PDF
清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）

查看资料信息、公开预览和下载状态。
共 269 页PDF · 4.6MB
下载
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第1页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第2页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第3页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第4页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第5页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第6页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第7页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第8页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第9页预览
《清单02高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）》第10页预览
本文档共 269 页 剩余 259 页未展示，请下载后查阅
下载
文档文本内容

清单02  高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01  集合5 个重点题型
题型02  常用逻辑用语13 个重点题型
题型03  复数15 个重点题型
题型04  平面向量26 个重点题型
题型05  等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06  三角函数与诱导公式11 个重点题型   题型07  三角恒等变换24 个重点题型
题型08  三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09  解三角形小题35 个重点题型
题型10  解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12  函数的基本性质45 个重点题型
题型13  指数对数幂函数40 个重点题型
题型14  函数的图象6 个重点题型
题型15  函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16  导数小题36 个重点题型
题型17  导数大题40 个重点题型
题型18  数列小题40 个重点题型
题型19  数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21  立体几何大题35 个重点题型
题型22  直线与圆32 个重点题型
题型23  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25  排列组合27 个重点题型
题型26  二项式定理17 个重点题型
题型27  概率统计小题52 个重点题型
题型28  概率统计大题35 个重点题型
第四部分
题型22  直线与圆32 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
两直线垂直求参数
利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方
程求解。
2
动直线过定点与点到直
线距离最值
将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当
直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。
3
直线与圆相交的弦长最
值
直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定
点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。
4
两圆相交的公切线交点
判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于
圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式
求交点坐标。
5
已知弦长求参数
由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求
解参数。
6
点与圆、直线与圆位置关
系的充要条件
点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系
由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。
7
直线与圆相交求斜率范
围
设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，
注意斜率不存在的情况。
8
平行直线与圆相交构成
矩形
平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相
等，由距离公式列方程求参数和。
9
圆关于直线对称与圆上
点到直线距离最值
利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直
线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。
10
两圆相切求参数
分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或
差，解方程求参数，注意分类讨论。
11
圆外一点与圆上点所成
角最大问题
过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆
上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。
12
圆与直线相切及弦长求
半径
由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式
和点到直线距离公式列方程组求半径。
13
动点最值问题（对称转
化）
求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的
对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。
14
直线与圆相交的弦长最
值
直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过
定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。
15
切点弦所在直线过定点
及点到直线距离最值
设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线
距离的最大值为该点与定点之间的距离。
16
轨迹方程与切线夹角最
值
由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正
弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。
17
弦中点轨迹与两圆有公
共点求参数
由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价
于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。
18
向量数量积的最值
取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，
结合几何意义求最大值。
19
直线与圆相交的圆心角
范围求参数
由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列
不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。
20
直线过定点、弦长、相交
与相切的条件（多选题）
将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根
据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。
21
点到直线距离、两圆相交
弦长、公切线、曲线交点
面积（多选题）
判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求
弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，
再求三角形面积。
22
圆上点到直线距离最值、
四边形面积最值、数量积
最值、切点弦方程（多选
题）
利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为
切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数
单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。
23
两圆位置关系、公共弦方
程、公切线（多选题）
由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方
程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。
24
两圆公共弦长
两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公
式求解。
25
直线与圆相交的等腰直
角三角形条件求参数
由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的
2
2 倍，利用点到直线距离公式求参数。
26
等边三角形与直线与圆
相交求参数
等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的
3
2 倍，代入
距离公式求解。
27
与两平行直线相切的圆
方程
设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解
圆心和半径。
28
矩形对角线中点轨迹与
距离范围
由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定
点距离的范围，再转化为弦长范围。
29
圆过两点且圆心在直线
上，求与圆相交的直线参
数范围
先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。
30
直线与圆相切且圆过定
点，求半径最小值
由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定
点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半
径最小值。
31
动直线交点轨迹与分式
最值
两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转
化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。
32
动点轨迹与线段长度最
小值
由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度
的最小值即为原点到该直线的距离。
一、单选题
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线1 :
1
0
l
x
y
+
- =
与直线2 :
2
0(
)
l
kx
y
k
-
+
=
ÎR 垂直，则k = （    ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的条件列出关于k 的方程,求解k 的值即可.
【详解】对于直线
1
1
1
0
A x
B y
C
+
+
=
和直线
2
2
2
0
A x
B y
C
+
+
= 垂直,则
1
2
1
2
0
A A
B B
+
=
.
已知直线1 :
1
0
l
x
y
+
- =
中
1
1
1,
1
A
B
=
= ,直线2 :
2
0
l
kx
y
-
+
=
中
2
2
,
1
A
k B
=
= - .
因为1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B
^
Þ
+
=
,即


1
1
1
0
1
k
k
´
+ ´ -
=
Þ
= .
故选：C.
2．（2026·重庆·模拟预测）点


6,1
A
到直线l ：



5
1
27
1
22
0
x
y
l
l
l
-
-
-
+
=
的最大距离是（   ）
A．4
B．5
C．6
D．34
【答案】B
【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点


6,1
A
到直线的最大距离转化为点


6,1
A
到
定点之间的距离即可求得.
【详解】把直线l 的方程重新整理得：(5
27
22)
(
)
0
x
y
x
y
l
-
+
+ - +
=
，
因为该等式对任意l 都成立，所以
5
27
22
0
0
x
y
x
y
-
+
=
ì
í- +
=
î
，解得
1
1
x
y
=
ì
í
=
î
，
即直线l 恒过定点
(1,1)
P
.
当直线l 绕点P 旋转时，点A 到直线的距离会发生变化，
而当AP
l
^ 时，距离达到最大值，即点


6,1
A
到直线l 的最大距离，就是点


6,1
A
到定点
(1,1)
P
的距离，
此时
2
2
max
(6 1)
(1 1)
5
d
AP
=
=
-
+
-
=
.
3．（2026·云南·模拟预测）已知直线:
2
0
l ax
by
a
b
-
+
+
=
与圆
2
2
:
2
7
0
C x
y
y
+
-
-
=
相交于A 、B 两点，则AB
的最小值为（   ）
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
【答案】C
【分析】由直线l 的方程可确定直线l 过定点
( 2,1)
M -
，则当点C 到直线AB 的距离的最大值为|
|
CM 时，AB
取最小值.
【详解】直线:
2
0
l ax
by
a
b
-
+
+
=
，可化为



2
1
0
a x
b
y
+
+
-
=
，则直线过定点
( 2,1)
M -
，
圆
2
2
:
2
7
0
C x
y
y
+
-
-
=
配方得
2
2
(
1)
8
x
y
+
-
= ，可得圆心
(0,1)
C
，半径
2 2
r =
，
所以|
| 2
2 2
CM =
<
，即点M 在圆C 内，
则当点C 到直线AB 的距离的最大值为|
|
CM 时，
2
2
min
|
|
2
|
|
2 8
4
2 4
4
AB
r
CM
=
-
=
-
=
=
，
故选：C．
4．（2026·广东佛山·一模）圆
2
2
1 :
4
O
x
y
+
=
和圆
2
2
2 :
6
8
9
0
O
x
y
x
y
+
+
+
+
=
的两条公切线的交点坐标为
（    ）
A．

1,2
B．

2,3
C．

3,4
D．

4,5
【答案】C
【分析】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得O 为
2
OP的中点，故可求交点坐标.
【详解】




2
2
2 :
3
4
16
O
x
y
+
+
+
=
，
故圆
1
O 的半径为2 ，圆
2
O 的半径为4 ，且


2
3, 4
O
-
-
，
故圆心距为9 16
5
+
=
，而4
2
5
4
2
-
<
<
+
，
故两圆相交，故两圆有两条外公切线，
  
设一条公切线与两圆的切点分别为,
S T ，两条切线的交点为P ，
连接
2
,
OS O T ，则
2
,
OS
PS O T
PS
^
^
，故
2
/ /
O T
OS ，
由几何性质可得
2
,
,
O O P 共线，故
2
2
2
1
4
2
OS
OP
O T
O P
=
=
=
，
故O 为
2
OP的中点，故


3,4
P
，
故选：C.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知直线l：
1
0
mx
y
m
-
-
+ =
与圆C：



2
2
2
1
1
x
y
-
+
-
= 交于A，B 两点，
若
90
ACB
Ð
=
°，则m = （    ）
A．1
-
B．2
C．
2
±
D．1
±
【答案】D
【分析】根据题意求得圆心

2,1 到直线l 的距离d =
2
2
2
2
1
2
2
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，结合点到直线的距离公式列方程求
解即可.
【详解】因为
90
ACB
Ð
=
°，所以
2
2
1
1
2
AB =
+
=
，则1
2
2
2
AB =
，
故圆心

2,1 到直线l 的距离d =
2
2
2
2
1
2
2
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
即
2
2
1
1
2
2
1
m
m
m
- -
+
=
+
，解得
1
m = ± ．
故选：D.
6．（2026·江西南昌·一模）已知圆
2
2
:
1
O x
y
+
= ，p ：点


,
P a b 在圆O 外，q ：直线:
1
l ax
by
+
= 与圆O 有
两个公共点，则p 是q 的（   ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.
【详解】由点

,
P a b 在圆O ：
2
2
1
x
y
+
= 外，可得
2
2
1
a
b
+
> ，此时，圆心
(0,0)
O
到直线:
1
l ax
by
+
= 的距离
为
2
2
1
1
d
a
b
=
<
+
，
即直线:
1
l ax
by
+
= 与圆O 相交，故充分性成立；
由直线:
1
l ax
by
+
= 与圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 有两个公共点，可得圆心
(0,0)
O
到直线:
1
l ax
by
+
= 的距离为
2
2
1
1
d
a
b
=
<
+
，
则有
2
2
1
a
b
+
> ，即点

,
P a b 在圆O ：
2
2
1
x
y
+
= 外，故必要性成立.
故p 是q 的充分必要条件.
7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点


3,4
P
的直线l 与圆
2
2
:
4
4
7
0
C x
y
x
y
+
-
-
+
=
有两
个交点，则直线l 斜率的取值范围是（   ）
A．
3
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．3 ,
4
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．4 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
【答案】C
【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可.
【详解】圆
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
+
-
-
+
=
可化为



2
2
2
2
1
x
y
-
+
-
= ，则圆心


2,2
C
，半径
1
r = ，
由题意可知，过点


3,4
P
的直线l 与圆C 相交，
当直线l 的斜率不存在时，:
3
l x =
与圆相切，不符合题意；
故直线l 的斜率存在，设


:
4
3
l y
k x
-
=
-
，即
4
3
0
kx
y
k
-
+
-
=
，
则
2
2
2
4
3
1
1
k
k
k
-
+
-
<
+
，即
2
2
1
1
k
k
-
<
+
，得
3
4
k >
，
故直线l 斜率的取值范围是3 ,
4
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø.
故选：C
8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线1
2
:
2
:
2
l
y
x
m
l
y
x
n
=
+
=
+
，
与圆
2
2
16
x
y
+
=
的四个交点能构成矩形，
则m＋n＝（   ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线1
2
,
l l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，
圆
2
2
16
x
y
+
=
的圆心为：

0,0 ，
圆心到直线1l 的距离为：
1
2 0
0
5
5
m
m
d
× -
+
=
=
，
圆心到直线2l 的距离为：
2
2 0
0
5
5
n
n
d
× -
+
=
=
，
5
5
m
n
m
n
\
=
Þ
=
，
又m
n
¹
，
0
m
n
m
n
\
= - Þ
+
=
.
9．（2026·福建泉州·一模）已知直线:
2
0
l x
y
-
-
=
，圆C 关于y 轴对称，且过点



1,3 ,
1,1
A
B
-
，则圆C 上
的点到l 的距离的最大值与最小值之和等于（    ）
A．2
B．2 2
C．3 2
D．4 2
【答案】D
【详解】由题意可设圆的方程为


2
2
2
x
y
b
r
+
-
=
，
将




1,3 ,
1,1
A
B
-
代入可得




2
2
2
2
1
3
1
1
b
r
b
r
ì +
-
=
ïí
+
-
=
ïî
，解之得
2
2
b
r
=
=
，
所以圆心与半径分别为


0,2 ,
2
C
r =
，
则C 到l 的距离为
0
2
2
2 2
2
d
-
-
=
=
，
所以圆C 上的点到l 的距离的最大值与最小值分别为2 2
3 2,2 2
2
r
r
+
=
-
=
，
其和为4 2 .
10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y
-
+
= 与圆


2
2
2
2 :(
2)
(
4)
0
C
x
y
a
a
+
+
-
=
>
相切，则a =
（    ）
A．4
B．6
C．4 或6
D．16 或36
【答案】C
【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解.
【详解】圆
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y
-
+
= 的圆心为

1 0
，，半径1
1
r = ，
圆


2
2
2
2 :(
2)
(
4)
0
C
x
y
a
a
+
+
-
=
>
的圆心为

2,4
-
，半径


2
0
r
a a
=
>
，




2
2
1
2
2 1
4
0
5
C C =
- -
+
-
=
，
当两圆外切时，
1
2
1
2
C C
r
r
=
+
，即5
1
a
= +
，解得
4
a =
；
当两圆内切时，
1
2
1
2
C C
r
r
=
-
，即5
1 a
=
-
，解得
6
a =
；
综上，则
4
a =
或6 .
11．（2026·广东广州·二模）已知点P 在圆
2
2
(
2)
1
x
y
-
+
= 上，点




0,0 ,
1,1
O
A
，当
POA
Ð
最大时，则
cos
POA
Ð
= （    ）
A．
3
2
2
+
B．
3
2
2
-
C．
6
2
4
+
D．
6
2
4
-
【答案】D
【分析】数形结合确定当
POA
Ð
最大时P 点位置，即可利用两角和的余弦公式求值.
【详解】设圆
2
2
(
2)
1
x
y
-
+
= 的圆心为C ，则


2,0
C
，半径
1
r = ，
过O 作圆的切线，设交点为P ，如图，
由图可知，当OP 与圆相切，且P 点在第四象限时，
POA
Ð
最大，
因为
2,
1
OC
CP
=
= ，所以
30
COP
Ð
=
°,
又

1,1
A
，所以
45
AOC
Ð
=
° ,
所以


6
2
6
2
cos
cos 30
45
cos30 cos45
sin30 sin 45
4
4
4
POA
-
Ð
=
°+
° =
°
°-
°
° =
-
=
.
12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆E 与直线y
x
=
相切于点

1,1
A
，与直线y
x
= - 相交于
,
B C 两点，且
4
BC =
，则圆E 的半径为（   ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．2 2
【答案】B
【分析】根据切点以及切线方程可知
2
a
b
+
=
，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径.
【详解】设圆心


,
E a b ，由圆E 与y
x
=
相切于点

1,1
A
可得
1
1
1
b
a
-
= -
-
，即
2
a
b
+
=
，
所以圆心E 到直线y
x
= - 的距离为
2
2
a
b
d
+
=
=
，又弦BC 长为4，
故圆E 的半径
2
2
6
2
BC
r
d
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
．
13．（2026·广东茂名·一模）已知
,
,
P M N 分别为直线
3
0
x
y
-
-
=
，圆
2
2
1 :
1
C
x
y
+
= ，圆
2
2
2 :
2
0
C
x
y
x
+
+
=
上的动点，则PM
PN
+
的最小值为（    ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先求出圆
2
2
1
x
y
+
= 的圆心

0,0 关于直线
3
0
x
y
-
-
=
的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即
可．
【详解】由题意知圆
2
2
1 :
1
C
x
y
+
= ，其圆心为


1 0,0
C
，半径为1，
则圆心


1 0,0
C
关于直线
3
0
x
y
-
-
=
的对称点坐标


3
,
C
x y ，
则可知
1
C 与
3
C 的中点在直线
3
0
x
y
-
-
=
上，
所以有
3
0
2
2
y
x
x
y
= -
ìïí
-
-
=
ïî
解之可得
3
3
x
y
=
ì
í
= -
î
，则


3 3, 3
C
-
，
而圆
2
2
2 :
2
0
C
x
y
x
+
+
=
化为标准方程为

2
2
1
1
x
y
+
+
= ，其圆心为


2
1,0
C
-
，半径为1，
则


2
1,0
C
-
与


3 3, 3
C
-
之间距离为


2
23
1 3
25
5
d =
+ - -
=
=
，
圆
1
C 上点M 关于直线
3
0
x
y
-
-
=
在
3
C 上的对称点为
1
M ，
所以
1
2
3
2
3
1
1
2
3
PM
PN
PM
PN
PC
PC
C C
+
=
+
³
- +
- ³
-
=
.
故选：B
  
14．（25-26 高三上·广东·期末）设动直线:
2
3
0
l mx
y
m
-
-
+
=
（mÎR ）交圆




2
2
:
4
5
12
C
x
y
-
+
-
=
于
A ，B 两点（点C 为圆心），当
ACB
Ð
最小时其余弦值为（    ）
A．
1
2
B．1
4
C．1
3
D．1
6
【答案】C
【分析】先求出直线l 所过定点

2,3 ，当
ACB
Ð
最小时，此时AB 最小，直线l 与过点

4,5 和

2,3 的直线
垂直，求出AB ，进一步求出cos
ACB
Ð
．
【详解】因为动直线


:
2
3
0
l mx
y
m
m
-
-
+
=
ÎR ，所以



2
3
0
m x
y
-
-
-
=
，
因为
2
0
3
0
x
y
-
=
ì
í -
=
î
，所以
2
3
x
y
=
ì
í
=
î
，所以直线l 过定点

2,3 ， 
当
ACB
Ð
最小时，此时AB 最小，
又
2
2
2
AB
r
d
=
-
，其中r 为圆C 的半径，
2 3
r =
，d 为圆心C 到直线l 的距离，
当d 最小时，也即直线l 与过点

4,5 和

2,3 的直线垂直时，AB 最小，如图所示，
此时




2
2
4
2
5
3
2 2
d =
-
+
-
=
，
2
2
2
4
AB
r
d
=
-
=
，
所以
2
2
2
1
cos
2
3
BC
AC
AB
ACB
BC
AC
+
-
Ð
=
=
´
´
．
故选：C．
15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
2
2
:
16
O x
y
+
=
，点


2,0
M -
．点P 在直线
2
10
0
x
y
+
+
=
上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A
B
、，则点M 到直线AB 的距离的最大值为
（   ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】设出点P 的坐标，根据切线的性质可得到直线AB 的方程，进而可知直线AB 过定点N ，进而可知
点M 到直线AB 的距离的最大值为MN .
【详解】如图，设

0
0
,
P x
y
，则
0
0
2
10
y
x
= -
-
.
根据圆的切线性质知，以OP 为直径的圆与圆O 交于A
B
、两点，
即线段AB 为两圆的公共弦.
而以OP 为直径的圆的圆心为
0
0
,
2
2
x
y
æ
ö
ç
÷
è
ø ，半径为
2
2
0
0
1
2
x
y
+
，
所以其方程为


2
2
2
2
0
0
0
0
1
2
2
4
x
y
x
y
x
y
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
2
2
0
0
0
x
x x
y
y y
-
+
-
=
.
与圆O 的方程
2
2
16
x
y
+
=
作差得直线AB 的方程为
0
0
16
x x
y y
+
=
，
将
0
0
2
10
y
x
= -
-
代入得


0
0
2
10
16
x x
x
y
+ -
-
=
，即


0
2
10
16
0
x
x
y
y
-
-
-
=
.
因为上式对
0x ÎR 恒成立，令
2
0
10
16
0
x
y
y
-
=
ì
í-
-
=
î
，解得
16
5
8
5
x
y
ì = -
ïïí
ï
= -
ïî
，
所以直线AB 恒过定点
16
8
,
5
5
N æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，所以点M 到直线AB 的距离d
MN
£
，
所以点M 到直线AB 的距离的最大值为
2
2
16
8
2
2
5
5
MN
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
16．（2026·广东汕头·模拟预测）
( 3,2)
M -
为平面直角坐标系xOy 中一点，直线的方程为
:
0(
R)
l ax
y
a
a
+
+
=
Î
，过点M 作l 的垂线，垂足为Q，记Q 点的轨迹为曲线E，过直线
4
0
x
y
+
-
=
上任
意一点P 作E 的两条切线，切点分别为A、B，则
APB
Ð
正弦值的最大值为（   ）
A．2
5
B．
21
5
C．3 21
10
D．4 21
25
【答案】D
【分析】设动点Q 的坐标为

,x y ，根据题意得曲线E 的方程为



2
2
2
1
2
x
y
+
+
-
=
结合图形特征及正弦函
数单调性得出
max
sin APB
Ð
即可求解.
【详解】设动点Q 的坐标为

,x y ，MQ
l
^ ，直线


:
1
0
l a x
y
+
+
=
，恒过定点

1,0
T -
，
所以MQ
QT
^
，所以Q 点的轨迹为以MT 为直径的圆的方程，
圆的圆心为MT 的中点


2,1
E -
，半径为1
1
4
4
2
2
2
MT =
+
=
，
所以曲线E 的方程为



2
2
2
1
2
x
y
+
+
-
=
，
根据题意，过直线
4
0
x
y
+
-
=
上任意一点P 作E 的两条切线，切点分别为A、B，
则
2
AE
BE
=
=
，
1
2
sin 2
AE
APB
PE
PE
Ð
=
=
，
所以当PE 取最小值时，
1
2
sin 2
APB
PE
Ð
=
取最大值，即
APB
Ð
取最大值，
所以PE 最小值为
min
2 1 4
5 2
2
1 1
PE
- + -
=
=
+
，此时
2
2
2
PE
AE
AP
=
+
，即得
42
2
AP =
，
此时
42
1
2
2
1
21
2
sin
=
,cos
2
5
2
5
5 2
5 2
2
2
APB
APB
Ð
Ð
=
=
=
，
则
max
2
21
4 21
sin
2
5
5
25
APB
Ð
=
´
´
=
 .
所以
APB
Ð
正弦值的最大值为4 21
25
．
17．（25-26 高二下·江西赣州·开学考试）点A，B 是圆
2
2
1 :(
2)
(
)
4
C
x
y
m
-
+
-
=
上两点，|
| 2 3
AB =
，若在
圆
2
2
2 :(
2)
(
1)
9
C
x
y
-
+
+
=
上存在点P 恰为线段AB 的中点，则实数m 的取值范围为（   ）
A．[ 5, 3]
[1,3]
-
-
U
B．[ 3, 1]
[3,5]
-
-

C．[1,3]
D．[3,5]
【答案】A
【分析】根据|
|
AB 的长度和圆
1
C 的方程可得点P 的轨迹，再分析与圆
2
C 的位置关系进而即得.
【详解】圆
2
2
1 :(
2)
(
)
4
C
x
y
m
-
+
-
=
，圆心
1(2,
)
C
m ，半径
2
r =
，
圆
2
2
2 :(
2)
(
1)
9
C
x
y
-
+
+
=
，圆心
2(2, 1)
C
-
，半径2
3
r =
，
由P 是弦AB 的中点，且|
| 2 3
AB =
，则
1
C P
AB
^
，
所以
2
2
1
2
( 3)
1
C P =
-
= ，
故点P 在以
1(2,
)
C
m 为圆心，以1
1
r = 为半径的圆上．
又在圆
2
2
2 :(
2)
(
1)
9
C
x
y
-
+
+
=
上存在点P 恰为线段AB 的中点，
则两圆有公共点，可得2
1
1
2
2
1
r
r
C C
r
r
-
£
£
+
，即2 |
1| 4
m
£
+
£
，
解得5
3
m
- £
£ - 或1
3
m
£
£
．
则实数m 的取值范围为[ 5, 3]
[1,3]
-
-
U
．
18．（2026·辽宁大连·一模）已知点P 是圆


2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
上一点，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
与圆C 相交于
A ，B 两点，则PA
PB
+
uuur
uuur
的最大值为（    ）
A．2
2
+
B．2
2 2
+
C．4
2
+
D．4
2 2
+
【答案】D
【分析】根据题设作AB 的中点M ，利用向量的加法法则将PA
PB
+
uuur
uuur
转化为2 PM
uuuur
；结合图形可得
2
2
PA
PB
PM
PD
+
=
£
uuur
uuur
uuuur
uuur
进而即可求解.
【详解】依题意，直线:
1
0
l kx
y
k
-
-
+ =
可化为


1
1
0
k x
y
-
-
-
=
，所以直线l 过定点


1,1
D
；
圆


2
2
:
2
4
C
x
y
-
+
=
的圆心为


2,0
C
，半径为
2
r =
，所以
2
2
CD =
<
，所以定点D 在圆C 的内部；
如上图（左），作AB 的中点M ，则
2
PA
PB
PM
+
=
uuur
uuur
uuuur ，所以
2
PA
PB
PM
+
=
uuur
uuur
uuuur
；
如上图（中），在
DCM
△
中，
2
CM
CD
£
=
uuuur
uuur
，当D 与M 重合时取等号，此时AB
CD
^
；
如上图（右），在
PCM
△
中，
2
PM
PC
CM
r
CM
CM
£
+
=
+
=
+
uuuur
uuur
uuuur
uuuur
uuuur
，当PC
uuur
与CM
uuuur
共线时取等号；
所以




2
2
2 2
2 2
2
4
2 2
PA
PB
PM
PD
CD
+
=
£
£
+
£
+
=
+
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
.当D 与M 重合，且AB
CD
^
，,
,
P C D 共线
时取等号.
故选：D.
19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线:
2
l y
kx
=
+
与圆




2
2
:
3
1
12
C
x
y
-
+
+
=
相交于A
B
、不同两点，劣
弧
AB 所对的圆心角为
ACB
Ð
，若
2π
3
ACB
Ð
<
，则实数k 的取值范围为（   ）
A．

3,
-
+¥
B．


3, 3
3,
-
+¥

C．
3 ,
3
æ
ö
-
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．
3
3
3
,
,
3
3
3
æ
ö
æ
ö
-
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø

【答案】D
【分析】根据题意可得圆心C 到直线l 的距离
3
d >
，且
2 3
d ¹
即可，计算得解.
【详解】如图，过圆心C 向直线l 作垂线，垂足为D ，
当
2π
3
ACB
Ð
=
时，则
π
3
ACD
Ð
=
，又圆C 的半径
2 3
R =
，可得
1
3
2
CD
R
=
=
，
又直线l 过定点

0,2 ，且点

0,2 在圆C 上，
若要使得
2π
3
ACB
Ð
<
，则圆心C 到直线l 的距离
3
d >
，且
2 3
d ¹
即可；
所以
2
3
3
3
1
k
k
+
>
+
，且
2
3
3
2 3
1
k
k
+
¹
+
，解得
3
3
k
-
<
且
3
3
k ¹
，
所以实数k 的取值范围为
3
3
3
,
,
3
3
3
¥
æ
ö
æ
ö
-
È
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
  
二、多选题
20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：
4
0
ax
y
a
-
-
+
=
与圆C：
2
2
(
4)
(
2)
9
x
y
-
+
+
=
，则（   ）
A．直线l 过定点

1,4
B．当
1
a = - 时，直线l 被圆C 所截的弦长为3 2
C．当直线l 与圆C 相交时，
3
0
4
a
-
<
<
D．当直线l 与圆C 相切时，
3
4
a = -
【答案】ABD
【详解】由直线l：
4
0
ax
y
a
-
-
+
=
可得
1
4
0
a x
y
-
-
+
=
，则直线l 过定点

1,4 ，则A 正确.
当
1
a = - 时，直线l：
5
0
x
y
+
-
=
，圆C 的圆心C 到直线l 的距离
4
2
5
3 2
2
2
d
-
-
=
=
，则直线l 被圆C 所
截的弦长为
9
2 9
3 2
2
-
=
，B 正确.
当直线l 与圆C 相交时，圆心C 到直线l 的距离
2
3
6
3
1
a
d
a
+
=
<
+
，解得
3
4
a < -
，C 错误.
当直线l 与圆C 相切时，圆心C 到直线l 的距离
2
3
6
3
1
a
d
a
+
=
=
+
，解得
3
4
a = -
，D 正确.
21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：
2
2
4
x
y
+
= ，则下列说法正确的是（   ）
A．⊙O 上一点到直线l：
4
y
x
=
+
距离的最小值是4 2
2
-
B．⊙O 和圆
1
C ：
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
+
+
+
-
=
的相交弦长是4
C．⊙O 和圆
2
C ：
2
2
6
8
16
0
x
y
x
y
+
+
+
+
=
有且只有两条公切线
D．⊙O 和曲线C：
2
3
y
x
=
交于A，B 两点，则△OAB 的面积为
3
【答案】BD
【分析】对于A，先根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求出最小距离；对于B，先判断
⊙O 和圆
1
C 的位置关系，然后联立两圆方程求出两圆的相交弦的直线方程，进而根据点到直线的距离求出
结果；对于C，先判断⊙O 和圆
2
C 的位置关系，进而判断公切线条数；对于D，联立圆与曲线的方程，求
出
,
A B 的坐标，进而求得三角形面积.
【详解】对于A，圆心O 的坐标为

0,0 ，半径为2，
圆心O 到直线:
4
l y
x
=
+
的距离为
4
2 2
2
1 1
=
>
+
，所以直线:
4
l y
x
=
+
与圆O 是相离的，
所以⊙O 上一点到直线l：
4
y
x
=
+
距离的最小值是2 2
2
-
，所以A 错误；
对于B，圆
1
C 的标准方程为



2
2
2
1
2
3
x
y
+
+
+
=
，所以


1
1, 2
C
- -
，半径为3，
所以
2
2
1
1
2
5
OC =
+
=
，因为3
2
5
2
3
-
<
<
+
，所以两圆相交，
两圆方程相减得


2
2
2
2
2
4
4
4
0
x
y
x
y
x
y
+
+
+
-
-
+
-
=
，化简得
2
0
x
y
+
=
.
所以两圆的相交弦的直线方程为
2
0
x
y
+
=
，圆心O 到直线
2
0
x
y
+
=
的距离为
0
0
1
4
=
+
，
所以⊙O 和圆
1
C ：
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
+
+
+
-
=
的相交弦长是4，B 正确；
对于C，圆
2
C 的标准方程为



2
2
2
3
4
3
x
y
+
+
+
=
，所以


2
3, 4
C
-
-
，半径为3，
所以
2
2
2
3
4
5
2
3
OC =
+
=
=
+ ，所以两圆外切，
所以⊙O 和圆
2
C ：
2
2
6
8
16
0
x
y
x
y
+
+
+
+
=
有三条公切线，C 错误；
对于D，联立
2
2
2
4
3
x
y
y
x
ì
+
=
í
=
î
，得
2
3
4
0
x
x
+
-
=
，解得
4
x = - （舍去）或
1
x = .
所以



1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，所以
1 1 2 3
3
2
OAB
S
=
´ ´
=
V
，D 正确.
22．（2026·江西赣州·一模）已知圆
2
2
:
4
C x
y
+
=
，过直线:
4
0
l x
y
+
-
=
上任意一点P 作圆C 的两条切线，
切点分别为
,
A B ，则（    ）
A．圆C 上的点到直线l 的最大距离为

2 1
2
+
B．四边形PACB面积的最小值为4
C．PA PB
×
uuur uuur 的最小值为8
D．当点P 坐标为

1,3 时，直线AB 的方程为
3
4
0
x
y
+
-
=
【答案】ABD
【分析】A 计算圆心到直线的距离d 即可判断；B 根据PA r× 计算面积即可；C 利用数量积的定义以及对勾
函数的单调性判断；D 求出以PC 为直径的圆的方程，再求两圆的交线即可.
【详解】由题意得，


0,0
C
，半径
2
r =
，
因为圆心


0,0
C
到直线l 的距离
4
2 2
2
d =
=
，
所以圆C 上的点到直线l 的最大距离为
2 2
2
d
r
+
=
+
，故A 正确；
因为
2
2
2
4
PA
PC
r
PC
=
-
=
-
，
所以四边形PACB面积为
2
2
4
PA r
PC
× =
-
，
当
2 2
PC
d
=
=
时，四边形PACB面积的最小值2 8
4
4
-
=
，故B 正确；
因为
2
2
2
2
2
8
cos2
1 2sin
1
1
r
APC
APC
PC
PC
Ð
= -
Ð
= -
= -
，
所以


2
2
2
2
8
32
cos2
4
1
12
PA PB
PA
PB
APC
PC
PC
PC
PC
æ
ö
ç
÷
×
=
×
Ð
=
-
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
因为
32
y
x
x
=
+
在

4 2, ¥
+
上单调递增，且
2
2
8
PC
d
³
=
，
所以当
2
8
PC
= ，即
2 2
=
PC
时PA PB
×
uuur uuur 取得最小值，最小值为0 ，故C 错误；
因为

1,3
P
，所以以PC 为直径的圆的方程为
2
2
1
3
5
2
2
2
x
y
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即
2
2
3
0
x
y
x
y
+
-
-
=
，
则直线AB 的方程为
3
4
0
x
y
+
-
=
，故D 正确.
23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆
2
2
1 :
9
C
x
y
+
=
与圆
2
2
2
2 :(
3)
(
4)
(
0)
C
x
y
r
r
-
+
-
=
>
，则下列说法正
确的有（   ）
A．若
2
r =
，则两圆外离
B．若两圆相交，则2
8
r
<
<
C．若
3
r = ，则两圆的公共弦所在直线方程为6
8
16
0
x
y
+
-
=
D．若
2
r =
，则直线3
4
15
0
x
y
+
-
=
为两圆的公切线
【答案】BD
【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线
与圆的位置关系计算可判断D.
【详解】由圆
2
2
1 :
9
C
x
y
+
=
，得圆心
1(0,0)
C
，半径1
3
r =
，
由圆
2
2
2
2 :(
3)
(
4)
(
0)
C
x
y
r
r
-
+
-
=
>
，得圆心
2(3,4)
C
，半径2r
r
=
．
对于A，若
2
r =
，
1
2
1
2
5
C C
r
r
=
=
+
，两圆外切，故A 错误；
对于B，由两圆相交，得
1
2
1
2
1
2
r
r
C C
r
r
-
<
<
+
，
即3
5
3
r
r
-
<
<
+ ，解得2
8
r
<
<
，故B 正确；
对于C，若
3
r = ，则
2
2
2 :(
3)
(
4)
9
C
x
y
-
+
-
=
，
此时
1
2
1
2
1
2
r
r
C C
r
r
-
<
<
+
，所以两圆相交，
因为两圆方程作差得6
8
25
0
x
y
+
-
=
，
所以两圆的公共弦所在直线方程为6
8
25
0
x
y
+
-
=
，故C 错误；
对于D，若
2
r =
，则
1
C 到直线3
4
15
0
x
y
+
-
=
的距离
1
1
2
2
15
3
3
4
d
r
-
=
=
=
+
，
2
C 到直线3
4
15
0
x
y
+
-
=
的距离
2
2
2
2
9 16 15
2
3
4
d
r
+
-
=
=
=
+
，
所以直线3
4
15
0
x
y
+
-
=
为两圆的公切线，故D 正确．
三、填空题
24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆
2
2
4
4
4
0
x
y
x
y
+
-
+
+
=
与圆
2
2
4
x
y
+
= 的公共弦长为________.
【答案】2 2
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，
再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长.
【详解】法1，两圆
2
2
4
4
4
0
x
y
x
y
+
-
+
+
=
与圆
2
2
4
x
y
+
= 均过点

2,0 ，

0, 2
-
，弦长为2 2 .
法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程
2
0
x
y
-
-
=
，
圆
2
2
4
x
y
+
= 的圆心

0,0 到直线
2
0
x
y
-
-
=
的距离


2
2
2
2
1
1
d =
=
+ -
，
故公共弦长为
2
2
2
2 4
2
2 2
r
d
-
=
-
=
.
故答案为：2 2 .
25．（2026·四川广安·一模）直线
2
5
0
-
+
=
ax
y
与圆
2
2
2
x
y
+
=
相交于
,
A B 两点，且
AOB
90
Ð
=
o （O 为坐
标原点），则a =___________．
【答案】1
±
【分析】根据题设可知
AOB
V
为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解.
【详解】
依题意，圆心为


0,0
O
，半径为
2
r =
；
因为
AOB
90
Ð
=
o ，所以
AOB
V
为等腰直角三角形，所以
2
2
2
AB =
+
=
，圆心O 到直线AB 的距离为1；
又圆心O 到直线
:
2
5
0
AB ax
y
-
+
=
的距离为
2
5
4
d
a
=
+
；
所以
2
5
1
4
a
=
+
，解得
1
a = ± .
故答案为：1
± .
26．（25-26 高二上·天津武清·月考）已知圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
+
-
-
-
=
与直线:
0
l x
y
b
-
+
=
，若直线l 与圆
C 相交于A，B 两点，且
ABC
V
为等边三角形，则b = ______．
【答案】
6
±
【分析】将圆C 的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据ABC
V
为等边三角形可知AB 等于圆C 的
半径，由此求得圆心C 到直线l 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得b 的值.
【详解】由圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
+
-
-
-
=
，得



2
2
1
1
4
x
y
-
+
-
=
.
所以圆心C 的坐标为

1,1 ，半径
2
r =
.
因为
ABC
V
为等边三角形，所以
2
AB
CB
CA
=
=
=
.
所以圆心C 到直线:
0
l x
y
b
-
+
=
的距离为
2
2
4 1
3
2
AB
r
æ
ö
-
=
- =
ç
÷
è
ø
.
即1 1
3
2
b
- +
=
，所以
6
b = ±
.
故答案为：
6
±
.
27．（2026·天津河东·一模）已知直线1l ：
2
3
0
x
y
-
+
=
，2l ：2
3
0
x
y
-
-
=
，若圆C 的圆心在x 轴正半轴上，
且与直线1l ，2l 都相切，则圆C 的方程为__________.
【答案】

2
2
81
6
5
x
y
-
+
=
【分析】根据圆心在x 轴正半轴设圆心坐标

,0
a
，然后根据相切列方程得到a ，最后计算半径写方程即可.
【详解】设圆心


,0
C a
，
0
a >
，
由题意得
3
2
3
1
4
4 1
a
a
+
-
=
+
+
，解得
6
a =
或0（舍去），
则圆C 的半径
6
3
9 5
5
1
4
r
+
=
=
+
，
所以圆C 的方程为

2
2
81
6
5
x
y
-
+
=
.
故答案为：

2
2
81
6
5
x
y
-
+
=
.
28．（2026·江苏·一模）已知圆
2
2
9, ,
C
x
y
A B
+
=
：
是C 上的两个动点，点


2,0 ,
90
P
APB
Ð
=
o ．若四边形APBQ
是矩形，则PQ 的取值范围为______．
【答案】
14
2, 14
2
é
ù
-
+
ë
û
【详解】由四边形APBQ 为矩形，知对角线AB 与PQ互相平分且相等，
设AB 的中点为M ，则M 也是PQ的中点，且PQ
AB
=
，
故问题转化为求AB
∣
∣的取值范围.
设


,
M x y ，由PA
PB
^
可得PM
AM
BM
=
=
，
又由垂径定理得：
2
2
9
AM
OM
+
=
，即
2
2
9
PM
OM
+
=
，
即
2
2
2
2
(
2)
9
x
y
x
y
-
+
+
+
=
，
整理得
2
2
7
(
1)
2
x
y
-
+
=
，即M 的轨迹是以

1,0 为圆心、
14
2
为半径的圆，
2
2 9
AB
OM
=
-
，而
2
OM
的取值范围可由M 的轨迹求得：
2
2
2
5
2
2
OM
x
y
x
=
+
=
+
，其中
14
14
1
,1
2
2
x
é
ù
Î
-
+
ê
ú
ë
û
，
所以
2
OM
的范围为：9
9
14,
14
2
2
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
所以
9
9
2 9
(
14),2 9
(
14)
14
2, 14
2
2
2
AB
é
ù
é
ù
Î
-
-
-
+
=
-
+
ê
ú
ë
û
ë
û
，
故PQ
AB
=
的取值范围为
14
2, 14
2
é
ù
-
+
ë
û .
    
29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆C 经过点


0,4
A
，


2,6
B
，且圆心C 在直线
2
y
x
=
上，若直线l ：
2
2
0
kx
y
k
-
+
+
= 与圆C 相交，则实数k 的取值范围为______．
【答案】
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【分析】根据条件，求出圆心C 和半径r，由题意得，圆心C 到直线l 的距离小于半径r，代入点到直线距
离公式，即可得答案.
【详解】因为


0,4
A
，


2,6
B
，
所以AB 中点坐标为(1,5)，直线AB 的斜率
1
6
4
1
2
0
k
-
=
=
-
，
所以与AB 垂直的直线的斜率
2
1
1
1
k
k
-
=
= - ，
则AB 的垂直平分线方程为
5
1(
1)
y
x
-
= -
-
，即
6
y
x
= - +
，
由题意圆心为直线
6
y
x
= - +
与
2
y
x
=
的交点，联立解得圆心为
(2,4)
C
，
则圆的半径
2
2
(2
0)
(4
4)
2
r
AC
=
=
-
+
-
=
，
因为直线l ：
2
2
0
kx
y
k
-
+
+
= 与圆C 相交，
所以圆心到直线l 的距离
2
2
4
2
2
2
1
k
k
d
r
k
-
+
+
=
<
=
+
，解得
4
0
3
k
<
<
，
则实数k 的取值范围为
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
30．（2026·北京平谷·一模）已知直线
2
x = - 与圆






2
2
2
:
0
C
x
a
y
b
r
r
-
+
-
=
>
相切，并且圆C 过(2,0) 点，
则r 的最小值是______．
【答案】2
【分析】根据题意，得到
2
a
r
+
=
，且


2
2
2
2
r
a
b
=
-
+
，联立方程组，求得
2
8
b
a
=
，由
2
0
b ³
，得到
0
a ³
，
即可求解.
【详解】由圆






2
2
2
:
0
C
x
a
y
b
r
r
-
+
-
=
>
，可得圆心
( , )
C a b ，半径为r
因为直线
2
x = - 与圆C 相切，可得
2
a
r
+
=
，
又因为圆C 过(2,0) 点，可得


2
2
2
2
r
a
b
=
-
+
，
所以


2
2
2
2
2
a
a
b
+
=
-
+
，可得
2
2
2
4
4
4
4
a
a
a
a
b
+
+
=
-
+
+
，解得
2
8
b
a
=
，
因为
2
0
b ³
，可得8
0
a ³
，所以
0
a ³
，
又因为
2
r
a
=
+
，所以当
0
a =
时，r 取得最小值，最小值为2 .
31．（2026·安徽安庆·一模）动直线1 :
2
2
0
l
x
ky
k
+
-
=
与动直线2 : 2
1
0
l
kx
y
k
-
+
+ =
相交于点
( , )
C a b ，则
2
1
2
a
b
a
+
-
-
的最小值为___________．
【答案】4
21
20
-
【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆
上点到定点的斜率最值问题.
【详解】根据题意，动直线1 :
2
2
0
l
x
ky
k
+
-
=
经过定点

0,1
A
，
动直线2 : 2
1
0
l
kx
y
k
-
+
+ =
经过定点
1 ,1
2
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø ,则有


1 2
2
1
0
k
k
×
+
× -
=
，
所以1
2
l
l
^
，又点
( , )
C a b 是两条直线的交点，所以有CA
CB
^
，
所以点C 的轨迹方程为


2
2
1
1
1
4
16
x
y
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
其轨迹是以
1 ,1
4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 为圆心，以1
4 为半径的圆，不含点

0,1
A
，
1 ,1
2
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø .
又


2
2
3
2
1
3
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
a
a
-
+
+
+
-
+
=
=
+
-
-
-
，
故只需求
3
2
b
a
+
-
的最小值，令
3
2
b
m
a
+
=
-
可看作点
( , )
C a b 与点


2, 3
M
-
的斜率，
求出过点M 与圆


2
2
1
1
1
4
16
x
y
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
相切的切线斜率即可，
设切线为


3
2
y
m x
+
=
-
，即
2
3
0
mx
y
m
-
-
-
=
.
根据切线条件构造方程，即


2
2
1
1 2
3
1
4
4
1
m
m
d
m
-
- -
-
=
=
+ -
，解得
36
21
20
m
-
±
=
，
所以
3
2
b
a
+
-
的最小值为36
21
20
-
-
，所以2
1
2
a
b
a
+
-
-
的最小值为36
21
4
21
2
20
20
-
-
-
+
=
.
32．（24-25 高二上·安徽合肥·期末）过动点P 作圆




2
2
:
4
3
3
C
x
y
-
+
-
=
的切线PQ，点Q 为切点，若
PQ
PO
=
（O 为坐标原点），则PQ 的最小值是______.
【答案】11
5
【分析】设P 的坐标为

，
m n ，由题意结合圆的切线的几何性质推出P 在直线8
6
22
x
y
+
=
上，继而将PQ
的最小值转化为点O 到直线8
6
22
x
y
+
=
的距离，即可求解.
【详解】如图所示，根据题意，设P 的坐标为

，
m n ，
圆



2
2
4
3
3
x
y
-
+
-
=
的圆心为N ，则


4,3
N
，PQ为圆



2
2
4
3
3
x
y
-
+
-
=
的切线，
则有
2
2
2
2
3
PN
PQ
NQ
PQ
=
+
=
+ ，
又由PQ
PO
=
，则有
2
2
3
PN
PO
=
+ ，即



2
2
2
2
4
3
3
m
n
m
n
-
+
-
=
+
+ ，
变形可得：8
6
22
m
n
+
=
，即P 在直线8
6
22
x
y
+
=
上，
则PQ 的最小值即为点O 到直线8
6
22
x
y
+
=
的距离，
且
2
2
8 0
6 0
22
11
5
8
6
d
´ + ´ -
=
=
+
，即PQ 的最小值是11
5 ，
故答案为：11
5 .
题型23  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
抛物线定义求点到焦点距离
利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代
入纵坐标求解。
2
椭圆焦点坐标求参数
根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求
解参数。
3
抛物线定义求点坐标
由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横
坐标，再代入求纵坐标。
4
椭圆焦点弦长
写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半
径公式求弦长。
5
双曲线方程判定
根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。
6
椭圆与抛物线综合求参数
由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结
合a2=b2+c2求参数。
7
双曲线渐近线斜率与离心率
由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。
8
椭圆与双曲线离心率关系求参
数
分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。
9
椭圆中向量条件求离心率
利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、
b、c关系求离心率。
10
椭圆焦点三角形求离心率
利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方
程求离心率。
11
折痕问题与抛物线定义
由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判
断轨迹形状。
12
抛物线定义与向量共线求参数
利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件
列方程求解。
13
双曲线弦长与距离之和求离心
率
求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中
a、b、c关系求离心率。
14
角平分线性质与双曲线定义求
离心率
利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程
求离心率。
15
椭圆焦点三角形面积与数量积
由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算
向量数量积。
16
双曲线中点弦存在性求离心率
范围
利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等
式，求离心率范围。
17
双曲线焦点到渐近线距离与三
角形面积求离心率
利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、
c关系求离心率。
18
双曲线与抛物线综合求方程
由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐
近线与抛物线求参数。
19
双曲线顶点与斜率积求渐近线
设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条
件求渐近线方程。
20
双曲线焦点到渐近线距离与三
角形面积求渐近线斜率
利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b
关系，得渐近线斜率。
21
双曲线焦点弦与定义求离心率
利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定
理建立a、c方程。
22
椭圆中等腰三角形条件求离心
率
由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离
心率。
23
双曲线渐近线与平行线交点求
直线方程
求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式
求直线方程。
24
椭圆通径与垂直关系求离心率
由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关
系求离心率。
25
椭圆中位线与圆条件求直线斜
率
利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求
直线斜率。
26
椭圆焦点三角形与余弦定理求
离心率
利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求
离心率。
27
双曲线焦点弦与向量垂直求离
心率
利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦
定理建立a、c方程。
28
双曲线焦点弦与比例关系求离
心率
设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离
心率。
29
双曲线焦点弦与向量共线求离
心率
利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、
c方程。
30
双曲线渐近线与中点坐标求离
心率
利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、
b关系得离心率。
31
双曲线中点弦与圆条件求渐近
线
利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求
渐近线方程。
32
椭圆焦点三角形面积比与等腰
条件求离心率
由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦
定理求离心率。
33
双曲线离心率、直线斜率、数
量积最值（多选题）
求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参
数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。
34
双曲线焦距、离心率、渐近线、
焦点三角形周长（多选题）
由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，
结合双曲线定义求周长。
35
椭圆焦点三角形周长、面积、
向量数量积最值、切线面积最
值（多选题）
利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积
用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本
不等式求最值。
36
抛物线定义、点坐标、向量数
量积、点到直线距离（多选题）
利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和
斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。
37
双曲线焦点弦与勾股定理求离
心率及斜率（多选题）
设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。
38
抛物线定义、圆与直线相切、
最值、垂直条件（多选题）
利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小
值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在
性。
39
抛物线定义、距离最值（多选
题）
利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。
40
抛物线焦点弦、中点弦、弦长
和面积最值（多选题）
设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中
点坐标，再结合基本不等式求最值。
41
抛物线旋转与四叶草曲线性质
（多选题）
由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否
在曲线内部；设直线联立求斜率。
42
椭圆焦点三角形性质（多选题）利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求
面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。
43
双曲线旋转与性质（多选题）
由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线
与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。
44
曲线对称性、直线与曲线交点、
区域面积（多选题）
利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲
线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。
45
椭圆方程、弦长、点差法、垂
直弦长和定值（多选题）
由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中
点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。
46
直线与抛物线相交、向量数量
积、斜率关系（多选题）
联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂
直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。
47
双曲线焦点三角形、渐近线、
正切值、内心性质（多选题）
利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；
设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。
48
抛物线定义、切线、向量数量
积、角平分线（多选题）
由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范
围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。
49
双曲线光学性质、切线、几何
性质（多选题）
利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系
证点在圆上；切线定义得公共点个数。
50
椭圆离心率求参数
根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。
51
椭圆焦点三角形周长
利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。
52
抛物线焦半径与直角条件求距
离
利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。
53
抛物线焦半径与正弦定理求线
段长
利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半
径。
54
平行直线与两抛物线交点围成
四边形面积
设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。
55
两抛物线焦点与直线交点求参
数
由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关
系列方程求参数。
一、单选题
1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线
2
4
y
x
=
上的一点M 的纵坐标为2 ，则点M 到焦点的距离为（    ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】设点


,2
M t
，将其代入抛物线方程
2
4
y
x
=
可得
2
4
2
t =
，解得
1
t = ，
易知抛物线
2
4
y
x
=
的准线方程为
1
x = - ，
故点M 到焦点的距离为
1
1 1
2
t + = + =
.
2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆
2
2
2
:
1(
0)
4
x
y
C
a
a +
=
>
的一个焦点是(1,0) ,则a =（   ）
A．
3
B．3
C．5
D．
5
【答案】D
【详解】因为椭圆
2
2
2
:
1(
0)
4
x
y
C
a
a +
=
>
的一个焦点是(1,0) ,
所以焦点在x 上,则
2
4
b =
,
1
c = ,
所以
2
2
2
5
a
b
c
=
+
=
,则
5
a =
.
3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：
2
8
y
x
=
的焦点为F，点


,
A m n 在抛物线C 上，且
3
2
AF
m
=
，则m = （   ）
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【详解】由题意可得抛物线的焦点为

2,0 ，准线方程为
2
x = - ，
根据抛物线的定义可得
3
2
2
AF
m
m
=
+
=
，则
4
m =
.
4．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
+
= 的左、右焦点分别为
1F 和
2
F ，过
2
F 且倾斜角为π
4 的直
线l 与C 交于A ，B 两点，则AB = （    ）
A．4
3
B．4 2
3
C．2
3
D．2 2
3
【答案】B
【详解】Q椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
+
= 的右焦点


2 1,0
F
，
\过
2
F 且倾斜角为π
4 的直线l 的方程为


π
tan
1
4
y
x
=
-
，即
1
y
x
=
- ，
将
1
y
x
=
- 代入
2
2
1
2
x
y
+
= ，得到


2
2
1
1
2
x
x
+
-
= ，
即
2
3
4
0
x
x
-
=
，
设



1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
1
2
1
2
4
3
0
x
x
x x
ì
+
=
ïí
ï
=
î
，
则


2
2
2
1
2
1
2
4
4 2
4
1
4 0
1 1
3
3
AB
x
x
x x
k
æ
ö
=
+
-
×
+
=
- ´
×
+
=
ç
÷
è
ø
，故选项B 正确.
5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程
2
2
1
1
2
y
x
m
m
-
=
+
+
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（   ）
A．

2, 1
-
-
B．

1,
- +¥
C．

, 2
-¥ -
D．



, 2
1,
-¥ -
È - +¥
【答案】D
【详解】因为方程
2
2
1
1
2
y
x
m
m
-
=
+
+
表示双曲线，所以


1
2
0
m
m
+
+
>
，
解得
2
m < - 或
1
m > - .
6．（2026·江苏·一模）若椭圆


2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，右焦点是抛物线
2
2
y
px
=
的焦点，则a
p = （   ）
A．
2
2
B．2
C．2
D．2 2
【答案】A
【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可.
【详解】椭圆


2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长是短轴长的2 倍，
所以2
2
2
a
b
=
´
，即
2
a
b
=
，所以
2
a
b =
，
抛物线
2
2
y
px
=
的焦点为
,0
2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø ，该焦点为椭圆的右焦点，
所以
2
2
2
2
2
a
p
a
æ
ö
æ
ö
=
+ ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
2
2
2
p
a =
，即
2
2
a
p =
.
故选：A
7．（25-26 高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线
2
2
2
2
1
y
x
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的一条渐近线的斜率为
3
3
，则
双曲线的离心率为（    ）
A．2 3
3
B．2
C．2 3
D．3
【答案】B
【详解】由双曲线
2
2
2
2
1
y
x
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）得双曲线的渐近线方程为
a
y
x
b
= ±
.
3
3
a
b =
，所以离心率
2
1
1 3
2
b
e
a
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
.
8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线
1
C ：
2
2
2
1
x
y
a +
= 

1
a >
，曲线
2
C ：
2
2
1
4
x
y
-
= 的离心率分别为
1e ，
2e ，且
2
1
5
e
e
=
，则a =（   ）
A．2 3
3
B．2
C．
3
D．
5
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】曲线
1
C 的长半轴长为a ，短半轴长为1，所以焦距为
2
2
1
a - .
曲线
2
C 的实半轴长为2 ，虚半轴长为1，所以焦距为2 4 1
2 5
+
=
.
由
2
1
2
5
1
2 3
5
2
5
3
e
a
a
a
e
-
Þ
=
×
=
=
Þ
.
故选：A
9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆C :
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 

0
a
b
>
>
的右焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 交C 于
另一点B ．若
1
2
3
3
OF
OA
OB
=
+
uuur
uuur
uuur
，则C 的离心率为（   ）
A．1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
【答案】C
【分析】根据向量关系得到点B 坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【详解】椭圆右焦点为


,0
F c
，上顶点为


0,
A
b ，设

,
B x y .
由
1
2
3
3
OF
OA
OB
=
+
uuur
uuur
uuur
得





1
2
2
1
2
,0
0,
,
,
3
3
3
3
3
c
b
x y
x
b
y
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø，
所以
3
2
c
x =
，
2
b
y = -
，即
3 ,
2
2
c
b
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø .
代入椭圆方程得
2
2
2
2
3
2
2
1
c
b
a
b
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
+
= ，整理得
2
1
3
c
a
æ
ö =
ç
÷
è
ø
，即
2
1
3
e =
.
又0
1
e
<
< ，所以
3
3
e =
.
故选：C.
10．（2026·四川广安·一模）已知
1
2
F
F
，
分别是椭圆


2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
C
a
b
a
b
：
的左、右焦点，P 是椭圆C 上一
点．若
2
1
2
PF
F F
^
，
1
2
2
PF
PF
=
，则椭圆C 的离心率为（    ）
A．
2
2
B．
3
3
C．
1
2
D．1
3
【答案】B
【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率.
【详解】
  
令x
c
=
，代入椭圆
2
2
2
2
1
c
y
C a
b
+
=
：
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
1
y
c
b
b
b
y
y
b
a
a
a
a
Þ
= -
=
Þ
=
Þ
=
则可知：
2
2
b
PF
a
=
，又因为
1
2
2
PF
PF
=
，所以
2
1
2 b
PF
a
=
，
根据椭圆定义可知：


2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
2
3
2
3
3
2
3
b
b
a
b
a
a
c
a
e
e
a
a
+
=
Þ
=
Þ
-
=
Þ
-
=
Þ
=
，
所以椭圆C 的离心率为
3
3
，
故选： B
11．（2026·山东青岛·一模）如图，点E 为矩形ABCD 边AB 的中点，以动直线l 为折痕将矩形在其下方的
部分向上翻折，每次翻折后点E 都落在边CD 上，记该落点为F ，过点F 作FP 垂直于CD 交直线l 于点P ，
点P 的轨迹为曲线W 的一部分，则W 为（   ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由折痕的性质可得，则直线l 是线段EF 的垂直平分线，对任意的P 在l 上，由PE
PF
=
，
又因为PF
CD
^
，所以点P 到直线CD 的距离为PF ，
所以点P 到定点E 的距离等于点P 到定直线CD 的距离，
由抛物线的定义，可得点P 的轨迹为抛物线.
12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：


2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF
与C 交于点E，若
4
3
DE =
，
2
3
EF =
，则p = （    ）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
【答案】D
【分析】设


0
0
,
E x
y
，由题意可知
3
DF
EF
=
，可得
0
6
p
x =
，再根据
2
3
EF =
结合抛物线定义运算求解即
可.
【详解】设


0
0
,
E x
y
，
0
0
2
p
x
<
<
，
因为抛物线的焦点为
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，准线为
2
p
x = -
，
由题意可知：
3
DF
EF
=
，则
0
3 2
p
p
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，可得
0
6
p
x =
，
且
0
2
2
2
3
3
p
EF
x
p
=
+
=
=
，所以
1
p = .
13．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线


2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
-
=
>
，AB 是过右焦点F 且垂直于x 轴的弦，若点
A ，B 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（   ）
A．3
2
B．
5
2
C．
7
2
D．2
【答案】B
【分析】先求出
,
A B 的坐标，渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式列方程解得半焦距c ，进而可求得
离心率.
【详解】由双曲线的方程


2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
-
=
>
知渐近线方程为
2
b
y
x
= ±
，
设



,0
0
F c
c >
，因为AB 是过右焦点F 且垂直于x 轴的弦，所以
2
2
,
,
,
2
2
b
b
A c
B c
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
过
,
A B 分别作渐近线
2
b
y
x
=
，即
2
0
bx
y
-
=
的垂线，垂足分别为
1
1
,
A B ，如图：
则
2
2
1
1
2
2
,
4
4
bc
b
bc
b
AA
BB
b
b
-
+
=
=
+
+
.
又点A ，B 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，
所以
1
1
2
AA
BB
+
=
，即



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
bc
b
bc
b
bc
b
bc
b
bc
b
b
b
b
-
+
+
-
+
+
=
=
=
+
+
+
+
，整理得
2
2
2
4
b
b c
+
=
.
将
2
2
4
b
c
=
-
代入上式得


2
2
2
4
4
4
c
c
c
-
+
=
-
，解得
2
5
c =
，所以
5
c =
，
所以离心率
5
2
c
e
a
=
=
.
14．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
1F ，
2
F 分别为左、右焦点，过
1F 且倾斜
角为60°的直线l 与C 在第一象限的交点为P ，
1
2
PF F
Ð
的平分线与线段
2
PF 交于点Q ．若
2
2
PQ
QF
=
，则
该双曲线的离心率是（   ）
A．
3
B．1
3
+
C．2
3
+
D．3
3
+
【答案】C
【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.
【详解】因为直线l 的
1
2
π
3
PF F
Ð
=
，由角平分线性质定理可知
1
1
2
2
2
PF
PQ
F F
QF
=
=
，
所以
1
1
2
2
4
PF
F F
c
=
=
，由双曲线的定义可知
1
2
2
PF
PF
a
-
=
，所以
2
1
2
4
2
PF
PF
a
c
a
=
-
=
-
，
在
1
2
PFF
V
中由余弦定理可得
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
cos
PF
PF
F F
PF F F
PF F
=
+
-
Ð
，
即
2
2
2
(4
2 )
(2 )
(4 )
2
2
4
cos60
c
a
c
c
c
c
-
=
+
-
´
´
´
°，整理得
2
2
4
0
c
ac
a
-
+
=
，
两边同除以
2
a 可得
2
4
1
0
e
e
-
+ =
，解得
2
3
e =
+
或
2
3
e =
-
（舍去）．
故选：C
15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在椭圆C 上，若
1
2
PFF
V
的面积为1，则
1
2
PF PF
×
=
uuur uuuur
（    ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．
8
3
-
D．8
3
【答案】D
【分析】由三角形
1
2
PFF
V
的面积确定P 点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，得
2
2
4,
3
a
b
=
=
，
2
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，即
1
c = ，
因此左右焦点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
-
，
1
2
|
| 2
2
F F
c
=
=
，
因为
1
2
PFF
V
面积为1，故
1
2
1 |
| |
| 1
2
P
S
F F
y
=
×
×
= ，得|
| 1
P
y
= ，即
2
1
P
y = ，
 将
2
1
P
y = 代入椭圆方程：
2
1
1
4
3
x +
= ，解得
2
8
3
P
x =
.
 
1
( 1
,
)
P
P
PF
x
y
= - -
-
uuur
，
2
(1
,
)
P
P
PF
x
y
=
-
-
uuuur
，
则 
2
2
1
2
8
8
( 1
)(1
)
(
)(
)
1
1 1
3
3
P
P
P
P
P
P
PF PF
x
x
y
y
x
y
×
= - -
-
+ -
-
=
- +
=
- + =
uuur uuuur
.
16．（25-26 高三上·山东济宁·月考）若双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
不存在以点
3
, 2
a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø 为中点的弦，则该
双曲线离心率的取值范围为（    ）
A．3 5 ,
5
¥
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．
13
1, 3
æ
ù
ç
ú
çè
û
C．2 5
13
,
5
3
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
13 3 5
,
3
5
é
ù
ê
ú
ë
û
【答案】D
【分析】先判断点
3
, 2
a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø 在双曲线外部或在双曲线上，得
2
2
2
2
3
2
1
a
a
a
b
æ
ö
ç
÷
è
ø -
£ ，再结合过该中点的直线斜率
a
k
b
£
可得另一不等式，最后求解出b
a 的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】 不存在以点
3
( ,
)
2
a
M a
为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 
点M 在双曲线外部或其上（若点M 在双曲线内部，则过该点的弦必然存在），
因此
2
2
2
2
3
(
)
2
1
a
a
a
b
-
£ ，解得
2
2
4
5
b
a £
；
设过点M 的弦的斜率为k ，
设弦与双曲线交于点

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
，
则
1
2
2
x
x
a
+
=
，
1
2
3
2
2
y
y
a
+
=
，
由点

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
在双曲线上，得
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
a
b
y
x
a
b
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，
两式作差得





1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
y
y
y
y
x
x
x
x
a
b
+
-
+
-
=
，
所以




2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
3
3
AB
a
x
x
y
y
a
a
a
k
x
x
b
y
y
b
a
b
+
-
×
=
=
=
=
-
+
×
，
直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是|
|
a
k
b
>
，
因为不存在该中点弦，所以直线AB 与双曲线至多一个交点，
则
2
2
3
2
AB
b
a
a
k
b
=
£
，也即
2
3
b
a ³
，
所以
2
2
4
4
9
5
b
a
£
£
，则
2
2
13 3 5
1
,
3
5
c
b
e
a
a
é
ù
=
=
+
Îê
ú
ë
û
．
17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右焦点为F ，半焦距为c .
过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，且OHF
V
的面积为
2
3
8 c ，则C 的离心率为（    ）
A．2
B．2 或
3
C．2 或
5
D．2 或2 3
3
【答案】D
【分析】利用点到直线距离可求出FH
b
=
，再根据OHF
V
的面积为
2
3
8 c 列出相应等式，即可求解.
【详解】由题可得双曲线的渐近线为
b
y
x
a
= ±
，这里不妨取
b
y
x
a
=
，即
0
bx
ay
-
=
，
点


,0
F c
到直线
0
bx
ay
-
=
的距离
2
2
bc
FH
b
c
a
b
bc
=
=
=
+
，
在OHF
V
中
2
2
2
2
OH
OF
FH
c
b
a
=
-
=
-
=
，
所以
2
1
1
3
·
·
2
2
8
OHF
S
OH HF
ab
c
=
=
=
V
，则
2
4
3
ab
c
=
，
又因
2
2
2
b
c
a
=
-
，所以
2
2
2
4
3
a c
a
c
-
=
，
化简可得
2
2
4
4
16
16
3
a c
a
c
-
=
，等式两边同时除以
4
a ，可得
2
4
16
16
3
e
e
-
=
，
即
4
2
3
16
16
0
e
e
-
+
=
，解得
2
4
3
e =
或
2
4
e =
，
因
1
e > ，所以
2 3
3
e =
或
2
e =
.
18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
与抛物线


2
:
2
0
C y
px p
=
>
有相同的焦
点F ，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，三角形FAB 为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线
交于原点O 与另一点M ，三角形OFM 的面积为6 2 ，则双曲线的方程为（     ）
A．
2
2
1
2
4
x
y
-
=
B．
2
2
1
4
2
x
y
-
=
C．
2
2
1
2
y
x -
=
D．
2
2
1
2
x
y
-
=
【答案】A
【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出
2
p
c
=
，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出
,
A B 两点坐标，
联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出, ,
a b c 的关系求解.
【详解】双曲线的右焦点为( ,0)
c
，抛物线的焦点为
(
,0)
2
p
F
，
由焦点相同得
2
p
c =
，即
2
p
c
=
，
将抛物线的准线x
c
= - 代入双曲线方程，得
2
2
2
2
1
c
y
a
b
-
= ，
2
b
y
a
Þ
= ±
，
故
2
, b
A
c a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
2
(
,
)
b
B
c
a
-
-
，则
2
2b
AB
a
=
，
FAB
QV
为等边三角形，
2
2
3 2
2
2
3
2
b
c
ac
b
a
\
=
×
Þ
=
，
双曲线的渐近线方程为：
b
y
x
a
= ±
，
根据对称性，不妨取其中一条渐近线
b
y
x
a
=
与抛物线方程联立：
2
4
b
y
x
a
y
cx
ì
=
ïí
ï
=
î
，消元得
(
)
2
2
4
0
a c
x
x
b
=
¹
，对应
2
2
4
4
b
a c
ac
y
a
b
b
=
×
=
，即
(
,
)
2
2
4
4
a c
ac
M
b
b
，
2
1
4
2
6 2
2
OFM
ac
ac
S
c
b
b
=
×
=
=
V
，即
2
3 2
ac
b =
，
2
2
2
2
2
2
3
3 2
ac
b
ac
b
c
a
b
ì
=
ï
ï
=
í
ï
=
+
ïî
，得
2
2
2
2
4
6
a
b
c
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
所以双曲线的方程为：
2
2
1
2
4
x
y
-
=
19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
的左、右顶点分别为
,
A B ，点P 是C
上异于
,
A B 的一点，若直线PA ，PB 的斜率之积为C 的离心率的
2
2 倍，则C 的渐近线方程为（   ）
A．
1
2
y
x
= ±
B．y
x
= ±
C．
2
y
x
= ±
D．
2
y
x
= ±
【答案】B
【分析】由题知
)
,
,
(
0)
( 0,
A
a
B a
-
，设

0
0
,
P x
y
，根据斜率关系得
2
2
PA
PB
b
k
k
a
×
=
，再结合题意得
2
2
2
2
1
2
2
b
b
a
a
=
+
×
，解得
2
2
1
b
a = 即可得答案.
【详解】由题知
)
,
,
(
0)
( 0,
A
a
B a
-
，设

0
0
,
P x
y
，
点P 是C 上异于
,
A B 的一点，故
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，即


2
2
2
2
0
0
2
b
y
x
a
a
=
-
因为
0
0
0
0
,
PA
PB
y
y
k
k
x
a
x
a
=
=
+
-
，
所以


2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
0
0
PA
PB
b
x
a
y
b
a
k
k
x
a
x
a
a
-
×
=
=
=
-
-
，
因为直线PA ，PB 的斜率之积为C 的离心率的
2
2 倍，离心率
2
2
1
b
e
a
=
+
，
所以
2
2
2
2
1
2
2
b
b
a
a
=
+
×
，
令
2
2
b
t
a = ，则
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
t
t
b
b
a
a
+
=
=
Û
×
+
×
，
即
2
2
1
0
t
t
- - =
，解得
1
t = 或
1
2
t = -
（舍），故
2
2
1
b
a = ，即
1
b
a = ，
所以C 的渐近线方程为y
x
= ± .
故选：B
20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点F 作其中一条渐近线的垂线，垂
足为P，若|
| 3
PF =
，
OFP
△
的面积为6（O 为坐标原点），则C 的渐近线的斜率为（   ）
A．
3
5
±
B．
4
5
±
C．
3
4
±
D．
4
3
±
【答案】C
【分析】设
( ,0)
F c
，结合渐近线l 的方程为
0
bx
ay
-
=
，由点到直线的距离可得|
|
PF ，|
|
OP ，再由三角形的
面积公式，计算可得所求值．
【详解】设
( ,0)
F c
，不妨取渐近线l 的方程为
0
bx
ay
-
=
，
则
2
2
|
0 |
|
|
bc
bc
PF
b
c
a
b
-
=
=
=
+
，又
3
PF =
，故
3
b =
，
因为
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
OP
OF
PF
c
b
a
=
-
=
-
=
，
OFP
△
的面积为6，
所以1
6
2 ab =
，解得
4
a =
所以C 的渐近线的斜率为
3
4
±
.
21．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b

-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
1F 的直线与的左、右两支分别交于A，B 两点，且
2
1
2
A
F
B
B
F
A
=
=
，则的离心率为（    ）．
A．2
B．3
C．
6
D．
7
【答案】D
【分析】根据题意作出示意图，根据双曲线的定义求解出
2
,
AB
AF ，判断
2
ABF
△
的形状，再结合余弦定理
得出,a c 的关系，计算求解.
【详解】
1
2
1
1
2
BF
BF
BF
AB
AF
a
-
=
-
=
=
，
2
4
AB
BF
a
=
=
．
2
1
2
AF
AF
a
-
=
，所以
2
4
AF
a
=
，
2
ABF
△
是等边三角形，
1
2
π
3
F BF
Ð
=
．
在
1
2
BF F
△
中，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
BF
BF
F F
F BF
BF
BF
+
-
Ð
=
×
，即
2
2
2
1
36
16
4
2
2 6
4
a
a
c
a
a
+
-
=
´
´
，
化简得
2
2
7a
c
=
，所以
7
c
e
a
=
=
．
22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
,
F F A是C 的左顶点，P
为C 所在平面内一点，且
1
2
60
F F P
Ð
=
o .若
1
2
PFF
V
与
1
PF A
△
均为等腰三角形，则C 的离心率为（）
A．
3
2
B．
6
3
C．
1
2
D．1
3
【答案】D
【分析】根据
1
2
PF F
V
与
1
PF A
V
均为等腰三角形，结合
1
2
60
F F P
Ð
=
o ，分情况讨论三角形的腰长，进而求出
椭圆的离心率.
【详解】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= 的左、右焦点为


1
,0
F
c
-
，


2
,0
F
c
，左顶点

,0
A
a
-
.
因为
1
2
PF F
V
为等腰三角形且
1
2
60
F F P
Ð
=
o ，所以
1
2
PF F
V
是等边三角形，边长为
1
2
2
F F
c
=
，故
2
2
PF
c
=
，P
点坐标为

0,
3c
±
.
又
1
PF A
V
为等腰三角形，
1
2
PF
c
=
，
1
AF
a
c
=
- ，


2
2
2
2
(0
)
3
0
3
PA
a
c
a
c
=
+
+ ±
-
=
+
.
由等腰三角形性质，
若
1
1
PF
AF
=
，则2c
a
c
=
-
，则
3
a
c
=
，离心率
1
3
3
c
c
e
a
c
=
=
=
.
若
1
PF
PA
=
，可得
2
2
2
3
c
a
c
=
+
，即
2
2
2
4
3
c
a
c
=
+
，则
2
2
a
c
=
，因为
0
a
c
>
>
，所以此情况不成立.
若
1
AF
PA
=
，可得
2
2
3
a
c
a
c
-
=
+
，则
2
2
2
(
)
3
a
c
a
c
-
=
+
，
化简得
2
2
2
ac
c
= -
，因为
0
c >
，所以a
c
= - ，不满足
0
a
c
>
>
，此情况不成立.
因此，椭圆的离心率为1
3 .
故选：D
23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线
2
2
:
1
4
y
C x -
= 上一点

2,2
P
，若过P 分别作双曲线C 的两条渐近
线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN 的方程为（   ）
A．2 2
3
0
x
y
-
+
=
B．2 2
1
0
x
y
-
+ =
C．2 2
1
0
x
y
-
- =
D．2 2
3
0
x
y
-
-
=
【答案】C
【分析】求出双曲线的渐近线方程
2
y
x
= ±
，再求出过点

2,2
P
与双曲线C 的两条渐近线平行的直线方程，
分别求出交点分M，N，利用点斜式方程即可求解.
【详解】双曲线
2
2
:
1
4
y
C x -
= 的渐近线方程为
2
y
x
= ±
，
平行于
2
y
x
=
的直线：斜率为 2，由点斜式得


2
2
2
y
x
-
=
-
，即
2
2 2 2
y
x
=
-
+
该直线与另一条渐近线
2
y
x
= -
交于点M
联立
2
2 2 2
2
y
x
y
x
ì
=
-
+
ïí
= -
ïî
，解得
2
1,
2 1
2
2
M æ
ö
-
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
,
平行于
2
y
x
= -
的直线：斜率为2
- ，由点斜式得


2
2
2
y
x
-
= -
-
，即
2
2 2 2
y
x
= -
+
+
；
该直线与另一条渐近线
2
y
x
=
交于点 N ,
联立
2
2 2 2
2
y
x
y
x
ì
= -
+
+
ïí
=
ïî
，解得
2
1,
2 1
2
2
N æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
,
所以



2
1
2
1
2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
MN
k
+
- -
+
=
=
=
æ
ö
æ
ö
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以直线MN 的方程为


2
1
2
1
2 2
2
2
y
x
æ
ö
-
+
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，化简得：2 2
1
0
x
y
-
- =
，
故选：C
24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 且垂直于长
轴的直线交E 于A，B 两点，若
1
60
AF B
°
Ð
=
，则E 的离心率为（   ）
A．
3
3
B．
3
2
C．
1
2
D．
5
3
【答案】A
【分析】由题先求出
2
2b
AB
a
=
，利用
2
1
2
1
2
tan
AF
AF F
F F
°
Ð
=
，即
2
2
3
2
3
a
c
ac
-
=
化简可求解.
【详解】设焦点


2
,0
F
c
，则过
2
F 且垂直于长轴的直线为x
c
=
，
将x
c
=
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，得到
2
2
2
2
2
1
c
y
b
y
a
b
a
+
= Þ
= ±
，
所以
2
2
2
2
,
,
,
,
b
b
b
A c
B c
AB
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
1
60
AF B
°
Ð
=
，所以
1
2
30
AF F
°
Ð
=
，
所以
2
2
1
2
tan30
2
b
AF
a
F F
c
° =
=
，即
2
2
3
2
3
a
c
ac
-
=
，
化简得到
2
2
1
3
3
2 3
3
0
2
3
e
e
e
e
-
=
Þ
+
-
=
，
因为
0
e >
，解得
3
3
e =
.
故选：A.
25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
+
= 的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，椭圆C 的上半部分有一点
P ，若以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆过线段
1
PF 的中点，则直线
1
PF 的斜率为（   ）
A．1
B．2
C．
3
D．2
【答案】C
【分析】结合图形可以发现，利用焦半径及三角形中位线定理，得出
1
2
4
PF
PF
=
=
，再应用斜率公式计算
求解.
【详解】由题知，椭圆
2
2
1
16
12
x
y
+
= ，焦点在x 轴上，
4,
2 3,
2
a
b
c
=
=
=
，
设线段
1
PF 的中点为M .
由题意知|
| 2
OM =
.
因为OM 是
1
2
PFF
V
的中位线，所以
2
2
4
PF
OM
=
=
．
因为
1
2
2
8
PF
PF
a
+
=
= ，所以
1
2
4
PF
PF
=
=
，所以点P 的坐标为(0,2 3) ，且


1
2,0
F -
，
所以直线
1
PF 的斜率
2 3
0
3
0
( 2)
k
-
=
=
- -
.
故选：C.
26．（25-26 高二上·四川达州·期末）已知A，B 是椭圆C：


2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上关于原点对称的两点，
1F
是椭圆C 的左焦点，在
1
AF B
△
中有
1
1
2
BF
AF
=
，
1
π
3
AF B
Ð
=
，则椭圆C 的离心率为（   ）
A．
5
3
B．
6
3
C．
7
3
D．2 2
3
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出
1
2
|
|,|
|
AF
AF
和
1
2
F BF
Ð
，再利用余弦定理列式求解.
【详解】令椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
2
F ，设该椭圆半焦距为c ，
由A，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，得四边形
1
2
AF BF 是平行四边形，
则
1
2
2π
3
F AF
Ð
=
，
2
1
1
2
AF
BF
AF
=
=
，由椭圆定义得
1
2
2
4
,
3
3
a
a
AF
AF
=
=
，
由余弦定理得

2
2
2
2
4
2
4
2π
2
(
)
(
)
2
cos
3
3
3
3
3
a
a
a
a
c
=
+
- ×
×
，整理得
7
3
c
a
=
，
所以椭圆C 的离心率为
7
3
c
a =
.
故选：C
27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右两个焦点分别为
1
2
,
F F ，过
1F
的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于
,
A B 两点，且满足
1
1
3
F B
F A
=
，l
OA
^
（O 为坐标原点），
1
2
60
F BF
Ð
=
°，则双曲线C 的离心率为（    ）
A．
3
B．2
C．
7
D．3
【答案】C
【分析】设




1
1
1
2
,
3 ,
,0 ,
,0
F A
m F B
m F
c
F
c
=
=
-
，在
2
ABF
△
中，根据双曲线定义及余弦定理可得
2
m
a
=
，
再由l
OA
^
，得
,
OA OB ，根据
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
cos
2
2
OF
BF
OB
F F
BF
BF
BF F
OF
BF
F F
BF
+
-
+
-
Ð
=
=
代入计算即可求解.
【详解】设




1
1
1
2
,
3 ,
,0 ,
,0
F A
m F B
m F
c
F
c
=
=
-
，
则
2
2
3
2 ,
2 ,
2
BF
m
a AF
m
a AB
m
=
-
=
+
=
，
在
2
ABF
△
中，
1
2
60
F BF
Ð
=
°，
所以







2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
1
cos
2
2
2
3
2
2
AB
BF
AF
m
m
a
m
a
ABF
AB BF
m
m
a
+
-
+
-
-
+
Ð
=
=
=
×
×
-
，化简可得
2
m
a
=
，
所以
2
2
1
4 ,
4 ,
4 ,
2
BF
a AF
a AB
a AF
a
=
=
=
=
，
因为l
OA
^
，所以
2
2
2
2
1
1
4
OA
OF
AF
c
a
=
-
=
-
，
2
2
2
2
12
OB
OA
AB
c
a
=
+
=
+
，
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
cos
2
2
OF
BF
OB
F F
BF
BF
BF F
OF
BF
F F
BF
+
-
+
-
Ð
=
=
，
所以


2
2
2
2
2
2
2
16
12
4
16
36
2
4
2 2
4
c
a
c
a
c
a
a
c
a
c
a
+
-
+
+
-
=
× ×
×
×
，化简可得
2
2
7
c
a
=
，
所以双曲线C 的离心率
7
c
e
a
=
=
.
28．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，经过
2
F 的直
线与C 的右支交于A，B 两点，且
1
AF
AB
=
，
1
1
cos
9
BAF
Ð
=
，则C 的离心率是（   ）
A．
21
3
B．
15
3
C．
3
D．
5
【答案】A
【分析】设AB
m
=
，根据双曲线的定义和余弦定理，求得
1
2
3 ,
3
2
AF
a AF
a
a
a
=
=
-
=
，在
1
2
AF F
△
中，利
用余弦定理，求得即
2
2
7
3
c
a
=
，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设AB
m
=
，则
1
AF
AB
m
=
=
，
由双曲线的定义，可得
1
2
2
AF
AF
a
-
=
，所以
2
2
AF
m
a
=
-
，
又由
2
2
(
2 )
2
BF
AB
AF
m
m
a
a
=
-
=
-
-
=
，
因为
1
2
2
BF
BF
a
-
=
，所以
1
2
2
2
2
4
BF
BF
a
a
a
a
=
+
=
+
=
，
在
1
ABF
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
1
2
cos
BF
AB
AF
AB AF
BAF
=
+
-
Ð
，
2
2
2
2
1
(4 )
2
9
a
m
m
m
=
+
- ´
´
，即
2
2
2
2
1
16
16
2
2
9
9
m
a
m
m
=
- ´
´
=
，
即
2
2
9
m
a
=
，所以
3
m
a
=
，则
1
2
3 ,
3
2
AF
a AF
a
a
a
=
=
-
=
，
在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
AF
AF
AF AF
F AF
=
+
-
Ð
，
即
2
2
2
1
(2 )
(3 )
2 3
9
c
a
a
a
a
=
+
- ´
´ ´
，解得
2
2
7
3
c
a
=
，所以
2
2
7
3
c
a =
，
所以双曲线的离心率为
21
3
c
e
a
=
=
.
29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
2
F 的直
线与C 的右支交于点
,
A B ，
2
2
1
1
1
1
1
2
F A F B
F B
F A
×
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
，则
2
2
b
a =（    ）
A．4
2 2
-
B．5
2 2
-
C．6
2 2
-
D．19
8 2
-
【答案】A
【分析】先根据向量条件求出
1F A
uuur
，
1
AF B
Ð
，再利用余弦定理得|
|
AB ，接着由双曲线的定义结合
2
, ,
A B F 共
线求出m 与a 的关系，最后根据三边关系和勾股定理求出
2
2
b
a
.
【详解】设
1F A
m
=
uuur
，由条件
2
2
1
1
1
1
1
|
|
2
F A F B
F B
F A
×
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
可得：
 
1
2
F B
m
=
uuur
，且
2
1
1
1
2
cos
F A F B
m
m
AF B
m
×
=
×
×
Ð
=
uuur uuur
，
解得：
1
2
cos
2
AF B
Ð
=
，即
1
45
AF B
Ð
=
o ，
在
1
AF B
△
中，由余弦定理
2
2
2
1
1
1
1
|
|
|
|
2
cos45
AB
F A
F B
F A F B
=
+
-
o 可知：
2
2
2
2
2
|
|
2
2
2
2
AB
m
m
m
m
m
=
+
- ×
×
×
=
，则|
|
AB
m
=
，
又
1
2
|
|
|
| 2
F A
F A
a
-
=
，
1
2
|
|
|
| 2
F
F
B
B
a
-
=
，
两式相加可得 ：
1
1
2
2
(
)
(
)
4
F A
F B
F A
F B
a
+
-
+
=
，
又因为
2
, ,
A B F 共线，所以
2
2
F A
F B
AB
m
+
=
=
，
代入
1
1
2
2
(
)
(
)
4
F A
F B
F A
F B
a
+
-
+
=
得： 
2
4
m
m
m
a
+
-
=
，
化简得：
2
4
m
a
=
，解得：
2 2
m
a
=
，
因此 
1
2 2
F A
a
=
，
1
4
F B
a
=
，
2 2
AB
a
=
，
且
2
1
2
2 2
2
F A
F A
a
a
a
=
-
=
-
，
在
1
AF B
△
中，三边满足
2
2
2
2
2
2
1
1
|
|
(2 2 )
(2 2 )
16
|
|
F A
AB
a
a
a
F B
+
=
+
=
=
，
所以
1
AF B
△
为直角三角形，则
1
90
Ð
=
o
F AB
，即
1
2
90
F AF
Ð
=
o ，
所以
1
2
F AF
V
为直角三角形，
2
2
2
(2 2 )
(2 2
2 )
4
a
a
a
c
+
-
=
 
化简得
2
2
2
8
(12
8 2)
4
a
a
c
+
-
=
，即
2
2
5
2 2
c
a =
-
所以 
2
2
2
2
2
2
2
1
(5
2 2) 1
4
2 2
b
c
a
c
a
a
a
-
=
=
- =
-
- =
-
.
30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A ，过点A 且斜率为2
的直线与C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点（其中点P 在第一象限）.若O 为坐标原点，点M 满足
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
，
5
2
AM
a
=
uuuur
∣
∣
，则双曲线C 的离心率为（   ）
A．
7
2
B．
21
3
C．5
3
D．
5
2
【答案】B
【分析】由
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
得到M 为PQ的中点，过点M 作MN
x
^
轴，设


0
AN
m m
=
>
，由过点A 的直
线的斜率为2 得到MN 的值，利用勾股定理得到AM 的值，结合
5
2
AM
a
=
uuuur
得到
1
2
m
a
=
，从而得到
AN ，MN ，由A 的坐标得到ON 的值，从而得到M 的坐标，由
,
P Q 是双曲线渐近线上的点，及斜率为
2，可得
2
2
b
a
的值，利用公式
2
2
1
c
b
e
a
a
=
=
+
得到离心率的值.
【详解】
2
OP
OQ
OM
+
=
uuur
uuur
uuuur
Q
，
M
\
为PQ的中点，
过点M 作MN
x
^
轴，交x 轴于点N ，
设


0
AN
m m
=
>
，
Q过点A 的直线的斜率为2，
2
MN
m
\
=
，
2
2
5
AM
MN
AN
m
\
=
+
=
，
5
2
AM
a
=
uuuur
Q
，
5
5
2
m
a
\
=
，
1
2
m
a
\
=
，
1
2
AN
a
=
，
MN
a
\
=
，


,0
A a
Q
，
OA
a
\
=
，
1
3
2
2
ON
OA
AM
a
a
a
\
=
+
=
+
=
，
3 ,
2
M
a a
æ
ö
\
ç
÷
è
ø，
设



1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
M
Q
为PQ的中点，
1
2
1
2
3 ,
2
2
2
x
x
y
y
a
a
+
+
\
=
=
，
1
2
1
2
3 ,
2
x
x
a y
y
a
\
+
=
+
=
，
Q




1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线上的点，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
0,
0
x
y
x
y
a
b
a
b
\
-
=
-
=
，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
a
b
a
b
\
-
=
-
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
y
y
a
a
b
b
\
-
=
-
，






2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
y
y
b
a
x
x
x
x
x
x
-
+
-
\
=
=
-
-
+
，
1
2
1
2
2
y
y
k
x
x
-
=
=
-
Q
，
1
2
1
2
3 ,
2
x
x
a y
y
a
+
=
+
=
，
2
2
2
4
2
3
3
b
a
a
a
\
=
´
=
，
2
2
4
21
1
1
3
3
c
b
e
a
a
\ =
=
+
=
+
=
.
故选：B.
31．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左顶点为A ，过A 的直线l 与C
的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆
2
2
2
:
O x
y
a
+
=
上，且
7
OB
OA
=
，则双曲线C 的渐近线方程为
（    ）
A．
2
y
x
= ±
B．y
x
= ±
C．
3
y
x
= ±
D．
2 2
y
x
= ±
【答案】B
【分析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，连接
,
DE DB ，则可得
2
AD
BD
a
=
=
，然后在
ODB
△
中利用余弦定理求得
2π
3
ODB
Ð
=
，则
2
π
3
BDF
Ð
=
，从而可表示出

2 , 3
B
a
a ，代入双曲线方程化简可求出
渐近线方程.
【详解】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为
1
2
,
F F ，连接
,
DE DB ，
因为线段AB 的中点E 在圆
2
2
2
:
O x
y
a
+
=
上，所以DE
AB
^
，
所以
ADE
V
≌
BDE
V
，所以
2
AD
BD
a
=
=
，
因为
7
OB
OA
=
，所以
7
OB
a
=
，
在
ODB
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
4
7
1
cos
2
4
2
OD
DB
OB
a
a
a
ODB
OD
DB
a
+
-
+
-
Ð
=
=
= -
×
，
因为


0,π
ODB
Ð
Î
，所以
2π
3
ODB
Ð
=
，
所以
2
π
3
BDF
Ð
=
，过B 作BF
x
^
轴于F ，则
3 ,
BF
a DF
a
=
=
，
所以

2 , 3
B
a
a ，
所以
2
2
2
2
4
3
1
a
a
a
b
-
= ，得
2
2
a
b
=
，即a
b
=
，
所以双曲线C 的渐近线方程为y
x
= ± ；
故选：B
32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，过
1F 的直线与
椭圆C 交于M、N 两点，若
2
1 2
3
MNF
MF F
S
S
=
△
△
，且
2
1
2
1
F F N
F NF
Ð
Ð
=
，则椭圆C 的离心率为（   ）
A．1
3
B．
3
3
C．2
3
D．
6
4
【答案】A
【分析】根据面积的比例关系可得
1
1
2
NF
MF
=
，利用椭圆的定义，计算出
1
2
MF F
△
的各边长，运用余弦定
理建立等式.
【详解】
如图，因为
2
1 2
3
MNF
MF F
S
S
=
△
△
，所以
1 2
2
1 2
1 2
2
NF F
MNF
MF F
MF F
S
S
S
S
=
-
=
V
V
V
V
,
所以
1
1
2
NF
MF
=
.
因为
2
1
2
1
F F N
F NF
Ð
Ð
=
，所以
1
2
NF F
△
是等腰三角形，则
2
2
NF
c
=
又因为
1
2
2
F N
F N
a
+
=
，所以
1
2
2
NF
a
c
=
-
，所以
1
MF
a
c
=
- ，则
2
MF
a
c
=
+
过
2
F 作
2
1
F H
NF
^
其中H 为垂足，则H 为
1
NF 中点，所以
1
2
1
1
2
cos
2
F H
a
c
F F N
F F
c
-
Ð
=
=
.
在
1
2
MF F
△
中，由余弦定理得








2
2
2
2
1
2
1
2
cos
cos
2
2
2
c
a
c
F F M
F F N
a
c
c
c
a
c
a
c
×
-
+
-
+
Ð
=
= -
Ð
=
-
-
-
×
，
整理得
3
a
c
=
，所以离心率为1
3 .
二、多选题
33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线
2
2
:
1
4
9
x
y
C
-
= 的左､右焦点分别为
1
2
F F
､
，过
1F 且斜率为k 的直线l
与C 的右支交于点P ，则（    ）
A．C 的离心率为13
3
B．
3
3
2
2
k
-
<
<
C．
1
2
PF PF
×
uuur uuuur
的最小值为-9
D．若以实轴为直径的圆与l 相切，则
1
2
3
cos
5
F PF
Ð
=
【答案】BCD
【分析】对于A 选项，通过离心率的定义求解即可；对于B 选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直
线与双曲线交于右支求解即可；对于C 选项，设

,
P x y ，分别表达出
1
PF
uuur
，
2
PF
uuuur
，再由P 在双曲线上求解
即可；对于D 选项，直线l 与圆相切，由点到直线的距离公式，求解k ，再由直线与双曲线联立，由余弦定
理求解即可.
【详解】对于A 选项，由双曲线方程为
2
2
1
4
9
x
y
-
= ，可得
2
4
a =
，
2
9
b =
，所以
2
2
2
13
c
a
b
=
+
=
，所以
2
a =
，
13
c =
，所以离心率为
13
2
c
e
a
=
=
，故A 错误；
对于B 选项，


1
13,0
F -
，设直线l ：


13
y
k x
=
+
，直线l 与双曲线联立可得，




2
2
2
2
9
4
8 13
4 13
9
0
k
x
k x
k
-
-
-
+
=
，








2
2
2
2
2
Δ
8 13
4
9
4
4 13
9
1296
1
0
k
k
k
k
=
- ×
-
-
+
=
+
>
，


2
1
2
2
4 13
9
9
4
k
x x
k
+
= -
-
，
1
2
2
2
8 13
9
4
x
k
x
k
=
-
+
，
2
9
4
0
k
-
¹
，因为直线l 与双曲线右支交于一点，
所以
2
9
4
0
k
-
>
，解得
3
3
2
2
k
-
<
<
，故B 正确；
对于C 选项，设

,
P x y ，


1
13
,
PF
x
y
= -
-
-
uuur
，


2
13
,
PF
x
y
=
-
-
uuuur
，所以
2
2
1
2
13
PF PF
x
y
uuur uuuur
×
=
+
-
，
由P 在双曲线上可得
2
2
9
9
4
x
y =
- ，代入可得
2
1
2
13
22
4
x
PF PF
uuur uuuur
×
=
-
，
2
x ³
，
当
2
x =
时，取得最小值，可得
1
2
9
PF PF
uuur uuuur
×
=- ，故C 正确；
对于D 选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点


0,0
O
，半径r
a
2
=
=
，直线l 与圆相切，
由点到直线的距离公式，


2
2
2
2
13
4
2
2
13
4
1
9
3
1
k
k
k
k
k
k
=
Þ
=
+
Þ
=
Þ
= ±
+
，联立求解P 坐标，
将


2
13
3
y
x
=
+
代入双曲线方程，可得
2
65
32 13
532
0
x
x
-
-
=
，解得
14 13
13
x =
，
18 13
13
y =
，
所以
1
2
2
2 13
F F
c
=
=
，
2
2
1
14 13
18 13
13
9
13
13
PF
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
2
14 13
18 13
13
5
13
13
PF
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
cos
2
5
PF
PF
F F
F PF
PF PF
+
-
Ð
=
=
，故D 正确.
34．（25-26 高二上·广东江门·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
1
12
x
y
a -
= （
0
a >
）的左右两个焦点分别是
1F ，
2
F ，
焦距为8，则（   ）
A．
4
a =
B．双曲线C 的离心率为2
C．双曲线C 的渐近线方程为
3
0
x
y
±
=
D．若M 是双曲线C 上一点，且
1
5
MF =
，则
1
2
F MF
△
的周长为22 或14
【答案】BC
【分析】先根据题意，求出, ,
a b c 的值，再由选项内容逐一判断A，B，C 项；对于D，需要按照点M 在双
曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.
【详解】对于A，因双曲线的焦距为2
8
c =
，即得
4
c =
，由C ：
2
2
2
1
12
x
y
a -
= （
0
a >
）可得
2
12
b =
，
则
2
2
16 12
2
a
c
b
=
-
=
-
=
，故A 错误；
对于B，由上分析，
4
2
2
c
e
a
=
=
=
，故B 正确；
对于C，由上分析可得，
2
2
1
4
12
x
y
-
= ，则该双曲线的渐近线方程为
0
2
2 3
x
y
±
=
，即
3
0
x
y
±
=
，故C 正确；
对于D，若点M 在双曲线的左支上，由
2
1
4
MF
MF
-
=
可得
2
1
4
9
MF
MF
=
+
=
，
此时，
1
2
F MF
△
的周长为
2
1
1
2
5
9
8
22
MF
MF
F F
+
+
=
+
+
=
；
若点M 在双曲线的右支上，因
1
6
MF
c
a
³
+
=
，这与已知
1
5
MF =
不符，故D 错误.
故选：BC.
35．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= ，
1F ，
2
F 分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P
是椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（   ）
A．
1
2
F PF
V
的周长是2 2
2
+
B．
1
2
π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积是
3
C．
1
2
PF
PF
×
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则ABO
V
面积的最小值为2
【答案】ACD
【分析】对于A，先得到
2,
1,
1
a
b
c
=
=
= ，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得
1
2
4
3
PF PF =
，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设

0
0
,
P x
y
，易得切线方
程为
0
0
1
2
x x
y y
+
= ，进而得到
0
0
2
1
,0 ,
0,
A
B
x
y
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，由
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= 结合基本不等式可得
0
0
2
2
x
y £
，进而求解
判断即可.
【详解】对于A，由椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= 知椭圆焦点在x 轴上，且
2,
1,
1
a
b
c
=
=
= ，
则
1
2
F PF
V
的周长是
1
2
1
2
2
2
2 2
2
PF
PF
F F
a
c
+
+
=
+
=
+
，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义得
1
2
2
2 2
PF
PF
a
+
=
=
，
1
2
2
2
F F
c
=
=
，
由余弦定理得，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
PF
PF
PF PF
F PF
F F
+
-
×
Ð
=
，
则

2
1
2
1
2
3
4
PF
PF
PF PF
+
-
=
，即
1
2
8
3
4
PF PF
-
=
，则
1
2
4
3
PF PF =
，
所以
1
2
F PF
V
的面积为
1
2
1
2
1
1
4
3
3
sin
2
2
3
2
3
PF PF
F PF
×
Ð
=
´
´
=
，故B 错误；
对于C，由
1
2
2 2
PF
PF
+
=
，则
2
1
2
1
2
2
2
PF
PF
PF
PF
æ
ö
+
×
£
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
2
2
PF
PF
=
=
时等号成立，故C 正确；
对于D，先证明：椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的一点

0
0
,
x
y
处的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
×
×
+
= .
联立
2
2
2
2
0
0
2
2
1
1
x
y
a
b
x x
y y
a
b
ì
+
=
ïïí ×
×
ï
+
=
ïî
，得
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
0
0
0
0
(
)
2
0
a y
b x
x
a b x x
b a
a y
+
-
+
-
= ，
Q点

0
0
,
x
y
在椭圆上，
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b x
a y
a b
a
b
\
+
=
>
>
Þ
+
=
，
\
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
a b x
a b xx
a b x
-
+
=
，即
2
2
2
2
0
0
(
2
)
0
a b
x
xx
x
-
+
= ，
\
2
2
2
0
(
)
0
a b
x
x
-
=
， 得
0
x
x
=
，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上的一点

0
0
,
x
y
处的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
×
×
+
= .
设

0
0
,
P x
y
，由题意知
2
2
:
1
2
x
C
y
+
= 的切线斜率存在，则切线方程为
0
0
1
2
x x
y y
+
= ，
令
0
x =
，得
0
1
y
y
=
，令
0
y =
，得
0
2
x
x
=
，即
0
0
2
1
,0 ,
0,
A
B
x
y
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= ，则
2
0
2
0
0
0
1
2
2
2
x
x
y
y
=
+
³
×
×
，
即
0
0
2
2
x
y £
，当且仅当
0
0
2
2
2
x
y
=
=
时等号成立，
则ABO
V
面积为
0
0
0
0
1
2
1
1
2
2
x
y
x
y
×
×
=
³
，
即ABO
V
的面积的最小值为2 ，故D 正确.
36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点为F，点


0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，若
|
| 9
MF =
，O 为坐标原点，则（    ）
A．
0
3 3
x =
B．
0
6 2
y = ±
C．|
| 6 3
OM =
D．点F 到直线OM 的距离为2 2
【答案】BC
【详解】抛物线
2
:
12
C y
x
=
的焦点


3,0
F
，准线
3
x = - ，
对于A，由抛物线的定义，得
0
|
|
3
9
MF
x
=
+
=
，则
0
6
x =
，A 错误；
对于B，由点


0
0
,
M x
y
在抛物线C 上，得
2
0
12 6
72
y =
´
=
，则
0
6 2
y = ±
，B 正确；
对于C，
2
2
0
0
|
|
36
72
6 3
OM
x
y
=
+
=
+
=
，C 正确；
对于D，设点F 到直线OM 的距离为d，则
0
1
1
·
·
2
2
OFM
S
OM d
OF y
=
=
V
，
6
d =
，D 错误.
37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线C ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
1F
的直线与C 的左支相交于
,
P Q 两点，
2
PQ
PF
^
，
2
4 |
| 3|
|
PQ
PF
=
，则（    ）
A．
2
PQ
a
=
B．
1
1
2
PF
QF
= -
uuur
uuur
C．C 的离心率为
17
3
D．直线PQ的斜率为4
【答案】AC
【分析】设
1
1
,
,
PF
x QF
y
=
=
结合双曲线的定义与勾股定理即可得,x y 的值，从而进行判断.
【详解】
如图，由
2
4 |
| 3|
|
PQ
PF
=
，可设
2
|
| 3 ,
4
PQ
m PF
m
=
=
.因为
2
PQ
PF
^
，所以
2
5
QF
m
=
.
对于A、B：设
1
1
,
,
PF
x QF
y
=
=
则
4
2
5
2
3
m
x
a
m
y
a
x
y
m
-
=
ì
ï
-
=
í
ï +
=
î
，解得
2
3
2
3
4
3
a
m
a
x
a
y
ì
=
ï
ïï =
í
ï
ï
=
ïî
，所以
1
1
3
2 ,
2
PQ
m
a QF
F P
=
=
=
uuur
uuur
，故A 正
确，B 错误；
对于C：在
1
2
PF F
V
中，由
2
2
2
1
2
1
2
PF
PF
F F
+
=
，得
2
2
2
4
64
4
9
9
a
a
c
+
=
，则
2
2
17
9
c
a =
，从而双曲线C 的离心率
为
17
3
，故C 正确；
对于D：因为
2
1
2
1
2
4
4
3
tan
4
2
3
a
PF
m
PF F
a
PF
x
´
Ð
=
=
=
=
，所以直线PQ的斜率为4
± ，故D 错误.
38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线C ：
2
4
y
x
=
的焦点为F ，直线l ：
1
x = - 与x 轴交于点H ，M 是抛
物线C 上的动点，以M 为圆心的圆M 经过点F ，O 为坐标原点，则（   ）
A．圆M 与直线l 相切
B．圆M 的面积的最小值是4π
C．
MH
MF 的最大值是2
D．存在点M ，使得
2 3
3
OM
MF =
【答案】ACD
【分析】对AB 直接用抛物线的定义判断可得，对CD 用抛物线的定义及距离公式即可得.
【详解】如图：过M 点作MN
l
^ 于N 点，设


0
0
,
M x
y
，则
2
0
0
4
y
x
=
，
0
0
x ³
.
对于A，由抛物线的定义可知，圆心M 到直线l 的距离等于半径MF ，
所以圆M 与直线l 相切，A 正确；
对于B，因为圆M 经过点F ，所以圆的半径
0
1 1
r
MF
MN
x
=
=
=
+ ³ ，
所以圆M 的面积的最小值是π ，B 错误；
对于C，因为


1,0
H -
，所以






2
2
2
0
0
0
0
1
0
1
4
MH
x
y
x
x
=
+
+
-
=
+
+
，
所以


0
0
0
1
4
1
x
x
MH
MF
x
+
+
=
+


2
0
0
2
0
6
1
1
x
x
x
+
+
=
+






2
0
0
2
0
1
4
1
4
1
x
x
x
+
+
+
-
=
+
，
令


0
1
1
t
x
t
=
+
³
，则
2
2
4
4
MH
t
t
MF
t
+
-
=
2
1
1
4
4
1
t
t
æ ö
æ ö
=
-
+
+
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
2
1
1
4
2
2
2
t
æ
ö
=
-
-
+
£
ç
÷
è
ø
，
当且仅当1
1 ,
2
2 t
t =
=
，即
0
1
x = 时等号成立，所以C 正确；
对于D，
2
2
2
0
0
0
0
4
OM
x
y
x
x
=
+
=
+
，
2
0
0
0
4
2 3
1
3
OM
x
x
MF
x
+
=
=
+
，
化简得



2
2
0
0
0
3
4
4
1
x
x
x
+
=
+
，得

2
0
2
0
x -
=
，即
0
2
x
=
，再代入
2
4
y
x
=
得
0
2 2
y = ±
，所以存在


2,2 2
M
或


2, 2 2
M
-
使得
2 3
3
OM
MF =
成立，D 正确.
39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：
2
4
y
x
=
的焦点为F，点
(1,3)
A
，P 为C 上的动点，则（   ）
A．满足PA
PF
=
的点P 恰有两个
B．PA
PF
+
的最小值为3
C．PA
PF
-
的最小值为2
-
D．PA
PF
-
的最大值为3
【答案】BCD
【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可.
【详解】因为
2
4
y
x
=
，所以焦点为


1,0
F
，
因为PA
PF
=
，所以点P 位于线段AF 的垂直平分线上，其直线方程为
3
2
y =
，
与抛物线C 仅有一个交点，故A 错误；
如图1，点A 在抛物线C 外，故PA
PF
+
的最小值为
3
AF = ，故B 正确；
如图2，过A 作x 轴的平行线，与准线交于点B ，与抛物线交于点P ，
根据抛物线定义PB
PF
=
，此时PA
PF
-
有最小值
2
AB
-
= - ，故C 正确；
因为
3
PA
PF
AF
-
£
=
，当且仅当
,
,
A F P三点共线且F 在PA 之间时取等号，故D 正确．
40．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线
2
:
8
E y
x
=
的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与E 交于
A，B 两点，2l 与E 交于C，D 两点（点A，C 在x 轴上方），M，N 分别是弦AB 和CD 的中点，则（   ）
A．设点
(3,1)
P
，则PFA
V
的周长最小值为5
2
+
B．2 |
|
|
|
AF
BF
+
的最小值为3
4 2
+
C．MN 的最小值为8
D．AFC
V
和
BFD
△
的面积之和的最小值为32
【答案】ACD
【分析】对选项A：结合抛物线的定义，PFA
V
的周长为|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
PF
PA
AF
PA
AG
+
+
+
+
=
，要找周长
最小值，需找到点A 使得|
|
|
|
PA
AG
+
最小，利用三点共线时距离最短的思路分析即可；对于B：设直线1l
的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用焦半径公式可得2 |
|
|
|
AF
BF
+
的表达式，再利用基
本不等式分析最小值；对选项C：表示出
,
M N 的坐标，再利用两点间距离公式表示出MN ，最后利用基本
不等式求最值的方法分析最小值；对选项D：利用三角形面积公式表示出AFC
V
和
BFD
△
的面积之和，结
合焦半径公式或联立方程后的弦长公式，将面积和转化为关于k 的表达式，再利用基本不等式求最小值.
【详解】对于A，
2
:
8
E y
x
=
，


2,0
F
，准线方程为
2
x = - ，点
(3,1)
P
，
PFA
V
的周长为|
|
|
|
|
|
PF
PA
AF
+
+
，其中




2
2
3
2
1 0
2
PF =
-
+
-
=
，
过点
,
P A作垂直于准线的直线，垂足为
,
E G ，由抛物线定义知AF
AG
=
，
则PFA
V
周长为|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
PF
PA
AF
PA
AG
+
+
+
+
=
,
当|
|
|
|
PA
AG
+
最小时，周长最小，
所以当
, ,
P A G 在一条直线上时，|
|
|
|
PA
AG
+
最小，最小长度为


3
2
5
PE =
- -
=
，
所以周长最小值为
2
2
5
PE
+
=
+ ，故A 正确；
对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线1l 的方程为


2
y
k x
=
-
，
联立


2
8
2
y
x
y
k x
ì
=
ïí
=
-
ïî
，即


2
2
2
2
4
8
4
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
，设



1
1
2
2
1
2
,
,
,
,
0,
0
A x y
B x
y
x
x
>
>
，
则
1
2
2
8
4
x
x
k
+
=
+
，
1
2
4
x
x
×
=
，
则


1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
6
2 2
6
6
4 2
AF
BF
x
x
x
x
x
x
+
=
+
+
+
=
+
+
³
×
+
=
+
，
当且仅当
1
2
2,
2 2
x
x
=
=
时等号成立，故B 错误；
对于C，直线2l 的斜率为
1
k
-
，2l 的方程为


1
2
y
x
k
= -
-
，
以
1
k
-
代换


2
2
2
2
4
8
4
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
中的k，
得


2
2
4
8
4
0
x
k
x
-
+
+
=
，
设




3
3
4
4
,
,
,
C x
y
D x
y
，得
2
3
4
4 8
x
x
k
+
= +
，
3
4
4
x
x
×
=
，
M 、N 分别是弦AB 和弦CD 的中点，所以
2
4
4
2
,
M
k
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø，


2
2
4
, 4
N
k
k
+
-
，
2
2
2
2
4
2
2
4
2
4
4
1
1
2
2
4
4
16
MN
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
-
+
+
=
´
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
而
4
4
4
4
1
1
2
2
k
k
k
k
+
³
×
=
，
2
2
2
2
1
1
2
2
k
k
k
k
+
³
×
=
，
则
2
64
MN
³
，即
8
MN ³
，MN 的最小值为8，当且仅当
1
k = ± 时等号成立，故C 正确；
对于D，由抛物线定义得，
1
2
FA
x
=
+
，
3
2
FC
x
=
+
，
2
2
FB
x
=
+
，
4
2
FD
x
=
+
，
AFC
V
和
BFD
△
面积之和为





1
3
2
4
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
S
FA
FC
FB
FD
x
x
x
x
é
ù
=
×
+
×
=
+
+
+
+
+
ë
û


1
3
2
4
1
2
3
4
1
2
4
2 x x
x x
x
x
x
x
é
ù
=
+
+
+
+
+
+
ë
û
2
2
1
3
2
4
2
2
1
16
1
16
8
8 16
4
24
2
16
4
32
2
2
x x
x x
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
=
+
+ +
+ +
+
³
+
×
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
当且仅当
1
k = ± ，等号成立，所以AFC
V
和
BFD
△
面积之和的最小值为32，故D 正确.
41．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线
所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E 称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交
点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为
2
4
y
x
=
，过点
(1,0)
F
作直线l 与曲线E 在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且
3
QF
FP
=
uuur
uuur
，则（   ）
A．开口向下的抛物线的焦点坐标为
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．曲线E 上两点间距离的最大值为8 2
C．点(3,3) 不在曲线E 的内部
D．直线l 的斜率为
3
【答案】BD
【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，
对于选项B，求点
, ,
,
A B C D 的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点
所需满足的条件，再检验点(3,3) 是否满足要求即可，对于选项D，设直线:
1
l x
my
=
+ ，
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
，
联立方程结合根与系数关系求结论即可.
【详解】已知开口向右的抛物线为
2
4
y
x
=
，焦点为(1,0) ，
根据对称性可设开口向左的抛物线方程为
2
2
y
px
= -
，其焦点坐标为
,0
2
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
开口向上的抛物线方程为
2
2
x
qy
=
，其焦点坐标为0, 2
q
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
开口向下的抛物线方程为
2
2
x
qy
= -
，其焦点坐标为0,
2
q
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，
由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得
2
p
q
=
=
，
因此四条抛物线分别为：
2
4
y
x
= ±
，
2
4
x
y
= ±
，
对于选项A，开口向下的抛物线为
2
4
x
y
= -
，焦点坐标为(0, 1)
-
，不是
1
(0,
)
2
-
，A 错误，
对于选项B，联立
2
2
4
4
y
x
x
y
ì
= -
í
=
î
，可得
4
4
x
y
= -
ì
í
=
î
，故点A 的坐标为

4,4
-
，
同理可得






4,4 ,
4, 4 ,
4, 4
B
C
D
-
-
-
，
 距离最大的两个点为
( 4,4)
A -
和
(4, 4)
C
-
（或
(4,4)
B
和
( 4, 4)
D -
-
），
最大距离为： 
2
2
|
|
(4
( 4))
( 4
4)
8 2
AC =
- -
+ - -
=
，选项B 正确，
对于选项C，曲线E 的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系
2
4
y
x
£
且
2
4
x
y
£
，
代入(3,3) ： 
2
9
12
4 3
y =
<
=
´ ，
2
9
12
4 3
x =
<
=
´ ，因此(3,3) 在曲线E 内部，选项C 错误，
对于选项D，设直线:
1
l x
my
=
+ ，
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
，Q 在最上方，P 在最下方，故
2
1
0
y
y
>
>
，
由
3
QF
FP
=
uuur
uuur
得：
2
2
1
1
(1
,
)
3(
1,
)
x
y
x
y
-
-
=
-
，即
2
1
3
y
y
= -
，
联立
2
4
1
y
x
x
my
ì
=
í =
+
î
，可得
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，由韦达定理： 
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m
y y
+
=
= - ，
代入
2
1
3
y
y
= -
得：
1
2
4
y
m
-
=
，
2
1
3
4
y
-
= - ，解得
2
1
3
m =
，
由
2
6
0
y
m
=
>
得
1
3
m =
，斜率
1
3
k
m
=
=
，选项D 正确.
42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 是椭圆C
上一点，则下列说法正确的是（    ）
A．若
1
1
5
PF
£
£
，则椭圆C 的离心率为2
3
B．若
2
b =
，
1
2
0
F P F P
×
=
uuur uuur
，则
1
2
PFF
V
的面积为2
C．若
5
a =
，
3
b =
，
1
2
60
F PF
Ð
=
°，则
1
2
PFF
V
内切圆的半径为
3
3
D．若
1
2
15
PF F
Ð
=
°，
2
1
105
PF F
Ð
=
°，则椭圆C 的离心率为
2
2
【答案】ACD
【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求,a c 的值，判断A 的真假；利用焦点三角形的面积
公式
2
1
2
tan
2
F PF
S
b
Ð
=
求
1
2
PFF
V
的面积，可判断B 的真假；结合三角形内切圆的半径
2
=
+
+
S
r
a
b
c （a
b
c
+
+
表示三角形周长）及椭圆的定义，可求
1
2
PFF
V
内切圆的半径，判断C 的真假；利用正弦定理，结合比例的
性质和椭圆的定义，可判断D 的真假.
【详解】对A：因为
1
1
5
PF
£
£
，所以
1
5
a
c
a
c
-
=
ì
í +
=
î
Þ
3
2
a
c
=
ì
í =
î
，此时椭圆C 的离心率为
2
3
c
e
a
=
=
，故A 正确；
对B：因为
1
2
0
F P F P
×
=
uuur uuur
，所以
1
2
PF
FP
^
，即
1
2
π
2
F PF
Ð
=
，所以
1 2
2
2
1
2
π
tan
2
tan
4
2
4
PF F
F PF
S
b
Ð
=
=
´
=
V
，故B
错误；
对C：因为
1
2
2
1
2
tan
9 tan30
3 3
2
F PF
F PF
S
b
Ð
=
= ´
° =
V
，
由
5
a =
，
3
b =
，所以
2
2
4
c
a
b
=
-
=
，设
1
2
PFF
V
内切圆半径为r ，则
2
6 3
3
2
2
10
8
3
S
r
a
c
=
=
=
+
+
，故C 正确；
对D：如图：
由
1
2
15
PF F
Ð
=
°，
2
1
105
PF F
Ð
=
°，可得
1
2
60
F PF
Ð
=
°.
由正弦定理：
1
2
1
2
sin105
sin15
sin 60
PF
PF
F F
=
=
°
°
° ，
所以
1
2
1
2
sin105
sin15
sin 60
PF
PF
F F
+
=
°+
°
° ，即
2
2
sin105
sin15
sin 60
a
c
=
°+
°
° ，
所以
sin 60
sin105
sin15
c
e
a
°
=
=
°+
°
3
2
6
2
6
2
4
4
=
+
-
+
3
2
2
6
=
=
.故D 正确.
43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线

2
2
2
2
1
0,
0)
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
可由以坐标原点为中心的曲线


0
n
y
mx
mn
x
=
+
¹
绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
绕原点旋转一定角度可得到双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，其左右焦点分别为
1F 和
2
F ，点P 为曲线C 上一点，则下列说法正确的是（   ）
A．直线
3
3
y
x
=
是曲线E 的一条渐近线
B．双曲线C 的离心率为2
C．若


2
4
y
x
m
=
+
与双曲线C 有四个交点，则
13
12
m > -
D．以
1
PF 为直径的圆与圆
2
2
1
x
y
+
= 相切
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据性质得到曲线E 的渐近线；B 选项，求出曲线E 如何旋转得到双曲线，从而得到双
曲线方程，求出离心率；C 选项，举出反例；D 选项，根据圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系得到D
正确.
【详解】A 选项，
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
中，当x 趋向于+¥ 或-¥ 时，曲线趋向于
3
3
y
x
=
，
当x 从左边趋向于0 时，y 趋向于+¥ ，x 从右边趋向于0 时，y 趋向于-¥ ，
由双刀函数性质可知曲线
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
的渐近线分别为
0
x =
和
3
3
y
x
=
，A 正确；
B 选项，两条渐近线夹角为π
3 ，结合图象可知曲线E 的对称轴为
3
y
x
=
和
3
3
y
x
= -
（如图），
故将
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
绕原点逆时针旋转π
6 得到
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
故
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的两渐近线方程分别为
3
y
x
= ±
，
联立
3
3
y
x
= -
与
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
得
3
2
x = ±
，
当
3
2
x =
时，
1
2
y = -
，当
3
2
x = -
时，
1
2
y =
，
故曲线
3
3
:
3
2
E y
x
x
=
-
的两个顶点为
3
1
,
2
2
Aæ
-
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3 1
,
2
2
Bæ-
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
故
2
2
1
3
1
2
2
OA
-
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
易得
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
中
1
a = ，
由渐近线方程为
3
y
x
= ±
得
3
b
a =
，故
3
b =
，
2
2
2
c
a
b
=
+
=
，
故离心率为
2
c
a =
，B 正确；
C 选项，由B 可知，双曲线方程为
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，
当
1
m = 时，联立
2
2
:
1
3
y
C x -
= 与


2
4
1
y
x
=
+
得
2
3
4
7
0
x
x
-
-
=
，
解得
1
2
7
1,
3
x
x
= -
=
，
当
1
1
x = - 时，
1
0
y =
，交点坐标为

1,0
-
，当
2
7
3
x =
时，
2 30
3
y = ±
，
交点坐标为7
7
,
,
,
3
3
2 30
2 30
3
3
æ
ö æ
ö
-
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，共3 个交点，不合要求，C 错误；
D 选项，


1
2,0
F -
，设


,
P m n ，故
2
2
1
3
n
m -
= ，
以
1
PF 为直径的圆方程为




2
0
x
x
m
y y
n
+
-
+
-
=
，
即


2
2
2
2
0
x
m x
m
y
ny
+
-
-
+
-
=
，
与圆
2
2
1
x
y
+
= 联立可得

2
2
1
0
m x
ny
m
-
-
-
+ =
，此为两圆的交点弦方程或公切线方程，
圆
2
2
1
x
y
+
= 的圆心

0,0 到直线

2
2
1
0
m x
ny
m
-
-
-
+ =
的距离

2
2
1 2
2
m
m
n
-
-
+
2
2
2
1 2
1 2
1 2
1
1 2
4
4
3
3
4
4
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
-
-
-
=
=
=
=
-
-
+
+
-
-
+
，
以
1
PF 为直径的圆与圆
2
2
1
x
y
+
= 相切，D 正确
44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：
2
2
2
2
sin
cos
x
y
x
y
+
=
+
，

0
0
,
P x
y
为曲线E 上的动点，则下列结
论正确的是（    ）
A．曲线E 关于直线y
x
=
对称
B．点P 不可能在直线
π
y
x
=
+
上
C．曲线E 与圆
2
2
1
x
y
+
= 有4 个公共点
D．记曲线E 所围成的区域的面积为S，则π
2π
2
S
<
<
【答案】BCD
【分析】首先将,x y 互换，判断两个方程是否相等，判断A，直线方程与曲线方程联立，判断是否有实根，
判断B，两个曲线方程联立，判断C，首先判断曲线的范围，判断D.
【详解】将曲线E 的方程中x，y 互换得
2
2
2
2
sin
cos
x
y
y
x
+
=
+
，与原方程不同，
所以曲线E 不关于直线y
x
=
对称，A 错误；
将
π
y
x
=
+
代入曲线E 的方程得
2
2
2
2π
π
1
0
x
x
+
+
- =
，
因为
2
4π
4 2
D =
- ´ ´ 

2
2
π
1
8
4π
0
-
=
-
<
，所以方程无实数解，
所以曲线E 与直线
π
y
x
=
+
无公共点，故点P 不可能在直线
π
y
x
=
+
上，B 正确；
由
2
2
2
2
sin
cos
x
y
x
y
+
=
+
得
2
2
2
2
sin
sin
1
x
x
y
y
-
+
+
= ，因为
2
2
sin
0
y
y
+
≥
，
所以
2
2
sin
1
x
x
-
≤，设

2
2
sin
1
m x
x
x
=
-
- （a
x
a
- £
£
，
0
a >
），

2
sin 2
m' x
x
x
=
-
，设
2
p x
x
=
- sin 2x ，则

2
2cos2
0
p' x
x
=
-
≥，

'
m
x 单调递增，由

' 0
0
m
=
，得

m x 在

,0
a
-
上单调递减，在

0,a 上单调递增，
又

0
1
0
m
= - <
，
2
π
π
π
7
0
3
3
9
4
m
m
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
π
π
π
2
0
2
2
4
m
m
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故π
π
3
2
a
<
<
，同理可得b
y
b
- £
£
，π
π
6
4
b
<
<
，
将
2
2
1
x
y
+
= 代入曲线E 的方程得
2
2
sin
cos
1
x
y
+
= ，即


2
2
sin
1 sin
1
x
y
+
-
= ，
即
=
2
2
si n
si n
x
y ，因为
1,
1,
x
y
£
£
所以sin
sin
x
y
=
或sin
sin
x
y
= -
，
故x
y
=
或x
y
= -
，当
0
x
y
=
>
时，得
2
2
x
y
=
=
，当x
y
= -
时，得
2
2
x
y
= -
=
或
2
2
x
y
= -
= -
，
所以曲线E 与圆
2
2
x
y
+
=1有4 个公共点
2
2
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
,
2
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，C 正确；
2
2
2
0
0
OP
x
y
=
+
=
2
2
0
0
sin
cos
x
y
+
，因为
0
a
x
a
- <
<
，且π
π
3
2
a
<
<
，
所以
2
0
0
sin
1
x <
≤
，又
0
b
y
b
- £
£
，π
π
6
4
b
<
<
，所以
2
0
1
cos
1
2
y
<
≤，
故
2
1
2
2
OP
<
<
，可得曲线E 在圆
2
2
1
2
x
y
+
=
和
2
2
2
x
y
+
=
之间，
所以π
2π
2
S
<
<
，D 正确.
故选：BCD.
45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的短轴长为2 3 ，左、右焦点分别
为
1F ，
2
F ，P 为E 上一动点，且
1
2
PF
PF
×
的最大值为4，则下列说法正确的有（   ）
A．E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
=
B．若过点
1F 且垂直于x 轴的直线交E 于A ，B 两点，则
3
2
AB =
C．若M ，N 是E 上两点，且MN 的中点为


1,1
Q
，则直线MN 的方程为3
4
7
0
x
y
+
-
=
D．若过点
1F 且互相垂直的两条直线与E 分别交于点C ，G 和点D ，H ，则
1
1
7
12
CG
DH
+
=
【答案】ACD
【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得
2
1
2
PF PF
a
£
，得出a 的值，求得椭圆的方程，可判定A 正确；
求得直线方程为
1
x = - ，联立方程组，求得AB 的长，可判定B 错误；利用“点差法”求得MN 的斜率，得出
MN 的方程，可判定C 正确；利用弦长公式，分别求得
,
CG
DH 的长，可判定D 正确.
【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得
1
2
2
PF
PF
a
+
=
，
由基本不等式，可得
1
2
2
2
2
1
2
2
(
)
(
)
2
2
PF
PF
a
PF PF
a
+
£
=
=
，所以
2
4
a =
，即
2
a =
因为椭圆E 的短轴长为2 3 ，可得2
2 3
b =
，所以
3
b =
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，所以A 正确；
对于B，由
2
a =
，
3
b =
，可得
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，则
1( 1,0)
F -
，
所以过
1F 且垂直于x 轴的直线方程为
1
x = - ，
将
1
x = - 代入椭圆的方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，可得
2
9
4
y =
，解得
3
2
y = ±
，
所以
3
2
3
2
AB =
´
=
，所以B 错误；
对于C，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，因为
,
M N 在椭圆E 上，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减得：
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
4
3
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
-
+
=
，
因为MN 的中点为


1,1
Q
，可得
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=
+
=
，
所以
1
2
1
2
2 (
)
2 (
)
0
4
3
x
x
y
y
×
-
×
-
+
=
，可得
1
2
1
2
3
4
y
y
x
x
-
= -
-
，所以MN 的斜率为
3
4
k = -
，
所以直线MN 的方程为
3
1
(
1)
4
y
x
- = -
-
，即3
4
7
0
x
y
+
-
=
，所以C 正确；
对于D，当一条直线的斜率为0 时，则另一条直线的斜率不存在，
不妨设直线CG 的斜率为0，则
2
4
CG
a
=
=
，
则直线DH 的方程为
1
x = - ，可得
3
DH =
，所以
1
1
1
1
7
4
3
12
CG
DH
+
=
+
=
；
当两条直线的斜率都存在，且不为0 时，
设直线CG 的方程为
(
1)
y
k x
=
+
，且
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
C x
y
G x
y
，
联立方程组
2
2
(
1)
1
4
3
y
k x
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，整理得
2
2
2
2
(3
4
)
8
4
12
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
可得
0
D >
且
2
2
3
4
3
4
2
2
8
4
12
,
3
4
3
4
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
则
2
2
2
2
2
2
3
4
3
4
2
2
8
4
12
1
(
)
4
1
(
)
4
3
4
3
4
k
k
CG
k
x
x
x x
k
k
k
-
=
+
×
+
-
=
+
×
-
- ´
+
+
2
2
2
2
2
144(1
)
12(1
)
1
3
4
3
4
k
k
k
k
k
+
+
=
+
×
=
+
+
，
因为直线DH 与CG 垂直，所以直线DH 的斜率为
1
k
-
，
同理可得：
2
2
2
2
1
12 [1 (
) ]
12(1
)
1
4
3
3
4(
)
k
k
DH
k
k
×
+ -
+
=
=
+
+
-
，
则
2
2
2
2
2
2
1
1
3
4
4
3
7(1
)
7
12(1
)
12(1
)
12(1
)
12
k
k
k
CG
DH
k
k
k
+
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
，
综上可得，
1
1
7
12
CG
DH
+
=
，所以D 正确.
46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线



:
1
0
l y
k x
k
=
-
>
与抛物线
2
:
4
C y
x
=
交于
,
A B 两点，F 为抛物线
的焦点，过点F 作l 的垂线交直线
1
x = - 于点D ，则（    ）
A．
0
OA OB
×
=
uuur uuur
B．
0
DA DB
×
=
uuur uuur
C．若
2
AF
BF
=
，则
2 2
k =
D．若
4 3
3
DF =
，则
3
k =
【答案】BCD
【分析】设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，联立方程组求得
2
1
2
1 2
2
2
4 ,
1
k
x
x
x x
k
+
+
=
= ，
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
y y
k
+
=
= - ，结合向量
的数量积的运算公式，可得判定A 错误，B 正确；由抛物线的定义和
2
=
AF
BF ，得到
1
2
2
1
x
x
=
+ ，代入
求得A 的坐标，结合斜率公式，可判定C 正确；求得 
2
4
4
DF
k
=
+
，列出方程，求得k 的值，可判定D
正确.
【详解】对于A，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，可得
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
OA
x y
OB
x
y
=
=
uuur
uuur
 
联立方程组


2
1
4
y
k x
y
x
ì
=
-
í
=
î
，整理得
2
2
2
2
(2
4)
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
，
可得
2
2
2
2
2
[ (2
4)]
4
16
16
0
k
k
k
k
D = -
+
-
×
=
+
>
，且
2
1
2
1 2
2
2
4 ,
1
k
x
x
x x
k
+
+
=
= ，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
4
(
1)
(
1)
(
)
4
k
y y
k x
k x
k x x
k
x
x
k
k
k
k
k
+
=
-
×
-
=
-
+
+
=
-
´
+
= - ，
所以
1
2
1
2
1 ( 4)
3
0
OA OB
x x
y y
×
=
+
= + -
= - ¹
uuur uuur
，所以A 错误；
对于B，由抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为
(1,0)
F
，直线l 的斜率为k ，
则过F 且垂直于l 的直线的斜率为
1
k
-
，其方程为
1 (
1)
y
x
k
= -
-
，
令
1
x = - ，可得
2
y
k
=
，所以
2
( 1,
)
D
k
-
，则
1
1
2
2
2
2
(
1,
),
(
1,
)
DA
x
y
OB
x
y
k
k
=
+
-
=
+
-
uuur
uuur
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
(
1)(
1)
(
)(
)
1
(
)
DA DB
x
x
y
y
x x
x
x
y y
y
y
k
k
k
k
×
=
+
+
+
-
-
=
+
+
+ +
-
+
+
uuur uuur
，
又由
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
4
(
1)
(
1)
(
)
2
2
k
y
y
k x
k x
k x
x
k
k
k
k
k
+
+
=
-
+
-
=
+
-
=
´
-
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4
2
4
4
1
1 4
2
0
k
k
DA OB
k
k
k
k
k
k
+
+
×
= +
+ -
-
´
+
=
-
-
=
uuur uuur
，所以B 正确；
对于C，由抛物线的定义，可得
1
2
1,
1
AF
x
BF
x
=
+
=
+ ，
因为
2
=
AF
BF ，可得
1
2
1
2(
1)
x
x
+ =
+
，即
1
2
2
1
x
x
=
+ ，
因为
1
2
1
x x = ，代入可得
2
2
(2
1)
1
x
x
+
×
= ，即
2
2
2
2
1
0
x
x
+
- =
，
解得
2
1
2
x =
或
2
1
x = - （舍去），则
1
2
x =
，
将
1
2
x =
代入抛物线的方程，可得
1
2 2
y =
或
1
2 2
y = -
（舍去），所以
(2,2 2)
A
，
此时直线l 的斜率为
2 2
0
2 2
2 1
AF
k
k
-
=
=
=
-
，所以C 正确；
对于D，由抛物线C 的焦点为
(1,0)
F
且
2
( 1,
)
D
k
-
，
可得
2
2
2
2
4
( 1 1)
(
0)
4
DF
k
k
=
- -
+
-
=
+
，
因为
4 3
3
DF =
，可得
2
3
4
4
4
3
k
+
=
，整理得
2
4
4
3
k
=
，解得
2
3
k =
，
又因为
0
k >
，所以
3
k =
，所以D 正确.
47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线C ：


2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
的上、下焦点分别为
1F 和
2
F ，下顶点
为A ，P 为第一象限内C 上的动点，当
1
2
2π
3
F PF
Ð
=
时，
1
2
F PF
V
的面积为
2
3a ，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线C 的离心率
2
e =
B．双曲线C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
C．
1
1
2
PF A
PAF
Ð
= Ð
D．
1
PF A
△
的内心

,
I m n 满足
2
2
2
3
3
n
m
a
-
=
【答案】ACD
【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在y 轴上，
渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到
结论.选项D，利用选项C 的逆命题，验证内心I 满足该命题的条件，即可得到等式.
【详解】对于A：由双曲线定义得 
2
1
2
PF
PF
a
-
=
，平方得 
2
2
1
2
1
2
2
2
4
PF
PF
a
PF
PF
+
-
=
，
在
1
2
F PF
V
 中由余弦定理得， 
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2π
|
|
|
|
|
|
2 |
||
| cos 3
F F
PF
PF
PF
PF
=
+
-
，
代入 
1
2
|
| 2
F F
c
=
，整理得 
2
1
2
2
4
4
3|
||
|
c
a
PF
PF
=
+
，即 
1
2
2
4
|
||
|
3
b
PF
PF =
，
1
2
F PF
V
的面积
1
2
2
2
1
2π
3
|
||
| sin
3
2
3
3
b
S
PF
PF
a
=
=
=
，
得 
2
2
3
b
a
=
，即
3
b
a
=
，
又因为
2
2
2
2
4
c
a
b
a
=
+
=
，所以
2
c
a
=
，则离心率 
2
2
c
a
e
a
a
=
=
=
，A 正确；
对于选项B：焦点在y 轴的双曲线渐近线为 
a
y
x
b
= ±
，代入 
3
b
a
=
，得 
3
3
y
x
= ±
，B 错误；
对于选项C：
1
(0,
),
(0,2 )
A
a F
a
-
，设 
0
0
(
,
)
P x
y
，满足 
2
2
0
0
2
2
1
3
y
x
a
a
-
= ，
设
1
PAF
Ð
a
=
，
0
0
tan
x
y
a
a =
+
，则 




0
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
2
2
tan 2
1
x
x
y
a
y
a
y
a
x
x
y
a
a
+
+
=
=
+
-
æ
ö
-ç
÷
+
è
ø
，
代入 
2
2
2
0
0
3(
)
x
y
a
=
-
，化简得 
0
0
tan 2
2
x
a
y
a =
-
。
设
1
PF A
Ð
b
=
，同理得 
0
0
tan
tan 2
2
x
a
y
b
a
=
=
-
，且 
π
(0,
),
(0,π)
2
a
b
Î
Î
，故 
2
b
a
=
，C 正确；
对于选项D：首先考虑选项C 的逆命题即若点Q 在第一象限且满足
1
1
2
QF A
QAF
Ð
= Ð
，则点Q 在双曲线
2
2
2
2
1
:
3
y
x
C a
a
-
= 上.
下面证明这个命题，设
0
0
(
,
)
Q x
y
，则






0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
2
0
1
0
0
0
0
2
2
2tan
tan
tan 2
2
1
tan
1
x
x
y
a
x
y
a
QAF
QF A
QAF
a
y
QAF
y
a
x
x
y
a
+
+
Ð
Ð
=
=
Ð
=
=
=
-
-
Ð
+
-
æ
ö
-ç
÷
+
è
ø
，
化简得
2
2
0
0
2
2
1
3
y
x
a
a
-
= ，所以点Q 在双曲线
2
2
2
2
1
:
3
y
x
C a
a
-
= 上，该命题成立.
又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以
1
1
1
1
1
2
2
IF A
PF A
PAF
IAF
Ð
=
Ð
= Ð
= Ð
，
根据上述命题，I 在双曲线上，所以
2
2
2
2
1
3
n
m
a
a
-
= ，所以
2
2
2
3
3
n
m
a
-
=
.
48．（2026·江西·一模）已知抛物线


2
2
0
C
y
px p
=
>
：
的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，过点K 的直
线与抛物线交于两点P
Q
，
，过P
Q
，
作l 的垂线，垂足分别为T
S
，，若点A 是抛物线上的一动点，且满足FA
的最小值为
1
2 ，则（   ）
A．
2y
x
=
B．
2
2
5
2
+
>
OP
OQ
C．
2
2
>
PF
PK
D．
2
=
PFQ
SFT
Ð
Ð
【答案】BCD
【分析】对于A，设点A 的坐标为

0
0
,
x
y
，根据焦半径公式利用
0x 表示FA ，求其最小值表达式，列方程
求p 即可判断，对于B，设直线PQ 的方程为
1
2
x
ty
=
-
，



1
1
2
2
,
,
P x y
Q x
y
，
，与抛物线方程联立，求
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
x
x x x
y
y
y y
+
+
，结合两点距离公式求
2
2
OP
OQ
+
的范围，即可判断，对于C，由条件结合抛物线
定义三角函数定义可得
sin
cos
PF
PT
TKP
PKF
PK
PK
=
=
Ð
=
Ð
，通过求
PKF
Ð
的范围可判断结论，对于D，先
证明
0
PF
QF
k
k
+
=
，再结合抛物线定义及平面几何性质证明结论或利用向量夹角公式求cos PFQ
Ð
，
cos SFT
Ð
，结合二倍角公式证明结论.
【详解】对于选项A：设点A 的坐标为

0
0
,
x
y
，则
2
0
0
2
y
px
=
，
0
0
x ³
，
0
2
p
FA
x
=
+
，
所以当
0
0
x =
，即点A 在原点时，FA 最小，
此时
1
2
2
p =
，
2
1,
2
p
y
x
=
=
，故A 错误；
不妨设
,
P Q 在x 轴上方，由已知准线l 的方程为
1
2
x = -
，点K 的坐标为
1 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
对于选项B：如图：设




1
1
2
2
1
,
,
,
:
2
PQ
P x y
Q x
y
l
x
ty
=
-
，
联立
2
2
1
2
y
x
x
ty
ì
=
ïí =
-
ïî
得：
2
2
1
0
y
ty
-
+ =
，
由已知方程
2
2
1
0
y
ty
-
+ =
的判别式
2
4
4
0
t
D =
-
>
，故
2
1
t > ，
由根与系数的关系可得
1
2
1
2
2 ,
1
y
y
t y y
+
=
=
且


2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1,
4
4
y y
x
x
t y
y
t
x x
+
=
+
- =
-
=
=
，
则




2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
5
2
2
4
2
2
OP
OQ
x
y
x
y
x
x
x x
y
y
y y
t
+
=
+
+
+
=
+
-
+
+
-
=
-
>
，故B 正确；
对于选项C：
sin
cos
PF
PT
TKP
PKF
PK
PK
=
=
Ð
=
Ð
，由选项B 可知，
若KP 与抛物线相切，则
1
t = ，即抛物线
2
2
y
x
=
过点K 的切线为直线
1
2
x
y
=
-
，切线的倾斜角为4
p ，
故
4
<
PKF
p
Ð
，从而
2
cos
cos 4
2
PF
PKF
PK
p
=
Ð
>
=
，故C 正确．
对于选项D：由
1
2
1
2
1
1
2
2
PF
QF
y
y
k
k
x
x
+
=
+
-
-
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
y
x
y
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
æ
öæ
ö
-
-
ç
÷ç
÷
è
øè
ø


1
2
1
2
1
2
2
0
1
1
2
2
ty y
y
y
x
x
-
+
=
=
æ
öæ
ö
-
-
ç
÷ç
÷
è
øè
ø
可知：直线
,
PF QF 关于直线
1
x = 对称，即
1
2
2
+
=
PFK
PFQ
p
Ð
Ð
因为
2
2
2
=
+
=
+
=
+
=
PFQ
PFS
SFQ
PFS
SFK
PFS
PFT
SFT
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
所以
2
=
PFQ
SFT
Ð
Ð
．
另解：
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
cos
1
1
1
2
2
x
x
y y
FP FQ
t
PFQ
t
t
FP FQ
x
x
æ
öæ
ö
-
-
+
ç
÷ç
÷
×
-
è
øè
ø
Ð
=
=
=
=
-
æ
öæ
ö
+
+
ç
÷ç
÷
è
øè
ø
uuur uuur
uuur uuur
，



1
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
1
y y
FS FT
SFT
t
FS FT
y
y
+
×
Ð
=
=
=
+
+
uuur uuur
uuur uuur
，
2
cos
2cos
1
PFQ
SFT
\
Ð
=
Ð
- ，
由二倍角公式知，
2
=
PFQ
SFT
Ð
Ð
．故D 正确；
49．（2026·广东佛山·二模）已知O 为坐标原点，双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在C 上，直线l 为
1
2
F PF
Ð
的内角平分线，过
2
F 作
2
F H
l
^ 于点H ，则（   ）
A．当
1
PF
x
^
轴时，点O 在直线l 上
B．当
1
PF
x
^
轴时，点H 在y 轴上
C．点H 在圆
2
2
2
x
y
a
+
=
上
D．直线l 与双曲线C 的公共点只有1 个
【答案】BCD
【分析】由双曲线的光学性质可知，点P 处的切线平分
1
2
F PF
Ð
，对A、B，写出直线l 方程代入求解即可；
对C，求出OH 是
1
2
F F Q
V
的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即
可
【详解】由双曲线的光学性质可知，点P 处的切线平分
1
2
F PF
Ð
，因此直线l 即为双曲线在点P 处的切线
对A，当
1
PF
x
^
轴时，不妨设P 点坐标为
2
, b
c a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
双曲线在P 点的切线（即角平分线l ）方程为：
2
0
cx
ay
a
+
+
=
，
将原点


0,0
O
代入方程得
2
2
0
0
0
a
a
+
+
=
¹
，因此O 点不在直线l 上，故A 错误
对B，求得l 的方程为
c
y
x
a
a
= -
-
，
2
F H
l
^ ，
2( ,0)
F c
，
2
F H 的方程为
a
y
x
a
c
=
-
，
联立得交点
(0,
)
H
a
-
，横坐标为0，故H 在y 轴上，B 正确
对C，延长
2
F H 交
1
PF 于Q ，因为l 是角平分线且
2
F H
l
^ ，
所以
2
PQF
V
是等腰三角形，
2
PQ
PF
=
，H 是
2
F Q 中点， 
又O 是
1
2
F F 中点，OH 是
1
2
F F Q
V
的中位线，
因此： 
1
1
1
2
1
1
1
1
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
2
2
OH
FQ
PF
PQ
PF
PF
a
a
=
=
-
=
-
=
×
=
 即|
|
OH
a
=
，
故H 在圆
2
2
2
x
y
a
+
=
上，C 正确
对D，因为直线 l 即为双曲线在点P 处的切线，所以直线l 与双曲线C 的公共点只有1 个，D 正确
三、填空题
50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆
2
2
1
1
x
y
m
m
+
=
+
（
0
m >
）的离心率为
5
5
，则m = ______．
【答案】4
【详解】显然
2
2
1,
a
m
b
m
=
+
=
，故
5
5
1
1
c
m
a
m
=
-
=
+
，解得
4
m =
.
51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆
2
2
2
1
4
x
y
b
+
= 的右焦点
2
F 的直线AB 交椭圆于A 、B 两点，
1F 是椭圆
的左焦点，则
1
AF B
△
的周长为______．
【答案】8
【分析】根据椭圆的定义计算即可求解.
【详解】由题意知，
2
a =
，
如图，
  
由椭圆的定义知，
1
2
1
2
2
4,
2
4
AF
AF
a
BF
BF
a
+
=
=
+
=
=
，
所以
1
AF B
△
的周长为
1
1
1
2
1
2
4
8
AF
AB
BF
AF
AF
BF
BF
a
+
+
=
+
+
+
=
=
.
故答案为：8
52．（2026·河北邯郸·一模）已知F 是抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点，A 是C 的准线与x 轴的交点，B 是C 上的
点，且AB
AF
=
，则BF =______．
【答案】2
2 3
- +
【分析】根据题意求出B 点的坐标，利用焦半径公式求解即可.
【详解】由题可知，




1,0 ,
1,0
F
A -
．
设

0
0
,
B x
y
，
由AB
AF
=
，则

2
0
0
2
2
0
0
4
,
1
4
y
x
x
y
ì
=
ïí
+
+
=
ïî
，
解得
0
3
2 3
x = - +
或
0
3
2 3
x = - -
（舍去），
则
0
2
2 3
2
p
BF
x
=
+
= - +
．
53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线
2
8
y
x
=
的焦点为F ，准线与x 轴交于点E ，A 为抛物线上一点，若
AFE
Ð
为锐角，17 sin
3sin
AEF
AFE
Ð
=
Ð
，则AE =________.
【答案】17
【分析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足为T ，根据抛物线的性质结合正弦定理可求sin
AEF
Ð
，求出
AEF
Ð
的正切值后得直线AE 的方程，联立直线方程和抛物线方程求出A 的坐标后可求AE .
【详解】由抛物线
2
8
y
x
=
可得准线方程为
2
x = - ，故


2,0
E -
，
由抛物线的对称性不妨设A 在第一象限.
过A 作抛物线准线的垂线，垂足为T ，则AT
AF
=
.
在
AEF
△
中，由正弦定理可得sin
sin
AE
AF
AFE
AEF
=
Ð
Ð
即
sin
17
sin
3
AE
AFE
AF
AEF
Ð
=
=
Ð
，
故
3
17
AT
AE =
，故
3
cos
17
EAT
Ð
=
，所以
3
cos
17
AEF
Ð
=
，
而
AEF
Ð
为锐角，故
2 2
tan
3
AEF
Ð
=
，所以


2 2
:
2
3
AE y
x
=
+
,
由


2
2 2
2
3
8
y
x
y
x
ì
=
+
ïí
ï
=
î
可得
1
2 2
x
y
=
ìïí
=
ïî
或者
4
4 2
x
y
=
ìïí
=
ïî
.
因为
AFE
Ð
为锐角，故

1,2 2
A
，故




2
2
1
2
2 2
0
17
AE =
+
+
-
=
.
54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x 轴的直线交抛物线
1
C ：
2
2
y
x
=
于点
1P ，交抛物线
2
C ：
2
8
y
x
=
于
点
2P ，记抛物线
1
C 和
2
C 的焦点分别为
1F 和
2
F ，若
1
1
2
2
PF
P F
=
，则四边形
1
2
1
2
F F PP 的面积为__________.
【答案】3
【分析】设平行于x 轴的直线方程为y
t
= ，然后求出
1
2
,
P P 的坐标，进而判断四边形
1
2
1
2
F F PP 的形状，进而
求出面积.
【详解】由题意可得，


1
2
1 ,0 ,
2,0
2
F
F
æ
ö
ç
÷
è
ø
，设平行于x 轴的直线方程为y
t
= .
则
2
2
1
2
,
,
,
2
8
t
t
P
t
P
t
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，因为
1
1
2
2
PF
P F
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
8
t
t
t
t
æ
ö
æ
ö
-
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，化简解得
2
t = ± .
根据对称性，不妨取


1
2
1
2,2 ,
,2
2
P
P æ
ö
ç
÷
è
ø ，所以四边形
1
2
1
2
F F PP 为矩形，
所以四边形
1
2
1
2
F F PP 的面积为
1
2
2
3
2
æ
ö
´
-
=
ç
÷
è
ø
.
55．（25-26 高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线
2
1 :
4
C
y
x
=
的焦点为
1F ，抛物线
2
2 :
16
C
y
x
=
的焦点为
2
F ，若直线
(
0)
y
m m
=
>
分别与
1
C ，
2
C 交于
,
P Q 两点，且
1
2
3
PF
QF
-
=
，则m = ________．
【答案】4 2
【分析】根据抛物线定义以及性质得出方程解出即可．
【详解】由题意如图所示：
由抛物线
2
1 :
4
C
y
x
=
，可得


1 1,0
F
，准线方程为
1
x = - ，
设

1
1
,
P x y
，


2
2
,
Q x
y
，
则
1
1
1
PF
x
=
+ ，
2
2
4
QF
x
=
+
，
故
1
2
1
2
3
3
PF
QF
x
x
-
=
-
-
= ，所以
1
2
6
x
x
-
=
，
所以
2
2
6
4
16
m
m
-
=
，解得
4 2
m =
．
题型24  圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
抛物线焦点弦与
三角形面积
联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，
列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。
2
双曲线中点弦存
在性
利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双
曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。
3
抛物线中的垂直
与角平分线
设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直；由角平分线性质得斜率关系，
利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。
4
椭圆焦点弦与向
量夹角
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式，
结合判别式求斜率范围。
5
抛物线定义与三
角形外接圆
利用抛物线定义求点坐标和方程；联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判
断三角形形状，再求外接圆半径。
6
双曲线焦点到渐
近线距离与向量
共线
由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程；联立直线与双曲线，利用韦达定
理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。
7
椭圆离心率与几
何证明
由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程；设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴
交点，利用中点坐标性质证明线段相等。
8
抛物线准线与焦
点弦
由抛物线定义和几何关系求参数；设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦
长公式，结合已知条件列方程求斜率。
9
椭圆中直线与坐
标轴交点
由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与
坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。
10
椭圆通径与点到
直线距离
由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，
将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。
11
双曲线定义与重
心坐标
由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线
方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。
12
椭圆中等腰三角
形与面积最值
设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定
值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。
13
双曲线焦点弦与
圆过定点
由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用
韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令y=0解出定点坐标。
14
椭圆中圆过焦点
与定点
由椭圆的定义和焦点坐标求方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，证
明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。
15
椭圆中光线反射
与对称性
由焦距和过定点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关
于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。
16
椭圆中平行四边
形面积最值
设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式；用
三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。
17
抛物线与双曲线
渐近线交点及圆
过定点
联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程；设直线方
程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦
达定理求定点。
18
双曲线离心率与
渐近线
选择条件求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线
距离公式，结合三角形面积求直线方程。
19
抛物线中的等差
数列与三角形面
积
由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用
弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。
20
直线与抛物线相
切及三角形面积
比
联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切；求直线与坐标轴交点，用坐标表
示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。
21
椭圆中向量共线
与面积最值
由点在椭圆上求椭圆方程；利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关
系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。
22
椭圆中通径与点
差法
由长轴长和通径条件求椭圆方程；利用点差法求斜率关系，得定值；用两角差
的正切公式和基本不等式求角的最值。
23
椭圆中等腰梯形
存在性
由离心率和三角形面积求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由
等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。
24
椭圆中斜率关系
与三角形面积
由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将
斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。
25
椭圆中点弦与直
线过定点及面积
最值
由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理和点关
于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面
积，利用基本不等式求最值。
26
椭圆中斜率积为
定值与三角形面
积
由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长；设直线方
程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本
不等式求范围。
27
双曲线定义与点
由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程；利用点差法求中点弦斜率，由
差法及角范围
对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围，
再用向量夹角公式求角范围。
28
椭圆中斜率积为
定值与面积最值
由顶点坐标和斜率积求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由
斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函
数单调性求最值。
29
双曲线渐近线与
斜率积为定值及
最值
由渐近线斜率求离心率；设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率
积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。
30
椭圆中垂直关系
与面积最值
由焦距和短轴长求椭圆方程；联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直；
用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。
31
抛物线中四点共
圆与面积比范围
由点坐标和斜率求抛物线方程；联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共
圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程；用坐标表示三角形面积，
求比值范围。
32
椭圆中三角形外
接圆面积最值
由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，求交点坐标，
设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。
33
椭圆中直线与坐
标轴交点成等差
数列及面积比定
值
由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，
求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。
34
椭圆离心率与中
点弦及最值
由离心率和长轴长求椭圆方程；设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线
垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。
35
双曲线焦点到渐
近线距离与点差
法及正弦定理
由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设点坐标，利用中点坐标
公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值；利用正弦定理和坐标关系求
比值范围。
36
双曲线通径与内
切圆性质
由离心率和通径长求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和
参数范围求最值；利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。
37
椭圆焦点弦与中
点轨迹及面积比
范围
由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求
中点坐标，消参得轨迹方程；求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用
换元法求范围。
38
抛物线切线方程
与直线过定点及
向量共线
由点到直线距离求抛物线方程；利用导数或判别式求切线方程，由切线过同一
点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共
线条件求参数。
39
椭圆中中点弦与
斜率之和为定值
及面积最值
由顶点坐标求椭圆方程和直线方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求
点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值；用弦长公式和点到直
线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。
40
双曲线焦点到渐
近线距离与直线
斜率之和及外接
圆
由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，
利用韦达定理求斜率之和；设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何
关系求定点。
1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
，点F 为C 的焦点，
,
M N 是C 上任意不重合的
两点，当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，|
| 4
MN =
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线MN 过点F 且OMN
V
的面积为4 ，求MN 的方程.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)
3
1
0
x
y
-
- =
或
3
1
0
x
y
+
- =
【分析】（1）当直线MN 垂直x 轴时，可求出M 、N 的坐标进而求出p 的值；
（2）三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高.
【详解】（1）设点




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
因为抛物线
2
:
2
,(
0)
C y
px
p
=
>
，所以
(
,0)
2
p
F
，
当直线MN 过点F 且垂直x 轴时，直线MN 的方程为
2
p
x =
，
把
2
p
x =
代入
2
2
y
px
=
可得
1
2
,
y
p y
p
=
= -
，
故
2
4
MN
p
=
=
，所以
2
p =
，所以方程为
2
4
y
x
=
.
（2）由（1）可知


1,0
F
，设直线MN 方程为
1
x
my
=
+ ，
联立
2
1
4
x
my
y
x
=
+
ì
í
=
î
得
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，
则
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
+
=
= - ，
2
16
16
0
m
D =
+
>
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
|
|
1
(
)
4
1
16
16
MN
m
y
y
y y
m
m
=
+
×
+
-
=
+
×
+
2
4(1
)
m
=
+
，
又点O 到直线MN 距离
2
1
1
d
m
=
+
，
所以


2
2
2
1
1
1
4 1
2 1
2
2
1
OMN
S
MN d
m
m
m
=
=
×
+
×
=
+
+
V
，
令
2
2 1
4
m
+
=
，所以
2
1
2
m
+
=
，所以
2
3
m =
，解得
3
m =
或
3
m = -
，
所以直线MN 方程为
3
1
0
x
y
-
- =
或
3
1
0
x
y
+
- =
.
2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点

2, 6
-
，其渐近线方程为
2
y
x
= ±
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点


1, 1
P
-
的直线l 与双曲线C 相交于
,
A B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x -
=
(2)不能,理由见解析
【分析】（1）由题设条件得出,a b 的方程，求解即得曲线的方程；
（2）假设P 是线段AB 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过
判别式判断方程是否有实根，即可确定P 能否为中点.
【详解】（1）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点

2, 6
-
，得
2
2
4
6
1
a
b
-
= ，
由渐近线方程为
2
y
x
= ±
，得
2
b
a =
，
解得
1
a = ，
2
b =
，
双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= .
（2）假设P 是线段AB 的中点，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
则由
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
两式相减，可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)(
)
(
)(
)
0
2
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
-
+
-
=
，
因为P 是线段AB 的中点，
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=
+
= - ，
代入上式，可得
1
2
1
2
2
y
y
x
x
-
= -
-
，即此时直线AB 的斜率为
2
k = - ，
于是直线AB 的方程为
1
2(
1)
y
x
+ = -
-
，即
2
1
y
x
= -
+ .
联立
2
2
2
1
1
2
y
x
y
x
= -
+
ìïí
-
=
ïî
，消元得
2
2
4
3
0
x
x
-
+
=
，


2
Δ
4
4 2 3
8
0
= -
- ´ ´ = - <
，所以方程无实数解，
即此时直线与双曲线无交点，
故P 不能是线段AB 的中点.
3．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线
2
:
2
C x
y
=
，过点


0,2
P
作直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点，O 为
坐标原点.
(1)证明：OA
OB
^
；
(2)若存在异于点P 的定点T ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
uuur
uur
uuur
uur
恒成立，请求出点T 的坐标，并求出
TAB
△
面积的
最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 

0, 2
T
-
  8
【分析】（1）设出直线方程与抛物线联立，结合向量运算可证结论；
（2）根据条件得出TP 为
ATB
Ð
的角平分线，结合斜率和为0，可求

0, 2
T
-
，求出弦长和高，利用三角形
面积公式可得答案.
【详解】（1）证明：设直线l 的方程为




1
1
2
2
2,
,
,
,
y
kx
A x y
B x
y
=
+
，
由
2
2
2
x
y
y
kx
ì
=
í
=
+
î
，得


2
2
2
x
kx
=
+
，即
2
2
4
0
x
kx
-
-
=
，
因为
2
4
16
0
k
D =
+
>
，所以
1
2
1
2
2 ,
4
x
x
k x x
+
=
= - ，


2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
2
4
x x
x
x
OA OB
x x
y y
x x
x x
×
=
+
=
+
×
=
+
=
uuur uuur
，
所以OA
OB
^
uuur
uuur
，所以OA
OB
^
.
（2）因为|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
uuur
uur
uuur
uur
，所以|
|
|
|
|
|
|
|
PA
TA
PB
TB
=
，
由角平分线的性质可知，TP 为
ATB
Ð
的角平分线，由抛物线对称性可得，T 在y 轴上，
设


0,
2
T
t
t ¹
，
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
,
2
2
TA
TB
y
t
x
t
y
t
x
t
k
k
x
x
x
x
-
-
-
-
=
=
=
=
，
因为TP 在y 轴上，所以
0
TA
TB
k
k
+
=
，
2
2
1
2
1
2
2
2
0
2
2
x
t
x
t
x
x
-
-
+
=
，
整理得
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
0
x x
tx
x x
tx
-
+
-
=
，由
1
2
1
2
2 ,
4
x
x
k x x
+
=
= - ，代入可得4
2
0
k
t
k
-
- ×
=
，
即2 (2
)
0
k
t
+
=
，由于上式对任意k 恒成立，所以
2
t = - ，即

0, 2
T
-
.


2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2 1
4
AB
k
x
x
x x
k
k
=
+
×
+
-
=
+
×
+
，


0, 2
T
-
到直线的距离为：
2
2
| 0
2
2 |
4
1
1
d
k
k
+
+
=
=
+
+
，面积
2
1 |
|
4
4
2
S
AB d
k
=
×
=
+
，
当
0
k =
时，
TAB
△
面积有最小值8.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
左焦点
1( 1,0)
F -
，离心率为
2
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
1F 且斜率为k 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若
2
π
MON
Ð
>
，求k 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)(
2,
2)
-
【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程；
（2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解.
【详解】（1）由已知
2
2
2
2
2
1
c
a
c
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
=
+
ï
ïî
，
解得
2
1
1
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，所以C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）设MN：
(
1)
y
k x
=
+
，


1
1
,
M x y
，


2
2
,
N x
y
将直线与椭圆方程联立
2
2
1
2
(
1)
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，
整理得



2
2
2
2
1
2
4
2
2
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
经检验
0
D >
，
根据韦达定理
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
2
2
2
1
2
k
x
x
k
k
x x
k
ì
-
+
=
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
因为
π
2
MON
Ð
>
，所以
0
OM ON
×
<
uuuur uuur
，即
1
2
1
2
0
x x
y y
+
<
，
所以



2
1
2
1
2
1
1
0
x x
k
x
x
+
+
+
<
，整理得



2
2
2
1
2
1
2
1
0
k
x x
k
x
x
k
+
+
+
+
<
，
将韦达定理代入得

2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
0
1
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
+
+
<
+
+
，
去分母后整理得
2
2
k <
，解得
(
2,
2)
k Î -
，
5．（25-26 高三下·安徽·月考）已知抛物线


2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，过C 上一动点A 作C 的准线的
垂线，垂足为B .当
4
AF =
时，
ABF
△
的面积为8.
(1)求C 的方程；
(2)直线BF 与C 交于
,
P Q 两点，点
,
A P 均在第一象限，O 为坐标原点，当P 为BQ 的中点时，求OAQ
V
外接
圆的半径.
【答案】(1)
2
8
y
x
=
(2)6 3
【分析】（1）利用抛物线定义得到点A 横坐标与p 的关系，结合三角形面积求出点A 纵坐标，再代入抛物
线方程解得p ，从而得到抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合中点条件求出
,
,
P Q A的坐标，通过向量点积判断
APQ
△
为直角三角形，
进而用斜边长度求出外接圆半径.
【详解】（1）由抛物线的定义，得
4
2
A
p
AB
AF
x
=
=
=
+
，则
4
2
A
p
x =
-
.
由
ABF
△
的面积为8，知点F 到直线AB 的距离为8 2
4
4
´
=
，则
4
A
y
=
.
由
2
2
A
A
y
px
=
，得16
2
4
2
p
pæ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，解得
4
p =
.
故C 的方程为
2
8
y
x
=
.
（2）由（1）可得


2,0
F
，设


:
2
BF y
k x
=
-
，由题可知
0
k ¹
.
由


2
2
8
y
k x
y
x
ì
=
-
í
=
î
，可得


2
2
2
2
4
8
4
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
，
则
2
2
4
8 ,
4
P
Q
P
Q
k
x
x
x x
k
+
+
=
=
.
若点P 为BQ 的中点，则
2
B
Q
P
x
x
x
+
=
，其中
4
2,
B
Q
P
x
x
x
= -
=
，
所以
2
1
P
P
x
x
-
= - ，解得
1
P
x = （负值舍去），则
4
4
Q
P
x
x
=
=
，代入
2
8
y
x
=
，得



1,2 2 ,
4, 4 2
P
Q
-
.
而
BF
PF
k
k
=
，得

2,8 2
B -
，则
8 2
A
B
y
y
=
=
，所以

16,8 2
A
.
由于
4 16
4 2
8 2
0
OQ OA
×
=
´
-
´
=
uuur uuur
，故OAQ
V
是直角三角形，
故所求外接圆半径
6 3
2
AQ
r =
=
.
6．（2026·山东威海·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦距为2c，渐近线方程为
2 2
y
x
= ±
，
右焦点F 到直线
2
a
x
c
=
的距离为8
3 ．
(1)求E 的方程；
(2)已知直线
3
0
x
my
-
+
=
交E 于B，C 两点，E 的左顶点记为A ，若
/ /
AB
CF ，求弦长|BC|．
【答案】(1)
2
2
1
8
y
x -
=
(2)16.
3
【分析】（1）依题意建立关于, ,
a b c 的方程组，求解即得双曲线的方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用
/ /
AB
CF 和三角形相似可推得
2
1
3
y
y
=
，与韦达
定理联立求得
2
4
5
m =
，再用弦长公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，
2
2
2
2
2 2
8
3
b
a
a
c
c
c
a
b
ì
=
ï
ï
ï -
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，     
解得
2
2
1,
8
a
b
=
= ，     
所以E 的方程为
2
2
1
8
y
x -
=
（2）联立
2
2
3
0
1
8
x
my
y
x
-
+
=
ìïí
-
=
ïî
，整理得

2
2
8
1
48
64
0
m
y
my
-
-
+
=
，     
由


2
2
2
8
1
0
Δ
(48 )
4 64 8
1
0
m
m
m
ì
- ¹
ïí
=
- ´
-
>
ïî
，可得
2
1
8
m ¹
，
设



1
1
2
2
,
,
,
B x y
C x
y
，则
1
2
2
1
2
2
48
8
1
64
,
8
1
m
y
y
m
y y
m
ì
+
=
ïï
-
í
ï
=
ï
-
î
     
因为
( 1,0),
/ /
A
AB
CF
-
，
又直线
3
0
x
my
-
+
=
过点
1( 3,0)
F -
，且
(3,0)
F
，    
所以
1
1
:
:
1:3
AB
FC
AF
F F
=
=
，所以
2
1
3
y
y
=
①，（也可利用斜率相等或向量共线得出
2
1
3
y
y
=
）    
将①式代入得
1
2
2
1
2
48
4
8
1
64
3
8
1
m
y
m
y
m
ì
=
ïï
-
í
ï
=
ï
-
î
，消去
1y 得


2
2
2
2
(12 )
64
3
8
1
8
1
m
m
m
´
=
-
-
，    
解得
2
4
5
m =
，    
则


2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
BC
m
y
y
m
y
y
y y
=
+
-
=
+
+
-


2
2
2
2
2
4
16
1
16
1
16
1
16
5
1
.
4
3
8
1
8
1
8
1
5
m
m
m
m
m
æ
ö
+
ç
÷
+
+
è
ø
=
+
×
=
=
=
-
-
´
-
  
7．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，右顶点为A ，左焦点为F ，
且
2
2
AF =
+
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)点


0
0
,
B x
y
在椭圆E 上，且点B 在第一象限内，直线
0
0
:
2
4
0
l x x
y y
+
-
=
，过点A 且平行于l 的直线交y
轴于点Q ，直线AB 交y 轴于点P ，点M 为线段PF 的中点，求证：PF
MQ
^
．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率和AF 的几何意义，结合椭圆中, ,
a b c 的基本关系，联立方程组即可求出,a b ，进
而得到椭圆方程；
（2）法一：先通过直线AP 和l 的方程求得点P 和Q 的坐标，再借助两点间距离公式得到QF
PQ
=
，再由
条件M 为线段PF 的中点即可得结论;
法二：先通过直线AP 和l 的方程求得点P 和Q 的坐标，再由条件M 为线段PF 的中点得到点M 的坐标，最
后得出
1
MQ
PF
k
k
×
= - 即可得结论.
【详解】（1）由题意
2
2
2
2
2
2
2
a
c
c
a
a
b
c
ì +
=
+
ï
ï
ïï
=
í
ï
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2
2
4,
2
a
b
=
=
．
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ．
（2）
依题意，

2,0
A
，因为点B 是椭圆上一点，可得
2
2
0
0
1
4
2
x
y
+
= ，且
0
0
0,
0
x
y
>
>
，
直线
0
0
:
2
4
0
l x x
y y
+
-
=
的斜率
0
0
2
x
k
y
= -
，直线AQ 的方程为


0
0
2
2
x
y
x
y
= -
-
，
令
0
x =
，得
0
0
0, x
Q
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
直线AB 的斜率为
0
0
2
AB
y
k
x
=
-
，直线AB 方程为


0
0
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
令
0
x =
，得
0
0
2
0,
2
y
P
x
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
．
法一：因为

2
2
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
4
2
2, 0 ,
2
x
y
x
F
QF
y
y
y
y
æ
ö
+
-
=
+
=
=
=
ç
÷
è
ø
，




2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
4
2
2
2
2
2
y
x
y
x
x
x
PQ
x
y
x
y
x
y
y
-
-
-
+
- +
=
-
=
=
=
-
-
-
，
所以QF
PQ
=
，所以三角形PFQ 为等腰三角形，因为点M 为底边PF 的中点，
所以PF
MQ
^
．
法二：点M 为线段PF 的中点，
0
0
0
0
2
2
2
2
2
P
F
M
y
x
y
y
y
y
x
-
-
-
+
=
=
=
-
，所以
0
0
2 ,
2
2
y
M
x
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
n
，
所以


2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
MQ
x
x
y
x
y
y
x
y
x
x
k
y
-
+
+
-
-
-
=
=
=
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
，


0
0
2
2
2
PF
y
k
x
-
=
-
，所以
1
MQ
PF
k
k
×
= - ，所以PF
MQ
^
．
8．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线


2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，准线为l ，直线
2 3
y =
与l ，C 的
交点分别为P ，Q ，且FP
FQ
=
.
(1)求p ；
(2)若过点


4,0
D
的直线m 交C 于A ，B 两点，且
24
AD
BD
×
=
，求
AD
BD 的值.
【答案】(1)2
(2) 1
2 或2 .
【分析】（1）由抛物线定义可得QP
FQ
=
进而得到
PQF
△
为等边三角形，从而求得
π
3
PFO
QPF
Ð
= Ð
=
，
结合图形特征及角的正切即可求解p ；
（2）设直线m ：
4
x
ty
=
+
,联立直线与抛物线可得
2
4
16
0
y
ty
-
-
=
，则由韦达定理得
3
4
2 2
y
y
+
= ±
，
3
4
16
y y = -
，计算弦长代入
24
AD
BD
×
=
中即可求得
2
2
t = ±
，再列方程结合弦长公式求值.
【详解】（1）
由抛物线定义得QP
FQ
=
，又因为FP
FQ
=
，所以
PQF
△
为等边三角形，
所以
π
3
PFO
QPF
Ð
= Ð
=
，
设准线为l 与x 轴交于点
,0
2
p
N æ
ö
-
ç
÷
è
ø，且P 的纵坐标为2 3 ，所以
2 3,
PN
FN
p
=
=
，
所以
π
2 3
tan
tan
3
3
PFO
p
Ð
=
=
=
，所以
2
p =
；
（2）
设m ：
4
x
ty
=
+
 ，

3
3
,
A x
y
，

4
4
,
B x
y
，
联立得
2
4
4
y
x
x
ty
ì
=
í =
+
î
，
2
4
16
0
y
ty
\
-
-
=
，
由韦达定理得
3
4
4
y
y
t
+
=
，
3
4
16
y y = -
，
所以
2
2
3
4
1
,
1
AD
t
y
BD
t
y
=
+
=
+
 ，
所以


2
1
16
24
AD
BD
t
×
=
+
´ -
=
，所以
2
1
2
t =
，则
2
2
t = ±
，
由韦达定理得
3
4
2 2
y
y
+
= ±
，
3
4
16
y y = -
，
所以

2
3
4
3
4
1
2
y
y
y y
+
= -
，所以
3
4
4
3
1
2
2
y
y
y
y
+
+
= -
，
所以
2
3
3
4
4
5
1
0
2
y
y
y
y
æ
ö
æ
ö
+
+ =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
4
1
2
y
y = -
或
3
4
2
y
y = - ，
所以
3
4
1
2
AD
y
BD
y
=
=
 或
3
4
2
AD
y
BD
y
=
=
，
所以
AD
BD 的值为
1
2 或2 .
9．（2026·天津河东·一模）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，上顶点为A ，右顶点为B ，
13
AB =
，椭圆
的离心率为
5
3
，过点A 的直线与椭圆C 交于点P （P 在第一或第四象限），过原点O 且与直线AP 平行的
直线与椭圆C 在第二象限交于点Q .
(1)求椭圆方程；
(2) x 轴上有一点
8 ,0
3
T æ
ö
ç
÷
è
ø ，AT
BP
^
，求直线AP 的斜率；
(3)若直线PQ与y 轴交于点
10
0,11
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AP 的斜率.
【答案】(1)
2
2
1
9
4
x
y
+
=
(2) 2
-
(3)
1
2
-
【详解】（1）由题知，c
a =
5
3
，
3 5
5
a
c
=
，
2
2
2 5
5
b
a
c
c
=
-
=
，
且


0,
A
b ，

,0
B a
，
2
2
13
13
5
AB
a
b
c
=
+
=
=
，
5
c
\ =
，
3
a =
，
2
b =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
9
4
x
y
+
= .
（2）由（1）知，

0,2
A
，
设过点A 的直线方程为
2,
0
y
kx
k
=
+
<
，过原点O 且与直线AP 平行的直线为y
kx
=
，
联立
2
2
2
4
9
36
0
y
kx
x
y
=
+
ì
í
+
-
=
î
可得

2
2
9
4
36
0
k
x
kx
+
+
=
，
则点P 的坐标为
2
2
2
36
18
8
,
9
4
9
4
k
k
k
k
æ
ö
-
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
，
联立
2
2
4
9
36
0
y
kx
x
y
=
ì
í
+
-
=
î
可得

2
2
9
4
36
0
k
x
+
-
=
，
则点Q 的坐标为
2
2
6
6
,
9
4
9
4
k
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
0
3
8
4
0
3
AT
k
-
=
= -
-
，
2
2
2
18
8
0
9
4
36
3
9
4
BP
k
k
k
k
k
-
+
-
+
=
-
-
+
，
由
1
AT
BP
k
k
= - ，整理为
2
3
8
4
0
k
k
+
+
=
，解得
2
k = - ，
2
3
k = -
（舍），
即直线AP 的斜率为2
- .
（3）由题知，
/ /
AP
OQ ，
5
6
Q
P
x
OM
QM
MA
MP
x
-
\
=
=
=
，
6
5
Q
P
x
x
\-
=
，
由（2）整理为
4
2
36
7
4
0
k
k
+
-
=
，解得
2
1
4
k =
，
2
4
9
k = -
（舍），
所以直线AP 的斜率为
1
2
-
.
10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为




1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
点M 在C 上，
2
MF
x
^
轴，且点
2
F 到直线
1
MF 的距离为6
5 .
(1)求C 的方程；
(2)过点


4,0
P
的直线交C 于不同的两点
,
A B .
（i）求PA
PB
×
的取值范围；
（ii）若
2
AH
MF
^
于点H ，证明：直线HB 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）45,12
4
æ
ù
ç
ú
è
û ；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求出
2
MF ，再利用椭圆的定义以及等面积求出,a b 即可；
（2）（i）设


:
4
AB y
k x
=
-
，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简PA
PB
×
即可求出；
（ii）求出直线HB 的方程，利用


1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
+
=
+
即可化简求出定点.
【详解】（1）由题意知，
1
c = ，
令x
c
=
，则
2
2
2
2
1
c
y
a
b
+
= ，得
4
2
2
b
y
a
=
，则
2
2
b
MF
a
=
，
由椭圆的定义可知，
2
1
2
b
MF
a
a
=
-
，
因为点
2
F 到直线
1
MF 的距离为6
5 ，
所以
1 2
1
2
2
1
1
1
6
2
2
5
MF F
S
F F
MF
MF
=
×
=
×
V
，
则
2
2
6
2
2
5
b
b
a
a
a
æ
ö
=
-
×
ç
÷
è
ø
，即
2
2
4
3
b
a
=
，
又
2
2
1
a
b
=
+ ，得
2
2
4,
3
a
b
=
=
，
故C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）（i）由题意可知，直线AB 的斜率存在，
设


:
4
AB y
k x
=
-
，



1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立


2
2
4
3
4
12
y
k x
x
y
ì
=
-
í
+
=
î
，得

2
2
2
2
3
4
32
64
12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
32
64
12
,
3
4
3
4
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，





2
2
2
2
Δ
32
4 3
4
64
12
0
k
k
k
=
-
+
-
>
，得
2
1
4
k <
，
则




2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
16
PA
PB
k
x
k
x
k
x x
x
x
×
=
+
-
×
+
-
=
+
-
+
+




2
2
2
2
2
2
2
2
36 1
64
12
32
9
1
4
16
9
3
4
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
k
k
k
+
-
=
+
-
+
=
=
+
+
+
+
+
，
因为
2
1
0
4
k
£
<
，所以
2
3
3
4
4
k
£
+
<
，则
2
1
1
1
4
3
4
3
k
<
£
+
，
则
2
9
45
9
,12
3
4
4
k
æ
ù
+
Îç
ú
+
è
û ，
故PA
PB
×
的取值范围为45 ,12
4
æ
ù
ç
ú
è
û ；
（ii）因为
2 :
1
MF
x = ，所以


1
1,
H
y
，
若
1
2
y
y
¹
，即
0
k ¹
，则直线HB 的方程为


2
1
2
1
1
1
x
x
y
y
y
y
-
- =
-
-
，
即


2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
x
y
x
x
y
x y
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
-
-
=
-
+ =
+
-
-
-
-
，
因为
2
2
1
2
1
2
2
2
32
64
12
,
3
4
3
4
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，所以


1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
+
=
+
，
因为




2
2
1
1
4 ,
4
y
k x
y
k x
=
-
=
-
， 
所以








2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
5
5
4
4
5
4
5
2
2
x
x
x
k x
kx
x
y
x y
x
x x
y
y
k x
x
x
x
x
x
-
+
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
-
-
-
-
，
即
2
2
1
1
5
:
2
x
HB x
y
y
y
-
=
+
-
，恒过点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
若
1
2
y
y
=
，即
0
k =
，则
:
0
AB y =
，则
:
0
HB y =
，也过点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
故直线HB 过定点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
11．（2026·河北邯郸·一模）已知




4,0 ,
4,0
B
C
-
是
ABC
V
的两个顶点，G 是
ABC
V
的重心，
,
D E 分别是
边
,
AB AC 的中点，且
6
BE
CD
-
=
．记点G 的轨迹为曲线Γ ．
(1)求Γ 的方程．
(2)若VGBC 的面积为24，求点A 的坐标．
(3)已知点






1,0 ,
2,0 ,
2,0
F
M
N
-
-
，过F 的直线l 与曲线Γ 交于
,
P Q 两点，直线MP 与NQ 交于点H ，试
判断H 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)


2
2
1
2
4
12
x
y
x
-
=
¹ ±
(2)


12,18
A
或


12, 18
A
-
或


12,18
A -
或


12, 18
A -
-
(3)是，直线
4
x = -
【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出Γ 的方程；
（2）根据已知三角形面积及G 在双曲线上求出G 的坐标，结合重心的坐标性质确定点A 的坐标；
（3）设l 的方程为






1
1
2
2
1 ,
,
,
,
y
k x
P x y
Q x
y
=
+
，联立双曲线并应用韦达定理得
2
1
2
2
2
3
k
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
12
3
k
x x
k
-
-
=
-
，写出直线MP 与NQ 的方程，联立求出H 的轨迹，即可得.
【详解】（1）由题可知
2
3
BG
BE
=
，
2
3
CG
CD
=
，则
2
4
3
BG
CG
BE
CD
BC
-
=
-
=
<
．
又
,
,
B G C 三点不共线，所以点G 的轨迹是以




4,0 ,
4,0
B
C
-
为焦点，4 为实轴长的双曲线（不包含顶点），
故Γ 的方程为


2
2
1
2
4
12
x
y
x
-
=
¹ ±
；
（2）设


0
0
,
G x
y
．因为VGBC 的面积为24，
所以
0
1 8
24
2
y
×
=
，得
0
6
y = ± ．
由
2
2
0
0
1
4
12
x
y
-
= ，得
0
4
x = ± ．
因为G 是
ABC
V
的重心，
所以

12,18
A
或


12, 18
A
-
或


12,18
A -
或

12, 18
A -
-
；
（3）由题可知l 的斜率存在，可设l 的方程为






1
1
2
2
1 ,
,
,
,
y
k x
P x y
Q x
y
=
+
．
由


2
2
1
4
12
1
x
y
y
k x
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
，得

2
2
2
2
3
2
12
0
k
x
k x
k
-
-
-
-
=
，
则
2
3
0
Δ
0
k
ì -
¹
í
>
î
，得
2
2
3
4
k
k
ì
¹
í
<
î
，则
2
1
2
2
2
3
k
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
12
3
k
x x
k
-
-
=
-
．
直线MP 的方程为


1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线NQ 的方程为


2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
则










1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
x
y
x
x
x x
x
x
x
x
x
y
x
x
x x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
-
-
-
+
-
+
-
．
由
2
1
2
2
2
3
k
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
12
3
k
x x
k
-
-
=
-
，得


1
2
1
2
5
4
2
x x
x
x
= - -
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
2
2
1
2
2
9
3
2
2
2
3
6
2
2
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
- -
-
+
+
+
+
=
=
=
-
-
+
-
- -
-
，得
4
x = - ，
故点H 在定直线
4
x = - 上.
12．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆C 过点


2,1
M
，两个焦点坐标分别为


6, 0 ,
6, 0
-
．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知
,
A B 为椭圆C 上异于M 的两点，且直线
,
MA MB 与x 轴围成一个以M 为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线AB 的斜率为定值；
（ii）求
MAB
△
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）2．
【分析】（1）根据点M 以及焦点坐标，解方程可求得椭圆C 的方程；
（2）（i）法一：设直线AB 的方程为y
kx
t
=
+ ，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由
0
MA
MB
k
k
+
=
可得直
线AB 的斜率
1
2
k =
；
法二：设直线MA 的方程为


1
2
y
k x
- =
-
，联立椭圆方程可解得
2
2
8
8
2
4
1
A
k
k
x
k
-
-
=
+
，同理可得
2
2
8
8k 2
4
1
B
k
x
k
+
-
=
+
，化简可知直线AB 的斜率


4
1
2
A
B
A
B
A
B
A
B
k x
x
k
y
y
k
x
x
x
x
+
-
-
=
=
=
-
-
；
法三：由
0
MA
MB
k
k
+
=
，可设直线AB 为




2
1
1
m x
n y
-
+
-
= ，
,
m n 不同时为0，联立直线与椭圆方程化简
得





2
4
1
4 2
4 2
1
0
m
m
n k
n
k
+
+
+
+
+
=
，可得2
0
m
n
+
=
，即直线AB 的斜率为定值
1
2 ．
（ii）设直线AB 为
1
2
y
x
t
=
+ ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知
2
2 ,
2
4,
A
B
A
B
x
x
t
x
x
t
+
= -
ì
í
×
=
-
î
法一：易知


2
2
1
2
4
2
MAB
A
B
S
MN x
x
t
=
-
=
-
-
+
V
，当
2
2
t =
时，
MAB
△
的面积取最大值2．
法二：由弦长公式可知
2
5
4
AB
t
=
×
-
，又点


2,1
M
到直线AB 的距离
2
2
5
1
1
2
t
t
d =
=
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
，所以


2
2
2
4
MAB
S
t
=
-
-
+
V
，当
2
2
t =
时，
MAB
△
的面积取最大值2．
【详解】（1）设椭圆C 的方程为


2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，
显然
2
2
2
2
6,
6
c
a
b
c
b
=
=
+
=
+ ，
将点


2,1
M
代入椭圆方程
2
2
2
2
1
6
x
y
b
b
+
=
+
，即
2
2
4
1
1
6
b
b
+
=
+
，解得
2
2
b = 或
2
3
b = - （舍去）
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= ．
（2）（i）法一：
设直线AB 的方程为y
kx
t
=
+ （由对称性知k 存在），如下图：
联立
2
2
1
8
2
x
y
+
= 得


2
2
4
8
x
kx
t
+
+
=
，化简得



2
2
2
4
1
8
4
2
0
k
x
ktx
t
+
+
+
-
=
，
由
0
D >
知
2
2
8
2
0
k
t
-
+
>
，则


2
2
2
8
,
4
1
4
2
4
1
A
B
A
B
kt
x
x
k
t
x
x
k
-
ì
+
=
ï
+
ïí
-
ï
×
=
ï
+
î
，
因为
0
MA
MB
k
k
+
=
，所以
1
1
0
2
2
A
B
A
B
y
y
x
x
-
-
+
=
-
-
，即







1
2
1
2
0
2
2
B
A
A
B
A
B
y
x
y
x
x
x
-
-
+
-
-
=
-
-
，
化简得


2
1
2
1
0
k
k
t
-
- +
=
，因为直线AB 不过点


2,1
M
，所以2
1
k
t
+ ¹ ，
故
1
2
k =
．
法二：
设直线MA 的方程为


1
2
y
k x
- =
-
，
联立
2
2
1
8
2
x
y
+
= ，得


2
2
4
2
1
8
x
k x
é
ù
+
-
+
=
ë
û
，化简


2
2
4
1 2
8
x
kx
k
é
ù
+
+
-
=
ë
û
，
得





2
2
2
4
1
8
1 2
4 1 2
8
0
k
x
k
k x
k
+
+
-
+
-
-
=
，
由
0
D >
知
2
4
4
1
0
k
k
+
+ >
，即
1
2
k ¹ -
，则


2
2
4 1 2
8
4
1
A
M
k
x
x
k
-
-
×
=
+
，
又
2
M
x
=
，所以
2
2
8
8
2
4
1
A
k
k
x
k
-
-
=
+
，
因为直线
,
MA MB 与x 轴围成一个以M 为顶点的等腰三角形，所以
0
MA
MB
k
k
+
=
，
同理可得
2
2
8
8k 2
4
1
B
k
x
k
+
-
=
+
，
由此可知
2
2
2
16
4
16
,
4
1
4
1
A
B
A
B
k
k
x
x
x
x
k
k
-
-
+
=
-
=
+
+ ，
则直线AB 的斜率


4
1
2
A
B
A
B
A
B
A
B
k x
x
k
y
y
k
x
x
x
x
+
-
-
=
=
=
-
-
，
故直线AB 的斜率为定值
1
2 ．
法三：
因为直线
,
MA MB 与x 轴围成一个以M 为顶点的等腰三角形，所以
0
MA
MB
k
k
+
=
，
因为
,
A B 为椭圆上异于M 的两点，
所以可设直线AB 为




2
1
1
m x
n y
-
+
-
= ，
,
m n 不同时为0，
联立




2
1
1
m x
n y
-
+
-
= 与
2
2
1
8
2
x
y
+
= ，
得









2
2
4
1
2
4 2
2
1
4 2
1
1
0
m
x
m
n
x
y
n
y
+
-
+
+
-
-
+
+
-
=
，
等式两边同时除以

2
2
x -
，记
1
2
y
k
x
-
=
-
，
化简得





2
4
1
4 2
4 2
1
0
m
m
n k
n
k
+
+
+
+
+
=
，
由于
0
MA
MB
k
k
+
=
，所以2
0
m
n
+
=
，说明直线AB 的斜率为定值
1
2 ．
（ii）设直线AB 为
1
2
y
x
t
=
+ ，
联立
1
2
y
x
t
=
+ 与
2
2
1
8
2
x
y
+
= ，得
2
2
2
2
4
0
x
tx
t
+
+
-
=
，
因为


2
2
Δ
4
4 2
4
0
t
t
=
-
-
>
，所以
2
4
t <
．
由韦达定理知
2
2 ,
2
4,
A
B
A
B
x
x
t
x
x
t
+
= -
ì
í
×
=
-
î
法一：
过点M 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，则点N 的坐标为

2,
1
t +
，
1
2
MAB
A
B
S
MN x
x
=
-
V
，即


2
1
4
2
MAB
A
B
A
B
S
t
x
x
x x
=
+
-
V
，
化简得


2
2
2
4
MAB
S
t
=
-
-
+
V
．
当且仅当
2
2
t =
时，
MAB
△
的面积取最大值2．
法二：
易知


2
2
2
1
5
1
4
5
4
2
2
A
B
A
B
A
B
AB
x
x
x
x
x x
t
æ
ö
=
+
-
=
+
-
=
×
-
ç
÷
è
ø
，
点


2,1
M
到直线AB 的距离
2
2
5
1
1
2
t
t
d =
=
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
，
所以


2
2
4
2
2
1
4
4
2
4
2
MAB
S
AB d
t
t
t
t
t
=
×
=
-
=
-
+
=
-
-
+
V
，
当且仅当
2
2
t =
时，
MAB
△
的面积取最大值2．
13．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于2，右焦点F
到其渐近线的距离等于
3 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)经过点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆记作
M
e
．求证：
M
e
恒过某个定点，
并求出此定点的坐标；
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)证明见解析，

1,0
-
【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离可得a，c 的关系和b 值，结合
2
2
2
c
a
b
=
+
，求出,a b ，即可
得双曲线方程；
（2）当l 斜率不为0 时，设为
2
x
ty
=
+
，联立
2
2
1
3
y
x -
= ，根据韦达定理及弦长公式，求出
M
e
方程，由对
称性可知，
M
e
过的定点应在x 轴上，故令
0
y =
得
1
x = - 或
2
2
3
5
3
1
t
x
t
-
=
- ，当直线l 斜率为0 时，直线l 为
0
y =
，此时
M
e
方程为
2
2
1
x
y
+
= ，分析可得
M
e
所过定点；
【详解】（1）设双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，设右焦点坐标为


,0
F c
，则渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
，
故


,0
F c
到
b
y
x
a
= ±
的距离为
2
2
3
1
b c
a
b
b
a
=
=
+
，
又离心率等于2，故
2
c
a =
，又
2
2
2
c
a
b
=
+
，解得
2
4
c =
，
2
1
a = ．
故双曲线方程为
2
2
1
3
y
x -
= ；
（2）由（1）得


2,0
F
，当过点F 的直线l 斜率不为0 时，设为
2
x
ty
=
+
，
联立
2
x
ty
=
+
与
2
2
1
3
y
x -
= 得

2
2
3 2
3
ty
y
+
-
=
，
整理可得

2
2
3
1
12
9
0
t
y
ty
-
+
+
=
，
由直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，得
2
2
2
3
1
0
Δ
144
36(3
1)
0
t
t
t
ì
- ¹
í
=
-
-
>
î
，解得
3
3
t ¹ ±
，
设

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
，则
1
2
2
12
3
1
t
y
y
t
-
+
=
- ，
1
2
2
9
3
1
y y
t
=
- ，
所以


2
1
2
1
2
2
2
12
4
4
4
3
1
3
1
t
x
x
t y
y
t
t
-
-
+
=
+
+
=
+
=
-
- ，
则
1
2
1
2
2
2
2
6
,
2
3
1
2
3
1
+
+
-
-
=
=
-
-
x
x
y
y
t
t
t
，
又


2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
12
36
1
4
1
3
1
3
1
t
AB
t
y
y
y y
t
t
t
-
æ
ö
=
+
+
-
=
+
-
ç
÷
-
-
è
ø


2
2
2
2
2
2
144
36 3
1
6
6
1
3
1
3
1
t
t
t
t
t
t
-
-
+
=
+
=
-
-
，
故以AB 为直径的圆的圆心为
2
2
2
6
,
3
1 3
1
t
t
t
-
-
æ
ö
ç
÷
-
-
è
ø，半径为
2
2
3
3
2
3
1
AB
t
t
+
=
-
，
所以
M
e
方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
3
3
1
3
1
3
1
t
t
x
y
t
t
t
æ
ö
+
æ
ö
æ
ö
+
+
+
= ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
-
è
ø
è
ø
è
ø
，
由对称性可知，
M
e
过的定点应在x 轴上，故在
M
e
中，令
0
y =
，
得
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
3
3
1
3
1
3
1
t
t
x
t
t
t
æ
ö
+
æ
ö
æ
ö
+
+
= ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
-
è
ø
è
ø
è
ø
，解得
1
x = - 或
2
2
3
5
3
1
t
x
t
-
=
- ，
故
M
e
与x 轴交点为

1,0
-
，
2
2
3
5 ,0
3
1
t
t
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
，
当直线l 斜率为0 时，直线l 为
0
y =
，此时A ，B 的坐标分别为

1,0
±
，
则
M
e
方程为
2
2
1
x
y
+
= ，
M
e
经过点

1,0
-
，
综上，
M
e
恒过某个定点，此定点的坐标为

1,0
-
；
14．（2026·陕西商洛·二模）在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站


1
2,0
F -
，


2
2,0
F
用于追踪探
测器，探测器沿椭圆轨道Γ 运行，到两站距离和为4．设过点
2 ,0
3
T æ
ö
ç
÷
è
ø 的波束中心直线l （斜率不为0）与椭
圆轨道Γ 交于
,
M N 两点，以MN 为直径形成通信圆Ω ．研究发现，若通信圆Ω 恒过近地点

2,0
A
时，视为
通信状态最佳．
(1)求椭圆轨道Γ 的方程；
(2)请判断通信圆Ω 是否能达到通信状态最佳？并说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
(2)可以达到通信状态最佳，理由见解析．
【分析】（1）由条件根据焦点坐标性质和椭圆的定义确定,a c ，利用
2
2
b
a
c
=
-
求b ，由此可得结论；
（2）设直线l 的方程为
2
3
x
my
=
+
，




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，联立方程组利用根与系数关系求




1
2
1
2
2
2
4
32
,
3
2
9
2
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，证明
0
AM AN
×
=
uuuur uuur
，由此可得结论.
【详解】（1）由题意，设椭圆的焦点为


1
2,0
F -
，


2
2,0
F
，且探测器到两站距离和为4，
则
2
2
2,
2,
2
a
c
b
a
c
=
=
=
-
=
，
故椭圆的标准方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
（2）欲判断通信圆W 是否达到通信状态最佳，验证通信圆W 恒过点

2,0
A
即可．
设直线l 的方程为
2
3
x
my
=
+
，
联立
2
2
2
3
1
4
2
x
my
x
y
ì =
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，可得

2
2
4
32
2
0
3
9
m
m
y
y
+
+
-
=
，
方程

2
2
4
32
2
0
3
9
m
m
y
y
+
+
-
=
的判别式


2
2
2
16
32
144
256
4
2
0
9
9
9
9
m
m
m
æ
ö
D =
-
+
´ -
=
+
>
ç
÷
è
ø
，
设




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则




1
2
1
2
2
2
4
32
,
3
2
9
2
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
由




1
1
2
2
2,
,
2,
AM
x
y
AN
x
y
=
-
=
-
uuuur
uuur
，得



1
2
1
2
2
2
AM AN
x
x
y y
×
=
-
-
+
uuuur uuur
，
将
1
1
2
2
2
2
3
3
x
my
x
my
=
+
=
+
，
代入可得










2
2
1
2
1
2
2
2
4
16
32
4
4
16
1
1
3
9
3
9
9
2
3
2
m
m
AM AN
m
y y
m y
y
m
m
m
×
=
+
-
+
+
= -
+
´
+
´
+
+
+
uuuur uuur
化简可得






2
2
2
2
32
1
16
16
2
0
9
2
m
m
m
AM AN
m
-
+
+
+
+
×
=
=
+
uuuur uuur
，
则AM
AN
^
uuuur
uuur
，即以MN 为直径的圆经过点A ，
故通信圆W 可以达到通信状态最佳
15．（2026·北京密云·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
G a
b
+
= 

0
a
b
>
>
，过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 3 .
(1)求椭圆G 的方程和离心率；
(2)设F 为椭圆G 的右焦点，过点
4 3 ,0
3
M æ
ö
ç
÷
è
ø
的直线l 与椭圆G 交于不同两点
,
A B （A ，B 异于椭圆的顶
点）.判断光线AF 经过x 轴反射后是否经过点B ？说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ，
3
3
e=
2
4
c
a =
=
(2)光线AF 经过x 轴反射后经过点B
【分析】（1）由已知条件列出关于, ,
a b c 方程组求出, ,
a b c 即可求解.
（2）先表示过点M 的直线l 的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得
1
2
y
y
+
、
1
2
y y ，计算求解
0
AF
BF
k
k
+
=
即可.
【详解】（1）由题可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3
3
2
2
1
1
1
3
c
a
b
a
b
c
a
b
c
ì
=
ï
ï
æ
ö
ì =
ï
ç
÷
ï
ï
è
ø
+
= Þ
=
í
í
ï
ï =
î
=
+
ï
ï
ïî
，
\椭圆G 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，
所以椭圆的离心率
3
e=
2
c
a =
.
（2）如图
F
Q
为椭圆G 的右焦点，\ 

3,0
F
，
设

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
，
设过点
4 3 ,0
3
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的直线l 的方程为
4 3
3
x
ty
=
+
，
将直线方程与椭圆方程联立
2
2
4 3
3
1
4
x
ty
x
y
ì =
+
ïïí
ï
+
=
ïî
得
2
2
4 3
4
4
3
ty
y
æ
ö
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
展开并整理得

2
2
8 3
4
4
0
3
3
t
y
ty
+
+
+
=
，
则




2
2
2
8 3
4
16
4
4
3
4
0
3
3
3
t
t
t
æ
ö
D =
-
+
´
=
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
即
2
4
3
t >
，
且


1
2
2
2
8 3
8 3
3
4
3
4
t
t
y
y
t
t
+
= -
= -
+
+
，


1
2
2
2
4
4
3
4
3
4
y y
t
t
=
=
+
+
，







1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
3
3
AF
BF
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
-
\
+
=
+
=
-
-
-
-
1
2
2
1
1
2
4 3
4 3
3
3
3
3
4 3
4 3
3
3
3
3
y
ty
y
ty
ty
ty
æ
ö
æ
ö
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
æ
öæ
ö
+
-
+
-
ç
÷ç
÷
è
øè
ø
=




1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
2
3
3
1
3
3
ty y
y
y
t
t y y
y
y
+
+
+
+
+








2
2
2
2
2
4
3
8 3
2
3
3
4
3
4
4
3
8 3
1
3
3
3
4
3
4
t
t
t
t
t
t
t
t
t
é
ù
ê
ú
×
+
× -
+
+
ê
ú
ë
û
=
é
ù
ê
ú
×
+
× -
+
+
+
ê
ú
ë
û








2
2
2
2
2
2
8
8
3
4
3
4
0
4
8
1
3
3
4
3
4
t
t
t
t
t
t
t
t
-
+
+
=
=
-
+
+
+
，
\光线AF 经过x 轴反射后经过点B .
16．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆
2
2
:
1
8
2
x
y
C
+
= ，O 为坐标原点，点A，B 分别在直线
2
2
y
x
=
与
2
2
y
x
= -
上，P 是C 上一点，O、A、P、B 四点顺时针构成平行四边形OAPB .
(1)求AB 的值；
(2)求平行四边形OAPB 面积的最大值.
【答案】(1)2
(2) 2 2
【分析】（1）设出点A，B 的坐标，结合它们所在的直线方程，再根据向量关系得到点P 的坐标，因为点P
在椭圆上，将P 的坐标代入椭圆方程，可得到A，B 的坐标与P 的坐标的关系式，进而通过弦长公式求解
AB .
（2）设直线OA 的倾斜角为a ，通过倍角公式求出
2 2
sin
3
AOB
Ð
=
，
1
cos
3
AOB
Ð
=
， 利用余弦定理和基
本不等式可求得AB 的最大值，代入三角形面积公式可求得结果；
【详解】（1）因为点
,
A B 分别在直线
2
2
y
x
=
与
2
2
y
x
= -
上，所以可设
1
1
2
, 2
A x
x
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
,
2
B x
x
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
设

0
0
,
P x
y
，则
2
2
0
0
1
8
2
x
y
+
=
因为四边形OAPB 是平行四边形，所以OA
BP
=
uuur
uuur
即
1
1
0
2
0
2
2
2
,
,
2
2
x
x
x
x y
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
1
2
0
x
x
x
+
=
，
1
2
0
2
x
x
y
-
=
所以


2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
AB
x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø




2
2
2
2
1
2
1
2
0
0
1
1
2
2
2
x
x
x
x
y
x
=
-
+
+
=
+
2
=
（2）因为点A，B 分别在直线
2
2
y
x
=
与
2
2
y
x
= -
上
设直线OA 的倾斜角为a ，则
2
tan
2
a =
，
2
AOB
a
Ð
=
2
2tan
tan2
2 2
1
tan
a
a
a
=
=
-
，
2 2
sin2
3
a =
，
1
cos2
3
a =
即
2 2
sin
3
AOB
Ð
=
，
1
cos
3
AOB
Ð
=
所以平行四边形OAPB 的面积为
2 2
3
OAPB
S
OA OB
=
×
×
Y
在
OAB
△
中，设OA
a
=
，OB
b
=
2
2
2
1
|
|
2
cos
2
2
3
AB
a
b
ab
AOB
ab
ab
=
+
-
×
Ð
³
-
×
所以
3
ab £
，当且仅当a
b
=
时等号成立
所以平行四边形OAPB 的面积为
2 2
2 2
3
2 2
3
3
OAPB
S
ab
=
×
£
×
=
Y
，
当且仅当a
b
=
时等号成立，所以平行四边形OAPB 的面积的最大值为2 2 .
17．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线E ：


2
2
0
y
px p
=
>
与双曲线
2
2
1
x
y
-
= 的渐近线在第一、四象限
的交点分别为P ，Q ，且
16
OPQ
S
=
V
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2) A ，B 为E 上异于P ，Q 的两动点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过P ，证明：直线AB 过定点.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)证明见解析
【分析】（1）求出双曲线渐近线后，可表示出点P 、Q 坐标，再利用
OPQ
SV
即可得解；
（2）由题意可得PA
PB
^
，即可得
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，则可设出直线AB 方程，联立抛物线，可得与交点纵坐标
有关韦达定理，结合PA
PB
^
可表示出直线AB 方程，即可得解.
【详解】（1）
2
2
1
x
y
-
= 的渐近线为y
x
= ± ，
联立
2
2
y
px
y
x
ì
=
í
=
î
，解得
2
2
x
p
y
p
=
ì
í
=
î
或
0
0
x
y
=
=
ì
í
î
，故

2 ,2
P
p
p ，
由对称性可得


2 , 2
Q
p
p
-
，则
2
1
2
4
4
16
2
OPQ
S
p
p
p
=
´
´
=
=
V
，
故
2
p =
（负值舍去），即抛物线E 的方程为
2
4
y
x
=
；
（2）由（1）知

4,4
P
，设

2,2
A m
m 、

2,2
B n
n ，
由以线段AB 为直径的圆恰好经过P ，则PA
PB
^
，
由


2
4,2
4
PA
m
m
=
-
-
uuur
，


2
4,2
4
PB
n
n
=
-
-
uuur
，
则





2
2
4
4
2
4
2
4
PA PB
m
n
m
n
×
=
-
-
+
-
-
uuur uuur








2
2
2
2
4
2
2
m
n
m
n
m
n
=
-
-
+
+
+
-
-





2
2
2
2
4
0
m
n
m
n
é
ù
=
-
-
+
+
+
=
ë
û
，
由A ，B 异于P ，故


2
2
0
m
n
-
-
¹
，
则




2
2
4
2
8
0
m
n
mn
m
n
+
+
+
=
+
+
+
=
，
设
:
AB
l
x
ty
s
=
+ ，
2
4
x
ty
s
y
x
=
+
ì
í
=
î
，则
2
4
4
0
y
ty
s
-
-
=
，
2
16
16
0
t
s
D =
+
>
，则
2
0
t
s
+
>
，
2
2
4
m
n
t
+
=
，2
2
4
4
m
n
mn
s
×
=
= -
，即
2
m
n
t
+
=
，mn
s
= - ，
故


2
8
4
8
0
mn
m
n
s
t
+
+
+
= - +
+
=
,即
4
8
s
t
=
+ ，
则


:
4
8
4
8
AB
l
x
ty
t
t y
=
+
+
=
+
+
，
当
8
x =
时，
4
y = - ，故直线AB 过定点

8, 4
-
.
18．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线C ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶点为A.请从条件①、②、③
中选择两个条件作为已知，使得C 存在且唯一.
条件①：C 的离心率为2；
条件②：C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
；
条件③：C 的右焦点与点A 的距离为1.
(1)求C 的方程；
(2)若过点


2,3
P
的直线l 交C 的右支
．．于点M，且VAMP 的面积为3，求l 的方程.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解
答计分.
【答案】(1)选择条件①和③和选择条件②和③时，C 的方程
2
2
1
3
y
x -
= ，选择条件①和②时，C 存在且
不唯一
(2)
2
x =
或9
5
3
0
x
y
-
-
=
【分析】（1）选择条件①和③：根据双曲线的离心率公式和两点间距离公式进行求解即可；
选择条件②和③：根据双曲线的渐近线方程和两点间距离公式进行求解即可；
选择条件①和②：根据双曲线的离心率公式和双曲线的渐近线方程进行求解判断即可.
（2）方法一：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可；
方法二：设出直线方程与双曲线联立，利用三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）选择条件①和③：
因为C 的离心率为2，点A 到C 的右焦点的距离为1，所以
2,
1.
c
a
c
a
ì
=
ïí
ï -
=
î
解得
1,
2.
a
c
=
ì
í =
î
又因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，
所以C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
选择条件②和③：
因为C 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
，点A 到C 的右焦点的距离为1，
所以由
2
2
2
3,
1,
.
b
a
c
a
c
a
b
ì
=
ï
ï -
=
í
ï
=
+
ï
î
可得
1,
3.
a
b
=
ìïí =
ïî
所以C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
选择条件①和②：
因为C 的离心率为2， 
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
3
c
e
c
a
c
a
a
b
a
b
a
b
a
a
=
=
Þ
=
Þ
=
Þ
+
=
Þ
=
Þ
=
，
所以C 的渐近线方程为
3
3
b
a
y
x
y
y
x
a
a
= ±
Þ
= ±
Þ
= ±
，
由①能推出②，所以C 存在但是不唯一，不符合题意；
综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，C 的方程
2
2
1
3
y
x -
= ，选择条件①和②时，C 存在且不
唯一.
（2）由（1）知，点A 坐标为

1,0 ，
又由


2,3
P
可得直线PA 的方程为3
3
0
x
y
-
-
=
，且
10
PA =
.
设点M 到直线PA 的距离为d，
因为VAMP 面积为3，所以
1
1
10
3
2
2
S
PA d
d
=
×
=
´
×
=
，所以
3 10
5
d =
.
设过点M 且与直线PA 平行的直线为n：3
0
x
y
m
-
+
=
.
则n 与直线PA 的距离为3 10
5
，故
3
3 10
5
1 9
m +
=
+
，
解得
3
m =
或
9
m = - ，
所以直线n 方程为3
9
0
x
y
-
-
=
或3
3
0
x
y
-
+
=
，
直线3
3
0
x
y
-
+
=
与直线PA 关于原点中心对称，
与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去.
由
2
2
1,
3
3
9
0,
y
x
x
y
ì
-
=
ïí
ï
-
-
=
î
得
2,
3
x
y
=
ì
í
= -
î
或
7,
12.
x
y
=
ì
í
=
î
故点M 坐标为

2, 3
-
或

7,12 ，
当M 坐标为

2, 3
-
时，点


2,3
P
，所以直线l 的方程为
2
x =
，
当M 坐标为

7,12 时，点


2,3
P
，直线l 的方程为
3
2
9
5
3
0
3 12
2
7
y
x
x
y
-
-
=
Þ
-
-
=
-
-
，
所以直线l 的方程为
2
x =
或9
5
3
0
x
y
-
-
=
.
（方法二）由（1）知，点A 坐标为

1,0 ，且点


2,3
P
在C 上.
当直线l 斜率不存在时，


2, 3
M
-
，VAMP 面积为3，直线l 的方程为
2
x =
，符合题意.
当直线l 斜率存在时，设其方程为


3
2
y
k x
-
=
-
.
由


2
2
1,
3
3
2 ,
y
x
y
k x
ì
-
=
ïí
ï -
=
-
î
得



2
2
2
2
3
4
6
4
12
12
0
k
x
k
k x
k
k
-
+
-
-
+
-
=
，
设



1
1
1
,
1
M x y
x >
，
则
2
1
2
4
6
2
3
k
k
x
k
-
+
=
-
，
2
2
1
2
2
4
6
2
6
6
2
3
3
k
k
k
k
x
k
k
-
-
+
=
-
=
-
-
，
故
2
2
1
2
6
12
1
2
1
3
k
PM
k
x
k
k
-
+
=
+
-
=
+
-
，
又因为A 到直线l 的距离
2
3
1
k
d
k
- +
=
+
，
故VAMP 面积为
2
1
(3
6)(
3)
2
3
k
k
S
PM
d
k
-
-
=
×
=
-
.
所以
2
(3
6)(
3)
3
3
k
k
k
-
-
=
-
，解得
9
5
k =
，
3
2
k =
或
1
k = ，
因为该双曲线的渐近线方程为
3
y
x
= ±
，
所以
3
3
2
k =
<
，
1
3
k = <
，
因此此时直线不与双曲线的右支相交，
因为
9
3
5
k =
>
，
所以此时直线与双曲线的右支相交，
故直线l 的方程为
9
3
5
5
y
x
=
-
.
综上，直线l 的方程为
2
x =
或9
5
3
0
x
y
-
-
=
.
19．（2026·江西·一模）已知


1 2,4
P
为抛物线


2
:
2
0
C y
px p
=
>
上一点.
(1)求C 的准线方程；
(2)若点
n
Q 与
nP 关于x 轴对称，过点
n
Q 且斜率为2 的直线交C 于另一点
1
nP + ，设


,
n
n
n
P
x
y
.
（i）求数列

ny
的前n 项和
nT ；
（ii）求
1
2
n
n
n
P P P
+
+
V
的面积.
【答案】(1)
2
x = -
(2)（i）


2
1
nT
n n
=
+
；（ii）8
【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程；
（2）（i）利用斜率可得
1
8
2
n
n
y
y
+
=
-
，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前n 项和；
（ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可.
【详解】（1）由题意知16
4p
=
，则
4
p =
，
所以C 的准线方程为
2
x = - .
（2）由（1）知C 的方程为
2
8
y
x
=
，
（i）






1
1
1
,
,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
x
y
Q
x
y
P
x
y
+
+
+
-
，
所以


1
1
1
2
2
1
1
1
8
2
1
1
8
8
n
n
n
n
n
n
P
Q
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
k
x
x
y
y
y
y
+
+
+
+
+
+
- -
+
=
=
=
=
-
-
-
，
所以
1
4
n
n
y
y
+ -
=
，
所以数列

ny
是以
1
4
y =
为首项，以4 为公差的等差数列，
所以
4
ny
n
=
，所以


2
1
nT
n n
=
+
.
（ii）将
4
ny
n
=
代入
2
8
y
x
=
得
2
2
nx
n
=
，
则










2
2
2
1
2
2
,4
,
2(
1) ,4
1 ,
2(
2) ,4
2
n
n
n
P
n
n
P
n
n
P
n
n
+
+
+
+
+
+
，
法一：
直线
2
n
n
P P + 的方程为


2
1
2
4
0
x
n
y
n
n
-
+
+
+
=
，
点
1
nP + 到直线
2
n
n
P P + 的距离








2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
4
2
1
1
1
1
n
n
n
n
d
n
n
+
-
+
+
+
=
=
+
+
+
+
，
2
2
2
2
1 (
1)
8 1 (
1)
n
n
n
n
P P
n
y
y
n
+
+
=
+
+
-
=
+
+
，
1
2
n
n
n
P P P
+
+
V
的面积
1
2
2
1
8
2
n n
n
P P
P
n
n
S
P P
d
+
+
+
=
×
=
V
.
法二：




1
2
1
4
6,4 ,
4
2, 4
n
n
n
n
P P
n
P P
n
+
+
+
=
+
= -
-
-
uuuuuuur
uuuuuur
1
2
n n
n
P P
P
S
+
+
V





1 4
6
4
4
4
2
2
n
n
=
+
´ -
- ´ -
-
8
=
.
20．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线


2
2
:
0
E x
my
m m
+
=
¹
，点



0
0
0
,
0
M x
y
x ¹
在曲线E 上，直线
0
0
:
0
l x x
my y
m
+
-
=
.
(1)判断曲线E 与直线l 的位置关系，并证明；
(2)当
2
m =
时，直线l 与直线
2
y =
，
2
y = -
分别交于A ，B 两点.设
OAM
△
与OBM
V
的面积分别为
1S ，
2
S ，比较
1
2
S
S 与
OA
OB 的大小.
【答案】(1)相切，证明见解析
(2)
1
2
OA
S
S
OB
=
【分析】（1）联立直线和曲线方程，利用判别式可知直线l 与曲线E 相切；
（2）解法一：将两三角形面积比值转化为线段的比例，再转化为点的坐标的比值可知两式相等；
解法二：利用三角恒等变换证明
AOM
BOM
Ð
= Ð
，再利用三角形面积公式化简可得两式相等；
【详解】（1）联立
2
2
0
0
0
x
my
m
x x
my y
m
ì
+
=
í
+
-
=
î
可得

2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
x
my
y
my y
m
x
+
-
+
-
=
，
因为


2
2
0
0
0
x
my
m m
+
=
¹
，于是
2
2
0
0
2
0
my
my y
my
-
+
=
.
所以
2
2
2
2
0
0
Δ
4
4
0
m y
m y
=
-
=
，
可知直线l 与曲线E 相切.
（2）解法一：
设

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
，如下图：
易知，当
1
2
x
x
=
时，由对称性可知，
1
2
= OA
S
S
OB .
当
1
2
x
x
¹
时，不妨设
2
0
1
x
x
x
<
<
，易知
1
0
1
0
1
2
2
0
0
2
-
-
=
=
=
-
-
AM
x
x
x
x
S
S
BM
x
x
x
x .
联立
0
0
2
2
2
0
y
x x
y y
ì
=
ïí
+
-
=
ïî
，解得
0
1
0
2
2 2y
x
x
-
=
，
1
2
y =
，
联立
0
0
2
2
2
0
y
x x
y y
ì
= -
ïí
+
-
=
ïî
，解得
0
2
0
2
2 2y
x
x
+
=
，
2
2
y = -
.
所以
0
0
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
y
x
x
x
x
y
x
y
y
y
S
S
x
x
y
x
y
y
y
y
x
x
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
=
-
+
-
-
-
-
+
-
.




2
0
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2 2
2
2
2 2
2
2
4 2
4
2
2
4 2
4
2
2
2 2
2
2 2
2
2
y
y
x
x
OA
y
y
y
OB
y
y
y
y
y
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
-
+
-
+
-
è
ø
=
=
=
=
+
+
+
æ
ö
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
故
1
2
= OA
S
S
OB .
综上
1
2
= OA
S
S
OB .
解法二：
不妨设

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
.
易知，当
1
2
x
x
=
时，由对称性可知，
1
2
= OA
S
S
OB .
当
1
2
x
x
¹
时，不妨设
1
0
2
x
x
x
<
<
.
联立
0
0
2
2
2
0
y
x x
y y
ì
=
ïí
+
-
=
ïî
，解得
0
1
0
2
2 2y
x
x
-
=
，
1
2
y =
，
联立
0
0
2
2
2
0
y
x x
y y
ì
= -
ïí
+
-
=
ïî
，解得
0
2
0
2
2 2y
x
x
+
=
，
2
2
y = -
.
若
1
0
x =
，则
0
2
2
y =
，
0
1
x = ± ，
2
4
x = ± ，
由对称性，不妨取
0
1
x = ，
2
4
x =
，则

0,
2
A
，

4,
2
B
-
，
2
1, 2
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
tan
2
AOM
Ð
=
，
2
2
2
4
tan
2
2
2
1
2
4
BOM
+
Ð
=
=
-
´
，所以
AOM
BOM
Ð
= Ð
.
同理，当
2
0
x =
时，
AOM
BOM
Ð
= Ð
.
当
1
2
0
x x ¹
时，则
0
0
1
1
0
0
2
2
2 2
2
2
OA
x
x
y
k
x
y
y
=
=
=
-
-
，
0
0
2
2
0
0
2
2
2 2
2
2
OB
x
x
y
k
x
y
y
-
=
=
= -
+
+
，
0
0
OM
y
k
x
=
，
又
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= ，所以
2
2
0
0
2
2
x
y
+
=
，
所以




0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
tan
1
2
2
1
2
2
OA
OM
OA
OM
x
y
x
k
k
y
x
y
y
y
AOM
x
y
k
k
x
x
y
x
y
x
y
-
-
-
+
-
-
Ð
=
=
= -
= -
=
+
×
-
-
+
´
-
.




0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
tan
1
2
2
1
2
2
OM
OB
OM
OB
y
x
x
k
k
y
x
y
y
y
BOM
k
k
x
y
x
x
y
x
y
x
y
+
-
+
+
+
+
Ð
=
=
=
=
=
+
×
æ
ö
+
+
+
´ -
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
.
则tan
tan
AOM
BOM
Ð
=
Ð
，即
AOM
BOM
Ð
= Ð
，
所以
1
2
sin
sin
Ð
=
=
Ð
OA OM
AOM
OA
S
S
OB OM
BOM
OB .
综上：
1
2
= OA
S
S
OB .
21．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，点

0
0
,
P x y
在椭圆上且
0
0
y >
，PQ，PR 分别
经过C 的左、右焦点
1F ，
2
F ，且
1
1
PF
FQ
l
=
uuur
uuur
，
2
2
PF
F R
m
=
uuur
uuur
．
(1)若
2
l =
，求点P 的坐标；
(2)证明：l
m
+
是定值，并求出l
m
+
的值；
(3)求四边形
1
2
FQRF 面积最大值．
【答案】(1) 1 3 5
,
2
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
(2)证明见解析，
10
3
l
m
+
=
(3)13 3
8
【分析】（1）借助向量线性运算可表示出Q 点坐标，结合P 、Q 点在椭圆上可得P 、Q 点坐标满足关系，
计算即可得解；
（2）借助向量线性运算可用l 、m 表示出Q 点、R 点坐标，再利用P 、Q 、R 点在椭圆上可得P 、Q 点坐
标满足关系，则可用
0x 表示出l 、m ，再求和即可得解；
（3）利用三角形面积公式可得
1 2
1
PQR
PF F
S
S
lm
l
m
lm
+
+
+
=
V
V
，则
1 2
1
2
1
F QRF
PF F
S
S
l
m
lm
æ
ö
= ç
÷
è
ø
+
+
V
四边形
，再计算出
1 2
PF F
SV
面
积后，利用l 、m 间的关系，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）


1
1,0
F -
，

0
0
,
P x y
，则


1
0
0
1
,
PF
x
y
= - -
-
uuur
，
由
1
1
2
PF
FQ
=
uuur
uuur
，则
0
0
1
1
1
1
,
2
2
2
x
y
FQ
PF
- -
-
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，故
0
0
3
,
2
2
y
Q
x
æ
ö
ç
÷
è
- -
ø
-
，
故
2
2
0
0
1
3
2
2
4
3
x
y
+
- -
-
æ
ö
æ
ö
ç
÷
÷
è
ø
è
ø =
ç
，化简得

2
0
0
2
1
3
16
12
x
y
+
+
= ，又
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，
则

2
0
2
0
3 1
4
1
6
12
3
1
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
+
+
= ，解得
0
1
2
x =
，则
2
2
0
0
1
45
3 1
3
1
4
16
16
x
y
æ
ö
æ
ö
=
-
= ´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
0
3 5
4
y =
或
0
3 5
4
y = -
（负值舍去），即点P 的坐标为1 3 5
,
2
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
；
（2）由


1
0
0
1
,
PF
x
y
= - -
-
uuur
，
1
1
PF
FQ
l
=
uuur
uuur
，则
0
0
1
1
1
1
,
x
y
FQ
PF
l
l
l
- -
-
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
故
0
0
1
1,
x
y
Q
l
l
æ
ö
ç
÷
-
è
- -
ø
-
，则有
2
2
0
0
1
4
1
1
3
x
y
l
l
- -
-
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
+
÷
è
ø
ø =
è
，
化简得

2
2
2
0
0
0
3
1
1
4
2
x
y
l
l
+
+
+
-
=
，
由
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，则

2
0
2
2
0
3 1
12
0
4
3
1
4
x
x
l
l
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
+
è
ø
+
´
，
整理得







2
0
0
0
2
2
2
3
2
1
0
3
5
5
x
x
x
l
l
l
l
-
+
-
=
-
é
ù
ë
+
+
+
=
û
，
则
0
2
5
3
x
l
+
=
或
1
l = - （负值舍去）；


2 1,0
F
，则


2
0
0
1
,
PF
x
y
=
-
-
uuuur
，由
2
2
PF
F R
m
=
uuur
uuur
，则
0
0
2
2
1
1
,
x
y
F
PF
R
m
m
m
æ
ö
-
-
=
= ç
÷
è
ø
uuuur
uuuur
，
故
0
0
1
1,
R
x
y
m
m
æ
ö
ç
÷
è
-
+
ø
-
，则有
2
2
0
0
1
1
1
4
3
x
y
m
m
+
æ -
ö
æ -
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
=
ø
，
化简得

2
2
2
0
0
0
3
1
1
4
2
x
y
m
m
-
-
+
-
=
，
由
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，则

2
0
2
2
0
3 1
12
0
4
3
1
4
x
x
m
m
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
-
è
ø
-
´
，
整理得








2
0
0
0
2
2
2
3
2
1
0
3
5
5
x
x
x
m
m
m
m
-
-
+
-
+
=
+
×
+
=
é
ù
ë
û
，
则
0
3
5
2x
m
-
-
=
或
1
m = - （负值舍去）；
故
0
0
5
5
2
2
10
3
3
3
x
x
l
m
+
-
+
=
-
=
，
故l
m
+
是定值，且
10
3
l
m
+
=
；
（3）
1 2
1
2
1
2
1
sin
2
PF F
S
PF
PF
F PF
=
×
Ð
V
，
1
2
1
sin
2
PQR
S
PQ
PR
F PF
=
×
Ð
V
，
则



1 2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
sin
2
1
sin
2
PQR
PF F
PQ
PR
F PF
S
PQ
PR
S
PF
P
P
F
PF
PF
PF
PF
F
FQ
PF
F R
F PF
×
Ð
×
=
=
=
×
×
×
Ð
+
+
V
V
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
P
PF
F
PF
P
P
F
PF
F
l
m
lm
l
m
l
m
lm
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
ç
÷ç
÷
×
è
è
æ
ö
æ
ö
+
+
ç
÷ç
÷
+
+
+
øè
ø
ø
è
ø
，
则
2
1 2
1
1
1
2
2
1
1
1
PQR
PF F
PF
F
F
PF F
F QR
S
S
S
S
S
lm
l
m
l
m
lm
lm
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
ø
+
+
+
+
+
÷
è
ø
è
V
V
V
V
四边形
，
由
0
2
5
3
x
l
+
=
，
0
3
5
2x
m
-
-
=
，则
2
0
0
0
2
2
25
4
3
3
9
5
5
x
x
x
lm
-
æ
öæ
ö
=
-
=
ç
÷ç
+
÷ø
-
è
øè
，
又
1 2
1
2
0
0
1
2
PF F
S
F F
y
y
=
×
=
V
，
则


1
1
2
2
0
0
0
2
2
0
0
1
4
10
9
1
39
3
1
25
25
4
PF
Q
F
F
RF
y
y
S
S
y
x
x
l
m
l
m
lm
lm
æ
ö
+
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
=
=
=
ç
+
+
+
+
-
÷
è
ø
-
V
四边形
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
39
117
117
11
1
7
13 3
8
2
27
27 16
27
6
25
4 4 1
16
3
y
y
y
y
y
y
y
y
+
æ
ö
+
=
ç
=
=
£
´
÷
è
=
- ´
-
ø
，
当且仅当
0
0
27
16y
y =
，即
0
3 3
4
y =
时，等号成立，
故四边形
1
2
FQRF 面积最大值为13 3
8
.
22．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为4，直线
(
0)
y
kx k
=
>
与椭圆C 交
于A ，B 两点（点A 在第一象限）．当
2
2
k =
时，A ，B 在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求C 的标准方程；
(2)若AM
x
^
轴于点M ，连接BM 并延长交C 于点P ，记直线AP 的斜率为
0k ．
（ⅰ）证明：
0
kk 为定值；
（ⅱ）设|
|
|
|
AB
t AP
=
，求t 的最小值．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 2 ．
【分析】（1）设椭圆焦距为2c ，则椭圆过点
2
, 2
c
c
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，代入椭圆方程，结合2
4
a =
及
2
2
2
a
b
c
-
=
，求出
,c b ，即可得到椭圆的标准方程；
（2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用k 表示
0k ，即可证
0
kk 为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的
关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得t 的最小值．
【详解】（1）由题意有2
4
a =
，所以
2
a =
.
设椭圆焦距为2c ，易知椭圆过点
2
, 2
c
c
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
2
1
4
2
c
c
b
+
= .
又
2
2
2
a
b
c
=
+
，所以
2
2
4
c
b
=
-
.
所以
2
2
2
4
4
1
4
2
b
b
b
-
-
+
= ，即


2
2
4
2
0
b
b
+
-
=
，解得
2
2
b =
.
所以
2
a =
，
2
b
c
=
=
，故C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ． 
（2）（ⅰ）设


0
0
0
0
,
0,
0
A x
y
x
y
>
>
，
0
0
(
,
)
B
x
y
-
-
，
1
1
( ,
)
P x y
，则
0 0
(
)
,
M x
，由题意有
0
0
k
y
x
=
．
直线BP 的斜率即PB BM 的斜率为
0
0
2
2
y
k
x
-
=
-
，所以直线BP 的方程


0
0
2
k
y
y
x
x
+
=
+
.
所以


1
0
1
0
2
k
y
y
x
x
+
=
+
，又A ，P 在椭圆上，
∴
2
2
0
0
2
2
1
1
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，∴





1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
.
∴




1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
2
2
2
y
y
x
x
x
x
k
k
x
x
y
y
k
x
x
-
+
+
=
= -
= -
= -
-
+
´
+
，
∴
0
1
kk = - .
（ⅱ）∵
ABP
AOM
BMO
AOM
PMx
Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
而tan
AOM
k
Ð
=
，tan
2
k
PMx
Ð
=
，
由（ⅰ）知
0
1
kk = - ，
∴
^
AP
AB ，又
0
k >
，
∴
2
2
1
tan
tan
2
tan
1
tan
tan
2
1
2
k
k
AP
AOM
PMx
k
ABP
k
t
AB
AOM
PMx
k
-
Ð
-
Ð
=
=
Ð
=
=
=
+
Ð
Ð
+
+
，
∴
2
2
2
2
2
·
2 2
k
t
k
k
k
k
k
+
=
=
+
³
=
.
当且仅当
2
k
k
=
，即
2
k =
时等号成立.
所以
2 2
t ³
．t 的最小值为2 2 ．
23．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其左顶点为A，上顶点为
B，
AOB
V
的面积是1，其中O 是原点，平行于AB 的直线l 与C 交于M，N.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据离心率可得
2
a
b
=
，再结合
AOB
V
的面积可得
1
b = ，
2
a =
，即可得椭圆方程；
（2）设直线l：
1
,
1
2
y
x
m m
=
+
¹ ，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段AB 、MN 的中点，结合等
腰梯形的性质列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为
2
3
1
2
c
b
e
a
a
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，可得
1
2
b
a =
，即
2
a
b
=
，
则
2
OA
a
b
=
=
，OB
b
=
，
又因为
AOB
V
的面积
2
1
1
2
AOB
S
OA OB
b
=
×
=
=
V
，即
1
b = ，
2
a =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由（1）可知：

2,0
A -
，

0,1
B
，
则直线AB 的斜率
1
2
k =
，且线段AB 的中点为
1
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
假设存在直线l 满足题意，设直线l：
1
,
1
2
y
x
m m
=
+
¹ ，


1
1
,
M x y
，


2
2
,
N x
y
，
联立方程
2
2
1
2
1
4
y
x
m
x
y
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 可得
2
2
2
2
2
0
x
mx
m
+
+
-
=
，
则


2
2
Δ
4
4 2
2
0
m
m
=
-
-
>
，解得
2
2
m
-
<
<
，
可得
1
2
2
x
x
m
+
= -
，
2
1
2
2
2
x x
m
=
- ，
即
1
2
2
x
x
m
+
= -
，则
1
2
1
2
1
2
2
2
2
y
y
x
x
m
m
+
+
=
´
+
=
，
可得线段MN 的中点为
, 2
m
Q
m
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，直线PQ的斜率
1
1
2
2
1
2
PQ
m
k
m
-
=
= -
-
+
，
此时
1
1
4
PQ
k k
×
= -
¹ - ，可知直线AB 与直线PQ不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l 满足题意.
24．（2026·河北保定·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= 

0
a
b
>
>
的右顶点为


2,0
D
，离心率为
1
2 ，过C 的左
焦点F 的直线与C 交于异于点D 的A ，B 两点.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)记直线AB 的斜率为k ，直线AD 与直线BD 的斜率分别为
1
2
,
k k ，
（i）若
1
2
2
k
k
+
=
，求k ；
（ii）若
4 2
tan
3
ADB
Ð
=
，求
ABD
△
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）
1
2
k = -
；（ii）18 2
7
【分析】（1）根据条件可求,a b ，得到椭圆方程.
（2）设直线AB 的方程为

1
y
k x
=
+
，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得
1
2
x
x
+
，
2
1x x .
（i）化简
1
2
k
k
+
，结合
1
2
2
k
k
+
=
，可求k .
（ii）化简
1 2
k k ，结合
4 2
tan
3
ADB
Ð
=
，表示出
1
2
k
k
-
，再利用



2
2
1
2
1
2
1
2
4
k
k
k
k
k k
-
=
+
-
，求k 的值，再
用
1
2
1
2
ABD
S
FD
y
y
=
×
×
-
V
求
ABD
△
的面积.
【详解】（1）由题意，
2
a =
，
1
2
c
e
a
=
=
，所以
1
c = ，所以
2
2
2
4 1
3
b
a
c
=
-
=
- =
.
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）直线AB 的方程为

1
y
k x
=
+
，（
0
k ¹
），代入椭圆方程
2
2
3
4
12
x
y
+
=
，得：


2
2
2
3
4
1
12
x
k
x
+
+
=
.
整理得

2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
.
设

1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
，则
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
+
= -
+
，


2
1
2
2
4
3
3
4
k
x x
k
-
=
+
.
如图：
（i）因为
1
1
1
2
y
x
k =
-
，
2
2
2
2
y
k
x
=
-
所以
1
2
1
2
1
2
2
2
y
y
k
k
x
x
+
=
+
-
-













1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
k x
k x
k x
x
k x
x
x
x
x
x
+
+
+
-
+
-
+
=
+
=
-
-
-
-




1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
k
x x
x
x
x x
x
x
é
ù
-
+
-
ë
û
=
-
+
+




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
8
3
4
4
3
4
3
4
3
4
4
3
16
3
4
4
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
é
ù
-
+
ê
ú
+
- ´
+
+
+
ê
ú
ë
û
=
-
+
+
+ ´
+
+
+


2
36
1
36
k
k
k
´ -
=
= -
由
1
2
k
-
=
Þ
1
2
k = -
.
（ii）因为
1
2
1
2
1
2
2
2
y
y
k k
x
x
=
×
-
-










2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
k x
k x
k
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
=
×
=
-
-
-
-




2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
k
x x
x
x
x x
x
x
é
ù
+
+
+
ë
û
=
-
+
+




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
8
3
4
3
4
3
4
3
4
4
3
16
3
4
4
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
é
ù
-
+
ê
ú
-
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
=
-
+
+
+ ´
+
+
+


2
2
9
1
36
4
k
k
´ -
=
= -
.
由
4 2
tan
3
ADB
Ð
=
Þ
1
2
1
2
4 2
1
3
k
k
k k
-
=
+
Þ
1
2
4 2
3
2
3
4
k
k
-
=
×
=
.
由



2
2
1
2
1
2
1
2
4
k
k
k
k
k k
-
=
+
-
Þ
2
1
2
1
k
=
+
Þ
2
1
k = ，
此时，
1
2
1
2
y
y
x
x
-
=
-


2
1
2
1
2
4
x
x
x x
=
+
-
2
8
8
4
7
7
æ
ö
æ
ö
=
-
- ´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
12 2
7
=
.
所以
1
2
1
1
12 2
18 2
3
2
2
7
7
ABD
S
FD
y
y
=
×
×
-
=
´ ´
=
V
.
25．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的两个焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是C 上的一
个动点，当
1
2
PFF
V
面积取得最大值4 3 时，
1
2
60
PF F
Ð
=
°．
(1)求C 的方程；
(2)过点


3,0
E
的直线l 与C 交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为
1A （
1A 与B 不重合）．
（ⅰ）求证：直线
1A B 过定点；
（ⅱ）求
1
EA B
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
16
12
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）7 3
4
【分析】（1）由题意可得
4 3
bc =
，进而结合已知求得,a b ，可求C 的方程；
（2）（ⅰ）设l 的方程为


3
0
x
my
m
=
+
¹
，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得
1
2
1
2
,
y
y
y y
+
，进而求得直
线
1A B 的方程，由椭圆的对称性可证得结论；（ⅱ）记直线
1A B 过定点为F ，利用
1
1
EA B
EFA
EFB
S
S
S
=
-
V
V
V
计算，
结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）因为
1 2
1
2
1
2
PF F
P
S
F F
y
=
×
V
，又
P
b
y
b
- £
£
，所以

1 2
max
1
2
2
PF F
S
c b
bc
=
´
×
=
V
，
又
1
2
PFF
V
面积取得最大值4 3 ，所以
4 3
bc =
，
在
1
2
PFF
V
中，
1
2
60
PF F
Ð
=
°，所以cos60
c
a
° =
，所以
2
a
c
=
，
又
2
2
2
2
3
b
a
c
c
=
-
=
，所以
3
b
c
=
，所以
2
3
4 3
c =
，解得
2
c =
，
所以
4,
2 3
a
b
=
=
，所以椭圆C 的方程为
2
2
1
16
12
x
y
+
= ；
（2）（ⅰ）当过点


3,0
E
的直线l 不与x 轴重合时，
设直线l 的方程为


3
0
x
my
m
=
+
¹
，



1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
由
2
2
3
1
16
12
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得

2
2
3
3
4
48
my
y
+
+
=
，
整理得

2
2
3
4
18
21
0
m
y
my
+
+
-
=
，
由韦达定理得
1
2
1
2
2
2
18
21
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
因为
1A 为点A 关于x 轴的对称点，所以


1
1
1
,
A x
y
-
，所以
1
2
1
2
1
AB
y
y
k
x
x
+
=
-
，
所以直线
1A B 的方程为


2
1
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
+
+
=
-
-
，
由对称性，直线
1A B 所过定点一定在x 轴上，
令
0
y =
，可得


1
2
1
1
2
1 1
2 1
1 1
1
2
2 1
1
2
1
2
1
2
1
y
x
x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
x
x
y
y
y
y
y
y
-
-
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+






1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
3
3
2
3
2
3
y
my
y
my
my y
y
y
my y
y
y
y
y
y
y
+
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
2
2
21
2
16
3
4
3
18
3
3
4
m
m
m
m
æ
ö
´ -
ç
÷
+
è
ø
=
+
=
-
+
，
所以直线
1A B 过定点16 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
当过点


3,0
E
的直线与x 轴重合时，显然过点16 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
综上所述：直线
1A B 过定点16 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
（ⅱ）记直线
1A B 过定点为
16 ,0
3
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，
则


1
1
1
2
2
1
1 16
1 16
7
3
3
2 3
2 3
6
EA B
EFA
EFB
S
S
S
y
y
y
y
=
-
=
-
´ -
-
-
´
=
- -
V
V
V
2
1
2
2
18
18
18
7
7
7
7
7 3
6
6 3
4
6
6
4
4 3
2 3
4
m
m
m
y
y
m
m
m
=
+
=
×
£
×
=
×
=
+
´
，
当且仅当
2
3
4
m =
，即
2 3
3
m = ±
时，等号成立，
所以
1
EA B
V
面积的最大值为7 3
4
．
26．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点
(0,1), (0, 1)
A
B
-
，直线AP 与BP 相交于点
P，且两直线的斜率之积为
1
2
-
．
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)直线1 :
2
1
0
l
x
y
-
+ =
与动点P 的轨迹交于C，D 两点，求弦长|
|
CD ；
(3)若动点P 的轨迹为闭合曲线，点(2,0)
T
，动点P 的轨迹上存在不关于x 轴对称的两点M，N，使得
MTN
Ð
恰好被x 轴平分，求MTN
V
面积的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1(
0)
2
x
y
x
+
=
¹
(2) 5
2
3
(3)
2
0, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【分析】（1）结合斜率公式计算即得动点P 的轨迹方程；
（2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得；
（3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点(1,0) ，再列出三角
形的面积及基本不等式计算范围．
【详解】（1）设交点P 的坐标为( , )
x y ，因为直线AP 与BP 的斜率之积为
1
2
-
，
所以
1
1
1
2
y
y
x
x
-
+
×
= -
，所以


2
2
2
1
0
x
y
+
-
=
，则
2
2
1
2
x
y
+
= ，
故动点P 的轨迹方程为
2
2
1(
0)
2
x
y
x
+
=
¹
．
（2）由1 :
2
1
0
l
x
y
-
+ =
与椭圆
2
2
:
1
2
x
P
y
+
= 联立，可得
2
3
2
3
0
x
x
+
-
=
，
设




,
,
,
C
C
D
D
C x
y
D x
y
，则
2 ,
1
3
C
D
C
D
x
x
x
x
+
= -
×
= - ，      
所以弦长


2
2
2
2
1
2
5
1
4
1
4 ( 1)
2
2
3
3
C
D
C
D
CD
k
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
×
+
-
×
=
+
×
-
- ´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
（3）设直线MN 的方程为




1
1
2
2
(
0),
,
,
,
x
my
t m
M my
t y
N my
t y
=
+
¹
+
+
，
由
2
2
,
1,
2
x
my
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得

2
2
2
2
2
2
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，
所以


2
2
Δ
8
2
0
m
t
=
-
+
>
，
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
mt
y
y
m
t
y y
m
-
ì
+
=
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
因为
MTN
Ð
恰好被x 轴平分，所以
MTO
NTO
Ð
= Ð
，               
所以直线MT 的斜率
MT
k
与直线NT 的斜率
NT
k
存在且
0
MT
NT
k
k
+
=
，
即
1
2
1
2
0
2
2
y
y
my
t
my
t
+
=
+ -
+ -
，整理得


1
2
1
2
2
(
2)
0
my y
t
y
y
+
-
+
=
，
即



2
2
2
2
2
0
m t
t
mt
-
-
-
×
=
，因
0
m ¹
，解得
1
t = ，即直线MN 经过定点(1,0) ，
所以MTN
V
的面积


2
1
2
2
2
1
1
2
1
2 1
4
2
2
2
2
MTN
m
S
y
y
m
m
-
æ
ö
=
-
-
=
´
+ ´
ç
÷
+
+
è
ø
V


2
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
m
m
m
m
m
m
×
+
×
+
=
=
=
£
+
+
+ +
+
，
当且仅当
2
2
1
1
1
m
m
+ =
+
，即
0
m =
时，等号成立．
因为
0
m ¹
，所以MTN
V
面积的取值范围是
2
0, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
27．（2026·安徽合肥·一模）已知

2,0
A
，点P 是
2
2
1 : (
2)
4
O
x
y
+
+
=
e
上的任意一点，线段AP 的垂直平分
线与直线
1
O P 相交于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)与x 轴不重合的直线l 过点



,0
0
M m
m ¹
，曲线C 上存在两点
,
B D关于直线l 对称，且BD 的中点N 的
横坐标为n ．
①求m
n 的值；
②若
,
B D均在y 轴右侧，且直线l 过点


0,4
E
，求
BED
Ð
的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)①4 ；②
2π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【分析】（1）根据点Q 在AP 的垂直平分线上，得QA
QP
=
，又Q 在直线OP 上，而P 是已知圆上的动点，
因此OP 为定长，于是QA 与OQ 的差为定值，符合双曲线的定义，由两定点坐标和常数可确定双曲线方
程.
（2）①设出 
,
B D及其中点N ，利用点差法得到直线BD 的斜率与中点坐标的关系，由于
,
B D关于直线l 对
称，故l 是BD 的中垂线，即l 过N 且与BD 垂直，由此可用中点坐标表示出l 的斜率，根据l 过已知点
( ,0)
M m
，又可写出斜率的另一种形式，两斜率相等得到m 与中点横坐标n 的关系.
② 在m 已求出的基础上，直线l 又过点
(4,0)
E
，故l 完全确定，设直线BD 的方程将其与双曲线联立，利用
,
B D均在y 轴右侧（即横坐标大于零）以及中点N 的横坐标关系，通过判别式和韦达定理得到直线BD 斜率
的取值范围，最后将
BED
Ð
转化为向量夹角，用坐标表示后代入参数范围，即可求得角度的取值范围.
【详解】（1）
2
2
1 :(
2)
4
O
x
y
+
+
= 的圆心为


1
2,0
O -
，半径
2
r =
，因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上，所以
QA
QP
=
，由题意，点Q 在线段
1
O P 的延长线或反向延长线上，
所以
1
1
1
1
2
4
QP
QO
QA
QO
PO
AO
-
=
-
=
=
<
=
，
所以动点Q 在以A 、
1
O 为焦点的双曲线上，设双曲线方程为


2
2
2
2
1
,
0
x
y
a b
a
b
-
=
>
,
则
1
a = ，
2
c =
，所以
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，
所以点Q 的轨迹方程，即曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ；
（2）①设

1
1
,
B x y
，


2
2
,
D x
y
，



0
0
,
0
N n y
y ¹
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
x
y
x
y
ì
-
=
í
-
=
î
，
所以





1
2
1
2
1
2
1
2
3 x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
=
+
-
，即






1
2
1
2
1
2
1
2
3
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
=
+
-
，
即
3
BD
ON
k
k
×
= ，因为
,
B D关于直线l 对称，所以
1
BD
l
k
k
×
= - ，所以
3
ON
l
k
k
= -
，
即
0
0
3
y
y
n
n
m
-
=
-
，因为
0
0
y ¹
，所以1
3
n
n
m
-
=
-
，所以
4
m
n =
；
②依题意直线BD 的斜率存在，设其方程为y
kx
t
=
+ ，由
2
2
3
3
y
kx
t
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
，
整理得

2
2
2
3
2
3
0
k
x
ktx
t
-
-
-
-
=
，由
2
3
0
k
-
¹
，
所以





2 2
2
2
2
2
Δ
4
4 3
3
12
3
k t
k
t
t
k
=
+
-
+
=
-
+
，
则
1
2
2
2
3
kt
x
x
k
+
=
-
，


1
2
1
2
2
6
2
3
t
y
y
k x
x
t
k
+
=
+
+
=
-
，所以
2
2
3
,
3
3
kt
t
N
k
k
æ
ö
ç
÷
-
-
è
ø ，
则
2
2
2
3
4
3
12
4
3
3
EN
t
t
k
k
k
kt
kt
k
-
-
+
-
=
=
-
，因为BD
EN
^
，所以
2
3
12
4
1
t
k
k
kt
-
+
×
= - ，
所以
2
3
t
k
=
-
，所以
2
2
2
2
2
3
4
1
3
3
kt
t
EN
k
k
k
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
，


2
2
2
2
1
2
2
12
3
1
1
3
t
k
BD
k
x
x
k
k
-
+
=
+
-
=
+
-



2
2
2
2
3
4
3
2 1
3
k
k
k
k
-
-
=
+
-


2
2
2
2
2
3
4
3
2 1
2 1
3
3
3
k
k
k
k
k
-
=
+
=
+
+
-
-
，
在Rt BNE
V
中，
2
1
3
2
tan
3
3
BD
BEN
EN
k
Ð
=
=
+
-
，
又
,
B D均在y 轴的右侧，所以
2
2
2
2
2
2
3
0
3
0
2
0
3
3
0
3
k
t
k
kt
k
t
k
ì -
¹
ï
-
+
>
ï
ïí
>
-
ï
ï
+
-
>
ï
-
î
，
解得
2
4
k > ，所以
2
3
0
3
3
3
k
<
+
<
-
，所以0
tan
3
BEN
<
Ð
<
，
所以
π
0
3
BEN
< Ð
<
，所以
2π
2
0, 3
BED
BEN
æ
ö
Ð
= Ð
Îç
÷
è
ø，
即
BED
Ð
的取值范围为
2π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
28．（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：
2
2
2
2
1,
0
x
y
a
b
a
b
+
= （＞＞）的左、右顶点分别为




3,0 ,
3,0
A
B
-
，F 为椭圆C 的右焦点，P 为椭圆C 上不同于A、B 的动点，若
5
9
PA
PB
k
k
×
= -
，直线PF 与
椭圆C 的另一个交点为Q．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求
PAQ
△
面积的最大值；
(3)若P 在x 轴的上方，设直线AP、BQ 的斜率分别为
1
2
k
k
、
，是否存在常数l ，使得
1
2
0
k
k
l
+
=
成立？若存
在，请求出l 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
9
5
x
y
+
=
(2) 25
3
(3)存在，
1
5
l = -
【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知a 的值，设

1
1
,
P x y
，则
2
2
1
1
2
1
9
x
y
b
+
= ，分别表示出
,
PA
PB
k
k
再根据
5
9
PA
PB
k
k
×
= -
即可求出
2
b ，则可得椭圆标准方程；
（2）设直线PF 方程为
2
x
my
=
+
，



1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
将直线和椭圆方程联立可得


2
2
5
9
20
25
0
m
y
my
+
+
-
=
，由韦达定理可得
1
2
1
2
,
y
y
y y
+
的值，求出
2
1
2
1
PQ
m
y
y
=
+
-
，再由点到直线
距离公式求出左顶点到直线PF 距离，由面积公式可得到
PAQ
△
面积，再根据换元法即可求出最大值；
（3）假设存在l 使得
1
2
0
k
k
l
+
=
，分别表示出
1
2
,
k k ，再根据
1
1
2
2
2,
2
x
my
x
my
=
+
=
+
，代入到
1
2
0
k
k
l
+
=
，
由（2）韦达定理可知
1
2
1
2
,
y
y
y y
+
的值，代入到上式，再根据对任意的m 都成立，可求出l 值.
【详解】（1）由椭圆的左右顶点可知
3
a =
，
设

1
1
,
P x y
，则
2
2
1
1
2
1
9
x
y
b
+
= ，
化简可得
2
2
2
1
1
1
9
x
y
b æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，则
1
1
1
1
,
3
3
PA
PB
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
9
5
3
3
9
9
9
PA
PB
x
b
y
y
y
k
k
x
x
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
×
=
´
=
=
= -
+
-
-
-
，
所以
2
5
b =
，则椭圆的标准方程为
2
2
1
9
5
x
y
+
= ；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为

2,0 ，设直线PF 方程为
2
x
my
=
+
，




1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，将直线和椭圆方程联立
2
2
2
1
9
5
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，
代入可得

2
2
5
9
20
25
0
m
y
my
+
+
-
=
，
由韦达定理可知
1
2
1
2
2
2
20
25
,
5
9
5
9
m
y
y
y
y
m
m
+
= -
×
= -
+
+
，
则


2
2
1
2
1
2
1
2
2
30
1
4
5
9
m
y
y
y
y
y
y
m
+
-
=
+
-
×
=
+
，
而




2
2
2
1
2
1
2
1
2
=
1
PQ
x
x
y
y
m
y
y
-
+
-
=
+
-
，
代入可得


2
2
2
2
2
30 1
30 1
1
5
9
5
9
m
m
PQ
m
m
m
+
+
=
+
´
=
+
+
，
根据点

3,0
A -
到直线
:
2
PF x
my
=
+
距离公式
2
2
3
0
2
5
1
1
d
m
m
- -
-
=
=
+
+
，
所以


2
2
2
2
2
30 1
1
1
5
75 1
2
2
5
9
5
9
1
APQ
m
m
S
d
PQ
m
m
m
+
+
=
´
´
=
´
´
=
+
+
+
V
，
令
2
1
1
t
m
=
+
³ 则
2
2
1
m
t
=
- ，所以
2
75
75
4
5
4
5
APQ
t
S
t
t
t
=
=
+
+
V
，
函数

4
5
f t
t
t
=
+
在

1,+¥ 上单调递增，
所以
1
t = 即

0
m =
时，
min
9
f t
=
，
此时
APQ
SV
的面积最大，最大值为25
3 ；
（3）假设存在l 使得
1
2
0
k
k
l
+
=
，分别求出
1
2
1
2
1
2
,
3
3
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
因为



1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
在直线
2
x
my
=
+
上，
所以
1
1
2
2
2,
2
x
my
x
my
=
+
=
+
，
故
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
3
3
2
3
2
3
y
y
y
y
k
k
x
x
my
my
l
l
l
+
=
+
=
+
=
+
-
+
+
+
-
，
化简可得


1
2
2
1
1
5
0
m
y y
y
y
l
l
+
+
-
=
，
由（2）知
1
2
1
2
2
2
20
25
,
5
9
5
9
m
y
y
y
y
m
m
+
= -
×
= -
+
+
，
则
1
2
2
20
5
9
m
y
y
m
= -
-
+
，所以可得


2
2
2
2
25
1
20
5
0
5
9
5
9
m
m
y
y
m
m
l
l
+
-
+
+
+
=
+
+
，
整理化简可得




2
2
25
1
20
5
1
0
5
9
m
m
y
m
l
l
-
+
+
+
+
=
+
，
要对任意的m 都成立，需系数满足


25 1
20
0
5
1
0
l
l
ì-
+
+
=
í
+ =
î
，
解得
1
5
l = -
，故存在
1
5
l = -
，使得
1
2
0
k
k
l
+
=
.
29．（2026·江苏·一模）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线的倾斜角为
1
2
60
F F
o,
,
分别为左、
右焦点，A 为右顶点，
,
P Q 为C 左支上的两个动点（不包括顶点）．
(1)求C 的离心率；
(2)是否存在常数

0
t t >
，使得
1
1
=
PAF
t
PF A
Ð
Ð
总成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若a 为定值，直线PQ经过
1F ，求AP
AQ
+
的最小值．
【答案】(1)2
(2)存在常数
1
2
t =
，理由见解析
(3)6 2a
【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得a，b 的关系，求出a 与c 的关系，代入公式，
即可得答案.
（2）当
1
π
2
PF A
Ð
=
时，根据条件，求出
1
π
4
PAF
Ð
=
，即可得关系；当
1
π
2
PF A
Ð
¹
时，分别求出
1
1
tan
tan
PAF
PF A
Ð
Ð
，
的表达式，化简整理，分析即可得关系.
（3）设出直线PQ的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得
P
Q
P
Q
y
y
y y
+
，
表达式，进而可得
P
Q
y
y
-
表达式，利用导数求出
P
Q
y
y
-
的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案.
【详解】（1）由题意
tan60
3
b
a =
=
o
，所以
2
2
3
2
=
=
+
=
b
a
c
b
a
a
，
，
所以C 的离心率
2
c
e
a
=
=
.
（2）①当
1
π
2
PF A
Ð
=
时，
1
3
=
+
=
AF
a
c
a ，
2
2
1
1
3
3
3
P
PF
y
c
a
a
AF
=
=
-
=
=
，
此时
1
π
4
PAF
Ð
=
，有
1
1
1
2
=
PAF
PF A
Ð
Ð
.
②当
1
π
2
PF A
Ð
¹
时，可得
1,
PF PA的斜率都存在，设

,
P m n ，
则
1
1
1
tan
tan
2
-
= -
=
=
=
-
+
PA
PF
n
n
PAF
k
PF A
k
m
a
m
a
Ð
Ð
，
，
因为




1
1
2
2
2
2
2
tan
tan2
0
2
2
1
n
n m
a
n
n
m
a
PF A
PAF
m
a
m
a
n
m
a
n
m
a
-
-
-
Ð
-
Ð
=
-
=
+
=
+
+
-
-
-
æ
ö
-ç
÷
-
è
ø
，
即
1
1
tan
tan2
=
PF A
PAF
Ð
Ð
，其中
1
PAF
Ð
为锐角，
即


1
2
0,π
PAF
Ð
Î
，


1
0,π
PF A
Ð
Î
，
所以
1
1
2
PF A
PAF
Ð
= Ð
，即
1
1
1
2
=
PAF
PF A
Ð
Ð
.
所以存在常数
1
2
t =
，使得
1
1
=
PAF
t
PF A
Ð
Ð
总成立.
（3）由对称性，设直线PQ的方程为
3
2
0, 3
x
a
ty t
æ
ö
é
ö
+
=
Î
ç
÷
÷
ê
÷
ç
÷
ë
ø
è
ø
，代入
2
2
2
3
3
x
y
a
-
=
，
得

2
2
2
3
2
3
ty
a
y
a
-
-
=
，即

2
2
2
3
1
12
9
0
t
y
aty
a
-
-
+
=
，




2
2 2
2
2
2
2
2
2
12
9
Δ
144
36
3
1
36
1 .
3
1
3
1
P
Q
P
Q
at
a
y
y
y y
a t
a
t
a
t
t
t
+
=
=
=
-
-
=
+
-
-
，
，
所以






2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
1
12
4 9
4
3
1
3
1
3
1
P
Q
P
Q
P
Q
a
t
at
a
y
y
y
y
y y
t
t
t
+
´
æ
ö
-
=
+
-
=
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
-
，
令
2
4
1
1, 3
s
t
é
ö
=
+ Î
÷
êë
ø ，则



2
2
2
2
1
3
4
3
1
t
s
s
t
+
=
-
-
，
令



2
3
4
s
f s
s
=
-
，则









2
4
3
3
4
6
3
4
3
4
0
3
4
3
4
s
s
s
s
f
s
s
s
¢
-
-
-
-
-
=
=
>
-
-
，
所以

f s 单调递增，所以

f s 的最小值为
1
1
f
= ，
所以




2
2
2
2
36
1
6
3
1
P
Q
a
t
y
y
a
t
+
-
=
³
-
，当且仅当“
0
t =
”时，取等号.
由（2）可知
1
1
1
1
1
1
2
2
PAF
PF A
QAF
QF A
Ð
Ð
Ð
Ð
=
=
,
，
所以


1
1
1
1
1
π
2
2
PAQ
PAF
QAF
PF A
QF A
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
.
所以
1
2
2 2
2
APQ
P
Q
AP
AQ
AP
AQ
S
y
y
AF
+
³
×
=
=
-
´
V
2 3
6 2
P
Q
a y
y
a
=
-
³
，
当且仅当“ AP
AQ
=
且
0
t =
”时，取等号．
所以
+
AP
AQ 的最小值为6 2a .
30．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的焦距与短轴长均为2 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)已知直线1l ：y
kx
=
（
0
k >
）与椭圆C 交于A，B 两点，点A 在x 轴上方，过点B 作斜率为2
k 的直线2l ，
交椭圆C 于另一个点P.
①证明：AB
AP
^
.
②求ABP
V
面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
(2)①证明见解析；②16
9 .
【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得标准方程；
（2）解法一：①直接用
1
AP
k k
×
= - 证明两条直线垂直可得；②由三角形为直角三角形可得面积
2
2
1
8
1
2
5
k
k
S
k
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，再通过
1
t
k
k
=
+
换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值；解法二：①利用点差
法可得
1
2
AP
BP
k
k
×
= -
且
1
2
BP
k
k
=
，进而可得
1
AP
k
k
×
= - ，从而可得AB
AP
^
；②先计算
2
2
2
2
1
1
2
4(1
)
1
2
k
OA
x
y
k
+
=
+
=
+
，再根据直线AB 的倾斜角与直线BP 的倾斜角的差为
ABP
Ð
，进而可得


2
tan
tan
2
k
ABP
k
a
b
Ð
=
-
=
+
，所以三角形的面积


2
1 2
tan
2
S
OA
ABP
=
Ð
2
2
1
8
1
2
5
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，再通过
1
t
k
k
=
+
换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值.
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
a
b
b
a
b
c
ì
-
=
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
a =
，
2
b =
，
所以椭圆C 的标准方程是
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）解法一：联立方程
2
2
,
1,
4
2
y
kx
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
2
2
2
2
1
2
2
1
x
k
k
y
k
ì =
ï
+
ïí
ï
=
ï
+
î
或
2
2
2
2
1
2
2
1
x
k
k
y
k
ì = -
ï
+
ïí
ï
= -
ï
+
î
.
因为点A 在x 轴上方，所以
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
A
k
k
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
B
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
则直线2l 的方程为
2
2
2
2
2
2
1
2
1
k
k
y
x
k
k
æ
ö
æ
ö
- -
=
+
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，即
2
2
2
1
k
k
y
x
k
=
-
+
.
又由
2
2
2
2
2
1
1
4
2
k
k
y
x
k
x
y
ì
=
-
ïï
+
í
ï
+
=
ïî
，消去y 化简得

2
2
2
2
2
2
4
12
8
2
0
2
1
2
1
k
k
k
x
x
k
k
+
+
-
-
=
+
+
，
则



2
2
2
12
8
2
1
2
B
P
k
x x
k
k
+
= -
+
+
，所以


2
2
2
6
4
2
2
1
P
k
x
k
k
+
=
+
+
，
故点P 的坐标为




2
3
2
2
2
2
6
4
2
,
2
2
1
2
2
1
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
.如图：
①证明：因为
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
A
k
k
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，




2
3
2
2
2
2
6
4
2
,
2
2
1
2
2
1
k
k
P
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
，
所以直线AP 的斜率




3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
6
4
2
2
2
1
2
1
AP
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
+
=
+
-
+
+
+
3
2
2
2
2
2
2
6
4
2
2
k
k
k
k
k
-
+
=
+
-
+




3
2
2
2
2
2
2
6
4
2
2
k
k k
k
k
-
+
=
+
-
+
2
4
1
4
k
k
k
-
=
= -
，
所以
1
AP
k k
×
= - ，故AB
AP
^
.
②因为
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
A
k
k
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
B
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
AB
k
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø
.
因为
2
2
2
2
,
2
1
2
1
k
A
k
k
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，




2
3
2
2
2
2
6
4
2
,
2
2
1
2
2
1
k
k
P
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
，
所以




2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
k
k
k
AP
k
k
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø


2
2
2
4
1
2
2
1
k k
k
k
+
=
+
+
.
因为AB
AP
^
，所以ABP
V
的面积


2
2
2
2
2
1
1
4
1
4
1
2
2
2
1
2
2
1
k
k k
S
AB
AP
k
k
k
+
+
=
×
=
´
´
+
+
+


3
4
2
2
2
1
8
8
1
2
5
2
2
5
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
+
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
.
设
1
t
k
k
=
+
，由
0
k >
，得
2
t ³
，当且仅当
1
k = 时，等号成立，
所以


2
2
8
8
8
1
2
1
2
2
5
2
t
t
S
t
t
t
t
=
=
=
+
-
+
+
.
因为对勾函数
1
2
y
t
t
=
+
在

2,+¥ 上单调递增，所以
1
1
9
2
2 2
2
2
t
t
+
³
´ +
=
，
故
8
16
1
9
2
S
t
t
=
£
+
，当且仅当
2
t =
即
1
k = 时等号成立，
所以ABP
V
面积的最大值为16
9 .
解法二：①设





1
1
1
1
2
2
,
0,
0 ,
,
A x y
x
y
P x
y
>
>
，则

1
1
,
B
x
y
-
-
.如图：
联立方程
2
2
,
1,
4
2
y
kx
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
解得
2
2
1
1
2
2
4
4
,
1
2
1
2
k
x
y
k
k
=
=
+
+
，所以
2
2
2
2
1
1
2
4(1
)
1
2
k
OA
x
y
k
+
=
+
=
+
.
又因A，P 在椭圆上，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
2
-
-
+
=
x
x
y
y
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
×
= -
-
+
，
又因为




2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
,
AP
BP
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
- -
-
+
=
=
=
-
- -
+
，所以
1
2
AP
BP
k
k
×
= -
，且
1
2
BP
k
k
=
，
所以
1
1
2
2
AP
k
k
×
= -
，即
1
AP
k
k
×
= - ，故AB
AP
^
.
②设直线AB 的倾斜角为a ，直线BP 的倾斜角为b ，则
1
tan
,tan
2
k
k
a
b
=
=
，


2
2
1
tan
tan
2
tan
tan
1
1
tan
tan
2
1
2
k
k
k
ABP
k
k
a
b
a
b
a
b
-
-
Ð
=
-
=
=
=
+
+
+
，
因为ABP
V
是直角三角形，
tan
AP
AB
ABP
=
Ð
，
2
AB
OA
=
，
所以
1
1
tan
2
2
S
AB AP
AB
AB
ABP
=
=
×
Ð
2
1
tan
2 AB
ABP
=
Ð


2
1 2
tan
2
OA
ABP
=
Ð
2
2
2
4(1
)
2
1
2
2
k
k
k
k
+
=
´
´
+
+


3
4
2
2
2
1
8
8
1
2
5
2
2
5
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
+
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，
设
1
t
k
k
=
+
，由
0
k >
，得
2
t ³
，当且仅当
1
k = 时，等号成立，
所以


2
2
8
8
8
1
2
1
2
2
5
2
t
t
S
t
t
t
t
=
=
=
+
-
+
+
.
因为对勾函数
1
2
y
t
t
=
+
在

2,+¥ 上单调递增，所以
1
1
9
2
2 2
2
2
t
t
+
³
´ +
=
，
故
8
16
1
9
2
S
t
t
=
£
+
，当且仅当
2
t =
即
1
k = 时等号成立，
所以ABP
V
面积的最大值为16
9 .
31．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线


2
:
2
0
C x
py p
=
>
，O 为坐标原点，过点

1,1
P
作斜率

0
k k <
的直线l 交抛物线C 于
,
A B 两点，其中A 在第一象限，直线OP 交抛物线C 于另一点D ，其中
4
OD
OP
=
uuur
uuur
，
直线OA与直线BD 交于点M ．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)记△MAD 与
MOB
△
的面积分别为
1
2
,
S S ．
①当
,
,
,
O A D B 四点共圆时，求直线l 的方程；
②求
1
2
S
S 的取值范围．
【答案】(1)
2
4
x
y
=
(2)①
2
y
x
= - +
；②

0,1
【分析】（1）根据条件求出点D 的坐标，代入抛物线方程，即可求解；
（2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得
1
2
1
2
4 ,
4
4
x
x
k x
x
k
+
=
×
=
-
，根据条件有
PA
PB
PO
PD
×
=
×
，从而可得

2
1
4
4
4
1
6
k
k
k
+
-
-
+
=
，即可求解；②根据条件求出
1
x 的取值范围，求
出M 的横坐标
1
4
2
M
x
x
=
-
，再利用三角形的面积公式及弦长公式得


2
1
1
2
1
S
x
S =
-
，即可求解.
【详解】（1）因为点

1,1
P
，则


1,1
OP =
uuur
，又
4
OD
OP
=
uuur
uuur
，则


4,4
OD =
uuur
，
所以


4,4
D
，代入抛物线
2
:
2
C x
py
=
，得到16
8p
=
，解得
2
p =
，
所以抛物线C 的方程为
2
4
x
y
=
.
（2）①因为直线l 方程为




1
1
0
y
k x
k
=
-
+
<
，
设



1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，联立


2
4
1
1
x
y
y
k x
ì
=
ïí
=
-
+
ïî
，消y 得到
2
4
4
4
0
x
kx
k
-
+
-
=
，
则
1
2
1
2
4 ,
4
4
x
x
k x
x
k
+
=
×
=
-
，
当
,
,
,
O A D B 四点共圆时，则有
,
OBA
ODA
BOD
BAD
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，故POB
PAD
V
:V
，
则
PO
PA
PB
PD
=
，所以PA
PB
PO
PD
×
=
×
，
又
2
2
1
2
1
1 ,
1
1 ,
2,
3 2
PA
k
x
PB
k
x
PO
PD
=
+
-
=
+
-
=
=
，
所以


2
1
2
1
2
1
1
6
PA
PB
k
x
x
x
x
×
=
+
×
-
-
+
=
，即

2
1
4
4
4
1
6
k
k
k
+
-
-
+
=
，
整理得到
2
1
k = ，又
0
k <
，所以
1
k = - ，故直线l 的方程为
2
y
x
= - +
.
②当
1
y = 时，由
2
4
x
y
=
，得
2
x = ± ，又直线l 的斜率
0
k <
，则
1
1
2
x
<
<
，
由


2
1
1
0,0 ,
, 4
x
O
A x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，得到直线
1
:
4
x
OA y
x
=
，
由


2
2
2
4,4 ,
4
x
D
B x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，得
2
2
2
2
4
4
4
4
4
BD
x
x
k
x
-
+
=
=
-
，
直线


2
4
:
4
4
4
x
BD y
x
+
=
-
+
，联立方程


1
2
4
4
4
4
4
x
y
x
x
y
x
ì
=
ïïí
+
ï
=
-
+
ïî
，解得
2
2
1
4
4
M
x
x
x
x
=
+
-
，
由
1
2
1
2
4 ,
4
4
x
x
k x
x
k
+
=
×
=
-
，得
1
2
1
4
1
x
x
x
-
=
-
，
所以
1
2
1
1
2
1
1
1
1
4
4
4
1
4
4
4
2
4
1
M
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
=
=
=
-
+
-
-
+
-
-
，
又


1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
4
4
1
4
sin
4
2
2
2
1
1
4
4
4
sin
2
2
2
1
M
M
M
M
x
MA MD
AMB
MA MD
x
x
x
x
x
S
x
S
MO MB
x
x
x
x
MO MB
AMB
x
x
x
-
×
-
Ð
-
×
-
-
-
=
=
=
=
=
-
×
-
-
Ð
×
-
-
-
-
，
又
1
1
2
x
<
<
，所以
1
2
0
1
S
S
<
< ，
故
1
2
S
S 的取值范围为

0,1 .
32．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上顶点为


0,1
A
，直线:l y
kx
=
与椭圆C 交
于两点
,
P Q .当
1
k = 时，
4 3
3
PQ =
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当
APQ
△
的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)
2
2
2
0
x
y
y
+
+
-
=
【分析】（1）由上顶点为

0,1
A
得
1
b = ，当
1
k = 时，直线:l y
x
=
与椭圆方程联立，可得到
,
P Q 坐标，结
合已知
4 3
|
|
3
PQ =
，可求出
2
a 的值，进而得到椭圆C 的方程。
（2）设
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q
x
y
-
-
，
APQ
△
的外接圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
，将
, ,
A P Q 三点坐标代入，
结合
,
P Q 在直线y
kx
=
上，化简得到外接圆方程参数的关系，根据外接圆半径公式，利用函数求最值的方
法，求出当半径最大时的参数值，进而得到外接圆的方程
【详解】（1）因为上顶点为

0,1
A
，所以
1
b = ， 
当
1
k = 时，直线:l y
x
=
，代入椭圆方程得
2
2
2
1
x
x
a +
= ，整理得
2
2
2
2
2
1
1
1
1
a
x
x
a
a
æ
ö
+
= Þ
=
ç
÷
+
è
ø
，
解得
2
1
a
x
a
= ±
+
，故
2
2
,
1
1
a
a
P
a
a
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
,
1
1
a
a
Q
a
a
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
又
4 3
|
|
3
PQ =
， 
2
2
2
2
2
2
2
2
8
1
1
1
a
a
a
PQ
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
，所以
2
2
8
4 3
1
3
a
a
=
+
，解得
2
2
a =
，
所以椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）
设
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q
x
y
-
-
，
APQ
△
外接圆方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
代入
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q
x
y
-
-
得
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
x
y
Dx
Ey
F
ì
+
+
+
+
=
í
+
-
-
+
=
î
，两式相加得
2
2
0
0
F
x
y
= -
-
，
两式相减得
0
0
0
Dx
Ey
+
=
又P 点既在:l y
kx
=
，又在椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 上，所以
2
2
2
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
1
1
2
2
1
1
2
x
y
x
y
k
y
kx
x
ì
= -
ì
ï
+
=
ï
ï
Þ
í
í
ï
ï
=
-
=
î
ïî
，
所以
2
2
2
0
0
0
1
2
x
F
x
y
= -
-
= - -
，D
kE
= -
代入

0,1
A
到外接圆方程得0 1 0
0
1
1
E
F
E
F
E
F
+ +
+
+
=
Þ
+
= - Þ
= - -
，
故
2
0
2
x
E =
，
2
0
2
x
D
kE
k
= -
= -
设
2
0 ,
[0,2]
t
x t
=
Î
，则
2
1
1
2
k
t
=
-
，
2
2
2
2
2
2
0
2
4
8
4
x
t
t
t
D
k
k
æ
ö
= -
=
×
= -
+
ç
÷
è
ø
，
2
2
4
t
E =
，
1
2
t
F = - -
所以外接圆半径
2
2
2
2
2
18
32
1
4
4
4
2
8
4
32
4
t
t
t
D
E
t
t
t
R
F
+
+
+
=
+
-
=
+
-
+
+
=
0
t >
时

2
18
32
2
18
0
t
t
t
¢
+
+
=
+
>
，故其在[0,2]上单调递增，在
2
t =
时R 取最大值，
此时，
0
2
x = ±
，
2
1
1
1
1
0
2
2
2
k
t
=
-
=
-
=
，
即
0
k =
，
0
D
kE
= -
=
，
2
0
1
2
x
E =
= ，
1
1 1
2
2
t
F = - -
= - - = -
所以
APQ
△
的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为
2
2
2
0
x
y
y
+
+
-
=
33．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点为A ，上顶点为B ，长轴长为4，
且以短轴为直径的圆与直线
2
y
x
=
+
相切.
(1)求E 的方程；
(2)过点


2,1
P -
的直线l 交E 于
,
C D 两点，直线
,
BC BD 分别交x 轴于
,
M N 两点，证明：
（ⅰ）
, ,
M A N 的横坐标成等差数列；
（ⅱ）
ABD
△
与BMD
V
的面积之比为定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题可得
2
a =
，然后由O 到直线
2
y
x
=
+
的距离可得
1
b = ，据此可得答案；
（2）（i）由题设过点

2,1
P -
的直线方程为


1
2
y
k x
- =
+
，

1
1
,
C x y
、

2
2
,
D x
y
，将直线与椭圆方程联立，
由韦达定理可得
2
1
2
2
16
8
1
4
k
k
x
x
k
+
+
= -
+
，
2
1
2
2
16
16
1
4
k
k
x x
k
+
=
+
，由题可得




1
2
1
2
2
2
M
N
x
x
x
x
k x
k x
=
=
-
+
-
+
，
，验证
2
M
N
A
x
x
x
+
=
可完成证明；
（ⅱ）注意到
1
2
1
2
B
D
ABD
BMD
B
D
AN
y
y
S
S
MN
y
y
×
-
=
×
-
V
V
，据此可完成证明.
【详解】（1）由已知得，2
4
a =
，所以
2
a =
，
原点O 到直线
2
y
x
=
+
的距离为
0
0
2
1
2
b
-
+
=
= ，
所以E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（i）当过点

2,1
P -
的直线斜率不存在时，
直线与椭圆E 只有1 个交点，舍去，
设直线l 的方程为


1
2
y
k x
- =
+
，
设


1
1
,
C x y
、


2
2
,
D x
y
，由


2
2
1
2
1
4
y
k x
x
y
ì - =
+
ïí
+
=
ïî
，
消去y 整理得



2
2
2
2
1
4
16
8
16
16
0
k
x
k
k x
k
k
+
+
+
+
+
=
，
所以





2
2
2
2
Δ
16
8
4 1
4
16
16
0
k
k
k
k
k
=
+
-
+
+
>
，解得
0
k <
，
2
1
2
2
16
8
1
4
k
k
x
x
k
+
+
= -
+
，
2
1
2
2
16
16
1
4
k
k
x x
k
+
=
+
，
直线BC 的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
-
- =
，令
0
y =
，得


1
1
1
1
1
2
M
x
x
x
y
k x
=
=
-
-
+
，
同理可得


2
2
2
2
1
2
N
x
x
x
y
k x
=
=
-
-
+
.




1
2
1
2
2
2
M
N
x
x
x
x
k x
k x
+
=
+
-
+
-
+











1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x
x
x
x
x x
x
x
k x
x
k x x
x
x
+
+
+
+
+
=
=
-
+
+
é
ù
-
+
+
+
ë
û
.
又因为


2
2
1
2
1
2
2
2
2
16
16
16
8
16
2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
æ
ö
+
+
+
+
=
×
+
-
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
，


2
2
1
2
1
2
2
2
2
16
16
16
8
4
2
4
2
4
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
æ
ö
+
+
+
+
+
=
+
-
+
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
.
所以
16
4
2
4
M
N
A
k
x
x
x
k
+
=
= - =
-
，
所以
, ,
M A N 的横坐标成等差数列；
（ⅱ）由（ⅰ）知A 为
,
M N 的中点，得
2
MN
AN
=
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
B
D
ABD
BMD
B
D
AN
y
y
AN
y
AN
S
S
MN
MN
y
y
MN
y
×
-
× -
=
=
=
=
×
-
× -
V
V
，
所以
ABD
△
与BMD
V
的面积之比为
1
2 .
34．（2026·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，椭圆W ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的离心率为
1
2 ，长轴长
为4.
(1)求W 的方程；
(2)若过O 的直线l 交W 于A ，B 两点，点C 在W 上，点D 为直线BC 与x 轴的交点，点A 的横坐标为点D 横
坐标的3 倍.
（ⅰ）证明：AB
AC
^
；
（ⅱ）若点A ，B 都在曲线E ：
1
x
y
m
n
+
=
+
（
2
m≥
）上，求n 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
5
2
-
【分析】（1）利用离心率及长轴长计算即可得；
（2）（ⅰ）法一：设

0
0
,
A x
y
，


1
1
,
C x y
，借助点差法计算即可得；法二：设AC
l
：y
kx
t
=
+ ，联立椭圆方
程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出
BC
k
与
BD
k
后，由
BC
BD
k
k
=
可得
1
AB
k
k = - ，即可得证；（ⅱ）
设

0
0
,
A x
y
，


0
0
,
B
x
y
-
-
，则有
0
0
1
0
1
0
x
x
m
y
n
m
y
n
+
-
+
ì
=
-
ïí
= -
-
ïî
，两式相乘可得
2
2
2
0
m
n
y
=
-
，则可得
0
0
1
1
2
2
2
0
0
0
3
3
3
3
0
4
4
x
x
m
n
y
m
m
x
x
+
+
+
-
=
-
+ -
-
-
=
，设

1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
x
f x
m
m
x
x
+
=
-
+ -
-
-
，可得

f x 在


0,2 上单调递增，故可得
2
2
2
0
25
4
n
m
y
=
+
³
，即可得解.
【详解】（1）由题得，2
4
a =
，
1
2
c
a =
，得
2
a =
，
1
c = ，
2
3
b =
，
所以W 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）（ⅰ）（法1）设

0
0
,
A x
y
，


0
0
,
B
x
y
-
-
，


1
1
,
C x y
，
0 ,0
3
x
Dæ
ö
ç
÷
è
ø，
因为
2
2
1
1
2
2
0
0
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式作差得：
1
0
1
0
1
0
1
0
3
3
4
4
AC
BC
y
y
x
x
k
x
x
y
y
k
-
+
=
= -
= -
-
+
，
又因为
0
0
3
3
4
4
BC
BD
AB
y
k
k
k
x
=
=
=
，即
4
3
AB
BC
k
k
=
，所以
1
AB
AC
k
k
= - ，
所以AB
AC
^
；
（法2）由题可知直线AC 斜率存在且不为0，
设AC
l
：y
kx
t
=
+ ，

0
0
,
A x
y
，


0
0
,
B
x
y
-
-
，


1
1
,
C x y
，
0 ,0
3
x
Dæ
ö
ç
÷
è
ø，
由
2
2
1
4
3
y
kx
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得

2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
ktx
t
+
+
+
-
=
，所以
0
1
2
8
3
4
kt
x
x
k
+
= -
+
，
所以
2
0
1
0
1
0
1
2
4
3
3
4
4
BC
y
y
t
k
k
k
k
x
x
x
x
k
k
+
+
=
=
+
=
-
= -
+
+
，
0
0
0
3
4
3
BD
AB
y
k
k
x
x
=
=
+
，
因为
BC
BD
k
k
=
，则
3
3
4
4
AB
k
k
-
=
，即有
1
AB
k
k = - ，所以AB
AC
^
；
（ⅱ）设

0
0
,
A x
y
，


0
0
,
B
x
y
-
-
，其中
0
0
x >
，
0
0
y >
，
2
0
0
3
3
4
x
y =
-
，
因为
0
0
1
0
1
0
x
x
m
n
y
m
n
y
+
-
+
ì
+
=
ïí
+
= -
ïî
，所以
0
0
1
0
1
0
x
x
m
y
n
m
y
n
+
-
+
ì
=
-
ïí
= -
-
ïî
，
两式相乘得：
2
2
2
0
m
n
y
=
-
，又因为
0 1
0
0
x
n
m
y
-
+
= -
-
£
，
所以
2
2
2
2
0
0
3
3
4
n
m
y
m
x
= -
+
= -
+ -
，
所以
0
0
1
1
2
2
2
0
0
0
3
3
3
3
0
4
4
x
x
m
n
y
m
m
x
x
+
+
+
-
=
-
+ -
-
-
=
，
令

1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
x
f x
m
m
x
x
+
=
-
+ -
-
-
（
2
m≥
），
所以

2
2
2
2
2
9
3
9
9
15
1
4
2
4
4
4
f
m
m
m
m
æ
ö
=
-
+
-
=
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
令
2
9
5
4
2
u
m
=
+
³
，又因为
2
15
4
g u
u
u
=
-
-
在区间5 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø 上单调递增；
所以

2
2
9
9
15
1
2
2
0
4
4
4
f
³
+
-
+
-
=
，
显然

f x 在

0,2 上单调递增，因为


0
0
f x
=
，得
0
0
1
x
<
£ ，
所以
0
3
3
2
y
£
<
，所以
2
2
2
0
25
4
n
m
y
=
+
³
（当且仅当
2
m =
，
0
3
2
=
y
时取等号），
综上，n 的最大值为
5
2
-
.
35．（2026·广东广州·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的焦点到其渐近线的距离为2 ，
点

2,
2 在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)点A ，B 分别在C 的两条渐近线上运动，且
2 2
AB =
，线段AB 的中点为M ．
（ⅰ）设

0, 3
E
，

0,
3
F
-
，求ME
MF
×
的最大值；
（ⅱ）设

,0
P
t
-
，


,0
Q t
（
1
t > ），点M 不在x 轴上，若
2
MQP
MPQ
Ð
= Ð
，求
MP
MQ 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x -
=
(2)（ⅰ）4；（ⅱ）
2 15 ,2
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得
2
b =
，再将点

2,
2 代入到双曲线方程即可求解；
（2）（i）设出渐近线上的点
,
A B ，由中点坐标和
2 2
AB =
得出M 的轨迹为椭圆
2
2
1
4
y
x +
= ，发现
,
E F 为
其焦点，结合椭圆的定义即可求得
4
ME
MF
+
=
，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由
2
MQP
MPQ
Ð
= Ð
及正弦定理，用坐标表示tan ,tan 2
q
q ，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去t ，得到比值关于x 的表达
式，结合x 的取值范围即可求解.
【详解】（1）设右焦点
2( ,0)
F c
，其中一条渐近线方程为
b
y
x
a
=
，即
0
bx
ay
-
=
，
由题意得
2( ,0)
F c
到
0
bx
ay
-
=
的距离
2
2
2
bc
bc
d
b
c
a
b
=
=
=
=
+
，
即
2
2
2
1
2
x
y
a -
= ，因为点

2,
2 在C 上，
将

2,
2 代入，得
2
2
2
1
2
a -
= ，解得
1
a = ，
即双曲线
2
2
:
1
2
y
C x -
= .
（2）（i）由（1）得渐近线方程为
2
y
x
= ±
，设



1
1
2
2
, 2
,
,
2
A x
x
B x
x
-
，
设
( , )
M x y ，则有


1
2
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
y
+
ì =
ïïí
-
ï
=
ïî
，即
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
y
+
=
ìïí
-
=
ïî
，
则




2
2
1
2
1
2
2
2 2
AB
x
x
x
x
é
ù
=
-
+
+
=
ë
û
，
所以



2
2
1
2
1
2
2
8
x
x
x
x
-
+
+
= ，
即



2
2
2
2
2
y
x
=
´
，整理得
2
2
1
4
y
x +
= ，
即M 的轨迹是椭圆
2
2
1
4
y
x +
= ，易得其焦点为


0,
3 , 0, 3
-
，长半轴长为2，
所以
,
E F 是点M 轨迹的焦点，所以
2
2
4
ME
MF
+
=
´
=
，
则


2
4
4
ME
MF
ME
MF
+
×
£
=
，当且仅当
2
ME
MF
=
=
时等号成立.
（ⅱ）在
MQP
△
中，由正弦定理得sin
sin
MP
MQ
MQP
MPQ
=
Ð
Ð
，
因为
2
MQP
MPQ
Ð
= Ð
，所以M 应在y 轴右侧，即0
1
x
<
< ，
且sin
sin 2
2sin
cos
MQP
MPQ
MPQ
MPQ
Ð
=
Ð
=
Ð
×
Ð
，
所以
2cos
MP
MPQ
MQ =
Ð
，设
MPQ
q
Ð
=
，则
2
MQP
q
Ð
=
，
不妨令
0
y >
，因为M 在
2
2
1
4
y
x +
= 上，且
(
,0),
( ,0)
P
t
Q t
-
，
所以tan
,tan 2
y
y
t
x
t
x
q
q
=
=
+
-
，
又




2
2
2
2
2tan
tan 2
1
tan
y t
x
y
t
x
t
x
y
q
q
q
+
=
=
=
-
-
+
-
，
联立




2
2
2
2
1
4
2
y
x
y t
x
y
t
x
t
x
y
ì
+
=
ïïí
+
ï
=
ï
-
+
-
î
，整理得


2
2
7
2
4
0
x
tx
t
+
-
+
=
，
而
0
x >
，解得
2
2 2
7
7
t
t
x
- +
+
=
，
设
2
( )
2 2
7
f t
t
t
= - +
+
，则
2
4
( )
1
2
7
t
f t
t
¢
=
-
+
，
易得当
1
t > 时
( )
0
f t
¢
>
，则
( )
f t 在(1,
)
+¥ 上单调递增，
所以
( )
(1)
5
f t
f
>
= ，即
5
7
x >
，因为
2
2
1
4
y
x +
= 短半轴长为1，因此
5 ,1
7
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
由


2
2
7
2
4
0
x
tx
t
+
-
+
=
整理得


2
2
2
7
4
0
t
xt
x
-
-
-
=
，
因为
1
t
x
> >
，解得
2
2 2
1
t
x
x
=
+
- ，
因为




2
2
2
2
x
t
y
MP
MQ
x
t
y
+
+
=
-
+
，代入
2
2
1
4
y
x +
= ，所以整理得
2
2
2
2
3
2
4
3
2
4
MP
x
tx
t
MQ
x
tx
t
-
+
+
+
=
-
-
+
+
，
令
2
2
1
d
x
=
- ，则
2
t
x
d
=
+
，则
2
2
2
8
4
4
4
4
4
MP
xd
d
MQ
x
d
+
+
=
-
+
+
，代入
2
2
1
d
x
=
- ，
整理得


2
2
8
2
1
2 1
4
x x
d
MP
x
MQ
x
x
æ
ö
+
-
=
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
设
2
2
1
( )
2 1
x
g x
x
æ
ö
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
其中
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
-
-
=
=
-
，
易得当
0
x >
时
2x 单调递增，则
2
1
x 单调递减，
2
1
2
x
-
单调递增，
2
1
2
x
-
单调递增，
2
1
1
2
x
+
-
单调递增，
2
2
1
2 1
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
单调递增，最终有( )
g x 在

0, ¥
+
上单调递增，
所以

2 15
5
( )
1
2
5
7
g
g x
g
æ
ö
=
<
<
=
ç
÷
è
ø
，即
2 15 ,2
5
MP
MQ
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
由于椭圆的对称性，当
0
y <
时结果一致，
综上，
2 15 ,2
5
MP
MQ
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
36．（2026·广东·一模）设双曲线


2
2
2
2
:
1
,
0
x
y
C
a b
a
b
-
=
>
的离心率为2，其左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，过
2
F
的直线l 与双曲线C 的右支交于点
,
M N ．当MN 与x 轴垂直时，
6
MN =
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)求
2
2
MF
NF
×
的最小值；
(3)记
1F MN
△
的内切圆
P
e
与双曲线C 的一个公共点为Q ，双曲线C 的左顶点为A ，证明：
2
2
APQ
F PQ
Ð
Ð
=
．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)9
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意列出关于, ,
a b c 的方程组，求解即得双曲线的标准方程；
（2）设直线MN 的方程为
2
x
t y
=
+
与双曲线方程联立，推得
2
1
0
3
t
£
<
，写出
2
2
MF
NF
×
的表达式，利用
t 的范围，即可求得
2
2
MF
NF
×
的最小值；
（3）先证明
P
e
与边MN 的切点即为点
2
F ，再证
2
2
1
2
|
|
|
|
4
PF
PF
=
+ ，由此推得点P 在直线
1
2
x =
上，再证
2
|
| |
|
QF
QD
=
，结合|
| |
|
DA
QD
=
，
2
|
| |
|
PA
PF
=
且|
| |
|
PQ
PD
=
，可得点
,
,
A D Q 均在
P
e
上，即得证.
【详解】（1）不妨设点M 在第一象限，点N 在第四象限，离心率
2
c
e
a
=
=
① ，
在
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= 中，当x
c
=
时，
2
b
y
a
= ±
，故
2
2
|
|
6
b
MN
a
=
=
，即
2
3
=
b
a
②  ，
又因
2
2
2
c
a
b
=
+
③ ，联立① ②③，解得
1
3
a
b
=
ìïí =
ïî
，
故双曲线C 的标准方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）由（1）得
2(2,0)
F
，当直线MN 的斜率为0 时，直线MN 与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不
符合条件；
当直线MN 的斜率不为0 时，设直线MN 的方程为
2
x
t y
=
+
，
由
2
2
2
1
3
x
ty
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，化简得
2
2
(3
1)
12
9
0
t
y
ty
-
+
+
=
，
设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，则
2
2
1
2
2
3
1
0
Δ
36
36
0
9
0
3
1
t
t
y y
t
ì
ï
- ¹
ï
=
+
>
í
ï
ï
=
<
-
î
，解得
2
1
0
3
t
£
<
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
9(1
)
12
1
1
(1
)
3
3
1
1 3
t
MF
NF
t
y
t
y
t
y y
t
t
+
×
=
+
×
×
+
×
= -
+
= -
= - +
-
-
，
因
2
1
0
3
t
£
<
，则
2
0
1 3
1
t
< -
£ ，故
2
12
12
1
3t ³
-
，即
2
12
3
9
1
3t
- +
³
-
.
故
2
2
MF
NF
×
的最小值为9.
（3）如图，设
P
e
与边MN 切于点E ，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，
1
1
2 |
| |
|
|
|
|
|
ME
MF
MN
NF
=
+
-
1
2
2
1
|
|
|
|
|
|
|
|
MF
MF
NF
NF
=
+
+
-
2
2
1
2
(2 |
|) |
| (|
|
|
|)
MF
MF
NF
NF
=
+
+
-
-
2
2
2
2 |
|
|
| 2
2 |
|
MF
MF
MF
= +
+
- =
，即点
2
F 与点E 重合，即
P
e
与边MN 切于点
2
F .
设
P
e
与边
1F M 切于点G ，则
1
1
1
2
|
| |
|
|
| |
|
|
| 2
GF
MF
MG
MF
MF
=
-
=
-
=
，
在
1
Rt PGF
V
中，
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
PF
PG
GF
PF
GF
PF
=
+
=
+
=
+ .
设点
0
0
(
,
)
P x
y
，点
3
3
(
,
)
Q x
y
，则
2
2
2
2
0
0
0
0
(
2)
(
2)
4
x
y
x
y
+
+
=
-
+
+
，解得
0
1
2
x =
，
即点P 在直线
1
2
x =
上，过点
3
3
(
,
)
Q x
y
作直线
1
2
x =
的垂线，交直线
1
2
x =
于点T ，
其中，
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
1
2 |
|
(
2)
(
2)
3(
1)
|
|
2
2
1
1
1
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
x
x
y
x
x
QF
QT
x
x
x
-
-
+
-
+
-
=
=
=
=
-
-
-
，
设点Q 关于直线
1
2
x =
的对称点为点D ，所以
2
|
| 2 |
| |
|
QF
QT
QD
=
=
.
因为点Q 与点D ，点A 与点
2
F 分别关于直线
1
2
x =
对称，
所以
2
|
| |
| |
|
DA
QF
QD
=
=
，
2
|
| |
|
PA
PF
=
且|
| |
|
PQ
PD
=
，
所以点
,
,
A D Q 均在
P
e
上，且
2
APD
DPQ
QPF
Ð
= Ð
= Ð
，
所以
2
2
APQ
F PQ
Ð
Ð
=
.
37．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
-
，过点
1F 且倾斜角
为a 的直线与椭圆C 相交于
,
A B 两点，当
1
cos
3
a =
时有
1
9
|
|
|
9
5
|
AB
AF
m
=
=
．
(1)求m 的值及椭圆C 的标准方程；
(2)已知线段AB 的中点为G ．
（ⅰ）求点G 的轨迹方程；
（ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于
,
D E 两点，O 为坐标原点，记
1
GF D
△
的面积为
1,
S
OED
△
的面积为
2
S ，求
1
2
2
2
1
2
64
2048
S S
S
S
-
的取值范围．
【答案】(1)
3
5
m =
，
2
2
1
9
8
x
y
+
= ；
(2)（ⅰ）
2
2
8
9
8
0
x
y
x
+
+
=
；（ⅱ）(0,2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解.
（2）（ⅰ）按AB 是否垂直于y 轴分类，设出直线AB 方程并与椭圆方程联立求出点G 坐标，消去参数即得
轨迹方程；（ⅱ）由（ⅰ）求出线段AB 中垂线方程并求出点
,
D E 坐标，进而求出
1
2
,
S S ，再求出目标式的函
数关系，进而求出函数的值域即可.
【详解】（1）由
1
9
|
|
|
9
5
|
AB
AF
m
=
=
，
1
1
|
|
|
| |
|
AF
BF
AB
+
=
，得
1
1
|
| 5 ,|
| 4
AF
m BF
m
=
=
，
由椭圆定义得
2
2
|
| 2
5 ,|
| 2
4
AF
a
m BF
a
m
=
-
=
-
，在
1
2
1
2
,
AF F
BF F
V
V
中，
1
2
1
2
1
|
| 2,cos
3
F F
AF F
=
Ð
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
|
|
|
|
2
cos
|
|
|
|
2
cos
AF
AF
F F
AF F F
AF F
BF
BF
F F
BF F F
BF F
ì
=
+
-
Ð
ïí
=
+
-
Ð
ïî
，
即
2
2
2
2
20
(2
5 )
25
4
3
16
(2
4 )
16
4
3
m
a
m
m
m
a
m
m
ì
-
=
+
-
ïïí
ï
-
=
+
+
ïî
，解得
3
3,
5
a
m
=
=
，则
2
2
1
9
b
a
=
- =
，
所以
3
5
m =
，椭圆C 的标准方程为
2
2
1
9
8
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）设线段AB 的中点
0
0
(
,
)
G x
y
，当直线AB 不垂直于y 轴时，设其方程为
1
x
ty
=
- ，
由
2
2
1
8
9
72
x
ty
x
y
ì =
-
í
+
=
î
，得
2
2
(8
9)
16
64
0
t
y
ty
+
-
-
=
，则
0
2
8
8
9
t
y
t
=
+
，
0
0
2
9
1
8
9
x
ty
t
-
=
- =
+
，
则
0
0
9
8
y
t
x
= -
，
2
0
0
2
0
81
(8
9)
9
64
y
x
x
×
+
= - ，整理得
2
2
0
0
0
8
9
8
0
x
y
x
+
+
=
，
当直线AB
y
^
轴时，
(
)
0,0
G
满足方程
2
2
0
0
0
8
9
8
0
x
y
x
+
+
=
，
所以点G 的轨迹方程为
2
2
8
9
8
0
x
y
x
+
+
=
.
（ⅱ）依题意，直线AB 不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点
2
2
9
8
(
,
),
0
8
9 8
9
t
G
t
t
t
-
¹
+
+
，
直线DE 的方程为
2
2
8
9
(
)
8
9
8
9
t
y
t x
t
t
-
= -
+
+
+
，即
2
8
9
t
y
tx
t
= -
-
+
，
则
2
2
1
(
,0),
(0,
)
8
9
8
9
t
D
E
t
t
-
-
+
+
，
2
2
2
1
| |
|
||
|
2
2(8
9)
t
S
OD OE
t
=
=
+
，
2
2
1
2
2
8
8| | 1
|
|
1
|
0 |
8
9
8
9
t
t
t
GF
t
t
t
+
=
+
-
=
+
+
，
2
2
2
2
2
2
8
8
8 1
|
|
(
)
(
)
8
9
8
9
8
9
t
t
GD
t
t
t
-
+
=
+
=
+
+
+
，
2
1
1
2
2
1
32 | | (1
)
|
||
|
2
(8
9)
t
t
S
GF
GD
t
+
=
=
+
，因此
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
4
1
2
2
2
1
2
1024 (1
)
(8
9)
1024 (1
)
512
(
6
)
4
204
8
9
(8
9)
8
t
t
t
t
t
t
t
t
S S
S
S
+
+
+
+
+
=
-
-
2
2
2
2
2
2(1
)
2
1
2(1
)
1
2(1
)
1
t
t
t
t
+
=
=
+
-
+
- +
，令
2
1
1
t
u
+
=
> ，函数
1
2
y
u
u
=
-
在(1,
)
+¥ 上单调递增，值域为(1,
)
+¥ ，
则
2
2
2
(0,2)
1
2(1
)
1
t
t
Î
+
- +
，所以
1
2
2
2
1
2
64
2048
S S
S
S
-
的取值范围是(0,2) .
38．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线


2
:
2
0
E
y
px p
=
>
的焦点F 到直线
7
: 2
0
2
l
x
y
-
+
=
的距离为11 5
10
．
(1)求抛物线E 的方程．
(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作E 的切线，切点分别为
,
M N ．
①问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
②若点P 在抛物线E 的准线上，切点M 在第一象限内，存在过点P 的直线与E 相交于
,
A B 两点，过点A 作
平行于PM 的直线，分别与直线MN 和直线MB 交于点
,
G H ，若AG
AH
l
=
，求l 的值．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
；
(2)①7,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
；②
1
2
l =
.
【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解；
（2）①求得切线方程，由题意
7
,2
2
P t
t
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
在切线方程上可得直线MN 的方程为


7
2
2
2
y
t
t
x
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，由此
计算可解；②直线MN 的方程为3
4
4
y
x
=
-
，联立
2
4
y
x
=
，可得


4,4
M
，设




3
3
4
4
,
,
,
A x
y
B x
y
，直线AG
的方程为


3
3
1
2
y
y
x
x
-
=
-
，可得
2
3
3
3
3
8
4
4
8
4
5
5
G
y
x
y
y
y
-
+
-
+
=
=
，设直线MB 的方程为


4
4
4
4
4
y
x
y
+
-
=
-
，
联立可得
3
3
4
4
8
4
4
4
H
y
x
y
y
y
-
-
=
-
，设直线AB 的方程为
3
1
2
x
m y
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，联立可得




3
3
3
4
3
3
4
1
8
1
4
3
2
3
2
x
x
y
y
m
y
y
+
+
+
=
=
=
-
-
，由此可计算
2
3
3
2
11
8
5
H
y
y
y
-
+
+
=
，计算可解.
【详解】（1）由题意可得
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，
故焦点F 到直线
7
: 2
0
2
l
x
y
-
+
=
的距离


2
2
7
11 5
2
10
2
1
p
d
+
=
=
+ -
，
所以
7
11
2
2
p+
=
，解得
2
p =
或
9
p = - （舍去）；
所以抛物线E 的方程为
2
4
y
x
=
；
（2）设抛物线
2
2
y
px
=
在点

0
0
,
x
y
的切线方程为


0
0
y
y
k x
x
-
=
-
，
切线与抛物线联立方程组


2
0
0
2
y
px
y
y
k x
x
ì
=
ïí -
=
-
ïî
，得


2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
0
k x
k x
ky
p x
y
k x
kx y
-
-
+
+
+
-
=
，
则




2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
4
2
0
k x
ky
p
k
y
k x
kx y
é
ù
D = -
-
+
-
+
-
=
ë
û
，
化简可得
2
0
0
2
2
0
x k
y k
p
-
+
=
，所以
2
0
0
0
0
2
4
8
4
y
y
px
k
x
±
-
=
，
因为点

0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
y
px
=
上，则
2
0
0
2
y
px
=
，所以
0
0
2
y
k
x
=
，
所以切线方程为


0
0
0
0
2
y
y
y
x
x
x
-
=
-
，即


0
0
0
2yx
y
x
x
=
+
，
将
2
0
0
2
y
x
p
=
代入化简可得


0
0
yy
p x
x
=
+
，
所以抛物线
2
2
y
px
=
在点

0
0
,
x
y
的切线方程为


0
0
yy
p x
x
=
+
；
①设




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，因为抛物线
2
4
y
x
=
，
所以点M 处的切线方程为


1
1
2
y y
x
x
=
+
，点N 处的切线为


2
2
2
y y
x
x
=
+
，
设点
7
,2
2
P t
t
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，由题意可得，点P 在直线


1
1
2
y y
x
x
=
+
和直线


2
2
2
y y
x
x
=
+
上，
所以




1
1
2
2
7
7
2
2
,
2
2
2
2
y
t
t
x
y
t
t
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以直线


7
2
2
2
y
t
t
x
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
过点
,
M N ，
所以直线MN 的方程为


7
2
2
2
y
t
t
x
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，故

7
1
0
4
t y
x
y
æ
ö
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
令
1
0
7
0
4
y
x
y
- =
ìïí -
=
ïî
，解得
7
4
1
x
y
ì =
ïí
ï
=
î
，
所以直线MN 过定点7,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
；
②由题意可得
3
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，直线MN 的方程为3
4
4
y
x
=
-
，联立
2
4
y
x
=
，解得


4,4
M
，所以
1
2
PM
k
=
，
设




3
3
4
4
,
,
,
A x
y
B x
y
，直线AG 的方程为


3
3
1
2
y
y
x
x
-
=
-
，
联立方程


3
3
1
2
3
4
4
y
y
x
x
y
x
ì -
=
-
ïí
ï
=
-
î
，解得
2
3
3
3
3
8
4
4
8
4
5
5
G
y
x
y
y
y
-
+
-
+
=
=
，
设直线MB 的方程为


4
4
x
a y
-
=
-
，
所以
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
y
x
y
a
y
y
-
-
+
=
=
=
-
-
，
所以直线MB 的方程为


4
4
4
4
4
y
x
y
+
-
=
-
，
联立方程




3
3
4
1
2
4
4
4
4
y
y
x
x
y
x
y
ì -
=
-
ïïí
+
ï -
=
-
ïî
，解得
3
3
4
4
8
4
4
4
H
y
x
y
y
y
-
-
=
-
，
设直线AB 的方程为
3
1
2
x
m y
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
联立方程
2
3
1
2
4
x
m y
y
x
ì
æ
ö
=
-
-
ï
ç
÷
è
ø
í
ï
=
î
，消去x 可得
2
4
6
4
0
y
my
m
-
+
+ =
，
由韦达定理可得，




3
3
3
4
3
3
4
1
8
1
4
3
2
3
2
x
x
y
y
m
y
y
+
+
+
=
=
=
-
-
，
整理可得


2
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
8
1
8
8
2
3
8
3
2
3
2
3
2
3
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
+
+
-
+
+
=
-
=
=
-
-
-
，
所以


3
3
3
2
3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
4
3
3
4 8
3
8
4
8
4
4
2
3
16
24
8
12
12
32
8
3
4
5
20
4
2
3
H
y
y
x
y
x
y
y
y
y
x y
x
y
y
y
y
y
y
+
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
=
=
=
+
-
-
-
-
2
3
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
16
24
2
3
12
32
19
36
2
32
5
20
5
20
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
+
-
-
-
-
-
=
=
-
-





2
2
3
3
3
3
3
3
4
2
11
8
2
11
8
5
4
5
y
y
y
y
y
y
-
-
+
+
-
+
+
=
=
-
，
所以
3
3
1
2
G
H
y
y
y
y
-
=
-
，即
1
2
l =
.
39．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
．
(1)求椭圆E 的方程和直线AB 的方程；
(2)过椭圆E 上异于A 的点C 作x 轴的垂线交直线AB 于M 点，延长CM 至点N ，使MN
CM
=
，直线AN 交
椭圆E 于点D ．
（i）求证：直线
,
AC AD的斜率之和为定值；
（ii）求ACD
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ，
1
1
2
y
x
=
+ ；
(2)（i）证明见解析；（ii）
4 108
2
.
【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程.
（2）（i）设出直线AC 方程，与椭圆方程联立求出点C 的坐标，进而求出点
,
M N 的坐标，再利用斜率坐
标公式计算得证；（ii）由（i）求出点D 坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最
大值.
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
+
= 的左顶点
( 2,0)
A -
，上顶点
(0,1)
B
，得
2,
1
a
b
=
= ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，直线AB 的方程为
1
1
2
y
x
=
+ .
（2）（i）直线AC 斜率存在，设其方程为
(
2)
y
k x
=
+
，点
(
,
)
C
C
C x
y
由
2
2
(
2)
4
4
y
k x
x
y
ì
=
+
í
+
=
î
，得
2
2
2
(4
1)
16
16
4
0
k
x
kx
k
+
+
+
-
=
，则
2
2
16
4
2
4
1
C
k
x
k
-
-
=
+
，
解得
2
2
2
2
8
4
,
(
2)
4
1
4
1
C
C
C
k
k
x
y
k x
k
k
-
=
=
+
=
+
+ ，即点
2
2
2
2
8
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
C
k
k
-
+
+
，
直线
2
2
2
8
:
4
1
k
CM x
k
-
=
+
交直线
1
1
2
y
x
=
+ 于点
2
2
2
2
8
2
(
,
)
4
1 4
1
k
M
k
k
-
+
+
，
由点M 是线段CN 的中点，得点
2
2
2
2
8
4
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
N
k
k
-
-
+
+
，
因此直线AD 的斜率
2
2
2
4
4
0
4
1
1
2
8
2
4
1
k
k
k
k
k
k
-
-
+
¢ =
= -
-
+
+
，即
1
k
k¢
+
= ，
所以直线
,
AC AD的斜率之和为定值.
（ii）由（i）同理得
2
2
2
2
8
4
(
,
)
4
1 4
1
k
k
D
k
k
¢
¢
-
¢
¢
+
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
8
4
4 1
|
|
(
2)
(
)
4
1
4
1
4
1
k
k
k
AC
k
k
k
-
+
=
+
+
=
+
+
+
，
点D 到直线
:
2
0
AC kx
y
k
-
+
=
的距离
2
2
2
2
2
2
2
8
4
|
2 |
4 |
|
4
1
4
1
1
(4
1)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
d
k
k
k
¢
¢
-
×
-
+
¢
-
¢
¢
+
+
=
=
¢
+
+
+
，
则ACD
V
的面积
2
2
2
2
2
2
8 (
)
4
1
8|
|
8 1 4
|
|
2
(4
1)(4
1)
(4
)
4[(
)
2
] 1
(4
)
8
5
k
k
kk
k
k
kk
S
AC
d
k
k
kk
k
k
kk
kk
kk
¢
¢
¢
¢
+
-
-
-
=
×
=
=
=
¢
¢
¢
¢
¢
¢
+
+
+
+
-
+
-
+
，
显然k
k
¢ ¹
，
2
4
4 (1
)
(2
1)
1 1
kk
k
k
k
¢ =
-
= -
-
+ < ，令1 4
0
kk
t
¢
-
= >
，
2
2
2
4
8
8
(1
)
2(1
)
5
4
t
t
S
t
t
t
=
=
-
-
-
+
+
，求导得
4
4
2
8(4
3 )
(
4)
t
S
t
-
¢ =
+
，
当
4 4
0
3
t
< <
时，
0
S¢ >
；当
4 4
3
t >
时，
0
S ¢ <
，函数
4
8
4
t
S
t
=
+
在
4 4
(0,
)
3 上递增，在
4 4
(
,
)
3 +¥ 上递减，
当
4 4
3
t =
时，
4
4
4
max
4
8
3
4
108
3
4
2
3
2
4
3
S
=
=
=
+
，所以ACD
V
面积的最大值为
4 108
2
.
40．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦点F 到一条渐近线的距离为1，且点


2,1
P
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1
- 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（异于点P ）．
①求直线AP 、BP 的斜率之和；
②若PAB
V
的外接圆圆心为M ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使
2
2
-
MQ
MP 为定值，若存在，求出Q 点坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
-
=
(2)①0 ；②存在，且点


1,0
Q
.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出b 的值，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，求出a 的值，即
可得出双曲线C 的方程；
（2）①设点

1
1
,
A x y
、

2
2
,
B x
y
，设直线AB 的方程为y
x
m
= - +
，将该直线方程与双曲线C 的方程联立，
列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线AP 、BP 的斜率之和；
②设PAB
V
的外接圆方程为
2
2
0
x
y
sx
ty
n
+
+
+
+
=
，分析可知方程




2
2
2
2
0
x
s
t
m x
m
tm
n
+
- -
+
+
-
=
与方程


2
2
4
2
1
0
x
mx
m
-
+
+
=
为同解方程，可得出关于s、t 、n 的方程组，解出s、t ，可得出点M 的坐标，求出
直线MP 的方程，当PQ
MP
^
时，求出直线PQ的方程，取点Q 为直线PQ与x 轴的交点，结合勾股定理可
得出结论.
【详解】（1）双曲线C 的右焦点为


,0
F c
，双曲线C 的渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
，即
0
bx
ay
±
=
，
所以焦点F 到一条渐近线的距离为
2
2
1
bc
bc
b
c
b
a
=
=
=
+
，
因为点

2,1
P
在双曲线C 上，所以
2
4
1
1
a - = ，解得
2
a =
，
故双曲线C 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
-
= .
（2）①设点

1
1
,
A x y
、

2
2
,
B x
y
，设直线AB 的方程为y
x
m
= - +
，
因为点P 不在直线AB 上，则
1
2
m - ¹
，可得
3
m ¹ ，
联立
2
2
1
2
y
x
m
x
y
= - +
ìïí
-
=
ïî
可得


2
2
4
2
1
0
x
mx
m
-
+
+
=
，
则




2
2
2
Δ
16
8
1
8
1
0
m
m
m
=
-
+
=
-
>
，解得
1
m < - 或
1
m > ，
由题意可得


1
2
2
1
2
4
0
2
1
0
x
x
m
x x
m
+
=
>
ìïí
=
+
>
ïî
，所以
1
m > 且
3
m ¹ ，
所以




1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
AP
BP
m
x
m
x
y
y
x
m
x
m
k
k
x
x
x
x
x
x
- -
-
- -
-
-
-
-
+
-
-
+
-
+
=
+
=
+
=
+
-
-
-
-
-
-











1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
4
m
x
x
m
x
x
m
m
x
x
x
x
x x
x
x
-
+
-
-
+
-
-
-
=
+
-
=
-
=
-
-
-
-
-
-
+
+











2
3
4
4
4
1
3
2
2
0
2
1
3
2
1
8
4
m
m
m
m
m
m
m
m
-
-
-
-
=
-
=
-
=
-
-
+
-
+
，
即直线AP 、BP 的斜率之和为0 .
②设PAB
V
的外接圆方程为
2
2
0
x
y
sx
ty
n
+
+
+
+
=
，
则
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
5
2
0
0
0
s
t
n
x
y
sx
ty
n
x
y
sx
ty
n
+
+ +
=
ì
ï
+
+
+
+
=
í
ï
+
+
+
+
=
î
，
由
1
1
y
x
m
= -
+
代入
2
2
1
1
1
1
0
x
y
sx
ty
n
+
+
+
+
=
，
可得




2
2
1
1
1
1
0
x
m
x
sx
t m
x
n
+
-
+
+
-
+
=
，
可得




2
2
1
1
2
2
0
x
s
t
m x
m
tm
n
+
- -
+
+
+
=
，
同理可得




2
2
2
2
2
2
0
x
s
t
m x
m
tm
n
+
- -
+
+
+
=
，
所以
1
x 、
2x 为关于x 的方程




2
2
2
2
0
x
s
t
m x
m
tm
n
+
- -
+
+
-
=
的两根，
又因为
1
x 、
2x 为关于x 的方程


2
2
4
2
1
0
x
mx
m
-
+
+
=
的两根，
所以方程




2
2
2
2
0
x
s
t
m x
m
tm
n
+
- -
+
+
-
=
与方程


2
2
4
2
1
0
x
mx
m
-
+
+
=
为同解方程，
所以


2
2
2
8
4
1
5
2
0
s
t
m
m
m
tm
n
m
s
t
n
- -
= -
ì
ï
+
-
=
+
í
ï +
+ +
=
î
，解得
3
3
3
3
s
m
t
m
= -
-
ì
í =
-
î
，
易知点
,
2
2
s
t
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø，即点
3
3 3
3
,
2
2
m
m
M
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
3
3
1
3
1
2
1
3
3
1 3
2
2
MP
m
m
k
m
m
-
-
-
=
=
= -
+
-
-
，
所以直线MP 的方程为


1
2
y
x
- = -
-
，即
3
y
x
= - +
，
当PQ
MP
^
时，直线PQ的方程为
1
2
y
x
- =
-
，即
1
y
x
=
- ，
直线
1
y
x
=
- 与x 轴的交点为

1,0 ，不妨取点


1,0
Q
，此时PQ
MP
^
，
则




2
2
2
2
2
2 1
1 0
2
MQ
MP
PQ
-
=
=
-
+
-
=
，
故在x 轴上存在定点


1,0
Q
，使得
2
2
MQ
MP
-
为定值2 .
题型25  排列组合27 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
分组分配问题
先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。
2
分组分配问题
先将4人分成3组（2,1,1），再分配到3个地点，注意平均分组的处理。
3
数字排列与相邻问
题
先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。
4
排列中的顺序与相
邻条件
先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。
5
相邻问题
将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。
6
分组分配问题
先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。
7
先选后排（空盒问
题）
先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况（2,2和1,3）。
8
有限制条件的分组
分配
按A公司人数分类讨论（1人或2人），再分配B、C公司。
9
排列中的位置与相
邻限制
先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御”相邻且不满足条件的情况。
10
排列中的位置限制
分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。
11
排列中的不相邻与
前位限制
先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。
12
排列中的位置与不
相邻限制
先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。
13
相邻问题的综合应
用
分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。
14
排列中的位置限制
用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。
15
有限制条件的分配
问题
按A舱人数分类讨论（1人、2人、3人、4人），分别计算分配方法。
16
车票问题
每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。
17
数字排列（无重复）
先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。
18
网格路径问题
用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。
19
有限制条件的分配
问题
先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区
无人的情况。
20
分组分配问题
先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。
21
有限制条件的填数
问题
先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。
22
顺序固定与不相邻
问题
先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。
23
排列中的位置限制
用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。
24
网格路径问题
分类讨论必经点，分步计算路径数。
25
图形填数问题
分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数
字大小关系计算。
26
取物顺序问题
对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。
27
数阵填数问题
先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。
一、单选题
1．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4 名同学被分配到甲、乙两个社区，
每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ）
A．6 种
B．12 种
C．14 种
D．28 种
【答案】C
【详解】4 名同学按1:3 分配到两个社区，有
1
2
4
2
C A 种方法；按2: 2 分配到两个社区，有
2
2
4
2
C C 种方法，
所以不同的分配方案有
1
2
2
2
4
2
4
2
C A
C C
14
+
=
（种）.
2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、
体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1 名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配
方法种数为（   ）
A．81
B．72
C．36
D．12
【答案】C
【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得.
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共
2
4
C 种分法，
再将三组人进行分配，共
3
3
A 种，
故共有
2
3
4
3
C A
36
=
种分配方法.
3．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），
满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6 两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. 
A．432
B．257
C．282
D．504
【答案】D
【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可.
【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8 奇偶数相间而排，共有
3
3
2
3
3
2
A A A
72
=
种，
第二步：再把5、6 两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶，
所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7 个空共有
1
7
C
7
=
种排法，
根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有72 7
504
´
=
个，
故选：D.
4．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去
, ,
,
,
A B C D E 五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺
序时，要求A 在B 之前，C 与D 相邻，则不同的游览顺序共有（   ）
A．18 种
B．24 种
C．48 种
D．60 种
【答案】B
【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出.
【详解】若C 与D 相邻，则需将其捆绑并排列，再将
, ,
,
A B CD E 四个元素排列，共有
2
4
2
4
A A
48
=
种，
因为A 在B 之前和A 在B 之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有48
24
2 =
种.
故选：B
5．（2026·新疆·模拟预测）有5 辆车停放在一排的5 个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放
方法的总数为（    ）
A．24
B．48
C．72
D．120
【答案】B
【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2 种排法（甲左乙右或乙左甲右），
把“甲乙整体”与另外3 辆车看成4 个元素一起排列，有
4
4
A
4
3
2 1
24
=
´ ´ ´ =
种排法，
所以总的停放方法是2
24
48
´
=
种.
6．（2026·山东烟台·一模）某学校派5 名同学参加“市长杯”足球比赛中4 个场次的志愿服务，每场比赛至
少派1 名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ）
A．180
B．240
C．320
D．360
【答案】B
【分析】先求将5 名同学分成人数分别为2,1,1,1的四组的方法数，再求将4 组同学分派到4 个场次的方法数，
根据分步乘法计数原理求结论.
【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成，
第一步，将5 名同学分成人数分别为2,1,1,1的四组，该步有
1
1
1
2
5
4
3
2
3
3
C C C C
10
A
=
种完成方法，
第二步，将4 组同学分派到4 个场次，此步有
4
4
A
24
=
种完成方法，
由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为10 24
240
´
=
7．（2026·山东聊城·模拟预测）将4 个不同的小球放入4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种
数为（       ）
A．72
B．78
C．84
D．96
【答案】C
【分析】利用先选后排的方法进行解题即可.
【详解】第一步：选择两个空盒子，有
2
4
C
6
=
种方法；
第二步：4 个不同的小球放入2 个不同的盒子中，有两种方式，
第一种方式，两个盒子都有2 个不同的小球，不同的方式有
2
2
2
4
2
2
2
2
C C
A
6
A
´
=
种，
第二种方式，两个盒子中一个盒子有1 个小球，另一个盒子有3 个不同的小球，所以不同的方法有
1
1
2
4
C C
8
= ，
所以恰有两个盒子为空的放法种数为


6
6
8
84
´
+
=
.
故选：C
8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6 名同学安排到, ,
A B C 三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，
至少安排1 名同学去A 公司实习，至少安排2 名同学去B 公司实习，至少安排2 名同学去C 公司实习，则
不同的安排方法有（   ）
A．120 种
B．150 种
C．210 种
D．300 种
【答案】C
【分析】分安排1 名同学去A 公司实习和安排2 名同学去A 公司实习，两类情况讨论求解即可.
【详解】安排1 名同学去A 公司实习，安排2 名去B 公司实习，3 名去C 公司实习，
则有
1
2
3
6
5
3
C C C
60
=
种不同的安排方法；
安排1 名同学去A 公司实习，安排3 名去B 公司实习，2 名去C 公司实习，
则有
1
3
2
6
5
2
C C C
60
=
种不同的安排方法；
安排2 名同学去A 公司实习，有
2
2
2
6
4
2
C C C
90
=
种不同的安排方法.
故满足条件的不同安排方法有60
60
90
210
+
+
=
种.
9．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学
社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后
一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）．
A．408 种
B．336 种
C．240 种
D．120 种
【答案】B
【详解】“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4 个位置中的1 个，有 
1
4
C 种方法；再将剩余5
个元素全排列，有 
5
5
A 种方法，共 
1
5
4
5
4 120
480
C A =
´
=
 种，
先将“射”和“御”捆绑，内部有 
2
2
A 种排法；将此捆绑体与其余4 个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排
法有 
5
4
5
4
A
2A
-
 种，
故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 



5
4
2
5
4
2
A
2A
A
120
48
2
144
-
=
-
´
=
 
种，
故不同的排法共有480 144
336
-
=
种．
10．（2026·山东淄博·一模）有5 名同学A ，B ，C ，D ，E 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A 和B 都
不是第1 个出场，且C 不是最后一个出场，则这5 人不同的出场顺序种数为（    ）
A．42
B．50
C．54
D．60
【答案】D
【分析】根据题意，分C 是第1 个和C 不是第1 个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数
的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分C 是第1 个和C 不是第1 个且不是最后一个，两类情况讨论：
当C 是第1 个时，此时剩余的
, ,
,
A B D E 全排列，共有
4
4
A
24
=
种不同的排法；
当C 不是第1 个且不是最后一个时，先排第1 个，从
,
D E 中选一人为第1 个，有2 种选法；
再排C ，有三个位置可选，有3种排法，最后三人全排列，有
3
3
A
6
=
种排法，
所以共有2 3 6
36
´ ´
=
种不同的排法，
由分类计数原理得，共有24
36
60
+
=
种不同的排列情况.
11．（2026·浙江·一模）某晚会由4 个歌舞节目和2 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相
邻出演且前3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种.
A．216
B．360
C．432
D．672
【答案】C
【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3 个节目至少有一个机器人节目要求
【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：
4
4
A
24
=
，排好后会产生 5 个空位（包括两端）；
步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：
2
5
A
20
=
；
步骤3：排除“前3 个节目全是歌舞”的情况：先从4 个歌舞节目中选3 个排在前3 个位置，有
3
4
A
24
=
种方
法，
剩下的1 个歌舞节目和2 个机器人节目排在后3 个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器
人”的排列，
有
2
2
A
2
=
种方法.故不满足条件的情况有
3
2
4
2
A
A
48
×
=
. 
故总数为：24 20
48
432
´
-
=
故选：C
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3 名男生和2 名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2 名女生不
相邻的不同站法有（    ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
【答案】B
【详解】第一类：先排3 名男生，甲在两端的排序有
1
2
2
2
A A 种，再2 名女生插空有
1
1
2
3
A A 种；
第二类：先排3 名男生，甲在中间的排序有
2
2
A 种，再2 名女生插空有
2
4
A 种，
故男生甲不站在两端，且2 名女生不相邻的不同站法有
1
2
1
1
2
2
2
2
2
3
2
4
A A A A
A A
48
+
=
（种）.
13．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名
著.书架的某一层上有4 本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4 本书的5 个空隙中，要求原有书的
顺序不变且四大名著中至少有3 本相邻，则不同的插法共有（    ）
A．120 种
B．240 种
C．480 种
D．600 种
【答案】D
【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案.
【详解】四大名著恰有3 本相邻共有
3
2
4
5
A A
480
=
种插法；
4 本相邻时共有
4
1
4
5
A C
120
=
种插法，
所以不同的插法共有600 种，
故选：D.
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，
则春字不在两端的贴法有（   ）
A．96 种
B．72 种
C．60 种
D．48 种
【答案】B
【分析】根据题意，求得5 个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解.
【详解】把5 个窗花全排列有
5
5
A
120
=
种情况，其中春字在两端的情况有
4
4
2A
48
=
种，
故春字不在两端的贴法有120
48
72
-
=
（种）．
15．（2026·山东青岛·一模）某空间站由A ，B ，C 三个舱构成，某次实验需要5 名宇航员同时在3 个舱中
开展，每个人只能去1 个舱，每个舱至少安排1 名宇航员，其中宇航员甲只能去A 舱，则不同的安排方法
的种数为（   ）
A．35
B．36
C．42
D．50
【答案】D
【分析】以A 舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法
数，最后求和得到总安排数.
【详解】有四类不同的安排情形：
①甲单独在A 舱，其余四人分成两组，一组1 人，一组3 人，安排在
,
B C 舱，
有
1
3
2
4
3
2
C C A
4 1 2
8
=
´ ´
=
种不同的安排方法；
②甲单独在A 舱，其余四人平均分成两组每组2 人，安排在
,
B C 舱，
有
2
2
2
4
2
2
2
2
C C
6 1
·A
2
6
A
2
´
=
´
=
种不同的安排方法；
③A 舱安排2 人，其余三人分成两组，一组1人，一组2 人，安排在
,
B C 舱，
有
1
1
2
2
4
3
2
2
C C C A
4 3 1 2
24
=
´ ´ ´
=
种不同的安排方法；
④A 舱安排3人，其余二人分成两组，安排在
,
B C 舱，
有
2
2
4
2
C A
6 2
12
=
´
=
种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有8
6
24 12
50
+
+
+
=
种.
【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素 或位置分类，结合均匀 或不
均匀分组与排列计算.
二、填空题
16．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、
惠州北、广州等6 个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票.
【答案】30
【详解】每2 个站点之间都需要准备2 种车票，从6 个站点中任取2 个站点，共
2
6
A
6 5
30
=
´
=
种.
17．（25-26 高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3 中任取3 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个
数是______.（用数字作答）
【答案】18
【分析】先确定百位数字，再从剩余3 个数字中选2 个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可.
【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3 中任取1 个数字，有
1
3
C
3
=
种选择；
而十位数字和个位数字可从剩余的3 个数字中任选2 个即可，有
2
3
A
6
=
种选择，
所以从0，1，2，3 中任取3 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为
18
6
3
=
´
种选择.
故答案为：18.
18．（2026·河北·模拟预测）如图，某城市A，B 两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，
小林要从A 出发到B 处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q 两处实行交通管制，不准通行，则从A
到B 的走法共有____________种．（用数字作答）
【答案】24
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，以及组合与组合数的概念和计算方法，列出所有可能的情况，
计算结果即可.
【详解】由题意可知，从A 出发到B 处，需要向上4 次，向右4 次，所以不同的情况有
4
8
C
70
=
种，
从A 出发到P 处，需要向上3 次，向右1 次，从P 出发到B 处，需要向上1 次，向右3 次，
则从A 出发经过P 到B 处，共有不同情况
1
1
4
4
C
C
16
×
=
种，
从A 出发到Q 处，需要向上1 次，向右2 次，从Q 出发到B 处，需要向上3 次，向右2 次，
则从A 出发经过Q 到B 处，共有不同情况
1
2
3
5
C
C
30
×
=
种，
则从A 出发不经过
,
P Q 到达B 处，共有不同情况70
30 16
24
-
-
=
种.
故答案为：24.
19．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4 名男性普法员和2 名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区
进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1 名普法员，则2 名女性普法员被安排在不同
社区的方案共有______种．
【答案】390
【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有3 2
6
´
=
种安排方案；
第二步，安排4 名男性普法员去三个社区，总共有
43
81
=
种情况，
其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有
4
2
16
=
种情况，
因为社区至少有1 名普法员，所以男性普法员的安排方案有81 16
65
-
=
种；
由分步乘法计数原理可知，共有6 65
390
´
=
种不同的方案.
20．（2026·湖北孝感·二模）2025 年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5 个不同造型的
“LABUBU”．把这5 个“LABUBU”装入3 个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．
【答案】150
【分析】先按1,1,3和2,2,1两种方式分组，再排列即可.
【详解】把这5 个“LABUBU”装入3 个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：
按1,1,3分组：先从5 个中选3个为一组，剩下的2 个各成一组， 
组数
2
3
2
5
5
5
2
2
A
5 4
C
C
10
A
2 1
´
=
=
=
=
´
；按2,2,1分组：先从5 个中选2 个为一组，
剩下的3个中选2 个为一组，最后1个为一组(消除重复分组)， 
组数
2
2
5
3
2
2
C
C
10 3
15
A
2 1
×
´
=
=
´
，分配到3 个不同的盒内，
3
3
A
3 2 1
6
= ´ ´ =
，
故装法总数

10 15
6
150
+
´
=
.
21．（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6 中的一个数字填入，
要求1 用两次，2 用三次，其余数字各用一次，且当两个1 在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共
有______种.
【答案】20160
【详解】从9 个格子中选2 个放入数字1 的填法：
2
9
9 8
C
36
2 1
´
=
=
´
，
两个1 在同一行或同一列且相邻的填法：3 2
3 2
12
´ + ´
=
，
则从9 个格子中选2 个放入数字1 且两个1 在同一行或同一列时均不相邻的填法：36 12
24
-
=
，
从剩下7 个格子中选3 个放入数字2 的填法：
3
7
7 6 5
C
35
3 2 1
´ ´
=
=
´ ´
，
剩下4 个格子3，4，5，6，共有
4
4
A
4 3 2 1
24
=
´ ´ ´ =
种填法，
故满足题意的填法有24 35 24
20160
´
´
=
种.
22．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9 次打卡动作，其中有2 次柔韧打卡，
3 次力量打卡，4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2 次耐力打卡不能相邻，
不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
【答案】150
【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案.
【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有2
3
5
+
=
次打卡，同类顺序固定，
只需从5 个位置中选2 个放柔韧打卡，剩余3 个放力量打卡，
放法数为：
2
5
C
10
=
；
第二步：插入耐力打卡：5 个排好的打卡共形成6 个空隙（含两端），
要选4 个空隙各插入1 次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定，
选法数为：
4
6
C
15
=
，
第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：10 15
150
´
=
.
23．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从6 张不同地图中选择3 张，按顺序用于3场比赛，且每张地图最
多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种．
【答案】100
【详解】考虑所有情况为
3
6
A
120
=
种，
如果第一场选择“峡谷之巅”共有
2
5
A
20
=
种，
那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有120
20
100
-
=
种选法.
24．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向
上或向右移动1 格，则从起点到终点共有______种不同的走法.
【答案】29
【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可.
【详解】设：列从左到右为
1~ 6
x =
，行从下到上为
1~ 5
y =
，
起点(
1,
1
x
y
=
= )，简记为

1,1 ，终点(
6,
5
x
y
=
=
)，简记为

6,5
如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1 格，
则小明必经过

2,3 和

5,1 ，
当小明经过

2,3 到达

6,5 时，按以下步骤：
从

1,1 到

2,3 ，这三步中有一步向右，两步向上，故有
2
3
C
3
=
种走法，
下面又分两类情形到达

6,5 ，
第1 类是从

2,3 到

3,4 ，只有2 种走法，然后再向右走到

4,4 ，
而从

4,4 到

6,5 ，这三步中有一步向上，两步向右，故有
2
3
C
3
=
种走法，
所以第1 类从

2,3 到

6,5 的走法有2
3
6
´
= 种；
第2 类是从

2,3 到

3,5 ，这三步中有一步向右，两步向上，故有
2
3
C
3
=
种走法，
然后从

3,5 到

6,5 ，只能全向右走，只有1 种走法， 
所以第2 类从

2,3 到

6,5 的走法有3 1
3
´ =
种；
所以小明经过

2,3 到达

6,5 的走法有


3
6
3
27
´
+
=
种；
当小明经过

5,1 到达

6,5 时，按以下步骤：
从

1,1 到

5,1 ，只能全向右走，只有1 种走法，
再从

5,1 到

5,4 ，只能全向上走，也是只有1 种走法，
最后从

5,4 到

6,5 ，只有2 种走法，
所以小明经过

5,1 到达

6,5 的走法有1 1 2
2
´ ´
=
种；
故小明从起点到终点不同的走法共有27
2
29
+
=
种.
25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7 这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
【答案】200
【详解】
将有阴影的圆分别标为, ,
a b c ，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为7,6,5 时，则将7,6,5 填在, ,
a b c 中有
3
3
A 种方法，接着剩下的4 个数字填到圆中有
4
4
A
种方法，所以共有
3
3
A
4
4
A
144
=
种方法；
当阴影的圆中的数字为7,6,4时，若将4 填到c ，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与c 相邻的两个圆只能从1,2,3
中选两个有
2
3
A 种方法，剩下两个数有
2
2
A 种填法，所以共有
2
2
A
2
3
A
2
2
A
24
=
种方法；
若将4 填到a 或b ，有2 种方法，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与4 相邻的三个圆只能填1,2,3有
3
3
A 种方法，
剩下一个数有1种填法，所以共有
3
3
2A
2
2
A
24
=
种方法；
当阴影的圆中的数字为7,6,3时，则3只能填到c ，则接着安排7,6 有
2
2
A 种方法，与c 相邻的两个圆只能安排
1,2 有
2
2
A 种方法，剩下两个数有
2
2
A 种填法，所以共有
2
2
A
2
2
A
2
2
A
8
=
种方法；
所以总共有144
24
24
8
200
+
+
+
=
种填法.
故答案为：200
26．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一
个，且所取的装饰品只能有1个或0 个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种.
【答案】216
【分析】对小球进行编号，然后对前三个球的取法进行分类讨论，进而对后续小球的摸球顺序进行讨论，
结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果.
【详解】将这7 个小球编号如下图所示：
分以下两种情况讨论：
第一种，第一步，先取1、5 、7 号球，第二步，再取2 、4 、6 号球依次取2 个球，
最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为
3
2
2
3
3
2
A A A
72
=
种；
第二种，将

1,2 、

4,5 、

6,7 视为三个整体，
前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取，有6 种，
以1、2 、5 为例，可依次为

1,2,5 、

1,5,2 、

5,1,2 ，共3种，
剩余3、4 、6 、7 号球，先从4 、7 号球中摸一个，有2 种情况，
比如先取7 号球，剩余三个相邻的小球，接下来从4 、6 号球中取一个，有2 种情况，
最后剩余两球摸取的先后顺序任意，
此时，不同的取法种数为6 3 2 2 2
144
´ ´ ´ ´
=
.
综上所述，不同的取法种数为72 144
216
+
=
种.
故答案为：216 .
27．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入一个3 3
´ 的方格中，每个格子填1 个
数字，且不重复，要求第一行数字满足
11
12
13
a
a
a
<
<
，第三行数字满足
31
32
33
a
a
a
<
<
，第三列数字满足
13
23
33
a
a
a
<
<
，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
【答案】1080
【分析】由计数原理分析求解即可.
【详解】从9 个数中任取2 个数填入
21
a 和
22
a 的位置，有
2
9
A
72
=
种方法．
因为
11
12
13
23
33
a
a
a
a
a
<
<
<
<
，
31
32
33
a
a
a
<
<
，
所以在剩下的7 个数中，最大的数只能填入
33
a 的位置，
再从剩下的6 个数字中选择4 个数字填入
11
a ，
12
a ，
13
a ，
23
a 的位置，且这4 个数字只能按照从小到大的顺
序分别填入
11
a ，
12
a ，
13
a ，
23
a 的位置，
最后剩下的2 个数字只能按照从小到大的顺序分别填入
31
a ，
32
a 的位置，
故填好
33
a ，
11
a ，
12
a ，
13
a ，
23
a ，
31
a ，
32
a 共有
4
2
6
2
C C
15
=
种方法．
因此，按照要求填好该方格共有72 15
1080
´
=
种方法．
故答案为：1080.
题型26  二项式定理17 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求展开式指定项的系
数
利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。
2
二项式系数相等求指
数
利用二项式系数的性质，由 C2
n=C5
n 得 n=7。
3
求展开式指定项的系
数
写出通项公式，令 x 的指数为2，求出 r 后代入求系数。
4
存在性条件求指数
写出通项公式，令 x 的指数为整数，检验 n 的可能取值。
5
已知常数项求参数
写出通项公式，令 x 的指数为0，代入常数项列方程求解。
6
二项式系数最大项求
指数
分 n 为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定 n 的范围。
7
多项式乘法求指定项
系数
分别写出二项式展开的通项，再与 x 相乘，合并同类项。
8
多项式乘法求指定项
系数
将多项式拆分为两部分，分别求含 x3 的项，再合并系数。
9
二项式系数最大项与
指定项系数
由仅有第4项二项式系数最大得 n=6，再通项求 x3 的系数。
10
二项式系数最大与有
理项概率
由第6项二项式系数最大得 n=10，写出通项，找出有理项个数，再计算
概率。
11
赋值法求系数和
分别令 x=1 和 x=−1，相减可得奇数项系数之和。
12
换元法求指定项系数
令 t=x−1，转化为关于 t 的二项式，求 t2 的系数。
13
赋值法求系数和（多
选题）
令 x=1 求各项系数和；令 x=−1 求奇偶项系数差；求导后赋值求相关和。
14
赋值法求系数和（多
选题）
由最高次项系数确定 a9；利用通项求 a8；令 x=1 和 x=−1 求相关和。
15
赋值法与二项式系数
性质（多选题）
令 x=1 求系数和；利用通项求指定项系数；令 x=1 和 x=−1 求奇偶项
系数差；利用二项式系数性质求最大值。
16
多项式乘法求指定项
系数
将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取 x2 和 x3 的个数。
17
二项式系数和与常数
项
由二项式系数和求 n，再写通项，令指数为0求常数项。
一、单选题
1．（2026·江西·模拟预测）二项式
6
( 2
1)
x -
的展开式中，第四项的系数为（   ）
A．40 2
-
B．30
-
C．30
D．40 2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出第四项即可.
【详解】二项式
6
( 2
1)
x -
的展开式中，第四项为
3
3
3
3
6
C ( 2 ) ( 1)
40 2
x
x
-
= -
，
所以所求系数为40 2
-
.
故选：A
2．（2026·山西大同·一模）若(
2 )n
x
y
-
的展开式中第3 项与第6 项的二项式系数相等，则n = （    ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【详解】(
2 )n
x
y
-
的展开式中第3 项与第6 项的二项式系数分别为
2
Cn ，
5
Cn ，
由题意得
2
5
C
C
n
n
=
，所以
2
5
7
n =
+
=
.
3．（2026·广东·一模）在



4
5
1
1
x
x
-
+
-
的展开式中，含
2x 的项的系数是（   ）
A． 
4
-
B．4
C． 
16
-
D．16
【答案】D
【详解】对于



4
5
1
1
x
x
-
+
-
的展开式，
含
2x 的项为
2
2
2
2
2
4
5
C (
)
C (
)
16
x
x
x
-
+
-
=
，
故该项的系数为16.
4．（2026·江西·一模）若


3
*
2
1
n
x
n
x
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
N
的展开式中存在含
20
1
x
的项，则n 可能等于（    ）
A．5
B．9
C．15
D．19
【答案】C
【分析】利用二项式定理的通项公式得


3
2
1
C
n r
r
r
r
n
T
x
x
-
-
+ =
，令3
5
20
n
r
-
= -
，代入检验即可求解.
【详解】由二项式定理得，


3
*
2
1
n
x
n
x
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
N
的展开式通项为


3
2
1
C
n r
r
r
r
n
T
x
x
-
-
+ =
，
0,1,2,
,
r
n
=
¼
，令3
5
20
n
r
-
= -
，
当
5
n =
时，
7
5
r =
>
，故A 错误；当
9
n =
时，
47
5
r =
ÏZ ，故B 错误；
当
15
n =
时，
13
r =
，故C 正确；当
19
n =
时，
77
5
r =
ÏZ ，故D 错误.
故选：C.
5．（2026·陕西榆林·一模）若
10
4
1
(
0)
ax
a
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
的展开式中常数项为180，则a 的值为（   ）
A．4
B．2
C．2
D．1
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出
8
r =
，再由常数项为180解得
2
a =
.
【详解】
10
4
1
ax
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
的展开式的通项为
5
10
10
10
10
4
1
10
10
4
1
C
C
r
r
r
r
r
r
r
rT
a
x
a
x
x
-
-
-
-
+
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，
令
5
10
0
4
r
-
=
，解得
8
r =
，所以
2
8
10
C
180
a
=
，即
2
45
180
a =
，
2
4
a =
，
又
0
a >
，故
2
a =
．
6．（2026·陕西·模拟预测）若(2
1)n
x +
的展开式中第7 项的二项式系数最大，则n 的值不可能是（    ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】A
【分析】分n 为偶数和n 为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出n 的可能值.
【详解】当n 为偶数时，(2
1)n
x +
的展开式中二项式系数最大的项为第
1
2
n + 项，
令
1
7
2
n + =
，得
12
n =
；
当n 为奇数时，(2
1)n
x +
的展开式中二项式系数最大的项为第
1 1
2
n - + 项和第
1 1
2
n + + 项，
令
1 1
7
2
n - + =
，得
13
n =
；
令
1 1
7
2
n + + =
，得
11
n =
.
所以结合选项可知n 的值不可能是10.
7．（2026·陕西·模拟预测）
7
3
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中
3x 的系数为（    ）
A．56
B．42
C．84
D．120
【答案】B
【分析】求出二项式
7
(1
)
x
+
展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含
3x 的项即可.
【详解】二项式
7
(1
)
x
+
展开式的通项公式为
1
7
C
,
N,
7
r
r
rT
x r
r
+ =
Î
£
，
因此
7
3
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中含
3x 的项为
3
3
6
6
3
7
7
3
1
1 C
C
42
x
x
x
x
×
+
×
=
，
所以
7
3
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中
3x 的系数为42.
故选：B
8．（2025 高三·全国·专题练习）


2
5
3
y
x
x
y
x
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
的展开式中
4
2
x y 的系数为（   ）
A．88
B．89
C．90
D．91
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，计算即可.
【详解】

5
3
x
y
-
的通项公式为


5
5
C
3
k
k
k
x
y
-
-
，
且






2
2
5
5
5
3
3
3
y
y
x
x
y
x x
y
x
y
x
x
æ
ö
+
-
=
-
+
-
ç
÷
è
ø
，
当
2
k =
时，


2
2
3
4
2
5
C
3
90
x
x
y
x y
×
-
=
；
当
0
k =
时，


2
0
0
5
4
2
5
C
3
y
x
y
x y
x ×
× -
=
×
，
故
4
2
x y 的系数为90 1
91
+ =
．
故选：D
9．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式

2
1
n
x -
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，则展开式中
3x
项的系数为（    ）
A．160
-
B．80
-
C．80
D．160
【答案】A
【分析】依题意可确定
6
n =
，再结合通项公式即可求解.
【详解】因为二项式

2
1
n
x -
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，
所以
6
n =
，所以

6
2
1
x -
的展开式的通项为




6
1
6
C
2
1
r
r
r
rT
x
-
+ =
-
，
令6
r
3
- =
，得
3
r = ，故



3
3
3
3
3 1
6
C
2
1
160
T
x
x
+ =
-
= -
，
故展开式中
3x 的系数为160
-
.
10．（25-26 高二上·江西鹰潭·期末）已知在
4
1
3
n
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的二项展开式中，只有第6 项的二项式系数最大，
若在展开式中任取2 项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则
( )
P A = （    ）
A．24
55
B．6
55
C．18
55
D．20
55
【答案】A
【分析】利用二项式系数的性质可知
10
n =
，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解.
【详解】在
4
1
3
n
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的二项展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则
10
n =
，
可得
10
4
1
3
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的二项展开式的通项
10 3
4
1
10
1
C
3
r
r
r
rT
x
-
+
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
当10
3
4
r
-
为整数时，该项为有理项，因为0
10
r
£
£
且r ÎN ，
所以当
2,6,10
r =
时，10
3
4
r
-
分别为1, 2, 5
-
- 是整数，即有理项有3 项，可得

1
1
8
3
2
11
C
C
24
C
55
P A
´
=
=
.
故选：A.
11．（2026·福建龙岩·一模）设

5
5
0
1
5
1
x
a
a x
a x
+
=
+
+×××+
，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
+
+
+
+
= （    ）
A．1
B．2
C．31
D．32
【答案】C
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】令
0
x =
得：

5
0
0
0 1
1
a
a
+
=
Þ
= ，
令
1
x = 得：

5
0
1
5
0
1
5
1 1
32
a
a
a
a
a
a
+
=
+
+×××+
Þ
+
+×××+
=
，
所以
1
2
3
4
5
32 1
31
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
- =
.
12．（2026·安徽马鞍山·一模）若
8
2
8
0
1
2
8
(3
)
(2
)
(2
)
(2
)
x
a
a
x
a
x
a
x
-
=
+
-
+
-
+
+
-
L
，则
6a = （    ）
A．-56
B．-28
C．28
D．56
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数.
【详解】令2
x
t
-
= ，则原等式化为
8
2
8
0
1
2
8
(1
)t
a
a t
a t
a t
+
=
+
+
+
+
L
，
所以
6
2
6
8
8
C
C
28
a =
=
=
.
故选：C
二、多选题
13．（2026·广东广州·模拟预测）设

6
6
0
1
6
2
x
a
a x
a x
+
=
+
+
+
L
，则（    ）
A．
0
1
5
728
a
a
a
+
+
+
=
L
B．
3
160
a =
C．

12
2
x
+
的展开式中含
2x 项的系数为
2
64a
D．
0
2
4
6
365
a
a
a
a
+
+
+
=
【答案】ABD
【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D.
【详解】对于
6
6 6
6
6
A,
C 2
1
a
-
=
= ，故
6
0
1
5
6
(2 1)
729 1
728
a
a
a
a
+
+
+
=
+
-
=
- =
L
，故A 正确；
对于
3
6 3
3
6
6!
B,
C 2
8
20 8
160
3!3!
a
-
=
=
´ =
´ =
，故B 正确；
对于C，
12
(2
)
x
+
的展开式中含
2x 项的系数为
2
10
12
C
2
´
，
而
2
10
2
6
64
C
2
a =
´
，显然二者不相等，故C 错误；
对于


6
0
1
6
0
1
2
3
4
5
6
D,
729,
2 1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
=
-
=
L
，
所以

0
2
4
6
2
730
a
a
a
a
+
+
+
=
，即
0
2
4
6
365
a
a
a
a
+
+
+
=
，故D 正确．
14．（2026·山东·模拟预测）若




2
6
0
1
2
6
6
3
1
2
0
+
-
=
+
+
+
+
¹
n
x
x
a
a x
a x
a x
a
L
，则（   ）
A．
5
n =
B．
4
130
a =
C．
1
2
6
28
+
+
+
=
a
a
a
L
D．
1
2
3
6
2
3
6
23
+
+
+
+
=
a
a
a
a
L
【答案】AC
【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质
进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】A：因为
6
0
a ¹
，
所以多项式
2
6
0
1
2
6
a
a x
a x
a x
+
+
+
+
L
最高次项的次数为6 ，
所以
5
n =
，因此本选项说法正确；
B：因为




2
1
3
4
4
5
5
3 C
2
1 C
2
110
a = ´
´ -
+ ´
´ -
=
，所以本选项说法不正确；
C：在


5
2
6
0
1
2
6
3
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
+
-
=
+
+
+
+
L
中，
令
0
x =
，得


5
0
0
1
2
32
a
a
´ -
=
Þ
= -
，
令
1
x = ，得




5
0
1
2
6
1
2
6
4
1
4
32
28
a
a
a
a
a
a
a
´ -
=
+
+
+
+
Þ
+
+
+
= - - -
=
L
L
，
所以本选项说法正确；
D：对


5
2
6
0
1
2
6
3
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
+
-
=
+
+
+
+
L
两边同时求导，
得




5
4
2
5
1
2
3
6
3
2
5 3
1
2
2
3
6
x
x
x
a
a x
a x
a x
-
+
+
-
=
+
+
+
+
L
，
令
1
x = ，得




5
4
1
2
3
6
1
2
3
6
3
1
5 4
1
2
3
6
2
3
6
17
a
a
a
a
a
a
a
a
´ -
+ ´ ´ -
=
+
+
+
+
Þ
+
+
+
+
=
L
L
，所以本选项说法不正确.
故选：AC
15．（2026·重庆·一模）已知 







8
2
8
0
1
2
8
2
1
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
-
=
+
-
+
-
+
+
-
L
 ，则下列结论正确的有
（    ）
A．
0
1
a =
B．
3
494
a =
C．
8
1
3
5
7
3
1
2
a
a
a
a
-
+
+
+
=
D．


0,1,2,
,8
ia i =
L
中，
5a 与
6a 最大
【答案】ACD
【分析】令
1
t
x
=
- 可得
1
x
t
= + ，根据二项式定理确定展开式中


0,1,2,
,8
ra
r =
L
的表达式，根据二项式系
数的性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，令
1
x = 可得


8
0
2 1 1
1
a =
´ -
= ，故A 正确；
对于B，令
1
t
x
=
- 可得
1
x
t
= + ，
所以



8
8
2
8
0
1
2
8
2
1
2
1
x
t
a
a t
a t
a t
-
=
+
=
+
+
+
+
L
，
设

8
2
1
t +
展开式的通项为


8
8
8
1
8
8
C
2
1
C
2
,
0,1,2,3,
,8
r
r
r
r
r
r
rT
t
t
r
-
-
-
+ =
×
=
×
=
L
，
取8
3
r
-
=
，可得
5
r =
，所以
5
3
3
8
C
2
448
a =
´
=
，故B 错误；
对于C，令
1
t = 可得

8
8
0
1
2
8
2 1 1
3
a
a
a
a
´ +
=
=
+
+
+
+
L
①，
令
1
t = - 可得

8
0
1
2
3
8
2 1 1
1
a
a
a
a
a
- ´ +
= =
-
+
-
+
+
L
②，
由①- ②可得
8
1
3
5
7
3
1
2
a
a
a
a
-
+
+
+
=
，故C 正确；
对于D，由选项B 可知，
8
8
8
C
2
,
0,1,2,3,
,8
r
r
r
a
r
-
- =
×
=
L
，
若
ka 最大，则
1
1
,
1,2,3,
7,
k
k
k
k
a
a
k
a
a
-
+
³
ì
=
í
³
î
L
所以
8
9
1
8
8
8
7
1
8
8
C
2
C
2
C
2
C
2
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
+
ì
×
³
×
í
×
³
×
î
，
9
2
1
8
1
2
1
k
k
k
k
-
ì
´
³
ïïí
-
ï ³
´
ï
+
î
，
解得
6
5
k
k
£
ì
í ³
î
，则5
6
k
£
£
，故
5
k =
或
6
k =
，
又
0
8
5
6
1,
256,
1792
a
a
a
a
=
=
=
=
，所以


0,1,2,
,8
ia i =
L
中，
5a 与
6a 最大，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
16．（2026·山东聊城·一模）

5
2
1
x
x
-
+
的展开式中
3x 的系数是____________．
【答案】30
-
【详解】

5
2
1
x
x
-
+
表示5 个因式

2
1
x
x
-
+
的乘积，
3x 的项可以是：从5 个因式中选1 个提供
x
- ，1 个提供
2x ，3 个提供1，
此时
3x 的系数为


1
1
3
5
4
3
C
1 C
C
20
× -
×
×
= -
，
3x 的项也可以是：从5 个因式中选3 个提供
x
- ，0 个提供
2x ，2 个提供1，
此时
3x 的系数为


3
3
2
5
2
C
1
C
10
× -
×
= -
，
所以展开式中的系数为30
-
.
17．（25-26 高三上·天津蓟州·期末）
2
n
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______
【答案】160
-
【分析】各项的二项式系数之和为64，可得2
64
n =
，得到
6
n =
，再利用通项公式即可求常数项.
【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以2
64
n =
 ，所以
6
n =
,
所以
6
2
x
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的




6
3
1
6
6
2
C
C
2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
-
-
+
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
令3
0
r
-
=
，解得
3
r = ，代入通项得常数项




3
3
6
C
2
20
8
160
-
=
´ -
= -
.
故答案为：160
-
.
题型27  概率统计小题52 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
统计量变化判断
分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变
化。
2
百分位数计算
根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取
相邻两数的平均数，列方程求解参数。
3
回归直线过样本中心
计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。
4
回归直线过样本中心
计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。
5
折线图信息提取
观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接
从图中得出。
6
线性变换后的方差
利用方差性质 D(aX+b)=a2D(X)，由原数据方差求新数据方差。
7
数据错误对方差的影
响
设原数据平均数为 x，由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差，
作差求解。
8
二次函数最值与样本
数据
将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于 t 的二次函数，
利用二次函数性质求最小值。
9
全概率公式求总体优
秀率
将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以人数比例的加权和，利用全概率
公式计算。
10
古典概型概率计算
列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。
11
条件概率
先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方
法数，比值即为条件概率。
12
全概率公式
将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。
13
条件概率与独立事件
设 P(A)=P(B)=p，利用条件概率公式和独立事件性质列方程，解出 p。
14
条件概率与并事件
利用条件概率公式 P(A|B)=
P(A∩B)
P(B) ，结合并事件概率公式求解。
15
比赛获胜概率与奖金
分配
分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。
16
对立事件与充分必要
条件
理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。
17
随机变量期望
列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期
望。
18
正态分布概率计算
利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。
19
二项分布与正态分布
综合
由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求 n，再代入条件求概
率。
20
二项分布与线性变换
设正面次数为 Y，则总得分 X=2Y−(8−Y)=3Y−8，利用二项分布期望方差
求 X 的期望方差。
21
概率递推
分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。
22
线性变换后的统计量
（多选题）
极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍，
第80百分位数不能确定。
23
去掉极值后的统计量
（多选题）
极差变小，平均数可能不变，方差变小，百分位数可能改变，通过计算
验证。
24
折线图分析（多选题）
计算各月变化量判断A；求和求平均判断B；分别计算前5个月和后5个月
的方差比较；排序后求第70百分位数。
25
条形图和扇形图分析
（多选题）
根据比例计算各年各路线人数，比较大小，计算极差和增长率。
26
线性变换后的统计量
（多选题）
平均数变为原来的3倍加1，中位数变为原来的3倍加1，方差变为原来的9
倍，极差变为原来的3倍。
27
两组数据合并后的统
计量（多选题）
利用已知平均数和方差，通过公式推导合并后的平均数和方差。
28
去掉极值后的统计量
（多选题）
中位数不变；极差可能不变也可能变小；方差可能变小；通过具体数据
验证。
29
统计图表分析（多选
题）
根据累计收入和同比增长率计算每月收入，比较大小，判断各选项。
30
添加数据后的统计量
变化（多选题）
通过构造具体数据验证平均数、中位数、方差、极差的变化可能性。
31
独立性检验（多选题）
列出列联表，计算卡方值，与临界值比较，判断是否独立。
32
独立性检验与条件概
率（多选题）
根据比例计算人数，列出列联表，计算卡方值，用条件概率公式求概率。
33
互斥事件与包含关系
（多选题）
利用互斥事件概率加法公式和包含事件概率性质判断。
34
贝叶斯定理（多选题）
利用全概率公式和贝叶斯公式计算条件概率。
35
随机变量期望（多选
题）
分类讨论从乙袋取球的情况，计算从甲袋取到红球个数的分布列和期望。
36
条件概率与独立事件
（多选题）
利用条件概率公式和独立事件概率性质推导。
37
条件概率与和事件（多
选题）
利用条件概率公式和概率加法公式计算。
38
等比数列与概率（多选
题）
先求等比数列通项，判断各项正负，再根据前 n 项中正数个数计算概率。
39
正态分布性质（多选
题）
利用正态分布的对称性、概率密度函数性质判断。
40
马尔可夫链与条件概
率（多选题）
利用全概率公式和条件概率公式计算。
41
全概率公式与二项分
布（多选题）
全概率公式求答对概率；条件概率公式；二项分布概率公式和期望公式。
42
条件概率与全概率公
式（多选题）
利用条件概率和全概率公式推导各选项。
43
递推概率（多选题）
分析试验过程，建立概率递推关系，判断各选项。
44
分层抽样总体均值与
方差
利用分层抽样总体均值公式 x=n1x1+n2x2
n1+n2 ，总体方差公式 s2=
n1 s2
1+ x1−x
2 +n2 s2
2+ x2−x
2
n1+n2
。
45
分层抽样总体均值
计算加权平均数。
46
古典概型概率
列举所有取球组合，找出互质的数对，求概率。
47
比赛得分概率
先求每轮甲得1分、0分、-1分的概率，再分析三轮总分1分的情况，用二
项分布或分类计数。
48
随机变量最大值期望
分析 X（抽到数字2、0、6的次数的最大值）的可能取值，计算各概率，
再求期望。
49
条件概率（马尔可夫
链）
利用全概率公式求第3天选A的概率，再求第2天选A且第3天选A的概率，
用条件概率公式。
50
全概率公式与贝叶斯
公式
全概率公式求合格品概率，贝叶斯公式求甲厂生产条件下是合格品的概
率。
51
概率递推
分析操作过程，计算4次和5次操作后全红的概率，注意红球和黑球替换
的路径。
52
条件概率与期望
先求系统正常工作概率，再求在正常工作条件下损坏元件个数的分布，
计算期望。
一、单选题
1．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变
化的统计量是（   ）
A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
【答案】A
【详解】对于A：原数据平均数为1 1 3
7
3
4
+ + +
=
，添加数据3 后平均数为1 1 3
3
7
3
5
+ + + +
=
，故A 正确；
对于B：原数据中位数为1 3
2
2
+
=
，添加数据3 后中位数为3，故B 错误；
对于C：原数据众数为1，添加数据3 后众数为1 和3，故C 错误；
对于D：原数据方差为
2
2
2
2
(1 3)
(1 3)
(3
3)
(7
3)
6
4
-
+
-
+
-
+
-
=
，添加数据3 后方差为
2
2
2
2
2
(1 3)
(1 3)
(3
3)
(3
3)
(7
3)
24
5
5
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
，故D 错误.
2．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，10，m，16，18，19，20 ，若该
组数据的60% 分位数是14，则m = （    ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义计算可得.
【详解】因为这组数据共10个，所以10 60%
6
´
=
，因此60% 分位数为第6 个数据和第7 个数据的平均数，
因为该组数据的60% 分位数为14，所以
16
14
2
m +
=
，解得
12
m =
.
3．（2026·河北张家口·一模）通过下表5 组数据得到的经验回归方程为
ˆ
ˆ
0.84
y
bx
=
+
，则ˆb 的值为（    ）
x
2
3
4
5
6
y
0.67
0.56
0.47
0.39
0.31
A．0.08
-
B．0.08
C．0.09
-
D．0.09
【答案】C
【分析】求解,x y ，利用经验回归直线经过样本中心点

,x y ，建立关于ˆb 的方程并求解即可.
【详解】根据题意可得
2
3
4
5
6
4
5
x
+ +
+ +
=
=
，
0.67
0.56
0.47
0.39
0.31
0.48
5
y
+
+
+
+
=
=
，
由
ˆ
0.84
y
bx
=
+
，可得
ˆ
0.48
4
0.84
b
=
+
，
解得：ˆ
0.09
b = -
.
4．（2026·山东青岛·一模）已知变量x ，y 的统计数据如下，若x 与y 的回归直线方程为
0.64
0.8
ˆy
x
=
+
，
则m = （   ）
x
2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
y
2.6
m
4.0
5.1
5.4
A．2.5
B．2.7
C．2.9
D．3.1
【答案】C
【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可.
【详解】由题意，可得
2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
5.0
5
x
+
+
+
+
=
=
，
2.6
4.0
5.1 5.4
17.1
5
5
m
m
y
+
+
+
+
+
=
=
，
所以样本点的中心坐标为
17.1
5.0,
5
m
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
代入回归直线方程
0.64
0.8
ˆy
x
=
+
，可得17.1
0.64 5.0
0.8
5
m
+
=
´
+
，
解方程得
2.9
m =
.
5．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型
对某节点连续8 个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折
线图（两条折线）：
观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ）
A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5 小时左右）达到峰值
B．这8 小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10 元/MWh 左右
C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6 小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化）
D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值
【答案】C
【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5 小时左右）达到峰值，A
正确；
对于B，差异平均值为


1 460
450
465
470
500
510
570
580
605
620
580
590
530
540
490
500
8
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
10
=
，B 正
确；
由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D 正确；
对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C 错误．
6．（2026·广东·一模）已知数据
1
2
3
,
,
x x
x 的平均数为1，方差为2，则数据
1
2
3
1
2
3
,
,
,2
1,2
1,2
1
x x x
x
x
x
-
-
- 的方
差为（   ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】因
1
2
3
,
,
x x
x 的平均数为1，方差为2，则
1
2
3
3
x
x
x
+
+
= ，
于是数据
1
2
3
1
2
3
,
,
,2
1,2
1,2
1
x x x
x
x
x
-
-
- 的平均数为
1
2
3
1
2
3
2
1
2
1
2
1
1
6
x
x
x
x
x
x
+
+
+
- +
- +
-
= ，
又





2
2
2
1
2
3
1
1
1
2
3
x
x
x
-
+
-
+
-
=
，则





2
2
2
1
2
3
1
1
1
6
x
x
x
-
+
-
+
-
=
，
于是数据
1
2
3
1
2
3
,
,
,2
1,2
1,2
1
x x x
x
x
x
-
-
- 的方差为：












2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
1
1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
6
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
- -
+
- -
+
- -






2
2
2
1
2
3
5
5
[
1
1
1 ]
6
5
6
6
x
x
x
=
-
+
-
+
-
=
´
=
.
7．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据, , ,25,20
a b c
的方差为
2s ，甲同学将这组数据错看成, , ,15,30
a b c
，
并求得错误数据的方差为
2
60
s =
甲
，则正确数据的方差
2s =（    ）
A．80
B．60
C．40
D．20
【答案】C
【分析】利用方差公式，将正确数据和错误数据的方差的表达式相减，即可求得答案.
【详解】由于25
20
15
30
+
=
+
，故正确数据和错误数据的平均数相等，记为x ，
则










2
2
2
2
2
2
25
20
5
a
x
b
x
c
x
x
x
s
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
，










2
2
2
2
2
2
15
30
60
5
a
x
b
x
c
x
x
x
s
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
=
甲
，
则








2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
25
20
15
30
25
20
15
30
20
5
5
x
x
x
x
s
s
-
+
-
-
-
-
-
+
-
-
-
=
=
= -
甲
，
则
2
2
20
60
20
40
s
s
=
-
=
-
=
甲
．
8．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据
1
2
10
x
x
x
L
，，，
，其中


R
1 2
10
ix
i
Î
=
L
，，，．已知
10
10
2
1
1
90,
1000
i
i
i
i
x
x
=
=
=
=
å
å
，设函数



10
2
1
i
i
f x
x
x
x
=
=
-
Î
å
R
，
．则

f x 的最小值为（    ）
A．19
B．100
C．190
D．200
【答案】C
【分析】将所求函数式展开，代入已知条件，转化成二次函数求最小值问题.
【详解】因为



2
10
1
10
10
10
2
2
2
2
1
1
1
(
)
2
2
10
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
-
-
+
=
=
-
+
å
å
å
å
，
而
10
10
2
1
1
90,
1000
i
i
i
i
x
x
=
=
=
=
å
å
，则得

2
10
180
1000
f x
x
x
=
-
+
.
所以当
180
9
2 10
x =
=
´
时，
2
min
10 9
180 9 1000
190
( )
(9)
f x
f
-
=
=
´
´ +
=
.
9．（24-25 高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.
满分100分，得分80分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是70% ，高二年级优秀率约是
75% ，高三年级优秀率约是80%.其中高一、高二、高三年级人数比为13:12:15，那么全校“优秀率”约是
（    ）
A．73.75%
B．75.00%
C．75.25%
D．76.25%
【答案】C
【分析】利用全概率公式计算即可.
【详解】Q高一年级优秀率约是70% ，高二年级优秀率约是75% ，高三年级优秀率约是80%，
其中高一、高二、高三年级人数比为13:12:15，
根据全概率公式可得：全校“优秀率”为
13
12
15
0.7
0.75
0.8
100%
0.7525 100%
75.25%
13 12 15
13 12 15
13 12 15
æ
ö
´
+
´
+
´
´
=
´
=
ç
÷
+
+
+
+
+
+
è
ø
.
故选：C.
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一
个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3 个黑球和3 个红球，乙的袋子中
有3 个黑球和2 个红球，则乙获胜的概率为（    ）
A．1
5
B．1
3
C．2
5
D．
1
2
【答案】D
【详解】总事件数为6 5 30
´ =
，乙获胜的事件数是3 2
3 3
15
´
+ ´
=
，
则乙获胜的概率是15
1
30
2
=
．
11．（2026·山东东营·一模）在2025 年10 月19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位
志愿者被派往A、B、C 三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务
站，则在甲被派去B 服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ）
A．1
6
B．
1
2
C．2
3
D．5
6
【答案】A
【分析】先求出甲被安排到B 服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概
率即可.
【详解】先求甲被派去B 服务站的方法数； 
第一种情况：甲一个人去B 服务站，则有
2
2
3
2
C A
6
=
种；
第二种情况：甲和其中一人去B 服务站，则有
1
2
3
2
C A
6
=
种；
故甲被派去B 服务站的方法数共6
6
12
+
=
种；
再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有
2
2
A
2
=
种；
故概率为2
1
12
6
=
.
12．（2026·四川德阳·二模）某知识过关题库中有, ,
A B C 三种难度的题目数分别为300,200,100 ，其中小明
完成, ,
A B C 型题目的正确率分别为4 3 2
,
,
5 5 5 ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（    ）
A．3
4
B．3
5
C．2
3
D．4
7
【答案】C
【详解】设小明选1道A 类试题为事件A ，
小明选1道B 类试题为事件B ，小明选1道C 类试题为事件C ，
设小明答对试题为事件D ，则

300
1
600
2
P A =
=
，

200
1
600
3
P B =
=
，

100
1
600
6
P C =
=
，


4
|
5
P D A =
，


3
|
5
P D B =
，


2
|
5
P D C =
，
故


1
4
1
3
1
2
2
2
5
3
5
6
5
3
P D =
´
+
´
+
´
=
，故C 正确.
13．（2026·广东佛山·二模）设
,
A B 为两个相互独立的随机事件，且


2
P A
P B
=
．已知在
,
A B 至少一个
发生的条件下，
,
A B 恰有一个发生的概率是4
5 ，则
P B = （   ）
A．1
4
B．1
5
C．1
8
D．1
10
【答案】A
【详解】设


2 ,
P A
a P B
a
=
=
，
由题意，在
,
A B 至少一个发生的条件下，
,
A B 恰有一个发生的概率是4
5 ，
则




















4
5
P AB
AB
P AB
P AB
P A P B
P A P B
P
AB
AB
A
B
P A
B
P A
P B
P AB
P A
P B
P A P B
È
+
+
é
ù
È
È
=
=
=
=
ë
û
È
+
-
+
-
，
即



2
1
1 2
4
2
2
5
a
a
a a
a
a
a a
-
+
-
=
+
-
×
，解得
1
4
a =
，即

1
4
P B =
.
14．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，

3
5
P A =
，

1
6
P B A =
，


1
P A
B
È
= ，则
P B = （   ）
A．7
10
B．3
5
C．
1
2
D．2
5
【答案】C
【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解.
【详解】由条件概率公式，可得

(
)
1
( )
6
P AB
P B A
P A
=
=
，
故



1
1
3
1
6
6
5
10
P AB
P A
=
=
´
=
，
又因

( )
( )
(
)
1
P A
B
P A
P B
P AB
È
=
+
-
= ，则

3
1
1
1
5
10
2
P B = -
+
=
.
15．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2 局，谁便赢得奖金5400 元.根据以往的交
手记录，每局甲赢的概率为2
3 ，乙赢的概率为1
3 ，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，
为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元.
A．3600
B．3800
C．4000
D．4200
【答案】C
【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2 局或3 局.
2 局结束，即甲连赢2 局，概率为
1
2
2
4
3
3
9
P =
´
=
；
3 局结束，即前2 局甲、乙各赢1 局，第3 局甲赢，概率为
2
2 1 2
1 2 2
8
3 3 3
3 3 3
27
P =
×
×
+
×
×
=
，
所以甲赢得比赛的总概率为
4
8
20
9
27
27
P =
+
=
甲
.
同理可求得乙赢得比赛的总概率为
1 1
1 2 1
2 1 1
7
3 3
3 3 3
3 3 3
27
P =
×
+
×
×
+
×
×
=
乙
.
所以甲分得奖金为
20
5400
4000
27
´
=
元.
16．（2026·广东汕头·模拟预测）“
( )
( )
1
P A
P B
+
= ”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的（   ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必
要不充分条件
【答案】D
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【详解】投掷一枚硬币3 次，满足

1
P A
P B
+
= ,但A
B
，
不一定是对立事件，
如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3 次正面”，
则
7
8
P A =
（）
，

1
8
P B =
，满足


1
P A
P B
+
＝，但A
B
，
不是对立事件.
若事件A 与事件B 是对立事件，则A
B
È
为必然事件，再由概率的加法公式得

1
P A
P B
＋
＝；
所以“
( )
( )
1
P A
P B
+
= ”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的必要不充分条件；
故选：D
17．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标
有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己
持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1 分，否则乙得1 分，然后各自弃置此轮所选的卡片
（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则


E X = （   ）
A．1
B．4
3
C．3
2
D．2
【答案】B
【详解】设甲总得分为X ，则X 的可能取值为0,1,2 ，
在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有
3
3
A
6
=
种，
第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表，
甲得分
2
3
5
0 分
4
6
10
2 分
4
10
6
1 分
6
4
10
2 分
6
10
4
2 分
10
4
6
1 分
10
6
4
则






1
2
1
3
1
0
,
1
,
2
6
6
3
6
2
P X
P X
P X
=
=
=
=
=
=
=
=
，
则


1
1
1
4
0
1
2
6
3
2
3
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
18．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命” X （单位：
千次）服从正态分布


2
4.5,
N
s
，且


5.2
0.2
P X ³
=
．现从该批固态电池中随机抽取1 组，则“循环寿命” X
在区间

3.8,5.2 的概率为（    ）
A．0.2
B．0.3
C．0.6
D．0.8
【答案】C
【详解】


2
4.5,
X
N
s
Q
:
，


5.2
0.2
³
=
P X
，


3.8
0.2
P X
\
£
=
，
则






3.8
5.2
1
5.2
3.8
1 0.2
0.2
0.6
P
X
P X
P X
<
<
= -
³
-
£
= -
-
=
.
19．（2026·山东德州·一模）已知随机变量


2
,
X
N m s
~
，且


3
1
3,
,
2
2
Y
B
p
P X
æ
ö
~
³
=
ç
÷
è
ø
，且




2
2
E X
D
Y
=
，则p = （    ）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
【答案】D
【分析】根据正态分布特性求出m 的值，再根据二项分布的方差公式求出

D Y ，最后代入题中所给等式求
解即可．
【详解】正态分布关于均值m 对称，又


1
2
P X
m
³
=
，
可得
3
2
m =
，所以


3
2
E X
m
=
=
，又


3,
Y
B
p
~
，
所以







2
4
4 3
1
12
1
D
Y
D Y
p
p
p
p
=
=
´
-
=
-
，
由此可得


3
2
12
1
2
p
p
´
=
-
，解得
1
2
p =
．
20．（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，每次正面向上得2 分，反面向上得1
-
分，记总得分为X，则（   ）
A．


8
E X =
B．


12
E X =
C．


6
D X =
D．


18
D X =
【答案】D
【详解】设Y 为正面向上的次数，则
1
~
8, 2
Y
Bæ
ö
ç
÷
è
ø，
总得分



2
1
8
3
8
X
Y
Y
Y
=
+ -
´
-
=
-
,
由于

1
8
4
2
E Y = ´
=
，

1
1
8
1
2
2
2
D Y
æ
ö
= ´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以





3
8
3
8
4
E X
E
Y
E Y
=
-
=
-
=





3
8
9
9 2
18
D X
D
Y
D Y
=
-
=
= ´
=
，所以D 正确.
21．（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态
3，……，每种状态下的粒子经过1 秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1 的粒子
有
1
2 的概率变为状态2，状态2 的粒子有1
3 的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1 的该粒子，则经过
3 秒处于状态1 和状态2 的粒子数目约占（   ）
A．39%
B．51%
C．64%
D．73%
【答案】C
【分析】分别计算经过3 秒后处于状态1 和状态2 的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处于状态1
和状态2 的粒子数目占总粒子数的比例.
【详解】设经过3 秒处于状态1 的概率为
1P ，粒子要始终停留在状态 1，需连续3 秒都保持状态 1，根据
独立事件概率公式：
1
1
1
1
1
2
2
2
8
P =
´ ´
=
；
设经过3 秒处于状态2 的概率为
2P ，
情况一:第1 秒从状态1 变为状态2，第2 秒和第3 秒都保持状态2 不变，概率为1
2
2
2
2
3
3
9
´
´
=
；
情况二:第1 秒保持状态1 不变，第2 秒从状态1 变为状态2，第3 秒保持状态2 不变，概率为1
1
2
1
2
2
3
6
´
´
=
；
情况三:第1 秒和第2 秒保持状态1 不变，第3 秒从状态1 变为状态2，概率为1
1
1
1
2
2
2
8
´
´
=
；
将上述三种情况的概率相加，得到经过3 秒后处于状态2 的粒子的概率为
2
2
1
1
37
9
6
8
72
P =
+
+
=
，
则经过3 秒后处于状态1 和状态2 的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3 秒后处于状态1 和状态2 的粒
子的概率相加，可得
2
1
3
37
64%
8
2
36
7
+
=
»
.
二、多选题
22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的极差为4，平均数为3，方差为2，若


2
1
1,2,3,4,5
i
i
y
x
i
=
+
=
，则（    ）
A．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的第80 百分位数为
4y
B．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的极差为8
C．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的平均数为7
D．
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的方差为4
【答案】BC
【详解】数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的大小不确定，所以第80 百分位数不能确定，故A 错误；
数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的极差为4，即
max
min
4
x
x
-
=
.
由
2
1
i
i
y
x
=
+ ，可知
max
max
2
1
y
x
=
+ ，
min
min
2
1
y
x
=
+ ，


max
min
max
min
2
8
y
y
x
x
\
-
=
-
=
，故B 正确；
由数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的平均数为3，
2
1
i
i
y
x
=
+ ，得数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y y
y
y
y 的平均数为2 3 1
7
´ + =
，故C 正确；
由数据
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x
x x
x 的方差为2 ，由


2
1
1,2,3,4,5
i
i
y
x
i
=
+
=
，得数据
1
2
,
y y ,
3
4
5
,
,
y
y
y 的方差为
2
2 2
8
´
= ，
故D 错误.
23．（2026·山西晋中·模拟预测）在一次机器人大赛中，7 位评委给某机器人的打分（单位：分）为
80,83,87,90,93,97,100 ，则下列说法正确的有（    ）
A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变
B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变
C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小
D．这组数据的75% 分位数为93
【答案】BC
【详解】对于A，原极差：100
80
20
-
=
；去掉最低分80、最高分100后，
剩余数据为83,87,90,93,97，极差为97
83
14
-
=
，极差改变，故A 错误；
对于B，原数据总和：80
83
87
90
93
97 100
630
+
+
+
+
+
+
=
，原平均数630
90
7
=
，
去掉两端后总和为630
80 100
450
-
-
=
，平均数450
90
5
=
，平均数不变，故B 正确；
对于C，方差衡量数据波动程度，去掉了离平均数（90）最远的两个数据80和100，剩余数据波动更小，
因此方差变小，故C 正确；
对于D，计算75% 分位数：由7 75%
5.25
´
=
，向上取整得分位数位置为第6 位，
第6 位数据是97，不是93，故D 错误.
24．（2026·河北·一模）某超市统计了2025 年前10 个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示
的折线图，则下列说法正确的是（    ）
A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份
B．这10 个月营业额的平均数为32.5 万元
C．前5 个月营业额的方差大于后5 个月营业额的方差
D．这10 个月营业额数据的第70 百分位数为43
【答案】AC
【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，将 10 个月的营
业额数据求和，再除以 10 得到平均数，与 32.5 万元对比；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业
额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算第 70 百分位数进行判断.
【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6 万元，三月份比二月份增加24 万元，四月份比三月份减
少13 万元，五月份比四月份减少24 万元，
六月份比五月份增加6 万元，七月份比六月份增加12 万元，八月份比七月份增加2 万元，九月份比八月份
减少18 万元，
十月份比九月份减少4 万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A 正确；
对于B：由


1 30
36
60
47
23
29
41
43
25
21
35.5
10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
，即这10 个月的营业额的平均数为35.5万
元，B 错误；
对于C：前5 个月的平均数


1
1 30
36
60
47
23
39.2
5
x =
+
+
+
+
=
，
方差










2
2
2
2
2
2
1
1
30
39.2
36
39.2
60
39.2
47
39.2
23
39.2
170.16
5
s
é
ù
=
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
ë
û
；
后5 个月的平均数


2
1 29
41
43
25
21
31.8
5
x =
+
+
+
+
=
，
方差










2
2
2
2
2
2
2
1
29
31.8
41 31.8
43
31.8
25
31.8
21 31.8
76.16
5
s
é
ù
=
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
ë
û
因为170.16
76.16
>
，所以前5 个月的营业额的方差确实大于后5 个月，C 正确；
对于D：将10 个数据从小到大排序：21,23,25,29,30,36,41,43,47,60,
因为10 70%
7
´
=
，所以第70 百分位数取第7 项和第8 项的平均数41
43
42
2
+
=
，D 错误.
故选：AC.
25．（2026·辽宁辽阳·一模）某市10 公里慢跑自2020 年首次推出5 条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年
增加.下图分别为该市2020 年10 公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025 年10 公里慢跑参与人数的
扇形统计图（图2），已知2025 年一号线的参与人数是2020 年一号线参与人数的1.5 倍，则（    ）
A．2025 年该市10 公里慢跑总的参与人数是6 万
B．2025 年五号线的参与人数超过了2020 年二号线与三号线的参与人数总和
C．2020 年，五条路线对应的参与人数的极差是11 千
D．2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线
【答案】ACD
【分析】根据直方图、扇形图分析2020 、2025 年各路线对应慢跑人数，结合各项描述、极差的概念判断各
项的正误.
【详解】由图及已知，2025 年一号线参与人数为4 1.5
6
´
=
千人，
所以2025 年参加10 公里慢跑人数为6 10%
60
¸
=
千人，即6 万人，A 对，
所以2025 年五号线的参与人数为60 30%
18
´
=
千人，
且2020 年二号线、三号线的参与人数总和为8 10
18
+
=
千人，显然B 错，
2020 年五条路线参与人数的极差为15
4
11
-
=
千人，C 对，
由图及上述分析，2020 年一号到五号线的人数依次为4,8,10,11,15千人，
而2025 年一号到五号线的人数依次为6,9,12,15,18千人，
2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为：
6
4
50%
4
-
=
，9
8
12.5%
8
-
=
，12 10
20%
10
-
=
，15 11
36.4%
11
-
»
，18 15
20%
15
-
=
，
所以2025 年与2020 年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D 对.
故选：ACD
26．（2026·四川成都·二模）已知数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设


3
2
1,2,3,
,8
i
i
b
a
i
=
-
=
×××
，得到新数据
1
2
3
8
,
,
,
,
b b b
b
×××
，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ）
A．平均数是3M
B．中位数是3
2
N -
C．方差是9P
D．极差是3
2
Q -
【答案】BC
【分析】根据题意，结合数据的平均数、中位数、方差和极差的定义与计算方法，结合
3
2
i
i
b
a
=
- ，逐项求
解判断，即可得到答案.
【详解】对于A，由数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的平均数为M ，可得
1
2
3
8
8
M
a
a
a
a
+
+
+×× +
=
×
，
新数据
3
2
i
i
b
a
=
- 的平均数为
1
2
8
1
2
8
2)
8
(
)
3
(3
(3
2
2)
8
b
b
b
a
a
a
+
+×××+
+
+×××+
-
-
-
=
1
2
8
1
2
8
3
2
3
2
3(
) 1
8
6
8
a
a
a
M
a
a
a
=
×
=
+
+× ×+
-
+
´
-
=
+×××
-
+
，所以A 错误；
对于B，由数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的中位数为N ，
将新数据
3
2
i
i
b
a
=
- 从小到大排序，因为3
0
>
，所以新数据的排序和原数据的排序相同，
所以新数据的中位数为3
2
N -
，所以B 正确；
对于C，由数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的方差为P ，
设新数据的方差为
2s ，因为新数据满足
3
2
i
i
b
a
=
- ，可得
2
23
9
s
P
P
=
×
=
，所以C 正确；
对于D，由原数据
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
×××
的极差为Q ，可得
max
min
(
)
(
)
n
n
a
a
Q
-
=
，
因为新数据满足
3
2
i
i
b
a
=
- ，则新数据的极差为





max
min
max
min
max
min
(
)
(
)
3(
)
2
3(
)
2
3 (
)
(
)
3
n
n
n
n
n
n
b
b
a
a
a
a
Q
-
=
-
-
-
=
-
=
，所以D 错误.
27．（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据
1
x ，
2x ，…，
nx 的方差为1，第二组样本数据
1
3
2
x +
，
2
3
2
x +
，…，3
2
nx +
的平均数为14，则（   ）
A．第一组数据的平均数为4
B．第二组数据的方差为3
C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30
【答案】ACD
【详解】设第一组样本数据
1
x ，
2x ，…，
nx 的平均数为a ，方差为
2
1s ，
则第二组样本数据
1
3
2
x +
，
2
3
2
x +
，…，3
2
nx +
的平均数为
3
2
=
+
b
a
，方差为
2
2
2
1
9
s
s
=
，
由题意知
2
1
1
s = ，
14
b =
，
则有3
2
14
a +
=
，解得第一组的平均数为
4
a =
，故选项A 正确；
第二组的方差为
2
2
2
1
9
9
s
s
=
=
，故选项B 错误；
将两组数据合并后数据的平均数是
4 14
9
2
2
2
na
nb
a
b
c
n
+
+
+
=
=
=
=
，故选项C 正确；
第一组样本数据的方差






2
2
2
1
2
2
1
n
x
a
x
a
x
a
s
n
-
+
-
+
-
=
L
，
即






2
2
2
1
2
4
4
4
1
n
x
x
x
n
-
+
-
+
-
=
L
，
即


2
2
2
1
2
1
2
8
16
1
n
n
x
x
x
x
x
x
n
n
+
+
-
+
+
+
=
L
L
，
即


2
2
2
1
2
1
2
8
15
n
n
x
x
x
x
x
x
n
+
+
=
+
+
-
L
L
， 
1
2
4
n
x
x
x
na
n
+
+
=
=
Q
L
，
2
2
2
1
2
32
15
17
n
x
x
x
n
n
n
\
+
+
=
-
=
L
，
则两组数据合并后数据的方差是








2
2
2
2
1
1
3
2
3
2
2
n
n
x
c
x
c
x
c
x
c
n
-
+
+
-
+
+
-
+
+
+
-
L
L








2
2
2
2
1
1
9
9
3
2
9
3
2
9
2
n
n
x
x
x
x
n
-
+
+
-
+
+
-
+
+
+
-
=
L
L








2
2
2
2
1
1
9
9
3
7
3
7
2
n
n
x
x
x
x
n
-
+
+
-
+
-
+
+
-
=
L
L








2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
18
81
9
42
49
2
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
x
x
n
+
+
-
=
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
L
L
L
L




2
2
2
1
2
1
2
10
60
13
2
0
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
=
+
+
-
+
+
+
L
L
，
1
2
4
n
x
x
x
n
+
+
=
Q
L
，
2
2
2
1
2
17
n
x
x
x
n
\
+
+
=
L
，
则两组数据合并后数据的方差




2
2
2
1
2
1
2
10
60
13
2
0
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
=
+
+
-
+
+
+
L
L
170
240
130
60
30
2
2
n
n
n
n
n
n
-
+
=
=
=
，故选项D 正确.
28．（2026·吉林白城·一模）有一组样本数据
1
2
8
,
,
,
x
x
x
L
，其平均数为4，方差为
2
1s ，中位数为m．在这组
数中，去掉一个最大的数6 和一个最小的数2，余下6 个数据的中位数为n，方差为
2s ，极差为t，则（   ）
A．m
n
=
B．
4
t <
C．
2
2
1
3
4
s
s
<
D．
2
1
1
s ³
【答案】ACD
【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进
而得到结论.
【详解】对于A，令
1
2
8
x
x
x
£
£
£
L
，原中位数
4
5
2
x
x
m
+
=
，将最大最小去掉后，
2
7
x
x
£
£
L
，此时中位数
4
5
2
x
x
n
+
=
，所以m
n
=
.故A 正确.
对于B，
7
2
8
1
6
2
4
t
x
x
x
x
=
-
£
-
=
-
=
，故B 错误.
对于C，因为原数据的平均值为4，所以
1
2
8
32
x
x
x
+
+
+
=
L
，去掉2,6 ，
2
7
24
x
x
+
+
=
L
，新的平均值为


2
7
1
4
6 x
x
+
+
=
L
.
又




8
7
2
2
2
1
1
2
1
1
4
4
4
4
8
8
i
i
i
i
s
x
x
=
=
é
ù
=
-
=
-
+
+
ê
ú
ë
û
å
å




7
7
2
2
2
2
2
1
6 1
3
4
1
4
1
1
8
8 6
4
i
i
i
i
x
s
x
=
=
æ
ö
=
-
+ =
-
+ =
+
ç
÷
è
ø
å
å
所以
2
2
1
3
4
s
s
>
，因此
2
2
1
3
4
s
s
<
，故C 正确.
对于D，由上述计算
2
2
1
3
1 1
4
s
s
=
+ ³ ，故D 正确.
29．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025 年2 月至10 月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形
图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）：
月份
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9 月
10 月
累计收入
（亿元）
43.88
66.57
83.96
96.87
134.69
150.09
161.05
191.67
213.39
同比增长率
（%）
2
2.1
2.1
3
1
0.4
-
0.3
-
4.2
4.8
根据图表，下列说法正确的是（    ）
A．该地区2025 年每月的地方一般公共预算收入一直递增
B．2025 年8 月该地区的地方一般公共预算收入超过22 亿元
C．2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入比2024 年9 月高
D．2024 年前9 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20 亿元
【答案】CD
【详解】对于A，由图表可知，3 月的地方一般公共预算收入为66.57
43.88
22.69
-
=
（亿元），
4 月的地方一般公共预算收入为83.96
66.57
17.39
-
=
（亿元），故A 错误；
对于B，8 月该地区的地方一般公共预算收入为161.05 150.09
10.96
-
=
（亿元），故B 错误；
对于C，由图表可知，2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入为191.67 161.05
30.62
-
=
（亿元），
而2025 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长4.2% ，
所以2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为


191.67
1
4.2%
183.94
¸
+
=
（亿元），
2025 年8 月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长0.3%
-
，
所以2024 年8 月该地区的地方一般公共预算收入累计为


161.05
1 0.3%
161.53
¸
-
=
（亿元），
所以2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入为183.94 161.53
22.41
-
=
（亿元），比2025 年9 月少，
故C 正确；
对于D，由C 选项可知，2024 年9 月该地区的地方一般公共预算收入累计为183.94（亿元），
所以2024 年前9 个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为183.94
9
20.44
¸
»
（亿元），故D 正确．
30．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）有一组互不相等的样本数据
1
2
6
,
,
,
x x
x
L
，现添加一个新的数据
7x ，得到新的一组数据
1
2
7
,
,
,
x x
x
L
，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ）
A．若平均数不变，但极差变大
B．若中位数不变，但平均数变小
C．若平均数不变，但方差变大
D．若中位数不变，但方差变小
【答案】BD
【分析】根据题意，设原来数据中
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
<
<
<
<
<
，平均数为x ，方差为
2s ，结合中位数，平均数
和方差的计算公式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】不妨设原来数据中
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
<
<
<
<
<
，平均数为x ，方差为
2s ，
对于A，若平均数不变，则
7x
x
=
，因为
1
6
x
x
x
<
<
，
所以添加
7x 后极差仍然是
6
1
x
x
-
，故A 错误；
对于B，若中位数不变，则
3
4
7
2
x
x
x
+
=
，只要
3
4
7
2
x
x
x
x
+
=
<
，
新数据的平均数就比原来小，故B 正确；
对于C，原来的方差


6
2
2
1
1
6
i
i
s
x
x
=
=
-
å
，若平均数不变，则
7x
x
=
，
新的方差




7
6
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
6
7
7
7
i
i
i
i
s
x
x
x
x
s
s
=
=
=
-
=
-
=
<
å
å
，
即平均数不变时，方差一定变小，故C 错误；
对于D，例如，取原始数据为1,2,3,5,6,7 ，可得原始数据的中位数为4 ，方差为14
3 ，
添加一个新数据
7
4
x =
，可得新数据的中位数仍为4 ，此时新数据的方差为4 ，
因为
14
4
3
<
，方差变小，所以D 正确.
31．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是
否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗效
疗法
未治愈

0
Y =
治愈

1
Y =
甲

0
X =
15
52
乙
1
X =
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
2
4.881
c »
．则下列说法正确的是：（    ）
A．以频率估计概率，有

5
0
0
7
∣
P X
Y
=
=
=
B．以频率估计概率，有

2
0
1
23
∣
P Y
X
=
=
=
C．若取
0.05
a =
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
0.01
a =
，可以认为疗效与疗法独立
【答案】ABD
【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解



0
0 ,
0
1
P X
Y
P Y
X
=
=
=
=
∣
∣
判
断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD.
【详解】由题设求出表格
疗效
疗法
未治愈

0
Y =
治愈

1
Y =
总数
甲

0
X =
15
52
67
乙
1
X =
6
63
69
总数
21
115
136
以频率估计概率，有





0,
0
15
5
0
0
0
21
7
P X
Y
P X
Y
P Y
=
=
=
=
=
=
=
=
∣
，故A 正确；
以频率估计概率，有





0,
1
6
2
0
1
1
69
23
P Y
X
P Y
X
P X
=
=
=
=
=
=
=
=
∣
，故B 正确；
零假设
0
H ：认为疗效与疗法独立，由题
2
4.881
3.841
c »
>
且
2
4.881
6.635
c »
<
，
所以若取小概率值
0.05
a =
，则零假设
0
H 不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；
若取小概率值
0.01
a =
，则没有充分的证据推翻零假设
0
H ，故可以认为疗效与疗法独立，故C 错误，D 正
确.
故选：ABD
32．（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是
否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200 名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下
列结论正确的是（    ）
附：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
，n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.05
0.01
0.001
a
c
3.841
6.635
10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20 人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20 人，则其中新能源车主有12 人
C．根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
【答案】BCD
【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出2 2
´ 列联表，再用
2
c
公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件
下来自甲地的概率.
【详解】A：甲地购买燃油车人数为200
60%
120
´
=
，购买新能源车人数为200 40%
80
´
=
，
故购买燃油车的人数比新能源车的多120
80
40
-
=
人，A 错误.
B：乙地购买新能源车比例为60% ，故用分层随机抽样抽取20 人时，新能源车主有20 60%
12
´
=
人，B 正
确.
C：列出2 2
´ 列联表：
甲地
乙地
总计
燃油车
120
80
200
新能源车
80
120
200
总计
200
200
400
则
2
2
2
400 (120 120
80 80)
400 (14400
6400)
(120
80) (80 120) (120
80) (80 120)
200 200 200 200
c
´
´
-
´
´
-
=
=
+
´
+
´
+
´
+
´
´
´
2
400 8000
16
200 200 200 200
´
=
=
´
´
´
.
小概率值
0.001
a =
时，
0.001
10.828
c
=
.
因为
2
16
10.828
c =
>
，所以根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C 正确.
D：所调查的新能源车主共有200 40%+200 60%
200
´
´
=
人，其中甲地80 人，在已知其为新能源车主的条件
下，其来自甲地的概率为80
0.4
200 =
，D 正确.
33．（2025 高三·全国·专题练习）已知随机事件
,
A B 满足


1
1
,
2
3
P A
P B
=
=
，则（    ）
A．若事件
,
A B 互斥，则


5
6
P A
B
+
=
B．若B
A
Í
，则


1
2
P AB =
C．若B
A
Í
，则


1
2
P A
B
+
=
D．若事件
,
A B 互斥，则

5
6
P A
B
+
=
【答案】AC
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC.
【详解】对于A 选项，因为事件
,
A B 互斥，所以



1
1
5
2
3
6
P A
B
P A
P B
+
=
+
=
+
=
，故A 正确；
对于B 选项，因为B
A
Í
，所以



1
3
P AB
P B
=
=
，故B 错误；
对于C 选项，因为B
A
Í
，所以


1
2
P A
B
P A
+
=
=
，故C 正确；
对于D 选项，事件A 与事件B 是互斥事件，则A
B
+
为必然事件，所以

1
P A
B
+
= ，故D 错误．
故选：AC．
34．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件
,
A B 存
在如下关系：




P A P B A
P A B
P B
=
∣
∣
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运
动．张同学第一天选择室内健身的概率为2
3 ，选择户外运动的概率为1
3 ．如果第一天选择室内健身，那么
第二天继续选择室内健身的概率为
1
2 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为2
3 ．则
张同学（   ）
A．第二天去室内健身的概率为5
9
B．第二天去户外运动的概率为2
9
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为2
5
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为3
4
【答案】ACD
【详解】设
1A 表示张同学第一天选择室内健身，
2
A 表示张同学第二天选择室内健身，
1
B 表示张同学第一天选择户外运动，
2
B 表示张同学第二天选择户外运动.
则


1
2
3
P A
=
，


1
1
3
P B
=
，

2
1
1
2
P A A
=
，

2
1
2
3
P A B
=
，
因为






2
1
2
2
1
1
1
2
P A
P A A
P A A
P A
=
=
，所以



2
1
2
1
2
1
2
3
3
P A
P A A
=
´
=
，
因为






2
1
2
2
1
1
2
3
P A
P B A
P A B
P B
=
=
，所以



2
1
2
2
1
2
3
3
9
P A
P B A
=
´
=
，
对于A，








2
2
1
2
2
1
2
1
2
5
3
9
9
P A
P A
P A A
P A
P B A
=
+
=
+
=
，故A 正确；
对于B，因为




2
2
5
4
1
1
9
9
P B
P A
= -
= -
=
，故B 错误；
对于C，因为



1
2
2
2
2
2
9
9
5
5
9
P B A
P A
=
=
=
，故C 正确；
对于D，因为












1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
3
3
2
4
4
9
P A
P A A
P A P B A
P A B
P B
P B
æ
ö
´
-
ç
÷
é
ù
-
ë
û
è
ø
=
=
=
=
，故D 正确.
35．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有
2 个红球，乙袋子里有3 个红球和2 个白球．现从乙袋子里随机取出2 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随
机取出1 个球．记从甲袋子里取出红球的个数为X ，则（   ）
A．


13
0
15
=
=
P X
B．


4
1
5
P X =
=
C．


4
5
E X =
D．


4
125
=
D X
【答案】BC
【分析】分别求出从乙袋子中取出2 个红球、2 个白球和1 个红球和1 个白球的概率，分析X 的可能取值，
求出各个概率，可判断A、B 的正误，代入期望公式，可判断C、D 的正误.
【详解】设从乙袋子中取出2 个红球为事件A，则
2
3
2
5
C
3
( )
C
10
P A =
=
，
从乙袋子中取出2 个白球为事件B，则
2
2
2
5
C
1
( )
C
10
P B =
=
，
从乙袋子中取出1 个红球和1 个白球为事件C，则
1
1
3
2
2
5
C C
6
3
( )
C
10
5
P C =
=
=
，
由题意，X 的可能取值为0 和1，
则
1
1
1
(
0)
( ) 0
( )
( )
2
4
5
P X
P A
P B
P C
=
=
´ +
´
+
´
=
1
3
4
(
1)
( ) 1
( )
( )
2
4
5
P X
P A
P B
P C
=
=
´ +
´
+
´
=
，故A 错误，B 正确；
所以
1
4
4
(
)
0
1
5
5
5
E X =
´
+ ´
=
，故C 正确，D 错误.
36．（2026·重庆·模拟预测）已知A ，B 为两个随机事件，A ，B 分别表示A ，B 的对立事件，
0.2
P A =
，

0.3
P B =
，则下列说法正确的是（   ）
A．若A
B
Í
，则


0.3
P A
B
+
=
B．若A
B
Í
，则

0.5
P A
B
+
=
C．若A ，B 相互独立，则


0.4
P A
B
+
=
D．若

0.1
P AB =
，则

1
3
P A B =
【答案】ABD
【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B 的正误；根据独立事件的概率公
式，可判断C 的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D 的正误.
【详解】选项A：由A
B
Í
，得

( )
0.3
P A
B
P B
+
=
=
，故A 正确；
选项B：由A
B
Í
，得A、B 互斥，
所以

( )
( )
0.5
P A
B
P A
P B
+
=
+
=
，故B 正确；
选项C：若A ，B 相互独立，则
(
)
( )
( )
0.06
P AB
P A
P B
=
×
=
所以


( )
( )
(
)
0.44
P A
B
P A
P B
P AB
+
=
+
-
=
，故C 错误；
选项D：因为
( )
(
)
(
)
P A
P AB
P AB
=
+
，所以
(
)
0.2
0.1
0.1
P AB =
-
=
，
则

(
)
0.1
1
( )
0.3
3
P AB
P A B
P B
=
=
=
，故D 正确.
37．（2026·江西赣州·一模）设
,
A B 是一个试验中的两个事件，且
1
7
5
( )
,
( )
, (
)
2
12
12
P A
P B
P AB
AB
=
=
+
=
，则
下列结论正确的有（    ）
A．


1
3
P AB =
B．


5
12
P A
B
+
=
C．


2
|
3
P B A =
D．
(
|
)
(
|
)
1
P B A
P A B
+
=
【答案】AC
【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解.
【详解】选项A，
(
)
( )
(
)
P AB
P B
P AB
=
-
Q
，
(
)
( )
(
)
P AB
P A
P AB
=
-
，
















2
P AB
AB
P AB
P AB
P B
P AB
P A
P AB
P B
P AB
P A
\
+
=
+
=
-
+
-
=
-
+
，
1
7
5
( )
,
( )
, (
)
2
12
12
P A
P B
P AB
AB
=
=
+
=
Q
，
5
1
2 (
)
12
12
2
7
P AB
\
=
-
+
，
3
1
(
)
P AB
\
=
，故选项A 正确；
选项B，






1
7
1
3
2
12
3
4
P A
B
P A
P B
P AB
+
=
+
-
=
+
-
=
，故选项B 错误；
选项C，





1
2
3
|
1
3
2
P AB
P B A
P A
=
=
=
，故选项C 正确；
选项D，
1
1
1
(
)
( )
(
)
2
3
6
P AB
P A
P AB
=
-
=
-
=
，
7
1
1
(
)
( )
(
)
12
3
4
P AB
P B
P AB
=
-
=
-
=
，





1
1
6
1
3
2
P AB
P B A
P A
=
=
=
，




1
3
4
7
7
12
P AB
P A B
P B
=
=
=
，




1
3
16
1
3
7
21
P B A
P A B
+
=
+
=
¹ ，故选项D 错误.
故选：AC.
38．（2026·河北张家口·一模）若数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
1
n
n
S
a
=
+ ，在数列
na
的前
2
n +
（
*
nÎN ）项中任取两项都是正数的概率记为
nP ，则下列说法正确的是（   ）
A．
2
1
6
=
P
B．
2
1
2
n
n
P
P
- <
C．
2
2
2
n
n
P
P
+
<
D．
2
1
2
2
1
2
2
n
n
n
n
P
P
P
P
-
+
+
+
<
+
【答案】AC
【分析】根据给定的递推关系求出通项
na ，再按n 为奇数、偶数分类求出
nP 并逐项求解判断.
【详解】数列
na
中，2
1
n
n
S
a
=
+ ，当
2
n ³
时，
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
=
-
=
-
，则
1
n
n
a
a -
= -
，
而
1
1
1
2
2
1
a
S
a
=
=
+ ，解得
1
1
a = ，
所以数列
na
是首项为1，公比为1
- 的等比数列，
1
( 1)n
na
-
= -
，
当
2
1,
n
k
k
*
=
-
ÎN 时，数列
na
的前2
1
k + 项中，有( +1)
k
个正数，k 个负数，
任取两项都是正数的概率为
2
+1
2
1
2
2 +1
C
( +1)
+1
C
(2 +1) 2
4 +2
k
k
k
k k
k
P
k
k
k
- =
=
=
×
，
当
2 ,
n
k k
*
=
ÎN 时，数列
na
的前2
2
k +
项中，有( +1)
k
个正数，( +1)
k
个负数，
任取两项都是正数的概率为
2
+1
2
2 +
2
2
C
( +1)
C
(2 +1)(2 +2)
4 +2
k
k
k
P
k k
k
k
k
k
=
=
=
，
对于A，
2
1
6
=
P
，A 正确；
对于B，
2
1
2
+1
4 +2
4 +2
n
n
n
n
P
P
n
n
- =
>
=
，B 错误；
对于C，
2
2
1
4 +6
n
n
n
P
+
+
=
，
2
2
2
+1
2
0
4 +2
4 +6
(4 +2)(4 +6)
n
n
n
n
n
n
P
n
n
P
+
-
=
-
-
=
<
，C 正确；
对于D，
2
1
2
2
1
2
2
+1
+2
+1
1
1
(
(
)
(
+
)
(
+
)
0
4 +2
4 +2
4 +6
4 +
2
2
)
6
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
P
P
n
n
n
n
-
+
+
+
-
+
=
-
=
-
=
，D 错误.
39．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量


2
~
1,
X
N
s
，且


2
P X
a
>
=
，

4
P X
b
>
=
（0
0.5
b
a
<
<
<
），则（    ）
A．


1
4
1
P
X
b
£
£
= -
B．

1
b
P X
a
<
< -
<
C．

2
1
P X
a
b
£
= -
-
D．




2
P X
m
P X
m
>
+
>
< -
（
0
m >
）
【答案】BC
【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为
1
m = ，所以





1
4
1
4
0.5
P
X
P X
P X
b
£
£
=
³
-
>
=
-
，故A 错误；
对于B，因为
1
m = ，则



1
3
P X
P X
< -
=
>
，则






4
3
2
P X
P X
P X
a
>
<
>
<
>
=
，即

1
b
P X
a
<
< -
<
，故B 正确；
对于C，因为



2
2
2
P X
P
X
£
=
- £
£
，而




2
4
P X
P X
< -
=
>
，
故



2
2
2
1
P X
P
X
£
=
- £
£
=




2
4
1
P x
P X
a
b
-
>
-
>
= -
-
，故C 正确；
对于D，因为
0
m >
，所以2
1
m
m
+
> > -
，又


2
1
1
m
m
+
- = - -
，所以



2
P X
m
P X
m
>
+
=
< -
，故D 错
误.
故选：BC.
40．（2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的A ，B 两家共享自助洗车店洗
车．已知小张第一次去A ，B 两家洗车店洗车的概率分别为3
5 和2
5 ，如果小张第一次去A 洗车店，那么第二
次去A 洗车店的概率为
1
2 ；如果小张第一次去B 洗车店，那么第二次去A 洗车店的概率为3
5 ，则下列结论正
确的是（   ）
A．小张第一次去B 洗车店，第二次也去B 洗车店的概率为2
5
B．小张第二次去B 洗车店的概率比第二次去A 洗车店的概率小
C．若小张第二次去了A 洗车店，则他第一次去A 洗车店的概率为5
9
D．若小张第二次去了B 洗车店，则他第一次去A 洗车店的概率为15
23
【答案】BCD
【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD.
【详解】记小张第i 次去A 洗车店为
iA ，第i 次去B 洗车店为
iB ，
则


1
3
5
P A
=
，

1
2
5
P B
=
，

2
1
1
2
P A A
=
，

2
1
1
2
P B A
=
，

2
1
3
5
P A B
=
，

2
1
2
5
P B B
=
.
选项A：





1
2
1
2
1
2
2
4
5
5
25
P B B
P B P B B
=
=
´
=
，故A 错误.
选项B：








2
1
2
1
1
2
1
3
1
2
2
23
5
2
5
5
50
P B
P A P B A
P B
P B B
=
+
=
´
+
´
=
，








2
1
2
1
1
2
1
3
1
2
3
27
5
2
5
5
50
P A
P A P A A
P B P A B
=
+
=
´
+
´
=
，
所以小张第二次去B 洗车店的概率比第二次去A 洗车店的概率小，故B 正确.
选项C：










1
2
1
1
2
1
2
2
2
3
1
5
5
2
27
9
50
P A P A A
P A A
P A A
P A
P A
´
=
=
=
=
，故C 正确.
选项D：










1
2
1
1
2
1
2
2
2
3
1
15
5
2
23
23
50
P A P B A
P A B
P A B
P B
P B
´
=
=
=
=
，故D 正确.
41．（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛
的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对A 类问题的概率为1
3 ，
答对B 类问题的概率为
1
2 ，甲同学回答A 类问题的概率为3
4 ，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下
列说法正确的是（    ）
A．甲同学在第一轮答对试题的概率为3
8
B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为1
3
C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为225
512
D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6
【答案】ACD
【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为3
1
1
1
3
4
3
4
2
8
´
+
´
=
，故选项A 正确；
甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B 类问题的概率为
1
1
1
4
2
3
2
1
1
5
4
3
4
2
´
=
´
+
´
，故选项B 不正确；
分析可得，甲同学经过n 轮答题，答对的试题个数X 服从二项分布
3
, 8
X
B n
~
æ
ö
ç
÷
è
ø，
故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为
2
1
3
3
5
225
C
8
8
512
æ
ö
´
´
=
ç
÷
è
ø
，故选项C 正确；
甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为
3
16
6
8
´
=
，故选项D 正确．
42．（2026·四川绵阳·模拟预测）设A ，B 分别为随机事件
,
A B 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结
论正确的有（    ）
A．





|
|
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
B．若



|
P B A
P B
=
，则



|
P A B
P A
=
C．




|
|
P ABC
P A P B A P C AB
=
D．




|
|
1
P B A
P B A
+
=
【答案】ABC
【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可.
【详解】对于A，由全概率公式得，





|
|
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
，故A 正确；
对于B，






|
P AB
P B A
P B
P A
=
=
，所以


P AB
P A P B
=
，所以A ，B 相互独立，
那么







P AB
P A P B
P A B
P A
P B
P B
=
=
=
∣
，故B 正确；
对于C，















|
|
P AB
P ABC
P A
P B A
P C AB
P A
P ABC
P A
P AB
×
×
=
×
×
=
，故C 正确；
对于D，

|
P B A 表示在A 发生的条件下B 发生的概率，

|
P B A 表示在A 发生的条件下B 发生的概率，
两者之和不一定为1，例如：设A 为“掷骰子点数为偶数”，A 为“掷骰子点数为奇数”，
B 为“掷骰子点数大于2”，则


2
|
3
P B A =
，

2
|
3
P B A =
，和为4
3 ，D 错误.
43．（2026·山东济南·一模）现进行如下试验：从1,2,3,
,10
L
中任选一个数，记为
1a ，若
1
1
a = ，则试验结束；
否则再从
1
1,2,
,
1
a -
L
中任选一个数，记为
2a ，若
2
1
a = ，则试验结束；否则再从
2
1,2,
,
1
a -
L
中任选一个数，
依次类推，直至选中1 为止.记事件
=
iA
“试验过程中，数字i 被选到”，
ip 表示事件
iA 发生的概率
（
1,2,3,
,10
i =
L
），则（    ）
A．
9
1
10
p =
B．
8
10
9
1
1
1
10
9
8
p
p
p
=
+
+
C．



8
9
8
10
P A
A
P A
A
=
∣
∣
D．



( ,
1,2,
,10
i
j
i
j
P A A
p
p i j
=
×
Î
L
且
)
i
j
¹
【答案】BCD
【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算
9p ；对于选项B，需要根据试验过程分析
8p 表达式；对于
选项C，根据条件概率公式判断


8
9
|
P A
A
与


8
10
|
P A
A
是否相等；对于选项D，
9
k £
时，有
1
2
10
1
1
1
10
1
9
k
k
P
P
P
k
+
+
=
+
+
+
+
L
，得
1
1
k
k
k
P
P
k
+
+
=
，可知
1
kP
k
=
，
1,2,
,10
k =
L
，则有

1
|
i
j
P A
A
i
=
，可得





1 1
|
i
j
i
j
j
i
j
P A A
P A
A
P A
p
p
i
j
=
=
×
=
×
.
【详解】对于A，若数字9 被选到，有两种情况：
第一次选数时，从1 到10 中选到9，概率为1
10 ，
第一次选到10，第二次从1 到9 中选到9，概率为1
1
1
10
9
90
´
=
，
所以
9
1
1
1
10
90
9
p =
+
=
，选项A 错误；
对于B，若数字8 被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为1
10 ；
9
A 发生后，下一次从1 到8 中选到8，概率为
9
1
8 p ，
10
A 发生后，下一次从1 到9 中选到8，概率为
10
1
9 p ，
这几种情况彼此互斥，所以
8
9
10
8
0
9
1
1
1
1
p
p
p
=
+
+
，选项B 正确；
对于C，根据条件概率公式






8
9
8
9
9
|
P A A
P A
A
P A
=
，






8
10
8
10
10
|
P A A
P A
A
P A
=
，
若
9
A 发生，即数字9 被选到，那么在选到9 的情况下，
下一次从1 到8 中选到8 的概率为1
8 ，即


8
9
1
|
8
P A
A
=
，
若
10
A 发生，即数字10 被选到，那么在选到10 的情况下，可以下一次从1 到9 中选到8，
也可以是下一次从1 到9 中选到9，再下一次从1 到8 中选到8，
即


8
10
1
1
1
1
|
9
9
8
8
P A
A
=
+
´
=
，
所以




8
9
8
10
|
|
P A
A
P A
A
=
，选项C 正确；
对于D，对于
kA 即选中k 的情况，设m 为选中数当中不小于k 的最小整数，
则








1
2
10
kp
P m
k
P m
k
P m
k
P m
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
L
1
2
10
1
1
1
1
10
1
9
k
k
p
p
p
k
k
+
+
=
+
+
+
+
+
L
，
当
9
k £
时，有
1
2
10
1
1
1
10
1
9
k
k
p
p
p
k
+
+
=
+
+
+
+
L
，
1
1
k
k
k
p
p
k
+
+
=
，
9
k £
，
结合
10
1
10
p
=
知
1
kp
k
=
，
1,2,
,10
k =
L
，
所以最大数选取是任意的，始终有
1
kp
k
=
，
对于,i j 同时选中情况，不妨设i
j
<
，

|
i
j
P A
A
可理解为从1
1
j -
:
中按规则取数，
选中i 的概率，则有

1
|
i
j
P A
A
i
=
，
可得




1 1
|
i
j
i
j
j
i
j
P A A
P A
A
P A
p
p
i
j
=
=
×
=
×
，选项D 正确.
故选：BCD
三、填空题
44．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60 人，女老师40 人，其中男老师平均年龄为
35 岁，方差为6；女老师平均年龄为30 岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为
_____
【答案】     
33 岁     
10
【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可.
【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为
60
40
35
30
33
60
40
60
40
´
+
´
=
+
+
岁，
则该高中高三备课组老师的方差




2
2
2
60
40
6
35
33
1
30
33
60
40
60
40
s
é
ù
é
ù
=
´
+
-
+
´
+
-
ë
û
ë
û
+
+




3
2
6
4
1 9
10
5
5
=
´
+
+
´
+
=
.
故答案为：33 岁；10.
45．（25-26 高二上·广东中山·月考）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层
随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20 人，其平均数和方差分别为170 和10，抽取了女生
30 人，其平均数和方差分别为160 和15．则估计出总样本的平均数为_____．
【答案】164
【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可.
【详解】总样本的平均数为
20
30
170
160
164
20
30
20
30
´
+
´
=
+
+
；
故答案为：164.
46．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6 个球，这6 个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标
有数字1，2，3，4，5，6 中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则
两个球之间的数字标号互质的概率为_______________．
【答案】11
15
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率.
【详解】随机抽出两个球的样本空间
{12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}
W =
，共15 个，
两个球之间的数字标号互质的事件
{12,13,14,15,16,23,25,34,35,45,56}
A =
，共11 个，
所以两个球之间的数字标号互质的概率为
11
( )
15
P A =
.
故答案为：11
15
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀
的骰子一次，规定点数大的得2 分，点数小的得0 分，点数相同时各得1分，三轮比赛结束后，甲得4 分的
概率为__________.
【答案】145
576
【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情
况，即可得解.
【详解】用

,a b 分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有6 种结果，则在一
轮游戏中，共包含6 6
36
´
=
（个）等可能的基本事件.其中，甲得2 分，即a
b
> 包含的基本事件有

2,1 ，


3,1 ，

3,2 ，

4,1 ，

4,2 ，

4,3 ，

5,1 ，

5,2 ，

5,3 ，

5,4 ，

6,1 ，

6,2 ，

6,3 ，

6,4 ，

6,5 共
15个，则甲每轮得2 分的概率为15
5
36
12
=
.同理可得，甲每轮得0 分的概率也是5
12 ，得1分的概率为1
6 .
设事件A 表示三轮比赛结束后甲得4 分，则事件A 可分两类情形：
①甲有两轮得2 分，一轮得0 分，概率为
2
2
1
3
5
5
125
C
12
12
576
P
æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
；
②甲有一轮得2 分，两轮得1分，概率为
2
2
2
3
1
5
5
C
6
12
144
P
æ
ö
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以

1
2
145
576
P A
P
P
=
+
=
，
故答案为：145
576 .
48．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4 个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数
字2，0，2，6，每次随机抽取1 个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4 次，记X 为抽
到数字2，0，6 的次数的最大值，则X 的数学期望


E X = ______．
【答案】159
64
【详解】由题设，每次抽取2 的概率为
1
2 ，抽取0 的概率为1
4 ，抽取6 的概率为1
4 .
X 可取2,3,4 ，
当
2
X =
时，4 次中2,0,6 有两个元素各出现两次，或者4 次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其
余两个元素各出现一次，
故


2
2
2
2
2
4
1
1
1
1
2
C
2
2
4
4
4
P X
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
+
´
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
2
2
2
4
1
1
1
1
1
1
150
75
C
2
2 2
2
4
4
4
2
4
256
128
é
ù
æ
ö
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö æ
ö
+
´
´
´
+ ´ ´
´
´
=
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø
è
ø
è
ø è
ø
ê
ú
ë
û
，
当
4
X =
时，4 次中2,0,6 有一个元素抽到4 次，故


4
4
1
1
18
9
4
2
2
4
256
128
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
+ ´
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故


75
9
44
11
3
1 128
128
128
32
P X =
= -
-
=
=
，
故X 的分布列如下：
X
2
3
4
P
75
128
11
32
9
128
故


75
11
9
159
2
3
4
128
32
128
64
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
49．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出A
B
、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中
选择一种套餐，若他前1 天选择了A 套餐，则第2 天选择A 套餐的概率为1
4 ；若他前1 天选择了B 套餐，则
第2 天选择了A 套餐的概率为3
4 ．已知他开学第1 天中午选择A 套餐的概率为2
3 ，在该同学第3 天选择了A
套餐的条件下，他第2 天选择A 套餐的概率为___________．
【答案】5
26
【分析】由







2
1
2
1
1
2
1
P A
P A P A
A
P A P A A
=
+
∣
∣
求出


2
P A
，再由








3
2
3
2
2
3
2
P A
P A
P A
A
P A
P A A
=
+
∣
∣
求出

3
P A
,最后利用






2
3
2
2
3
3
P A
P A
A
P A
A
P A
=
∣
∣
即可求解.
【详解】设
n
A 为第n 天选A 套餐，
n
A 为第n 天选B 套餐，
则







1
1
1
1
2
2
1
1
3
1
3
3
3
4
4
n
n
n
n
P A
P A
P A
A
P A
A
+
+
=
= -
=
=
=
，
，
∣
，
∣
，







2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
3
5
3
4
3
4
12
P A
P A P A
A
P A P A A
\
=
+
=
´
+
´
=
∣
∣
；
从而





2
3
2
3
2
5
7
1
3
1 12
12
4
4
P A
P A
A
P A A
= -
=
=
=
，
∣
，
∣
，








3
2
3
2
2
3
2
5
1
7
3
13
12
4
12
4
24
P A
P A
P A
A
P A
P A A
=
+
=
´
+
´
=
∣
∣
，







2
3
2
2
3
3
5
5
1
5
48
12
4
13
13
26
24
24
P A
P A
A
P A
A
P A
´
=
=
=
=
∣
∣
.
50．（2026·江西·模拟预测）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率
是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是
甲厂生产的概率是________．
【答案】1
4 /0.25
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】设事件A 为“购买一个甲厂灯泡”，事件B 为“购买一个乙厂灯泡”，事件C 为“购买的灯泡是合格品”，
依题意，
( )
0.3, ( )
0.7, (
|
)
0.7, (
|
)
0.9
P A
P B
P C A
P C B
=
=
=
=
，
因此
( )
( ) (
|
)
( ) (
|
)
0.3 0.7
0.7 0.9
0.84
P C
P A P C A
P B P C B
=
+
=
´
+
´
=
，
( ) (
|
)
0.3 0.7
1
(
|
)
( )
0.84
4
P A P C A
P A C
P C
´
=
=
=
，
所以这个灯泡是甲厂生产的概率是1
4 .
故答案为：1
4
51．（2026·江西南昌·一模）已知A 盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，B 盒中装有大小相同的3 个
红球，从A 盒中随机取一个球，若是红球，则放回A 盒；若是黑球，则从B 盒中取一红球与其替换，这样
称为1 次操作，重复以上操作，直到A 盒中6 个球全是红球为止.记n 次重复操作后，A 盒中6 个球恰好全
是红球的概率为
nP ，则
5
4
1
2
P
P
-
= ________.
【答案】61
1296
【详解】若4 次重复操作后，A 盒中6 个球全是红球，则1 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次、第二
次和第三次抽到红球三种情况，
所以
4
1
1
2
1
1
4
2
1
1
2
5
1
1
2
2
6
6
2
6
6
6
2
6
6
6
18
P =
´
´
´
+
´
´
´
+
´
´
´
=
，
若5 次重复操作后，A 盒中6 个球全是红球，则2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一
次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
5
1
1
1
2
1
1
1
4
2
1
1
1
2
5
1
1
4
4
2
1
2
2
2
6
6
2
2
6
6
6
2
2
6
6
6
2
6
6
6
6
P =
´
´
´
´
+
´
´
´
´
+
´
´
´
´
+
´
´
´
´
1
4
2
5
1
1
2
5
5
1
97
2
6
6
6
6
2
6
6
6
6
1296
+
´
´
´
´
+
´
´
´
´
=
，
所以
5
4
1
97
1
61
2
1296
36
1296
P
P
-
=
-
=
.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将n 次重复操作后，A 盒中6 个球全是红球转化为
3
n- 次抽到红
球，3 次抽到黑球，然后分情况计算概率即可.
52．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用2n 个元件组成一个电路系统，当且仅当从A 到B 的电路为通路状
态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为3
4 ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损
坏的元件个数为
n
X ，则


4
E X
= __________.
【答案】8
5
【分析】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
i
M ，其损坏的元件个数为
iY ，
1,2,
,
i
n
=
×××
，可得



1
n
n
i
i
E X
E Y
=
=å
，结合两点分布可得

2
5
i
E Y
=
，即可得结果.
【详解】设由2 个并联元件组成的整体依次为系统
i
M ，其损坏的元件个数为
iY ，
1,2,
,
i
n
=
×××
，
则
1
n
n
i
i
X
Y
=
=å
，可得



1
n
n
i
i
E X
E Y
=
=å
，
在电路系统正常工作的条件下，可知系统
i
M 均正常工作，对应概率为
3
3
3
3
15
2
1
4
4
4
4
16
P
æ
ö
=
´
-
´
+
´
=
ç
÷
è
ø
，
则


0,1
iY Î
，可得


3
3
3
4
4
0
15
5
16
i
P Y
´
=
=
=
，




2
1
1
0
5
i
i
P Y
P Y
=
= -
=
=
，
则

3
2
2
0
1
5
5
5
i
E Y
=
´
+ ´
=
，所以




4
4
1
8
4
5
i
i
i
E X
E Y
E Y
=
=
=
=
å
.
题型28  概率统计大题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
互斥事件与
独立事件概
率
分情况讨论比赛结束仍未决出胜负的情形，利用独立事件乘法公式和互斥事件加
法公式计算概率；甲获胜需考虑甲在第1、2、3次投篮中获胜的各种路径。
2
独立事件与
随机变量分
布
分别计算甲、乙通过面试的概率；由两人答题次数之和的可能取值，结合独立事
件概率公式求分布列，再求期望。
3
全概率公式
与二项分布
由全概率公式求检测结果与实际不符的概率；二项分布求恰有2天不符的概率；计
算使用检测系统时每日总支出的期望，与不使用系统时的期望比较。
4
线性回归与
相关系数
计算样本中心点，求相关系数判断相关性强弱；利用最小二乘法求回归直线方程，
再代入预测值。
5
独立性检验
与超几何分
布
补全列联表，计算卡方值判断是否独立；分层抽样后，用超几何分布求抽取人数
分布列和期望。
6
相关系数与
超几何分布
计算相关系数判断线性相关程度；从5个数据中随机抽取3个，最小值的分布列为
超几何分布，求期望。
7
频率分布直
方图与正态
分布
由频率和为1求参数，根据百分位数定义求分数线；分层抽样后用超几何分布求分
布列；由直方图估计均值，结合正态分布概率公式求概率。
8
二项分布与
全概率公式
有放回抽取服从二项分布，求分布列和期望；用二项分布概率公式求误差不超过
0.2的概率；利用条件概率和全概率公式分析换门问题。
9
全概率公式
与二项分布
由全概率公式求随机抽取一名会员满意的概率；从所有会员中抽取2名，满意的数
量服从二项分布，求分布列和期望。
10
条件概率与
独立事件
由全概率公式求有消费意向的概率，再求条件概率；分析了解政策的家庭与受带
动家庭合计补贴的可能取值，用独立事件乘法公式求概率；计算奖励期望。
11
古典概型与
超几何分布
列举法求概率；从低于2%的模型中抽取3个，其中低于1.3%的个数服从超几何分布，
求分布列和期望。
12
独立事件与
二项分布
求一件零件合格的概率，再求3件中至少2件合格的概率；4件零件总获利服从二项
分布，求分布列和期望。
13
分布列性质
与全概率公
式
由分布列概率和为1求参数，再由条件概率公式和全概率公式求概率；利用期望公
式和导数判断方程解的存在性。
14
条件概率与
递推概率
由条件概率公式求概率；分析抽到干电池的过程，用乘法公式或递推关系求恰好
抽到最后一块干电池的概率。
15
独立性检验
与二项分布
计算卡方值判断是否相关；由样本频率估计总体概率，混合后优等品概率为加权
平均，抽取3件服从二项分布，求分布列和期望。
16
条件概率与
独立性检验
由列联表计算条件概率，直观判断关联；计算卡方值，与临界值比较得出结论。
17
互斥事件与
随机变量分
布
分两类情况求立项概率；由评审通过人数可能取值，结合概率加法公式和乘法公
式求分布列和期望。
18
独立事件与
二次不等式
由独立事件概率公式求两模型答案不同的概率；系统输出正确答案的概率由两部
分组成，列不等式求参数最小值。
19
古典概型与
二项分布
计算游戏Ⅰ各局获胜概率；3人选择游戏Ⅰ，前两局均未获胜的人数服从二项分布，
求分布列和期望；计算两游戏奖金期望，比较选择。
20
互斥事件与
随机变量分
布
分情况求甲、乙得分之和大于3的概率；列出两轮得分之和的可能取值，用互斥事
件和独立事件求分布列和期望。
21
全概率公式
与条件概率
由全概率公式求一次测试得2分的概率；由条件概率公式求在总得分至少3分条件
下第一次得1分的概率；由每轮得分分布求期望，再用线性性质求总期望。
22
互斥事件与
随机变量期
望
分正确选项个数为2或3，求随机选一个选项得分的分布列和期望；类似求随机选
两个选项得分的期望，比较大小得参数范围。
23
分布列与递
推概率
分析一个分裂周期后细胞个数的可能取值，求分布列和期望；通过递推关系求经
过n个周期后恰有2个细胞的概率；利用全概率公式证明递推不等式。
24
条件概率与
随机变量分
布
由条件概率公式求在第一轮甲胜条件下乙获得第3名的概率；分析甲最终名次的所
有可能路径，用独立事件乘法公式求概率，得分布列和期望。
25
独立事件与
递推概率
由独立事件乘法公式求一轮获得“驰骋”卡片的概率；通过状态转移建立概率递推关
系，构造等比数列求通项，并求极限。
26
独立事件与
递推概率
由独立事件求小球落入A、B袋的概率；累计得分n的概率满足递推关系，构造常数
列和等比数列求通项。
27
正态分布与
超几何分布
由频率分布直方图估计均值，结合正态分布求A等品概率；超几何分布求分布列和
期望；建立利润函数，利用导数求最大值。
28
古典概型与
马尔可夫链
枚举法求三枚骰子点数和≥12的概率；由状态转移建立概率递推关系，求首次结束
的概率；建立期望方程组，求解期望步数。
29
独立事件与
函数最值
由独立事件乘法公式求支付金额的分布列和期望；建立期望利润函数，求导得极
大值点及最大值。
30
二项分布与
递推概率
二项分布求分布列、均值和方差；由概率定义求人气值出现概率，建立递推关系，
构造等比数列求通项。
31
独立事件与
分布列
分析生成词元的规则，用独立事件乘法公式求生成1个、2个词元的概率；推导一
般项概率，得分布列；用错位相减法求和求期望。
32
全概率公式
与最值
由全概率公式求获得最大金额奖励的概率；通过估值近似，建立函数求最大值及
对应k值。
33
独立事件与
递推概率
求一次通关概率；利用参考公式求每关期望次数，求和得总期望；建立概率递推
关系，构造等比数列求通项，并证明不等式。
34
独立事件与
递推概率
分析抛掷硬币生成字符序列的规则，求字符总数的期望；建立“前0”概率的递推关
系，证明等比数列；由条件概率公式求概率，通过构造函数求最大值。
35
全概率公式
与递推概率
由全概率公式求物流提前送达的概率；建立方案选择概率的递推关系，证明等比
数列；求极限得长期概率，判断系统能否提高概率。
1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直
到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为1
3 ，乙每次投篮投中的概率为
1
2 ，且各自
投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；
(2)求甲获胜的概率.
【答案】(1) 1
27
(2) 13
27
【分析】（1）设事件
kA =“甲在第k 次投篮投中”，设事件Bk =“乙在第k 次投篮投中”， 记“比赛结束但仍
没有决出胜负”为事件C ，则
1
1
2
2
3
3
C
A B A B A B
=
，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解；
（2）记“甲获胜”为事件D ，由题意
1
1
1
2
1
1
2
2
3
D
A
A B A
A B A B A
=


，根据概率的加法公式和独立事件的概率
公式即可得解.
【详解】（1）设事件
kA =“甲在第k 次投篮投中”， 事件Bk =“乙在第k 次投篮投中”，
1,2,3
k =
，
则


1
3
k
P A
=
，


1
2
k
P B
=
，

3
2
k
P A
=
，

1
2
k
P B
=
，
记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件C ，则
1
1
2
2
3
3
C
A B A B A B
=
，
可得

2
1
2
1
2
1
1
3
2
3
2
3
2
27
P C =
´
´
´
´
´
=
，
所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为1
27
（2）记“甲获胜”为事件D ，则
1
1
1
2
1
1
2
2
3
D
A
A B A
A B A B A
=


，
可得








1
1
1
2
1
1
2
2
3
P A
P A B A
P
P D
A B A B A
+
=
+
1
2
1
1
2
1
2
1
1
13
3
3
2
3
3
2
3
2
3
27
=
+
´
´
+
´
´
´
´
=
，
所以甲获胜的概率为13
27 ．
2．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2 道难度相当的题目，甲答对
每道题目的概率都是2
3 ，乙答对每道题目的概率都是
1
2 ，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的
题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两
人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X ，求X 的分布列与期望.
【答案】(1) 11
36
(2)分布列见解析，17
6
【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果；
（2）易知随机变量X 的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值.
【详解】（1）设事件A 为“甲通过面试”，事件B 为“乙通过面试”，

2
1
2
8
3
3
3
9
P A =
+
´
=
（或

1
1
8
1
3
3
9
P A = -
´
=
）

1
1
1
3
2
2
2
4
P B =
+
´
=
（或

1
1
3
1
2
2
4
P B = -
´
=
）
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率






8
1
1
3
11
9
4
9
4
36
P
P AB
P AB
P A P B
P A P B
=
+
=
+
=
´
+
´
=
.
（2）随机变量X 的可能取值为2，3，4.


2
1
1
2
3
2
3
P X =
=
´
=
，


2
1
1
1
1
3
3
2
2
3
2
P X =
=
´
+
´
=
，


1
1
1
4
3
2
6
P X =
=
´
=
，
随机变量X 的分布列为
X
2
3
4
P
1
3
1
2
1
6
所以随机变量X 的期望为


1
1
1
17
2
3
4
3
2
6
6
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
3．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设
备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结
果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续4 天的检测，求恰有2 天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100 元，若检测结果为“故障”，则需花费400 元检修费（检
修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000 元.若不使用自动化检测系统，每日
故障损失的期望为280 元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.
【答案】(1)0.1
(2)0.0486
(3)应该引进，理由见解析
【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可；
（2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可；
（3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可.
【详解】（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件A ，
由全概率公式可得






1 0.2
1 0.9
0.2
1 0.9
0.1
P A =
-
´
-
+
´
-
=
，
故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1.
（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，
设恰有2 天检测结果与实际不符为事件B ，
则



2
2
2
4
C
0.1
1 0.1
0.0486
P B =
´
´
-
=
，
故恰有2 天检测结果与实际不符的概率为0.0486.
（3）应该引进该自动化检测系统，理由如下：
设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为X 元.
设备故障且被判为故障的概率为0.2
0.9
0.18
´
=
，
设备正常却被判为故障的概率为


1 0.2
1 0.9
0.08
-
´
-
=
，
设备故障却被判为正常的概率为


0.2
1 0.9
0.02
´
-
=
，
则




0.18
0.08
400
0.02 2000 100
244
E X =
+
´
+
´
+
=
.
因为244
280
<
，所以应该引进该系统.
4．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重
大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽
车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
购买量y （万
辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1)计算y 与x 的相关系数r （保留三位小数）；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区2026 年新能源汽车购买数量．
参考公式：












1
1
2
2
2
1
1
1
, ˆ
ˆ
ˆ
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
x
y
y
r
b
a
y
bx
x
x
x
x
y
y
=
=
=
=
=
-
-
-
-
=
=
=
-
-
-
-
å
å
å
å
å
．
参考数值：



5
1
13
3.6056,
3.6
i
i
i
x
x
y
y
=
»
-
-
=
å
．
【答案】(1)
0.998
r =
；
(2)
6
ˆ
0.36
726.4
y
x
=
-
，2.9 万辆．
【详解】（1）由题意
2019
2020
2021
2022
2023
2021
5
x
+
+
+
+
=
=
，
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
1.10
5
y
+
+
+
+
=
=
，
则






5
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
10
i
i
x
x
=
-
= -
+ -
+
+
=
å
，


5
2
2
2
2
2
1
( 0.7)
( 0.4)
0.4
0.7
1.3
i
i
y
y
=
-
= -
+ -
+
+
=
å
，
则
5
1
5
5
2
2
1
1
(
)(
)
3.6
3.6
0.998
3.6056
10
1.3
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
=
»
»
´
-
×
-
å
å
å
．
故y 与x 的相关系数为
0.998
r =
．
（2）由（1）
5
1
5
2
1
6
ˆ
(
)(
)
3.6
0.3
10
(
)
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
=
=
-
å
å
，
则
1.10
0.36
2021
726.46
ˆa
y
bx
=
-
=
-
´
= -
$
，
故y 关于x 的线性回归方程为
6
ˆ
0.36
726.4
y
x
=
-
，
令
2026
x =
，则
0.36 2026
726.46
2.9
ˆy =
´
-
=
，
故可预测该地区2026 年新能源汽车购买数量为2.9 万辆.
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机
抽取了200 名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时长


0,2


2,4


4,6


6,8


8,10
频率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
同时，对这200 名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，
得到如下的2 2
´ 列联表：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
每周课外阅读时长低于6 小时
80
合计
200
(1)根据已知条件补全2 2
´ 列联表，并依据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课
外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在

0,2 和

8,10 的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随
机抽取2 人参加座谈，设X 表示抽取的2 人中每周课外阅读时长在

8,10 的人数，求X 的分布列和数学期
望．
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
．


2
P
k
c ³
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
30
80
每周课外阅读时长低于6 小时
40
80
120
合计
90
110
200
学生的写作水平与每周课外阅读时长有关
(2)
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10


1.2
E X =
【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6 小时的学生人数为


200
0.25
0.15
80
´
+
=
（人），
每周课外阅读时长低于6 小时的学生人数为200
80
120
-
=
（人），所以2 2
´ 列联表
为：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长
不低于6 小时
50
30
80
每周课外阅读时长
低于6 小时
40
80
120
合计
90
110
200
所以


2
2
200
50 80
30 40
16.498
10.828
80 120 90 110
c
´
´
-
´
=
»
>
´
´
´
，
依据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．
（2）根据分层抽样原理，

0,2 组抽取人数为
0.1
5
2
0.1
0.15
´
=
+
（人），


8,10 组人数为
0.15
5
3
0.1
0.15
´
=
+
（人），则X 的取值可能为0,1,2 ，
所以






1
1
2
2
2
3
3
2
2
2
2
5
5
5
C C
C
C
1
3
3
0
,
1
,
2
C
10
C
5
C
10
P X
P X
P X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
，
则分布列如下所示：
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
所以


1
3
3
0
1
2
1.2
10
5
10
E X =
´
+ ´
+ ´
=
．
6．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App 用户保持连续增长，若李明收集了2020
2024
~
年的年份
代码

1,2,3,4,5
x x =
与该App 在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：
年份代码x
1
2
3
4
5
App 在线用户数y（单位：万）
80
150
210
260
300
(1)求样本相关系数r，并判断变量x 与y 之间的线性相关关系的强弱：
(2)从2020
2024
~
年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X 的分布列
及数学期望


E X ．
注：样本相关系数







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
-
-
å
å
å
．当r 越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当它接近0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，
5
5
2
2
2
2
1
1
5
5
553
i
i
i
i
x
x
y
y
=
=
-
-
»
å
å
．
【答案】(1)
0.99
r »
，很强的线性正相关关系
(2)
X
80
150
210
P
3
5
3
10
1
10


114
E X =
【详解】（1）由题意，
1
2
3
4
5
3
5
x
+
+ +
+
=
=
，
80
150
210
260
300
200
5
y
+
+
+
+
=
=
，
则








5
1
2
120
1
50
0 10 1 60
2 100
550
i
i
i
x
x
y
y
=
-
-
= -
´ -
+ -
´ -
+ ´
+ ´
+ ´
=
å
，
由


5
5
5
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
5
10
5
5
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
-
=
-
×
+
=
-
+
=
-
å
å
å
å
å
，
同理


5
5
2
2
2
1
1
5
i
i
i
i
y
y
y
y
=
=
-
=
-
å
å
，
则




5
5
5
5
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
5
5
553
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
x
y
y
=
=
=
=
-
-
=
-
-
»
å
å
å
å
，
则







5
1
5
5
2
2
1
1
550
0.99
553
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
»
»
-
-
å
å
å
，
由r 接近1 且为正，故变量x 与y 之间有很强的线性正相关关系.
（2）由题意，X 的可能取值为80、150、210，
则


1
2
1
4
3
5
C C
3
80
C
5
P X
×
=
=
=
，


1
2
1
3
3
5
C C
3
150
C
10
P X
×
=
=
=
，


3
3
3
5
C
1
210
C
10
P X =
=
=
，
故X 的分布列为：
X
80
150
210
P
3
5
3
10
1
10
则


3
3
1
80
150
210
114
5
10
10
E X =
´
+
´
+
´
=
.
7．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共
有10000 名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100 人的成绩作为样本，得到如下频率
分布直方图：
(1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a 的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从成绩位于

60,90 的样本中，按分层随机抽样的方法选取8 人，再从这8 人中随机选取2 人，设这2
人中成绩落在

60,70 内的人数为X，求X 的分布列；
(3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z 服从正态分布


2
,
N m s
，其中m 可近似为样本中的
100 名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且
2
219
s »
.从该市所有参赛学生
中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6 分的概率.
［参考数据：
219
15
»
；若


2
,
Z
N m s
~
，则

0.6827
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，

2
2
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
0.9545
»
，

3
3
0.9973
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
»
］
【答案】(1)
0.010
a =
，76 分
(2)分布列见解析
(3)0.15865
【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1 计算可得
0.010
a =
，再由百分位数的定义计算可求出最低
分数线；
（2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列；
（3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率.
【详解】（1）由频率分布直方图易知，

0.040
0.030
0.016
0.004
10
1
a
+
+
+
+
´
= ，
解得
0.010
a =
，
由图知

90,100 的频率为0.04，

80,100 的频率为0.1 0.04
0.14
+
=
，


70,100 的频率为0.54，
∴获奖学生最低分数线落在

70,80 内，不妨设为x，
则

80
0.04
0.04
0.1
0.3
x
-
´
+
+
=
，解得
76
x =
，
∴估计获奖学生的最低分数线为76 分.
（2）由图可知

60,70 ，

70,80 与

80,90 的频率之比是0.3:0.4:0.1
3: 4:1
=
，
根据分层随机抽样的方法可知，在

60,70 内抽取3 人，在

70,80 内抽取4 人，在

80,90 内抽取1 人.
则X 的可能取值为0，1，2，
易知


2
5
2
8
C
5
0
C
14
P X =
=
=
，


1
1
5
3
2
8
C C
15
1
C
28
P X =
=
=
，


2
3
2
8
C
3
2
C
28
P X =
=
=
，
∴X 的分布列为
X
0
1
2
P
5
14
15
28
3
28
（3）易知平均值为
55 0.16
65 0.3
75 0.4
85 0.1 95 0.04
70.6
X =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
，
即可得
70.6
m =
，
∴
1 0.6827
(
85.6)
(
)
0.15865
2
P X
P X
m
s
-
>
»
>
+
»
=
.
8．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30 个大小相同的球，其中有10 个红球、20 个白球，从中
随机放回地逐次摸一个球作为样本，5 次摸球后停止，用X 表示停止时摸出红球的次数.
①求X 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2 的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门
中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门
中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率
解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
【答案】（1）①分布列见解析，5
3 ；②160
243 ；（2）节目参加者换门更好，答案见解析
【分析】（1）①由
1
~
5, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø进行求解即可；②依题意，样本比例为5
X ，现要求
1
0.2
5
3
X -
£
，得
1
X = ，2 ，再由
(
1)
(
2)
P X
P X
=
+
=
进行求解；
（2）记A 表示初始选择时选得汽车的事件，B 表示更换选择后选得汽车的事件，
则
1
( )
3
P A =
，
2
( )
3
P A =
，由全概率公式
( )
( )
(
|
)
( )
(
|
)
P B
P A
P B A
P A
P B A
=
×
+
×
进行求解．
【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为
1
3
p =
，
所以
1
~
5, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø，
即
5
5
1
1
(
)
C
1
3
3
k
k
k
P X
k
-
æ
ö æ
ö
=
=
-
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
0
k =
，1，2 ，3，4 ，5 ，
得到X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
期望为
1
5
(
)
5
3
3
E X
np
=
= ´
=
，
②依题意，样本比例为5
X ，现要求
1
0.2
5
3
X -
£
，
得2
8
3
3
X
£
£
，即
1
X = ，2 ，
所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2 的概率为
80
80
160
(
1)
(
2)
243
243
243
P X
P X
=
+
=
=
+
=
.
（2）记A 表示初始选择时选得汽车的事件，B 表示更换选择后选得汽车的事件，
则
1
( )
3
P A =
，
2
( )
3
P A =
，
所以
(
|
)
0
P B A =
，
(
|
)
1
P B A = ，
则
1
2
2
( )
( )
(
|
)
( )
(
|
)
0
1
3
3
3
P B
P A
P B A
P A
P B A
=
×
+
×
=
´ +
´ =
，
因此不换门选中汽车的概率是
1
( )
3
P A =
，
换门选中汽车的概率是
2
( )
3
P B =
，
故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门
的两倍.
9．（2026·福建龙岩·一模）某会员店的本地会员占3
5 ，外地会员占2
5 .现开展商品质量满意度调查，已知本
地会员对该店商品质量满意的概率为2
3 ，外地会员对该店商品质量满意的概率为3
4 ，每个会员对该店商品
质量满意与否相互独立.
(1)从该店所有会员中随机抽取1 名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2 名会员（其中会员总数远大于2），记这2 名会员中对该店商品质量满意
的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.
【答案】(1) 7
10
(2)
X
0
1
2
p
9
100
21
50
49
100


7
5
E X =
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【详解】（1）设事件A ：抽取的是本地会员，

3
5
P A =
，
则事件A ：抽取的是外地会员，
2
5
P A =
，
事件B ：会员对商品质量满意，

2
3
P B A =
，

3
4
P B A =
，
所以





3
2
2
3
7
5
3
5
4
10
P B
P A P B A
P A P B A
=
+
=
´
+
´
=
.
（2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率
7
10
p =
，不满意的概率为
3
1
10
p
-
=
，
X 的所有可能取值为0，1，2.
则
7
2,10
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
～
，


2
3
9
0
10
100
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，


1
2
7
3
21
1
C
10
10
50
P X =
=
´
´
=
，


2
7
49
2
10
100
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
X
0
1
2
p
9
100
21
50
49
100
所以


9
21
49
7
0
1
2
100
50
100
5
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，
某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形
成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026 年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000 元
以上可以领取500 元补贴.通过调查可知，该市有3
5 的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有3
4 的家
庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有1
3 的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发
现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为3
4 ，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消
费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为
1
2 ．
(1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率；
(2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列；
(3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可
以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000 元补贴，带动家庭可以拿到100 元奖励；两个
家庭合计拿到1500 元补贴，带动家庭可以拿到200 元奖励；两个家庭合计拿到2000 元补贴，带动家庭可
以拿到300 元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）.
【答案】(1) 27
35
(2)分布列见解析
(3) 2175
16
【分析】（1）设事件A 为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B 为该家庭是“因了解政策而产生消费
意向”的家庭，根据题意求出
P A ，


P AB ，利用条件概率的公式求出

P B A ，从而得解.
（2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为X ，写出X 的可能取值，分别求出X 的
每一个可能取值的概率，根据其概率求出X 的分布列.
（3）分别求出带动家庭可以拿到100 元，200 元，300 元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的
奖励.
【详解】（1）设事件A 为抽取到的是一个有消费意向的家庭，
事件B 为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，

3
3
2
1
7
5
4
5
3
12
P A =
´
+
´
=
，


3
3
9
5
4
20
P AB =
´
=
，
所以




9
27
20
7
35
12
P AB
P B A
P A
=
=
=
，
所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，
该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为27
35 .
（2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为X ，
X 的可能取值为0，500，1000，1500，2000，


2
2
1
1
1
0
4
2
64
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，


2
2
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
500
C
C
4
4
2
4
2
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
´
+
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，


2
2
2
2
1
1
2
2
3
1
1
1
3
1
1
1
11
1000
C
C
4
2
4
2
4
4
2
2
32
P X
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
´
+
´
+
´
´
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，


2
2
1
1
2
2
3
1
1
3
1
1
3
1500
C
C
4
2
2
4
4
2
8
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
´
+
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，


2
2
3
1
9
2000
4
2
64
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以X 的分布列为
X
0
500
1000
1500
2000
P
1
64
1
8
11
32
3
8
9
64
（3）带动家庭可以拿到100 元奖励的概率为
1
1
1
2
2
3
1
1
1
3
C
C
4
4
2
2
16
P =
´
´
´
´
´
=
，
带动家庭可以拿到200 元奖励的概率为
2
2
1
1
2
2
2
3
1
1
3
1
1
3
C
C
4
2
2
4
4
2
8
P
æ
ö
æ
ö
=
´
´
´
+
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
带动家庭可以拿到300 元奖励的概率为
2
2
3
3
1
9
4
2
64
P
æ
ö
æ
ö
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
该带动家庭可以拿到的奖励为
1
2
3
3
3
9
2175
100
200
300
100
200
300
16
8
64
16
P
P
P
+
+
=
´
+
´
+
´
=
（元）.
11．（2026·江苏镇江·一模）AI 幻觉，是指AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现
象，AI 幻觉率是指AI 模型产生AI 幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14 个使用率较高的AI 模型，其幻觉
率如下表所示：
AI
模
型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
幻
觉
率
1.3%
1.8%
2.9%
1.5%
1.9%
2.9%
0.7%
0.9%
1.6%
2.4%
0.8%
1.6%
2.4%
2.8%
(1)从表中提供的AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率小于2%的AI 模型中任取3 个，用随机变量X 表示其中幻觉率小于
．．1.3% 的模型个
数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
【答案】(1) 9
14
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解；
（2）首先列举幻觉率低于2%的AI 模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概
率和分布列，以及数学期望.
【详解】（1）14 个AI 模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5 个，
所以幻觉率低于2%的概率为
5
9
1 14
14
-
=
.
（2）幻觉率低于2%的AI 模型中共9 个，其中低于1.3%的模型有3 个，故
0,1,2,3
X =


3
6
3
9
C
20
0
C
84
P X =
=
=
，  


1
2
3
6
3
9
C C
45
1
C
84
P X =
=
=
，


2
1
3
6
3
9
C C
18
2
C
84
P X =
=
=
，  


3
3
3
9
C
1
3
C
84
P X =
=
=
,
故分布列为
X
0
1
2
3
P
20
84
45
84
18
84
1
84
故


20
45
18
1
0
1
2
3
1
84
84
84
84
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
= .
12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合
格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合
格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10 元；若零件不合格，则亏损20 元.已知每件
该零件第一次检测合格的概率为5
6 ，第二次检测合格的概率为9
10 ，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测3 件该零件，至少有2 件合格的概率；
(2)已知一箱中有4 件该零件，记这箱零件总获利X 元，求X 的分布列与期望.
【答案】(1) 27
32 ；
(2)
X
80
-
50
-
20
-
10
40
p
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
，10
【分析】（1）求出随机检测1 件该零件合格的概率，利用独立事件的乘法求解；
（2）求出X 的所有可能取值，分别求出X 的每个可能取值的概率，列出分布列，利用分布列求出期望.
【详解】（1）由题意可得随机检测1 件该零件合格的概率是
9
3
1
5
6
0
4
´
=
，
则检测3 件该零件，至少有2 件合格的概率是
2
3
2
3
3
3
3
27
C
1
4
4
4
32
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
´
-
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
（2）由题意可知X 的所有可能取值为80
-
，50
-
，20
-
，10，40.


4
3
1
80
1
4
256
P X
æ
ö
= -
=
-
=
ç
÷
è
ø
，


3
3
4
3
3
12
3
50
C
1
4
4
256
64
P X
æ
ö
= -
=
´
-
´
=
=
ç
÷
è
ø
，


2
2
2
4
3
3
54
27
20
C
1
4
4
256
128
P X
æ
ö
æ
ö
= -
=
´
-
´
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，


3
1
4
3
3
108
27
10
C
1
4
4
256
64
P X
æ
ö æ
ö
=
=
´
-
´
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，


4
3
81
40
4
256
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
则X 的分布列为
X
80
-
50
-
20
-
10
40
p
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
故


1
3
27
27
81
80
50
20
10
40
10
256
64
128
64
256
E X = -
´
-
´
-
´
+
´
+
´
=
.
13．（2026·山东德州·一模）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X 表示从一批产品中随机抽取的不合
格产品数量.已知抽取到X 个不合格产品的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2
(1
)
a
p
-


1
a
p
-
ap
a
p
每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为
1
2 ，且各个
产品返工是否成功相互独立.事件
iA 表示抽取的产品中有i 个不合格产品（
0,1,2,3
i =
），事件B 表示抽取的
产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.
(1)若
1
3
p =
，求a ，并根据全概率公式求

P B ；
(2)是否存在p 值且


0,1
pÎ
，使得


2
E X =
，请说明理由.
【答案】(1)
9
40
a =
，69
160
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1 求出a ，再由条件概率公式及全概率公式求解即可；
（2）根据分布列由期望公式求出


E X 得出方程，令
3
2
2
5
3
1
h p
p
p
p
=
-
+
- ，再由导数判断函数的最大
值小于0，即可判断方程无解.
【详解】（1）当
1
3
p =
时，








0
1
2
3
4
2
1
,
,
,
3
9
3
3
a
P A
P A
a P A
a P A
a
=
=
=
=
，
则4
2
1
3
1
9
3
3
a
a
a
a
+
+
+
= ，解得
9
40
a =
，
由题意，得

1
1
1
1
1
C
2
2
P B A
=
´
=
∣
，


2
2
2
2
1
1
C
2
4
P B A
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
∣
，


3
3
2
3
3
3
3
1
1
1
C
C
2
2
2
P B A
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
∣
.
由全概率公式，得



3
0
1
( )
(1
)
2
4
2
i
i
i
a
a
P B
P B A P A
p
ap
p
=
=
=
-
+
+
å
∣
2
1
9
5
3
69
4
2
40
12
2
160
p
a
p
æ
ö
-
æ
ö
=
+
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
（2）假设存在p ，使




3
2
1
2
a
E X
ap
a
p
p
=
+
+
-
=
又


2
1
(1
)
1
a
ap
a
p
a
p
p +
+
-
+
-
= .
得
2
3
1
1
2
2
2
p
p
p
p
p
æ
ö
+
+ =
-
+
+
ç
÷
è
ø
，
化简得
2
1
2
5
3
0
p
p
p
-
-
+
=
即
3
2
2
5
3
1
0
p
p
p
-
+
- =
令
3
2
2
5
3
1
h p
p
p
p
=
-
+
-
则

2
6
10
3
h
p
p
p
=
-
+
¢
因为


0
3
0,
1
1
0
h
h
¢
=
>
= - <
¢
，所以在

0,1 上存在
0p ，使得


0
0
h
p
¢
=
所以


2
0
0
0
6
10
3
0
h
p
p
p
=
-
+
=
¢
即
2
0
0
10
3
6
p
p
-
=
且

h
p
¢
在

0
0, p
为正，在

0,1
p
为负
从而
h p 在

0
0, p
为增函数，在

0,1
p
为减函数


3
2
max
0
0
0
0
( )
2
5
3
1
h p
h p
p
p
p
=
=
-
+
-
2
0
0
0
0
10
3
2
5
3
1
6
p
p
p
p
-
=
×
×
-
+
-
2
2
0
0
0
0
10
5
3
1
3 p
p
p
p
=
-
-
+
-
2
0
0
5
2
1
3 p
p
= -
+
-
2
0
5
3
2
0
3
5
5
p
æ
ö
= -
-
-
<
ç
÷
è
ø
所以当


0,1
pÎ
时，
max
( )
0
h p
<
即不存在p 值，使得


2
E X =
14．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电池时即
从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩
下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
1
n + 次时恰好抽到最后一
块干电池的概率为
nP ，求
nP ．
【答案】(1) 5
17
(2)
2
4
3
5
5
5
n
n
nP
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
．
*
nÎN
【分析】（1）根据条件概率公式计算可得；
（2）方法一：先利用乘法概率公式求得第(
1,2,
, )
i i
n
=
×××
次恰好抽到第一块干电池，第
1
n + 次恰好抽到第二
块干电池的概率
( , )
P n i ，然后利用等比数列求和公式求解即可；方法二：根据题意可得递推关系
1
1
3
2
4
5
25 5
n
n
n
P
P
-
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，再用定义法证明等比数列，进而利用等比数列通项公式求解即可.
【详解】（1）记第1，2 次取出的是干电池的概率分别为
( )
P A ，
( )
P B ，
3
2
2
1
( )
5
5
5
4
P B =
´
+
´
，
2
1
(
)
5
4
P AB =
´
， 
在第2 次取出的是干电池的条件下第1 次取出的也是干电池的概率为
2
1
(
)
5
5
4
(
|
)
2
3
1
( )
17
5
5
4
P AB
P A B
P B
´
=
=
=
æ
ö
´
+
ç
÷
è
ø
.
（2）方法一：依题意有抽屉里有3 块充电电池，2 块干电池，
用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5 块不变．
记第(
1,2,
, )
i i
n
=
×××
次恰好抽到第一块干电池，
第
1
n + 次恰好抽到第二块干电池的概率为
( , )
P n i ，
则
1
3
2
4
1
2
4
3
( , )
5
5
5
5
15 5
4
i
n i
n
i
P n i
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö æ
ö
=
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø è
ø
，
∴
1
1
2
4
3
2
4
3
( , )
15 5
4
5
5
5
n
i
n
n
n
i
n
n
i
P
P n i
=
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ú
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ë
ø
è
ø
è
é
ê
ø
ù
ê
ú
û
å
å
 .
方法二：“第
1
n + 次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”可分为两类：
第1 次抽到干电池与第1 次抽到充电电池．
当第1 次抽到充电电池时：
此时“第
1
n + 次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”的概率为
1
3
5
nP - ， 
当第1 次抽到干电池时，仅第1 次与第
1
n + 次抽到干电池：
此时“第
1
n + 次抽取时恰好抽到最后1 块干电池”的概率为
1
1
2
4
1
2
4
5
5
5
25 5
n
n
-
-
æ
ö
æ
ö
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
， 
∴
1
1
3
2
4
5
25 5
n
n
n
P
P
-
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，
1
2
1
2
5
5
25
P =
´
=
．
*
nÎN ，
2
n ³
．
∴
1
1
5
3 5
1
4
4 4
10
n
n
n
n
P
P
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，∴
1
1
5
2
3
5
2
4
5
4
4
5
n
n
n
n
P
P
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
=
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，
∵
1
5
2
3
4
5
10
P
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
，
∴
5
2
4
5
n
nP
ì
ü
ï
ï
æ
ö
-
í
ý
ç
÷
è
ø
ï
ï
î
þ
是以
3
10
-
为首项3
4 为公比的等比数列，
∴
1
5
2
3
3
4
5
10 4
n
n
nP
-
æ
ö
æ
ö
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
∴
1
2 4
3
4
3
2
4
3
5 5
10 5
4
5
5
5
n
n
n
n
n
nP
-
é
ù
ê
ú
ê
ú
æ
ö
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø è
ëè
ø
è
û
ø
ø
，当
1
n = 时该式也成立．
故所求概率为
2
4
3
5
5
5
n
n
nP
ú
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷ø
é
ù
ê
ëèê
è
ú
û
ø
，
*
nÎN ．
15．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产
品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智
能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产
线生产的同种产品中各随机抽取100 件进行检测，得到如下列联表：
 
优等品
非优等品
合计
甲生产线
65
35
100
乙生产线
90
10
100
合计
155
45
200
(1)根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关.
(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产
品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3 件，记这3 件
产品中优等品的个数为X，求X 的分布列和数学期望.
附 







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.100
0.010
0.001
xa
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)产品质量与生产线有关，理由见解析；
(2) X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
125
12
125
48
125
64
125


12
5
E X =
.
【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算
2
c ，结合参考数据，即可判断；
（2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合X 服从二项分布，写出X 对应取值的概率，以及X
的数学期望即可.
【详解】（1）零假设
0
H ：产品的质量与生产线无关；
2
c


2
200 65 10
35 90
5000
17.921
10.828
155 45 100 100
279
´
-
´
=
=
»
>
´
´
´
，
根据
0.001
a =
的独立性检验，拒绝零假设
0
H ，并认为产品的质量与生产线有关.
（2）甲生产线优等品概率：65
13
100
20
=
，乙生产线优等品概率：90
9
100
10
=
；
混合产品中，甲乙数量比为2 :3，故甲产品占比2
5 ，乙产品占比3
5 ；
故总体优等品概率为：2
13
3
9
80
4
5
20
5
10
100
5
´
+
´
=
=
；
由题可知：
4
~
3, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
0,1,2,3
X =


3
1
1
0
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，


2
1
3
4
1
12
1
C
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，


2
2
3
4
1
48
2
C
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，


3
4
64
3
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
故X 的分布列如下所示：
X
0
1
2
3
P
1
125
12
125
48
125
64
125
X 的数学期望


4
12
3
5
5
E X = ´
=
.
16．（2026·江西南昌·一模）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间
是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200 名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机
的时间（分为“少于1 小时”和“1 小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调
查结果汇总如下表：
使用手机时间
近视
不近视
总计
少于1 小时
40
60
100
1 小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
(1)从该校学生中任选1 人，记“该人平均每天使用手机时间少于1 小时”为事件A ，记“该人近视”为事件B .
根据上表数据，用频率估计概率，分别估计

P B A ，

P B A ，并由此直观判断平均每天使用手机时间与
近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量
2
c （精确到0.001），并判断是否有99%的把握认为“平均每天使
用手机时间”与“近视”相关.
附：公式







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，
2
c 独立性检验临界值表：


2
P
k
c ³
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1) 

0.4
P B A »
∣
，

0.65
P
A
B
»
∣
，有关联，理由见解析
(2)12.531，有99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
【分析】（1）根据表中数据，即可得

P B A 和

P B A 的值，并根据其数值大小，分析可得是否有关.
（2）根据数据，求出
2
c 的值，分析比较，即可得答案.
【详解】（1）在A （平均每天使用手机时间1 小时以下）条件下，近视的频率为40
0.4
100 =
，
用频率估计概率，得

0.4
P B A »
∣
，
在A （平均每天使用手机时间1 小时及以上）条件下，近视的频率为65
0.65
100 =
，
用频率估计概率，得

0.65
P
A
B
»
∣
，
使用手机时间少于1 小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1 小时及以上的学生近视概率约为
0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.
（2）由题意
40
a =
，
60
b =
，
65
c =
，
35
d =
，
200
n =
，
则




2
2
2
200
40 35
60 65
200
1400
3900
12.531
100 100 105 95
10000 9975
c
´
´
-
´
´
-
=
=
»
´
´
´
´
，
由于
2
6.635
c >
，所以有99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
17．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评
审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第
三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均
为2
3 ，能通过复审专家评审的概率为
1
2 ，各专家评审能否通过相互独立．
(1)求该项目予以立项的概率；
(2)记评审通过该项目的专家人数为X ，求X 的分布列与期望．
【答案】(1) 2
3
(2)
X
0
1
2
P
1
9
2
9
2
3
14
(
)
9
E X =
【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解.
（2）求出X 的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和，
两位初审专家都评审通过该项目的概率
2
1
2
4
( )
3
9
P =
=
，
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率
1
2
2
2
1
1
2
C
3
3
2
9
P =
´
´
´
=
，
所以该项目予以立项的概率
4
2
2
9
9
3
P =
+
=
．
（2）依题意，X 的取值可能为0,1,2 ，
且
2
1
1
(
0)
( )
3
9
P X =
=
=
，
1
2
2
1
1
2
(
1)
C
(1
)
3
3
2
9
P X =
=
´
´
´
-
=
，由（1）知
1
2
2
(
2)
3
P X
P
P
=
=
+
=
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
9
2
9
2
3
数学期望
1
2
2
14
(
)
0
1
2
9
9
3
9
E X =
´
+ ´
+ ´
=
.
18．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的
预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若
两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次
给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为
(0
1)
p
p
<
<
，模型乙回答正确的概率为0.75，
假设各模型每次回答相互独立.
(1)当
0.85
p =
时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；
(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求p 的最小值.
【答案】(1)0.325
(2)0.8
【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可.
（2）先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于0.88列式，解二次不等式，可求p 的最小值.
【详解】（1）不妨设事件A = “模型甲回答正确”，事件B = “模型乙回答正确”，则A = “模型甲回答错误”，
B = “模型乙回答错误”，
由于A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，
由题意可得，
( )
0.85
P A
p
=
=
，
( )
0.75
P B =
，
( )
1 0.85
0.15
P A = -
=
，
( )
1 0.75
0.25
P B = -
=
，
分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为
(
)
P AB
AB

，且AB 与AB 互斥，根据概率的加法
公式和事件的独立性定义，得
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
0.85 0.25
0.15 0.75
0.325
P AB
AB
P AB
P AB
P A P B
P A P B
=
+
=
+
=
´
+
´
=

，
故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.
（2）系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次
提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确.
系统第一次输出正确答案的概率为：
(
)
0.75
P AB
p
=
，
由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
0.25
0.75(1
)
0.75
0.5
P AB
AB
P AB
P AB
P A P B
P A P B
p
p
p
=
+
=
+
=
+
-
=
-

，
系统第二次输出正确答案的概率为：
2
(
) ( )
(0.75
0.5 )
0.5
0.75
P AB
AB P A
p
p
p
p
=
-
×
= -
+

，
设系统最终输出正确答案的概率为P¢ ，则


2
2
0.75
0.5
0.75
0.5
1.5
P
p
p
p
p
p
¢ =
+ -
+
= -
+
，
于是
0.88
P¢ ³
，解得0.8
2.2
p
£
£
，又由
(0,1)
pÎ
，于是0.8
1
p
£
< ，
则p 的最小值为0.8.
19．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3 局，
每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100 元奖金；第2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得
500 元奖金；第3 局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900 元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6 的骰子）.
第1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300 元奖金；第2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得
600 元奖金；第3 局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900 元奖金.
(1)求游戏Ⅰ第2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的3 位员工均选择游戏Ⅰ，设X 为前两局均未获胜的人数，求X 的分布列和数学期望；
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
【答案】(1) 1
4
(2)答案见解析；
(3)游戏Ⅱ
【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果；
（2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望；
（3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ.
【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第2 局获胜的概率
3
2
1
2
4
P =
=
.
（2）易知
0,1,2,3
X =
,
游戏Ⅰ第1局获胜的概率为
1
2 ，第2 局获胜的概率为1
4 ，则第1局和第2 局均未获胜的概率为
1
1
3
1
1
2
4
8
æ
ö æ
ö
-
´
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
因此可知
3
~
3, 8
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø,




3
2
1
3
3
125
3
3
225
0
1
,
1
C
1
,
8
512
8
8
512
P X
P X
æ
ö
æ
ö
\
=
=
-
=
=
=
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø




2
3
2
3
3
3
135
3
27
2
C
1
,
3
,
8
8
512
8
512
P X
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö
=
=
-
´
=
=
=
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
125
512
225
512
135
512
27
512
随机变量X 的期望


125
225
135
27
9
0
1
2
3
512
512
512
512
8
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
或


3
9
3 8
8
E X = ´
=
.
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记
1
2
,
Y Y 分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第1局获胜的概率为
1
2 ，第2 局获胜的概率为1
4 ，第3局获胜的概率为1
8 ，

1
1
1
1
100
500
900
287.5
2
4
8
E Y
\
=
´
+
´
+
´
=
,
游戏Ⅱ第1局获胜的概率为1
3 ，第2 局获胜的概率为1
9 ，第3局获胜的概率为
2
2
1
4
2
1
1
1
4
C
C
3
3
3
27
æ
ö
´
´
´
´
=
ç
÷
è
ø
，


2
1
1
4
300
600
900
300
3
9
27
E Y
\
=
´
+
´
+
´
=
,



2
1 ,
E Y
E Y
>
Q
\从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
20．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3 分、
2 分、0 分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3 分、2 分、0 分的概率分别为1 1 1
4 2 4
、、，乙不投3 分球，
他一次投篮得2 分、0 分的概率分别为2 1
3 3
、．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，
每次投篮也互不影响．
(1)记一轮投篮后，甲的得分为M ，乙的得分为N ，求


P M
N
³
；
(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．
【答案】(1) 5
6
(2)分布列见解析，37
12
【分析】（1）分别按照
3
M =
，
2
M =
，
0
M =
求出概率，根据互斥事件概率的加法公式，可得
(
)
P M
N
³
的值.
（2）X 的可能取值为0,2,3,4,5，分别求出相应的概率，列出X 的分布列，根据数学期望的公式求出
(
)
E X
的值.
【详解】（1）M 的取值为3,2,0,对应的概率分别为
1
(
3)
4
P M =
=
，
1
(
2)
2
P M =
=
，
1
(
0)
4
P M =
=
.
N 的取值为2,0，对应的概率分别为
2
(
2)
3
P N =
=
，
1
(
0)
3
P N =
=
.
当
3
M =
时，N 取2 或0 都满足M
N
³
，
此时概率为
1
2
1
1
(
3) [ (
2)
(
0)]
(
)
4
3
3
4
P M
P N
P N
=
´
=
+
=
=
´
+
=
.
当
2
M =
时，N 取2 或0 都满足M
N
³
，
此时概率为
1
2
1
1
(
2) [ (
2)
(
0)]
(
)
2
3
3
2
P M
P N
P N
=
´
=
+
=
=
´
+
=
.
当
0
M =
时，只有
0
N =
满足M
N
³
，
此时概率为
1
1
1
(
0)
(
0)
4
3
12
P M
P N
=
´
=
=
´
=
.
根据互斥事件概率的加法公式，可得
1
1
1
5
(
)
4
2
12
6
P M
N
³
=
+
+
=
.
（2）X 的可能取值为0,2，3，4，5.
1
1
1
(
0)
(
0)
(
0)
4
3
12
P X
P M
P N
=
=
=
´
=
=
´
=
.
1
1
1
2
1
(
2)
(
2)
(
0)
(
0)
(
2)
2
3
4
3
3
P X
P M
P N
P M
P N
=
=
=
´
=
+
=
´
=
=
´
+
´
=
.
1
1
1
(
3)
(
3)
(
0)
4
3
12
P X
P M
P N
=
=
=
´
=
=
´
=
.
1
2
1
(
4)
(
2)
(
2)
2
3
3
P X
P M
P N
=
=
=
´
=
=
´
=
.
1
2
1
(
5)
(
3)
(
2)
4
3
6
P X
P M
P N
=
=
=
´
=
=
´
=
.
X 的分布列如下表所示：
X
0
2
3
4
5
P
1
12
1
3
1
12
1
3
1
6
可得
1
1
1
1
1
2
1
4
5
37
(
)
0
2
3
4
5
12
3
12
3
6
3
4
3
6
12
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+
=
.
21．（2026·山东潍坊·模拟预测）某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能
体会随机接受A 类或B 类任务，每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为
1
2 ，且智能体成功完成A
类任务的概率为1 ,
2 B 类任务的概率为1
3 .记成功完成A 类任务得1 分，B 类任务得2 分，不成功均得0 分.
(1)求智能体经过1 次测试后得2 分的概率；
(2)记智能体经过n 次测试后的总得分为X .
（i）若
2
n =
，求在
3
X ³
的条件下，第1 次测试得1 分的概率；
（ii）求


E X .
附：若
i
X 为随机变量，则


1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
E X
=
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
å
.
【答案】(1) 1
6
(2)（i）3
8 （ii）7
12
n
【分析】（1）利用概率乘法公式计算即可得；
（2）（i）计算出“智能体2 次测试总得分至少为3 分”的概率与“第一次测试得1 分，且智能体2 次测试总
得分至少为3 分”的概率后，利用条件概率公式计算即可得；（ii）设第i 次的得分为
i
X ，则可得
i
X 的可能
取值及其对应概率，即可得


i
E X
，再利用


1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
E X
=
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
å
计算即可得解.
【详解】（1）记“智能体经过1 次测试后得2 分”为事件C ，由题意得

1
1
1
2
3
6
P C =
´
=
；
（2）（i）记“智能体2 次测试总得分至少为3 分”为事件M ，“第一次测试得1 分”为事件N ，
智能体接受并成功完成A 类任务的概率为1
1
1
2
2
4
´
=
，
所以智能体2 次测试总得分为3 分的概率为
1
1
1
2
4
6
12
´
´
=
，
2 次测试总得分为4 分的概率为1 1
1
6 6
36
´
=
，
所以




1
1
1
1
1
1
,
12
36
9
4
6
24
P M
P MN
=
+
=
=
´
=
，
所以





1
3
24
1
8
9
P MN
P N M
P M
=
=
=
；
（ii）设第i 次的得分为
i
X ，则
i
X 的可能取值为0,1,2 ，


1
1
1
1
1
1
7
0
1
1
2
2
2
3
4
3
12
i
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
-
+
´
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，


1
1
4
i
P X =
=
，


1
2
6
i
P X =
=
，
所以


7
1
1
7
0
1
2
12
4
6
12
i
E X
=
´
+ ´
+ ´
=
，
所以


1
1
7
(
)
12
n
n
i
i
i
i
n
E X
E
X
E X
=
=
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
å
å
.
22．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4 个选项中正确选项有2 个或3 个，得分规则如下：
若正确选项有2 个，只选1 个且为正确选项得3 分，2 个且都为正确选项得6 分，否则得0 分；若正确选项
有3 个，只选1 个且为正确选项得2 分，选2 个且都为正确选项得4 分，选3 个且都为正确选项得6 分，
否则得0 分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2 个正确选项的概率为p （0
1
p
<
< ），记
X 为甲随机选择1 个选项的得分，Y 为甲随机选择2 个选项的得分，
(1)若
2
3
p =
，求
(
2)
P X ≥
；
(2)求X 的概率分布列和数学期望；
(3)证明：当且仅当
1
0
2
p
<
<
时，
(
)
( )
E X
E Y
<
.
【答案】(1) 7
12
(2)分布列见解析，
3
(X)
2
E
=
(3)证明见解析
【分析】（1）得2 分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1 个，或者两个正确选项时
选对1 个，由互斥事件的加法公式得解；
（2）X 可能的取值为0,2,3，得0 分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2 分只可能是
三个正确选项的选对1 个，得3 分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解；
（3）Y 可能的取值为0,4,6 ，类似（2）的分析得出Y 的期望
( )
E Y ，结合（2）中的
(
)
E X 作差比较，得出证
明.
【详解】（1）恰有2 个正确选项的概率为
2
3
p =
，则恰有3 个正确选项的概率为
1
1
3
p
-
=
，
正确选项是2 个时，随机选一个正确可得3 分，概率为1
2
1
2
3
3
´
=
；
正确选项是3 个时，随机选一个正确可得2 分，概率为3
1
1
4
3
4
´
=
，
因此
1
1
7
(
2)
4
3
12
P X ³
=
+
=
（2）由题知，X 可能的取值为0,2,3，
1
2
1
(
0)
(1
)
4
4
4
p
P X
p
p
+
=
=
-
´
+
´
=
，
3
3
3
(
2)
(1
)
4
4
p
P X
p
-
=
=
-
´
=
，
2
(
3)
4
2
p
P X
p
=
=
´
=
，
分布列为：
X
0
2
3
P
1
4
p
+
3
3
4
p
-
2
p
1
3
3
3
(
)
0
2
3
4
4
2
2
p
p
p
E X
+
-
=
´
+ ´
+ ´
=
（3）由题知，Y 可能的取值为0,4,6 ，




1
1
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
4
4
C C
C C
C
1
0
1
C
C
2
3
p
P Y
p
p
+
=
=
-
´
+
´
=
+
，
2
3
2
4
C
1
(
4)
(1
)
C
2
2
p
P Y
p
=
=
-
´
=
-
，
2
2
2
4
C
(
6)
C
6
p
P Y
p
=
=
´
=
故
1
1
( )
0
4
6
2
2
3
2
2
6
p
p
p
E Y
p
æ
ö
æ
ö
=
´
+
+ ´
-
+ ´
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
1
( )
(
)
2
2
2
E Y
E X
p
p
-
=
-
-
=
-
，
故当且仅当
1
0
2
p
<
<
时，
( )
(
)
0
( )
(
)
E Y
E X
E Y
E X
-
>
Û
>
23．（2026·江西赣州·一模）现有一种不断分裂的M 细胞，在每个分裂周期中，一个M 细胞以2
3 的概率分
裂成一个新的M 细胞，以1
3 的概率分裂成两个新的M 细胞，分裂后原来的M 细胞消失，新的M 细胞在下
一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1 个M 细胞，n 个分裂周期后，M 细胞的数目为
n
X .
(1)求
2
X 的分布列和数学期望.
(2)求概率


2
n
P X =
.
(3)证明：


1
6
2
3
·
5
3
n
n
P X
-
æ
ö
=
<
ç
÷
è
ø
.
【答案】(1)
2
X 分布列为
2
X
1
2
3
4
P
4
9
10
27
4
27
1
27


2
16
9
E X
=
；
(2)


1
2
1
2
2
2
3
3
n
n
n
P X
-
-
æ
ö
æ
ö
=
= ç
÷
ç
÷
è
ø
ø
-
è
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求出
2
X 取所有可能的值1,2,3,4 时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设细胞在第k 个周期时分裂为2 个细胞，之后一直有2 个细胞，先求出这一事件的概率
2,k
P ，再求出
2
n
X =
的所有情况的概率，再求和即可.
（3）根据全概率公式和等比数列求和公式即可得到证明.
【详解】（1）由题意可知，
2
X 的可能取值为1,2,3,4 ，
 其中


2
2
2
4
1
3
9
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，


2
2
2
1
1
2
10
2
3
3
3
3
27
P X
æ
ö
=
=
´
+
´
=
ç
÷
è
ø
，


1
2
2
1
2
1
4
3
C
3
3
3
27
P X =
=
´
´
´
=
，


3
2
1
1
4
3
27
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
X 分布列为
2
X
1
2
3
4
P
4
9
10
27
4
27
1
27


2
4
10
4
1
16
1
2
3
4
9
27
27
27
9
E X
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
（2）

*
N
n nÎ
个周期结束后共有2 个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成2 个细胞. 
不妨设细胞在第k 个周期时分裂为2 个细胞，之后一直有2 个细胞，
此事件概率


1
2
2
1
2,
2
1
2
1
2
3
3
3
3
3
k
n k
n
k
k
P
-
-
- -
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
=
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以


2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
3
2
3
3
3
3
2
n
k
n
k
n
n
k
n
k
P X
-
-
=
=
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
´
=
´
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
å
å
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
3
1
2
3
3
3
1
2
2
2
2
3
3
2
2
2
3
3
3
2
3
1
2
3
3
n
n
n
n
n
n
+
-
-
-
-
æ
ö
ç
÷
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
´
+
+
+
=
´
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
-
-
úû
=
-
ë
L
.
（3）由全概率公式知






3
1
1
2
1
2 1
2
3
2
C
3
3 3
3
n
n
n
P X
P X
P X
-
-
æ
ö
=
=
=
×
×
+
=
×ç
÷
è
ø
，
化简得






1
1
4
8
3
2
3
9
27
n
n
n
P X
P X
P X
-
-
=
=
=
+
=
代入




2
1
1
4 2
2
8
3
1
3
9 3
3
27
n
n
n
n
P X
P X
-
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
=
-
+
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
即




1
1
2
2
8
3
1
3
3
3
27
n
n
n
n
P X
P X
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
=
-
+
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
即




3
2
1
3(
1)
1
3
3
2
3
3
1
3
2
2
3
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
-
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
-
+
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
即




3
3(
1)
2
1
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
-
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
由


1
3
0
P X =
=
，所以


3
2
1
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
n
k
k
k
k
n
n
n
n
k
k
k
P X
+
+
=
=
=
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
å
å
å
2
1
3
1
3
1
9
9
3
3
3
3
3
1
1
4
1
1
4
4
2
2
2
2
2
9
3
5
1
1
4
2
n
n
n
n
-
-
-
é
ù
é
ù
é
ù é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
×
-
×
-
-
-
ê
ú
ê
ú
ê
ú ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ê
ú
ê
ú ê
ú
ë
û
ë
û
ë
û ë
û
=
-
=
-
-
所以


1
1
1
2
2
2
6
1
1
3
3
3
6
2
3
5
5
3
n
n
n
n
n
P X
-
-
-
é
ù é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
×
-
-
ê
ú ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú ê
ú
æ
ö
ë
û ë
û
=
=
<
×ç
÷
è
ø
，即证．
24．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴
新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，
某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队
为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A 组，负者编入B 组；第二轮：A，
B 两组的球队分别进行组内比赛，A 组的胜者进入决赛，B 组的负者获得第4 名；第三轮：A 组的负者和B
组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3 名；第四轮：决赛，胜者获得第1 名，负者获得第2 名.已知
甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为2
3 .乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的
概率均为
1
2 （比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响.
(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3 名的概率；
(2)记甲队最终获得的名次为随机变量x ，求x 的分布列和数学期望.
【答案】(1) 5
18
(2)分布列见解析，152
81
【分析】（1）先明确 “甲第一轮获胜” 和 “乙获得第 3 名” 的比赛路径，计算联合概率

P MN ，再用条
件概率公式求解即可.
（2）先确定x 的所有可能取值，再逐一分析每种名次对应的比赛路径，计算概率，最后列出分布列并求期
望即可.
【详解】（1）设事件M：乙队获得第3 名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则


2
3
P N =
，


2
1
1
2
2
1
2
1
5
3
2
3
3
3
2
3
2
27
P MN
æ
ö
æ
ö
=
´
´
´
+
´
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以





5
18
P MN
P M N
P N
=
=
，
所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为5
18 .
（2）随机变量x 的可能取值为1，2，3，4，


2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
40
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
81
P x =
=
´
´
+
´
´
´
+
´
´
´
=
；


2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
20
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
81
P x =
=
´
´
+
´
´
´
+
´
´
´
=
；


2
1
1
1
2
1
4
3
3
3
3
3
3
3
27
P x =
=
´
´
+
´
´
=
；


1
1
1
4
3
3
9
P x =
=
´
=
.
所以x 的分布列为：
x
1
2
3
4
P
40
81
20
81
4
27
1
9
故x 的数学期望

40
20
4
1
152
1
2
3
4
81
81
27
9
81
E x = ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
.
25．（2026·山东济宁·一模）2026 年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有
, ,
A B C 三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，A 盒中有1 个红球，2 个
黄球；B 盒中有1 个红球，3 个黄球；C 盒中有5 个红球，3 个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，
游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从A 盒中随机摸出1 个小球，记录颜色后再放回A 盒内，然后，乙根
据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从B 盒中摸球；若甲摸到黄
球，则乙从C 盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的
小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰
骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第n 轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为


*
nP nÎN
，且
1
1
P = .
（i）求
3
4
,
P P ；
（ii）求
nP ，并判断：当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 是否无限趋近于一个常数a ？若是，求出a 的值；若不是，请说明
理由.
【答案】(1) 2
3
(2)（i）
3
4
11
7
27
27
P
P
=
=
,
，（ii）


1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
，当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 是否无限趋近于一个常数
2
3 ，即
2
3
a =
.
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论即可求解，
（2）根据








1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P C
P C
P
P C
P
P
P
P
P
n
+
+
-
+
-
-
=
=
´
´
+
´
=
´
+
+
³
，
，可得递推关系，
分情况讨论，结合等比数列的性质求解.
【详解】（1）甲从A 盒中摸到红球的概率为1
3 ，摸到黄球的概率为2
3 ，乙从B 盒中摸到黄球的概率为3
4 ，
红球的概率为1
4 ，乙从C 盒中摸到黄球的概率为3
8 ，红球的概率为5
8 ，
故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为1
3
2
5
2
3
4
3
8
3
´
+
´
=
.
（2）（i）
3
2
1
1
1
1
2
1
11
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
+
´
+
´
´
=
,
4
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
27
P =
´
´
+
´
´
´
+
´
´
+
´
´
´
+
´
´
=
,
（ii）设事件
n
C 表示甲乙两人在第n 轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片，
则








1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
3
3
3
9
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P C
P C
P
P C
P
P
P
P
P
n
+
+
-
+
-
-
=
=
´
´
+
´
=
´
+
+
³
，
，
则


1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
，或


1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
又
2
1
1
2
5
3
3
3
9
P
+
´
=
=
，
当


1
1
2
2
1
2
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
n
+
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
-
= -
-
³
，
时，
2
1
2
5
2
1
3
9
3
9
P
P =
-
= -
-
，
所以


1
1
2
2
1
9
3
3
1
n
n
n
P
n
P
-
+
æ
ö
-
= -
-
³
ç
÷
è
ø
，
，


1
1
1
3
1
2
2
1
1
3
3
9
n
n
n
n
P
n
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
- -
³
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，
，




1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
3
3
3
2
1
1
1
3
3
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
P
n
n
P
+
+
+
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
³
Þ
+
= -
³
ê
ú
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
+
û
，
，
，
故
3
3
1
1
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
í
ý
æ
ö
ï
ï
-
ç
ïî
+
÷
ï
è
ø
þ
为等比数列，且公比为2
- ，首项为
8
3
-
，
则


1
1
8
2
3
3
1
3
n
n
n
P
-
= -
´ -
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
，故




1
1
1
2
1
8
1
2
2
1
3
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
P
+
-
+
+
é
ùæ
ö
æ
ö
é
ù
= -
´ -
-
-
=
+ -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ë
û
ë
ûè
ø
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此


1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
；
当


1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
P
P
P
n
P
+
-
æ
ö
+
ç
+
÷
è
ø
=
³
，
时，
2
1
1
5
1
8
3
9
3
9
P
P =
+
=
+
，
则
1
1
1
1
2
2
3
3
3
8
2
9
n
n
n
n
P
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
，则
1
1
4
1
2
2
2
3
4
3
3
3
n
n
n
n
P
P
+
+
é
ù
ê
ú
ê
ú
-
= -
-
ê
ú
æ
ö
æ
ö
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
，
故
4
3
2
3
n
n
P
ì
ü
ï
ï
ï
ï
-
í
ý
æ
ö
ï
ï
ç
÷
ï
ï
è
ø
î
þ
为等比数列，且公比为
1
2
-
，首项为1
6 ，
故


1
1
1
2
4
1
1
2
1
1
4
1
2
1
3
6
2
3
3
2
3
3
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
-
+
+
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
-
=
´ -
Þ
=
-
´ -
+
=
+ -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
æ
ö
ê
ú
ë
û
ç
÷
è
ø
，
而
1
1
P = 满足上式，因此


1
1
2
2
1
1
3
n
n
n
nP
+
+
+
æ
ö
é
ù
=
+ -
ç
÷
ë
û
è
ø
，








2
2
3
2
2
3
1
1
2
2
1
1
2
1
1
3
3
1
2
1
2
(
)
2
1
1
2
1
3
2
1
1 (
1
2
3
)
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
æ
ö
é
ù
+ -
+ -
ç
÷
ë
û
+ -
è
ø
=
=
=
×
+ -
æ
ö
- -
é
ù
+ -
ç
×
÷
ë
û
è
ø
，
当n ® +¥ 时，则
1
2
2
3
1
2
(
)
1
2
1
3 1 ( 2
2
)
n
n
n
n
P
P
+
+
+
+ -
=
×
®
- -
.
综上可得：故当n ® +¥ 时，
1
n
n
P
P
+ 无限趋近于一个常数2
3 ，即
2
3
a =
.
26．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放
入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，
已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2 ，最后落入A 袋或B 袋中．一次游戏中
小球落入A 袋记1 分，落入B 袋记2 分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（
*
nÎN ）分的概率为
np ．
(1)求
1
2
3
p
p
p
，，
；
(2)写出
np 与
1
np - 

*
2,
n
n
³
ÎN
之间的递推关系，并求出

np
的通项公式．
【答案】(1)
1
3
p
4
=
，
2
13
16
p =
，
3
51
64
p =
．
(2)
1
4
1
4
5
4
5
n
n
p
p -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø 

*
2,
n
n
³
ÎN
，
1
1
4
5
4
5
n
np
æ
ö
=
-
ç
ø
´
+
÷
è


*
nÎN
．
【分析】（1）根据独立事件乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件乘法公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可.
【详解】（1）小球3 次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B 袋中，
此概率P（B）＝
3
3
0
3
3
3
1
1
1
C
C
2
2
4
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则小球落入A 袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝
1
3
1
4
4
-
=
，
故

1
3
4
p
P A
=
=
，
2
2
3
1
13
4
4
16
p
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
3
2
3
1
3
51
C
4
4
4
64
p
æ
ö
=
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
．
（2）游戏过程中累计得n 分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B 袋中，或得到
（n－1）分后的一次游戏中小球落入A 袋中，
故
1
2
3
1
4
4
n
n
n
p
p
p
-
-
=
+


*
3,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
2
1
1
4
4
n
n
n
n
p
p
p
p
-
-
-
+
=
+


*
3,
n
n
³
ÎN
，
故
1
1
4
n
n
p
p -
ì
ü
+
í
ý
î
þ 

*
2,
n
n
³
ÎN
为常数列，且
2
1
1
1
4
p
p
+
= ，
故
1
1
1
4
n
n
p
p -
+
= 

*
2,
n
n
³
ÎN
，
即
1
1
1
4
n
n
p
p -
= -


*
2,
n
n
³
ÎN
，得
1
4
1
4
5
4
5
n
n
p
p -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø 

*
2,
n
n
³
ÎN
，
故
4
5
np
ì
ü
-
í
ý
î
þ为等比数列，且首项为
1
4
3
4
1
5
4
5
20
p -
=
-
= -
，公比为
1
4
-
，
故
1
4
1
1
1
1
5
20
4
5
4
n
n
np
-
æ
ö
æ
ö
-
= -
´ -
=
´ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
1
1
4
5
4
5
n
np
æ
ö
=
´ -
+
ç
÷
è
ø


*
nÎN
．
27．（2026·四川成都·二模）2026 年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众
的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应
如下六组质量指标值：

3.5,4.5 ，

4.5,5.5 ，

5.5,6.5 ，

6.5,7.5 ，

7.5,8.5 ，

8.5,9.5 ．根据大量检测结果，
得到部件的质量指标值X 服从正态分布


2
,
N m s
，并把质量指标值不小于8 的产品称为A 等品，其它产品
称为B 等品.现从该部件的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s 的近似值为1.25 ，用样本平均数x 作为m 的近似值，用
样本标准差s 作为s 的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X 服从正态分布


2
,
N m s
的角
度估计该部件为A 等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量x 服从正态分布


2
,
N m s
，则
0.68
(
)
27
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
，
2
2
0.9
(
)
545
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
，
(
3
3 )
0.9973
P m
s
x
m
s
-
<
<
+
»
．）
(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在

3.5,4.5 和

8.5,9.5 的部件中随机抽取3 件，记其中质量指标值在

8.5,9.5 的
部件件数为h ，求h 的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100 件一箱包装.已知一件A 等品部件
的利润是(20
49)
x
x
<
<
元，一件B 等品部件的利润是


ln 50
x
-
元，根据（1）的计算结果，试求x 的值，
使得每箱产品的利润最大.
【答案】(1)0.16
(2)（ⅰ）分布列见解析，期望
( )
2
E h =
；（ⅱ）
179
4
x =
时利润最大.
【分析】（1）根据直方图先算出平均值x ，进而得到正态分布


2
~
6.75,1.25
X
N
，利用正态曲线的对称性
求出概率


8
P X ³
即可；
（2）（ⅰ）求出指标值在

3.5,4.5 和

8.5,9.5 的总件数，在

8.5,9.5 的件数，然后根据步骤结合超几何分布
的公式计算；
（ⅱ）设设每箱产品的利润为Z ，其中有Y 件A 等品，用Y 表示出Z 的关系式，得到利润表达式，最后利用
导数的工具求出关于利润函数时取最大值时x 的取值.
【详解】（1）根据直方图可得，
4 0.05
5 0.1
6 0.25
7 0.35
8 0.15
9 0.1
6.75
x =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
，
由题知
6.75
x
m =
=
，
1.25
s
s =
=
，则


2
~
6.75,1.25
X
N
，
A 等品的质量指标值不小于8 ，
即






1
1
8
(1
(
))
1 0.6827
0.16
2
2
P X
P X
P
X
m
s
m
s
m
s
³
=
³
+
=
-
-
<
<
+
»
-
»
（2）（ⅰ）指标值在

3.5,4.5 和

8.5,9.5 的总件数为100 (0.05
0.1)
15
´
+
=
，
指标值在

8.5,9.5 的件数是100 0.1
10
´
=
，
由题知，h 可能的取值是0,1,2,3.
3
5
3
15
C
10
2
(
0)
C
455
91
P h =
=
=
=
，
2
1
5
10
3
15
C C
100
20
(
1)
C
455
91
P h =
=
=
=
，


1
2
5
10
3
15
C C
225
45
2
C
455
91
P h =
=
=
=
，
3
10
3
15
C
120
24
(
3)
C
455
91
P h =
=
=
=
，
分布列为：
h
0
1
2
3
P
2
91
20
91
45
91
24
91
2
20
45
24
( )
0
1
2
3
2
91
91
91
91
E h =
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
（ⅱ）设每箱产品的利润为Z ，其中有Y 件A 等品，
由题知，










100
ln 50
ln 50
100ln 50
Z
Yx
Y
x
x
x
Y
x
=
+
-
-
=
-
-
+
-
，
由（1）知，A 等品的概率为0.16 ，
则


~
100,0.16
Y
B
，于是

16
E Y =
，











ln 50
100ln 50
16
84ln 50
E Z
E
x
x
Y
x
x
x
=
-
-
+
-
=
+
-
，
记
( )
16
84ln(50
)
f x
x
x
=
+
-
，
则
84
716 16
( )
16
(20
49)
50
50
x
f
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
<
<
-
-
，
则
179
20
,
( )
0,
( )
4
x
f
x
f x
¢
<
<
>
递增，
179
49,
( )
0,
( )
4
x
f
x
f x
¢
<
<
<
递减，
故当
179
4
x =
时利润最大.
28．（2026·江西·模拟预测）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1 到6），
记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下：
•若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束.
•若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数.
以当前连续点数和大于等于12 的次数作为状态，记状态0 为上一次点数和小于12 或刚开始，状态1 为上
一次点数和大于等于12，状态2 为游戏结束.
(1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12 的概率p.
(2)设从状态0 开始，记第n 次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为
na .
①求
1a ，
2a ；
②证明：数列
na
满足递推关系




1
2
1
1
n
n
n
a
p a
p
p a
-
-
=
-
+
-
（
3
n ³
，
N
Î
n
）；
(3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链.
设从状态0、状态1 出发到游戏结束所需步数的期望分别为
0
E 、
1
E ．
考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于
0
E 、
1
E 的方程组（例如：在状态0 时，掷一次骰子后可
能仍处于状态0 或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题：
设随机变量X 表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2 的步数），求X 的数学期望


E X ．
【答案】(1)
3
8
p =
；
(2)①
=
1
0
a
，
=
2
9
64
a
；②将“第n 次首次结束”的事件拆解为两种互斥的状态转移场景，利用互斥事件的概
率加法公式，推导得到数列的递推关系.
(3)
88
(
)
9
E X =
【分析】（1）三枚骰子的总基本事件数，利用三枚骰子点数和的对称性，枚举点数和≥12 的所有基本事件
数，代入古典概型概率公式计算p .
（2）游戏“连续两次点数和≥12 才结束”的规则，判断第1 次投掷无法满足结束条件得
1
0
a =
，再利用独立事
件概率乘法公式计算第2 次首次结束的概率
2a ；
（3）从状态0、状态1 出发到游戏结束的期望步数
0
E 、
1
E ，根据马尔可夫链的状态转移规则，建立关于
0
E 、
1
E 的线性方程组，通过消元法解方程组，得到
0
E 即为随机变量X 的数学期望
(
)
E X .
【详解】（1）同时掷三枚均匀的六面骰子，每枚骰子有6 种等可能的结果，
因此总基本事件数为
6
6
6
216
n =
´ ´
=
.
三枚骰子的点数和范围为3 ~18 ，且满足对称性：
点数和为k 的情况数，与点数和为21
k
-
的情况数完全相等.
枚举点数和≥12 的所有基本事件数：
点数和为12：25 种；
点数和为13：21 种；
点数和为14：15 种；
点数和为15：10 种；
点数和为16：6 种；
点数和为17：3 种；
点数和为18：1 种.
满足“点数和≥12”的基本事件总数为：
25
21 15 10
6
3 1
81
m =
+
+
+
+
+ + =
.
由古典概型的概率公式得
81
3
216
8
p =
=
.
（2）①由题意，
na 表示从状态0 开始，第n 次掷骰子后游戏首次结束的概率.
对于
1a ：游戏结束的充要条件是“连续两次点数和≥12”，仅进行1 次投掷无法满足“连续两次”的要求，因此
第1 次投掷后不可能首次结束，故
1
0
a =
.
对于
2a ：第2 次投掷后首次结束，需满足第1 次、第2 次的点数和均≥12（状态转移为：状态0→状态1→
状态2）.
由于两次投掷相互独立，得
2
2
3
9
8
64
a
p p
æ
ö
=
×
=
=
ç
÷
è
ø
.
故
1
0
a =
，
2
9
64
a =
.
②证明：设事件
n
A 为“第n 次掷骰子后游戏首次结束”，则
(
)
n
n
P A
a
=
.
事件
n
A 可分解为以下两个互斥事件的和：
事件B ：第一次掷骰子点数和小于12，且后续
1
n - 次投掷中游戏首次结束
第一次点数和小于12 的概率为1
p
-
，根据游戏规则，点数和小于12 时，
此前的连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第n 次首次结束，
等价于从初始状态0 出发，在后续
1
n - 次投掷中首次结束，该事件的概率为
1
na - ，
由独立事件的概率乘法公式，
1
( )
(1
)
n
P B
p a -
=
-
.
事件C ：第一次掷骰子点数和大于等于12、第二次掷骰子点数和小于12，且后续
2
n - 次投掷中游戏首次结
束
第一次点数和大于等于12 的概率为p ，第二次点数和小于12 的概率为1
p
-
；根据游戏规则，第二次点数
和小于12 时，连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第n 次首次结束，等价于从初始状态0 出发，在后
续
2
n - 次投掷中首次结束，该事件的概率为
2
na - .
由独立事件的概率乘法公式，
2
( )
(1
)
n
P C
p
p a -
=
-
.
由于事件B 与事件C 互斥，
(
)
( )
( )
n
P A
P B
P C
=
+
，得：
1
2
(1
)
(1
)
(
3,
N)
n
n
n
a
p a
p
p a
n
n
-
-
=
-
+
-
³
Î
.
（3）由题意，随机变量X 表示从开始（状态0）到游戏结束的投掷次数，因此
0
(
)
E X
E
=
.
根据马尔可夫链的状态转移规则，建立线性方程组：
从状态0 出发：投掷1 次骰子（步数+1），以概率p 转移到状态1，以概率1
p
-
留在状态0，
因此，
0
1
0
1
(1
)
E
pE
p E
= +
+
-
从状态1 出发：投掷1 次骰子（步数+1），以概率p 转移到状态2（游戏结束，剩余期望步数为0），
以概率1
p
-
回到状态0，因此，
1
0
1 (1
)
E
p E
= +
-
对第一个方程化简：
0
0
1
(1
)
1
E
p E
pE
-
-
= +
，
0
1
1
(1)
E
E
p
=
+
将式(1)代入第二个方程，=可得：
1
1
1
1 (1
)
E
p
E
p
æ
ö
= +
-
+
ç
÷
è
ø
，
展开得
1
1
1
1
(1
)
p
E
p E
p
-
= +
+
-
，移项合并得
1
1
1
p
p
pE
p
p
+ -
=
=
所以
1
1
pE
p
=
，解得：
1
2
1
(2)
E
p
=
将式(2)代入式(1)，得：
0
2
1
1
E
p
p
=
+
，
将
3
8
p =
代入，计算得：
0
2
1
1
8
64
24
64
88
3
3
9
9
9
3
8
8
E
+
=
+
=
+
=
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
因此，随机变量X 的数学期望
88
(
)
9
E X =
.
29．（25-26 高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动
规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10 元基础券的概率为0.6，获得20 元基础券的概率为
0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20 元，且这两种优惠券可叠加
使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100
元，成本41 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
(1)若
0
0.8
p =
，
0.5
p =
，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X 的分布列和数
学期望


E X ；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为
2
0.2
0.4
0.2
r p
p
p
=
+
+
，记生产
商销售一件该商品的期望利润为

f
p （单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）
-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求

f
p 关于p 的函数表达式；
（ⅱ）证明：
f
p 在

0,1 内存在唯一极大值点，并求当p 为何值时，商家期望利润

f
p 最大？最大期望利
润是多少？（结果保留1 位小数）
【答案】(1)分布列见解析，80.8
(2)（ⅰ）

f
p


3
2
4
4
4.8 0
1
p
p
p
p
= -
+
+
+
£
£
；（ⅱ）证明见解析，
2
3
p =
时，商家期望利润最大，最大期
望利润约为6.7 元．
【分析】（1）依题意确定X 的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列
并计算出数学期望；
（2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润

f
p 的公式，计算即得；（ⅱ）
利用求导判断

f
p 的单调性，即可证明

f
p 在

0,1 内存在唯一极大值点
2
3
p =
，进而求得期望利润

f
p
的最大值.
【详解】（1）由题可知，X 的可能取值为100，90，80，70，60，


100
1 0.8
0.2
P X =
= -
=
，



90
0.8 0.6
1 0.5
0.24
P X =
=
´
´
-
=
，




80
0.8 0.4
1 0.5
0.16
P X =
=
´
´
-
=
，


70
0.8 0.6 0.5
0.24
P X =
=
´
´
=
，


60
0.8 0.4 0.5
0.16
P X =
=
´
´
=
．
分布列为：
X
100
90
80
70
60
P
0.2
0.24
0.16
0.24
0.16
数学期望为：


100 0.2
90 0.24
80 0.16
70 0.24
60 0.16
80.8
E X =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
．
（2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望，
则支付金额的期望为：





100 10 0.6 1
20 0.4 1
30 0.6
40 0.4
86
20
E Y
p
p
p
p
p
=
-
´
-
-
´
-
-
´
-
´
=
-
；
优惠券成本的期望为








10 0.3 0.6 1
20 0.3 0.4 1
10 0.3 10 0.6
20 0.3 10 0.4
E Z
p
p
p
p
=
´
´
-
+
´
´
-
+
´
+
+
´
+
4.2 10p
=
+
．
∴






41
f
p
r p
E Y
E Z
=
-
-




2
0.2
0.4
0.2
86
20
41
4.2 10
p
p
p
p
=
+
+
-
-
-
+


3
2
4
4
4.8 0
1
p
p
p
p
= -
+
+
+
£
£
．
（ⅱ）



2
12
2
4 0
1
f
p
p
p
p
= -
+
+
£
£
¢
令

2
12
2
4
0
f
p
p
p
¢
= -
+
+
=
．解得
2
3
p =
，
当
2
0, 3
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时

0
f
p
¢
>
，

f
p 在
2
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增；
当
2 ,1
3
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时

0
f
p
¢
<
，

f
p 在2 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减；
∴

f
p 在

0,1 内存在唯一极大值点
2
3
p =
，
又
3
2
2
2
2
2
4
4
4.8
6.7
3
3
3
3
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+ ´
+
»
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
∴当
2
3
p =
时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7 元．
30．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总
面积超过80 公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼
坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等
景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和
游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客
选择东门入园的概率是3
5 ，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取3 人，记3 人中选择东门入园的人数为X，求X 的分布列、均值和方差；
(2)东湖山公园管理处计划在2026 年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为
0，从东门进入一名游客，增加人气值2 点，其它门进入一名游客，增加人气值1 点，记当日人气值显示屏
上曾经出现数值n 的概率为
nP （不考虑人流量有限的限制）．
①求
1P ，
2P ；
②求
nP ．
【答案】(1)
X
0
1
2
3
P
8
125
36
125
54
125
27
125


9
5
E X =
， 


18
25
D X =
(2)①
1
2
5
P =
；
2
19
25
P =
；②
5
3
3
8
8
5
n
nP
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
【分析】（1）分析可知
3
3, 5
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，结合二项分布求X 的分布列、均值和方差；
（2）①分析人气值1 点或2 点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可
得
2
1
3
2
5
5
n
n
n
P
P
P
+
+
=
+
，利用构造法和累加法，结合等比数列求
nP .
【详解】（1）由题意可知：
3
3, 5
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，
则


3
3
8
0
1
5
125
P X
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，


2
1
3
3
3
36
1
C
1
5
5
125
P X
æ
ö
=
=
-
´
=
ç
÷
è
ø
；


2
2
3
3
3
54
2
C
1
5
5
125
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
´
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；


3
3
27
3
5
125
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
；
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
8
125
36
125
54
125
27
125
所以X 的均值


3
9
3
5
5
E X = ´
=
，且方差


3
3
18
3
1
5
5
25
D X
æ
ö
= ´
´
-
=
ç
÷
è
ø
.
（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是3
5 ，则选择其他门入园的概率是2
5 ，
若人气值为1 点，则仅有1 人入园且选择其他门入园，所以
1
2
5
P =
；
若人气值为2 点，则仅有1 人且选择东门入园，或仅有2 人入园且均选择其他门入园，
所以
2
3
2
2
19
5
5
5
25
P =
+
´
=
；
②若人气值为
2
n +
点，可知在人气值为n 点的前提下仅有1 人且选择东门入园，或在人气值为
1
n + 点的前
提下仅有1 人且选择其他门入园，
则
2
1
3
2
5
5
n
n
n
P
P
P
+
+
=
+
，可得


2
1
1
3
5
n
n
n
n
P
P
P
P
+
+
+
-
= -
-
，
且
2
1
9
0
25
P
P
-
=
¹
，可知数列

1
n
n
P
P
+ -
是以首项为9
25 ，公比为
3
5
-
的等比数列，
则
1
1
1
9
3
3
25
5
5
n
n
n
n
P
P
-
+
+
æ
ö
æ
ö
-
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当
2
n ³
时，则





1
2
1
3
2
1
n
n
n
P
P
P
P
P
P
P
P -
=
+
-
+
-
+×××+
-
2
3
1
2
3
3
3
5
5
5
5
n+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+ -
+ -
+×××+ -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
1
3
3
1
5
5
2
5
3
3
3
5
8
8
5
1
5
n
n
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
- -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
+
=
+
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
- -
ç
÷
è
ø
，
且
1
2
5
P =
符合上式，所以
5
3
3
8
8
5
n
nP
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
.
31．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词
元A ，B ，且生成词元总数不超过


2
2
n n ³
.若生成A ，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到
2n .每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A ，B 的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规
则如下：
①若预测中第一次出现词元A ，则审核后生成A ，B 的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元A ，则审核后必生成A ；
③若预测中出现词元B ，则审核后必生成B .
设X 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求


1
P X =
，


2
P X =
；
(2)求X 的分布列；
(3)求

2
P X
X
n
=
£
.
【答案】(1)


1
1
4
P X =
=
，


1
2
4
P X =
=
(2)
X
1
2
3
…
2
1
n -
2n
P
2
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
3
1
2
2
æ
ö
´ç
÷
è
ø
4
1
3
2
æ
ö
´ç
÷
è
ø
…


2
1
2
1
2
n
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø


2
1
2
1
2
n
n
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
(3)
1
1
2
2
2
n
n
n
-
+ -
-
【分析】（1）根据规则判断出
1
X = 和
2
X =
的情形，结合概率乘法公式求解即可.
（2）结合题干规则推导出

P X
k
=
，进而求出


2
P X
n
=
，即可得到分布列.
（3）结合错位相减法及等比数列的前n 项和公式求出

P X
n
£
，根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）
1
X = 表示第一次就生成A 并结束过程，即第一次预测为A ，且审核生成A ，


1
1
1
1
2
2
4
P X =
=
´
=
.
2
X =
表示第二次生成A 并结束过程，情况有：第一次预测为A ，且审核生成B ，第二次预测为A ；第一次
预测为B ，审核必生成B ，第二次预测为A ，且审核生成A .


1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
P X =
=
´
´
+
´ ´
´
=
.
（2）X
k
=
（1
2
1
k
n -
≤
≤
，
*
k ÎN ）时，第k 个词元输出为A ，
若前面
1
k - 个词元都预测为B ，其概率为
1
1
2
k+
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
若前面
1
k - 个词元有一个预测为A ，其概率为


1
1
1
1
1
1
C
1
2
2
k
k
k
k
+
+
-
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故




1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
k
k
k
P X
k
k
k
+
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
当
2
X
n
=
时，
若前面2
1
n - 个词元都没有预测为A ，其概率为
2
1
1
2
n-
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
若前面2
1
n - 个词元有一个预测为A ，其概率为

2
1
2
1
2
n
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
故






2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
P X
n
n
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
所以X 的分布列为：
X
1
2
3
…
2
1
n -
2n
P
2
1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
3
1
2
2
æ
ö
´ç
÷
è
ø
4
1
3
2
æ
ö
´ç
÷
è
ø
…


2
1
2
1
2
n
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø


2
1
2
1
2
n
n
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
（3）由（1）得


1
2
4
P X =
=
，
由（2）得


1
1
2
k
P X
k
k
+
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，


2
3
4
1
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
n
P X
n
n
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
£
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，




3
4
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
P X
n
n
n
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
£
= ´
+ ´
+×××+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，


2
3
4
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
P X
n
n
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
£
=
+
+
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
æ
ö
æ
ö
æ
ö
è
ø
è
ø
=
-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
-
，
所以




1
1
1
2
2
n
P X
n
n
+
æ
ö
£
= -
+
ç
÷
è
ø
所以







1
1
1
1
2
2
4
2
2
2
1
1
2
2
n
n
n
P X
P X
X
n
P X
n
n
n
-
+
+
=
=
£
=
=
=
£
-
-
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
32．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在
一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未
公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能
再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2 张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M 的概率；
(2)若甲先抽取了k（
*
N
k Î
，且k
n
<
）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券
的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（
*
N
iÎ
，k
i
n
< £
）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止
抽奖，若未抽到金额大于m 的奖券，则保留第n 张.
（ⅰ）若
5
n =
，当
2
k =
时，求甲获得最大金额奖励M 的概率p；
（ⅱ）当调整k 的取值时，甲获得最大金额奖励M 的概率p 也会发生变化.若
100
n =
，请估计p 的最大值，
并求此时k 的值.
（估值参考：当
100
n ³
时，
1 1
ln
n
i k
n
i
k
-
=
»
å
，e
2.72
»
，0.36ln 0.36
0.3678
» -
，0.37ln 0.37
0.3679
» -
.）
【答案】(1) 1
n ；
(2)（i）13
30 ；（ii）所以p 的最大值约为0.3679，此时
37
k =
．
【分析】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案；
（2）（i）设
i
D ：抽到的第

*,
i i
k
i
n
Î
< £
N
张奖券金额为M ，再利用全概率公式求出概率通式，再代入
5
n =
即可；
（ii）根据估值参考公式得
( )
ln
k
n
p
p k
n
k
=
»
，再设函数
ln
( )
,
1
x
f x
x
x
=
> ，求导得其最值，从而得到k 的估计
值，最后结合其整数范围即可得到答案.
【详解】（1）设抽到的第j 张奖券的金额为
,
1,2
ja
j =
．
设
1
1
:
,
:
,
:
A a
M B a
M C
=
<
甲获得最大金额奖励M ．
注意到
1
1
1
( )
, (
)
0, ( )
, (
)
1
n
P A
P C A
P B
P C B
n
n
n
-
=
=
=
=
-
∣
∣
．
则
1
( )
( ) (
)
( ) (
)
P C
P A P C A
P B P C B
n
=
+
=
∣
∣
．
（2）（i）仍设C ：甲获得最大金额奖励M ，
若m
M
=
，则
( )
0
P C =
，故只需考虑m
M
<
的情况．
设
i
D ：抽到的第

*,
i i
k
i
n
Î
< £
N
张奖券金额为M ．
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额M 的机会均等，则


1
i
P D
n
=
．
只有当m 是前
1
i - 张奖券中的最大金额，甲才会保留第i 张奖券，则

1
i
k
P C D
i
= -
∣
．
则





1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
1
1
n
n
n
n
n
i
i
i
i k
i k
i k
i k
i k
k
k
k
P C
P D P C D
P C D
n
n
i
n
i
n
i
-
= +
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
-
-
å
å
å
å
å
∣
∣
．
若
5
n =
，当
2
k =
时，
2
1
1
1
13
( )
5
2
3
4
30
p
P C
æ
ö
=
=
´
+
+
=
ç
÷
è
ø
．
（ii）由估值参考得
1 1
ln
n
i k
n
i
k
-
=
»
å
，则
( )
ln
k
n
p
p k
n
k
=
»
．
令
ln
( )
,
1
x
f x
x
x
=
> ，则
2
1 ln
( )
x
f
x
x
-
¢
=
．
当
e
x= 时，
( )
0
f
x
¢
=
．
当1
e
x
<
<
时，
( )
0,
( )
¢
>
f
x
f x 单调递增；
当
e
x> 时，
( )
0,
( )
¢
<
f
x
f x 单调递减，
因此，当
e
x= 时，
( )
f x 取得最大值
1
(e)
e
f
=
．
此时
100
36.8
e
k =
»
，不是整数，
又
(36)
0.36ln 0.36
0.3678, (37)
0.37ln 0.37
0.3679
p
p
= -
»
= -
»
，
所以p 的最大值约为0.3679，此时
37
k =
．
33．（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3 关，他每次从装有1 个红球，2 个
黑球，3 个黄球的袋中有放回地摸出1 个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到
黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过
第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制.
参考公式：若


0,1
pÎ
，则
2
1
lim
(1
)
n
k
n
k
p
k p
p
®+¥
=
æ
ö
×
=
ç
÷
-
è
ø
å
.
(1)求甲摸球3 次恰好通关成功的概率；
(2)已知X，Y 是随机变量，则





E X
Y
E X
E Y
+
=
+
，现用x 表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求

E x ；
(3)设甲摸球

3
n n ³
次后通关成功的概率为
nP ，求出
nP 与
1
nP + 的递推关系式，并证明
2
1
1
5
36
6
n
nP
-
+
æ
ö
>
´ç
÷
è
ø
.
【答案】(1) 1
36
(2)11
(3)
1
1
1
5
1
2
1
6
6
3
2
n
n
n
n
P
P
-
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，证明见解析
【分析】（1）每一关都一次通过则刚好摸球3 次恰好通关，直接计算即可；
（2）设
ix 表示甲从第i 关过关所需的摸球次数，利用参考公式分别求出每一关的数学期望再相加即可求解；
（3）先设摸球n 次停在第3 关的概率为
n
Q ，摸球n 次停在第2 关的概率为
n
R ，根据条件找到
nP ，
n
Q ，
n
R
之间的表达式，由


1
2
1
4
3
2
n
n
n
R
R
n
-
æ
ö
=
+
³
ç
÷
è
ø
，构造等比数列化简得到
2
1
3
3
2
n
n
n
R
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，进而得到
1
1
1
5
2
1
6
3
2
n
n
n
n
Q
Q
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
1
1
2
1
6
5
3
2
n
n
n
n
P
P
-
-
+
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
即可求解.
【详解】（1）由题意：摸到黄球的概率为
1
2  摸到黑球的概率为1
3  摸到红球的概率为1
6
设摸球3 次恰好通关为事件A，则

1
1
1
1
2
3
6
36
P A =
´
´
=
（2）设
ix 表示甲从第i 关过关所需的摸球次数

*
ix ÎN
则


1
1
1
1
1
2
2
2
k
k
P
k
x
-
æ
ö
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
,所以

1
1
1
lim
2
2
k
n
n
k
E
k
¥
x
®+
=
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
å


1
2
2
1
1 2
3
3
2 3
k
k
P
k
x
-
æ
ö
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
,所以


2
1
1
2
lim
3
2
3
k
n
n
k
E
k
¥
x
®+
=
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
å


1
3
5
1
1 5
6
6
5 6
k
k
P
k
x
-
æ
ö
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
,所以


3
1
1
5
lim
6
5
6
k
n
n
k
E
k
¥
x
®+
=
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
å
由





E X
Y
E X
E Y
+
=
+
，
得








1
2
3
1
2
3
2
3
6
11
E
E
E
E
E
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+
=
+ +
=
（3）设甲摸球n 次通关成功的概率为
nP ，摸球n 次停在第3 关的概率为
n
Q ，摸球n 次停在第2 关的概率为
n
R ，
则






1
1
1
1
1
4
6
5
1
4
6
3
2
1
4
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
P
Q
n
Q
Q
R
n
R
R
n
-
-
-
-
ì
=
³
ï
ï
ï
=
+
³
í
ï
ï
æ
ö
=
+
³
ï
ç
÷
è
ø
î
由


1
2
1
4
3
2
n
n
n
R
R
n
-
æ
ö
=
+
³
ç
÷
è
ø
，
可得
1
1
1
2
1
3
3
2
3
2
n
n
n
n
R
R
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
=
+
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
又因为
3
2
2
3
1
1
2
1
2
37
2
2
3
2
3
72
R
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
所以
3
3
3
8
2
9
R +
=
所以
3
3
8 2
2
3
2
9 3
3
n
n
n
n
R
-
æ
ö
æ
ö
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
2
1
3
3
2
n
n
n
R
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
所以
1
1
1
5
2
1
6
3
2
n
n
n
n
Q
Q
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
1
1
1
2
1
6
5
3
2
n
n
n
n
P
P
-
-
+
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
1
1
1
5
1
2
1
6
6
3
2
n
n
n
n
P
P
-
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
，
4
1
18
P =
，
3
1
36
P =
所以
3
n =
时成立，
所以
1
1
1
5
1
2
1
6
6
3
2
n
n
n
n
P
P
-
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
又当
3
n ³
时，
1
1
2
1
0
3
2
n
n
-
-
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
2
2
2
1
1
3
5
5
5
1
5
6
6
6
36
6
n
n
n
n
n
P
P
P
P
-
-
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
>
>
> ××× >
=
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
34．（2026·四川·模拟预测）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字
“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则
在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5 次
硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7 个字符，此时从左向右第
4 个字符为1，第6 个字符为0．
(1)若抛掷3 次硬币，记得到的字符序列中字符总数为X ，求


E X ；
(2)对
*
nÎN ，记
na 为从左向右第n 个字符是“前0”的概率，nb 为从左向右第n 个字符是0 的条件下，第n+1
个字符是1 的概率.
（ⅰ）证明：
1
3
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ 为等比数列；
（ⅱ）求
nb 的最大值.
【答案】(1) 9
2 ；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1
3 .
【分析】（1）求出X 的取值可能为3,4,5,6 .分别求出X 的取值的概率，利用期望的公式求出期望；
（2）（ⅰ）通过题中条件得到


1
1 1
2
n
n
a
a
+ =
-
，利用等比数列的定义得到证明；（ⅱ）
nb 为从左向右第n 个字
符是0 的条件下，第
1
n + 个字符是1 的概率，通过题意得到
1
1
n
n
n
n
a
a
a
b
-
-
+
=
，利用等比数列的通项公式求出
na ，求出
1
na - ，求出
1
n
n
a
a -
+
，求出
1
1
n
n
n
n
a
a
a
b
-
-
+
=
，设
2
1
2
n
t
-
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，得到
2
8
n
t
b
t
+
=
+ ，设

2
8
t
f t
t
+
=
+ ，利用导
数法得到

f t 的单调性，结合t 的取值范围得到
nb 的最大值.
【详解】（1）掷3 次硬币，每次硬币正面朝上时添加1 个字符，反面朝上时添加2 个字符，所以X 的取值
可能为3,4,5,6 .
当
3
X =
时，即3 次都是正面朝上，概率
3
1
1
(
3)
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
当
4
X =
时，即2 次正面朝上，1 次反面朝上，从3 次中选1 次反面朝上，概率


2
1
3
1
1
3
4
C
2
2
8
P X
æ
ö
=
=
×
=
ç
÷
è
ø
，
当
5
X =
时，即1 次正面朝上，2 次反面朝上，从3 次中选1 次正面朝上，概率


2
1
3
1
1
3
5
C
2
2
8
P X
æ
ö æ
ö
=
=
×
×
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
当
6
X =
时，即3 次都是反面朝上，概率


3
1
1
6
2
8
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，


1
3
3
1
9
3
4
5
6
8
8
8
8
2
E X = ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
.
（2）（ⅰ）若第n 个字符是“前0”，则第
1
n + 个字符必须是“后0”，
若第n 个字符是“后0”或 “1”，则第
1
n + 个字符是“前0”的概率为
1
2 ，是“1” 的概率为
1
2 ，
则有


1
1 1
2
n
n
a
a
+ =
-
，即


1
1
1
1
1
3
2
3
n
n
a
a
+ -
=
-
-
，
即
1
1
1
1
3
2
3
n
n
a
a
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，
第1 个字符是“前0”的概率为
1
1
2
a =
，则
1
1
1
1
1
3
2
3
6
a -
=
-
=
，
则
1
3
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是首项为1
6 ，公比为
1
2
-
的等比数列.
（ⅱ）若第n 个字符是“0”，则第
1
n + 个字符是“0”的概率为
1
2 ，是“1” 的概率为
1
2 ，
又第n 个字符是“前0”的概率为
na ，第n 个字符是“后0”的概率为
1
na - ，则第n 个字符是0 的概率为
1
n
n
a
a -
+
，
若保证第
1
n + 个字符是1，则第n 个字符一定是“后0”，其概率为
1
na - ，
所以可得
1
1
1
2
n
n
n
n
b
a
a
a
-
-
×
+
=
，
1
3
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
Q
是首项为1
6 ，公比为
1
2
-
的等比数列，
1
1
1
1
3
6
2
n
na
-
æ
ö
\
-
=
´ -
ç
÷
è
ø
，
1
1
1
1
6
2
3
n
na
-
æ
ö
\
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
，
2
1
1
1
1
6
2
3
n
na
-
-
æ
ö
\
=
´ -
+
ç
÷
è
ø
，
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
2
3
6
2
3
12
2
3
n
n
n
n
n
a
a
-
-
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
=
´ -
+
+
´ -
+
=
´ -
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
1
2
1
1
1
1
1
1
6
2
3
2
2
1
1
2
12
2
3
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
-
-
-
-
æ
ö
´ -
+
ç
÷
è
ø
\
=
×
=
×
+
æ
ö
´ -
+
ç
÷
è
ø
，
设
2
1
2
n
t
-
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
，则
1 1
1
1,
,
,
,
2 4
8
t
ì
ü
Î
-
-
í
ý
î
þ
L ，
1
t £ ，
1
1
1
6
3
1
2
2
2
8
12
3
n
t
b
t
t
t
+
\
=
+
×
=
+
+
，
设

2
8
t
f t
t
+
=
+ ，








2
2
8
2
6
0
8
8
t
t
f
t
t
t
+
-
+
=
=
+
+
¢
>
Q
，

2
8
t
f t
t
+
\
=
+
在定义域内是单调递增函数，
t
Q 的最大值为1，即当
2
n =
时，
2
1
4
2 1
1
2
8 1
3
b
+ ´
=
´
=
+
，
当
2
n ³
时，t 的绝对值逐渐减小，
nb 逐渐趋近于2
1
8
4
=
，
故
nb 的最大值为1
3 .
35．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的
关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，
显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种
方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为3
4 ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为4
5 ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为2
3 .
(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1 次，随机选择一种方案；
②从第2 次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择
一种.
记第n 次选择方案A，B，C 的概率分别为
na ，
nb ，
nc .
（i）求
2a ，
2b ，并证明：数列
4
2
5
3
n
n
a
b
ì
ü
+
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.
【答案】(1)133
180
(2)（i）91
270 ，191
540 ，证明见解析；（ii）能
【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可；
（2）（i）利用全概率公式，结合等比数列的定义进行求解即可；
（ii）根据（i）的结论，结合指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）设选择方案A，B，C 分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z，
则



1
3
P A
P B
P C
=
=
=
，


3
4
P Z A =
，

4
5
P Z B =
，

2
3
P Z C =
，







( )
( )
P Z
P A P Z A
P B P Z B
P C P Z C
=
+
+
3
1
4
1
2
1
133
4
3
5
3
3
3
180
=
´
+
´
+
´
=
.
（2）（i）由①知道
1
1
1
1
3
a
b
c
=
=
=
.
由②根据全概率公式
2
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
91
1
4
4
3
5
3
3
3
270
a
a
b
c
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´ +
´
´
+
´
´
+
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
191
1
4
3
5
5
3
3
3
540
b
a
b
c
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
´
+
´ +
´
´
+
´
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
设第n 次物流选择方案A，B，C 为事件
n
A ，
n
B ，
n
C ，第n 次物流提前送达为事件
n
Z ，
则


n
n
a
P A
=
，


n
n
b
P B
=
，


n
n
c
P C
=
，因为
1
n
n
n
a
b
c
+
+
= ，所以
1
n
n
n
c
a
b
= -
-
，
所以




3
4
2
3
4
2
1
2
2
1
4
5
3
4
5
3
12
15
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P Z
a
b
c
a
b
a
b
a
b
=
+
+
=
+
+
-
-
=
+
+
.
由②根据全概率公式











1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P A
P A
P A
A
P B
P A
B
P C
P A
C
+
+
+
+
=
+
+
，
注意到

1
1
1
1
5
3
15
n
n
P A
B
+
=
´
=
，

1
1
1
1
3
3
9
n
n
P A
C
+
=
´
=
，
而

1
1
1
3
5
1
4
3
4
6
n
n
P A
A
+
=
´
+
´ =
，
所以


1
5
1
1
5
1
1
13
2
1
1
6
15
9
6
15
9
18
45
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
c
a
b
a
b
a
b
+ =
+
+
=
+
+
-
-
=
-
+
，
同理


1
1
13
1
1
13
1
1
34
1
1
12
15
9
12
15
9
36
45
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
c
a
b
a
b
a
b
+ =
+
+
=
+
+
-
-
= -
+
+
.
注意到
1
1
4
2
13
2
1
4
1
34
1
2
5
3
18
45
9
5
36
45
9
3
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
+
+
æ
ö
æ
ö
+
-
=
-
+
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
14
7
7
4
2
10
25
15
10
5
3
n
n
n
n
a
b
a
b
æ
ö
=
+
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
且
1
1
4
2
1
0
5
3
15
a
b
+
-
= -
¹
，所以
4
2
0
5
3
n
n
a
b
+
-
¹
，
故
1
1
4
2
7
5
3
4
2
10
5
3
n
n
n
n
a
b
a
b
+
+
+
-
=
+
-
为定值，
即
4
2
5
3
n
n
a
b
ì
ü
+
-
í
ý
î
þ
是以
1
15
-
为首项，7
10 为公比的等比数列.
（ii）由（i）可求
1
4
2
1
7
5
3
15
10
n
n
n
a
b
-
æ
ö
+
-
= -
´ç
÷
è
ø
，
同理
1
1
1
13
2
1
1
34
1
1
2
2
2
18
45
9
36
45
9
2
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
=
-
+
-
-
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
7
14
7
7
1
2
9
9
18
9
2
n
n
n
n
a
b
a
b
æ
ö
=
-
+
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
1
7
2
2
6
9
n
n
n
a
b
-
æ
ö
-
+
=
´ç
÷
è
ø
，
联立解得
1
1
1
1
7
1
7
3
21
9
21
10
n
n
na
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
´
-
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
1
5
5
7
1
7
12
84
9
42
10
n
n
nb
-
-
æ
ö
æ
ö
=
-
´
-
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以


1
1
1
2
2
3
1
7
1
7
12
15
3
4
252
9
140
10
n
n
n
n
n
P Z
a
b
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
-
´
-
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
随着n 的增大，

n
P Z
增大，注意到


1
133
180
P Z
=
，所以当
2
n ³
时，




1
133
180
n
P Z
P Z
>
=
，
因此从第2 次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率.
文档在线预览

文档文本内容
