
a
c
+
-
+ -
=
×
=
×
é
ù
+
+
ë
û
，
由基本不等式得：
2
2
(
)
(
)
12
4
3
a
c
a
c
ac
+
+
-
³
=
，所以
4 3
a
c
+
£
，
当且仅当a
c
=
时等号成立，所以
3
4 3
2 3
1
2
3
r
-
£
´
= ，
故max
1
r
= ，所以
ABC
V
的内切圆面积的最大值为π .
17．（2026·河南许昌·模拟预测）
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
sin
sin
sin
2 3cos
cos
2
2
A
B
A
B
C
+
+
=
，2
4
a
b
+
=
，若M 是AC 的中点，则BM 的最小值为（   ）
A．
3
2
B．1
C．
3
D．2
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得
π
3
C =
，再由余弦定理即可求解.
【详解】由


sin
sin
sin
2sin
cos
sin
2
2
A
B
A
B
A
B
C
A
B
+
-
+
+
=
+
+
2sin
cos
2sin
cos
2
2
2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
+
-
+
+
=
+
2sin
cos
cos
2sin
2cos
cos
2
2
2
2
2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
+
-
+
+
æ
ö
=
+
=
´
ç
÷
è
ø
π
4sin
cos
cos
4cos
cos
cos
2
2
2
2
2
2
C
A
B
A
B
C
-
=
=
，
所以4cos
cos
cos
2 3 cos
cos
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
=
，
又0
π,0
π
A
B
<
<
<
<
，所以
π
π
0
,0
2
2
2
2
A
B
<
<
<
<
，
所以cos
0,cos
0
2
2
A
B
¹
¹
，
所以
3
cos 2
2
C =
，
又0
π
C
<
<
，
π
0
2
2
C
<
<
，
所以
π
2
6
C =
，所以
π
3
C =
，
又M 是AC 的中点，所以
1
1
2
2
MC
AC
b
=
=
，
由余弦定理有：
2
2
2
2
2
π
2
cos
2
2
3
4
2
b
b
b
ab
BM
a
a
a
æ
ö
=
+
- ´ ´
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
又2
4
a
b
+
=
，
所以






2
2
2
2
2
4
2
4
2
3
6
4
3
1
1 1
4
2
a
a
a
BM
a
a
a
a
-
-
=
+
-
=
-
+
=
-
+ ³ ，
当
1
a = 时，
2
1
BM
= ，即
1
BM = .
18．（2026·山东聊城·一模）已知
ABC
V
中，
π
6
A =
，D 是边AB 上一点，BC
CD
^
，
3
AD =
，且
2 7
cos
7
B =
，则边AB 的长为（   ）
A．7 3
3
B．3 3
C．10 3
3
D．4 3
【答案】C
【分析】由BC
CD
^
求出
90
ADC
B
Ð
=
°+ Ð ，由cosB 的值和
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= 求出sinB ，利用诱导公式求出
sin
ADC
Ð
和cos
ADC
Ð
，由
5π
6
ACD
ADC
Ð
=
- Ð
，利用两角差的正弦公式求出sin
ACD
Ð
的值，利用正弦定
理求出CD 的值，由
90
BCD
Ð
=
°得到sin
CD
B
DB
=
，计算出BD 的值，由D 是边AB 上一点得到
AB
AD
BD
=
+
，代入数值得解.
【详解】
BC
CD
^
Q
，
π
2
BCD
\Ð
=
，
π
2
B
CDB
\Ð + Ð
=
，
π
2
CDB
B
\Ð
=
- Ð ，
π
π
π
π
2
2
ADC
CDB
B
B
æ
ö
\Ð
=
- Ð
=
-
- Ð
=
+ Ð
ç
÷
è
ø
，
2 7
cos
7
B =
Q
，
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= ，
2
2
2 7
sin
1
7
B
æ
ö
\
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
0
π
B
<
<
Q
，
21
sin
7
B
\
=
，
π
2 7
sin
sin
cos
2
7
ADC
B
B
æ
ö
\
Ð
=
+ Ð
=
=
ç
÷
è
ø
，
π
21
cos
cos
sin
2
7
ADC
B
B
æ
ö
\
Ð
=
+ Ð
= -
= -
ç
÷
è
ø
，
π
5π
π
π
6
6
ACD
A
ADC
ADC
ADC
Ð
=
- Ð - Ð
=
-
- Ð
=
- Ð
Q
，
5π
5π
5π
sin
sin
sin
cos
cos
sin
6
6
6
ACD
ADC
ADC
ADC
æ
ö
\
Ð
=
- Ð
=
Ð
-
Ð
ç
÷
è
ø
，
1
21
3
2 7
21
2
7
2
7
14
æ
ö
=
´ -
+
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
π
6
A =
Q
，
2 7
sin
7
ADC
Ð
=
，
3
AD =
，
21
sin
14
ACD
Ð
=
，
在
ADC
△
中，
sin
sin
sin
AD
CD
AC
ACD
A
ADC
=
=
Ð
Ð
Q
，
3
π
21
2 7
sin 6
14
7
CD
AC
\
=
=
，
7
CD
\
=
，
2 7
cos
7
B =
Q
，
21
sin
7
B =
，
7
CD =
BC
CD
^
Q
，
π
2
BCD
\Ð
=
，
sin
CD
B
DB
\
=
，
7
21
7
DB
\
=
，
7 3
3
BD
\
=
，
D
Q
是边AB 上一点，
7 3
10 3
3
3
3
AB
AD
BD
\
=
+
=
+
=
.
19．（25-26 高三下·河南·开学考试）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2 3,
3 sin
3
2 cos
cos
a
a
C
c
c
B
C
=
=
-
，则
ABC
V
的面积为（   ）
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
D．2 3
【答案】C
【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得3sin
cos
A+




cos
3
B
C
B
C
+
+
-
=
，进而根据诱导公
式以及辅助角公式得
π
2sin
6
A
æ
ö
-
ç
÷
è
ø


cos
3
B
C
+
-
=
，根据三角函数的有界性得


π
sin
cos
1
6
A
B
C
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
即可求解角的大小，即可得解.
【详解】由题意及正弦定理，得3sin
sin
3sin
2sin
cos
cos
A
C
C
C
B
C
=
-
，
又sin
0
C ¹
，所以3sin
3
2cos
cos
A
B
C
=
-
，则3sin
2cos
cos
3
A
B
C
+
=
，
因为


cos
cos
cos
sin
sin
,
B
C
B
C
B
C
-
=
+


cos
cos
cos
sin
sin
B
C
B
C
B
C
+
=
-
，
所以




cos
cos
2cos
cos
B
C
B
C
B
C
-
+
+
=
，
所以3sin
cos
A+




cos
3
B
C
B
C
+
+
-
=
，
又
π
B
C
A
+
=
-
，所以


3sin
cos
cos
3
A
A
B
C
-
+
-
=
，
所以
π
2sin
6
A
æ
ö
-
ç
÷
è
ø


cos
3
B
C
+
-
=
，又


π
2sin
2,cos
1
6
A
B
C
æ
ö
-
£
-
£
ç
÷
è
ø
，
所以当且仅当


π
sin
cos
1
6
A
B
C
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
时，


π
2sin
cos
3
6
A
B
C
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
又


, ,
0,π
A B C Î
，且
π
A
B
C
+
+
= ，所以
π
π
6
2
A -
=
，
0
B
C
-
=
，
所以
2π
π
,
3
6
A
B
C
=
=
=
，则
2 3
π
·sin
sin
2
2π
sin
6
sin 3
a
b
c
B
A
=
=
=
´
=
，
故
ABC
V
的面积
1
1
sin
sin
2
2
ABC
bc
A
bc
A
S
=
=
△
1
2π
2 2 sin
3
2
3
=
´ ´ ´
=
．
故选:C
20．（2026·陕西西安·模拟预测）
ABC
V
内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足


2
2
2
2
3
a
b
c
bc
-
+
=
，且
3
cos
4
A ³ -
，则（   ）
A．A 为锐角
B．
2
sin
4
B =
C．
π
6
C >
D．
3π
4
£
A
【答案】B
【分析】根据已知条件结合余弦定理得
3
cos
4
A £ -
，由
3
cos
4
A ³ -
，得
3
cos
4
A = -
，从而确定A 的范围，由
π
2
A
B
C
-
=
=
，得sin
cos 2
A
B =
，计算即可.
【详解】
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
Q
，
又


2
2
2
2
3
a
b
c
bc
-
+
=
Q
，
\ 



2
2
2
2
2
2
cos
3
b
c
bc
A
b
c
bc
+
-
-
+
=
，整理得： 



2
2
1
4cos
0
A bc
b
c
+
+
+
=
，


2
2
cos
4
b
c
bc
A
bc
-
+
-
\
=
，
2
2
2
b
c
bc
+
³
Q
，


2
2
2
3
cos
4
4
4
b
c
bc
bc
bc
A
bc
bc
-
+
-
-
-
\
=
£
= -
，
当且仅当b
c
=
时等号成立，
又
3
cos
4
A ³ -
Q
，
3
cos
4
A
\
= -
，


0,π
AÎ
Q
，
A
\
为钝角，
3
2
3π
cos
cos
4
2
4
A = -
< -
=
Q
，
3π
4
A
\
>
，
b
c
=
Q
，
π
2
A
B
C
-
\
=
=
，
π
sin
sin
2
A
B
-
\
=
，即sin
cos 2
A
B =
，
3
cos
4
A = -
Q
，
2
3
2cos
1
4
2
A
\-
=
- ，解得：
2
cos 2
4
A =
，
2
sin
4
B
\
=
，
2
1
π
sin
sin
4
2
6
C
\
=
<
=
，
π
6
C
\
<
．
二、多选题
21．（25-26 高一下·全国·单元测试）已知
ABC
V
的面积为
3 且
2
b =
，
2
c =
，则A 等于（   ）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
【答案】CD
【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】
1
1
sin
2
2
sin
3
2
2
S
bc
A
A
=
=
´ ´ ´
=
，
3
sin
2
A
\
=
，
因为0
180
A
° <
<
°， 所以
60
A =
°或120°．
故选：CD
22．（25-26 高三上·广西·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
3
a =
，
4
b =
，
60
C
Ð
=
°，则下列结论正确的是（    ）
A．
13
c =
B．
ABC
V
的面积为3 3
C．
3
sin
2
B =
D．
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
-
【答案】AB
【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可.
【详解】对于A，根据余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
得
2
9 16
24cos60
13
c =
+
-
° =
，因此
13
c =
，故A 正确；
对于B，根据三角形面积公式
in
1
2
s
S
ab
C
=
，
可得
1
3
3 4
3 3
2
2
S =
´ ´ ´
=
，故B 正确；
对于C，根据正弦定理，sin
sin
b
c
B
C
=
，
可得
3
4
sin
2 39
2
sin
13
13
b
C
B
c
´
=
=
=
，故C 不正确；
对于D，因为
2
2
2
2
2
2
cos60
c
a
b
ab
a
b
ab
=
+
-
° =
+
-
，
所以
2
2
2
a
b
c
ab
+
=
+
，故D 不正确．
故选：AB.
23．（2026·江西·一模）在
ABC
V
中，三个内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
sin
sin
1 cos
+
= +
A
B
C ，
1
cos cos
2
=
B
C
，
ABC
V
的面积为1，则（   ）
A．
2
bc =
B．
π
3
A =
C．


cos
cos
C
A
B
=
-
D．cos
cos
2
+
=
b
C
c
B
【答案】AC
【分析】由
2
2
2
sin
sin
1 cos
+
= +
A
B
C 及
1
cos cos
2
=
B
C
结合降幂公式、和差化积公式得到


cos
cos
C
A
B
=
-
，
即可判断C；进而得到


cos cos
0 cos
0
A
B
B
=
¹
即可判断B；再结合
π
2
A =
及三角形的面积公式可求解判断
A；结合
1
cos
cos
cos cos
2
c
b
B
C
B
C
a
a
=
=
=
,
,
求出
2
a =
，再结合正弦定理求解判断即可.
【详解】由
2
2
2
sin
sin
1 cos
+
= +
A
B
C 知，
2
1 cos2
1 cos2
1
cos
2
2
-
-
+
= +
A
B
C ，
化简可得
2
cos2
cos2
2cos
0
A
B
C
+
+
=
，
根据和差化积公式可得：




2
2cos
cos
2cos
0
A
B
A
B
C
+
-
+
=
，
则


2
cos cos
cos
0
C
A
B
C
-
-
+
=
，即




cos
cos
cos
0
C
C
A
B
-
-
=
，
由
1
cos cos
2
=
B
C
知，cos
0,cos
0
B
C
¹
¹
，
所以


cos
cos
0
C
A
B
-
-
=
，即


cos
cos
C
A
B
=
-
，故C 正确；
由




cos
cos
cos
C
A
B
A
B
=
-
= -
+
，得：


cos cos
0 cos
0
A
B
B
=
¹
，所以
π
2
A =
，故B 不正确；
在Rt
ABC
△
中，由
1
1
2
ABC
S
bc
=
=
△
，知
2
bc =
，故A 正确；
由
1
cos
cos
cos cos
2
c
b
B
C
B
C
a
a
=
=
=
,
,
知，
1
2
c b
a a
×
=
，
又
2
bc =
，则
2
a =
，又


sin
cos
sin
cos
sin
sin
B
C
C
B
B
C
A
+
=
+
=
，
由正弦定理得，cos
cos
2
b
C
c
B
a
+
=
=
，故D 不正确.
24．（2026·江西·一模）在
ABC
V
中，
,
2
180 ,
3
2 3
BD
DC
BAD
CAD
AC
AD
Ð
Ð
=
+
=
=
=
o
r
r
，则（    ）
A．
6
AB =
B．
5
cos
8
DAB
Ð
=
C．
39
tan
11
DBA
Ð
=
D．
ABC
V
的面积为
39
【答案】BCD
【分析】根据所给条件AB 长度判断A，由余弦定理判断B，过点D 作DF
AB
^
，解三角判断C，利用
2
ABC
ABD
S
S
=
△
△
求三角形面积判断D.
【详解】如图所示，过点D 作DE ∥
,
AC DE
AB
E
Ç
=
，
则
ADE
CAD
Ð
= Ð
，又因为
2
180
BAD
CAD
Ð
Ð
+
=
o ，
并且在
ADE
V
中
180
BAD
AED
ADE
Ð
Ð
Ð
+
+
=
o ，
所以
ADE
AED
Ð
= Ð
，所以
ADE
V
是等腰三角形，所以
2
AE
AD
=
=
，
由BD
DC
=
r
r
，可知D 为BC 中点，
所以DE 是
ABC
V
的中位线，所以E 为线段AB 的中点，所以
2
4
AB
AE
=
=
，则A 项错误.
1
3
2
DE
AC
=
=
，在
ADE
V
中：
2
2
2
5
cos
2
8
AD
AE
DE
DAB
AD
AE
Ð
+
-
=
=
´
´
，则B 项正确.
过点D 作DF
AB
^
，
2
2
5
39
cos
,
4
4
AF
AD
DAB
DF
AD
AF
Ð
=
×
=
=
-
=
，
11
4
BF
AB
AF
=
-
=
，所以
39
tan
11
DF
DBA
BF
Ð
=
=
，
ABC
V
的面积为
1
2
2
39
2
ABC
ABD
S
S
AB
DF
=
=
´
´
´
=
V
V
，
则C､D 项正确.
故选：BCD
25．（2026·江西九江·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
2
2
2 ,cos2
2sin sin
1
3
bc
A
B
C
b
c
a =
+
=
+
-
，则（    ）
A．
3
cos
4
A =
B．
2
b
c
=
C．
2
2
sin
sin
1
B
C
+
<
D．sin
sin
1
B
C
+
>
【答案】AD
【分析】由
2
2
2
2
3
bc
b
c
a =
+
-
变形可得cos A的值，再由cos2
2sin sin
1
A
B
C
+
= 结合二倍角公式和平方关系变形
可得
2
sin
sin
sin
A
B
C
=
，进而得到
2
a
bc
=
，再结合余弦定理可得b
c
、两边的关系，由B 可得
2
2
5
2
b
c
bc
+
=
，
结合正弦定理可求得
2
2
sin
sin
B
C
+
的值，进而比较大小，对sin
sin
B
C
+
利用完全平方公式进行放缩可得到
sin
sin
B
C
+
的大小.
【详解】对于A 选项 ，由
2
2
2
2
3
bc
b
c
a =
+
-
，所以
2
2
2
3
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
得
2
2
2
3
cos
2
4
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，A 选项正确；
对于B 选项 ，由cos2
2sin
sin
1
A
B
C
+
= ，
则
2
2
2
2
cos
sin
2sin
sin
sin
cos
A
A
B
C
A
A
-
+
=
+
，
得
2
sin
sin
sin
A
B
C
=
，由正弦定理，即
2
a
bc
=
 ，
代入 
2
2
2
2
3
bc
b
c
a =
+
-
 ，得
2
2
2
5
2
0
b
bc
c
-
+
=
 ，
解得 
2
b
c
=
 或
2
c
b =
，B 选项错误；
对于C，
2
3
7
7
cos
,
sin
,
sin
sin
sin
4
4
16
A
A
B
C
A
=
\
=
\
=
=
Q
 ，
由
2
2
2
5
2
0
b
bc
c
-
+
=
,
2
2
5
2
b
c
bc
\
+
=
，
2
2
5
35
sin
sin
sin
sin
1
2
32
B
C
B
C
\
+
=
=
> ，C 选项错误；
对 D 选项，
2
2
2
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
2sin
sin
sin
sin
1
B
C
B
C
B
C
B
C
+
=
+
+
>
+
>
Q
，
sin
sin
1
B
C
\
+
> ，D 选项正确.
故选:AD
26．（2026·山东青岛·一模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对边分别为, ,
a b c ，点M 为AC 的中点，
2
b =
，
cos
2
cos
2
C
a
c
B
-
=
，延长AC 到点D ，使点C 为线段AD 的中点，则（    ）
A．
π
3
B =
B．
ABC
V
周长的取值范围为(4,6]
C．BM 的最大值为2
D．BD 的最小值为2 21
2 3
3
-
【答案】ABD
【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角B 判断选项A；由余弦定理和基本不等式得
2
2
a
c
ac
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，进而得出




2
2
3
3
4
4
ac
a
c
a
c
=
+
-
£
+
判断选项B；由


1
2
BM
BA
BC
=
+
r
r
r
，利用向量的数量积
和三角恒等变换化简得
1
20
16
π
sin 2
2
3
3
6
BM
A
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
r
，
ABC
V
为锐角三角形，有π
π
6
2
A
<
<
，结合正弦函数
的性质求取值范围判断选项C；设A
q
=
，由余弦定理


2
32
4
3sin2
5cos2
3
3
BD
q
q
=
-
+
，利用辅助角公式和
正弦函数的性质求最小值判断选项D.
【详解】对于A，已知cos
2
2
cos
2
b
C
a
c
a
c
B
-
-
=
=
，由正弦定理得cos
2sin
sin
cos
sin
C
A
C
B
B
-
=
，
即cos sin
2sin cos
sin cos
C
B
A
B
C
B
=
-
，得sin cos
cos sin
2sin cos
C
B
C
B
A
B
+
=
，
则有sin(
)
2sin cos
B
C
A
B
+
=
，得sin
2sin cos
A
A
B
=
，
又由于


0,π
AÎ
，所以sin
0
A >
，故
1
cos
2
B =
，
而


0,π
BÎ
，所以
π
3
B =
，选项A 正确； 
对于B，在
ABC
V
中，由余弦定理
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
，得
2
2
4
a
c
ac
+
-
=
，
所以


2
4
3
a
c
ac
=
+
-
，
2
2
a
c
ac
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，所以




2
2
3
3
4
4
ac
a
c
a
c
=
+
-
£
+
，即

2
16
a
c
+
£
，当且仅当a
c
=
时
取等号，
由于2
4
a
c
<
+
£
，
所以
ABC
V
的周长的取值范围为(4,6]，故选项B 正确；
对于C，在
ABC
V
中，由正弦定理得
2
sin
sin
sin
3
2
a
c
b
A
C
B
=
=
=
，
4 3 sin
3
a
A
=
，
4 3 sin
3
c
C
=
，
由AC 的中点为M，有


1
2
BM
BA
BC
=
+
r
r
r
，
2
2
1
1
1
1
32
4
2
4
sin sin
2
2
2
2
3
BM
BA
BC
a
c
ac
ac
A
C
=
+
=
+
+
=
+
=
+
r
r
r
2
1
32
π
1
16 3
16
4
sin sin
4
sin cos
sin
2
3
3
2
3
3
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø




1
8 3
8
1
20
8
4
sin2
1 cos2
3sin2
cos2
2
3
3
2
3
3
A
A
A
A
=
+
+
-
=
+
-
1
20
16
π
sin 2
2
3
3
6
A
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
 △ABC 为锐角三角形，则
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
ì <
<
ïïí
ï <
-
<
ïî
，得π
π
6
2
A
<
<
，
当
π π
,
6 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø，有
π
π 5π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø ，所以
π
1
sin 2
,1
6
2
A
æ
ö
æ
ù
-
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，
有20
16
π
28
sin 2
,12
3
3
6
3
A
æ
ö
æ
ù
+
-
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，故BM
r
的最大值为
3 ，选项C 错误；
对于D，设A
q
=
，所以
4 3 sin
3
a
q
=
，在
BCD
△
中由余弦定理，
2
2
2
π
16
16 3
π
4
2 2
cos
sin
4
sin cos
3
3
3
3
BD
a
a
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
=
+
- ´ ´
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø


2
40
8 3
20
4 3
sin
4
sin cos
1 cos2
4
sin2
3
3
3
3
q
q
q
q
q
=
+
-
=
-
+
-




32
4
32
8 7
3sin2
5cos2
sin 2
3
3
3
3
q
q
q
j
=
-
+
=
-
+
，
5 3
tan
3
j =
，
π
0, 2
j
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
故当
π
2
2
q
j
+
=
，即
π
2
2
j
q
-
=
时，
2
BD 取最小值32
8 7
3
3
-
，所以BD 的最小值为2 21
2 3
3
-
，故D 选项正确. 
故选：ABD.
27．（2026·四川内江·二模）已知
ABC
V
的面积为
1
2 ，角、、
A
B
C 的对边分别是a
b
c
、、，
cos
tan
1
sin
C
B
C
=
+
，
2
2
c
b
ab
-
=
，则（   ）
A．
π
2
A
B
-
=
B．
2
C
B
=
C．
2
c =
D．BC 边的中线长为
6
3 2
2
-
【答案】ABD
【分析】利用条件
cos
tan
1
sin
C
B
C
=
+
化简判断A，根据正弦定理及三角恒等变换判断B，根据正弦定理求c 判
断C，根据余弦定理求出中线长判断D.
【详解】因为
cos
sin
tan
1 sin
cos
C
B
B
C
B
=
=
+
，
所以cos
cos
sin
sin
sin
B
C
B
C
B
=
+
，即


cos
sin
B
C
B
+
=
，
所以


cos π
cos
sin
A
A
B
-
= -
=
，由sin
0
B >
可知cos
0
A <
，即A 为钝角，
又
π
cos
sin
2
A
A
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø ，所以
π
sin
sin
2
A
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
π ,
2
A
B
-
为锐角，所以
π
2
A
B
-
=
，故A 正确；
因为
2
2
c
b
ab
-
=
，由正弦定理可得
2
2
sin
sin
sin
sin
C
B
A
B
-
=
，
所以


sin
sin
sin
sin
sin
sin
C
B
C
B
A
B
+
-
=
，
由和差化积公式可得4sin
cos
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
C
B
C
B
C
B
C
B
A
B
+
-
+
-
=
，
即




sin
sin
sin
sin
C
B
C
B
A
B
+
-
=
，即


sin
sin
sin
sin
A
C
B
A
B
-
=
，
由sin
0
A >
可得


sin
sin
C
B
B
-
=
，所以C
B
B
-
=
或
π
C
B
B
-
+
=
（舍去），
即
2
C
B
=
，故B 正确；
由AB 可知，
π
2
π
2
A
B
C
B
B
B
+
+
=
+
+
+
=
，所以
π
8
B =
，故
π
5π
,
4
8
C
A
=
=
，
因为
1
1
sin
2
2
S
ab
C
=
=
，所以
1
2
sin
ab
C
=
=
，
由正弦定理，

2
2
sin
sin
2
R
A
B =
，即

2
2
2
π
2
sin
sin
2
sin 2
2
2
2
R
B
B
R
B
R
æ
ö
+
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
解得
1
R = ，所以
2
2 sin
2
2
2
c
R
C
=
=
´
=
，故C 错误；
由
2
2
c
b
ab
-
=
可知
2
2
2
b =
-
，
π
1
cos
π
1
cos2
4
2 sin
2 sin
2cos
2
2
2
2
2
2
2
B
a
R
A
R
B
B
+
+
æ
ö
=
=
+
=
=
´
=
´
=
+
ç
÷
è
ø
，
设BC 边的中线长为m ，则
2
2
2
2
2
2
6
3 2
2
cos
2
2
2
2
2
4
2
4
a
a
m
b
b
C
+
-
æ
ö
=
+
- ×
×
=
-
+
-
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以
6
3 2
2
m
-
=
，故D 正确.
28．（2026·浙江·模拟预测）已知
ABC
V
的面积为
3
4
，若


cos2
cos2
2cos
cos2
0
A
B
A
B
C
+
+
-
=
，
1
sin cos sin
8
A
B
C = -
，则（   ）
A．cos
sin2
C
A
=
B．
3
sin
2
C =
C．
ABC
V
的外接圆半径为1
D．
2
2
2
5
AB
AC
BC
+
+
=
【答案】ACD
【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得cos(
) (2cos
1)(cos
1)
0
A
B
C
C
-
×
+
-
=
结合
1
sin cos sin
8
A
B
C = -
得到cos(
)
0
A
B
-
=
，再利用诱导公式算出
ABC
V
的每个角度，由此可以判断A，B 选项；
通过正弦定理结合三角形面积公式算出C 选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，
进而求出D 选项.
【详解】在
ABC
V
中，A
B
C
p
+
+
=
，故

cos2
cos2
2cos(
)cos(
)
*
A
B
A
B
A
B
+
=
+
-
，
代入原式得： 




2cos(
) cos(
)
cos2
0
**
A
B
A
B
C
-
+
+
=
 ，
又cos(
)
cos(
)
cos
p
+
=
-
= -
A
B
C
C ，
2
cos2
2cos
1
C
C
=
- ，将其代入 

** 式得
cos(
) (2cos
1)(cos
1)
0
A
B
C
C
-
×
+
-
=
 ，
因为三角形中cos
1
C ¹ ，又由


1
sin
cos
sin
***
8
A
B
C = -
，
而在三角形中sin
0,sin
0
A
C
>
>
，故cos
0
B <
，
即B 为钝角，故cos
0
C >
，因此只能cos(
)
0
A
B
-
=
，即
2
A
B
p
-
= -
，得
2
B
A
p
=
+
，
2
2
C
A
p
=
-
，
所以cos
cos
sin
2
B
A
A
p
æ
ö
=
+
= -
ç
÷
è
ø
 ，cos
cos(
2 )
sin 2 ,sin
sin(
2 )
cos2
2
2
C
A
A
C
A
A
p
p
=
-
=
=
-
=
，
将上述等式代入

*** 得
2
1
sin
cos2
8
A
A
×
=
，
解得
1
sin
2
A =
，得
6
A
p
=
，
2
3
B
p
=
，
6
C
p
=
，因此
1
3
sin
2
2
C =
¹
，故选项A 正确，B 错误；
设外接圆半径为R ，由正弦定理得
2 sin
a
R
A
R
=
=
，c
R
=
，
2 sin
3
b
R
B
R
=
=
，
 面积
2
1
3
3
sin
2
4
4
R
S
ac
B
=
=
=
，得
1
R = ，选项C 正确；
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
( 3)
1
5
AB
AC
BC
c
b
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
，选项D 正确.
29．（2026·甘肃兰州·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，满足2 cos
2
3
b
C
a
c
=
-
，且
9
2
BA BC
×
=
r r
，设
ABC
V
外接圆半径为R ，则下列结论正确的是（    ）
A．
ABC
V
的面积为3 3
2
B．当
3
b =
时，
3
R =
C．当
3
a =
时，
π
6
C =
D．b 的取值可能是2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意条件，结合边角互换求出角B 的大小，再代入到向量内积等式中求出ac 的值，最后
逐个分析选项。对于A，利用正弦定理面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理求出a、c 的大小，判断
可构成三角形，再利用正弦定理求出R 的大小即可；对于C，用余弦定理，并结合等边对等角判断即可；
对于D，根据余弦定理求出
2
b 的范围并据此判断即可．
【详解】由题意可得2sin
cos
2sin
3sin
B
C
A
C
=
-
，又
π
A
B
C
+
+
= ，
所以


sin
sin
sin
cos
cos
sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
代入前式可得


2sin
cos
2 sin
cos
cos
sin
3sin
B
C
B
C
B
C
C
=
+
-
，
展开化简得2cos
sin
3sin
B
C
C
=
，在
ABC
V
中，sin
0
C ¹
，且


0,π
BÎ
，解得
π
6
B =
，
又
9
2
BA BC
×
=
r r
，所以
9
cos
2
ac
B
×
=
， 解得
3 3
ac =
，
对于A，
ABC
V
的面积为
1
1
1
3 3
sin
3 3
2
2
2
4
ABC
S
ac
B
=
=
´
´
=
V
，故A 错误；
对于B，当
3
b =
时，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，
化简可得
2
2
12
a
c
+
=
，所以



2
2
2
2
2
12
6 3
3
3
a
c
a
c
ac
-
=
+
-
=
-
=
-
，
即
3
3
a
c
-
=
-
，同理可得
3
3
a
c
+
=
+
，所以
3
3
a
c
ì =
ïí =
ïî
或
3
3
a
c
=
ìïí =
ïî
，
易知可构成三角形，又由正弦定理可知
3
2
2 3
π
sin 6
R =
=
，解得
3
R =
，故B 正确；
对于C，当
3
a =
时，进一步可得
3
c =
，
由余弦定理可知
2
2
2
2
cos
3
b
a
c
ac
B
=
+
-
=
，则
3
b =
，此时
3
b
c
=
=
，
由等边对等角可知
π
6
B
C
=
=
，故C 正确；
对于D，由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，则可得
2
2
2
27
9
b
a
a
=
+
- ，
所以
2
2
2
2
2
27
27
9
2
9
6 3
9
b
a
a
a
a
=
+
-
³
×
-
=
- ，当且仅当
2
2
27
a
a
=
即
2
3 3
a =
时取等号，
又
2
b =
时，
2
4
6 3
9
b =
>
- ，故D 正确．
三、填空题
30．（2026·陕西·模拟预测）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin
sin
sin
sin
A
B
c
C
B
a
b
-
=
-
+
，
则sinA = ______.
【答案】
3
2
/ 1
3
2
【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，进而结合余弦定理即可求解.
【详解】在
ABC
V
中，对于sin
sin
sin
sin
A
B
c
C
B
a
b
-
=
-
+
，
由正弦定理得a
b
c
c
b
a
b
-
=
-
+
，
即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
+
-
=
=
=
，
又


0,π
AÎ
，所以. 
π
3
A =
，故
π
3
sin
sin 3
2
A =
=
.
31．（2026·安徽合肥·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，若
3,2 cos
2 cos
3
b
a
C
c
A
a
=
+
=
，则
a =__________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得2sin
3sin
B
A
=
，再由正
弦定理可得2
3
b
a
=
，即可得解.
【详解】因为2 cos
2 cos
3
a
C
c
A
a
+
=
，由正弦定理，可得2sin
cos
2sin
cos
3sin
A
C
C
A
A
+
=
，
所以2sin(
)
3sin
A
C
A
+
=
，又因为
π
A
C
B
+
=
-
，所以sin(
)
sin
A
C
B
+
=
，
所以2sin
3sin
B
A
=
，又由正弦定理，可得2
3
b
a
=
，即
2
3
a
b
=
，
因为
3
b =
，所以
2
a =
．
32．（2026·山东聊城·一模）已知
ABC
V
的外心O 满足


0,
0
CO
xCA
yCB x
y
=
+
¹
¹
r
r
r
，若
3
AB =
，且
3
4
2
x
y
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为____________．
【答案】3
【分析】设F 为边BC 中点，化简已知得
3
cos
4
b
C
a
=
，由余弦定理得
2
2
2
6
b
a
=
+
，再利用二次函数的最大
值的解法求解.
【详解】由3
4
2
x
y
+
=
Þ
1
3
2
4
=
-
y
x .
所以
1
3
2
4
CO
xCA
x CB
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
r
r
r
Þ
1
3
2
4
CO
CB
x CA
CB
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
.
如图：
取BC 中点为F ，连接OF ，则
1
2
CO
CB
CO
CF
FO
-
=
-
=
r
r
r
r
r
.
所以
3
4
FO
x CA
CB
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
r
r
r
.
因为O 为
ABC
V
的外心，所以FO
CB
^
r
r .
由
0
FO CB
×
=
r r
Þ
3
0
4
CA
CB
CB
æ
ö
-
×
=
ç
÷
è
ø
r
r
r
Þ
2
3
4
CA CB
CB
×
=
r r
r
Þ
2
3
cos
4
ab
C
a
=
Þ
3
cos
4
b
C
a
=
.
又根据余弦定理，
2
2
2
cos
3
a
b
ab
C
+
-
=
Þ
2
2
3
2
3
4
a
b
a
a
+
-
×
=
Þ
2
2
2
6
b
a
=
+
.
因为
in
1
2
s
S
ab
C
=
，
所以
2
2
2
2
sin
4
a b
S
C
=


2
2
2
1 cos
4
a b
C
=
-
2
2
2
2
9
1
4
16
a b
a
b
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
16
9
4
16
a b
b
a
b
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
16
9
4
16
a b
b
a
b
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø


2
2
2
8
6
9
64
a
a
a
é
ù
+
-
ë
û
=


2
2
48
64
a
a
-
=
.
当
2
24
a =
时，
2
S 取得最大值，为
2
24
64 ，所以S 的最大值为24
3
8 = .
33．（2026·重庆·一模）在
ABC
V
中，P 为边AB 上一点，
1,
30 ,
45 ,
CP
ACP
BCP
CPB
Ð
Ð
Ð
q
=
=
=
=
o
o
．当
ABC
V
面积最小时，tanq = __________．
【答案】1
3
+
【分析】先将
ABC
V
的面积拆分为
ACP
△
和BCP
V
的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正
弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质
求最值，进而得到此时的tanq .
【详解】
ABC
V
的面积
ABC
ACP
BCP
S
S
S
=
+
V
V
V
，由内角和得：
30 ,
135
A
B
q
q
°
°
Ð
=
-
Ð
=
-
，
对
ACP
△
和BCP
V
分别用正弦定理，结合
1
CP = 得：
sin
sin
,
sin(
30 )
sin(135
)
AC
BC
q
q
q
q
°
°
=
=
-
-
，
又
75
ACB
°
Ð
=
，因此：
1
sin 75
2
ABC
S
AC BC
°
=
×
×
V
，
展开化简得：
3sin
cos
2(sin
cos )
6
2
sin(
30 )
,sin(135
)
,sin 75
2
2
4
q
q
q
q
q
q
°
°
°
-
+
+
-
=
-
=
=
，
代入整理得：


2
3
1
1
1
1
2
3
1
3
tan
tan
ABC
S
q
q
+
=
×
-
+
-
+
V
S 最小等价于二次函数
2
( )
( 3
1)
3
f t
t
t
= -
+
-
+
（
1
tan
t
q
=
）最大，
开口向下的二次函数顶点在
3
1
2
t
-
=
，即
3
1
cot
2
q
-
=
，
因此
2
tan
3
1
3
1
q =
=
+
-
.
34．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为
ABC
V
），点D ，E 在
ABC
V
的边上，线段DE 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE 铺设灌溉水管，
则水管的最短长度为______米．
【答案】20
【分析】分别讨论
,
D E 在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度.
【详解】由
2
2
2
30
40
50
+
=
，可得
ABC
V
是直角三角形，其面积
1
30
40
600
2
S =
´
´
=
，
不妨设
30,
40,
50
AC
BC
AB
=
=
=
，
①若
,
D E 在
,
AC BC 上，如图：
设
,
CD
x CE
y
=
=
， 
则有
1
300
2
CDE
S
xy
=
=
V
，解得
600
xy =
，
2
2
2
2
1200
DE
x
y
xy
=
+
³
=
，即
20 3
DE ³
，
当且仅当
10 6
x
y
=
=
时等号成立；
②若
,
D E 在
,
AC AB 上，如图：
设
4
3
,
,sin
,cos
5
5
AD
x AE
y
A
A
=
=
=
=
， 
则有
1
1 4
sin
300
2
2 5
ADE
S
xy
A
xy
=
=
×
=
V
，解得
750
xy =
，
2
2
2
2
cos
2
2
cos
600
DE
x
y
xy
A
xy
xy
A
=
+
-
³
-
=
，即
10 6
DE ³
，
当且仅当
5 30
x
y
=
=
时等号成立；
③若
,
D E 在
,
BC AB 上，如图：
设
3
4
,
,sin
,cos
5
5
BD
x BE
y
B
B
=
=
=
=
，
则有
1
1 3
sin
300
2
2 5
BDE
S
xy
B
xy
=
=
×
=
V
，解得
1000
xy =
，
2
2
2
2
cos
2
2
cos
400
DE
x
y
xy
B
xy
xy
B
=
+
-
³
-
=
，即
20
DE ³
，
当且仅当
10 10
x
y
=
=
时等号成立；
因为20
10 6
20 3
<
<
，所以DE 的最小值为20，即水管的最短长度为20 米.
35．（2026·山东青岛·一模）记
ABC
V
内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos
2 cos
3
cos
cos
c
A
c
B
a
C
b
C
+
=
，则
1
2
tan
tan
A
B
+
的最小值为______
【答案】3 14
7
/ 3 14
7
【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出
1
2
tan
3
tan
tan
C
A
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，再换元应用判别式法结合一元
二次不等式计算求解最小值即可.
【详解】因为cos
2 cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
c
A
c
B
bc
A
ac
B
a
C
b
C
ab
C
+
+
=
，而cos
2 cos
3
cos
cos
c
A
c
B
a
C
b
C
+
=
，
由正弦定理得


sin
sin cos
2sin cos
3
sin sin cos
C
B
A
A
B
A
B
C
+
=
，
所以


sin
sin cos
2sin cos
1
2
tan
3
cos sin sin
tan
tan
C
B
A
A
B
C
C
A
B
A
B
+
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
.
又因为
tan
tan
tan
1
tan tan
A
B
C
A
B
+
= - -
，
设
1
tan
m
A =
，
2
2
tan
n
B =
，所以
1
1
tan
1
1
1
n
m
m
n
C
mn
mn
+
+
= -
= -
-
.
又
1
2
3
tan
tan
tan
A
B
C
+
=
，所以
1
2
3
tan
tan
tan
A
B
C
+
=
，
所以


3 1
2
mn
m
n
m
n
-
+
=
+
，即
2
2
6
2
3
m
mn
n
+
+
=
，
设
2
m
n
t
+
= ，所以



2
2
2
6
2
2
3
t
n
t
n n
n
-
+
-
+
= ，即
2
2
6
2
3
0
n
tn
t
-
+
+
-
=
有解，
所以



2
2
2
Δ
4
4
6
3
28
72
0
t
t
t
=
- ´ -
´
-
=
-
³
，解得
2
18
7
t ³
.
若tan
0
C <
，则tanA与tanB中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故tan
0
C >
.
即有
0
t >
，所以
3 14
7
t ³
，故
1
2
tan
tan
A
B
+
的最小值为3 14
7
.
题型10  解三角形大题36 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差中项与正余弦定
理求面积
由等差中项得到边的关系，结合正弦定理角化边，利用余弦定理求角，
再根据外接圆半径求边长，最后用面积公式求解。
2
向量平行与垂直解三
角形
由向量平行、垂直条件转化为边角关系，利用正弦定理、余弦定理求角，
再结合已知边长求面积。
3
角平分线性质与基本
利用角平分线性质将面积表示为两边乘积形式，结合余弦定理和基本不
不等式求最值
等式求面积最小值，再求中线长。
4
由三角函数图象求解
析式并解三角形
根据图象确定解析式，代入三角形内角关系求角，再结合正弦定理求边
长和周长。
5
由三角函数图象求解
析式及函数值
由图象求解析式，再根据函数值求角，利用二倍角公式和同角关系求值。
6
选择条件求三角函数
参数与最值
根据所选条件（奇偶性、平移后奇偶性、单调性）确定参数，再化简目
标函数，利用正弦函数性质求最值。
7
由周期与对称性求解
析式并比较函数值
利用周期求ω，由对称性求φ，写出解析式，代入角度并利用单调性比较
大小。
8
由周期求参数并讨论
函数单调性
由周期公式求ω，写出函数解析式，再通过导数或复合函数单调性判断
给定区间上的单调性。
9
三角恒等变换与向量
模长求面积最值
利用二倍角公式、正弦定理求角，由向量模长关系结合余弦定理得到边
的关系，利用判别式法求面积最大值。
10
由最值求参数并求变
换后的值域
利用辅助角公式化为一角一函数，由最值求参数，再通过伸缩变换得到
新函数，求单调区间和值域。
11
由图象过点求解析式
并证明恒等式
代入点坐标求φ，写出解析式，利用和差角公式化简已知等式，通过两
式相比证明结论。
12
由图象求解析式并求
三角函数值
根据图象确定解析式，再代入已知条件，利用同角关系和两角和差公式
求值。
13
正弦定理边化角求角
与边比最值
利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和与两角和公式求
角，再通过边角互化求边比的最值。
14
余弦定理求角并选择
条件求面积
由余弦定理求角，再选择条件（边或角），通过正弦定理、面积公式求
解，注意判断条件是否使三角形存在。
15
几何图形中的解三角
形与面积最值
利用直角三角形的边角关系、余弦定理和正弦定理表示边长，再通过面
积公式和基本不等式求最值。
16
由图象过点求解析式
并解三角形
代入点坐标求解析式，再由函数值求角，利用正弦定理和两角和公式求
边或角。
17
余弦定理求边并证明
恒等式
由已知边角关系利用余弦定理求边，再通过正弦定理和三角恒等变换证
明恒等式。
18
正弦定理与三角恒等
变换求周长
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再由外接圆面积求半径，
利用正弦定理和余弦定理求边长和周长。
19
正余弦定理证边角关
系并求范围
由已知等式利用正余弦定理转化，证明边的不等关系，再通过正弦定理
将边比转化为角的正弦比，结合锐角三角形条件求范围。
20
面积公式与余弦定理
求角及面积最值
由面积公式和余弦定理消去边，得到角的余弦值，再结合基本不等式求
面积最大值。
21
二倍角公式与辅助角
公式求角及周长
利用二倍角公式、辅助角公式化简求角，再结合余弦定理和已知边长列
方程组求周长。
22
由恒成立求解析式并
解三角形
利用正弦函数最值条件求参数，写出解析式，再代入三角形条件，通过
面积公式、余弦定理和正弦定理求值。
23
余弦定理与面积公式
求角及边长
由已知等式利用余弦定理和面积公式化简，求出角，再结合锐角三角形
条件求边长。
24
辅助角公式求单调区
间并解三角形
利用辅助角公式化简函数，求单调递增区间，再代入三角形条件，通过
正弦定理、面积公式和余弦定理求边长。
25
正弦定理与同角关系
求角及边
由正弦定理边化角，结合同角关系求角，再通过面积公式和余弦定理求
边长。
26
等差中项与正弦定理
求角及边范围
由等差中项得边的关系，结合正弦定理边化角，利用余弦定理求角，再
根据外接圆半径和正弦定理求边长范围。
27
正弦定理证边相等并
求面积范围
利用正弦定理将边转化为角的正弦，证明两边相等，再通过面积公式和
导数求面积取值范围。
28
正弦定理与角平分线
性质求周长
由正弦定理边化角求角，利用角平分线性质将面积分割，结合余弦定理
求边长和周长。
29
正弦定理与两角和公
式求角及面积
利用正弦定理边化角，结合两角和公式求角，再通过内切圆半径与面积、
周长的关系及余弦定理求面积。
30
正弦定理与余弦定理
求角及边
由正弦定理边化角求角，再在三角形中利用余弦定理和已知条件求边
长。
31
选择条件求三角函数
参数范围
根据所选条件（最值、零点、单调性）列出不等式组，求ω的取值范围。
32
正弦定理与辅助角公
式求角及外接圆半径
利用正弦定理边化角，结合辅助角公式求角，再通过余弦定理、正弦定
理及几何性质求外接圆半径。
33
正弦定理与向量关系
求角及范围
由正弦定理边化角求角，根据向量关系确定点位置，再利用三角恒等变
换求目标式的取值范围。
34
正弦定理与面积公式
求角及三角函数值
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再通过正弦定理、面积
公式和余弦定理求边和三角函数值。
35
三角恒等变换与等差、
等比数列求最值及范
围
利用三角恒等变换化简已知等式，结合等差中项求角及最值，结合等比
中项及正弦定理求边比范围。
36
新定义（布洛卡点）与
正余弦定理求角及面
积
根据布洛卡角定义，利用正弦定理、余弦定理推导边角关系，再通过代
数运算求角、边长和面积。
1．（2026·浙江·模拟预测）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 对应边分别是, ,
a b c .已知, ,
a b c 成等差数列，且
3sin
2sin
A
C
=
.
(1)求cosA 的值；
(2)若
ABC
V
的外接圆半径为4 7
7
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1) 3
4
(2)15 7
16
【分析】（1）先根据等差数列的性质得到, ,
a b c 的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求
值；
（2）先根据正弦定理求出a ，再结合（1）中的, ,
a b c 的关系求出,b c ，最后根据三角形的面积公式求解.
【详解】（1）由, ,
a b c 成等差数列知2b
a
c
=
+ ，又3sin
2sin
A
C
=
得3
2
a
c
=
，
于是
: :
4:5:6
a b c =
，设
4
a
k
=
，则
5 ,
6
b
k c
k
=
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
(5 )
(6 )
(4 )
3
cos
2
2
5
6
4
+
-
+
-
=
=
=
´
´
b
c
a
k
k
k
A
bc
k
k
；
（2）由（1）知
2
7
sin
1
cos
4
A
A
=
-
=
，
由
2
sin
a
R
A =
得
4 7
7
2 sin
2
2
7
4
a
R
A
=
=
´
´
=
，所以
5 ,
3
2
b
c
=
=
，
所以ABC
D
的面积
1
sin
2
S
bc
A
=
=. 1
5
7
15 7
3
2
2
4
16
´
´ ´
=
2．（2026·山东东营·一模）已知
ABC
V
的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 向量 




,
3cos ,sin
m
a b
n
A
B
=
=
r
r
，
， 


,
.
p
b
c a
c
=
-
-
r
(1)若 
//
m n
r r，求A；
(2)若 
π
2
3
m
p c
C
^
=
=
r
r,
,
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1) π
3
(2)
3
【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
//
m n
r r，所以sin
3 cos
0
a
B
b
A
- ×
=
①.
又由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
=
，即sin
sin
a
B
b
A
=
，代入①式，
可得sin
3 cos
0
b
A
b
A
-
=
，整理得
π
2sin
0
3
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又


0,π
AÎ
，所以
π
π 2π
,
3
3
3
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，解得
π
3
A =
.
（2）因为m
p
^
r
r ，所以




·
0
m p
a b
c
b a
c
=
-
+
-
=
r r
，
即


2ab
c a
b
=
+
，又
2
c =
，所以a
b
ab
+
=
.
因为
π
3
C =
，由余弦定理可得


2
2
2
4
3
a
b
ab
a
b
ab
=
+
-
=
+
-
，
即


2
4
3
ab
ab
=
-
，解得
4
ab =
或
1
ab = - （舍去）.
故
1
1
3
sin
4
3
2
2
2
ABC
S
ab
C
=
=
´ ´
=
V
.
3．（2026·陕西·二模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
BAC
°
Ð
=
，AD 为
BAC
Ð
的角
平分线，且
2
AD =
．
(1)若sin
2sin
B
C
=
，求a 的大小；
(2)设M 为BC 中点，连接AM ，ABC
V
面积取得最小值时，求线段AM 的长度.
【答案】(1)3 7 ；
(2)2
【分析】（1）由正弦定理得到
2
b
c
=
，根据
ABC
ADB
CDA
S
S
S
=
+
V
V
V
，结合三角形面积公式建立关于,c b的方程，
再结合余弦定理求解a ；
（2）同（1）建立关于,c b的方程，再结合基本不等式求解bc 最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
【详解】（1）因为sin
2sin
B
C
=
，由正弦定理得
2
b
c
=
.
因为
BAC
Ð
的角平分线交BC 于点D ，所以
60
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
o ，
由
ABC
ADB
CDA
S
S
S
=
+
V
V
V
，得1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c AD
BAD
b AD
CAD
Ð
=
×
Ð
+
×
Ð
，
则1
1
1
2
sin60
2
sin60
sin120
2
2
2
× ×
+
× × ×
=
× ×
b
c
b c
o
o
o ，
即
2
2
bc
c
b
=
+
，所以
3
6
c
b
=
=
,
.
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
cos120
36
9
2 3 6
63
2
a
b
c
bc
æ
ö
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
o
，
即
63
3 7
a =
=
；
（2）由
ABC
ADB
CDA
S
S
S
=
+
V
V
V
，得1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c AD
BAD
b AD
CAD
Ð
=
×
Ð
+
×
Ð
，
得1
1
1
2
sin60
2
sin60
sin120
2
2
2
× ×
+
× × ×
=
×
b
c
bc
o
o
o ，
化简得
2
2
bc
c
b
=
+
，即1
1
1
2
b
c
+
=
，
所以1
1
1
1
1
2
2
+
=
³
´
b
c
b
c ，即1
1
16
4 ³
Þ
³
bc
bc
，
当且仅当
4
b
c
=
=
时等号成立，bc 取得最小值，
ABC
V
面积取得最小值，
此时
ABC
V
为等腰三角形，M 为BC 中点，则AM 既是中线也是角平分线.
即
,
D M 重合，故
2
AM
AD
=
=
.
4．（2026·江西萍乡·一模）已知函数



cos
f x
M
x
k
w
j
=
+
+
（
0
M >
，
0
w >
，
π
2
j <
）的部分图象如图所
示．
(1)求

f x 的解析式；
(2)
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若

2
f
A =
，sin
2 cos
B
A
=
，
2 3
a =
，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)

π
2cos 2
1
3
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
(2)3 2
2 3
6
+
+
．
【分析】（1）由图象可得
3
1
M
k
M
k
+
=
ì
í-
+
= -
î
，求出
,
M k ，求出周期进而求出w ，由
π
3
6
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，求出j ，得解；
（2）由

2
f
A =
求出A ，由sin
2 cos
B
A
=
求得B ，再根据由正弦定理求出,b c ，得解.
【详解】（1）由图知：
3
1
M
k
M
k
+
=
ì
í-
+
= -
î
，解得：
2
M =
，
1
k = ；
又
2π
π
2
3
6
T =
-
，即
π
T =
，则
2π
2
T
w =
=
，



2cos 2
1
f x
x
j
=
+
+ ；
由
π
3
6
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，得cos
1
3
π
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，又
π
2
j <
，则
π
3
j = -
；
故

f x 的解析式为：

π
2cos 2
1
3
f x
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
.
（2）因为

π
2cos 2
1
2
3
f
A
A
æ
ö
=
-
+ =
ç
÷
è
ø
，即
π
1
cos 2
3
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，又


0,π
AÎ
，解得
π
3
A =
；
所以
π
2
sin
2cos 3
2
B =
=
，则
π
4
B =
或3π
4 （舍去）；
在
ABC
V
中，由正弦定理知：
2 3
2 3
4
sin
sin
sin
3
2
b
c
B
C
A
=
=
=
=
，故
4sin
2 2
b
B
=
=
；


π
π
3
2
1
2
4sin
4sin
4sin
4
6
2
3
4
2
2
2
2
c
C
A
B
æ
ö
æ
ö
=
=
+
=
+
=
´
+
´
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
则
2 3
2 2
6
2
3 2
2 3
6
a
b
c
+
+
=
+
+
+
=
+
+
，
故
ABC
V
的周长为3 2
2 3
6
+
+
.
5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数



π
sin
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø的部分图象如图所示．
(1)求

f x 的解析式，并写出

f x 的单调递减区间；
(2)若
π
0, 2
a
é
ù
Îê
ú
ë
û ，且

1
5
f a =
，求
π
cos 6
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的值．
【答案】(1)

π
sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，π
2π
π,
π ,
Z
6
3
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
．
(2)
π
15
cos 6
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得w 的值，再代入
π , 1
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø求得j 的值，从而可得函数
的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；
（2）结合（1）中函数求出
1
sin 2
6
5
p
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，进而得到
π
1
cos
2
3
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，根据二倍角公式和角的范围求
解.
【详解】（1）由图象可知3
5π
π
3π
4
12
3
4
T
æ
ö
=
- -
=
ç
÷
è
ø
，∴
π
T =
，
又∵
2π
T
w
=
，∴
2
w =
，
代入
π , 1
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø可知
2π
sin
1
3
j
æ
ö
-
+
= -
ç
÷
è
ø
，即
2π
π
2 π,
3
2
k
k
j -
= -
+
ÎZ ，
又因为
π
2
j <
，所以

π
π
,
sin 2
6
6
f x
x
j
æ
ö
=
=
+
ç
÷
è
ø ，
可知当π
π
3π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
+
£
+
£
+
时，

f x 单调递减，
所以

f x 的单调递减区间为π
2π
π,
π ,
6
3
k
k
k
é
ù
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z．
（2）

1
sin 2
6
5
f
p
a
a
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，又∵
π
π
1
sin 2
cos
2
6
3
5
a
a
æ
ö
æ
ö
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以由二倍角公式可得：
2
π
π
1
cos
2
2cos
1
3
6
5
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
-
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，解得
π
15
cos 6
5
a
æ
ö
-
= ±
ç
÷
è
ø
，
又∵
π
0, 2
a
é
ù
Îê
ú
ë
û ，∴π
π π
π
,
,cos
0
6
3 6
6
a
a
é
ù
æ
ö
-
Î -
-
>
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
，
所以
π
15
cos 6
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
．
6．（2026·北京延庆·一模）已知函数



π
2 sin 2
2
f x
x
j
j
æ
ö
=
+
<
ç
÷
è
ø ，从条件①、条件②、条件③这三个
条件中选择一个作为已知，使函数

f x 存在．
(1)求j 的值；
(2)设

2
4cos
2
g x
f x
x
=
-
+
，求
g x 在区间
π ,0
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的最大值和最小值．
条件①：

f x 是偶函数；
条件②：

f x 的图象上所有点向右平移π
8 个单位长度，所得函数是奇函数；
条件③：

f x 在区间
3π π
,
8
8
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③，
π
4
j =
；
(2)最大值为1，最小值为
2
-
【分析】（1）选择条件①，得


π
π
2
k
k
j =
+
ÎZ 即可求解；
选择条件②，得


π
π
4
k
k
j
- +
=
ÎZ 即可求解；
选择条件③，由正弦函数单调性得
3π
π
2
2 π
8
2
π
π
2
2 π
8
2
k
k
j
j
ì
æ
ö
´ -
+
³ - +
ç
÷
ïï
è
ø
í
ï ´
+
£
+
ïî
即可求解；
（2）将(1)中求得的j 值代入，化简
g x 的表达式后，结合x 的取值范围与正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）选择条件①：
由函数



π
2 sin 2
2
f x
x
j
j
æ
ö
=
+
<
ç
÷
è
ø
 ，

f x 是偶函数，
则


π
π
2
k
k
j =
+
ÎZ ，因为
π
2
j <
，
则此时j 不存在，即函数

f x 不存在；
选择条件②：

f x 右移π
8 个单位后为奇函数。
平移后函数为
π
π
2sin 2
2sin 2
8
8
4
f
x
x
x
p
j
j
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
因为
π
π
2sin 2
8
4
f
x
x
j
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø为奇函数，
所以


π
π
4
k
k
j
- +
=
ÎZ ，解得：


π
π+ 4
k
k
j =
ÎZ ，
因为
π
2
j <
，所以
0
k =
，此时
π
4
j =
选择条件③：

f x 在 
3π π
,
8
8
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
正弦函数sint 的单调递增区间为
π
π
2 π,
2 π
2
2
k
k
é
ù
- +
+
ê
ú
ë
û ，

k ÎZ ，
因为

f x 在 
3π π
,
8
8
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以
3π
π
2
2 π
8
2
π
π
2
2 π
8
2
k
k
j
j
ì
æ
ö
´ -
+
³ - +
ç
÷
ïï
è
ø
í
ï ´
+
£
+
ïî
，

k ÎZ ，解得：π
π
2 π
2 π
4
4
k
k
j
+
£
£
+


k ÎZ
因为
π
2
j <
，所以
0
k =
，此时
π
4
j =
，
后续最值与条件②一致，
（2）当
π
4
j =
时，即 

π
2 sin 2
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，


2
π
π
4cos
2
2 sin 2
2cos2
sin 2
cos2
2 sin 2
4
4
g x
f x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
当
π
[
,0]
2
xÎ -
时，
π
5π
π
2
,
4
4
4
x
æ
ö
é
ù
-
Î -
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，
当
π
5π
2
4
4
x -
= -
，即
π
2
x = -
时，max
π
2
2
1
2
2
g x
g æ
ö
=
-
=
´
=
ç
÷
è
ø
，
当
π
π
2
4
2
x -
= -
，即
π
8
x = -
时，


min
π
2
1
2
8
g x
g æ
ö
=
-
=
´ -
= -
ç
÷
è
ø
7．（2026·广东广州·二模）已知函数



sin
f x
x
w
j
=
+
的周期为
π
π,
0,
2
w
j
>
<
，且
π
2π
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
(1)求函数

y
f x
=
的解析式；
(2)比较
11π
8
f æ
ö
ç
÷
è
ø 与
4π
7
f æ
ö
ç
÷
è
ø 的大小.
【答案】(1)

π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)
11π
4π
8
7
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【分析】（1）首先根据周期求w ，再根据对称性求j ，求函数的解析式；
（2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
【详解】（1）由条件可知，2π
π
w =
，得
2
w =
，
π
2π
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 可知，函数

f x 关于直线
π
2π
7π
2
3
2
12
x
+
=
=
对称，
所以
7π
π
2
π,
Z
12
2
k
k
j
´
+
=
+
Î
，得
2π
π,
Z
3
k
k
j = -
+
Î
,
因为
π
2
j <
，所以
1
k = 时，
π
3
j =
，
所以

π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ；
（2）
11π
11π
π
37π
π
π
sin 2
sin
sin 3π
sin
8
8
3
12
12
12
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
4π
4π
π
31π
10π
10π
sin 2
sin
sin π+
sin
7
7
3
21
21
21
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
sin
y
x
=
在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递增，所以
π
10π
sin
sin
12
21
<
，则
π
10π
sin
sin
12
21
-
> -
，
所以
11π
4π
8
7
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数
π
( )
sin(
)(
0)
3
f x
x
w
w
=
+
>
的最小正周期为π .
(1)求w 以及曲线
( )
y
f x
=
的对称中心；
(2)讨论函数( )
( )
g x
f x
x
=
- 在区间(0,π) 上的单调性.
【答案】(1)
2
w =
，对称中心为
π
π
(
,0)(
)
2
6
Z
k
k
-
Î
；
(2)在2π
(
,π)
3
上单调递增，在
2π
(0,
)
3
上单调递减.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的周期性及对称性求解.
（2）求出函数( )
g x 及导数，进而求出其单调区间.
【详解】（1）由函数
( )
f x 的最小正周期为π ，得2π
π
w =
，解得
2
w =
，则
π
( )
sin(2
)
3
f x
x
=
+
，
令
π
2
π,
3
x
k
k
+
=
ÎZ ，得
π
π ,
2
6
k
x
k
=
-
ÎZ ，
所以
( )
f x 的对称中心为
π
π
(
,0)(
)
2
6
k
k
-
ÎZ .
（2）由（1）得
π
( )
sin(2
)
3
g x
x
x
=
+
-
，求导有
π
( )
2cos(2
) 1
3
g x
x
=
+
-
¢
，
由
π
(
)
0,
xÎ
，得
π
π 7π
2
(
,
)
3
3
3
x +
Î
，由
π
1
( )
0
cos(2
)
3
2
g x
x
¢
>
Û
+
>
，得2π
π
3
x
<
<
，
由
π
1
( )
0
cos(2
)
3
2
g x
x
¢
<
Û
+
<
，得
2π
0
3
x
<
<
，
所以函数( )
g x 在2π
(
,π)
3
上单调递增，在
2π
(0,
)
3
上单调递减.
9．（2026·广东汕头·模拟预测）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
=
-
且
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
é
ù
æ
ö
+
-
ê
ú
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
．
(1)若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
2
CD =
，求
ABC
V
面积的最大值；
(2)求
2
2
a
b
ab
+
的取值范围．
【答案】(1) 3 3
2
(2)
2
2
10
2
3
a
b
ab
+
£
<
【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为2c
a
b
=
+
，根据余弦定理可将题中
第二个条件化简为
2
1
n
4
si
2
3
ab
C
c
=
，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c =
+
-
，进而根据二次方程的判别式求解0
6
c
<
£
，即可根据面积公式求解，
（2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解.
【详解】（1）由
sin
tan 2
2
cos
C
A
A
=
-
可得
2cos
sin
sin
2
2
2
cos
2cos
cos
2
2
C
C
A
C
C
A
×
=
-
×
，即
sin
sin
1
cos
2
cos
C
A
C
A
=
+
-
,
故




sin
2
cos
sin
1 cos
C
A
A
C
×
-
=
×
+
，则


2sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
A
C
A
C
A
A
C
A
B
=
+
+
=
+
+
=
+
,
由正弦定理可得2c
a
b
=
+
，
由
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
2
4
a
b
c
a b
c
é
ù
æ
ö
+
-
ê
ú
-
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
可得


2
2
2
2
2
1
3
1
3
cos
sin
4
4
2
4
a b
ab
C
c
ab
C
c
é
ù
-
=
Þ
=
ë
û
,
由于D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
2
CD =
，故
1
2
3
3
CD
CB
CA
=
+
r
r
r
,
平方可得
2
2
2
2
2
1
4
4
1
4
4
4
cos
9
9
9
9
9
9
CD
CB
CA
CB CA
a
b
ab
C
=
+
+
×
Þ
=
+
+
r
r
r
r r
,
故


2
2
36
4
cos
4
a
b
C
ab
-
+
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
，故


2
2
2
2
2
36
4
4
2
a
b
a
b
c
ab
ab
-
+
+
-
=
，
则
2
2
2
6
3
6
2
3
a
b
c =
+
-
，
将
2
b
c
a
=
-
代入上式可得
2
2
24
22
36
0
9
c
c
a
a -
+
-
=
，
由于该关于a 的一元二次方程有解，故




2
2
Δ
24
36 22
36
0
c
c
= -
-
-
³
，故0
6
c
<
£
，
由于
2
3
3
3 3
6
4
4
2
1
sin
2
ABC
S
a
c
b
C
´
£
=
=
=
V
,当且仅当
6
c =
取到等号.
故三角形面积的最大值为3 3
2
，
（2）
2
2
2
a
b
ab
+
³
，当且仅当a
b
=
时取到等号，
2
2
2
a
b
ab
+
³
，
又a
b
c
-
<
，故
2
2
2
2
2
2
2
4
a
b
ab
a
b
ab
c
+
+
+
-
<
=
，故
2
2
10
3
a
b
ab
+
<
，
因此
2
2
10
3
a
b
ab
+
<
，
综上可得
2
2
10
2
3
a
b
ab
+
£
<
10．（25-26 高三下·安徽·月考）已知函数

π
π
cos
cos
sin
6
6
f x
x
x
x
t
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
的最大值为1.
(1)求t 的值；
(2)将

f x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
1
2 ，得到函数
g x 的图象，求
g x 的单调递减区间以及

g x 在区间π 2π
,
4
3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域.
【答案】(1)
1
t = -
(2)
π
5π
π
, π
,
Z
12
12
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
，值域为

3, 1
-
-
【分析】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对

f x 进行化简，然后结合余弦函数的性质即可
求解；
（2）对

f x 进行伸缩变换，得到
g x ，再结合余弦函数的图像性质即可求解.
【详解】（1）由题意，

π
π
cos
cos
sin
6
6
f x
x
x
x
t
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
π
π
π
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
6
6
6
6
x
x
x
x
x
t
=
×
-
×
+
×
+
×
-
+
3
1
3 cos
sin
2
cos
sin
2
2
x
x
t
x
x
t
æ
ö
=
-
+ =
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
2cos
6
x
t
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
当
π
cos
1
6
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
时，

f x 取得最大值，即
max
2 1
2
f x
t
t
=
´ + =
+ ，
又函数

f x 的最大值为1，即2
1
t
+ = ，解得
1
t = - ；
（2）由（1）得

π
2cos
1
6
f x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
将

f x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
1
2 ，得到
π
2cos 2
1
6
g x
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
令
π
2 π
2
2 π
π
6
k
x
k
£
+
£
+


Z
k Î
，解不等式得
π
5π
π
π
12
12
k
x
k
-
£
£
+


Z
k Î
，
所以函数
g x 的单调递减区间为
π
5π
π
, π
12
12
k
k
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û 

Z
k Î
，
当
π 2π
,
4
3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，则
π
2π 3π
2
,
6
3
2
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û ，所以


π
cos 2
1,0
6
x
æ
ö
+
Î -
ç
÷
è
ø
，
所以


π
2cos 2
1
3, 1
6
x
æ
ö
+
- Î -
-
ç
÷
è
ø
，即
g x 在区间π 2π
,
4
3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为

3, 1
-
-
.
11．（2026·福建莆田·二模）已知函数



2sin
f x
x
j
=
+
（
π
<
j
）的图象过点
π ,2
4
Pæ
ö
ç
÷
è
ø .
(1)求

f x 的单调递增区间；
(2)当
π
π
3
4
4
f
f
a
b
æ
ö
æ
ö
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且


15
sin
16
a
b
+
=
时，证明：tan
4tan
a
b
=
.
【答案】(1)
3π
π
2 π,
2 π
4
4
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，
Z
k Î
(2)证明见解析
【分析】（1）代入点P 坐标，结合j 的范围，求出j ，再由正弦函数的单调性即可求得；
（2）由条件化简得
3
sin
cos
4
a
b =
，再由和差公式求得
3
cos
sin
16
a
b =
，两式相比即可证明.
【详解】（1）将点
π ,2
4
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 代入函数解析式，得
π
2
2sin 4
j
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，即
π
sin
1
4
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
则有π
π
2 π
4
2
k
j
+
=
+
，解得
π
2 π
4
k
j =
+
，
Z
k Î
，
因为
π
<
j
，令
0
k =
，则
π
4
j =
，所以

π
2sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
由
π
π
π
2 π
2 π
2
4
2
k
x
k
-
+
£
+
£
+
，
Z
k Î
，解得
3π
π
2 π
2 π
4
4
k
x
k
-
+
£
£
+
，
Z
k Î
，
故

f x 的单调递增区间为
3π
π
2 π,
2 π
4
4
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，
Z
k Î
.
（2）由（1）知

π
2sin
4
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
则
π
π
π
2sin
2sin
4
4
4
f a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
π
π
π
π
2sin
2sin
2cos
4
4
4
2
f
b
b
b
b
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
依题意，有
π
π
4sin
cos
3
4
4
f
f
a
b
a
b
æ
ö
æ
ö
-
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
3
sin
cos
4
a
b =
，
因为


15
sin
16
a
b
+
=
，即
15
sin
cos
cos
sin
16
a
b
a
b
+
=
，
代入
3
sin
cos
4
a
b =
得
3
cos
sin
16
a
b =
，
所以
4
cos
s
s
in
3
in
cos
4
3
16
a
b
a
b =
=
，即tan
4
tan
a
b =
，
则有tan
4tan
a
b
=
，得证.
12．（2026·山东青岛·一模）函数



sin
f x
A
x
w
j
=
+
（
0
A >
，
0
w >
，
π
2
j <
）的部分图像如图所示.
(1)当
,
2 2
π π
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û 时，求

f x 的单调递增区间；
(2)已知
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，且

2
5
f q = -
，求cos2q 的值.
【答案】(1)
5π
π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û
(2)
2 6
3
10
+
-
【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数

f x 的解析式，再求函数的单调区间即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【详解】（1）由图可得
2
A =
，
π
π
4
π
12
6
T
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
w =
，且π
π
2
2 π
12
2
k
j
´ +
=
+
，k ÎZ 得
π
2 π
3
k
j =
+
，k ÎZ ，
又因为
π
2
j <
，所以
π
3
j =
，所以

π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
又因为
π
π
π
2 π
2
2 π
2
3
2
k
x
k
-
+
£
+
£
+
，k ÎZ ，
解得
5π
π
π
π
12
12
k
x
k
-
+
£
£
+
，k ÎZ ，
所以

π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的单调递增区间为
5π
π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û .
（2）因为

π
2
2sin 2
3
5
f q
q
æ
ö
=
+
= -
ç
÷
è
ø
，所以
π
1
sin 2
0
3
5
q
æ
ö
+
= -
<
ç
÷
è
ø
.
因为
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
π
π 4π
2
,
3
3
3
q
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
即
π
4π
2
π,
3
3
q
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，所以
π
2 6
cos 2
3
5
q
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
.
所以
π
π
2 6
1
1
3
2 6
3
cos2
cos
2
3
3
5
2
5
2
10
q
q
é
ù
+
æ
ö
æ
ö
=
+
-
= -
´
+ -
´
= -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
.
13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且
2 sin
π
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
.
(1)求B ；
(2)求
2
2
2
2
a
b
c
-
的最大值.
【答案】(1)
π
3
B =
(2) 1
-
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角B .
（2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求
2
2
2
2
a
b
c
-
的最大值.
【详解】（1）因为
π
2 sin
6
a
c
b
C
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø ，
由正弦定理可得
π
sin
sin
2sin
sin
3sin sin
sin cos
6
A
C
B
C
B
C
B
C
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
在
ABC
V
中，


sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
代入整理可得cos sin
sin
3sin sin
B
C
C
B
C
+
=
，
又
π
0, 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则sin
0
C >
，可得3sin
cos
1
B
B
-
= ，即
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
π
π π
,
6
6 3
B
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，则
π
π
6
6
B -
=
，可得
π
3
B =
.
（2）由余弦定理可得


2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
a
a
c
ac
B
a
b
c
c
-
+
-
-
=


2
2
2
2
2
a
a
c
ac
c
-
+
-
=
2
2
2
2
1
1
a
a
a
c
c
c
æ
ö
æ
ö
= -
+ ×
-
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
因为
ABC
V
为锐角三角形，且
π
3
B =
，所以
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2π
3
A
C
=
-
，
所以
sin
sin
a
A
c
C
=
2π
sin
3
sin
C
C
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
3
1
cos
sin
2
2
sin
C
C
C
+
=
3
1
2tan
2
C
=
+
.
由
π π
,
6 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
3
tan
3
C >
，所以
3
1
1 ,2
2tan
2
2
C
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø
，即
1 ,2
2
a
c
æ
ö
Îç
÷
è
ø
.
所以当
1
a
c = ，即a
c
=
时，即ABC 为等边三角形时，
2
2
2
2
a
b
c
-
取得最大值1
- .
14．（2026·北京密云·一模）在
ABC
V
中，
2
2
2
,
4
a
b
c
bc b
=
+
+
=
.
(1)求
A
Ð
；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
ABC
V
存在，求
ABC
V
的面积.
条件①：
1
cos
3
B = -
；
条件②：
3
tan
5
C =
；
条件③：cos
cos
2 7
b
C
c
B
+
=
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1) 2π
3
(2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，
ABC
V
的面积2 3 ；条件③：存在这样的
三角形，
ABC
V
的面积2 3 .
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）条件①，由cosB 的值得到B 的范围，结合A 的值得到这样的三角形不存在；条件②，由tanC 的值得
到C 的范围，利用同角关系式求出sin
,cos
C
C ，利用


sin
sin
B
A
C
=
+
结合两角和的正弦公式求出sin B ，
利用正弦定理求出a ，利用三角形的面积公式求出
ABC
SV
；条件③，由cos
cos
2 7
b
C
c
B
+
=
利用正弦定理进
行边化角，结合两角和的正弦公式求出a ，利用正弦定理求出sin B ，利用同角关系式求出cos B ，由


sin
sin
C
A
B
=
+
结合两角和的正弦公式求出sinC ，利用三角形的面积公式求出
ABC
SV
.
【详解】（1）
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
+
Q
，
2
2
2
b
c
a
bc
-
\
+
= -
，
2
cos
bc
A
bc
= -
\
，
1
cos
2
A
\
= -
，
2π
3
A
\
=
.
（2）条件①，
1
cos
0
3
B = -
<
Q
，
π
π
2
B
\
<
<
，
2π
3
A =
Q
，
π
A
B
\
+
>
，不符合题意，不存在这样的三角形；
条件②，
3
tan
0
5
C =
>
Q
，
π
0
2
C
\ <
<
，
2
2
sin
3
cos
5
sin
cos
1
C
C
C
C
ì
=
ï
\í
ï
+
=
î
，
21
sin
14
5 7
cos
14
C
C
ì
=
ïï
\í
ï
=
ïî
，


sin
sin
sin
cos
cos
sin
B
A
C
A
C
A
C
\
=
+
=
+
3
5 7
1
21
21
2
14
2
14
7
=
´
-
´
=
，
sin
sin
a
b
A
B
=
Q
，
4
b =
，
4
2π
21
sin 3
7
a
\
=
，
2 7
a
\
=
，
1
1
21
sin
2 7
4
2 3
2
2
14
ABC
S
ab
C
\
=
=
´
´ ´
=
V
；
条件③，
cos
cos
2 7
b
C
c
B
+
=
Q
2 sinBcos
2 sinCcos
2 7
R
C
R
B
\
+
=
，其中R 为
ABC
V
的外接圆的半径，


2
sinBcos
sinCcos
2 7
R
C
B
\
+
=
，


2 sin B+
2 7
R
C
\
=
，
2 sin
2 7
R
A
\
=
，
2 7
a
\
=
，
sin
sin
a
b
A
B
=
Q
，
4
b =
，
2 7
4
2π
sin
sin 3
B
\
=
，
21
sin
7
B
\
=
，
2 7
cos
7
B
\
=
，


sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
\
=
+
=
+
，
3
2 7
1
21
21
sin
2
7
2
7
14
C
\
=
´
-
´
=
，
1
1
21
sin
2 7
4
2 3
2
2
14
ABC
S
ab
C
\
=
=
´
´ ´
=
V
.
15．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线1
2
l
l
∥
，A 是1l ，2l 之间的定点，过A 分别作1l ，2l 的垂线，垂
足分别为B，C，点D，E 为1l ，2l 上的动点，满足
60
DAE
Ð
=
°．设
AEC
a
Ð
=
，
1
AB =
∣
∣
，
2
AC =
∣
∣
．
(1)当
30
a =
°时，求DE
∣
∣的长度；
(2)求
ADE
V
面积的最小值．
【答案】(1)2 3
(2)2 3
【分析】（1）应用余弦定理计算求解；
（2）先应用正弦定理计算，结合两角和余弦公式化简应用面积公式计算求解最值.
【详解】（1）因为
30
a =
°，且
2
AC =
，所以
4
AE =
易知
60
BAD
Ð
=
° ，且
1
AB = ，故
2
AD =
，
所以
2
2
4
2
2
cos60
4
2
2 3
DE =
+
-
´
°´ ´
=
（2）因为
AEC
a
Ð
=
，所以
90
EAC
a
Ð
=
°-
．
又因为
60
DAE
Ð
=
°，所以
30
BAD
a
Ð
=
+
°．
故
2
sin
AE
a
=
，


1
cos
30
AD
a
=
+
°
因此


1
3
sin60
2
2sin cos
30
ADE
S
AE
AD
a
a
=
´
´
´
° =
+
°
△
而


2
2sin cos
30
3sin cos
sin
a
a
a
a
a
+
° =
-
．
3
1
1
sin2
cos2
2
2
2
a
a
=
+
-
π
1
1
sin 2
6
2
2
a
æ
ö
=
+
-
£
ç
÷
è
ø
此时
π
6
a =
．故面积的最小值为
2 3
ADE
SV
=
16．（2026·广东佛山·二模）已知函数



π
3tan
2
f x
x
f
f
æ
ö
=
+
<
ç
÷
è
ø 的图象经过π , 1
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø．
(1)求函数

f x 的表达式；
(2)在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ．已知


2 3
2,
4,
3
a
b
f
A
B
=
+
=
-
= - ，求tanC ．
【答案】(1)

π
3tan
3
f
x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)
3
3
【分析】（1）代入点计算求解参数，得出解析式即可；
（2）应用三角函数值得出
π
3
A
B
-
=
，再结合两角和正弦公式及正弦定理得出
π
4
B =
，最后应用特殊角三角
函数值计算求解.
【详解】（1）函数



3tan
f x
x
f
=
+
的图象经过π , 1
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，所以
π
1
3tan 2
f
æ
ö
- =
+
ç
÷
è
ø，
所以
π
3
tan 2
3
f
-
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，且
π
2
f <
，
所以π
5π
2
6
f
+
=
，所以
π
3
f =
，
即得

π
3tan
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ；
（2）在
ABC
V
中，
π
3tan
3
3
A
B
æ
ö
-
+
= -
ç
÷
è
ø
，所以
π
tan
3
3
A
B
æ
ö
-
+
= -
ç
÷
è
ø
，
且


π,π
A
B
-
Î -
，且a
b
>
，所以A
B
>
，即


0,π
A
B
-
Î
，
所以
π
2π
3
3
A
B
-
+
=
，即得
π
3
A
B
-
=
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
=
，所以
2 3
2
4
π
sin
sin
3
B
B
+
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，
所以
2 3
2
4
sin
1
3
sin
cos
2
2
B
B
B
+
=
´
+
´
，即得

2 3
2 sin
sin
2
cos
2 3
B
B
B
+
=
´ +
´
，
所以sin
cos
B
B
=
，
即得tan
1
B = ，


0,π
BÎ
，
所以
π
4
B =
，
所以


π
5π
3
tan
tan
tan
2
tan
3
6
3
C
A
B
B
æ
ö
æ
ö
= -
+
= -
+
= -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
17．（2026·山西朔州·一模）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
2cos
a
b
a b c
B
c
+
=
.
(1)若
4,
6
b
c
=
=
，求a ；
(2)证明：


sin
sin
B
C
B
=
-
.
【答案】(1)5
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件及余弦定理直接可得；
（2）由条件及正弦定理，及三角形的恒等变换可得.
【详解】（1）因为
2cos
a
b
B
c
+
=
，再由余弦定理得
2
2
2
2
2
a
b
a
c
b
c
ac
+
+
-
=
´
，

2
2
2
a
b a
a
c
b
+
=
+
-
化简整理得
2
2
36 16
5
4
c
b
a
b
-
-
=
=
=
.
（2）因为
2cos
a
b
B
c
+
=
，再由正弦定理得sin
sin
2cos
sin
A
B
B
C
+
=
，sin
sin
2cos sin
A
B
B
C
+
=
，
又因为在三角形中


sin
sin
A
B
C
=
+
，所以


sin
sin
2cos sin
B
C
B
B
C
+
+
=
，
sin
cos
cos
sin
sin
2cos sin
B
C
B
C
B
B
C
+
+
=
，所以sin
sin
cos
cos
sin
B
C
B
C
B
=
-
，
所以


sin
sin
B
C
B
=
-
18．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知


3
2
cos
2 cos
a
b
C
c
B
-
=
．
(1)求cosC 的值；
(2)若a
b
=
，且
ABC
V
的外接圆的面积为9π
5 ，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)
2
cos
3
C =
(2)2 6
2
+
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换运算即可求解；
（2）由已知可求得
ABC
V
的外接圆的半径，结合正弦定理可求得c ，进而利用余弦定理可求得,a b ，可求
得其周长．
【详解】（1）因为

3
2
cos
2 cos
a
b
C
c
B
-
=
，所以由正弦定理可得3sin
cos
2sin
cos
2sin
cos
A
C
C
B
B
C
=
+
，
所以




3sin
cos
2 sin
cos
sin
cos
2sin
2sin
A
C
C
B
B
C
C
B
A
=
+
=
+
=
，
又因为0
π
A
<
<
，所以sin
0
A ¹
，所以
2
cos
3
C =
；
（2）由（1）得
2
cos
3
C =
，又0
C
π
<
<
，所以
2
5
sin
1 cos
3
C
C
=
-
=
，
设
ABC
V
的外接圆的半径为r ，
因为
ABC
V
的外接圆的面积为9π
5 ，所以
2
9π
π
5
r =
，解得
3 5
5
r =
，
所以
3 5
5
2 sin
2
2
5
3
c
r
C
=
=
´
´
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
又a
b
=
，所以
2
2
2
2
2
2
2
3
a
a
a
=
+
-
´
，解得
6
a =
，
所以
ABC
V
的周长为
6
6
2
2 6
2
a
b
c
+
+
=
+
+
=
+
．
19．（2026·四川成都·二模）已知, ,
a b c 分别是锐角
ABC
V
的角, ,
A B C 的对边，


sin
sin
sin
2 cos2
b
B
a
A
C
b
B
c
-
=
-
．
(1)求证：
2
A
B
=
；
(2)求c
a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
2 2 3
,
2
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合
余弦函数在(0,π) 上单调递减的性质，证明
2
A
B
=
；
（2）利用正弦定理将c
a 转化为角的正弦比值，再结合（1）中
2
A
B
=
的结论，将表达式统一用角B 表示，
根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角B 的不等式组，确定角B 的取值范围，进而求出c
a
的取值范围.
【详解】（1）对已知等式sin
sin
sin
(2 cos2
)
b
B
a
A
C
b
B
c
-
=
-
，
由正弦定理角化边得：
2
2
(2 cos2
)
b
a
c
b
B
c
-
=
-
，
整理得：
2
2
2
2
cos2
b
c
a
bc
B
-
+
=
，
再由余弦定理：
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
+
-
=
，
对比得cos
cos2
A
B
=
，
因为
ABC
V
是锐角三角形，
π
,
(0,
)
2
A BÎ
，则


2
0,π
BÎ
，
因为余弦函数在(0,π) 单调递减，所以
2
A
B
=
，得证；
（2）由
2
A
B
=
，内角和
π
A
B
C
+
+
= 得
π
3
C
B
=
-
，
因为
ABC
V
是锐角三角形，
所以：
π
2
π
π
2
3
2
cos
,
π
6
4
2
2
π
3
2
A
B
B
B
C
B
ì
=
<
ï
æ
ö
ï
Þ
<
<
Þ
Îç
÷
í
ç
÷
è
ø
ï
=
-
<
ïî
，
由正弦定理：


sin
2
sin
sin3
sin
cos2
cos
sin 2
sin
sin 2
2sin
cos
2sin
cos
B
B
c
C
B
B
B
B
B
a
A
B
B
B
B
B
+
+
=
=
=
=


2
2
sin
cos2
2cos
4cos
1
1
2cos
2sin
cos
2cos
2cos
B
B
B
B
B
B
B
B
B
+
-
=
=
=
-
，
令
2
3
cos ,
,
2
2
t
B t
æ
ö
=
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，则
1
2
2
c
t
a
t
=
-
，
因为函数
1
( )
2
2
f t
t
t
=
-
在
0
t >
时单调递增，
而
2
2
2
2
f æ
ö =
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
2 3
2
3
f æ
ö =
ç
÷
ç
÷
è
ø
，所以
2 2 3
,
2
3
c
a
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
故c
a 的取值范围为
2 2 3
,
2
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
20．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积


2
2
2
1
sin
2
S
a
c
b
B
=
+
-
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b＝4 时，求△ABC 面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
B =
(2) 4 3
【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出ac 的最大值即可得解.
【详解】（1）在
ABC
V
中，
2
2
2
1
1
sin
s
)
(
in
2
2
S
ac
B
a
c
b
B
=
=
+
-
，而0
π
B
<
<
，即sin
0
B >
，
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
，
所以
π
3
B =
.
（2）由（1）知，
π
3
B =
，
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，而
4
b =
，于是
2
2
16
a
c
ac
=
+
-
，
即16
2ac
ac
ac
³
-
=
，当且仅当
4
a
c
=
=
时取等号，
因此
ABC
V
的面积
1
π
3
sin
4 3
2
3
4
S
ac
ac
=
=
£
，
所以当
4
a
c
=
=
时，
ABC
V
面积取得最大值4 3 .
21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
sin2
cos
cos
1
cos2
sin
sin
A
B
C
A
C
B
-
=
+
-
.
(1)求cos A的值；
(2)若D 是边BC 上一点，
2
AD
DC
BD
=
=
，
1
c = ，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)
1
cos
2
A =
(2)3
3
+
【分析】（1）结合分式有意义得到B
C
¹
，根据二倍角公式、辅助角公式得到
2
B
C
A
+
=
，进而求出角A
及cos A.
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【详解】（1）由题意知，sin
sin
0
C
B
-
¹
，即b
c
¹
，即B
C
¹
.
因为
sin2
cos
cos
1
cos2
sin
sin
A
B
C
A
C
B
-
=
+
-
，所以
2
2sin
cos
sin
cos
cos
2cos
cos
sin
sin
A
A
A
B
C
A
A
C
B
-
=
=
-
，
即sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
A
C
A
B
A
B
A
C
-
=
-
，
所以




cos
cos
A
B
A
C
-
=
-
，
又π
π
A
B
- <
-
<
，π
π
A
C
- <
-
<
，
所以A
B
A
C
-
=
-
或A
B
C
A
-
=
-
，所以B
C
=
（舍）或
2
B
C
A
+
=
，
因为
π
A
B
C
+
+
= ，所以
π
3
A =
，则
1
cos
2
A =
.
（2）
方法一：设BD
x
=
，则
2
AD
DC
x
=
=
，
3
BC
x
=
，
在
ABD
△
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
5
1
cos
2
4
AD
BD
AB
x
ADB
AD BD
x
+
-
-
Ð
=
=
×
×
，
在ACD
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
8
cos
2
8
AD
DC
AC
x
b
ADC
AD DC
x
+
-
-
Ð
=
=
×
×
，
由cos
cos
ADB
ADC
Ð
= -
Ð
，可得
2
2
18
2
x
b
=
+
，
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
BAC
=
+
- ×
×
×
Ð
，
即
2
2
9
1
x
b
b
= +
-
，
联立解得
3
3
x =
，
2
b =
，
所以
ABC
V
的周长为
3
3
AB
AC
BC
+
+
=
+
.
方法二：设BD
x
=
，则
2
AD
DC
x
=
=
，
3
BC
x
=
，即
2
CD
DB
=
r
r
，
故


2
AD
AC
AB
AD
-
=
-
r
r
r
r
，故
2
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
r
r
r
，
所以
2
2
2
1
3
3
AD
AB
AC
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
r
r
r
，可得
2
2
36
4
2
x
b
b
=
+
+
，
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
BAC
=
+
- ×
×
×
Ð
，
即
2
2
9
1
x
b
b
= +
-
，
联立解得
3
3
x =
，
2
b =
，所以
ABC
V
的周长为
3
3
AB
AC
BC
+
+
=
+
.
22．（2026·广东佛山·一模）已知函数
π
( )
2sin(
)(0
2,0
)
2
f x
x
w
j
w
j
=
+
<
<
<
<
，
(0)
3
f
=
，且
π
( )
( )
6
f x
f
£
恒成立．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
( )
0
f B =
，
4
a =
，ABC
V
的面积为2 3 ，求sinC ．
【答案】(1)
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
(2)
21
14
【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式.
（2）由（1）求出B ，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解.
【详解】（1）由
2sin
3
(0)
f
j
=
=
，得
3
sin
2
j =
，而
π
0
2
j
<
<
，则
π
3
j =
，
由
π
( )
( )
6
f x
f
£
恒成立，得
π
π
π
( )
2sin(
)
2
6
6
3
f
w
=
+
=
，即
π
π
sin(
)
1
6
3
w +
= ，
0
w >
，
因此π
π
π
2 π,
6
3
2
k
k
w +
=
+
ÎN，解得
12
1,
k
k
w =
+
ÎN ，而0
2
w
<
<
，则
1
w = ，
所以
( )
f x 的解析式为
π
( )
2sin(
)
3
f x
x
=
+
.
（2）由（1）得，
π
( )
2sin(
)
0
3
f B
B
=
+
=
，而0
π
B
<
<
，解得
2π
3
B =
，
由
1
1
2π
sin
4 sin
2 3
2
2
3
S
ac
B
c
=
=
´
=
，解得
2
c =
，
由余弦定理得
2
2
1
2
cos
16
4
2 4 2 (
)
2 7
2
b
a
c
ac
B
=
+
-
=
+
- ´ ´ ´ -
=
，
由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
=
，得
3
2
sin
21
2
sin
14
2 7
c
B
C
b
´
=
=
=
．
23．（2026·山东烟台·一模）已知
ABC
V
的内角A
B
C
，，
的对边分别为a
b
c
，，，
2
2
2
12
b
c
a
+
-
=
，且
ABC
V
的面积为3 3 ．
(1)求A ；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，
2 3
b =
，求a
c
+ 的值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 4 3
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由（1）知，
12
bc =
，而
2 3
b =
， 
π
3
A =
，得
ABC
V
为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
+
-
=
，
因为
2
2
2
12
b
c
a
+
-
=
，所以
cos
6
bc
A =
.
由三角形面积公式得
1
sin
2
S
bc
A
=
，
又因为
3 3
S =
，所以
sin
6 3
bc
A =
，
所以
sin
tan
3
cos
bc
A
A
bc
A
=
=
，
因为


0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
.
（2）由（1）知，
π
sin
6 3
3 =
bc
，得
12
bc =
，
而
2 3
b =
，得
2 3
c =
，又
π
3
A =
，
得
ABC
V
为等边三角形，得
2 3
a =
， 
故
4 3
a
c
+
=
.
24．（2026·福建龙岩·一模）已知函数

2
3
1
sin2
sin
2
2
f
x
x
x
=
-
+
.
(1)求

f x 的单调递增区间；
(2)在
ABC
V
中，

1
2
f
A =
，sin
2sin
B
C
=
，
ABC
V
的面积为
3 ，求边BC 的长.
【答案】(1)
π
π
π,
π
3
6
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，k ÎZ
(2)
6
【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）

2
3
1
3
1
π
sin2
sin
sin2
cos2
sin 2
2
2
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
-
+
£
+
£
+
，k ÎZ ，
解得
π
π
π
π
3
6
k
x
k
-
+
£
£
+
，k ÎZ ，
所以函数

f x 的单调递增区间为
π
π
π,
π
3
6
k
k
é
ù
-
+
+
ê
ú
ë
û ，k ÎZ .
（2）因为

π
1
sin 2
6
2
f
A
A
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
又A 为
ABC
V
的内角，则


0,π
AÎ
故
π
π 13π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
5π
2
6
6
A+
=
，所以
π
3
A =
.
设角, ,
A B C 所对边分别为, ,
a b c ，
因为sin
2sin
B
C
=
，由正弦定理得
2
b
c
=
.①
因为三角形的面积为
3 ，所以1
sin
3
2 bc
A =
.②
由①②解得：
2 2
2
b
c
ì =
ïí
=
ïî
，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
cos
8
8
6
2
2
BC
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´
=
，
所以
6
=
BC
.
25．（2026·江西南昌·一模）已知
ABC
V
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
c =
，
2sin
cos
b
B
a
A
=
.
(1)求tanA；
(2)若
ABC
V
的面积为2，求a 和cosC .
【答案】(1) tan
1
2
A =
(2)
2 2
a =
，
3 10
cos
10
C =
【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可.
（2）根据同角三角函数关系求出sin A ，cos A，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得sin
2sin
sin
cos
B
B
A
A
=
，因为sin
0
B ¹
，所以2sin
2tan
1
cos
A
A
A =
= ，
所以tan
1
2
A =
.
（2）因为tan
1
2
A =
，所以
π
0
2
A
<
<
，
又
2
2
sin
cos
1
A
A
+
= 所以
1
sin
5
A =
，
2
cos
5
A =
.
所以
1
sin
2
5
ABC
b
S
bc
A
=
=
△
，即
2
5
b =
，所以
2 5
b =
，
所以
2
2
2
2
2
cos
20
4
2 2 5
2
8
5
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´
´ ´
=
，解得
2 2
a =
，
所以
2
2
2
8
20
4
3 10
cos
2
10
2 2 2
2 5
a
b
c
C
ab
+
-
+
-
=
=
=
´
´
.
因此
2 2
a =
，
3 10
cos
10
C =
.
26．（2026·河北邯郸·一模）ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
(1)求cosB ；
(2)记
ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b 的取值范围．
【答案】(1) 11
16
(2)

3 15,
é
+¥
ë
【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有2b
a
c
=
+ 、
2
3
a
b =
，再应用余弦定理求cosB ；
（2）由（1）及正弦定理求出
ABC
V
外接圆的半径，结合
64π
S ³
求边长的范围.
【详解】（1）因为, ,
a b c 成等差数列，所以2b
a
c
=
+ ，又sin
2
sin
3
A
B =
，所以
2
3
a
b =
．
设
2
a
x
=
，则
3 ,
4
b
x c
x
=
=
，则
2
2
2
2
2
2
2
4
16
9
11
cos
2
16
16
a
c
b
x
x
x
B
ac
x
+
-
+
-
=
=
=
．
（2）由（1）得
2
3 15
sin
1 cos
16
B
B
=
-
=
，
则
ABC
V
外接圆的半径
3
8 15
2sin
15
3 15
8
b
x
R
x
B
=
=
=
，
则
2
2
64
π
π
64π
15
x
S
R
=
=
³
，则
2
15
x ³
，
15
x ³
，
则
3
b
x
=
的取值范围为

3 15,
é
+¥
ë
．
27．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形ABCD 中，
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
BAC
DAC
Ð
= Ð
．
(1)证明：CB
CD
=
；
(2)已知
2
AC =
，
ABC
V
的外接圆半径为2 ，求
BCD
△
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)

0,4
【分析】（1）利用正弦定理可证明结论.
（2）设
BAC
q
Ð
=
，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用q 表示出
BCD
△
的面积，再利用导数求
BCD
△
面积的取值范围.
【详解】（1）在
ABC
V
中，sin
sin
AC
CB
ABC
BAC
=
Ð
Ð
Þ
sin
sin
AC
BAC
CB
ABC
×
Ð
=
Ð
，
在
ADC
△
中，sin
sin
AC
CD
ADC
DAC
=
Ð
Ð
Þ
sin
sin
AC
DAC
CD
ADC
×
Ð
=
Ð
，
因为
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，所以sin
sin
ABC
ADC
Ð
=
Ð
，且
BAC
DAC
Ð
= Ð
，
所以CB
CD
=
.
（2）在
ABC
V
中，设
BAC
q
Ð
=
2 2
sin
sin
AC
CB
ABC
q
=
=
Ð
Þ
2
sin
2
ABC
Ð
=
，
2 2 sin
CB
q
=
.
所以
π
4
ABC
Ð
=
或3π
4 ，
π
2
BCD
q
Ð
=
-
，
所有由三角形内角和可得
π
0, 4
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø
.


1
sin π
2
2
BCD
S
CB CD
q
=
×
×
-
V
2
4sin
sin 2
q
q
=
×
3
8sin
cos
q
q
=
×
所以


2
6
2
6
2
64sin
cos
64sin
1 sin
BCD
S
q
q
q
q
=
=
-
V


6
8
64 sin
sin
q
q
=
-
设
2
sin
t
q
=
，
1
0, 2
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
设

3
4
1
,
0, 2
f t
t
t
t
æ
ö
=
-
Îç
÷
è
ø ，则



2
3
2
3
4
3
4
0
f
t
t
t
t
t
¢
=
-
=
-
>
，
所以

f t 在
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增,
所以

1
0,16
f t
æ
ö
Îç
÷
è
ø
.
所以
BCD
△
面积的取值范围为

0,4 .
28．（2026·贵州遵义·模拟预测）在
ABC
V
中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
6
b =
，且满足
3
cos
sin
3
b
C
a
c
B
=
+
．
(1)求角B ；
(2)若角B 的角平分线交AC 于点D ，
3
BD =
，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)
2π
3
B =
(2)6
4 3
+
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可得出角B
的值；
（2）由
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
结合三角形的面积公式得出


3
ac
a
c
=
+
，结合余弦定理可求得a
c
+ 的值，即
可得出
ABC
V
的周长.
【详解】（1）因为
3
cos
sin
3
b
C
a
c
B
=
+
及正弦定理可得
3
sin
cos
sin
sin
sin
3
B
C
A
C
B
=
+
，
即


3
3
sin
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
3
3
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
=
+
+
=
+
+
，
即
3
sin
cos
sin
0
3
C
B
B
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
因为B 、


0,π
C Î
，则sin
0
C >
，所以sin
3 cos
0
B
B
= -
>
，可得tan
3
B = -
，故
2π
3
B =
.
（2）因为
ABC
ABD
CBD
S
S
S
=
+
V
V
V
，即1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
ca
c BD
a BD
=
×
×
+
×
×
，
可得




3
ac
a
c
BD
a
c
=
+
×
=
+
①，
由余弦定理可得


2
2
2
2
2
2
2π
36
2
cos 3
b
a
c
ac
a
c
ac
a
c
ac
=
=
+
-
=
+
+
=
+
-
②，
联立①②可得



2
3
36
0
a
c
a
c
+
-
+
-
=
，即


3 3
4 3
0
a
c
a
c
+ +
+ -
=
，
因为
0
a
c
+
>
，解得
4 3
a
c
+
=
，故
ABC
V
的周长为
6
4 3
a
b
c
+
+
=
+
.
29．（2026·江西赣州·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
.
(1)若tan
5 3
C=-
，求tanA的值.
(2)若
3 3 3,
a c
ABC
+ = +
△
的内切圆的面积为π ，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
3
4
(2)3
2 3
+
【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，求得tan
3
B =
，再根据两角和的正切公
式进行求解；
（2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得
3
3
b =
+
，进而求得
3
2 ac 的值，从而
求出ABC
V
的面积.
【详解】（1）因为
2
3sin
cos
c
a
C
C
b
-
-
=
，所以由正弦定理得
2sin
sin
3sin
cos
sin
C
A
C
C
B
-
-
=
，
所以



3sin
cos
sin
2sin
sin
C
C
B
C
B
C
-
=
-
+
，
所以

3sin
cos
sin
2sin
sin cos
cos sin
C
C
B
C
B
C
B
C
-
=
-
-
，
所以3sin sin
2sin
cos sin
C
B
C
B
C
=
-
在
ABC
V
中，因为sin
0
C ¹
，所以有3sin
cos
2
B
B
+
=
，即得
π
2sin
2
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，即
π
sin
1
6
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
因为
(0,π)
BÎ
，所以
π
π
6
2
B +
=
，即得
π
3
B =
，tan
3
B =
，
所以tan
tan[π
(
)]
tan(
)
A
C
B
C
B
=
-
+
= -
+
tan
tan
1
tan tan
C
B
C
B
+
= - -
5 3
3
3
4
1
5 3
3
-
+
= -
=
+
´
.
（2）
ABC
V
内切圆的面积为π ，所以内切圆半径
1
r = ，
又


1
1
sin
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
，则有
3
3
3 3
2 ac
b
=
+
+ ，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
2
(
)
3
a
c
ac
=
+
-
2
3
3 3
(3
3 3)
3
3
2
b
+
+
=
+
- ´






2
3
2 3
2 3 3
2 3
3
3 3
3
3
2 3
b
b
=
+
-
+
+
=
+
+
-
，
所以
2
2 3
(3
3 3)(3
3)
0
b
b
+
-
+
+
=
，解得
3
3
b 
+
或
(3 3 3)
b 
+
（舍），
所以
3
6
4 3
2 ac =
+
，
则
1
1
3
sin
3
2 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
ac
´
=
=
=
+
V
.
30．（2026·陕西咸阳·二模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，


sin
sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
C
-
=
-
．
(1)求角A ；
(2)若点D 在BC 上，
2
AD
CD
=
=
，
3
b =
，求c ．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 9 21
21
10
-
【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角A 的大小；
(2)先在ACD
V
中求得cosC ，再利用三角恒等变换求得sin B ，最后利用正弦定理求得c .
【详解】（1）由正弦定理得


sin
sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
C
-
=
-
得


2
2
a
c
b b
c
-
=
-
，
所以
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，所以由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
．
（2）在ACD
V
中，
2,
3
AD
CD
AC
b
=
=
=
=
，所以
²
²
²
3
cos
2·
·
4
AC
CD
AD
C
AC CD
+
-
=
=
，
2
7
sin
1 cos
4
C
C
=
-
=
，
又
2π
2π
3
1
3 3
7
π
,sin
sin
cos
sin
3
3
2
2
8
B
A
C
C
B
C
C
C
+
æ
ö
=
-
-
=
-
=
-
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
在
ABC
V
中，由正弦定理得
sin
9 21
21
sin
10
b
C
c
B
-
=
=
．
31．（2026·江苏南通·一模）已知函数



π
2sin
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø，且

0
1
f
= ．
(1)若
1
w = ，


0
6
5
f x
=
，求
0
2
2
π
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得w 存在，并求w 的取值范围．
①函数

f x 在区间

0,π 上只有最大值，没有最小值；
②函数

f x 在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有4 个零点：
③函数

f x 在区间
π π
,
4 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增．
【答案】(1)
0
2
14
2
π
3
25
f
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
(2)答案见解析
【分析】（1）由

0
1
f
= 求出
π
6
j =
，令
0
π
6
x
t
+
= ，则
0
2
π
2
π
2sin 2
3
2
f
x
t
æ
ö
æ
ö
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，利用诱导公式及二倍
角公式求解；
（2）设

f x 的周期为T ，分别由①②③判断相应T 范围，判断选①和③；由①③分别求w 范围，取其
交集.
【详解】（1）因为

0
2sin
1
f
j
=
= ，所以
1
sin
2
j =
，
因为
π
2
j <
，所以
π
6
j =
．
当
1
w = 时，

π
2sin
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
因为


0
0
π
6
2sin
6
5
f x
x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
0
π
3
sin
6
5
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
．
令
0
π
6
x
t
+
= ，则
3
sin
5
t =
，
所以
0
5
π
5
sin 2
π
sin 2
π
6
6
6
x
t
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
2
π
7
sin 2
cos2
1 2sin
2
25
t
t
t
æ
ö
=
+
=
= -
=
ç
÷
è
ø
，
所以
0
0
2
5
14
2
π
2sin 2
π
3
6
25
f
x
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
（2）对于①：因为


0,π
xÎ
，所以
π
π
π
,
6
6
6
x
w
pw
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
è
ø，则π
π
3π
2
6
2
pw
<
+
£
，解得1
4
3
3
w
<
£
；
对于②：因为
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π π
π
,
6
6 2
6
x
w
w
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
è
ø ，则
π
π
4π
ω
5π
2
6
<
+
£
，解得23
29
3
3
w
<
£
；
对于③：因为
π π
,
4 4
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，所以
π
π
π π
π
,
6
4
6 4
6
x
w
w
w
æ
ö
+
Î -
+
+
ç
÷
è
ø，则
π
π
π
4
6
2
π
π
π
4
6
2
w
w
ì-
+
³ -
ïïí
ï
+
£
ïî
，解得
4
0
3
w
<
£
；
因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．
由
1
4
3
3
4
0
3
w
w
ì
<
£
ïïí
ï <
£
ïî
，得1
4
3
3
w
<
£
，
即w 的取值范围是1
4
3
3
w
<
£
．
32．（2026·四川广安·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
1
a b c a = ，且cos
3 sin
1
2
b
C
c
B
c
+
= +
．
  
(1)求
B
Ð
的大小；
(2)如图所示，D 为
ABC
V
外一点，
,
3
DCB
B CD
Ð
= Ð
=
，AC
AD
=
，求ACD
V
外接圆半径R 的长．
【答案】(1)120°
(2)
3
【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的等式，结合三角形内角和的正弦展开式化简，再通过辅
助角公式求解
B
Ð
；
（2）利用正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形几何性质，结合已知条件求出对应角的度数，再利用
正弦定理求出外接圆半径．
【详解】（1）由正弦定理得，
2 sin ,
2 sin ,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
， 
cos
3 sin
1
2
b
C
c
B
c
+
= +
Q
，
1
a = ， 
sin cos
3sin sin
sin
2sin
B
C
C
B
A
C
\
+
=
+
，
由三角形内角和知，
180
B
C
A
°
+
=
-
，则


sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，代入后化简：
3sin sin
cos sin
2sin
C
B
B
C
C
=
+
，
Q sin
0
C ¹
，
3sin
cos
2
B
B
\
=
+
，即
3sin
cos
2
B
B
-
=
，


3sin
cos
2sin
30
2
B
B
B
°
-
=
-
=
Q
，


sin
30
1
B
°
\
-
= ，
0
180
B
°
<
<
Q
，
30
90
120
B
B
°
°
°
\
-
=
Þ
=
．
（2）在
ABC
V
中，由正弦定理得
sin
3
sin
2sin
B
AC
b
a
BAC
BAC
=
=
×
=
Ð
Ð
，
AC
AD
=
Q
，
3
2sin
AD
BAC
\
=
Ð
，
120
B
Ð
=
o
Q
，
DCB
B
Ð
= Ð
，
120
DCB =
\Ð
o，
在ACD
V
中，


120
60
60
ACD
DCB
ACB
BAC
BAC
°
°
°
Ð
= Ð
- Ð
=
-
- Ð
=
+ Ð
，
AC
AD
=
Q
，
ACD
V
\
是等腰三角形，
60
ACD
ADC
BAC
°
Ð
= Ð
=
+ Ð
，


180
2 60
60
2
CAD
BAC
BAC
°
°
°
\Ð
=
-
+ Ð
=
- Ð
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
CD
AC
AD
AC AD
CAD
=
+
-
×
Ð
，
即




2
2
2
3
3
2
2
cos 60
2
1 cos 60
2
2sin
b
b
BAC
BAC
BAC
°
°
é
ù
=
-
- Ð
=
-
- Ð
ë
û
Ð
，




2
2
2sin
1 cos 60
2
2sin
30
BAC
BAC
BAC
°
°
\
Ð
= -
- Ð
=
- Ð
，
BAC
Ð
Q
和30
BAC
° - Ð
均为锐角，正弦为正，


sin
sin 30
BAC
BAC
°
\
Ð
=
- Ð
，即
30
BAC
BAC
°
Ð
=
- Ð
，解得
15
BAC
°
Ð
=
，
60
2
30
CAD
BAC
°
°
\Ð
=
- Ð
=
，
由正弦定理得
3
2
2 3
1
sin
2
CD
R
CAD
=
=
=
Ð
，解得
3
R =
，
ACD
V
\
的外接圆半径为
3
R =
．
33．（2026·甘肃·一模）如图，
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为
π
, , ,
,
3
3
a b c C
a
b
=
=
.
(1)求tanB；
(2)若


0
BC
CD
l
l
=
>
r
r
，求sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
的取值范围.
【答案】(1)
3
5
(2)
3 ,1
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
【分析】（1）已知
π
3
C =
，
3
a
b
=
，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，
展开sinA 后求解tanB；
（2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
，最后
根据角的范围求出其取值范围.
【详解】（1）因为
3
a
b
=
，所以sin
3
sin
A
a
B
b
=
=
，
又因为
π
3
C =
，所以
π
sin 3
3
sin
B
B
æ
ö
+
ç
÷
è
ø =
，
化简得
3
1
cos
sin
2
2
3
sin
B
B
B
+
=
，即
3
5
2tan
2
B =
，解得
3
tan
5
B =
；
（2）因为


0
BC
CD
l
l
=
>
r
r
，
所以D 在BC 的延长线上，
如图，故
π
3
ADC
CAD
Ð
Ð
+
=
，
所以
π
sin
sin
sin
sin 3
ADC
CAD
ADC
ADC
æ
ö
Ð
+
Ð
=
Ð
+
- Ð
ç
÷
è
ø
3
1
1
3
sin
cos
sin
sin
cos
2
2
2
2
ADC
ADC
ADC
ADC
ADC
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
=
+
-
=
+
π
sin
3
ADC
æ
ö
=
Ð
+
ç
÷
è
ø
.
因为
π
0, 3
ADC
æ
ö
Ð
Îç
÷
è
ø，所以
π
π 2π
,
3
3
3
ADC
æ
ö
Ð
+
Îç
÷
è
ø ，
解得
π
3
sin
,1
3
2
ADC
æ
ù
æ
ö
Ð
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，
所以sin
sin
ADC
CAD
Ð
Ð
+
的取值范围为
3 ,1
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
.
34．（2026·天津滨海新区·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
2 3(
cos )
a
B
b
A
c
a
B
+
=
-
.
(1)求A ；
(2)若
2
sin
sin
3
B
C
=
，
ABC
V
的面积为3 3
2
，求：
①边长a 的值；②cos(2
)
B
A
-
的值．
【答案】(1) π
3
(2)①
7 ；②13
14
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得sin
3cos
A
A
=
，得到tan
3
A =
，即
可求解；
（2）①由正弦定理得
2
3
b
c
=
，利用三角形的面积公式，列出方程，求得,b c 的值，结合余弦定理，即可求
解；②利用正弦定理，求得sin B 的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得sin 2 ,cos2
B
B 的
值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为sin
sin
2 3(
cos )
a
B
b
A
c
a
B
+
=
-
，
由正弦定理，可得sin
sin
sin
sin
2 3(sin
sin
cos
)
A
B
B
A
C
A
B
+
=
-
，
又因为
π
A
B
C
+
+
= ，
可得sin
sin[π
(
)]
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
A
B
=
-
+
=
+
=
+
，
所以2sin
sin
2
cos
3
sin
A
B
A
B =
，即sin
sin
3 cos
sin
A
B
A
B
=
因为
(0,π)
BÎ
，可得sin
0
B >
，所以sin
3cos
A
A
=
，即tan
3
A =
，
又因为
(0,π)
AÎ
，所以
π
3
A =
.
（2）解：①因为
2
sin
sin
3
B
C
=
，由正弦定理得
2
3
b
c
=
，
所以
ABC
V
的面积为
2
1
1
2
π
3
sin
sin
2
2
3
3
6
S
bc
A
c c
c
=
=
´
´
=
又因为
ABC
V
的面积为3 3
2
，可得
2
3
3 3
6
2
c =
，解得
3
c = ，则
2
b =
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
π
2
cos
2
3
2 2 3cos
7
3
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
+
- ´ ´
=
，所以
7
a =
；
②由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
=
，可得
π
3
2sin
2
sin
21
3
2
sin
7
7
7
b
A
B
a
´
=
=
=
=
，
因为b
c
<
，可得B 为锐角，所以
2
2
21
2 7
cos
1 sin
1 (
)
7
7
B
B
=
-
=
-
=
，
则
2 7
21
4 3
sin 2
2sin
cos
2
7
7
7
B
B
B
=
=
´
´
=
，
2
2
2 7
1
cos2
2cos
1
2 (
)
1
7
7
B
B
=
- =
´
- =
，
又因为
π
3
A =
，所以
π
π
π
cos(2
)
cos(2
)
cos2
cos
sin 2 sin
3
3
3
B
A
B
B
B
-
=
-
=
+
1
1
4 3
3
1
12
13
7
2
7
2
14
14
14
=
´
+
´
=
+
=
.
35．（2026·广东·一模）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且A
B
£
，记
sin
cos tan
sin
cos tan
A
A
B
m
C
C
B
+
=
+
.
(1)若, ,
A B C 成等差数列，求m 的最小值；
(2)若, ,
a b c 成等比数列，求m 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
3
5
1,
2
é
ö
+
÷
ê
÷
ë
ø
【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解；
（2）由（1）得
sin
sin
C
m
A
=
，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解.
【详解】（1）
sin
sin
cos
sin
cos
tan
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
tan
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
B
A
A
A
A
B
A
B
A
B
B
m
B
C
C
B
C
B
C
B
C
C
B
+
×
+
+
=
=
=
+
+
+
×




sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
A
+
=
=
+
，
因为, ,
A B C 成等差数列，所以2B
A
C
=
+
，
又
π
A
B
C
+
+
= ，所以
π
3
B =
，又A
B
£
，所以
π
0
3
A
<
£
，
所以




π
sin
sin π
sin
sin
3
C
A
B
A
B
A
æ
ö
=
-
-
=
+
=
+
ç
÷
è
ø ，
π
1
3
sin
sin
cos
sin
1
3
1
3
2
2
sin
sin
sin
2
2
tan
A
A
A
C
m
A
A
A
A
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
\
=
=
=
=
+
×
，
当tan A 取得最大值时，m 取得最小值，
因为
π
0
3
A
<
£
，所以0
tan
3
A
<
£
，
所以当
π
3
A =
时，m 取得最小值1.
（2）因为, ,
a b c 成等比数列，所以
2
b
ac
=
，
由（1）知
sin
sin
C
m
A
=
，
因为sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
，所以
sin
0
sin
C
c
m
A
a
=
=
>
，
将b
ac
=
代入a
c
b
a
c
-
<
<
+
，化简得



2
2
a
c
ac
a
c
-
<
<
+
，
两边同除以ac ，得
2
1
2
a
c
a
c
c
a
c
a
-
+
< <
+
+
，即1
1
2
1
2
m
m
m
m
-
+
< <
+
+
，
所以
2
2
3
1
0
1
0
m
m
m
m
ì
-
+ <
í
+
+ >
î
，解得3
5
3
5
2
2
-
+
<
<
m
，
因为A
B
£
，所以a
b
£
，即a
ac
£
，得
1
c
a ³ ，
所以m 的取值范围为
3
5
1,
2
é
ö
+
÷
ê
÷
ë
ø
.
36．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提
出，其定义如下：设P 是
ABC
V
内一点，若
PAB
PBC
PCA
q
Ð
= Ð
= Ð
=
，则称点P 为
ABC
V
的布洛卡点，
角q 为
ABC
V
的布洛卡角.如图，在
ABC
V
中，记它的三个内角分别为, ,
A B C ，其对边分别为, , ,
a b c
ABC
V
的
面积为S，点P 为
ABC
V
的布洛卡点，其布洛卡角为q ，请完成以下问题：
(1)若
π ,
2,
1
2
ABC
AC
AB
Ð
=
=
= ，求
APC
Ð
的大小及tanq 的值；
(2)已知
π
6
q =
的条件下，解下列两个问题：
①若
3
S =
，求
2
2
2
a
b
c
+
+
的值；
②若
2
a =
，求S.
【答案】(1)
4
2π ,
3
ta
3
n
APC
q
Ð
=
=
(2)①12；②
3
【分析】（1）根据角的关系求得
2π
π
,
3
2
APC
APB
Ð
=
Ð
=
，在
APC
△
、
APB
△
中，分别由正弦定理可得
4 3 sin
3
AP
q
=
，
cos
AP
q
=
，由商数关系求tanq 的值；
（2）由
ABC
APB
APC
CPB
S
S
S
S
=
+
+
V
V
V
V
，可得
4
PA AB
PB BC
PC AC
S
×
+
×
+
×
=
，对于①在
APB
△
、CPB
△
、APC
△
中由余弦定理结合代数运算可得
2
2
2
3(
)
a
b
c
PA AB
PB BC
PC AC
+
+
=
×
+
×
+
×
，再根据面积可求
2
2
2
a
b
c
+
+
的
值；②由面积公式结合余弦定理可得
2
2
2
2
1
1
2
2
a
c
b
S
ac
ac
æ
ö
+
-
=
-ç
÷
è
ø
，结合①可得
2
2
2
2
2
2
2
2 3
1
2
a
c
b
a
b
c
ac
ac
æ
ö
+
-
+
+
=
-ç
÷
è
ø
，平方展开运算得解.
【详解】（1）
在
ABC
V
中，
π ,
2,
1
2
ABC
AC
AB
Ð
=
=
= ，
所以
1
cos
2
CAB
Ð
=
，而
CAB
Ð
为锐角，故
π
3
CAB
Ð
=
，所以
π
6
ACB
Ð
=
，
所以
π
3
PAC
q
Ð
=
-
，而
ACP
q
Ð
=
，故
π
2π
π
3
3
APC
q
q
æ
ö
Ð
=
-
-
+
=
ç
÷
è
ø
.
又
π
2
ABP
q
Ð
=
-
，故
π
π
π
2
2
APB
q
q
æ
ö
Ð
=
-
-
+
=
ç
÷
è
ø
，
在
APC
△
中，由正弦定理有
4 3
2π
sin
3
sin 3
AP
AC
q =
=
，所以
4 3 sin
3
AP
q
=
，
在
APB
△
中，由正弦定理有
1
π
π
sin
sin
2
2
AP
AB
q
=
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，所以
cos
AP
q
=
，
所以4 3 sin
cos
3
q
q
=
，故
3
tan
4
q =
.
（2）
ABC
APB
APC
CPB
S
S
S
S
=
+
+
V
V
V
V
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
PA AB
PB BC
PC AC
q
q
q
=
×
×
+
×
×
+
×
×
因为
π
6
q =
，所以
1 (
)
4
S
PA AB
PB BC
PC AC
=
×
+
×
+
×
，即
4
PA AB
PB BC
PC AC
S
×
+
×
+
×
=
，
①
3
S =
，所以
4 3
PA AB
PB BC
PC AC
×
+
×
+
×
=
在
APB
△
中，
2
2
2
π
2
cos 6
PB
AP
AB
AP AB
=
+
-
×
×
，
在
CPB
△
中，
2
2
2
π
2
cos 6
PC
BP
CB
BP CB
=
+
-
×
×
，
在
APC
△
中，
2
2
2
π
2
cos 6
PA
CP
AC
CP AC
=
+
-
×
×
，
三式相加得
2
2
2
PA
PC
PB
+
+
2
2
2
2
2
2
π
2cos
(
)
6
PA
PC
PB
AB
CB
AC
PA AB
PB BC
PC AC
=
+
+
+
+
+
-
×
×
+
×
+
×
，
整理得：
2
2
2
2
2
2
3(
)
3
4 3
12
a
b
c
AB
CB
AC
PA AB
PB BC
PC AC
+
+
=
+
+
=
×
+
×
+
×
=
´
=
.
②又
2
2
2
2
2
1
1
1
sin
1 cos
1
2
2
2
2
a
c
b
S
ac
B
ac
B
ac
ac
æ
ö
+
-
=
=
-
=
-ç
÷
è
ø
又由①知
2
2
2
3(
)
4 3
a
b
c
PA AB
PB BC
PC AC
S
+
+
=
×
+
×
+
×
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2 3
1
2
a
c
b
a
b
c
ac
ac
æ
ö
+
-
+
+
=
-ç
÷
è
ø
，
故



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
3
a
b
c
a c
a
b
c
+
+
=
-
-
+
，
整理得：
4
4
4
2
2
2
2
2
2
0
a
b
c
a b
a c
b c
+
+
-
-
-
=
，
即





2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
a
b
a
c
c
b
-
+
-
+
-
=
，
所以
2
2
2
a
b
c
=
=
，即
2
a
b
c
=
=
=
， 
所以
1
1
π
sin
2 2 sin
3
2
2
3
S
ac
B
=
=
´ ´ ´
=
.