清单02 高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01 集合5 个重点题型
题型02 常用逻辑用语13 个重点题型
题型03 复数15 个重点题型
题型04 平面向量26 个重点题型
题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06 三角函数与诱导公式11 个重点题型 题型07 三角恒等变换24 个重点题型
题型08 三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09 解三角形小题35 个重点题型
题型10 解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12 函数的基本性质45 个重点题型
题型13 指数对数幂函数40 个重点题型
题型14 函数的图象6 个重点题型
题型15 函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16 导数小题36 个重点题型
题型17 导数大题40 个重点题型
题型18 数列小题40 个重点题型
题型19 数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题型22 直线与圆32 个重点题型
题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25 排列组合27 个重点题型
题型26 二项式定理17 个重点题型
题型27 概率统计小题52 个重点题型
题型28 概率统计大题35 个重点题型
第四部分
题型22 直线与圆32 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
两直线垂直求参数
利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方
程求解。
2
动直线过定点与点到直
线距离最值
将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当
直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。
3
直线与圆相交的弦长最
值
直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定
点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。
4
两圆相交的公切线交点
判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于
圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式
求交点坐标。
5
已知弦长求参数
由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求
解参数。
6
点与圆、直线与圆位置关
系的充要条件
点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系
由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。
7
直线与圆相交求斜率范
围
设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，
注意斜率不存在的情况。
8
平行直线与圆相交构成
矩形
平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相
等，由距离公式列方程求参数和。
9
圆关于直线对称与圆上
点到直线距离最值
利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直
线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。
10
两圆相切求参数
分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或
差，解方程求参数，注意分类讨论。
11
圆外一点与圆上点所成
角最大问题
过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆
上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。
12
圆与直线相切及弦长求
半径
由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式
和点到直线距离公式列方程组求半径。
13
动点最值问题（对称转
化）
求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的
对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。
14
直线与圆相交的弦长最
值
直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过
定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。
15
切点弦所在直线过定点
及点到直线距离最值
设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线
距离的最大值为该点与定点之间的距离。
16
轨迹方程与切线夹角最
值
由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正
弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。
17
弦中点轨迹与两圆有公
共点求参数
由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价
于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。
18
向量数量积的最值
取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，
结合几何意义求最大值。
19
直线与圆相交的圆心角
范围求参数
由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列
不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。
20
直线过定点、弦长、相交
与相切的条件（多选题）
将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根
据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。
21
点到直线距离、两圆相交
弦长、公切线、曲线交点
面积（多选题）
判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求
弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，
再求三角形面积。
22
圆上点到直线距离最值、
四边形面积最值、数量积
最值、切点弦方程（多选
题）
利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为
切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数
单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。
23
两圆位置关系、公共弦方
程、公切线（多选题）
由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方
程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。
24
两圆公共弦长
两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公
式求解。
25
直线与圆相交的等腰直
角三角形条件求参数
由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的
2
2 倍，利用点到直线距离公式求参数。
26
等边三角形与直线与圆
相交求参数
等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的
3
2 倍，代入
距离公式求解。
27
与两平行直线相切的圆
方程
设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解
圆心和半径。
28
矩形对角线中点轨迹与
距离范围
由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定
点距离的范围，再转化为弦长范围。
29
圆过两点且圆心在直线
上，求与圆相交的直线参
数范围
先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。
30
直线与圆相切且圆过定
点，求半径最小值
由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定
点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半
径最小值。
31
动直线交点轨迹与分式
最值
两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转
化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。
32
动点轨迹与线段长度最
小值
由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度
的最小值即为原点到该直线的距离。
一、单选题
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线1 :
1
0
l
x
y
+
- =
与直线2 :
2
0(
)
l
kx
y
k
-
+
=
ÎR 垂直，则k = （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
2．（2026·重庆·模拟预测）点
6,1
A
到直线l ：
5
1
27
1
22
0
x
y
l
l
l
-
-
-
+
=
的最大距离是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．34
3．（2026·云南·模拟预测）已知直线:
2
0
l ax
by
a
b
-
+
+
=
与圆
2
2
:
2
7
0
C x
y
y
+
-
-
=
相交于A 、B 两点，则AB
的最小值为（ ）
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
4．（2026·广东佛山·一模）圆
2
2
1 :
4
O
x
y
+
=
和圆
2
2
2 :
6
8
9
0
O
x
y
x
y
+
+
+
+
=
的两条公切线的交点坐标为
（ ）
A．
1,2
B．
2,3
C．
3,4
D．
4,5
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知直线l：
1
0
mx
y
m
-
-
+ =
与圆C：
2
2
2
1
1
x
y
-
+
-
= 交于A，B 两点，
若
90
ACB
Ð
=
°，则m = （ ）
A．1
-
B．2
C．
2
±
D．1
±
6．（2026·江西南昌·一模）已知圆
2
2
:
1
O x
y
+
= ，p ：点
,
P a b 在圆O 外，q ：直线:
1
l ax
by
+
= 与圆O 有
两个公共点，则p 是q 的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点
3,4
P
的直线l 与圆
2
2
:
4
4
7
0
C x
y
x
y
+
-
-
+
=
有两
个交点，则直线l 斜率的取值范围是（ ）
A．
3
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．3 ,
4
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．4 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线1
2
:
2
:
2
l
y
x
m
l
y
x
n
=
+
=
+
，
与圆
2
2
16
x
y
+
=
的四个交点能构成矩形，
则m＋n＝（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
9．（2026·福建泉州·一模）已知直线:
2
0
l x
y
-
-
=
，圆C 关于y 轴对称，且过点
1,3 ,
1,1
A
B
-
，则圆C 上
的点到l 的距离的最大值与最小值之和等于（ ）
A．2
B．2 2
C．3 2
D．4 2
10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y
-
+
= 与圆
2
2
2
2 :(
2)
(
4)
0
C
x
y
a
a
+
+
-
=
>
相切，则a =
（ ）
A．4
B．6
C．4 或6
D．16 或36
11．（2026·广东广州·二模）已知点P 在圆
2
2
(
2)
1
x
y
-
+
= 上，点
0,0 ,
1,1
O
A
，当
POA
Ð
最大时，则
cos
POA
Ð
= （ ）
A．
3
2
2
+
B．
3
2
2
-
C．
6
2
4
+
D．
6
2
4
-
12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆E 与直线y
x
=
相切于点
1,1
A
，与直线y
x
= - 相交于
,
B C 两点，且
4
BC =
，则圆E 的半径为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．2 2
13．（2026·广东茂名·一模）已知
,
,
P M N 分别为直线
3
0
x
y
-
-
=
，圆
2
2
1 :
1
C
x
y
+
= ，圆
2
2
2 :
2
0
C
x
y
x
+
+
=
上的动点，则PM
PN
+
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
14．（25-26 高三上·广东·期末）设动直线:
2
3
0
l mx
y
m
-
-
+
=
（mÎR ）交圆
2
2
:
4
5
12
C
x
y
-
+
-
=
于
A ，B 两点（点C 为圆心），当
ACB
Ð
最小时其余弦值为（ ）
A．
1
2
B．1
4
C．1
3
D．1
6
15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
2
2
:
16
O x
y
+
=
，点
2,0
M -
．点P 在直线
2
10
0
x
y
+
+
=
上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A
B
、，则点M 到直线AB 的距离的最大值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
16．（2026·广东汕头·模拟预测）
( 3,2)
M -
为平面直角坐标系xOy 中一点，直线的方程为
:
0(
R)
l ax
y
a
a
+
+
=
Î
，过点M 作l 的垂线，垂足为Q，记Q 点的轨迹为曲线E，过直线
4
0
x
y
+
-
=
上任
意一点P 作E 的两条切线，切点分别为A、B，则
APB
Ð
正弦值的最大值为（ ）
A．2
5
B．
21
5
C．3 21
10
D．4 21
25
17．（25-26 高二下·江西赣州·开学考试）点A，B 是圆
2
2
1 :(
2)
(
)
4
C
x
y
m
-
+
-
=
上两点，|
| 2 3
AB =
，若在
圆
2
2
2 :(
2)
(
1)
9
C
x
y
-
+
+
=
上存在点P 恰为线段AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ）
A．[ 5, 3]
[1,3]
-
-
U
B．[ 3, 1]
[3,5]
-
-
C．[1,3]
D．[3,5]
18．（2026·辽宁大连·一模）已知点P 是圆
2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
上一点，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
与圆C 相交于
A ，B 两点，则PA
PB
+
uuur
uuur
的最大值为（ ）
A．2
2
+
B．2
2 2
+
C．4
2
+
D．4
2 2
+
19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线:
2
l y
kx
=
+
与圆
2
2
:
3
1
12
C
x
y
-
+
+
=
相交于A
B
、不同两点，劣
弧
AB 所对的圆心角为
ACB
Ð
，若
2π
3
ACB
Ð
<
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
3,
-
+¥
B．
3, 3
3,
-
+¥
C．
3 ,
3
æ
ö
-
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．
3
3
3
,
,
3
3
3
æ
ö
æ
ö
-
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
二、多选题
20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：
4
0
ax
y
a
-
-
+
=
与圆C：
2
2
(
4)
(
2)
9
x
y
-
+
+
=
，则（ ）
A．直线l 过定点
1,4
B．当
1
a = - 时，直线l 被圆C 所截的弦长为3 2
C．当直线l 与圆C 相交时，
3
0
4
a
-
<
<
D．当直线l 与圆C 相切时，
3
4
a = -
21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：
2
2
4
x
y
+
= ，则下列说法正确的是（ ）
A．⊙O 上一点到直线l：
4
y
x
=
+
距离的最小值是4 2
2
-
B．⊙O 和圆
1
C ：
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
+
+
+
-
=
的相交弦长是4
C．⊙O 和圆
2
C ：
2
2
6
8
16
0
x
y
x
y
+
+
+
+
=
有且只有两条公切线
D．⊙O 和曲线C：
2
3
y
x
=
交于A，B 两点，则△OAB 的面积为
3
22．（2026·江西赣州·一模）已知圆
2
2
:
4
C x
y
+
=
，过直线:
4
0
l x
y
+
-
=
上任意一点P 作圆C 的两条切线，
切点分别为
,
A B ，则（ ）
A．圆C 上的点到直线l 的最大距离为
2 1
2
+
B．四边形PACB面积的最小值为4
C．PA PB
×
uuur uuur 的最小值为8
D．当点P 坐标为
1,3 时，直线AB 的方程为
3
4
0
x
y
+
-
=
23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆
2
2
1 :
9
C
x
y
+
=
与圆
2
2
2
2 :(
3)
(
4)
(
0)
C
x
y
r
r
-
+
-
=
>
，则下列说法正
确的有（ ）
A．若
2
r =
，则两圆外离
B．若两圆相交，则2
8
r
<
<
C．若
3
r = ，则两圆的公共弦所在直线方程为6
8
16
0
x
y
+
-
=
D．若
2
r =
，则直线3
4
15
0
x
y
+
-
=
为两圆的公切线
三、填空题
24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆
2
2
4
4
4
0
x
y
x
y
+
-
+
+
=
与圆
2
2
4
x
y
+
= 的公共弦长为________.
25．（2026·四川广安·一模）直线
2
5
0
-
+
=
ax
y
与圆
2
2
2
x
y
+
=
相交于
,
A B 两点，且
AOB
90
Ð
=
o （O 为坐
标原点），则a =___________．
26．（25-26 高二上·天津武清·月考）已知圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
+
-
-
-
=
与直线:
0
l x
y
b
-
+
=
，若直线l 与圆
C 相交于A，B 两点，且
ABC
V
为等边三角形，则b = ______．
27．（2026·天津河东·一模）已知直线1l ：
2
3
0
x
y
-
+
=
，2l ：2
3
0
x
y
-
-
=
，若圆C 的圆心在x 轴正半轴上，
且与直线1l ，2l 都相切，则圆C 的方程为__________.
28．（2026·江苏·一模）已知圆
2
2
9, ,
C
x
y
A B
+
=
：
是C 上的两个动点，点
2,0 ,
90
P
APB
Ð
=
o ．若四边形APBQ
是矩形，则PQ 的取值范围为______．
29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆C 经过点
0,4
A
，
2,6
B
，且圆心C 在直线
2
y
x
=
上，若直线l ：
2
2
0
kx
y
k
-
+
+
= 与圆C 相交，则实数k 的取值范围为______．
30．（2026·北京平谷·一模）已知直线
2
x = - 与圆
2
2
2
:
0
C
x
a
y
b
r
r
-
+
-
=
>
相切，并且圆C 过(2,0) 点，
则r 的最小值是______．
31．（2026·安徽安庆·一模）动直线1 :
2
2
0
l
x
ky
k
+
-
=
与动直线2 : 2
1
0
l
kx
y
k
-
+
+ =
相交于点
( , )
C a b ，则
2
1
2
a
b
a
+
-
-
的最小值为___________．
32．（24-25 高二上·安徽合肥·期末）过动点P 作圆
2
2
:
4
3
3
C
x
y
-
+
-
=
的切线PQ，点Q 为切点，若
PQ
PO
=
（O 为坐标原点），则PQ 的最小值是______.
题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
抛物线定义求点到焦点距离
利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代
入纵坐标求解。
2
椭圆焦点坐标求参数
根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求
解参数。
3
抛物线定义求点坐标
由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横
坐标，再代入求纵坐标。
4
椭圆焦点弦长
写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半
径公式求弦长。
5
双曲线方程判定
根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。
6
椭圆与抛物线综合求参数
由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结
合a2=b2+c2求参数。
7
双曲线渐近线斜率与离心率
由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。
8
椭圆与双曲线离心率关系求参
数
分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。
9
椭圆中向量条件求离心率
利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、
b、c关系求离心率。
10
椭圆焦点三角形求离心率
利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方
程求离心率。
11
折痕问题与抛物线定义
由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判
断轨迹形状。
12
抛物线定义与向量共线求参数
利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件
列方程求解。
13
双曲线弦长与距离之和求离心
率
求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中
a、b、c关系求离心率。
14
角平分线性质与双曲线定义求
离心率
利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程
求离心率。
15
椭圆焦点三角形面积与数量积
由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算
向量数量积。
16
双曲线中点弦存在性求离心率
范围
利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等
式，求离心率范围。
17
双曲线焦点到渐近线距离与三
角形面积求离心率
利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、
c关系求离心率。
18
双曲线与抛物线综合求方程
由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐
近线与抛物线求参数。
19
双曲线顶点与斜率积求渐近线
设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条
件求渐近线方程。
20
双曲线焦点到渐近线距离与三
利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b
角形面积求渐近线斜率
关系，得渐近线斜率。
21
双曲线焦点弦与定义求离心率
利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定
理建立a、c方程。
22
椭圆中等腰三角形条件求离心
率
由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离
心率。
23
双曲线渐近线与平行线交点求
直线方程
求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式
求直线方程。
24
椭圆通径与垂直关系求离心率
由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关
系求离心率。
25
椭圆中位线与圆条件求直线斜
率
利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求
直线斜率。
26
椭圆焦点三角形与余弦定理求
离心率
利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求
离心率。
27
双曲线焦点弦与向量垂直求离
心率
利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦
定理建立a、c方程。
28
双曲线焦点弦与比例关系求离
心率
设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离
心率。
29
双曲线焦点弦与向量共线求离
心率
利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、
c方程。
30
双曲线渐近线与中点坐标求离
心率
利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、
b关系得离心率。
31
双曲线中点弦与圆条件求渐近
线
利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求
渐近线方程。
32
椭圆焦点三角形面积比与等腰
条件求离心率
由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦
定理求离心率。
33
双曲线离心率、直线斜率、数
量积最值（多选题）
求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参
数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。
34
双曲线焦距、离心率、渐近线、
焦点三角形周长（多选题）
由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，
结合双曲线定义求周长。
35
椭圆焦点三角形周长、面积、
向量数量积最值、切线面积最
值（多选题）
利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积
用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本
不等式求最值。
36
抛物线定义、点坐标、向量数
量积、点到直线距离（多选题）
利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和
斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。
37
双曲线焦点弦与勾股定理求离
心率及斜率（多选题）
设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。
38
抛物线定义、圆与直线相切、
最值、垂直条件（多选题）
利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小
值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在
性。
39
抛物线定义、距离最值（多选
题）
利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。
40
抛物线焦点弦、中点弦、弦长
和面积最值（多选题）
设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中
点坐标，再结合基本不等式求最值。
41
抛物线旋转与四叶草曲线性质
由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否
（多选题）
在曲线内部；设直线联立求斜率。
42
椭圆焦点三角形性质（多选题）利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求
面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。
43
双曲线旋转与性质（多选题）
由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线
与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。
44
曲线对称性、直线与曲线交点、
区域面积（多选题）
利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲
线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。
45
椭圆方程、弦长、点差法、垂
直弦长和定值（多选题）
由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中
点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。
46
直线与抛物线相交、向量数量
积、斜率关系（多选题）
联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂
直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。
47
双曲线焦点三角形、渐近线、
正切值、内心性质（多选题）
利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；
设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。
48
抛物线定义、切线、向量数量
积、角平分线（多选题）
由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范
围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。
49
双曲线光学性质、切线、几何
性质（多选题）
利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系
证点在圆上；切线定义得公共点个数。
50
椭圆离心率求参数
根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。
51
椭圆焦点三角形周长
利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。
52
抛物线焦半径与直角条件求距
离
利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。
53
抛物线焦半径与正弦定理求线
段长
利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半
径。
54
平行直线与两抛物线交点围成
四边形面积
设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。
55
两抛物线焦点与直线交点求参
数
由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关
系列方程求参数。
一、单选题
1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线
2
4
y
x
=
上的一点M 的纵坐标为2 ，则点M 到焦点的距离为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆
2
2
2
:
1(
0)
4
x
y
C
a
a +
=
>
的一个焦点是(1,0) ,则a =（ ）
A．
3
B．3
C．5
D．
5
3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：
2
8
y
x
=
的焦点为F，点
,
A m n 在抛物线C 上，且
3
2
AF
m
=
，则m = （ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
4．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
+
= 的左、右焦点分别为
1F 和
2
F ，过
2
F 且倾斜角为π
4 的直
线l 与C 交于A ，B 两点，则AB = （ ）
A．4
3
B．4 2
3
C．2
3
D．2 2
3
5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程
2
2
1
1
2
y
x
m
m
-
=
+
+
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
2, 1
-
-
B．
1,
- +¥
C．
, 2
-¥ -
D．
, 2
1,
-¥ -
È - +¥
6．（2026·江苏·一模）若椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，右焦点是抛物线
2
2
y
px
=
的焦点，则a
p = （ ）
A．
2
2
B．2
C．2
D．2 2
7．（25-26 高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线
2
2
2
2
1
y
x
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的一条渐近线的斜率为
3
3
，则
双曲线的离心率为（ ）
A．2 3
3
B．2
C．2 3
D．3
8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线
1
C ：
2
2
2
1
x
y
a +
=
1
a >
，曲线
2
C ：
2
2
1
4
x
y
-
= 的离心率分别为
1e ，
2e ，且
2
1
5
e
e
=
，则a =（ ）
A．2 3
3
B．2
C．
3
D．
5
9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆C :
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
0
a
b
>
>
的右焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 交C 于
另一点B ．若
1
2
3
3
OF
OA
OB
=
+
uuur
uuur
uuur
，则C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
10．（2026·四川广安·一模）已知
1
2
F
F
，
分别是椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
C
a
b
a
b
：
的左、右焦点，P 是椭圆C 上一
点．若
2
1
2
PF
F F
^
，
1
2
2
PF
PF
=
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
2
2
B．
3
3
C．
1
2
D．1
3
11．（2026·山东青岛·一模）如图，点E 为矩形ABCD 边AB 的中点，以动直线l 为折痕将矩形在其下方的
部分向上翻折，每次翻折后点E 都落在边CD 上，记该落点为F ，过点F 作FP 垂直于CD 交直线l 于点P ，
点P 的轨迹为曲线W 的一部分，则W 为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF
与C 交于点E，若
4
3
DE =
，
2
3
EF =
，则p = （ ）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
13．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
-
=
>
，AB 是过右焦点F 且垂直于x 轴的弦，若点
A ，B 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ）
A．3
2
B．
5
2
C．
7
2
D．2
14．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
1F ，
2
F 分别为左、右焦点，过
1F 且倾斜
角为60°的直线l 与C 在第一象限的交点为P ，
1
2
PF F
Ð
的平分线与线段
2
PF 交于点Q ．若
2
2
PQ
QF
=
，则
该双曲线的离心率是（ ）
A．
3
B．1
3
+
C．2
3
+
D．3
3
+
15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在椭圆C 上，若
1
2
PFF
V
的面积为1，则
1
2
PF PF
×
=
uuur uuuur
（ ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．
8
3
-
D．8
3
16．（25-26 高三上·山东济宁·月考）若双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
不存在以点
3
, 2
a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø 为中点的弦，则该
双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．3 5 ,
5
¥
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．
13
1, 3
æ
ù
ç
ú
çè
û
C．2 5
13
,
5
3
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
13 3 5
,
3
5
é
ù
ê
ú
ë
û
17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右焦点为F ，半焦距为c .
过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，且OHF
V
的面积为
2
3
8 c ，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．2 或
3
C．2 或
5
D．2 或2 3
3
18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
与抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
有相同的焦
点F ，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，三角形FAB 为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线
交于原点O 与另一点M ，三角形OFM 的面积为6 2 ，则双曲线的方程为（ ）
A．
2
2
1
2
4
x
y
-
=
B．
2
2
1
4
2
x
y
-
=
C．
2
2
1
2
y
x -
=
D．
2
2
1
2
x
y
-
=
19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
的左、右顶点分别为
,
A B ，点P 是C
上异于
,
A B 的一点，若直线PA ，PB 的斜率之积为C 的离心率的
2
2 倍，则C 的渐近线方程为（ ）
A．
1
2
y
x
= ±
B．y
x
= ±
C．
2
y
x
= ±
D．
2
y
x
= ±
20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点F 作其中一条渐近线的垂线，垂
足为P，若|
| 3
PF =
，
OFP
△
的面积为6（O 为坐标原点），则C 的渐近线的斜率为（ ）
A．
3
5
±
B．
4
5
±
C．
3
4
±
D．
4
3
±
21．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
1F 的直线与的左、右两支分别交于A，B 两点，且
2
1
2
A
F
B
B
F
A
=
=
，则的离心率为（ ）．
A．2
B．3
C．
6
D．
7
22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
,
F F A是C 的左顶点，P
为C 所在平面内一点，且
1
2
60
F F P
Ð
=
o .若
1
2
PFF
V
与
1
PF A
△
均为等腰三角形，则C 的离心率为（）
A．
3
2
B．
6
3
C．
1
2
D．1
3
23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线
2
2
:
1
4
y
C x -
= 上一点
2,2
P
，若过P 分别作双曲线C 的两条渐近
线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN 的方程为（ ）
A．2 2
3
0
x
y
-
+
=
B．2 2
1
0
x
y
-
+ =
C．2 2
1
0
x
y
-
- =
D．2 2
3
0
x
y
-
-
=
24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 且垂直于长
轴的直线交E 于A，B 两点，若
1
60
AF B
°
Ð
=
，则E 的离心率为（ ）
A．
3
3
B．
3
2
C．
1
2
D．
5
3
25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
+
= 的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，椭圆C 的上半部分有一点
P ，若以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆过线段
1
PF 的中点，则直线
1
PF 的斜率为（ ）
A．1
B．2
C．
3
D．2
26．（25-26 高二上·四川达州·期末）已知A，B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上关于原点对称的两点，
1F
是椭圆C 的左焦点，在
1
AF B
△
中有
1
1
2
BF
AF
=
，
1
π
3
AF B
Ð
=
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
5
3
B．
6
3
C．
7
3
D．2 2
3
27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右两个焦点分别为
1
2
,
F F ，过
1F
的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于
,
A B 两点，且满足
1
1
3
F B
F A
=
，l
OA
^
（O 为坐标原点），
1
2
60
F BF
Ð
=
°，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
3
B．2
C．
7
D．3
28．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，经过
2
F 的直
线与C 的右支交于A，B 两点，且
1
AF
AB
=
，
1
1
cos
9
BAF
Ð
=
，则C 的离心率是（ ）
A．
21
3
B．
15
3
C．
3
D．
5
29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
2
F 的直
线与C 的右支交于点
,
A B ，
2
2
1
1
1
1
1
2
F A F B
F B
F A
×
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
，则
2
2
b
a =（ ）
A．4
2 2
-
B．5
2 2
-
C．6
2 2
-
D．19
8 2
-
30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A ，过点A 且斜率为2
的直线与C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点（其中点P 在第一象限）.若O 为坐标原点，点M 满足
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
，
5
2
AM
a
=
uuuur
∣
∣
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
7
2
B．
21
3
C．5
3
D．
5
2
31．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左顶点为A ，过A 的直线l 与C
的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆
2
2
2
:
O x
y
a
+
=
上，且
7
OB
OA
=
，则双曲线C 的渐近线方程为
（ ）
A．
2
y
x
= ±
B．y
x
= ±
C．
3
y
x
= ±
D．
2 2
y
x
= ±
32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，过
1F 的直线与
椭圆C 交于M、N 两点，若
2
1 2
3
MNF
MF F
S
S
=
△
△
，且
2
1
2
1
F F N
F NF
Ð
Ð
=
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
3
3
C．2
3
D．
6
4
二、多选题
33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线
2
2
:
1
4
9
x
y
C
-
= 的左､右焦点分别为
1
2
F F
､
，过
1F 且斜率为k 的直线l
与C 的右支交于点P ，则（ ）
A．C 的离心率为13
3
B．
3
3
2
2
k
-
<
<
C．
1
2
PF PF
×
uuur uuuur
的最小值为-9
D．若以实轴为直径的圆与l 相切，则
1
2
3
cos
5
F PF
Ð
=
34．（25-26 高二上·广东江门·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
1
12
x
y
a -
= （
0
a >
）的左右两个焦点分别是
1F ，
2
F ，
焦距为8，则（ ）
A．
4
a =
B．双曲线C 的离心率为2
C．双曲线C 的渐近线方程为
3
0
x
y
±
=
D．若M 是双曲线C 上一点，且
1
5
MF =
，则
1
2
F MF
△
的周长为22 或14
35．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= ，
1F ，
2
F 分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P
是椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
1
2
F PF
V
的周长是2 2
2
+
B．
1
2
π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积是
3
C．
1
2
PF
PF
×
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则ABO
V
面积的最小值为2
36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点为F，点
0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，若
|
| 9
MF =
，O 为坐标原点，则（ ）
A．
0
3 3
x =
B．
0
6 2
y = ±
C．|
| 6 3
OM =
D．点F 到直线OM 的距离为2 2
37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
1F
的直线与C 的左支相交于
,
P Q 两点，
2
PQ
PF
^
，
2
4 |
| 3|
|
PQ
PF
=
，则（ ）
A．
2
PQ
a
=
B．
1
1
2
PF
QF
= -
uuur
uuur
C．C 的离心率为
17
3
D．直线PQ的斜率为4
38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线C ：
2
4
y
x
=
的焦点为F ，直线l ：
1
x = - 与x 轴交于点H ，M 是抛
物线C 上的动点，以M 为圆心的圆M 经过点F ，O 为坐标原点，则（ ）
A．圆M 与直线l 相切
B．圆M 的面积的最小值是4π
C．
MH
MF 的最大值是2
D．存在点M ，使得
2 3
3
OM
MF =
39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：
2
4
y
x
=
的焦点为F，点
(1,3)
A
，P 为C 上的动点，则（ ）
A．满足PA
PF
=
的点P 恰有两个
B．PA
PF
+
的最小值为3
C．PA
PF
-
的最小值为2
-
D．PA
PF
-
的最大值为3
40．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线
2
:
8
E y
x
=
的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与E 交于
A，B 两点，2l 与E 交于C，D 两点（点A，C 在x 轴上方），M，N 分别是弦AB 和CD 的中点，则（ ）
A．设点
(3,1)
P
，则PFA
V
的周长最小值为5
2
+
B．2 |
|
|
|
AF
BF
+
的最小值为3
4 2
+
C．MN 的最小值为8
D．AFC
V
和
BFD
△
的面积之和的最小值为32
41．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线
所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E 称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交
点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为
2
4
y
x
=
，过点
(1,0)
F
作直线l 与曲线E 在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且
3
QF
FP
=
uuur
uuur
，则（ ）
A．开口向下的抛物线的焦点坐标为
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．曲线E 上两点间距离的最大值为8 2
C．点(3,3) 不在曲线E 的内部
D．直线l 的斜率为
3
42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 是椭圆C
上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
1
1
5
PF
£
£
，则椭圆C 的离心率为2
3
B．若
2
b =
，
1
2
0
F P F P
×
=
uuur uuur
，则
1
2
PFF
V
的面积为2
C．若
5
a =
，
3
b =
，
1
2
60
F PF
Ð
=
°，则
1
2
PFF
V
内切圆的半径为
3
3
D．若
1
2
15
PF F
Ð
=
°，
2
1
105
PF F
Ð
=
°，则椭圆C 的离心率为
2
2
43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线
2
2
2
2
1
0,
0)
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
可由以坐标原点为中心的曲线
0
n
y
mx
mn
x
=
+
¹
绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
绕原点旋转一定角度可得到双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，其左右焦点分别为
1F 和
2
F ，点P 为曲线C 上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线
3
3
y
x
=
是曲线E 的一条渐近线
B．双曲线C 的离心率为2
C．若
2
4
y
x
m
=
+
与双曲线C 有四个交点，则
13
12
m > -
D．以
1
PF 为直径的圆与圆
2
2
1
x
y
+
= 相切
44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：
2
2
2
2
sin
cos
x
y
x
y
+
=
+
，
0
0
,
P x
y
为曲线E 上的动点，则下列结
论正确的是（ ）
A．曲线E 关于直线y
x
=
对称
B．点P 不可能在直线
π
y
x
=
+
上
C．曲线E 与圆
2
2
1
x
y
+
= 有4 个公共点
D．记曲线E 所围成的区域的面积为S，则π
2π
2
S
<
<
45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的短轴长为2 3 ，左、右焦点分别
为
1F ，
2
F ，P 为E 上一动点，且
1
2
PF
PF
×
的最大值为4，则下列说法正确的有（ ）
A．E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
=
B．若过点
1F 且垂直于x 轴的直线交E 于A ，B 两点，则
3
2
AB =
C．若M ，N 是E 上两点，且MN 的中点为
1,1
Q
，则直线MN 的方程为3
4
7
0
x
y
+
-
=
D．若过点
1F 且互相垂直的两条直线与E 分别交于点C ，G 和点D ，H ，则
1
1
7
12
CG
DH
+
=
46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线
:
1
0
l y
k x
k
=
-
>
与抛物线
2
:
4
C y
x
=
交于
,
A B 两点，F 为抛物线
的焦点，过点F 作l 的垂线交直线
1
x = - 于点D ，则（ ）
A．
0
OA OB
×
=
uuur uuur
B．
0
DA DB
×
=
uuur uuur
C．若
2
AF
BF
=
，则
2 2
k =
D．若
4 3
3
DF =
，则
3
k =
47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
的上、下焦点分别为
1F 和
2
F ，下顶点
为A ，P 为第一象限内C 上的动点，当
1
2
2π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积为
2
3a ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C 的离心率
2
e =
B．双曲线C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
C．
1
1
2
PF A
PAF
Ð
= Ð
D．
1
PF A
△
的内心
,
I m n 满足
2
2
2
3
3
n
m
a
-
=
48．（2026·江西·一模）已知抛物线
2
2
0
C
y
px p
=
>
：
的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，过点K 的直
线与抛物线交于两点P
Q
，
，过P
Q
，
作l 的垂线，垂足分别为T
S
，，若点A 是抛物线上的一动点，且满足FA
的最小值为
1
2 ，则（ ）
A．
2y
x
=
B．
2
2
5
2
+
>
OP
OQ
C．
2
2
>
PF
PK
D．
2
=
PFQ
SFT
Ð
Ð
49．（2026·广东佛山·二模）已知O 为坐标原点，双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在C 上，直线l 为
1
2
F PF
Ð
的内角平分线，过
2
F 作
2
F H
l
^ 于点H ，则（ ）
A．当
1
PF
x
^
轴时，点O 在直线l 上
B．当
1
PF
x
^
轴时，点H 在y 轴上
C．点H 在圆
2
2
2
x
y
a
+
=
上
D．直线l 与双曲线C 的公共点只有1 个
三、填空题
50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆
2
2
1
1
x
y
m
m
+
=
+
（
0
m >
）的离心率为
5
5
，则m = ______．
51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆
2
2
2
1
4
x
y
b
+
= 的右焦点
2
F 的直线AB 交椭圆于A 、B 两点，
1F 是椭圆
的左焦点，则
1
AF B
△
的周长为______．
52．（2026·河北邯郸·一模）已知F 是抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点，A 是C 的准线与x 轴的交点，B 是C 上的
点，且AB
AF
=
，则BF =______．
53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线
2
8
y
x
=
的焦点为F ，准线与x 轴交于点E ，A 为抛物线上一点，若
AFE
Ð
为锐角，17 sin
3sin
AEF
AFE
Ð
=
Ð
，则AE =________.
54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x 轴的直线交抛物线
1
C ：
2
2
y
x
=
于点
1P ，交抛物线
2
C ：
2
8
y
x
=
于
点
2P ，记抛物线
1
C 和
2
C 的焦点分别为
1F 和
2
F ，若
1
1
2
2
PF
P F
=
，则四边形
1
2
1
2
F F PP 的面积为__________.
55．（25-26 高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线
2
1 :
4
C
y
x
=
的焦点为
1F ，抛物线
2
2 :
16
C
y
x
=
的焦点为
2
F ，若直线
(
0)
y
m m
=
>
分别与
1
C ，
2
C 交于
,
P Q 两点，且
1
2
3
PF
QF
-
=
，则m = ________．
题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
抛物线焦点弦与
三角形面积
联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，
列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。
2
双曲线中点弦存
在性
利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双
曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。
3
抛物线中的垂直
与角平分线
设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直；由角平分线性质得斜率关系，
利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。
4
椭圆焦点弦与向
量夹角
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式，
结合判别式求斜率范围。
5
抛物线定义与三
角形外接圆
利用抛物线定义求点坐标和方程；联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判
断三角形形状，再求外接圆半径。
6
双曲线焦点到渐
近线距离与向量
共线
由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程；联立直线与双曲线，利用韦达定
理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。
7
椭圆离心率与几
何证明
由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程；设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴
交点，利用中点坐标性质证明线段相等。
8
抛物线准线与焦
点弦
由抛物线定义和几何关系求参数；设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦
长公式，结合已知条件列方程求斜率。
9
椭圆中直线与坐
标轴交点
由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与
坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。
10
椭圆通径与点到
直线距离
由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，
将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。
11
双曲线定义与重
心坐标
由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线
方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。
12
椭圆中等腰三角
形与面积最值
设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定
值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。
13
双曲线焦点弦与
圆过定点
由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用
韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令y=0解出定点坐标。
14
椭圆中圆过焦点
与定点
由椭圆的定义和焦点坐标求方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，证
明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。
15
椭圆中光线反射
与对称性
由焦距和过定点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关
于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。
16
椭圆中平行四边
形面积最值
设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式；用
三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。
17
抛物线与双曲线
渐近线交点及圆
过定点
联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程；设直线方
程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦
达定理求定点。
18
双曲线离心率与
渐近线
选择条件求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线
距离公式，结合三角形面积求直线方程。
19
抛物线中的等差
数列与三角形面
积
由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用
弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。
20
直线与抛物线相
切及三角形面积
比
联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切；求直线与坐标轴交点，用坐标表
示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。
21
椭圆中向量共线
与面积最值
由点在椭圆上求椭圆方程；利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关
系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。
22
椭圆中通径与点
差法
由长轴长和通径条件求椭圆方程；利用点差法求斜率关系，得定值；用两角差
的正切公式和基本不等式求角的最值。
23
椭圆中等腰梯形
存在性
由离心率和三角形面积求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由
等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。
24
椭圆中斜率关系
与三角形面积
由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将
斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。
25
椭圆中点弦与直
线过定点及面积
最值
由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理和点关
于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面
积，利用基本不等式求最值。
26
椭圆中斜率积为
定值与三角形面
积
由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长；设直线方
程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本
不等式求范围。
27
双曲线定义与点
差法及角范围
由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程；利用点差法求中点弦斜率，由
对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围，
再用向量夹角公式求角范围。
28
椭圆中斜率积为
定值与面积最值
由顶点坐标和斜率积求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由
斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函
数单调性求最值。
29
双曲线渐近线与
由渐近线斜率求离心率；设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率
斜率积为定值及
最值
积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。
30
椭圆中垂直关系
与面积最值
由焦距和短轴长求椭圆方程；联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直；
用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。
31
抛物线中四点共
圆与面积比范围
由点坐标和斜率求抛物线方程；联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共
圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程；用坐标表示三角形面积，
求比值范围。
32
椭圆中三角形外
接圆面积最值
由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，求交点坐标，
设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。
33
椭圆中直线与坐
标轴交点成等差
数列及面积比定
值
由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，
求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。
34
椭圆离心率与中
点弦及最值
由离心率和长轴长求椭圆方程；设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线
垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。
35
双曲线焦点到渐
近线距离与点差
法及正弦定理
由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设点坐标，利用中点坐标
公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值；利用正弦定理和坐标关系求
比值范围。
36
双曲线通径与内
切圆性质
由离心率和通径长求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和
参数范围求最值；利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。
37
椭圆焦点弦与中
点轨迹及面积比
范围
由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求
中点坐标，消参得轨迹方程；求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用
换元法求范围。
38
抛物线切线方程
与直线过定点及
向量共线
由点到直线距离求抛物线方程；利用导数或判别式求切线方程，由切线过同一
点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共
线条件求参数。
39
椭圆中中点弦与
斜率之和为定值
及面积最值
由顶点坐标求椭圆方程和直线方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求
点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值；用弦长公式和点到直
线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。
40
双曲线焦点到渐
近线距离与直线
斜率之和及外接
圆
由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，
利用韦达定理求斜率之和；设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何
关系求定点。
1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
，点F 为C 的焦点，
,
M N 是C 上任意不重合的
两点，当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，|
| 4
MN =
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线MN 过点F 且OMN
V
的面积为4 ，求MN 的方程.
2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点
2, 6
-
，其渐近线方程为
2
y
x
= ±
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
1, 1
P
-
的直线l 与双曲线C 相交于
,
A B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由．
3．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线
2
:
2
C x
y
=
，过点
0,2
P
作直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点，O 为
坐标原点.
(1)证明：OA
OB
^
；
(2)若存在异于点P 的定点T ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
uuur
uur
uuur
uur
恒成立，请求出点T 的坐标，并求出
TAB
△
面积的
最小值.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
左焦点
1( 1,0)
F -
，离心率为
2
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
1F 且斜率为k 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若
2
π
MON
Ð
>
，求k 的取值范围.
5．（25-26 高三下·安徽·月考）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，过C 上一动点A 作C 的准线的
垂线，垂足为B .当
4
AF =
时，
ABF
△
的面积为8.
(1)求C 的方程；
(2)直线BF 与C 交于
,
P Q 两点，点
,
A P 均在第一象限，O 为坐标原点，当P 为BQ 的中点时，求OAQ
V
外接
圆的半径.
6．（2026·山东威海·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦距为2c，渐近线方程为
2 2
y
x
= ±
，
右焦点F 到直线
2
a
x
c
=
的距离为8
3 ．
(1)求E 的方程；
(2)已知直线
3
0
x
my
-
+
=
交E 于B，C 两点，E 的左顶点记为A ，若
/ /
AB
CF ，求弦长|BC|．
7．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，右顶点为A ，左焦点为F ，
且
2
2
AF =
+
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)点
0
0
,
B x
y
在椭圆E 上，且点B 在第一象限内，直线
0
0
:
2
4
0
l x x
y y
+
-
=
，过点A 且平行于l 的直线交y
轴于点Q ，直线AB 交y 轴于点P ，点M 为线段PF 的中点，求证：PF
MQ
^
．
8．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l ，直线
2 3
y =
与l ，C 的
交点分别为P ，Q ，且FP
FQ
=
.
(1)求p ；
(2)若过点
4,0
D
的直线m 交C 于A ，B 两点，且
24
AD
BD
×
=
，求
AD
BD 的值.
9．（2026·天津河东·一模）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，上顶点为A ，右顶点为B ，
13
AB =
，椭圆
的离心率为
5
3
，过点A 的直线与椭圆C 交于点P （P 在第一或第四象限），过原点O 且与直线AP 平行的
直线与椭圆C 在第二象限交于点Q .
(1)求椭圆方程；
(2) x 轴上有一点
8 ,0
3
T æ
ö
ç
÷
è
ø ，AT
BP
^
，求直线AP 的斜率；
(3)若直线PQ与y 轴交于点
10
0,11
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AP 的斜率.
10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
点M 在C 上，
2
MF
x
^
轴，且点
2
F 到直线
1
MF 的距离为6
5 .
(1)求C 的方程；
(2)过点
4,0
P
的直线交C 于不同的两点
,
A B .
（i）求PA
PB
×
的取值范围；
（ii）若
2
AH
MF
^
于点H ，证明：直线HB 过定点.
11．（2026·河北邯郸·一模）已知
4,0 ,
4,0
B
C
-
是
ABC
V
的两个顶点，G 是
ABC
V
的重心，
,
D E 分别是
边
,
AB AC 的中点，且
6
BE
CD
-
=
．记点G 的轨迹为曲线Γ ．
(1)求Γ 的方程．
(2)若VGBC 的面积为24，求点A 的坐标．
(3)已知点
1,0 ,
2,0 ,
2,0
F
M
N
-
-
，过F 的直线l 与曲线Γ 交于
,
P Q 两点，直线MP 与NQ 交于点H ，试
判断H 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
12．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆C 过点
2,1
M
，两个焦点坐标分别为
6, 0 ,
6, 0
-
．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知
,
A B 为椭圆C 上异于M 的两点，且直线
,
MA MB 与x 轴围成一个以M 为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线AB 的斜率为定值；
（ii）求
MAB
△
面积的最大值．
13．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于2，右焦点F
到其渐近线的距离等于
3 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)经过点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆记作
M
e
．求证：
M
e
恒过某个定点，
并求出此定点的坐标；
14．（2026·陕西商洛·二模）在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站
1
2,0
F -
，
2
2,0
F
用于追踪探
测器，探测器沿椭圆轨道Γ 运行，到两站距离和为4．设过点
2 ,0
3
T æ
ö
ç
÷
è
ø 的波束中心直线l （斜率不为0）与椭
圆轨道Γ 交于
,
M N 两点，以MN 为直径形成通信圆Ω ．研究发现，若通信圆Ω 恒过近地点
2,0
A
时，视为
通信状态最佳．
(1)求椭圆轨道Γ 的方程；
(2)请判断通信圆Ω 是否能达到通信状态最佳？并说明理由．
15．（2026·北京密云·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
G a
b
+
=
0
a
b
>
>
，过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 3 .
(1)求椭圆G 的方程和离心率；
(2)设F 为椭圆G 的右焦点，过点
4 3 ,0
3
M æ
ö
ç
÷
è
ø
的直线l 与椭圆G 交于不同两点
,
A B （A ，B 异于椭圆的顶
点）.判断光线AF 经过x 轴反射后是否经过点B ？说明理由.
16．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆
2
2
:
1
8
2
x
y
C
+
= ，O 为坐标原点，点A，B 分别在直线
2
2
y
x
=
与
2
2
y
x
= -
上，P 是C 上一点，O、A、P、B 四点顺时针构成平行四边形OAPB .
(1)求AB 的值；
(2)求平行四边形OAPB 面积的最大值.
17．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线E ：
2
2
0
y
px p
=
>
与双曲线
2
2
1
x
y
-
= 的渐近线在第一、四象限
的交点分别为P ，Q ，且
16
OPQ
S
=
V
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2) A ，B 为E 上异于P ，Q 的两动点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过P ，证明：直线AB 过定点.
18．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A.请从条件①、②、③
中选择两个条件作为已知，使得C 存在且唯一.
条件①：C 的离心率为2；
条件②：C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
；
条件③：C 的右焦点与点A 的距离为1.
(1)求C 的方程；
(2)若过点
2,3
P
的直线l 交C 的右支
．．于点M，且VAMP 的面积为3，求l 的方程.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解
答计分.
19．（2026·江西·一模）已知
1 2,4
P
为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
上一点.
(1)求C 的准线方程；
(2)若点
n
Q 与
nP 关于x 轴对称，过点
n
Q 且斜率为2 的直线交C 于另一点
1
nP + ，设
,
n
n
n
P
x
y
.
（i）求数列
ny
的前n 项和
nT ；
（ii）求
1
2
n
n
n
P P P
+
+
V
的面积.
20．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线
2
2
:
0
E x
my
m m
+
=
¹
，点
0
0
0
,
0
M x
y
x ¹
在曲线E 上，直线
0
0
:
0
l x x
my y
m
+
-
=
.
(1)判断曲线E 与直线l 的位置关系，并证明；
(2)当
2
m =
时，直线l 与直线
2
y =
，
2
y = -
分别交于A ，B 两点.设
OAM
△
与OBM
V
的面积分别为
1S ，
2
S ，比较
1
2
S
S 与
OA
OB 的大小.
21．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，点
0
0
,
P x y
在椭圆上且
0
0
y >
，PQ，PR 分别
经过C 的左、右焦点
1F ，
2
F ，且
1
1
PF
FQ
l
=
uuur
uuur
，
2
2
PF
F R
m
=
uuur
uuur
．
(1)若
2
l =
，求点P 的坐标；
(2)证明：l
m
+
是定值，并求出l
m
+
的值；
(3)求四边形
1
2
FQRF 面积最大值．
22．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为4，直线
(
0)
y
kx k
=
>
与椭圆C 交
于A ，B 两点（点A 在第一象限）．当
2
2
k =
时，A ，B 在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求C 的标准方程；
(2)若AM
x
^
轴于点M ，连接BM 并延长交C 于点P ，记直线AP 的斜率为
0k ．
（ⅰ）证明：
0
kk 为定值；
（ⅱ）设|
|
|
|
AB
t AP
=
，求t 的最小值．
23．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其左顶点为A，上顶点为
B，
AOB
V
的面积是1，其中O 是原点，平行于AB 的直线l 与C 交于M，N.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；若不
存在，请说明理由.
24．（2026·河北保定·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
=
0
a
b
>
>
的右顶点为
2,0
D
，离心率为
1
2 ，过C 的左
焦点F 的直线与C 交于异于点D 的A ，B 两点.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)记直线AB 的斜率为k ，直线AD 与直线BD 的斜率分别为
1
2
,
k k ，
（i）若
1
2
2
k
k
+
=
，求k ；
（ii）若
4 2
tan
3
ADB
Ð
=
，求
ABD
△
的面积.
25．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的两个焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是C 上的一
个动点，当
1
2
PFF
V
面积取得最大值4 3 时，
1
2
60
PF F
Ð
=
°．
(1)求C 的方程；
(2)过点
3,0
E
的直线l 与C 交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为
1A （
1A 与B 不重合）．
（ⅰ）求证：直线
1A B 过定点；
（ⅱ）求
1
EA B
V
面积的最大值．
26．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点
(0,1), (0, 1)
A
B
-
，直线AP 与BP 相交于点
P，且两直线的斜率之积为
1
2
-
．
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)直线1 :
2
1
0
l
x
y
-
+ =
与动点P 的轨迹交于C，D 两点，求弦长|
|
CD ；
(3)若动点P 的轨迹为闭合曲线，点(2,0)
T
，动点P 的轨迹上存在不关于x 轴对称的两点M，N，使得
MTN
Ð
恰好被x 轴平分，求MTN
V
面积的取值范围．
27．（2026·安徽合肥·一模）已知
2,0
A
，点P 是
2
2
1 : (
2)
4
O
x
y
+
+
=
e
上的任意一点，线段AP 的垂直平分
线与直线
1
O P 相交于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)与x 轴不重合的直线l 过点
,0
0
M m
m ¹
，曲线C 上存在两点
,
B D关于直线l 对称，且BD 的中点N 的
横坐标为n ．
①求m
n 的值；
②若
,
B D均在y 轴右侧，且直线l 过点
0,4
E
，求
BED
Ð
的取值范围．
28．（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：
2
2
2
2
1,
0
x
y
a
b
a
b
+
= （＞＞）的左、右顶点分别为
3,0 ,
3,0
A
B
-
，F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 上不同于A、B 的动点，若
5
9
PA
PB
k
k
×
= -
，直线PF 与
椭圆C 的另一个交点为Q．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求
PAQ
△
面积的最大值；
(3)若P 在x 轴的上方，设直线AP、BQ 的斜率分别为
1
2
k
k
、
，是否存在常数l ，使得
1
2
0
k
k
l
+
=
成立？若存
在，请求出l 的值；若不存在，请说明理由．
29．（2026·江苏·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线的倾斜角为
1
2
60
F F
o,
,
分别为左、
右焦点，A 为右顶点，
,
P Q 为C 左支上的两个动点（不包括顶点）．
(1)求C 的离心率；
(2)是否存在常数
0
t t >
，使得
1
1
=
PAF
t
PF A
Ð
Ð
总成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若a 为定值，直线PQ经过
1F ，求AP
AQ
+
的最小值．
30．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的焦距与短轴长均为2 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)已知直线1l ：y
kx
=
（
0
k >
）与椭圆C 交于A，B 两点，点A 在x 轴上方，过点B 作斜率为2
k 的直线2l ，
交椭圆C 于另一个点P.
①证明：AB
AP
^
.
②求ABP
V
面积的最大值.
31．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
，O 为坐标原点，过点
1,1
P
作斜率
0
k k <
的直线l 交抛物线C 于
,
A B 两点，其中A 在第一象限，直线OP 交抛物线C 于另一点D ，其中
4
OD
OP
=
uuur
uuur
，
直线OA与直线BD 交于点M ．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)记△MAD 与
MOB
△
的面积分别为
1
2
,
S S ．
①当
,
,
,
O A D B 四点共圆时，求直线l 的方程；
②求
1
2
S
S 的取值范围．
32．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上顶点为
0,1
A
，直线:l y
kx
=
与椭圆C 交
于两点
,
P Q .当
1
k = 时，
4 3
3
PQ =
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当
APQ
△
的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.
33．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点为A ，上顶点为B ，长轴长为4，
且以短轴为直径的圆与直线
2
y
x
=
+
相切.
(1)求E 的方程；
(2)过点
2,1
P -
的直线l 交E 于
,
C D 两点，直线
,
BC BD 分别交x 轴于
,
M N 两点，证明：
（ⅰ）
, ,
M A N 的横坐标成等差数列；
（ⅱ）
ABD
△
与BMD
V
的面积之比为定值.
34．（2026·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，椭圆W ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的离心率为
1
2 ，长轴长
为4.
(1)求W 的方程；
(2)若过O 的直线l 交W 于A ，B 两点，点C 在W 上，点D 为直线BC 与x 轴的交点，点A 的横坐标为点D 横
坐标的3 倍.
（ⅰ）证明：AB
AC
^
；
（ⅱ）若点A ，B 都在曲线E ：
1
x
y
m
n
+
=
+
（
2
m≥
）上，求n 的最大值.
35．（2026·广东广州·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的焦点到其渐近线的距离为2 ，
点
2,
2 在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)点A ，B 分别在C 的两条渐近线上运动，且
2 2
AB =
，线段AB 的中点为M ．
（ⅰ）设
0, 3
E
，
0,
3
F
-
，求ME
MF
×
的最大值；
（ⅱ）设
,0
P
t
-
，
,0
Q t
（
1
t > ），点M 不在x 轴上，若
2
MQP
MPQ
Ð
= Ð
，求
MP
MQ 的取值范围．
36．（2026·广东·一模）设双曲线
2
2
2
2
:
1
,
0
x
y
C
a b
a
b
-
=
>
的离心率为2，其左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，过
2
F
的直线l 与双曲线C 的右支交于点
,
M N ．当MN 与x 轴垂直时，
6
MN =
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)求
2
2
MF
NF
×
的最小值；
(3)记
1F MN
△
的内切圆
P
e
与双曲线C 的一个公共点为Q ，双曲线C 的左顶点为A ，证明：
2
2
APQ
F PQ
Ð
Ð
=
．
37．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
-
，过点
1F 且倾斜角
为a 的直线与椭圆C 相交于
,
A B 两点，当
1
cos
3
a =
时有
1
9
|
|
|
9
5
|
AB
AF
m
=
=
．
(1)求m 的值及椭圆C 的标准方程；
(2)已知线段AB 的中点为G ．
（ⅰ）求点G 的轨迹方程；
（ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于
,
D E 两点，O 为坐标原点，记
1
GF D
△
的面积为
1,
S
OED
△
的面积为
2
S ，求
1
2
2
2
1
2
64
2048
S S
S
S
-
的取值范围．
38．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线
2
:
2
0
E
y
px p
=
>
的焦点F 到直线
7
: 2
0
2
l
x
y
-
+
=
的距离为11 5
10
．
(1)求抛物线E 的方程．
(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作E 的切线，切点分别为
,
M N ．
①问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
②若点P 在抛物线E 的准线上，切点M 在第一象限内，存在过点P 的直线与E 相交于
,
A B 两点，过点A 作
平行于PM 的直线，分别与直线MN 和直线MB 交于点
,
G H ，若AG
AH
l
=
，求l 的值．
39．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
．
(1)求椭圆E 的方程和直线AB 的方程；
(2)过椭圆E 上异于A 的点C 作x 轴的垂线交直线AB 于M 点，延长CM 至点N ，使MN
CM
=
，直线AN 交
椭圆E 于点D ．
（i）求证：直线
,
AC AD的斜率之和为定值；
（ii）求ACD
V
面积的最大值．
40．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦点F 到一条渐近线的距离为1，且点
2,1
P
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1
- 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（异于点P ）．
①求直线AP 、BP 的斜率之和；
②若PAB
V
的外接圆圆心为M ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使
2
2
-
MQ
MP 为定值，若存在，求出Q 点坐
标，若不存在，请说明理由．
题型25 排列组合27 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
分组分配问题
先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。
2
分组分配问题
先将4人分成3组（2,1,1），再分配到3个地点，注意平均分组的处理。
3
数字排列与相邻问
题
先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。
4
排列中的顺序与相
邻条件
先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。
5
相邻问题
将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。
6
分组分配问题
先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。
7
先选后排（空盒问
题）
先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况（2,2和1,3）。
8
有限制条件的分组
分配
按A公司人数分类讨论（1人或2人），再分配B、C公司。
9
排列中的位置与相
邻限制
先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御”相邻且不满足条件的情况。
10
排列中的位置限制
分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。
11
排列中的不相邻与
前位限制
先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。
12
排列中的位置与不
相邻限制
先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。
13
相邻问题的综合应
用
分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。
14
排列中的位置限制
用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。
15
有限制条件的分配
问题
按A舱人数分类讨论（1人、2人、3人、4人），分别计算分配方法。
16
车票问题
每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。
17
数字排列（无重复）
先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。
18
网格路径问题
用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。
19
有限制条件的分配
问题
先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区
无人的情况。
20
分组分配问题
先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。
21
有限制条件的填数
问题
先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。
22
顺序固定与不相邻
问题
先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。
23
排列中的位置限制
用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。
24
网格路径问题
分类讨论必经点，分步计算路径数。
25
图形填数问题
分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数
字大小关系计算。
26
取物顺序问题
对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。
27
数阵填数问题
先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。
一、单选题
1．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4 名同学被分配到甲、乙两个社区，
每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．14 种
D．28 种
2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、
体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1 名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配
方法种数为（ ）
A．81
B．72
C．36
D．12
3．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），
满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6 两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个.
A．432
B．257
C．282
D．504
4．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去
, ,
,
,
A B C D E 五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺
序时，要求A 在B 之前，C 与D 相邻，则不同的游览顺序共有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．48 种
D．60 种
5．（2026·新疆·模拟预测）有5 辆车停放在一排的5 个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放
方法的总数为（ ）
A．24
B．48
C．72
D．120
6．（2026·山东烟台·一模）某学校派5 名同学参加“市长杯”足球比赛中4 个场次的志愿服务，每场比赛至
少派1 名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（ ）
A．180
B．240
C．320
D．360
7．（2026·山东聊城·模拟预测）将4 个不同的小球放入4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种
数为（ ）
A．72
B．78
C．84
D．96
8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6 名同学安排到, ,
A B C 三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，
至少安排1 名同学去A 公司实习，至少安排2 名同学去B 公司实习，至少安排2 名同学去C 公司实习，则
不同的安排方法有（ ）
A．120 种
B．150 种
C．210 种
D．300 种
9．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学
社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后
一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（ ）．
A．408 种
B．336 种
C．240 种
D．120 种
10．（2026·山东淄博·一模）有5 名同学A ，B ，C ，D ，E 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A 和B 都
不是第1 个出场，且C 不是最后一个出场，则这5 人不同的出场顺序种数为（ ）
A．42
B．50
C．54
D．60
11．（2026·浙江·一模）某晚会由4 个歌舞节目和2 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相
邻出演且前3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A．216
B．360
C．432
D．672
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3 名男生和2 名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2 名女生不
相邻的不同站法有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
13．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名
著.书架的某一层上有4 本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4 本书的5 个空隙中，要求原有书的
顺序不变且四大名著中至少有3 本相邻，则不同的插法共有（ ）
A．120 种
B．240 种
C．480 种
D．600 种
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，
则春字不在两端的贴法有（ ）
A．96 种
B．72 种
C．60 种
D．48 种
15．（2026·山东青岛·一模）某空间站由A ，B ，C 三个舱构成，某次实验需要5 名宇航员同时在3 个舱中
开展，每个人只能去1 个舱，每个舱至少安排1 名宇航员，其中宇航员甲只能去A 舱，则不同的安排方法
的种数为（ ）
A．35
B．36
C．42
D．50
二、填空题
16．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、
惠州北、广州等6 个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票.
17．（25-26 高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3 中任取3 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个
数是______.（用数字作答）
18．（2026·河北·模拟预测）如图，某城市A，B 两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，
小林要从A 出发到B 处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q 两处实行交通管制，不准通行，则从A
到B 的走法共有____________种．（用数字作答）
19．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4 名男性普法员和2 名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区
进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1 名普法员，则2 名女性普法员被安排在不同
社区的方案共有______种．
20．（2026·湖北孝感·二模）2025 年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5 个不同造型的
“LABUBU”．把这5 个“LABUBU”装入3 个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．
21．（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6 中的一个数字填入，
要求1 用两次，2 用三次，其余数字各用一次，且当两个1 在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共
有______种.
22．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9 次打卡动作，其中有2 次柔韧打卡，
3 次力量打卡，4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2 次耐力打卡不能相邻，
不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
23．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从6 张不同地图中选择3 张，按顺序用于3场比赛，且每张地图最
多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种．
24．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向
上或向右移动1 格，则从起点到终点共有______种不同的走法.
25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
26．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一
个，且所取的装饰品只能有1个或0 个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种.
27．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入一个3 3
´ 的方格中，每个格子填1 个
数字，且不重复，要求第一行数字满足
11
12
13
a
a
a
<
<
，第三行数字满足
31
32
33
a
a
a
<
<
，第三列数字满足
13
23
33
a
a
a
<
<
，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
题型26 二项式定理17 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求展开式指定项的系
数
利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。
2
二项式系数相等求指
数
利用二项式系数的性质，由 C2
n=C5
n 得 n=7。
3
求展开式指定项的系
数
写出通项公式，令 x 的指数为2，求出 r 后代入求系数。
4
存在性条件求指数
写出通项公式，令 x 的指数为整数，检验 n 的可能取值。
5
已知常数项求参数
写出通项公式，令 x 的指数为0，代入常数项列方程求解。
6
二项式系数最大项求
指数
分 n 为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定 n 的范围。
7
多项式乘法求指定项
系数
分别写出二项式展开的通项，再与 x 相乘，合并同类项。
8
多项式乘法求指定项
系数
将多项式拆分为两部分，分别求含 x3 的项，再合并系数。
9
二项式系数最大项与
指定项系数
由仅有第4项二项式系数最大得 n=6，再通项求 x3 的系数。
10
二项式系数最大与有
理项概率
由第6项二项式系数最大得 n=10，写出通项，找出有理项个数，再计算
概率。
11
赋值法求系数和
分别令 x=1 和 x=−1，相减可得奇数项系数之和。
12
换元法求指定项系数
令 t=x−1，转化为关于 t 的二项式，求 t2 的系数。
13
赋值法求系数和（多
选题）
令 x=1 求各项系数和；令 x=−1 求奇偶项系数差；求导后赋值求相关和。
14
赋值法求系数和（多
选题）
由最高次项系数确定 a9；利用通项求 a8；令 x=1 和 x=−1 求相关和。
15
赋值法与二项式系数
性质（多选题）
令 x=1 求系数和；利用通项求指定项系数；令 x=1 和 x=−1 求奇偶项
系数差；利用二项式系数性质求最大值。
16
多项式乘法求指定项
系数
将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取 x2 和 x3 的个数。
17
二项式系数和与常数
项
由二项式系数和求 n，再写通项，令指数为0求常数项。
一、单选题
1．（2026·江西·模拟预测）二项式
6
( 2
1)
x -
的展开式中，第四项的系数为（ ）
A．40 2
-
B．30
-
C．30
D．40 2
2．（2026·山西大同·一模）若(
2 )n
x
y
-
的展开式中第3 项与第6 项的二项式系数相等，则n = （ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．（2026·广东·一模）在
4
5
1
1
x
x
-
+
-
的展开式中，含
2x 的项的系数是（ ）
A．
4
-
B．4
C．
16
-
D．16
4．（2026·江西·一模）若
3
*
2
1
n
x
n
x
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
N
的展开式中存在含
20
1
x
的项，则n 可能等于（ ）
A．5
B．9
C．15
D．19
5．（2026·陕西榆林·一模）若
10
4
1
(
0)
ax
a
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
的展开式中常数项为180，则a 的值为（ ）
A．4
B．2
C．2
D．1
6．（2026·陕西·模拟预测）若(2
1)n
x +
的展开式中第7 项的二项式系数最大，则n 的值不可能是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
7．（2026·陕西·模拟预测）
7
3
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中
3x 的系数为（ ）
A．56
B．42
C．84
D．120
8．（2025 高三·全国·专题练习）
2
5
3
y
x
x
y
x
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
的展开式中
4
2
x y 的系数为（ ）
A．88
B．89
C．90
D．91
9．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式
2
1
n
x -
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，则展开式中
3x
项的系数为（ ）
A．160
-
B．80
-
C．80
D．160
10．（25-26 高二上·江西鹰潭·期末）已知在
4
1
3
n
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的二项展开式中，只有第6 项的二项式系数最大，
若在展开式中任取2 项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则
( )
P A = （ ）
A．24
55
B．6
55
C．18
55
D．20
55
11．（2026·福建龙岩·一模）设
5
5
0
1
5
1
x
a
a x
a x
+
=
+
+×××+
，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
+
+
+
+
= （ ）
A．1
B．2
C．31
D．32
12．（2026·安徽马鞍山·一模）若
8
2
8
0
1
2
8
(3
)
(2
)
(2
)
(2
)
x
a
a
x
a
x
a
x
-
=
+
-
+
-
+
+
-
L
，则
6a = （ ）
A．-56
B．-28
C．28
D．56
二、多选题
13．（2026·广东广州·模拟预测）设
6
6
0
1
6
2
x
a
a x
a x
+
=
+
+
+
L
，则（ ）
A．
0
1
5
728
a
a
a
+
+
+
=
L
B．
3
160
a =
C．
12
2
x
+
的展开式中含
2x 项的系数为
2
64a
D．
0
2
4
6
365
a
a
a
a
+
+
+
=
14．（2026·山东·模拟预测）若
2
6
0
1
2
6
6
3
1
2
0
+
-
=
+
+
+
+
¹
n
x
x
a
a x
a x
a x
a
L
，则（ ）
A．
5
n =
B．
4
130
a =
C．
1
2
6
28
+
+
+
=
a
a
a
L
D．
1
2
3
6
2
3
6
23
+
+
+
+
=
a
a
a
a
L
15．（2026·重庆·一模）已知
8
2
8
0
1
2
8
2
1
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
-
=
+
-
+
-
+
+
-
L
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
0
1
a =
B．
3
494
a =
C．
8
1
3
5
7
3
1
2
a
a
a
a
-
+
+
+
=
D．
0,1,2,
,8
ia i =
L
中，
5a 与
6a 最大
三、填空题
16．（2026·山东聊城·一模）
5
2
1
x
x
-
+
的展开式中
3x 的系数是____________．
17．（25-26 高三上·天津蓟州·期末）
2
n
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______
题型27 概率统计小题52 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
统计量变化判断
分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变
化。
2
百分位数计算
根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取
相邻两数的平均数，列方程求解参数。
3
回归直线过样本中心
计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。
4
回归直线过样本中心
计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。
5
折线图信息提取
观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接
从图中得出。
6
线性变换后的方差
利用方差性质 D(aX+b)=a2D(X)，由原数据方差求新数据方差。
7
数据错误对方差的影
响
设原数据平均数为 x，由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差，
作差求解。
8
二次函数最值与样本
数据
将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于 t 的二次函数，
利用二次函数性质求最小值。
9
全概率公式求总体优
秀率
将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以人数比例的加权和，利用全概率
公式计算。
10
古典概型概率计算
列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。
11
条件概率
先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方
法数，比值即为条件概率。
12
全概率公式
将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。
13
条件概率与独立事件
设 P(A)=P(B)=p，利用条件概率公式和独立事件性质列方程，解出 p。
14
条件概率与并事件
利用条件概率公式 P(A|B)=
P(A∩B)
P(B) ，结合并事件概率公式求解。
15
比赛获胜概率与奖金
分配
分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。
16
对立事件与充分必要
条件
理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。
17
随机变量期望
列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期
望。
18
正态分布概率计算
利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。
19
二项分布与正态分布
综合
由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求 n，再代入条件求概
率。
20
二项分布与线性变换
设正面次数为 Y，则总得分 X=2Y−(8−Y)=3Y−8，利用二项分布期望方差
求 X 的期望方差。
21
概率递推
分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。
22
线性变换后的统计量
（多选题）
极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍，
第80百分位数不能确定。
23
去掉极值后的统计量
（多选题）
极差变小，平均数可能不变，方差变小，百分位数可能改变，通过计算
验证。
24
折线图分析（多选题）
计算各月变化量判断A；求和求平均判断B；分别计算前5个月和后5个月
的方差比较；排序后求第70百分位数。
25
条形图和扇形图分析
（多选题）
根据比例计算各年各路线人数，比较大小，计算极差和增长率。
26
线性变换后的统计量
（多选题）
平均数变为原来的3倍加1，中位数变为原来的3倍加1，方差变为原来的9
倍，极差变为原来的3倍。
27
两组数据合并后的统
计量（多选题）
利用已知平均数和方差，通过公式推导合并后的平均数和方差。
28
去掉极值后的统计量
中位数不变；极差可能不变也可能变小；方差可能变小；通过具体数据
（多选题）
验证。
29
统计图表分析（多选
题）
根据累计收入和同比增长率计算每月收入，比较大小，判断各选项。
30
添加数据后的统计量
变化（多选题）
通过构造具体数据验证平均数、中位数、方差、极差的变化可能性。
31
独立性检验（多选题）
列出列联表，计算卡方值，与临界值比较，判断是否独立。
32
独立性检验与条件概
率（多选题）
根据比例计算人数，列出列联表，计算卡方值，用条件概率公式求概率。
33
互斥事件与包含关系
（多选题）
利用互斥事件概率加法公式和包含事件概率性质判断。
34
贝叶斯定理（多选题）
利用全概率公式和贝叶斯公式计算条件概率。
35
随机变量期望（多选
题）
分类讨论从乙袋取球的情况，计算从甲袋取到红球个数的分布列和期望。
36
条件概率与独立事件
（多选题）
利用条件概率公式和独立事件概率性质推导。
37
条件概率与和事件（多
选题）
利用条件概率公式和概率加法公式计算。
38
等比数列与概率（多选
题）
先求等比数列通项，判断各项正负，再根据前 n 项中正数个数计算概率。
39
正态分布性质（多选
题）
利用正态分布的对称性、概率密度函数性质判断。
40
马尔可夫链与条件概
率（多选题）
利用全概率公式和条件概率公式计算。
41
全概率公式与二项分
布（多选题）
全概率公式求答对概率；条件概率公式；二项分布概率公式和期望公式。
42
条件概率与全概率公
式（多选题）
利用条件概率和全概率公式推导各选项。
43
递推概率（多选题）
分析试验过程，建立概率递推关系，判断各选项。
44
分层抽样总体均值与
方差
利用分层抽样总体均值公式 x=n1x1+n2x2
n1+n2 ，总体方差公式 s2=
n1 s2
1+ x1−x
2 +n2 s2
2+ x2−x
2
n1+n2
。
45
分层抽样总体均值
计算加权平均数。
46
古典概型概率
列举所有取球组合，找出互质的数对，求概率。
47
比赛得分概率
先求每轮甲得1分、0分、-1分的概率，再分析三轮总分1分的情况，用二
项分布或分类计数。
48
随机变量最大值期望
分析 X（抽到数字2、0、6的次数的最大值）的可能取值，计算各概率，
再求期望。
49
条件概率（马尔可夫
链）
利用全概率公式求第3天选A的概率，再求第2天选A且第3天选A的概率，
用条件概率公式。
50
全概率公式与贝叶斯
公式
全概率公式求合格品概率，贝叶斯公式求甲厂生产条件下是合格品的概
率。
51
概率递推
分析操作过程，计算4次和5次操作后全红的概率，注意红球和黑球替换
的路径。
52
条件概率与期望
先求系统正常工作概率，再求在正常工作条件下损坏元件个数的分布，
计算期望。
一、单选题
1．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变
化的统计量是（ ）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
2．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，10，m，16，18，19，20 ，若该
组数据的60% 分位数是14，则m = （ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
3．（2026·河北张家口·一模）通过下表5 组数据得到的经验回归方程为
ˆ
ˆ
0.84
y
bx
=
+
，则ˆb 的值为（ ）
x
2
3
4
5
6
y
0.67
0.56
0.47
0.39
0.31
A．0.08
-
B．0.08
C．0.09
-
D．0.09
4．（2026·山东青岛·一模）已知变量x ，y 的统计数据如下，若x 与y 的回归直线方程为
0.64
0.8
ˆy
x
=
+
，
则m = （ ）
x
2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
y
2.6
m
4.0
5.1
5.4
A．2.5
B．2.7
C．2.9
D．3.1
5．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型
对某节点连续8 个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折
线图（两条折线）：
观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（ ）
A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5 小时左右）达到峰值
B．这8 小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10 元/MWh 左右
C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6 小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化）
D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值
6．（2026·广东·一模）已知数据
1
2
3
,
,
x x
x 的平均数为1，方差为2，则数据
1
2
3
1
2
3
,
,
,2
1,2
1,2
1
x x x
x
x
x
-
-
- 的方
差为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据, , ,25,20
a b c
的方差为
2s ，甲同学将这组数据错看成, , ,15,30
a b c
，
并求得错误数据的方差为
2
60
s =
甲
，则正确数据的方差
2s =（ ）
A．80
B．60
C．40
D．20
8．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据
1
2
10
x
x
x
L
，，，
，其中
R
1 2
10
ix
i
Î
=
L
，，，．已知
10
10
2
1
1
90,
1000
i
i
i
i
x
x
=
=
=
=
å
å
，设函数
10
2
1
i
i
f x
x
x
x
=
=
-
Î
å
R
，
．则
f x 的最小值为（ ）
A．19
B．100
C．190
D．200
9．（24-25 高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.
满分100分，得分80分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是70% ，高二年级优秀率约是
75% ，高三年级优秀率约是80%.其中高一、高二、高三年级人数比为13:12:15，那么全校“优秀率”约是
（ ）
A．73.75%
B．75.00%
C．75.25%
D．76.25%
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一
个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3 个黑球和3 个红球，乙的袋子中
有3 个黑球和2 个红球，则乙获胜的概率为（ ）
A．1
5
B．1
3
C．2
5
D．
1
2
11．（2026·山东东营·一模）在2025 年10 月19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位
志愿者被派往A、B、C 三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务
站，则在甲被派去B 服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ）
A．1
6
B．
1
2
C．2
3
D．5
6
12．（2026·四川德阳·二模）某知识过关题库中有, ,
A B C 三种难度的题目数分别为300,200,100 ，其中小明
完成, ,
A B C 型题目的正确率分别为4 3 2
,
,
5 5 5 ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ）
A．3
4
B．3
5
C．2
3
D．4
7
13．（2026·广东佛山·二模）设
,
A B 为两个相互独立的随机事件，且
2
P A
P B
=
．已知在
,
A B 至少一个
发生的条件下，
,
A B 恰有一个发生的概率是4
5 ，则
P B = （ ）
A．1
4
B．1
5
C．1
8
D．1
10
14．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，
3
5
P A =
，
1
6
P B A =
，
1
P A
B
È
= ，则
P B = （ ）
A．7
10
B．3
5
C．
1
2
D．2
5
15．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2 局，谁便赢得奖金5400 元.根据以往的交
手记录，每局甲赢的概率为2
3 ，乙赢的概率为1
3 ，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，
为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（ ）元.
A．3600
B．3800
C．4000
D．4200
16．（2026·广东汕头·模拟预测）“
( )
( )
1
P A
P B
+
= ”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必
要不充分条件
17．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标
有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己
持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1 分，否则乙得1 分，然后各自弃置此轮所选的卡片
（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则
E X = （ ）
A．1
B．4
3
C．3
2
D．2
18．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命” X （单位：
千次）服从正态分布
2
4.5,
N
s
，且
5.2
0.2
P X ³
=
．现从该批固态电池中随机抽取1 组，则“循环寿命” X
在区间
3.8,5.2 的概率为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.6
D．0.8
19．（2026·山东德州·一模）已知随机变量
2
,
X
N m s
~
，且
3
1
3,
,
2
2
Y
B
p
P X
æ
ö
~
³
=
ç
÷
è
ø
，且
2
2
E X
D
Y
=
，则p = （ ）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
20．（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，每次正面向上得2 分，反面向上得1
-
分，记总得分为X，则（ ）
A．
8
E X =
B．
12
E X =
C．
6
D X =
D．
18
D X =
21．（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态
3，……，每种状态下的粒子经过1 秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1 的粒子
有
1
2 的概率变为状态2，状态2 的粒子有1
3 的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1 的该粒子，则经过
3 秒处于状态1 和状态2 的粒子数目约占（ ）
A．39%
B．51%
C．64%
D．73%
二、多选题
22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的极差为4，平均数为3，方差为2，若
2
1
1,2,3,4,5
i
i
y
x
i
=
+
=
，则（ ）
A．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的第80 百分位数为
4y
B．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的极差为8
C．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的平均数为7
D．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的方差为4
23．（2026·山西晋中·模拟预测）在一次机器人大赛中，7 位评委给某机器人的打分（单位：分）为
80,83,87,90,93,97,100 ，则下列说法正确的有（ ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变
B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变
C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小
D．这组数据的75% 分位数为93
24．（2026·河北·一模）某超市统计了2025 年前10 个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示
的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10 个月营业额的平均数为32.5 万元
C．前5 个月营业额的方差大于后5 个月营业额的方差
D．这10 个月营业额数据的第70 百分位数为43
25．（2026·辽宁辽阳·一模）某市10 公里慢跑自2020 年首次推出5 条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年
增加.下图分别为该市2020 年10 公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025 年10 公里慢跑参与人数的
扇形统计图（图2），已知2025 年一号线的参与人数是2020 年一号线参与人数的1.5 倍，则（ ）
A．2025 年该市10 公里慢跑总的参与人数是6 万
B．2025 年五号线的参与人数超过了2020 年二号线与三号线的参与人数总和
C．2020 年，五条路线对应的参与人数的极差是11 千
D．2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线
26．（2026·四川成都·二模）已知数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设
3
2
1,2,3,
,8
i
i
b
a
i
=
-
=
×××
，得到新数据
1
2
3
8
,
,
,
,
b b b
b
×××
，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A．平均数是3M
B．中位数是3
2
N -
C．方差是9P
D．极差是3
2
Q -
27．（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据
1
x ，
2x ，…，
nx 的方差为1，第二组样本数据
1
3
2
x +
，
2
3
2
x +
，…，3
2
nx +
的平均数为14，则（ ）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30
28．（2026·吉林白城·一模）有一组样本数据
1
2
8
,
,
,
x
x
x
L
，其平均数为4，方差为
2
1s ，中位数为m．在这组
数中，去掉一个最大的数6 和一个最小的数2，余下6 个数据的中位数为n，方差为
2s ，极差为t，则（ ）
A．m
n
=
B．
4
t <
C．
2
2
1
3
4
s
s
<
D．
2
1
1
s ³
29．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025 年2 月至10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形
图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）：
月份
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9 月
10 月
累计收入
（亿元）
43.88
66.57
83.96
96.87
134.69
150.09
161.05
191.67
213.39
同比增长率
（%）
2
2.1
2.1
3
1
0.4
-
0.3
-
4.2
4.8
根据图表，下列说法正确的是（ ）
A．该地区2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B．2025 年8 月该地区的地方一般公共预算收入超过22 亿元
C．2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入比2024 年9 月高
D．2024 年前9 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20 亿元
30．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）有一组互不相等的样本数据
1
2
6
,
,
,
x x
x
L
，现添加一个新的数据
7x ，得到新的一组数据
1
2
7
,
,
,
x x
x
L
，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（ ）
A．若平均数不变，但极差变大
B．若中位数不变，但平均数变小
C．若平均数不变，但方差变大
D．若中位数不变，但方差变小
31．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是
否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗效
疗法
未治愈
0
Y =
治愈
1
Y =
甲
0
X =
15
52
乙
1
X =
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
2
4.881
c »
．则下列说法正确的是：（ ）
A．以频率估计概率，有
5
0
0
7
∣
P X
Y
=
=
=
B．以频率估计概率，有
2
0
1
23
∣
P Y
X
=
=
=
C．若取
0.05
a =
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
0.01
a =
，可以认为疗效与疗法独立
32．（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是
否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200 名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下
列结论正确的是（ ）
附：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
，n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.05
0.01
0.001
a
c
3.841
6.635
10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20 人，则其中新能源车主有12 人
C．根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
33．（2025 高三·全国·专题练习）已知随机事件
,
A B 满足
1
1
,
2
3
P A
P B
=
=
，则（ ）
A．若事件
,
A B 互斥，则
5
6
P A
B
+
=
B．若B
A
Í
，则
1
2
P AB =
C．若B
A
Í
，则
1
2
P A
B
+
=
D．若事件
,
A B 互斥，则
5
6
P A
B
+
=
34．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件
,
A B 存
在如下关系：
P A P B A
P A B
P B
=
∣
∣
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运
动．张同学第一天选择室内健身的概率为2
3 ，选择户外运动的概率为1
3 ．如果第一天选择室内健身，那么
第二天继续选择室内健身的概率为
1
2 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为2
3 ．则
张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为5
9
B．第二天去户外运动的概率为2
9
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为2
5
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为3
4
35．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有
2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随
机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为X ，则（ ）
A．
13
0
15
=
=
P X
B．
4
1
5
P X =
=
C．
4
5
E X =
D．
4
125
=
D X
36．（2026·重庆·模拟预测）已知A ，B 为两个随机事件，A ，B 分别表示A ，B 的对立事件，
0.2
P A =
，
0.3
P B =
，则下列说法正确的是（ ）
A．若A
B
Í
，则
0.3
P A
B
+
=
B．若A
B
Í
，则
0.5
P A
B
+
=
C．若A ，B 相互独立，则
0.4
P A
B
+
=
D．若
0.1
P AB =
，则
1
3
P A B =
37．（2026·江西赣州·一模）设
,
A B 是一个试验中的两个事件，且
1
7
5
( )
,
( )
, (
)
2
12
12
P A
P B
P AB
AB
=
=
+
=
，则
下列结论正确的有（ ）
A．
1
3
P AB =
B．
5
12
P A
B
+
=
C．
2
|
3
P B A =
D．
(
|
)
(
|
)
1
P B A
P A B
+
=
38．（2026·河北张家口·一模）若数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
1
n
n
S
a
=
+ ，在数列
na
的前
2
n +
（
*
nÎN ）项中任取两项都是正数的概率记为
nP ，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
1
6
=
P
B．
2
1
2
n
n
P
P
- <
C．
2
2
2
n
n
P
P
+
<
D．
2
1
2
2
1
2
2
n
n
n
n
P
P
P
P
-
+
+
+
<
+
39．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量
2
~
1,
X
N
s
，且
2
P X
a
>
=
，
4
P X
b
>
=
（0
0.5
b
a
<
<
<
），则（ ）
A．
1
4
1
P
X
b
£
£
= -
B．
1
b
P X
a
<
< -
<
C．
2
1
P X
a
b
£
= -
-
D．
2
P X
m
P X
m
>
+
>
< -
（
0
m >
）
40．（2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的A ，B 两家共享自助洗车店洗
车．已知小张第一次去A ，B 两家洗车店洗车的概率分别为3
5 和2
5 ，如果小张第一次去A 洗车店，那么第二
次去A 洗车店的概率为
1
2 ；如果小张第一次去B 洗车店，那么第二次去A 洗车店的概率为3
5 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．小张第一次去B 洗车店，第二次也去B 洗车店的概率为2
5
B．小张第二次去B 洗车店的概率比第二次去A 洗车店的概率小
C．若小张第二次去了A 洗车店，则他第一次去A 洗车店的概率为5
9
D．若小张第二次去了B 洗车店，则他第一次去A 洗车店的概率为15
23
41．（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛
的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对A 类问题的概率为1
3 ，
答对B 类问题的概率为
1
2 ，甲同学回答A 类问题的概率为3
4 ，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下
列说法正确的是（ ）
A．甲同学在第一轮答对试题的概率为3
8
B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为1
3
C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为225
512
D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6
42．（2026·四川绵阳·模拟预测）设A ，B 分别为随机事件
,
A B 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结
论正确的有（ ）
A．
|
|
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
B．若
|
P B A
P B
=
，则
|
P A B
P A
=
C．
|
|
P ABC
P A P B A P C AB
=
D．
|
|
1
P B A
P B A
+
=
43．（2026·山东济南·一模）现进行如下试验：从1,2,3,
,10
L
中任选一个数，记为
1a ，若
1
1
a = ，则试验结束；
否则再从
1
1,2,
,
1
a -
L
中任选一个数，记为
2a ，若
2
1
a = ，则试验结束；否则再从
2
1,2,
,
1
a -
L
中任选一个数，
依次类推，直至选中1 为止.记事件
=
iA
“试验过程中，数字i 被选到”，
ip 表示事件
iA 发生的概率
（
1,2,3,
,10
i =
L
），则（ ）
A．
9
1
10
p =
B．
8
10
9
1
1
1
10
9
8
p
p
p
=
+
+
C．
8
9
8
10
P A
A
P A
A
=
∣
∣
D．
( ,
1,2,
,10
i
j
i
j
P A A
p
p i j
=
×
Î
L
且
)
i
j
¹
三、填空题
44．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60 人，女老师40 人，其中男老师平均年龄为
35 岁，方差为6；女老师平均年龄为30 岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为
_____
45．（25-26 高二上·广东中山·月考）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层
随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20 人，其平均数和方差分别为170 和10，抽取了女生
30 人，其平均数和方差分别为160 和15．则估计出总样本的平均数为_____．
46．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6 个球，这6 个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标
有数字1，2，3，4，5，6 中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则
两个球之间的数字标号互质的概率为_______________．
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀
的骰子一次，规定点数大的得2 分，点数小的得0 分，点数相同时各得1分，三轮比赛结束后，甲得4 分的
概率为__________.
48．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4 个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数
字2，0，2，6，每次随机抽取1 个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4 次，记X 为抽
到数字2，0，6 的次数的最大值，则X 的数学期望
E X = ______．
X
2
3
4
P
75
128
11
32
9
128
49．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出A
B
、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中
选择一种套餐，若他前1 天选择了A 套餐，则第2 天选择A 套餐的概率为1
4 ；若他前1 天选择了B 套餐，则
第2 天选择了A 套餐的概率为3
4 ．已知他开学第1 天中午选择A 套餐的概率为2
3 ，在该同学第3 天选择了A
套餐的条件下，他第2 天选择A 套餐的概率为___________．
50．（2026·江西·模拟预测）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率
是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是
甲厂生产的概率是________．
51．（2026·江西南昌·一模）已知A 盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，B 盒中装有大小相同的3 个
红球，从A 盒中随机取一个球，若是红球，则放回A 盒；若是黑球，则从B 盒中取一红球与其替换，这样
称为1 次操作，重复以上操作，直到A 盒中6 个球全是红球为止.记n 次重复操作后，A 盒中6 个球恰好全
是红球的概率为
nP ，则
5
4
1
2
P
P
-
= ________.
52．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用2n 个元件组成一个电路系统，当且仅当从A 到B 的电路为通路状
态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为3
4 ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损
坏的元件个数为
n
X ，则
4
E X
= __________.
题型28 概率统计大题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
互斥事件与
独立事件概
率
分情况讨论比赛结束仍未决出胜负的情形，利用独立事件乘法公式和互斥事件加
法公式计算概率；甲获胜需考虑甲在第1、2、3次投篮中获胜的各种路径。
2
独立事件与
随机变量分
布
分别计算甲、乙通过面试的概率；由两人答题次数之和的可能取值，结合独立事
件概率公式求分布列，再求期望。
3
全概率公式
与二项分布
由全概率公式求检测结果与实际不符的概率；二项分布求恰有2天不符的概率；计
算使用检测系统时每日总支出的期望，与不使用系统时的期望比较。
4
线性回归与
相关系数
计算样本中心点，求相关系数判断相关性强弱；利用最小二乘法求回归直线方程，
再代入预测值。
5
独立性检验
与超几何分
布
补全列联表，计算卡方值判断是否独立；分层抽样后，用超几何分布求抽取人数
分布列和期望。
6
相关系数与
超几何分布
计算相关系数判断线性相关程度；从5个数据中随机抽取3个，最小值的分布列为
超几何分布，求期望。
7
频率分布直
方图与正态
分布
由频率和为1求参数，根据百分位数定义求分数线；分层抽样后用超几何分布求分
布列；由直方图估计均值，结合正态分布概率公式求概率。
8
二项分布与
全概率公式
有放回抽取服从二项分布，求分布列和期望；用二项分布概率公式求误差不超过
0.2的概率；利用条件概率和全概率公式分析换门问题。
9
全概率公式
与二项分布
由全概率公式求随机抽取一名会员满意的概率；从所有会员中抽取2名，满意的数
量服从二项分布，求分布列和期望。
10
条件概率与
独立事件
由全概率公式求有消费意向的概率，再求条件概率；分析了解政策的家庭与受带
动家庭合计补贴的可能取值，用独立事件乘法公式求概率；计算奖励期望。
11
古典概型与
超几何分布
列举法求概率；从低于2%的模型中抽取3个，其中低于1.3%的个数服从超几何分布，
求分布列和期望。
12
独立事件与
求一件零件合格的概率，再求3件中至少2件合格的概率；4件零件总获利服从二项
二项分布
分布，求分布列和期望。
13
分布列性质
与全概率公
式
由分布列概率和为1求参数，再由条件概率公式和全概率公式求概率；利用期望公
式和导数判断方程解的存在性。
14
条件概率与
递推概率
由条件概率公式求概率；分析抽到干电池的过程，用乘法公式或递推关系求恰好
抽到最后一块干电池的概率。
15
独立性检验
与二项分布
计算卡方值判断是否相关；由样本频率估计总体概率，混合后优等品概率为加权
平均，抽取3件服从二项分布，求分布列和期望。
16
条件概率与
独立性检验
由列联表计算条件概率，直观判断关联；计算卡方值，与临界值比较得出结论。
17
互斥事件与
随机变量分
布
分两类情况求立项概率；由评审通过人数可能取值，结合概率加法公式和乘法公
式求分布列和期望。
18
独立事件与
二次不等式
由独立事件概率公式求两模型答案不同的概率；系统输出正确答案的概率由两部
分组成，列不等式求参数最小值。
19
古典概型与
二项分布
计算游戏Ⅰ各局获胜概率；3人选择游戏Ⅰ，前两局均未获胜的人数服从二项分布，
求分布列和期望；计算两游戏奖金期望，比较选择。
20
互斥事件与
随机变量分
布
分情况求甲、乙得分之和大于3的概率；列出两轮得分之和的可能取值，用互斥事
件和独立事件求分布列和期望。
21
全概率公式
与条件概率
由全概率公式求一次测试得2分的概率；由条件概率公式求在总得分至少3分条件
下第一次得1分的概率；由每轮得分分布求期望，再用线性性质求总期望。
22
互斥事件与
随机变量期
望
分正确选项个数为2或3，求随机选一个选项得分的分布列和期望；类似求随机选
两个选项得分的期望，比较大小得参数范围。
23
分布列与递
推概率
分析一个分裂周期后细胞个数的可能取值，求分布列和期望；通过递推关系求经
过n个周期后恰有2个细胞的概率；利用全概率公式证明递推不等式。
24
条件概率与
随机变量分
布
由条件概率公式求在第一轮甲胜条件下乙获得第3名的概率；分析甲最终名次的所
有可能路径，用独立事件乘法公式求概率，得分布列和期望。
25
独立事件与
递推概率
由独立事件乘法公式求一轮获得“驰骋”卡片的概率；通过状态转移建立概率递推关
系，构造等比数列求通项，并求极限。
26
独立事件与
递推概率
由独立事件求小球落入A、B袋的概率；累计得分n的概率满足递推关系，构造常数
列和等比数列求通项。
27
正态分布与
超几何分布
由频率分布直方图估计均值，结合正态分布求A等品概率；超几何分布求分布列和
期望；建立利润函数，利用导数求最大值。
28
古典概型与
马尔可夫链
枚举法求三枚骰子点数和≥12的概率；由状态转移建立概率递推关系，求首次结束
的概率；建立期望方程组，求解期望步数。
29
独立事件与
函数最值
由独立事件乘法公式求支付金额的分布列和期望；建立期望利润函数，求导得极
大值点及最大值。
30
二项分布与
递推概率
二项分布求分布列、均值和方差；由概率定义求人气值出现概率，建立递推关系，
构造等比数列求通项。
31
独立事件与
分布列
分析生成词元的规则，用独立事件乘法公式求生成1个、2个词元的概率；推导一
般项概率，得分布列；用错位相减法求和求期望。
32
全概率公式
与最值
由全概率公式求获得最大金额奖励的概率；通过估值近似，建立函数求最大值及
对应k值。
33
独立事件与
递推概率
求一次通关概率；利用参考公式求每关期望次数，求和得总期望；建立概率递推
关系，构造等比数列求通项，并证明不等式。
34
独立事件与
递推概率
分析抛掷硬币生成字符序列的规则，求字符总数的期望；建立“前0”概率的递推关
系，证明等比数列；由条件概率公式求概率，通过构造函数求最大值。
35
全概率公式
与递推概率
由全概率公式求物流提前送达的概率；建立方案选择概率的递推关系，证明等比
数列；求极限得长期概率，判断系统能否提高概率。
1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直
到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为1
3 ，乙每次投篮投中的概率为
1
2 ，且各自
投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；
(2)求甲获胜的概率.
2．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2 道难度相当的题目，甲答对
每道题目的概率都是2
3 ，乙答对每道题目的概率都是
1
2 ，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的
题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两
人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X ，求X 的分布列与期望.
3．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设
备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结
果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续4 天的检测，求恰有2 天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100 元，若检测结果为“故障”，则需花费400 元检修费（检
修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000 元.若不使用自动化检测系统，每日
故障损失的期望为280 元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.
4．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重
大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽
车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
购买量y （万
辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1)计算y 与x 的相关系数r （保留三位小数）；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区2026 年新能源汽车购买数量．
参考公式：
1
1
2
2
2
1
1
1
, ˆ
ˆ
ˆ
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
x
y
y
r
b
a
y
bx
x
x
x
x
y
y
=
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
-
-
-
-
å
å
å
å
å
．
参考数值：
5
1
13
3.6056,
3.6
i
i
i
x
x
y
y
=
»
-
-
=
å
．
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机
抽取了200 名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时长
0,2
2,4
4,6
6,8
8,10
频率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
同时，对这200 名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，
得到如下的2 2
´ 列联表：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
每周课外阅读时长低于6 小时
80
合计
200
(1)根据已知条件补全2 2
´ 列联表，并依据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课
外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在
0,2 和
8,10 的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随
机抽取2 人参加座谈，设X 表示抽取的2 人中每周课外阅读时长在
8,10 的人数，求X 的分布列和数学期
望．
附：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
．
2
P
k
c ³
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
6．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App 用户保持连续增长，若李明收集了2020
2024
~
年的年份
代码
1,2,3,4,5
x x =
与该App 在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：
年份代码x
1
2
3
4
5
App 在线用户数y（单位：万）
80
150
210
260
300
(1)求样本相关系数r，并判断变量x 与y 之间的线性相关关系的强弱：
(2)从2020
2024
~
年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X 的分布列
及数学期望
E X ．
注：样本相关系数
1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
-
-
å
å
å
．当r 越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当它接近0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，
5
5
2
2
2
2
1
1
5
5
553
i
i
i
i
x
x
y
y
=
=
-
-
»
å
å
．
7．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共
有10000 名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100 人的成绩作为样本，得到如下频率
分布直方图：
(1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a 的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从成绩位于
60,90 的样本中，按分层随机抽样的方法选取8 人，再从这8 人中随机选取2 人，设这2
人中成绩落在
60,70 内的人数为X，求X 的分布列；
(3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z 服从正态分布
2
,
N m s
，其中m 可近似为样本中的
100 名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且
2
219
s »
.从该市所有参赛学生
中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6 分的概率.
［参考数据：
219
15
»
；若
2
,
Z
N m s
~
，则
0.6827
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，
2
2
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
0.9545
»
，
3
3
0.9973
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
»
］
8．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30 个大小相同的球，其中有10 个红球、20 个白球，从中
随机放回地逐次摸一个球作为样本，5 次摸球后停止，用X 表示停止时摸出红球的次数.
①求X 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2 的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门
中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门
中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率
解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
9．（2026·福建龙岩·一模）某会员店的本地会员占3
5 ，外地会员占2
5 .现开展商品质量满意度调查，已知本
地会员对该店商品质量满意的概率为2
3 ，外地会员对该店商品质量满意的概率为3
4 ，每个会员对该店商品
质量满意与否相互独立.
(1)从该店所有会员中随机抽取1 名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2 名会员（其中会员总数远大于2），记这2 名会员中对该店商品质量满意
的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，
某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形
成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026 年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000 元
以上可以领取500 元补贴.通过调查可知，该市有3
5 的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有3
4 的家
庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有1
3 的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发
现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为3
4 ，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消
费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为
1
2 ．
(1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率；
(2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列；
(3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可
以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000 元补贴，带动家庭可以拿到100 元奖励；两个
家庭合计拿到1500 元补贴，带动家庭可以拿到200 元奖励；两个家庭合计拿到2000 元补贴，带动家庭可
以拿到300 元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）.
11．（2026·江苏镇江·一模）AI 幻觉，是指AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现
象，AI 幻觉率是指AI 模型产生AI 幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14 个使用率较高的AI 模型，其幻觉
率如下表所示：
AI
模
型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
幻
觉
率
1.3%
1.8%
2.9%
1.5%
1.9%
2.9%
0.7%
0.9%
1.6%
2.4%
0.8%
1.6%
2.4%
2.8%
(1)从表中提供的AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率小于2%的AI 模型中任取3 个，用随机变量X 表示其中幻觉率小于
．．1.3% 的模型个
数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合
格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合
格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10 元；若零件不合格，则亏损20 元.已知每件
该零件第一次检测合格的概率为5
6 ，第二次检测合格的概率为9
10 ，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测3 件该零件，至少有2 件合格的概率；
(2)已知一箱中有4 件该零件，记这箱零件总获利X 元，求X 的分布列与期望.
13．（2026·山东德州·一模）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X 表示从一批产品中随机抽取的不合
格产品数量.已知抽取到X 个不合格产品的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2
(1
)
a
p
-
1
a
p
-
ap
a
p
每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为
1
2 ，且各个
产品返工是否成功相互独立.事件
iA 表示抽取的产品中有i 个不合格产品（
0,1,2,3
i =
），事件B 表示抽取的
产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.
(1)若
1
3
p =
，求a ，并根据全概率公式求
P B ；
(2)是否存在p 值且
0,1
pÎ
，使得
2
E X =
，请说明理由.
14．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电池时即
从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩
下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
1
n + 次时恰好抽到最后一
块干电池的概率为
nP ，求
nP ．
15．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产
品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智
能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产
线生产的同种产品中各随机抽取100 件进行检测，得到如下列联表：
优等品
非优等品
合计
甲生产线
65
35
100
乙生产线
90
10
100
合计
155
45
200
(1)根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关.
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产
品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3 件，记这3 件
产品中优等品的个数为X，求X 的分布列和数学期望.
附
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.100
0.010
0.001
xa
2.706
6.635
10.828
16．（2026·江西南昌·一模）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间
是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200 名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机
的时间（分为“少于1 小时”和“1 小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调
查结果汇总如下表：
使用手机时间
近视
不近视
总计
少于1 小时
40
60
100
1 小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
(1)从该校学生中任选1 人，记“该人平均每天使用手机时间少于1 小时”为事件A ，记“该人近视”为事件B .
根据上表数据，用频率估计概率，分别估计
P B A ，
P B A ，并由此直观判断平均每天使用手机时间与
近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量
2
c （精确到0.001），并判断是否有99%的把握认为“平均每天使
用手机时间”与“近视”相关.
附：公式
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，
2
c 独立性检验临界值表：
2
P
k
c ³
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
17．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评
审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第
三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均
为2
3 ，能通过复审专家评审的概率为
1
2 ，各专家评审能否通过相互独立．
(1)求该项目予以立项的概率；
(2)记评审通过该项目的专家人数为X ，求X 的分布列与期望．
18．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的
预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若
两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次
给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为
(0
1)
p
p
<
<
，模型乙回答正确的概率为0.75，
假设各模型每次回答相互独立.
(1)当
0.85
p =
时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；
(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求p 的最小值.
19．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3 局，
每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100 元奖金；第2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得
500 元奖金；第3 局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900 元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6 的骰子）.
第1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300 元奖金；第2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得
600 元奖金；第3 局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900 元奖金.
(1)求游戏Ⅰ第2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的3 位员工均选择游戏Ⅰ，设X 为前两局均未获胜的人数，求X 的分布列和数学期望；
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
20．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3 分、
2 分、0 分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3 分、2 分、0 分的概率分别为1 1 1
4 2 4
、、，乙不投3 分球，
他一次投篮得2 分、0 分的概率分别为2 1
3 3
、．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，
每次投篮也互不影响．
(1)记一轮投篮后，甲的得分为M ，乙的得分为N ，求
P M
N
³
；
(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．
21．（2026·山东潍坊·模拟预测）某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能
体会随机接受A 类或B 类任务，每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为
1
2 ，且智能体成功完成A
类任务的概率为1 ,
2 B 类任务的概率为1
3 .记成功完成A 类任务得1 分，B 类任务得2 分，不成功均得0 分.
(1)求智能体经过1 次测试后得2 分的概率；
(2)记智能体经过n 次测试后的总得分为X .
（i）若
2
n =
，求在
3
X ³
的条件下，第1 次测试得1 分的概率；
（ii）求
E X .
附：若
i
X 为随机变量，则
1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
E X
=
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
å
.
22．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4 个选项中正确选项有2 个或3 个，得分规则如下：
若正确选项有2 个，只选1 个且为正确选项得3 分，2 个且都为正确选项得6 分，否则得0 分；若正确选项
有3 个，只选1 个且为正确选项得2 分，选2 个且都为正确选项得4 分，选3 个且都为正确选项得6 分，
否则得0 分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2 个正确选项的概率为p （0
1
p
<
< ），记
X 为甲随机选择1 个选项的得分，Y 为甲随机选择2 个选项的得分，
(1)若
2
3
p =
，求
(
2)
P X ≥
；
(2)求X 的概率分布列和数学期望；
(3)证明：当且仅当
1
0
2
p
<
<
时，
(
)
( )
E X
E Y
<
.
23．（2026·江西赣州·一模）现有一种不断分裂的M 细胞，在每个分裂周期中，一个M 细胞以2
3 的概率分
裂成一个新的M 细胞，以1
3 的概率分裂成两个新的M 细胞，分裂后原来的M 细胞消失，新的M 细胞在下
一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1 个M 细胞，n 个分裂周期后，M 细胞的数目为
n
X .
(1)求
2
X 的分布列和数学期望.
(2)求概率
2
n
P X =
.
(3)证明：
1
6
2
3
·
5
3
n
n
P X
-
æ
ö
=
<
ç
÷
è
ø
.
24．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴
新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，
某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队
为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A 组，负者编入B 组；第二轮：A，
B 两组的球队分别进行组内比赛，A 组的胜者进入决赛，B 组的负者获得第4 名；第三轮：A 组的负者和B
组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3 名；第四轮：决赛，胜者获得第1 名，负者获得第2 名.已知
甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为2
3 .乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的
概率均为
1
2 （比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响.
(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3 名的概率；
(2)记甲队最终获得的名次为随机变量x ，求x 的分布列和数学期望.
25．（2026·山东济宁·一模）2026 年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有
, ,
A B C 三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，A 盒中有1 个红球，2 个
黄球；B 盒中有1 个红球，3 个黄球；C 盒中有5 个红球，3 个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，
游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从A 盒中随机摸出1 个小球，记录颜色后再放回A 盒内，然后，乙根
据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从B 盒中摸球；若甲摸到黄
球，则乙从C 盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的
小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰
骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第n 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为
*
nP nÎN
，且
1
1
P = .
（i）求
3
4
,
P P ；
（ii）求
nP ，并判断：当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 是否无限趋近于一个常数a ？若是，求出a 的值；若不是，请说明
理由.
26．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放
入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，
已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2 ，最后落入A 袋或B 袋中．一次游戏中
小球落入A 袋记1 分，落入B 袋记2 分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（
*
nÎN ）分的概率为
np ．
(1)求
1
2
3
p
p
p
，，
；
(2)写出
np 与
1
np -
*
2,
n
n
³
ÎN
之间的递推关系，并求出
np
的通项公式．
27．（2026·四川成都·二模）2026 年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众
的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应
如下六组质量指标值：
3.5,4.5 ，
4.5,5.5 ，
5.5,6.5 ，
6.5,7.5 ，
7.5,8.5 ，
8.5,9.5 ．根据大量检测结果，
得到部件的质量指标值X 服从正态分布
2
,
N m s
，并把质量指标值不小于8 的产品称为A 等品，其它产品
称为B 等品.现从该部件的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s 的近似值为1.25 ，用样本平均数x 作为m 的近似值，用
样本标准差s 作为s 的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X 服从正态分布
2
,
N m s
的角
度估计该部件为A 等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量x 服从正态分布
2
,
N m s
，则
0.68
(
)
27
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
，
2
2
0.9
(
)
545
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
，
(
3
3 )
0.9973
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
．）
(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在
3.5,4.5 和
8.5,9.5 的部件中随机抽取3 件，记其中质量指标值在
8.5,9.5 的
部件件数为h ，求h 的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100 件一箱包装.已知一件A 等品部件
的利润是(20
49)
x
x
<
<
元，一件B 等品部件的利润是
ln 50
x
-
元，根据（1）的计算结果，试求x 的值，
使得每箱产品的利润最大.
28．（2026·江西·模拟预测）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1 到6），
记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下：
•若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束.
•若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数.
以当前连续点数和大于等于12 的次数作为状态，记状态0 为上一次点数和小于12 或刚开始，状态1 为上
一次点数和大于等于12，状态2 为游戏结束.
(1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12 的概率p.
(2)设从状态0 开始，记第n 次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为
na .
①求
1a ，
2a ；
②证明：数列
na
满足递推关系
1
2
1
1
n
n
n
a
p a
p
p a
-
-
=
-
+
-
（
3
n ³
，
N
Î
n
）；
(3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链.
设从状态0、状态1 出发到游戏结束所需步数的期望分别为
0
E 、
1
E ．
考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于
0
E 、
1
E 的方程组（例如：在状态0 时，掷一次骰子后可
能仍处于状态0 或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题：
设随机变量X 表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2 的步数），求X 的数学期望
E X ．
29．（25-26 高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动
规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10 元基础券的概率为0.6，获得20 元基础券的概率为
0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20 元，且这两种优惠券可叠加
使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100
元，成本41 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
(1)若
0
0.8
p =
，
0.5
p =
，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X 的分布列和数
学期望
E X ；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为
2
0.2
0.4
0.2
r p
p
p
=
+
+
，记生产
商销售一件该商品的期望利润为
f
p （单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）
-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求
f
p 关于p 的函数表达式；
（ⅱ）证明：
f
p 在
0,1 内存在唯一极大值点，并求当p 为何值时，商家期望利润
f
p 最大？最大期望利
润是多少？（结果保留1 位小数）
30．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总
面积超过80 公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼
坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等
景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和
游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客
选择东门入园的概率是3
5 ，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取3 人，记3 人中选择东门入园的人数为X，求X 的分布列、均值和方差；
(2)东湖山公园管理处计划在2026 年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为
0，从东门进入一名游客，增加人气值2 点，其它门进入一名游客，增加人气值1 点，记当日人气值显示屏
上曾经出现数值n 的概率为
nP （不考虑人流量有限的限制）．
①求
1P ，
2P ；
②求
nP ．
31．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词
元A ，B ，且生成词元总数不超过
2
2
n n ³
.若生成A ，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到
2n .每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A ，B 的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规
则如下：
①若预测中第一次出现词元A ，则审核后生成A ，B 的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元A ，则审核后必生成A ；
③若预测中出现词元B ，则审核后必生成B .
设X 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求
1
P X =
，
2
P X =
；
(2)求X 的分布列；
(3)求
2
P X
X
n
=
£
.
32．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在
一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未
公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能
再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2 张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M 的概率；
(2)若甲先抽取了k（
*
N
k Î
，且k
n
<
）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券
的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（
*
N
iÎ
，k
i
n
< £
）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止
抽奖，若未抽到金额大于m 的奖券，则保留第n 张.
（ⅰ）若
5
n =
，当
2
k =
时，求甲获得最大金额奖励M 的概率p；
（ⅱ）当调整k 的取值时，甲获得最大金额奖励M 的概率p 也会发生变化.若
100
n =
，请估计p 的最大值，
并求此时k 的值.
（估值参考：当
100
n ³
时，
1 1
ln
n
i k
n
i
k
-
=
»
å
，e
2.72
»
，0.36ln 0.36
0.3678
» -
，0.37ln 0.37
0.3679
» -
.）
33．（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3 关，他每次从装有1 个红球，2 个
黑球，3 个黄球的袋中有放回地摸出1 个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到
黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过
第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制.
参考公式：若
0,1
pÎ
，则
2
1
lim
(1
)
n
k
n
k
p
k p
p
®+¥
=
æ
ö
×
=
ç
÷
-
è
ø
å
.
(1)求甲摸球3 次恰好通关成功的概率；
(2)已知X，Y 是随机变量，则
E X
Y
E X
E Y
+
=
+
，现用x 表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求
E x ；
(3)设甲摸球
3
n n ³
次后通关成功的概率为
nP ，求出
nP 与
1
nP + 的递推关系式，并证明
2
1
1
5
36
6
n
nP
-
+
æ
ö
>
´ç
÷
è
ø
.
34．（2026·四川·模拟预测）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字
“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则
在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5 次
硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7 个字符，此时从左向右第
4 个字符为1，第6 个字符为0．
(1)若抛掷3 次硬币，记得到的字符序列中字符总数为X ，求
E X ；
(2)对
*
nÎN ，记
na 为从左向右第n 个字符是“前0”的概率，nb 为从左向右第n 个字符是0 的条件下，第n+1
个字符是1 的概率.
（ⅰ）证明：
1
3
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ 为等比数列；
（ⅱ）求
nb 的最大值.
35．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的
关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，
显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种
方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为3
4 ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为4
5 ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为2
3 .
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1 次，随机选择一种方案；
②从第2 次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择
一种.
记第n 次选择方案A，B，C 的概率分别为
na ，
nb ，
nc .
（i）求
2a ，
2b ，并证明：数列
4
2
5
3
n
n
a
b
ì
ü
+
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
