文档文本内容
义
务
教
育
教
科
书
数
学
九
年
级
上
册
湖
南
教
育
出
版
社
湖南教育出版社
全国优秀教材二等奖
义务教育教科书
数学
S
H
U
X
U
E
九年级上册
定价：1 .
元
59
0
湖南教育出版社
九年级上册
义务教育教科书
数学
s
h
u
x
u
e
义
务
教
育
教
科
书
数
学
九
年
级
上
册
主 编：严士健 黄楚芳
执行主编：丘维声
副 主 编：赵雄辉 胡 旺
编 委：肖果能 袁宏喜
李超贵 邹楚林
数学实现我们从感性到理性的跨越
亲爱的同学们：
经过两年的初中阶段的数学学习，当你们迈进九年级上学期时，对
数学的认识是不是又深入了一步？在你的头脑中，哪些数学知识、思维
方法给你留下了深刻的印象？当你积累一定的数学经验，在面对有趣的
实际问题时，是不是觉得数学不再那么高不可攀了呢？在这里，请不要
忘记，数学学习不仅需要感性认识，更需要我们上升到理性认识，只有
这样，我们才能发挥出数学的强大威力！
在本书中，我们将学习函数和方程家族中的两位新朋友——
—“反比
例函数” 与“一元二次方程”，我们将学会建立数学模型，并对模型进
行研究，将研究得出的规律去解决大量的生活实际问题，而这一学习过
程意味着思维方法的飞跃，我们也将感受到数学与生活的紧密联系. 在
“图形的相似” 中，我们将从“把一个图形放大（或缩小）得到的图形与
原图形是相似的” 这一特征出发来认识相似图形，研究相似三角形的性
质及判定条件以及如何将一个图形放大或缩小. 在“锐角三角函数”
中，我们将学会如何利用解直角三角形来解决一些简单的实际问题. 在
“用样本推断总体” 中，我们将通过实例来学习如何根据问题的背景选
择合适的方法，用样本来推断总体，以及预测事物发展的趋势，感受统
计的价值.
当然，在我们同行的路途中，
“综合与实践”
“IT 教室”
“数学
与文化” 的精彩都不容错过，它们将会为你开启更宽广的数学世界.
要学好这些内容，需要我们充满信心，养成良好的学习习惯，克服
许许多多的困难. 要善于回忆学过的知识与方法，并找到适合自己的数
学学习方法. 同学们可以依照书中的栏目设置，多“观察”
“探究”
“动脑筋”
“说一说”
“做一做”
“议一议”，多动手试一试，从熟悉的
1
生活事例中认识数学，把数学应用到你的生活中去，不断提高自己探索
问题的能力.
同学们，党的二十大报告明确指出：
“教育、科技、人才是全面建
设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑. 必须坚持科技是第一生
产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人
才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发
展新动能新优势. ” 数学学科作为现代科学技术的基石，是我们攀登未
来科学高峰的攻城锤与脚手架，重要性不言而喻. 作为祖国未来的建设
者与接班人，让我们共同举起理性的火把，探索奇妙、优美的数学世
界，努力使自己成为合格的社会主义建设者和接班人，成为担当民族复
兴大任的时代新人吧！
2
第1 章
反比例函
!!!!!!!!!!!!!
数
1
1.1
反比例函
!!!!!!!!!!!!!!
数
2
1.2
反比例函数的图象与性
!!!!!!!!
质
5
1.3
反比例函数的应
!!!!!!!!!!
用
14
IT 教室
用计算机绘制反比例函数的图
!!!!!!!!!!!!!!!!
象
18
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
20
第2 章
一元二次方程
!!!!!!!!!! 25
2.1
一元二次方
!!!!!!!!!!!!
程
26
2.2
一元二次方程的解
!!!!!!!!!
法
30
2.3
一元二次方程根的判别
!!!!!!!
式
43
*2.4
一元二次方程根与系数的关系
!!!!! 46
2.5
一元二次方程的应
!!!!!!!!!
用
49
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
55
数学与文化
花剌子米与《代数学
!!!!!
》
59
第3 章
图形的相
!!!!!!!!!!!!
似
61
3.1
比例线段
!!!!!!!!!!!!!! 62
3.2
平行线分线段成比
!!!!!!!!!
例
68
3.3
相似图
!!!!!!!!!!!!!!
形
73
3.4
相似三角形的判定与性质
!!!!!!! 77
3.5
相似三角形的应
!!!!!!!!!!
用
91
目录
Contents(
1
3.6
位
似
!!!!!!!!!!!!!!! 95
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
101
数学与文化
美妙的黄金分
!!!!!!!
割
106
第4 章
锐角三角函
!!!!!!!!!!!
数
108
4.1
正弦和余
!!!!!!!!!!!!!
弦
109
4.2
正
!!!!!!!!!!!!!!!
切
117
4.3
解直角三角
!!!!!!!!!!!!
形
121
4.4
解直角三角形的应
!!!!!!!!!
用
125
IT 教室
探究一个角的正弦值与余弦值之间
的关
!!!!!!!!!!!!!
系
132
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
134
综合与实践
测量物体的高度
!!!!!!! 138
第5 章
用样本推断总
!!!!!!!!!
体
140
5.1
总体平均数与方差的估计
!!!!!! 141
5.2
统计的简单应用
!!!!!!!!!! 146
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!
习
154
综合与实践
如何估计鱼的数量
!!!!!! 158
数学词汇汉英对照
!!!!!!!!!!!!!!!!
表
160
后
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
记
161
2
第1 章
反比例函数
反比例函数
第章
1
一群选手赛马，谁先到达终点？谁用的时间最少？
要回答这个问题，必须了解路程、速度和时间三者之间
的关系. 当路程一定时，所花的时间与速度成反比例关系. 把
这类实际问题中两个变量成反比例关系的特征加以抽象，便
得到了反比例函数的概念．
什么是反比例函数？反比例函数的图象有什么特征？它
在实际生活中有哪些应用？本章将要学习这些内容．
1
数学
九年级上册
（1）一群选手在进行全程为3 000 m 的赛马比赛时，各选手的平均速度
ｖ（ｍ/ ｓ）与所用时间ｔ（ｓ）之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式；
（2）利用（1）的关系式完成下表：
随着时间ｔ的变化，平均速度v 发生了怎样的变化？
（3）平均速度v 是所用时间ｔ的函数吗？为什么？
我们已经知道，路程与速度、时间之间的关系式为s = vt，因此v = s
t .
上述问题中路程ｓ＝3 00０ｍ，因此选手的平均速度ｖ（ｍ/ ｓ）与所用时间
ｔ（ｓ）之间的关系式为
v ＝3 0００
t
．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!①
①式表明：当路程ｓ一定时，每当t 取一个值时，v 都有唯一的一个值与
它对应，因此平均速度ｖ是所用时间ｔ的函数.
由于当路程ｓ一定时，平均速度v 与时间t 成反比例关系，因此，我们把
这样的函数称为反比例函数.
一般地，如果两个变量ｙ与ｘ的关系可以表示成
的形式，那么称ｙ是ｘ的反比例函数（ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中x 是
反比例函数
1.1
ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ为常数，ｋ≠０）
在小学，我们已经知道，如果两个量x，y 满足xy = k （ｋ为常数，ｋ≠０），
那么x，y 就成反比例关系. 例如，如果路程s 一定，那么速度v 与时间t 就成
反比例关系.
121
137
139
143
所用时间t/s
平均速度v/（m / s）
149
2
第1 章
反比例函数
自变量，常数k（k ≠0）称为反比例函数的比例系数.
如在①式中，v ＝3 0００
t
表明速度v 是时间t 的反比例函数，3 000 是比例系数.
反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数. 但是在实际问题中，应该
根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．例如，在前面得到的v ＝
3 0００
t
中，t 的取值范围是t ＞0．
例
如图1-1，已知菱形ABCD 的面积为180，设它
的两条对角线AC，BD 的长分别为x，y. 写出变量y 与x 之
间的函数表达式，并指出它是什么函数.
解
因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以S 菱形＝1
2 xy = 180，
所以xy = 360（定值），即y 与x 成反比例关系．
所以y ＝360
x ．
因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y 是另一条对角线长x 的
反比例函数.
图1-1
练习
1. 下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数.
（1）y= 3x - 1；
（2）y= - x
3 ；
（3）y= 1
5x；
!!!! （4）y= -
1
11x .
2. 下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数表达式表示？
（1）已知矩形的面积为120 cm2，该矩形的长y（cm）与宽x（cm）之间的
对应关系；
（2）用100 元买某种水果，水果的单价x（元/ kg）与购买的数量y（kg）之
间的对应关系.
3
数学
九年级上册
习题1.1
A 组
1郾下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数.
（１）ｙ＝2
ｘ；! ! （２）ｙ＝ｘ-1；
（３）ｙ＝－２
ｘ；! ! （４）ｙ＝１
２ｘ．
2. 已知某空游泳池的容积为270 m3，用恰当的函数表达式来表示进水速
度v（m3/h）与注满该游泳池所需时间t（h）之间的关系.
3. 已知反比例函数ｙ＝－6
ｘ.
（1）写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；
（2）求当x = -3 时函数的值；
（3）求当y = -2 时自变量x 的值.
4. （1）根据函数表达式填写下表：
（2）观察上表，由此猜测，当x 取正数时，随着x 的增大，y 的值是怎样
变化的？当x 取负数时，随着x 的增大，y 的值是怎样变化的？
B 组
5郾分别写出下列函数的表达式，并指出其中哪些是正比例函数，哪些是反
比例函数.
（１）当速度ｖ＝３ｍ/ｓ时，路程ｓ（ｍ）关于时间ｔ（ｓ）的函数；
（２）当购买了300 kW·h 电时，每天的用电量n（kW·h ）关于可使用天数m（天）
的函数；
（３）当圆柱体的体积V=100 cｍ3 时，其底面积S（cm2）关于高h（cｍ）的函数．
6郾根据下列式子，写出ｙ关于ｘ的函数表达式，并指出其中哪些是一次函
数，哪些是反比例函数.
（１）ｘ＋ｙ＝５；
（２）ｘｙ＝５；
（３）ｘｙ＝－１
４；! ! （４）ｘ－ｙ＝－１
４．
x
ｙ＝8
x
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
4
第1 章
反比例函数
反比例函数的图象与性质
1.2
我们已经学习了用“描点法” 画一次函数的图象，并且知道一次函数的图
象是一条直线，那么怎样画反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ为常数，ｋ≠０）的图象呢？它
的图象的形状是怎样的呢？
列表：由于自变量ｘ的取值范围是所有非零实数，因此，让ｘ分别取一些
负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值ｙ，列成下表.
描点：在平面直角坐标系内，以自变量ｘ的取值为横坐标，以相应的函
数值ｙ为纵坐标，描出相应的点，如图１－2 所示．
如何画反比例函数ｙ＝6
ｘ的图象？
图１－2
观察图1-2 中y 轴右边
的各点，当横坐标x 逐渐增
大时，纵坐标y 如何变化？
y 轴左边的各点是否也
有相同的规律？
! ! !ｘ
…
－６
－５
－４
－３
－２－１.5 !－1
1
１.5
２
３
４
５
６
…
ｙ＝6
ｘ
…
-1 -1.2 -1.5
-2
-3
- ４
-6
6
４
3
2
1.5
1.2
1
…
5
数学
九年级上册
我们可以证明：对于反比例函数ｙ＝6
ｘ，当ｘ＞０时，函数值y 随自变量x
的增大而减小；当ｘ＜０时，也有这一规律．
连线：根据以上分析，我们可以把ｙ轴右边各点和左边各点，分别用一条
光滑曲线顺次连接起来．从ｙ＝6
ｘ可以看出，ｘ取任意非零实数，都有ｙ≠０，
因此这两支曲线与ｘ轴都不相交．由于ｘ不能取０，因此这两支曲线与ｙ轴也
都不相交．这样就画出了ｙ＝6
ｘ的图象，如图１－3 所示．
在图1-4 所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数ｙ＝3
ｘ的图象.
图1－4
图１－3
ｙ＝6
ｘ
6
第1 章
反比例函数
观察画出的ｙ＝6
ｘ，ｙ＝3
ｘ的图象，思考下列问题：
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
（2）在每一象限内，函数值ｙ随自变量x 的变化如何变化？
一般地，当k > 0 时，反比例函数y = k
x 的图象由分别在第一、三象限内
的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自
变量x 的增大而减小.
可以发现这两个函数的图象均由两
支曲线组成，且分别位于第一、三象限.
对于ｙ轴右边的点，当自变量ｘ逐渐增大时，函
数值ｙ反而减小；对于ｙ轴左边的点也有这一性质.
练习
画出下列反比例函数的图象：
（1）y= 4
x ；
（2）y= 1
2x.
如何画反比例函数ｙ＝－6
ｘ的图象？ｙ＝－6
ｘ的图象与ｙ＝6
ｘ的图象有什
么关系？
7
数学
九年级上册
ｙ＝－6
ｘ
ｙ＝6
ｘ
当x＝3 时，ｙ＝－6
ｘ的函数值为－2，而y＝6
ｘ的函数值为2．在平面直角
坐标系内，点Ａ（3，－2）与Ｂ（3，2）关于x 轴对称，如图１－5 所示.
类似地，当x 取任一非零实数ａ时，ｙ＝- 6
ｘ的函数值为－6
ａ，而ｙ＝6
ｘ的
函数值为6
ａ，从而都有点Ｐａ，－6
ａ
ａ
"与点Ｑａ，6
ａ
ａ
"关于x 轴对称，因此y ＝－6
ｘ
的图象与ｙ＝6
ｘ的图象关于x 轴对称. 于是只要把ｙ＝6
ｘ的图象沿着ｘ轴翻折并
将图象“复制” 出来，就得到了ｙ＝－6
ｘ的图象，如图１－6 中的红色曲线所示．
从图１－6 看出：ｙ＝－6
ｘ的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，
它们与ｘ轴、ｙ轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大.
类似地，当ｋ＜０时，反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象与ｙ＝－ｋ
ｘ的图象关于x 轴
对称．从而当ｋ＜０时，反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象由分别在第二、四象限内的两支
曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的
增大而增大.
由于我们已经知道了当ｋ＜０时反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象的性质，因此今
后画反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ（ｋ＜０）的图象时，只要“列表、描点、连线” 三个步
骤就可以了．
图1-6
图1-5
8
第1 章
反比例函数
描点：在平面直角坐标系内，以自变量ｘ的取值为横坐标，以相应的函数
值y 为纵坐标，描出相应的点．
连线：把ｙ轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，
就得到了函数ｙ＝－４
ｘ的图象，如图１－７所示．
解
列表：让x 取一些非零实数，并计算出相应的函数值y，列成下表.
例1 画反比例函数ｙ＝－4
ｘ的图象.
! ! !ｘ
…
－６
－５
－４
－３
－２
－１!－2
3
2
3
１
２
３
４
５
６
…
ｙ＝－４
ｘ
…
２
３
４
5
１
４
３
２
４
6
－6
－４
－２
－４
３
－１
－４
5
－２
３
…
练习
画出下列反比例函数的图象：
（1）y= - 3
x ；
（2）y= - 1
2x.
综上所述，我们得到：
反比例函数y = k
x （k 为常数，k ≠０）的图象是由两支曲线组成的，这两支
曲线称为双曲线（hyperbola）.
图１－７
ｙ＝－４
ｘ
9
数学
九年级上册
（1）因为反比例函数y = k
x 的图象经过点P（2，4），即点P 的坐标满足这
一函数表达式，因而
4 = k
2 ，
解得
k = 8.
因此，这个反比例函数的表达式为y = 8
x .
（2）把点A，B 的坐标分别代入y = 8
x ，可知点A 的坐标满足函数表达
式，点B 的坐标不满足函数表达式，所以点A 在这个函数的图象上，点B 不
在这个函数的图象上.
（3）因为k > 0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个
象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.
例2
图1-8 是反比例函数y = k
x 的图象.
根据图象，回答下列问题：
（1）k 的取值范围是k > 0 还是k < 0？说明
理由；
（2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数
图象上的两点，试比较y1，y2 的大小.
图１－8
已知反比例函数y = k
x 的图象经过点P （2，4）.
（1）求k 的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变
量x 的增大如何变化？
10
第1 章
反比例函数
解
（1）由图1-8 可知，反比例函数y= k
x 的图象的两支曲线分别位于第
一、三象限内，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，因此，ｋ＞０.
（2）因为点A(-3，y1），B（-2，y2）是该图象上的两点，且-3 < 0，-2 < 0，所
以点A，B 都位于第三象限. 又因为-3 ＜-2，由反比例函数图象的性质可知：
y1＞y2.
例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）. 试
求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．
解
设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y = k1x，y = k2
x ，其中k1，
k2 为常数，且均不为零.
由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P（-3，4）是这两个函数图象
上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.
因此
4 = k1× （-3），4 ＝k2
-3 .
解得
k1= - 4
3 ，k2= -12.
因此，这两个函数的表达式分别
为y = - 4
3 x 和y = -12
x ，它们的图象如
图1-9 所示.
练习
ｙ＝-12
ｘ
ｙ＝- 4
3 ｘ
Ｐ
图１－9
1. 已知反比例函数y= k
x 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上；
11
数学
九年级上册
A!组
1．画出反比例函数ｙ＝5
ｘ的图象．
2．画出反比例函数ｙ＝- 3
2x 的图象．
3．已知点（3，-3）在反比例函数y = k
ｘ的图象上．
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-1，9），B（-3，2）是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
4．（1）已知反比例函数y = k - 2
x
的图象位于第一、三象限，求k 的取值
范围;
（2）已知点（-2，y1），
（-3，y2）在函数y = - 2
x 的图象上，试比较函数值
y1，y2 的大小.
5．正比例函数y = x 的图象与反比例函数y = k
x （k 为常数，k ≠0）的图象的
一个交点的横坐标是2. 求当x = - 3 时，反比例函数y = k
x 的对应函数值.
习题1.2
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x 的增大如何
变化？
2. 已知在反比例函数ｙ＝m + 3
ｘ
的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变
量x 的增大而增大，求m 的取值范围. 如果点M（-2，y1），N（-4，y2）是该图
象上的两点，试比较函数值y1，y2 的大小.
3. 正比例函数y = x 的图象与反比例函数ｙ＝k
ｘ的图象的一个交点的纵坐
标为3. 求当x = - 4 时，反比例函数y = k
x 的对应函数值.
12
第1 章
反比例函数
B!组
6．如图，点A 在某反比例函数的图象上，且点
A 的横坐标为a（a＞0），AC⊥x 轴，垂足为点C，
且△AOC 的面积为2．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点（－a，y1），
（－2a，y2）在该反比例函数
的图象上，试比较y1 与y2 的大小．
7．指出下列图象中，哪些是y = kx 与y = k
x （k
为常数，k ≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图象.
（第6 题图）
（第7 题图）
（3）
（4）
（1）
（2）
13
数学
九年级上册
（1）对于p = F
S ，当Ｆ一定时，根据反比例函数的定义可知，p 是Ｓ的反
比例函数．
（2）因为F=450 N，所以当S = 0.005 m2 时，由p＝F
S ，得
p= 450
0.005 = 90 000（Pa）.
类似地，当S = 0.01 m2时，p = 45 000 Pa；
当S = 0.02 m2时，p = 22 500 Pa；
当S = 0.04 m2时，p = 11 250 Pa.
反比例函数的应用
1.3
某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿
地. 为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进
路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而
顺利通过了这片湿地.
（1）根据压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）
之间的关系式p= F
S ，请你判断：当F 一定时，p 是
S 的反比例函数吗？
（2）若人对地面的压力F = 450 N，完成下表：
（3）当F = 450 N 时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面
积S 增大时，地面所受压强p 是如何变化的. 据此，请说出他们铺垫木板
（木板重力忽略不计）通过湿地的道理.
压强p/Pa
0.005
受力面积S/m2
0.01
0.02
0.04
对现实生活中的许多问题，我们都可以通过建立反比例函数模型来加以解决.
14
第1 章
反比例函数
（3）当F = 450 N 时，该反比例函数的表
达式为p= 450
S ，它的图象如图1-10 所示. 由
图象及性质可知，当受力面积S 增大时，地
面所受压强p 会越来越小. 因此，该科技小组
通过铺垫木板的方法来增大受力面积，以减
小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.
例
已知某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间有如下关
系式：U = IR，且该电路的电压U 恒为220 V.
（1）写出电流I 关于电阻R 的函数表达式；
（2）如果该电路的电阻为200 Ω，则通过它的
电流是多少？
（3）如图1-11 所示，如果该电路接入的是一
个滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路
中的电流I 增大？
分析
由于该电路的电压U 为定值，即该电路的电阻R 与电流I 的乘积
为定值，因此该电路的电阻R 与电流I 成反比例关系．
解
（1）因为U = IR，且U = 220 V，所以IR = 220，即该电路的电流I 关
于电阻R 的函数表达式为I = 220
R
．
（2）因为该电路的电阻R = 200 Ω，
所以通过该电路的电流I = 220
200 = 1.1（A）.
（3）根据反比例函数I = 220
R
的图象（如图1-
12）及性质可知，当滑动变阻器的电阻R 减小时，就
可以使电路中的电流I 增大．
图１－12
你能根据波义耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p 与它的体积V
的乘积是一个常数k（k > 0），即pV = k）来解释：为什么使劲踩气球时，气球会
爆炸？
图１－10
图１－11
I = 220
R
p = 450
S
15
数学
九年级上册
练习
习题1.3
1. 举例说明反比例函数在生活中的应用.
2. 某天然气公司要在地下修建一个容积为105 m3 的圆柱形天然气储存室.
（1）储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？
（2）若公司决定把储存室的底面积S 定为5 000 m2，则施工队施工时应
该向下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m 时，碰上了坚硬的岩石，为
了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15 m，则储存室的底面积应
改为多少才能满足需要（精确到0.01 m2）？
A!组
1. 某动物园根据杠杆原理G1·l1 = G2·l2 上演了一幕现代版“曹冲称象”，
具体做法如下：
如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一
根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中l1 = 6 m，l2 = 0.2 m．已知
当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为G1=1 200 N．
（第1 题图）
16
第1 章
反比例函数
（1）根据上述原理，求出装有大象的铁笼及其挂钩的总重量；
（2）若装有大象的铁笼固定不动，向左移动弹簧秤，则弹簧秤的读数是增
大还是减小？为什么？
2. 根据牛顿第二定律，物体所受的力Ｆ与物体的质量ｍ、物体的加速度ａ
有如下关系：
Ｆ＝ｍａ．
（１）当物体所受的力Ｆ一定时，物体的加速度ａ是它的质量ｍ的反比例函
数吗？若是，写出它的表达式；
（２）在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．
用同样大小的力，向同一个方向猛推这两辆小车，立即撒手. 根据（１）的结果，
哪辆车的加速度大？为什么？
B 组
3. 在纳鞋底时，先用锥子穿透鞋底，然后用拴有细绳的针顺着小孔眼从鞋
底的这一面穿到另一面．为什么是用锥子穿透鞋底，而不用小铁棍呢？
4. 为了降低输电线路上的电能损耗，发
电站都采用高压输电. 输出电压U（V）与输出
电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P = UI）
（W），且通常把某发电站在某时段内的发电功
率P 看作是恒定不变的.
（1）输出电压U 与输出电流I 之间成反
比例关系吗？为什么？
（2）当输出电压提高1 倍时，由线路损耗电能的计算公式Q = I2Rt（其中R
为常数）计算在相同时段内该线路的电能损耗减少多少倍.
（第2 题图）
17
数学
九年级上册
用计算机绘制反比例函数的图象
在本章，我们已经学习了如何画反比例函数的图象，但是，仅靠手工
操作，很难绘制出准确的图象. 为此，我们可以借助计算机又快又准地绘
制出反比例函数y = k
x 的图象.
1. 打开计算机软件，选择菜单【数据】，选择【新建参数】，弹出对话
框，在对话框中修改参数名称为k ，默认值为1，即k = 1.00.
2. 选择菜单【绘图】，选择【绘制新函数】，在弹出的对话框中，输入
“k / x ”，点击“确定”，就可绘制出函数y = 1
x 的图象，如图1 所示.
3. 如图2，在函数y = 1
x 的图象上任取一点A，选择【度量】菜单中的
【坐标】，度量出点A 的坐标（xA，yA）. 在用鼠标拖动点A 的过程中，你发现随
着横坐标xA 的变化，纵坐标yA 会发生怎样的变化？xA·yA 会变化吗？
图1
数学
九年级上册
18
第1 章
反比例函数
图2
4. 继续作出反比例函数y = 2
x ，y = 3
x ，y = 4
x 的图象，如图3，观察：
随着k（k > 0）的变化，函数y = k
x 的图象发生了怎样的变化？
图3
第1 章
反比例函数
5. 在同一平面直角坐标系内，作出反比例函数y = - 1
x ，y = - 2
x ，
y = - 3
x ，y = - 4
x 的图象，观察：随着k（k < 0）的变化，函数y = k
x 的图象
发生了怎样的变化？
19
数学
九年级上册
小结与复习
1. 举例说明什么是反比例函数.
2. 分别画出当k＞0，k ＜0 时，反比例函数y = k
x （k 为常数）的大致图象，并
说说反比例函数图象的性质.
3. 请你举出一些生活中应用反比例函数的实例.
1. 学习本章时，应注意从概念、图象和性质等各方面对正比例函数和反比
例函数进行研究比较，以形成对“比例” 函数的完整认识.
2. 在学习反比例函数y = k
x （k ≠0）的图象与性质时，要注意从k > 0 与k <
0 两种情况来讨论，从而全面掌握反比例函数的图象与性质.
3. 反比例函数y = k
x （k ≠0）由比例系数k 决定，自变量与对应函数值的乘
积都等于k，因此知道函数图象上一点的坐标，就能求出k，进而确定一个反比
例函数的表达式.
4. 在利用反比例函数解决某些实际问题时，可利用反比例函数的图象与性
质来说明.
回顾
本章知识结构
注意
反比例函数的应用
建立反比例函数模型
反比例函数的图象与性质
实际问题
20
第1 章
反比例函数
复习题1
A!组
１郾写出下列函数的表达式，并指出其中哪些是反比例函数．
（１）等边三角形的面积S（cm2）关于其边长a（cm）的函数；
（２）当平行四边形的面积S（cm2）一定时，它的一条边长a（cm）关于这条边
上的高h（cm）的函数．
2郾画出下列函数的图象：
（1）ｙ＝5
2ｘ；
（2）ｙ＝- 5
2ｘ.
3．（1）已知点Ｐ（３，－４）在反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象上，求ｋ的值；
（2）已知点Ｍ（７，ｂ）在反比例函数ｙ＝２１
ｘ的图象上，求ｂ的值．
4．下列哪些点在反比例函数ｙ＝１５
ｘ的图象上，哪些点在反比例函数ｙ＝- １５
ｘ
的图象上？
（１）Ａ（２，７郾５）；
（２）Ｂ（－３，５）；
（３）Ｃ（－５，－３）；
（４）Ｄ（３，５）．
5．已知物体的质量ｍ（kg）、密度ρ（kg / m3）与体积Ｖ（m3）满足如下关系式：
ｍ＝ρＶ．
（１）当质量ｍ一定时，物体的体积Ｖ与它的密度ρ 之间有怎样的函数关系？
（２）质量均为１ｋｇ的铁块与泡沫块，哪个体积大？为什么？（已知铁的密度
大于泡沫的密度）
6．已知反比例函数的图象经过点A（-6，-3）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B ( 4，9
2 )，C（2，-5）是否在这个函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
7．已知在反比例函数ｙ＝k - 2
ｘ
图象的每一支曲线上，函数值y 随着自变量x
的增大而增大，求k 的取值范围.
8．已知反比例函数ｙ＝k
ｘ的图象与正比例函数ｙ＝２ｘ的图象交于点（2，4），
21
数学
九年级上册
求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的
图象．
9．如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）
中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B 与点O 的距离，
记录相应的托盘B 中的砝码质量，得到下表：
（1）把上表中x，y 的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标
系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；
（2）观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出该函数表达式；
（3）当砝码质量为24 g 时，求托盘B 与点O 的距离；
（4）当托盘B 向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B 中添加砝码还是
减少砝码？为什么？
B!组
10郾已知点A（-2，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y ＝k
x （k ＜0）的
图象上，试比较y1，y2 和y3 的大小.
11．已知电功率Ｐ（W）与电压Ｕ（V）、电阻Ｒ（赘）的关系式是：Ｐ＝Ｕ２
Ｒ. 当两个
灯泡并联接在电压为２２０Ｖ的电路中时，如果它们的电功率的比Ｐ１
Ｐ２
＝４，那么
它们的电阻的比Ｒ１
Ｒ２
等于多少？
托盘B 中的砝码质量y/g
30
10
托盘B 与点O 的距离x/cm
15
20
25
20
15
12
30
10
（第9 题图）
22
第1 章
反比例函数
12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点. 已知反比例函数y =
ｋ
ｘ（k > 0 ）的图象经过点A（2，m），过点A 作AB⊥x 轴，垂足为点B，且△AOB
的面积为1.
（1）求k 和m 的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数ｙ＝ｋ
ｘ的图象上，求当1 ≤x ≤3 时，函
数值y 的取值范围.
13．如图，一块砖的A，B，C 三个面的面积之比是4 ∶2 ∶1，若把砖的B 面
向下放在地上时地面所受压强为a Pa，则把砖的A 面和C 面分别向下放在地上
时，地面所受压强分别为多大？
C!组
14．观察本章图１－3 中反比例函数ｙ＝6
ｘ的图象，猜想它是不是中心对称
图形. 如果是，它的对称中心是哪个点？下面我们来探究：
（１）在ｙ＝6
ｘ的图象的右支上任取一点Ｐａ，
6
ａ
ａ
&（a > 0），若一个一次函数
的图象经过原点和点Ｐ，求这个一次函数的表达式；
（２）若（１）中一次函数的图象与ｙ＝6
ｘ的图象的左支的交点为点Ｑ，求点
Q 的坐标；
（３）线段ＯＰ与ＯＱ相等吗？为什么？
（４）从（３）的结果看出，点Ｐ绕点Ｏ旋转１８０°得到的点是哪个点？
（５）从（４）的结果看出，把ｙ＝6
ｘ的图象的右支绕点Ｏ旋转１８０° 得到的图
（第13 题图）
（第12 题图）
23
数学
九年级上册
形是什么？
（６）同样，把ｙ＝6
ｘ的图象的左支绕点Ｏ旋转１８０° 得到的图形是什么？
（７）从（５）（６）的结果看出，ｙ＝6
ｘ的图象是中心对称图形吗？如果是，它
的对称中心是哪个点？
15．用一张薄的白纸把图中反比例函数ｙ＝２
ｘ的图象和ｘ轴、ｙ轴描下来，
试一试：沿着哪条直线翻折，可以使图象在直线两旁的部分互相重合？这
样的直线有几条？由此看出：反比例函数ｙ＝２
ｘ的图象是轴对称图形吗？如果
是，它有几条对称轴？
（第15 题图）
ｙ＝２
ｘ
24
第2 章
一元二次方程
一元二次方程
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展，
汽车已越来越多地进入了普通家庭．据某市交通部门统计，
前年该市汽车拥有量为75 万辆，两年后增加到108 万辆，
你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗？
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
什么是一元二次方程？如何解一元二次方程？一元二次
方程的根与系数之间有怎样的关系？怎样建立一元二次方程
模型来解决生活中的实际问题？本章将学习这些新内容.
第章
2
25
数学
九年级上册
一元二次方程
2.1
要建立方程，关键是找出问题中的等量关系.
（1）由于圆的半径为ｘcｍ，则它的面积为3x2 cｍ2．
根据等量关系，可以列出方程
200 × 150 - 3x2＝200 × 150 × 3
4 ．
化简，整理得
!!!!!!!!ｘ２- 2 500 ＝０．
①
（1）如图2-1 所示，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm. 现在矩形
中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的3
4 . 求挖去的圆的半径
x cm 应满足的方程（其中仔取3）；
（2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75 万辆，两年后增
加到108 万辆．求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x 应满足的方程．
图2-1
问题（1）（2）涉及的等量关系分别是：
矩形的面积- 圆的面积= 矩形的面积× 3
4
.
两年后的汽车拥有量= 前年的汽车拥有量× （1 + 年平均增长率）2.
26
第2 章
一元二次方程
方程①②中有几个未知数？它们的左边是ｘ的几次多项式？
由方程①和②受到启发，如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边
是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程
（ｑｕａｄｒａｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ），它的一般形式是
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ是已知数，ａ≠０），
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一
次项系数和常数项.
（1）3x （1 - x ）+ 10 = 2 （x + 2 ）；
（2）5x （x + 1 ）+ 7 = 5x2- 4.
解
（1）去括号，得
3x - 3x2+ 10 = 2x + 4.
移项，合并同类项，得
- 3x2+ x + 6 = 0，
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6.
（2）去括号，得
5x2+ 5x + 7 = 5x2- 4.
移项，合并同类项，得
5x + 11 = 0，
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
可以写成3x2 - x -
6 = 0 吗？
（2）该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系，可以列出方程
75 （1 + x ）2= 108.
化简，整理得
25ｘ２+ 50ｘ- 11 ＝0．
②
其中a，b，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
例如方程ｘ２- 2 500 ＝０中二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是
-2 500.
27
数学
九年级上册
习题2.1
A 组
１郾下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项
系数和常数项.
（1）x2+ 5x = 6；
（2）3x - 4 = x2；
（3）（10 - 2x ）（6 - 2x ）= 32；
（4）（3x - 2）2= 3x （3x - 5）.
2郾选择题:
（1）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55 元降到了35 元．设
平均每次降价率都为x，则平均降价率x 应满足的方程为（
）
（A）55 （1 + x ）2= 35
（B）35 （1 + x ）2= 55
（C）55 （1 －x ）2= 35
（D）35 （1 －x ）2= 55
（2）某超市1 月份的营业额为36 万元，3 月份的营业额为49 万元．设每月
营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x 应满足的方程为（
）
（A）49 （1 + x ）2= 36
（B）36 （1 －x ）2= 49摇
（C）36 （1 + x ）2 = 49
（D）49 （1 －x ）2= 36
练习
１郾请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：
2x2+ 5x = x2- 3
（x + 1 ）2- 1 = x2+ 4
3x + 5 = 2x - 1
1
x - 2 = 3
x
2郾下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次
项系数和常数项.
（1）4x2= 49；
!!!!!!!!!! （2）5x2- 2= 3x；
（3）0.01t 2= 2t；
!!!!!!!!!! （4）（9y - 1 ）（2y + 3 ）= 18y2+ 1.
一元一次方程
分式方程
一元二次方程
28
第2 章
一元二次方程
3郾已知一个数x 与比它大２的数的积等于３５. 请根据题意，列出关于x 的
方程，这个方程是一元二次方程吗？
4郾如图，将一根长为64 cm 的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形．若
两个正方形的面积和为160 cm2 ，且其中一个正方形的边长为x cm. 请根据题
意，列出关于x 的方程．
B 组
5郾下列方程中，哪些是一元二次方程？
（１）３（１＋ｘ）２＝３ｘ＋７；
（２）３（１＋ｘ）２＝ｘ（３ｘ＋７）；
（３）ｐｘ２＋ｘ－４＝ｘ（ｐｘ－１）．
6. 如图，在一块边长为x cm 的正方形铁皮的四角各截去一边长为5 cm 的
小正方形，折成一个无盖的长方体形盒子，它的容积是2 000 cm3. 请根据题意，
列出关于x 的方程.
7郾长5 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的
距离是3 m. 已知梯子底端向右滑动的距离与梯子顶
端向下滑动的距离相等. 设梯子顶端向下滑动的距离为
x m，请根据题意，列出关于x 的方程.
隰
（第6 题图）
（第4 题图）
（第7 题图）
29
数学
九年级上册
一元二次方程的解法
2.2
例1 解方程：4x2- 25 = 0.
解
原方程可化为
x2= 25
4 .
根据平方根的意义，得
x =
25
4
摇
姨
或x = -
25
4
摇
姨
，
因此，原方程的根为
x1= 5
2 ，x2= - 5
2 .
如何解本章2.1 节“动脑筋” 中的方程譹
訛：x2- 2 500 = 0 呢？
把方程譹
訛写成
x2= 2 500.
这表明ｘ是2 500 的平方根，根据平方根的意义，得
x =
2 500
姨
或x = -
2 500
姨
，
即
x1= 50，x2= -50.
对于实际问题中的方程譹
訛而言，x2 = -50 不合题意，应当舍去．而x1 = 50
符合题意，因此该圆的半径为50 cm.
使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解.
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根（root）．x1 = 50 和x2 = -50 就是方程
x2-2 500= 0 的根.
2郾2郾1
配方法
30
第2 章
一元二次方程
如何解方程（1 + ｘ）２＝81 ？
练习
1. 解下列方程：
（1）9x2- 49 = 0；
（2）36 - x2= 0；
（3）（x + 3 ）2- 36 = 0；
!
（4）9 （1 - 2x ）2- 16 = 0.
2.
（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短.
记得立契时，长阔争一半.
今问俊明公，此法如何算.
意思是：有一块面积为7 亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在
立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步①.
（1 亩= 240 步2）
①
步，古代的一种长度单位. 1 步约等于1.67 m.
例2 解方程：
（2x + 1 ）2= 2.
解
根据平方根的意义，得
2x + 1 =
2
摇姨
或2x + 1 = -
2
摇姨
，
因此，原方程的根为
x1=
2
摇姨
-1
2
，x2=-
2
摇姨
+1
2
.
通过“降次”，将一个一
元二次方程转化为两个一元
一次方程.
解方程：4（ｘ＋1 ）２- 25 = 0.
若把1 + ｘ看作一个整体，则由（1 + ｘ）２＝81，
得1 + ｘ＝
81
姨
或1 + ｘ＝－
81
姨
，即1 + ｘ＝9 或1 + ｘ＝－9．
解得ｘ1＝8，ｘ2＝- 10 .
31
数学
九年级上册
我们已经知道，如果能把方程①写成（x + n）2= d（d ≥0）的形式，那么就可
以根据平方根的意义来求解.
因此，需要在方程①的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上
4
2
2 #
2
=
22；为了使等式仍然成立，应当再减去22. 为此，把方程①写成：
x2+ 4x + 22- 22= 12，
因此，有
x2+ 4x + 22= 22+ 12.
即
（x + 2 ）2= 16.
根据平方根的意义，得
x + 2 = 4 或x + 2 = -4.
解得
x1＝2，x2= -6.
（1）
（a ± b ）2＝
；
（2）把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上适当的数，
使等式成立：
①ｘ２+ 6ｘ＋
＝（ｘ+
）2；
②ｘ２- 6ｘ＋
＝（ｘ-
）2；
③ｘ２+ 6ｘ＋5 = ｘ２+ 6ｘ+
-
+ 5 = （ｘ+
）2-
.
解方程：x2+ 4x= 12.
①
可以将“22” 换
成其他数的平方吗？
（a ± b ）2= a2± 2ab + b2.
①ｘ２+ 6ｘ＋9 ＝（ｘ+ 3 ）2；
②ｘ２- 6ｘ＋9 ＝（ｘ- 3 ）2；
③ｘ２+ 6ｘ＋5 = ｘ２+ 6ｘ＋9 - 9 + 5 = （x + 3 ）2- 4.
32
第2 章
一元二次方程
一般地，像上面这样，在方程x2 + 4x = 12 的左边加上一次项系数的一半的
平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫
作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二
次方程的方法叫作配方法（solving by completing the square）．
配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两
个一元一次方程来解.
例3 用配方法解下列方程：
（1）x2+ 10x + 9 = 0；
! （2）x2-12x-13=0.
解
（1）配方，得
x2+ 10x + 52- 52+ 9 = 0，
因此
（x + 5 ）2= 16.
由此得
x + 5 = 4 或x + 5 = -4.
解得
x1= -1，x2= -9.
（2）配方，得
x2- 12x + 62- 62- 13 = 0，
因此
（x - 6 ）2= 49.
由此得
x - 6 = 7 或x - 6 = -7.
解得
x1= 13，x2= -1.
练习
1郾填空：
（１）ｘ２＋４ｘ＋１＝ｘ２＋４ｘ＋
－
＋１＝（ｘ＋
）２－
；
（２）ｘ２－８ｘ－９＝ｘ２－８ｘ＋
－
－９＝（ｘ－
）２－
；
（３）ｘ２＋３ｘ－４＝ｘ２＋３ｘ＋
－
－４＝（ｘ＋
）２－
．
2郾用配方法解下列方程：
（1）x2+ 4x+ 3 = 0；
（2）x2+ 8x- 9 = 0；
（3）x2＋8x- 2＝0；
（4）x2- 5x- 6 ＝0.
33
数学
九年级上册
如何用配方法解本章2.1 节“动脑筋” 中的方程譺
訛：25x2+ 50x - 11 = 0 呢？
例4 用配方法解方程：4x2－12x －1 ＝0.
解
将二次项系数化为1，得
x2- 3x - 1
4 = 0.
配方，得
x2- 3x +
3
2
2 "
2
-
3
2
2 "
2
- 1
4 = 0，
因此
x- 3
2
2
"
2
= 10
4 .
由此得
x - 3
2 =
10
摇姨
2
或x - 3
2 = -
10
摇姨
2
，
解得
x1= 3 +
10
摇姨
2
，x2= 3 －
10
摇姨
2
.
如果二次项系数为1，那就好办了!
由于方程25x2 + 50x - 11 = 0 的二次项系数不为1，为了便于配方，我们可
根据等式的性质，在方程两边同除以25，将二次项系数化为1，得
x2+ 2x - 11
25 ＝0.
配方，得
x2+ 2x + 12- 12- 11
25 = 0，
因此
（x + 1 ）2= 36
25.
由此得
x + 1 = 6
5 或x + 1 = - 6
5 ，
解得
x1= 0.2，x2= -2.2.
对于实际问题的方程②而言，x2 = - 2.2 不合题意，应当舍去. 而x1 = 0.2
符合题意，因此年平均增长率为20%.
34
第2 章
一元二次方程
对于方程
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），
①
为了便于配方，在方程①的两边同除以ａ，得
ｘ２＋ｂ
ａｘ＋ｃ
ａ＝０．
练习
用配方法解下列方程：
（1）2x2= 3x - 1；
（2）3x2＋2x －3 ＝0；
（3）4x2- x －9 ＝0；
（4）- x2+ 4x - 12 = 0.
解方程：- 2x2+ 4x - 8 = 0.
将上述方程的二次项系数化为1，得x2- 2x + 4 = 0.
将其配方，得x2- 2x + 12- 12+ 4 = 0，即（x-1）2= -3.
因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，
因此，（x-1）2= -3 不成立，即原方程无实数根.
运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使
用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次
方程
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）
使用配方法，求出这个方程的根呢？
2郾2郾2
公式法
35
数学
九年级上册
ｘ＝－ｂ±
ｂ２－４ａｃ
姨
２ａ
（ｂ２－４ａｃ≥０）．
例5 用公式法解下列方程：
（1）x2- x - 2 ＝0；
（2）x2- 2x ＝1.
解
（1）这里a ＝1，b ＝-1，c ＝-2.
我们通常把这个式子叫作一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式.
由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定，这也反
映出了一元二次方程的根与系数a，b，c 之间的一个关系.
今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程
的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法（solving by formula）.
于是，一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）在ｂ２－４ａｃ≥０的条件下，它的
根为：
把方程的左边配方，得
ｘ２＋ｂ
ａｘ+
b
2a
a &
2
-
b
2a
a &
2
+ ｃ
ａ＝０，
因此
x + b
2a
a
&
2
＝ｂ２－４ａｃ
4ａ2
．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!②
当ｂ２－４ａｃ≥０时，方程②可化为
x + b
2a
a
&
2
=
ｂ２－４ａｃ
姨
2a
a
&
2
．
根据平方根的意义，得
ｘ＋ｂ
２ａ=
ｂ２－４ａｃ
姨
2a
或ｘ＋ｂ
２ａ= -
ｂ２－４ａｃ
姨
2a
.
解得
ｘ1 ＝－ｂ+
ｂ２－４ａｃ
姨
２ａ
，
ｘ2 ＝－ｂ-
ｂ２－４ａｃ
姨
２ａ
．
这就将一元二
次方程转化为了两
个一元一次方程.
为什么要加上
b
2a
a &
2
？
36
第2 章
一元二次方程
练习
用公式法解下列方程：
（1）x2－6x ＋1 ＝0；
（2）2t2－t ＝6；
（3）4x2－3x －1 ＝x －2；
（4）3x ( x －3 ) ＝2（x －1 ）（x ＋1）.
先将方程化为一般形
式，再确定a，b，c 的值.
解方程：x2- 3x = 0.
①
此时方程的两个实数
根相等.
因而
b2－4ac ＝（- 1 ）2－4 × 1 × （- 2 ）＝1 ＋8 ＝9 ＞0，
所以
x ＝1 ±
9
摇姨
2 × 1
＝1 ± 3
2
.
因此，原方程的根为x1＝2，x2＝-1.
（2）移项，得
x2- 2x - 1 ＝0，
这里a ＝1，b ＝-2，c ＝-1.
因而
b2－4ac ＝（- 2 ）2- 4 × 1 × （- 1 ）= 8 ＞0，
所以
x ＝2 ±
8
摇姨
2
＝1 ±
2
摇姨
.
因此，原方程的根为x1＝1 +
2
摇姨
，x2＝1 -
2
摇姨
.
例6 用公式法解方程：9x2+ 12x + 4 = 0.
解
这里a ＝9，b ＝12，c ＝4.
因而
b2－4ac ＝122- 4 × 9 × 4 = 0，
所以
x ＝－12 ±
0
摇姨
2 × 9
＝- 2
3 .
因此，原方程的根为x1＝x2＝- 2
3 .
2郾2郾3
因式分解法
37
数学
九年级上册
像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法
（solving by factorization）.
请用公式法解方程x2- 3x = 0 ，并与上面的因式分解法进行比较，你觉得
用哪种方法更简单？
例7 用因式分解法解下列方程：
（1）x （x - 5 ）= 3x ；
（2）2x （5x - 1 ）= 3 （5x - 1）；
（３）（３５－２x ）2- 900 = 0.
解
（1）原方程可化为
x2- 8x = 0.
把方程左边因式分解，得
x （x - 8 ）= 0，
由此得
x = 0 或x - 8 = 0.
解得
x1= 0 ，x2= 8.
（2）原方程可化为
2x （5x - 1 ）- 3 （5x - 1 ）= 0.
把方程左边因式分解，得
（5x - 1 ）（2x - 3 ）= 0，
由此得
5x - 1 = 0 或2x - 3 = 0.
解得
x1= 1
5 ，x2= 3
2 .
可以用公式法求解.
方程①的左边提取公因
式x，得x（x-3）= 0.
由此得x = 0 或x - 3 = 0.
即x1= 0，x2= 3.
若ab= 0，则a=0 或b=0. #
利用因式分解法解一元
二次方程的实质也是将一个
一元二次方程“降次”，转化
为两个一元一次方程.
38
第2 章
一元二次方程
（３）原方程可化为
（35 - 2x ）2- 302= 0.
把方程左边因式分解，得
（３５－２x + 30 ）（35 - 2x - 30 ）= 0.
由此得
65 - 2x = 0 或5 - 2x = 0.
解得
x1= 32.5，x2= 2.5.
例8 用因式分解法解方程：x2- 10x + 24 = 0.
解
配方，得
x2- 10x + 52- 52+ 24 = 0，
因而
（x - 5 ）2- 12= 0.
把方程左边因式分解，得（x - 5 + 1 ）（x - 5 - 1 ）= 0，
即
（x - 4 ）（x - 6 ）= 0，
由此得
x - 4 = 0 或x - 6 = 0.
解得
x1= 4，x2= 6.
由例8 可以看出，若我们能把方程x2 + bx + c = 0 的左边进行因式分解后，
写成
x2+ bx + c = （x - d ）（x - h）= 0，
则d 和h 就是方程x2+ bx + c = 0 的根.
反过来，如果d 和h 是方程x2 + bx + c = 0 的根，则方程的左边就可以分
解成
x2+ bx + c = （x - d ）（x - h）.
练习
1. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2- 7x= 0；
（2）x（x- 3 ）= 5x；
（3）4x2- 20x+ 25 = 0；
（４）（x+ 1）2- 4 = 0.
2. 用因式分解法解下列方程：
（1）2x（x- 1）= 1- x；
（2）5x（x+ 2）= 4x+ 8；
（3）（x- 3 ）2- 2= 0；
（4）x2+ 6x+ 8 = 0.
39
数学
九年级上册
下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由.
（1）x2- 4x = 0；
（2）2x2+ 4x - 3 = 0；
（3）x2+ 6x + 9 = 16.
例9 选择合适的方法解下列方程：
（1）x2+ 3x = 0；
! （2）5x2- 4x - 1 = 0；
（3）x2+ 2x - 3 = 0.
解
（1）将方程左边因式分解，得x （x + 3 ）= 0，
由此得
x = 0 或x + 3 = 0.
解得
x1 = 0，x2= -3.
（2）这里a = 5，b = -4，c = -1.
因而
b2- 4ac = （- 4 ）2- 4 × 5 × （- 1 ）= 36，
所以
x = 4 ±
36
摇姨
2 × 5
= 4 ± 6
10
.
因此，原方程的根为x1 = 4 + 6
10
=1，x2= 4 - 6
10
= - 1
5 .
（3）原方程可化为
x2+ 2x + 1 - 4 = 0，
即
（x + １）2= 4，
由此得
x + 1 = 2 或x + 1 = -2.
解得
x1 = 1，x2= -3.摇
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体
的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
公式法适用于所有一元二次方程. 因式分解法（有时需
要先配方）适用于所有一元二次方程.
40
第2 章
一元二次方程
练习
选择合适的方法解下列方程：
（1）3x2－4x ＝2x；
（2）
1
3 （x ＋3 ）2＝1；
（3）x2＋（
3
摇姨
＋1 ）x ＝0；
（4）x （x －6 ）＝2（x －8）；
（5）（x ＋1 ）（x －1 ）＝2
2
摇姨
x；
（6）x （x ＋8 ）＝25；
（7）（x ＋2）（x －5 ）＝1；
（8）（2x ＋1 ）2＝2（2x ＋1）.
配方法是为了推导出求根公式，以及先配
方，然后用因式分解法.
总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次
方程，即降次，其本质是把方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠0 ）的左边的二次多项式分
解成两个一次多项式的乘积，即ax2 + bx + c = a （x - x1）（x - x2），其中x1 和x2
是方程ax2+ bx + c = 0 的两个根.
习题2.2
A 组
１郾根据平方根的意义解下列方程：
（1）25x2- 9 = 0；
（2）64 - 9x2= 0；
（3）（3 - 2x ）2= 1；
（4）（1 - x ）2- 3 = 0.
2郾用配方法解下列方程：
（1）x2+ 2x - 8 = 0；
（2）x2- 7x + 6 = 0；
（3）x2+ 4x - 1 = 0.摇
3郾用配方法解下列方程：
（1）2x2- 5x + 3 = 0；
（2）- 3x2- 6x + 4 = 0；
41
数学
九年级上册
（3）4x2- 6x - 3 = 0.
4郾用公式法解下列方程：
（1）x2- 10x + 21 = 0；
（2）x2- 3x - 1 = 0；
（3）x2- 7x + 11 = 0；
（4）- 5x2= 2x - 1.
5郾用因式分解法解下列方程：
（1）6x2+ x = 0；
（2）0.2t2- 3t = 0；
（3）x （2- 3x ）+ （3x - 2）= 0；
（4）3 （x - 5 ）2= x2- 25；
（５）x2+ 3x - 28 = 0.
6郾已知y1＝ｘ２- ２ｘ+ 3，y2＝3ｘ- 1，当ｘ为什么值时，y1 与y2 相等？
7郾选择合适的方法解下列方程：
（1）3x （2x - 7 ）= 5x2；摇
（2）（1 - 3x ）2= 4x2；
（3）（5x - 2）2= 3 （5x - 2）；
（4）x2- 9 = 2
3
摇姨
x .
B!组
8郾解下列方程：
（1）（x + 1 ）2－2（x + 1 ）（2- x ）+ （2- x ）2= 0；
（2）（1 + 2x ）2= （x + 4 ）2.
9郾已知关于x 的方程（ｍ+ 1 ）xｍ2 + 1+ （ｍ- 3 ）x - 1 = 0.
（1）当ｍ为何值时，它是一元一次方程；
（2）当ｍ为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的根.
10郾先化简，再求值：
x + 1 -
3
x - 1
1
#÷ x2- 4x + 4
x - 1
，
其中x 满足方程：x2+ x - 6 = 0.
42
第2 章
一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2.3
将方程ax2+ bx + c = 0 （a ≠0 ）配方后得到
x+ b
2a
a
#
2
= b2-4ac
4a2
.
由于a ≠0 ，所以4a2＞0 ，因此我们不难发现：
（1）当b2－4ac ＞0 时，b2－4ac
4a2
＞0.
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
x1= －b +
b2－4ac
摇姨
2a
，x2= －b －
b2－4ac
摇姨
2a
.
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）当b2－4ac ＝0 时，b2－4ac
4a2
= 0.
由于0 的平方根为0，所以原方程的根为
x1＝x2＝－b
2a.
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当b2－4ac ＜0 时，b2－4ac
4a2
＜0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.
我们在运用公式法求解一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠0 ）时，总是要
求b2－4ac≥0. 这是为什么？
因此，若方程要有实数根，
则b2－4ac 必须为非负数.
关于在b2 －4ac ＜0 时方
程的根的情况，我们将在高
中阶段学习.
43
数学
九年级上册
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
（1）3x2+ 4x - 3 = 0；
（2）4x2= 12x - 9；
（3）7y = 5 （y2+ 1 ）.
解
（1）因为驻= b2－4ac = 42- 4 × 3 × （- 3 ）
摇
= 16 + 36 = 52 ＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2）将原方程化为一般形式，得
4x2- 12x + 9 = 0 .
因为驻= b2－4ac = （- 12 ）2- 4 × 4 × 9
= 144 - 144 = 0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2- 7y + 5 = 0.
因为驻= b2－4ac = （- 7 ）2- 4 × 5 × 5
摇
= 49 - 100 = - 51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
当驻＞0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
ｘ1＝－ｂ+
ｂ２－４ａｃ
姨
２ａ
，
ｘ2＝－ｂ-
ｂ２－４ａｃ
姨
２ａ
；
当驻= 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为
ｘ1＝ｘ2= －b
2a；
当驻＜0 时，原方程没有实数根.
要先将方程化为一般
形式，才能确定a，b，c
的值.
我们把b2 －4ac 叫作一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠0 ）的根的判别式
（discriminant），记作“驻”，即驻= ｂ２－４ａｃ.
综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠0 ）的根的情
况可由驻= ｂ２－４ａｃ来判断：
44
第2 章
一元二次方程
A 组
１郾一元二次方程3x2- 2x - 1 ＝0 的根的情况为（摇
）
（A）有两个相等的实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根
（D）没有实数根
2郾不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
（1）3x2- 4x + 1 = 0；
（2）3x2- 6x + 1 = 0；
（3）x （x + 8 ）= 16；
（4）（x + 2）（x - 5 ）= 1.
B 组
3郾不解方程，利用判别式判断方程
x2- （1 + 2
3
摇姨
）x + 3 +
3
摇姨
= 0
的根的情况.
4. 先阅读下面的材料：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），如果方程有两个不相等的实数根，
那么驻＞0 ；如果方程有两个相等的实数根，那么驻= 0 ；如果方程没有实数根，
那么驻＜0 .
再解答下面的题目：
当t 取什么值时，关于x 的一元二次方程x2+ x + t = 2t - 1，
（1）有实数根；
（2）没有实数根.
习题2.3
练习
1. 一元二次方程x2- x ＋1 ＝0 的根的情况为（摇
）
（A）有两个相等的实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根
（D）没有实数根
2. 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
（1）x2+ 3x - 1 = 0；
（2）x2- 6x + 9 = 0；
（3）2y2- 3y + 4 = 0；
（4）x2+ 5 = 2
5
摇姨
x.
45
数学
九年级上册
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），当驻≥0 时，该方程的根与它的系数之
间有什么关系呢？
一元二次方程根与系数的关系
鄢2.4
（１）先解方程，再填表：
由上表猜测：若方程x2+ bx + c = 0 的两个根为x1，x2，则
x1+ x2=
，x1·x2=
；
（２）方程x2- 5x + 6 = 0 的两个根为x1=
，x2=
，
根据2.2 节例8 下面的一段话，得x2- 5x + 6 = （x -
）（x -
）.
我们已经知道，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠0 ）的根的值由方程的
系数a，b，c 来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
x2－2x ＝0
x2－5x - 6 ＝0
方
程
x1
x2
x1+ x2
x1·x2
x2＋3x －4 ＝0
0
2
当驻≥0 时，设ax2+ bx + c = 0 （a ≠0 ）的两个根为x1，x2，则
ax2+ bx + c = a （x - x1 ）（x - x2）
= a ［x2- （x1 + x2）x + x1x2］，
又
ax2+ bx + c = a x2+ b
a x + c
a
a
&，
鄢
本节为选学内容.
46
第2 章
一元二次方程
这表明，当驻≥0 时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数
项与二次项系数的比.
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2 的和
与积：
（1）2x2- 3x + 1 = 0；
（2）x2- 3x + 2 = 10；
（3）7x2- 5 = x + 8.
解
（1）x1＋x2= - －3
2 = 3
2 ，x1x2= 1
2 .
（2）整理，得x2- 3x - 8 = 0，所以
x1+ x2= - （- 3 ）= 3，x1x2= -8.
（3）整理，得7x2- x - 13 = 0，所以
x1+ x2= - －1
7 = 1
7 ，x1x2= - 13
7
= - 13
7 .
例2 已知关于x 的方程x2 ＋3x ＋q ＝0 的一个根为-3，求它的另一个根及
q 的值.
解
设x2+ 3x + q = 0 的另一个根为x2，则
（- 3 ）+ x2= -3.
解得
x2= 0.
由根与系数之间的关系得
q = （- 3 ）× 0 = 0.
因此，方程的另一个根是０，q 的值为0.
这个关系通常被称为
韦达定理.
还可用其他方法求出
q 的值吗？
于是
x2+ b
a x + c
a = x2- （x1+ x2）x + x1x2.
根据七年级上册教科书2.5 节关于两个多项式相等的规定，得
b
a = - （x1+ x2），
c
a ＝x1x2.
即
x1+ x2= - b
a ，x1x2＝c
a .
47
数学
九年级上册
练习
1. 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积：
（1）x2－6x ＋1 ＝0；
!!!! （2）2x2－x ＝6.
2. 已知方程3x2- 19x + m = 0 的一个根为1，求它的另一个根及m 的值.
习题2.4
A!组
１郾
（1）设方程x2－4x －1 = 0 的两个根为x1 与x2，则x1x2=
；
（2）设方程x2+ 5x ＋6 ＝0 的两根为x1 与x2，则x1+ x2=
.
2郾设x1，x2 是方程3x2+ 2x - 3 ＝0 的两个根，求下列各式的值：
（1）x1+ x2；
!!!! （2）x1x2.
3. 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx ＋3 ＝0 的一个根为-1，求它的另一个
根及m 的值.
B!组
４. 已知关于x 的一元二次方程x2－6x + k + 1 = 0 的两个实数根为x1，x2，且x1
2+
x2
2= 24 ，则k 的值是多少？
５郾已知关于x 的一元二次方程x2 －2x －a = 0的两个实数根为x1，x2，且
1
x1
+ 1
x2
= －2
3 ，求a 的值．
48
第2 章
一元二次方程
一元二次方程的应用
2.5
一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用．
某省农作物秸秆资源巨大，但合理利用量十
分有限. 为推进资源节约集约利用，该省准备引进
适用的新技术来提高秸秆的合理利用率. 若今年的
利用率为40%，计划后年的利用率达到90%，求
这两年秸秆利用率的年平均增长率（假定该省每
年产生的秸秆总量不变）.
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：
今年的利用率× （1 + 年平均增长率）2= 后年的利用率.
设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：
40% （1 + x ）2= 90%.
整理，得
（1 + x ）2= 2.25.
解得
ｘ1 ＝0.5 = 50%，ｘ2 ＝- 2.5 （不合题意，舍去）．
因此，这两年秸秆利用率的年平均增长率为50%.
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次
降价，每瓶零售价由100 元降为81 元. 求平均每次降价的百分率．
分析
问题中涉及的等量关系是：
原价× （1 - 平均每次降价的百分率）2＝现行售价.
解
设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得
100 （1 - x ）2= 81.
整理，得
（1 - x ）2= 0.81.
解得
摇x1 = 0.1＝10%，x2 = 1.9（不合题意，舍去）.
答：平均每次降价的百分率为10%.
为什么x = 1.9 不
合题意呢？
49
数学
九年级上册
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
例2 某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品. 若每件商品的售价
为x 元，则可卖出（350 - 10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价
的120％. 若该商店计划从这批商品中获取400 元利润（不计其他成本），问需要
卖出多少件商品，此时的售价是多少？
分析
本问题中涉及的等量关系是：（售价- 进价）× 销售量= 利润.
解
根据等量关系得
（x - 21 ）（350 - 10x ）= 400.
整理，得
x2- 56x + 775 = 0.
解得
x1= 25，x2= 31.
又因为21 × 120 % = 25.2，即售价不能超过25.2 元，所以x = 31 不合题意，
应当舍去. 故x = 25，从而卖出350 - 10x = 350 - 10 × 25 = 100 （件）.
答：该商店需要卖出100 件商品，且每件商品的售价是25 元.
实际问题的解
检验
分析数量关系
一元二次方程的根
设未知数
实际问题
建立一元二
次方程模型
解一元二次方程
练习
1. 某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2
万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？
2. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20
件，每件可盈利44 元．若每件降价1 元，则每天可多售
出5 件．若要平均每天盈利1 600 元，则应降价多少元？
50
第2 章
一元二次方程
如图2-２，在一长为40 cm、宽为28 cm 的矩形铁皮的四角截去四个全等
的小正方形后，折成一个无盖
的长方体形盒子. 若已知长方体
形盒子的底面积为364 cm2，求
截去的四个小正方形的边长.
图2-2
将铁皮截去四个小正方形后，可以得到图２－３．这个
长方体形盒子的底面就是图2-3 中的阴影部分，因此本问
题涉及的等量关系是：
盒子的底面积＝盒子的底面长× 盒子的底面宽.
图2-3
设截去的小正方形的边长为ｘｃｍ，则无盖长方体形盒子的底面长与宽分别
为（４０－２ｘ）ｃｍ，（２８－２ｘ）ｃｍ. 根据等量关系，可以列出方程
（４０－２ｘ）（２８－２ｘ）＝３６４．
整理，得
ｘ２－３４ｘ＋１８９＝０．
解得
ｘ1 ＝２７，ｘ2 ＝７．
如果截去的小正方形的边长为２７ｃｍ，那么左下角和右下角的两个小正方
形的边长之和为５４ｃｍ，这超过了矩形铁皮的长度（４０ｃｍ）．因此ｘ1 ＝２７不合题
意，应当舍去．
因此，截去的小正方形的边长为７ｃｍ．
图2-5
例3 如图2-4，一长为32 m、宽为20 m 的矩形地面上修建有同样宽的
道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为540 m2，求道路
的宽.
图2-4
51
数学
九年级上册
为什么x = 50 不合题意？
分析
虽然“整个矩形的面积- 道路所占面积= 绿化面积”，但道路不是
规则图形，因此不便于计算！若把道路平移，则可得到图2-5，此时绿化部分
就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系：矩形的面积= 矩形的
长× 矩形的宽，就可建立一个一元二次方程．
解
设道路宽为x m，则新矩形的长为（32 - x）m，宽为（20 - x）m.
根据等量关系得
（32 - x）（20 - x）= 540.
整理，得
x2- 52x + 100 = 0.
解得
x1= 2，x2= 50 （不合题意，舍去）.
答：道路宽为2 m.
例4 如图2-6 所示，在△ABC 中，∠C = 90°，
AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点P 沿AC 边从点A 向终点C
以1 cm/s 的速度移动；同时点Q 沿CB 边从点C 向
终点B 以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点
时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q 出发几秒后，
可使△PCQ 的面积为9 cm2？
解
设点P，Q 出发x s 后可使△PCQ 的面积为9 cm2.
根据题意得AP = x cm，PC = （6 - x）cm，CQ = 2x cm.
则由S△PCQ= 1
2 PC·CQ 可得
1
2·（6 - x）·2x = 9.
整理，得
! ! x2- 6x + 9 = 0.
解得
! ! ! x1= x2= 3.
答：点P，Q 同时出发3 s 后可使△PCQ 的面积为9 cm2.
图2-6
练习
1. 如图，在长为100 m、宽为80 m 的矩形地面上
要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进
行绿化．若要使绿化面积为7 644 m2，则道路的宽应为
多少米？
（第1 题图）
52
第2 章
一元二次方程
（第4 题图）
习题2.5
A 组
1. 某市政府为落实保障性住房政策，去年已投入3 亿元资金，并规划投入
资金逐年增加，明年将投入12 亿元资金用于保障性住房建设. 求这两年中投入
资金的年平均增长率.
2郾某店只销售某种进价为40 元/ kg 的特产．已知该店按60 元/ kg 出售时，
平均每天可售出100 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1 元，则平均每
天的销售量可增加10 kg．若该店销售这种特产计划平均每天获利2 240 元.
（1）每千克该种特产应降价多少元？
（2）为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？
3郾某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m 的长方形空地，建成一个矩形
花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，
如图所示. 要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
（注：所有小道进出口的宽度相等.）
2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，AC = 8 cm，
BC = 6 cm. 点P，Q 同时从A，B 两点出发，分别沿AC，
BC 向终点C 移动，它们的速度都是1 cm / s ，且当其中一
点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q 出发
几秒后可使△PCQ 的面积为Rt△ABC 面积的一半？
（第2 题图）
（第3 题图）
4郾如图是某年8 月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3 个位
53
数学
九年级上册
置相邻的9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9 个数
中，最大数与最小数的积为192，求这9 个数中的最大数．
B 组
5郾某旅行社在某地组织旅游团到北京旅游参观，
每人的交通费、住宿费、门票费等费用共需３２００
元，如果把每人收费标准定为４６００元，那么只有２０
人参加旅游团；高于４６００元时，没有人参加；从
４６００元每降低１００元，参加人数就增加１０人．每人
收费标准定为多少时，该旅行社从这个旅游团可获取
利润６４０００元？
6郾（古代数学问题）直田积八百六十四步，
只云长阔共六十步，
问长多阔几何．
——
—摘自古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》
意思是：一块矩形田地的面积为864 平方步，只知道它的长与宽共60 步，
问它的长比宽多多少步？
7郾如图，在矩形ABCD 中，BC = 24 cm，P，Q，M，N 分别从点A，B，C，
D 同时出发，分别沿边AD，BC，CB，DA 移动，且
当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点
也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ = x cm
（x≠0），则AP = 2x cm，CM = 3x cm，DN = x2 cm．
（1）当x 为何值时，P，N 两点重合？
（2）问Q，M 两点能重合吗？若Q，M 两点能重
合，则求出相应的x 的值；若Q，M 两点不能重合，请说明理由.
（3）当x 为何值时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？
（第7 题图）
54
第2 章
一元二次方程
小结与复习
回顾
本章知识结构
注意
1. 什么样的方程是一元二次方程？它的一般形式是什么？
2. 分别举例说明如何运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
3. 如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否有实根？
*4. 一元二次方程的根与系数之间有什么关系？
5. 利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？
1. 一元二次方程的二次项系数不能为0.
2. 解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、因式分解法，使用时要
根据方程的特征灵活选择合适的方法. 解一元二次方程的基本思路是——
—降
次，其本质是将一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）左边的二次多项式进行因式
分解，转化为一元一次方程来求解.
3. 建立一元二次方程模型解决实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分
析，在得到方程的根之后，还需检验所得根是否符合题意. 在这种“问题情境—
建立模型—求解验证” 的过程中，我们需进一步体会模型思想.
一元二次方程的有关概念
一元二次方程
公式法
一元二次方程的解法
因式分解法
配方法
一元二次方程根的判别式
* 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的应用
55
数学
九年级上册
复习题2
A 组
1. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、
一次项系数和常数项.
（1）5x2= 49；
（2）6x2- 7x2= 3x + 5；
（3）0 . 01t2- 3t = 2t - 1；
（4）（2y - 1 ）（2y + 5 ）= 6y + 4.
2. 解下列方程：
（1）49x2- 144 = 0；
（2）（1 - x ）2= 1；
（3）x2+ 8x + 16 = 0；
（4）x （7 - x ）= 4x2；
（５）x （x - 2）- 3x2= 0；
（６）x2- 4x + 4 = 64.
3. 解下列方程：
（1）2x2- 6x - 3 = 0；
（2）x （x + 5 ）= 24；
（3）x （x + 1 ）+ 2（x - 1 ）= 0；
（４）（x - 3 ）2+ 2x （x - 3 ）= 0；
（５）３（x - 2）2= x （x - 2）.
4. 不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
（１）4x2+ 6x + 9 = 0；
（２）y2= y + 5.
*5. 设x1，x2 是方程2x2- 6x + 3 = 0 的两根，求下列各式的值：
（1）x1+ x2；
（2）x1·x2；
（3）x1
2+ x2
2.
*6. 若方程x2- 3x - 1 = 0 的两根为x1，x2，求1
x1
+ 1
x2
的值.
7. 已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
8. 北京奥运会的主会场“鸟巢” 给世人留下了深刻的记忆．据了解，在鸟
巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从最初的54 000 t 减少
到42 000 t．求平均每次用钢量降低的百分率x（精确到1%）．
56
第2 章
一元二次方程
9郾将一块长方形桌布铺在长为1.5 m、宽为1 m
的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的
面积是桌面面积的2 倍. 求桌布下垂的长度.
10. 如图为一张方格纸，纸上有一三角形（上色部
分），其顶点均位于网格线的交点上. 若上色部分的三角形面积为15.75 cm2，则
此方格纸的面积为多少？
11. 现有一块矩形钢板ABCD，长AD = 7.5 m，宽AB = 5 m．在这块钢板上
截除两个正方形得到如图所示的模具（阴影部分所示）．已知BE = DF，且模具的
面积等于原矩形钢板的面积的一半，求DF 的长（精确到0.1 m）.
12. 如图，在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 10 cm，
BC = 6 cm. 现有两点P，Q 分别从点A 和点Ｃ同时出发，
沿边AB，CB 向终点B 移动. 已知点P，Q 的速度分别为
2 cm / s ，1 cm / s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随
之停止移动. 设P，Q 两点移动时间为x s．问是否存在这样
的x，使得四边形APQC 的面积等于16 cm2？若存在，请求
出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
B 组
13. 解下列方程：
（1）（3x + 5 ）2- 6 （3x + 5 ）+ 9 ＝0；
（2）x2+ ax - 2a2＝0 （a 为常数）.
14. 已知a，ｂ，ｃ分别是△ABC 的三边，其中a ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程
x2- 4x + b = 0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.
*15. 设x1，x2 是关于x 的方程x2 －4x + k + 1 = 0 的两个实数根．请问：是否
存在实数k，使得x1·x2> x1+ x2 成立？试说明理由．
（第10 题图）
（第11 题图）
（第12 题图）
57
数学
九年级上册
16. 已知荀ABCD 的两邻边AB，AD 的长是关于x 的方程x2- mx + m
2 - 1
4 = 0
的两个实数根．
（1）当m 为何值时，
荀ABCD 是菱形？并求出这时菱形的边长.
（2）若AB 的长为2，那么荀ABCD 的周长是多少？
C 组
17郾如图，一块矩形地，长为x m，宽为120 m，
建筑商将它分为甲、乙、丙三个区域，甲、乙为正
方形. 现计划甲区域建筑住宅区，乙区域建筑商场，
丙区域开辟为公园. 若已知丙区域的面积为3 200 m2，
试求x 的值.
18. 有如下问题：
“平面上，分别有2 个点，3
个点，4 个点，5 个点，…，n 个点，其中任意3 个点都不在一条直线上．经过
每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？” 为了解决这一问题，小明设
计了如下图表进行探究：
（1）请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论；
（2）若某人共画了171 条直线，则该平面上共有多少个点？
（第17 题图）
点数
示意图
直线
条数
2
3
4
5
…
n
1
2 + 1 = 2× 3
2
3 + 2 + 1 = 3 × 4
2
4+3+2+1= 4 × 5
2
…
…
58
第2 章
一元二次方程
花剌子米与《代数学》
阿拉伯数学家阿尔·花剌子米（al鄄
Khwārizmi，约780—约850）是对欧洲数学
影响最大的中世纪阿拉伯数学家之一. 他
出生于波斯北部的花剌子模（今属乌兹别克
斯坦），后定居巴格达. 他在820 年前后所
著的《还原与对消计算概要》（al鄄Kitāb al鄄
mukhtasar fī hisāb al鄄jabr wa′l鄄muqābala）一
书在12 世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了
巨大影响．阿拉伯语“al鄄jabr”，意为还原，
即移项；
“wa′l鄄muqābala”，意为对消，即
同类项合并. 该书传入欧洲后，到14 世纪，
“al鄄jabr” 演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）
一词的来源，因此花剌子米的这一著作通常也被称为《代数学》.
《代数学》用十分简单、通俗易懂的例题讲述了解方程的一般原理．正
像花剌子米在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数
学中最容易和最有用途的，是人们在处理下列事物中经常需要的：在继
承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等
各种场合中，……”
《代数学》首先指出，该书的主要问题都是由根（x）、平方（x2）和数
（常数）这三者组成. 接着分6 章叙述了6 种类型的一、二次方程求解
问题：
1．平方等于根，即ax2 = bx 型;
2．平方等于数，即ax2 ＝b型;
3．根等于数，即ax = b 型;
4．平方和根等于数，即x2 ＋px = q型;
花剌子米
第2 章
一元二次方程
59
数学
九年级上册
5．平方和数等于根，即x2＋q ＝px型;
6．根和数等于平方，即x2＝px ＋q型.
这6 种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式：
x2＋px + q ＝0．
这样，花剌子米相当于获得一般的求根公式
x=- p
2 ±
p
2
2 "
2-q
姨
．
花剌子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原” 和“对消” 的步
骤化成他所讨论的6 种类型方程. 由此可见，《代数学》关于方程的讨论已
超越传统的算术方式，具有明显的代数意义.
在花剌子米的《代数学》一书中，用代数方式处理了线性方程组与二
次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时
又引进了移项、合并同类项等代数运算，这一切为作为“解方程的科学”
的代数学开拓了道路. 花剌子米的讲解是如此详尽和系统，使读者很容
易掌握其解法．该书在1140 年被英国人罗伯特翻译成拉丁文，并作为标
准的数学课本在欧洲使用了数百年，这对欧洲数学的发展产生了重要的
影响.
数学
九年级上册
60
第3 章
图形的相似
图形的相似
第章
3
在日常生活中，我们常常看到一些由一个图形按一定
的比例放大或缩小得到的图形，例如用一张底片洗出来的
大小不同的照片，又如把一个图形通过复印机放大或缩小
印出的图形. 我们把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原
图形称为相似的图形.
如何判断两个三角形是相似三角形呢？相似三角形有
哪些性质呢？如何运用这些性质去解决实际问题呢？怎样
把图形放大或缩小呢？本章将学习这些新知识.
61
数学
九年级上册
比例线段
3.1
3郾1郾1
比例的基本性质
在小学，我们就已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，
就说这四个数成比例．
现在我们学习了实数，把这四个数理解为实数，写成式子就是，如果
a ∶b = c ∶d 或a
b = c
d ，
则称a，b，c，d 成比例，其中b，c 称为比例内项，a，d 称为比例外项．
如果四个数ａ，ｂ，ｃ，ｄ成比例，即
ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!①
那么ａｄ＝ｂｃ吗？
如果ａ
ｂ＝ｃ
ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．
在①式两边同乘ｂｄ，得
ａｄ＝ｂｃ．
由此得到比例的基本性质：
如果ad = bc，其中a，b，c，d 为非零实数，那么a
b = c
d 成立吗？
62
第3 章
图形的相似
例1 已知四个非零实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ成比例，即
ａ
ｂ＝ｃ
ｄ.
①
下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
ｂ
ａ＝ｄ
ｃ，
!!!!!!!!
!!!!!!②
ａ
ｃ＝ｂ
ｄ，
③
ａ＋ｂ
ｂ
＝ｃ＋ｄ
ｄ
.
④
解
由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立．
由①式得
ａｄ＝ｂｃ．
在上式两边同除以ｃｄ，得
ａ
ｃ＝ｂ
ｄ．
在①式两边都加上１，得
ａ
ｂ＋１＝ｃ
ｄ＋１．
由此得到
ａ＋ｂ
ｂ
＝ｃ＋ｄ
ｄ
．
例2 根据下列条件，求a∶b 的值：
（1）4a = 5b；
（2）
a
7 = b
8 ．
解
（1）∵
4a = 5b，∴
a
b = 5
4 .
（2）∵
a
7 = b
8 ，∴
8a = 7b，∴
a
b = 7
8 .
练习
1. 已知四个数ａ，ｂ，ｃ，ｄ成比例.
（1）若a＝- 3，b ＝9，c ＝2，求d；
（2）若a＝- 3，b ＝
3
摇姨
，c ＝2，求d．
2. 求下列各式中x 的值.
（1）4 ∶15 = x ∶9；
（2）
1
2 ∶1
3 = 3
5 ∶x .
63
数学
九年级上册
AB =
2
摇姨
，BC = 2 ，Ａ′Ｂ′ = 2
2
摇姨
，Ｂ′C′ = 4 ，…
3郾1郾2
成比例线段
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为ｍ，
ｎ，那么把它们的长度的比m
ｎ叫作这两条线段AB 与A′B′的比（ｒａｔｉｏ），记作
AB
A′B′ ＝ｍ
ｎ，
或
AB ∶A′B′＝m ∶n .
如果m
n 的比值为ｋ，那么上述式子也可写成
AB
A′B′ ＝ｋ，
或
AB ＝ｋ·A′B′．
在图3-1 中，对于△ABC 和△A′B′C′，有
ＡＢ
Ａ′Ｂ′ ＝BC
B′C′ ＝AC
A′C′ = 0.5.
图３-1
它们的比值都为0.5.
如图3-1，在方格纸上（设小方格边长
为单位1）有△ABC 和△A′B′C′，它们的顶
点都在格点上. 试求出线段AB，BC，
AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB
与A′B′，BC 与B′C′，AC 与A′C′的长度的
比值.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这
四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ）．
例如，已知四条线段a，b，c，d，若a
b = c
d ，则a，b，c，d 是比例线段.
64
第3 章
图形的相似
类似地，如果ＡＢ
Ａ′Ｂ′ = BC
B′C′ = AC
A′C′ ，那么称线段AB，BC，AC 与线段
A′B′，B′C′，A′C′对应成比例.
例3 已知线段a，b，c，d 的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，
问a，b，c，d 是比例线段吗？
解
∵
a
b = 0.8
2
= 0.4，c
d = 1.2
3
= 0.4，
∴
a
b = c
d ，即a，b，c，d 是比例线段.
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（Ｅｕｄｏｘｕｓ，约前400—约前347）曾经
提出一个问题：
能否将一条线段ＡＢ分成不相等的两部分，使较短线段ＣＢ与较长线段ＡＣ
的比等于线段ＡＣ与原线段ＡＢ的比？
即，使得
ＣＢ
ＡＣ＝ＡＣ
ＡＢ
!!!
①
成立？如果这能做到的话，那么称线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割（ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ），
点Ｃ叫作线段ＡＢ的黄金分割点，较长线段ＡＣ与原线段ＡＢ的比叫作黄金分
割比．
运用一元二次方程的知识，可以求出黄金分割比的数值①.
如图3-2，设线段ＡＢ的长度为１个单位，点C
为线段AB 上一点，且ＡＣ的长度为ｘ个单位，则
ＣＢ的长度为（１－ｘ）个单位．
根据①式，列出方程：
１－ｘ
ｘ
＝ｘ
１.
②
由于ｘ≠０，因此方程②两边同乘ｘ，得
１－ｘ＝ｘ２，
即
ｘ２＋ｘ－１＝０.
解得
ｘ1=
５
姨
－１
２
，ｘ2= -
５
姨
－１
２
（舍去）.
图３－2
①
本书中有少量用仿宋体排印的内容，这些内容为选学内容.
65
数学
九年级上册
练习
1.已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是比例线段.
（1）若a ＝0 .8 cm，b ＝1 cm，c ＝1 cm，求d；
（2）若a = 12 cm，c = 3 cm，d = 15 cm，求b；
（3）若ａ＝５ｃｍ，ｂ＝４ｃｍ，ｄ＝８ｃｍ，求c．
2.在比例尺1 ∶1 000 000的地图上，量得A，B 两地的距离是25 cm. 求
A，B两地之间的实际距离.
因此，ＡＣ
ＡＢ
＝
５
姨
－１
２
≈０郾６１８．
事实上，我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为
５
姨
－１
２
，它
约等于０郾６１８．
视觉生理学的研究成果表明，符合黄金分割的比例形式很容易使人产生
视觉上的美感．许多世界著名古建筑物中都包含有“黄金分割比”，例如古希
腊的帕提侬神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与
底部宽度之比均约为黄金分割比.
在现代，许多建筑的设计中也采用了黄金分割，例如，
上海的东方明珠广播电视塔的上球体就处于整个塔身高度的
黄金分割处.
神奇的“黄金分割比” 也出现在许多著名艺术作品中，
如在意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，人物的
脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比．
泰姬陵
帕提侬神庙
蒙娜丽莎
66
第3 章
图形的相似
（第4 题图）
习题3.1
A 组
1. 求下列各式中x 的值.
（1）5 ∶7 = 15 ∶x ；
（2）144 ∶5 = x ∶25；
（3）52 ∶x = 26 ∶8 ；
（4）x ∶13 = 65 ∶78.
2. 已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是比例线段.
（1）若a ＝2 ，b ＝3 ，c ＝4 ，求d；
（2）若a = 1.5 ，c = 2.5 ，d = 4.5 ，求b；
（3）若ａ＝1.1 ，ｂ＝2.2 ，ｄ＝4.4 ，求c．
3郾甲、乙两地的实际距离为680 km，在某地图上量得这两地的距离为
17 cm，求该地图的比例尺.
4郾如图，节目主持人在主持节目时，站在舞
台的黄金分割点处最自然得体. 若舞台AB 长为
20 m，则主持人站在离A 点多远处最自然得体？
（结果精确到0.1 m）
B 组
5郾已知a
b = c
d = e
f = 5
7 ，求a + c + e
b + d + f （b + d + f ≠0）的值.
6郾如图，对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下：
（1）过点B 作AB 的垂线，并在垂线上取BC = 1
2 AB ；
（2）连接AC，以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AC 于点E；
（3）以点A 为圆心，AE 为半径画弧，交AB 于点P.
则点P 为所求作的线段AB 的黄金分割点.
按照上述方法，试找出一条线段的黄金分割点.
（第6 题图）
67
数学
九年级上册
平行线分线段成比例
3.2
图3-3 是一架梯子的示意图. 由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1
互相平行，且若AB＝BC，则A1B1＝B1C1. 由此可以猜测：若两条直线被一组平
行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截
得的线段也相等. 这个猜测是真的吗？
图３-3
如图3-4，已知直线a∥b∥c，直线l1，l2 被直线a，
b，c 截得的线段分别为AB，BC 和A1B1，B1C1，且ＡＢ＝
ＢＣ.
过点Ｂ作直线l3∥l2，分别与直线a，c 相交于点Ａ2，C2.
由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线间的平行线
段相等” 可知，
A2B = A1B1，BC2= B1C1.
在△BAA2 和△BCC2 中，
∠ABA2＝∠CBC2，BA ＝BC，∠BAA2＝∠BCC2，
因此
△BAA2≌△BCC2.
从而
BA2＝BC2，
所以
A1B1= B1C1.
由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得
的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
图３-4
68
第3 章
图形的相似
如图3-5，任意画两条直线l1，l2，再画三条与
l1，l2 相交的平行直线a，b，c. 分别度量l1，l2 被直
线a，b，c 截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1 的长度.
AB
BC 与A1B1
B1C1
相等吗？任意平移直线c，再度量AB，
BC，A1B1，B1C1 的长度，AB
BC 与A1B1
B1C1
还相等吗？
下面我们来证明：
假设AB
BC ＝2
3 ，则把线段AB 二等分，分点为
D，过点D 作直线d∥a，交l2 于点D1，如图3-6.
把线段BC 三等分，三等分点为E，F，分别过
点E，F 作直线e∥a，f∥a，分别交l2 于点E1，F1.
由已知AB
BC ＝2
3 ，得1
2 AB ＝1
3 BC.
由于AD ＝DB ＝1
2 AB，BE ＝EF ＝FC ＝1
3 BC，
因此AD ＝DB ＝BE ＝EF ＝FC.
由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1＝D1B1＝B1E1＝E1F1＝F1C1.
从而A1B1
B1C1
＝2A1D1
3B1E1
＝2
3 .
类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线l1，l2 被直线a，b，c 截得的线段
分别为AB，BC 和A1B1，B1C1，若AB
BC ＝m
n （其中m，n 是正整数），则A1B1
B1C1
＝
m
n . 进一步可以证明，若AB
BC ＝k（其中k 为无理数），则A1B1
B1C1
＝k.
从而AB
BC ＝A1B1
B1C1
.
图３-5
图３-6
AB
BC = A1B1
B1C1
.
69
数学
九年级上册
我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
我们还可以得到：
BC
AB ＝B1C1
A1B1
，AB
AC ＝A1B1
A1C1
，BC
AC ＝B1C1
A1C1
.
由此，得到以下基本事实：
如图3-7，在△ABC 中，已知DE ∥BC，则
AD
DB = AE
EC 和AD
AB = AE
AC 成立吗？为什么？
图3-7
如图3-8，过点A 作直线MN，使MN∥DE.
∵
DE∥BC，
∴
MN∥DE∥BC.
因此AB，AC 被一组平行线MN，DE，BC 所截，
则由平行线分线段成比例可知，
AD
DB = AE
EC ，AD
AB = AE
AC .
同时还可以得到
DB
AD = EC
AE ，DB
AB = EC
AC .
由此得到以下结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
图3-8
70
第3 章
图形的相似
例
如图3-9，已知AA1∥BB1∥CC1，AB =
2，BC = 3，A1B1= 1.5，求B1C1 的长.
解
由平行线分线段成比例可知，
AB
BC ＝A1B1
B1C1
，即2
3 ＝1.5
B1C1
，
因此，B1C1= 3 × 1.5
2
＝2.25.
图3-9
练习
1. 如图，AC，BD 相交于点O，直线MN 过点O，且BA∥ＭＮ∥CD. 已
知OA＝3，OB ＝1，OD ＝2，求OC 的长.
2. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC 上，且DE∥BC. 若AB = 3，
AD = 2，EC = 1.8，求AC 的长.
习题3.2
A 组
1郾如图，DE∥BC，且DB = AE，若AB = 5，AC = 10，求AE 的长.
（第2 题图）
（第1 题图）
（第1 题图）
71
数学
九年级上册
2郾如图，点D，E，F 分别在△ABC 的边AB，AC，BC
上，且DE∥BC，EF∥AB.
求证：AD
AB = BF
BC .
B 组
3郾如图，l1∥l2∥l3，直线l2 与AB，CD 分别相交于点M，K，过点M 的直线
EF 分别与直线l1，l3 相交于点E，F. 已知AM = 2，MB = 3，EM = 4，CD = 12，求
FM，CK，DK 的长.
4郾如图，在△ABC 的边BC 上任取两点D，E，过点D 作AB 的平行线交
AC 于点M，连接AE，过点M 作AE 的平行线交BC 于点N．
求证：CB
CD = CE
CN ．
（第3 题图）
（第4 题图）
（第2 题图）
72
第3 章
图形的相似
相似图形
3.3
图3-10 和图3-11 的两组图，它们分别是由其中的一幅图放大或缩小得
到的. 把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形之间有什么关系呢？
直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的．
因此，图３－10 和图3-11 中的两组图形分别是相似的．
在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形放
大而成，或小的图形是由大的图形缩小而成.
日常生活中，常常需要将一个图形按一定的比例放大或缩小，但不能改变
其形状，如制作不同尺寸的国际海事信号旗时，旗的形状是相同的，但大小不
一样.
图３－11
代表数字“3” 的国际海事信号旗
图３－10
73
数学
九年级上册
我发现这两个三角形相似，且它
们的对应角相等，对应边成比例.
你的两块三角板是不是相似？和同学的
有没有相似的？与老师的呢？实际生活中还
有哪些三角形是相似的？
图３－１2 中，右边的△Ａ′Ｂ′Ｃ′是由左边的
△ＡＢＣ放大得到的. 这两个三角形相似吗？分
别度量它们的三个角和三条边，它们的对应
角相等吗？对应边成比例吗？
图３－12
例
如图3-13，已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，
且
∠Ａ＝４８°，AB = 8，Ａ′Ｂ′ = 4，AC = 6．求∠Ａ′的大小
和Ａ′Ｃ′的长郾
解
∵
△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，
由此可以得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成
比例.
反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作
相似三角形（similar triangles）．
如果△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似，且点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与点A，B，C 对应，
则记作：
△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，
读作：
△ＡＢＣ相似于△Ａ′Ｂ′Ｃ′．
相似三角形的对应边的比叫作相似比（ｓｉｍｉｌａｒｒａｔｉｏ）．
一般地，若△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为k，则△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ的相似
比为1
k .
特别地，如果相似比k=1，则△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′. 因此，三角形全等是三角
形相似的特例.
图３－13
74
第3 章
图形的相似
类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边
成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形（similar polygons）. 相似多边形的对
应边的比也叫作相似比.
如果四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，且点A，B，C，D 分别与点
A1，B1，C1，D1 对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.
对于相似多边形，有：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
∴
∠Ａ＝∠Ａ′，ＡＢ
Ａ′Ｂ′ = ＡＣ
A′C′ 郾
又
∠Ａ＝４８°，AB = 8，Ａ′Ｂ′ = 4，AC = 6，
∴
∠Ａ′＝４８°，
8
4 =
6
Ａ′Ｃ′ ，即Ａ′Ｃ′＝3.
练习
1郾已知△ＡDE∽△ＡＢＣ，点A，D，E 分别与点A，B，C 对应，且相似比
为2
5 郾若DE = 4 ｃｍ，求BC 的长.
2郾下列六个平行四边形中，哪些是相似的？
（1）
（2）
（3）
（5）
（6）
（4）
（第2 题图）
75
数学
九年级上册
A!组
1郾在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x 的值.
2郾如图，已知两个四边形相似，试分别确定琢，x 的值.
B 组
3郾如图，把图中△ＡＢＣ平移，使顶点Ａ移到点Ａ′处，得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′；把
△Ａ′Ｂ′Ｃ′绕顶点Ａ′旋转９０°，得到△Ａ′Ｂ″Ｃ″；以点Ａ′为一个顶点画△Ａ′ＤＥ，
使边Ａ′Ｄ，Ａ′Ｅ的长分别为边Ａ′Ｂ″，Ａ′Ｃ″的长的１
２，且点Ｄ，Ｅ分别在边Ａ′Ｂ″，
Ａ′Ｃ″上．问画出的△Ａ′ＤＥ与△ＡＢＣ是相似图形吗？
4郾如图，E，F 分别为矩形ABCD 的边AD，BC 的中点. 若矩形ABCD 与矩
形EABF 相似，AB = 1，求矩形ABCD 的面积.
（第1 题图）
（1）
（2）
α
琢
习题3.3
（第2 题图）
琢
（第4 题图）
（第3 题图）
76
第3 章
图形的相似
相似三角形的判定与性质
3.4
在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨
两个三角形相似的条件.
为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题.
如图3-14，在△ＡＢＣ中，D 为AB 上任意一点. 过
点D 作BC 的平行线DE，交AC 于点E.
（1）△ADE 与△ＡＢＣ的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE 与△ＡＢＣ的边长，它们的边
长是否对应成比例？
（3）△ADE 与△ＡＢＣ之间有什么关系？平行移动
DE 的位置，你的结论还成立吗？
图３－14
下面我们来证明：
在△ADE 与△ABC 中，∠A = ∠A.
∵
DE∥BC，
∴
∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C.
如图3-15，过点D 作DF∥AC，交BC 于点F.
∵
DE∥BC，DF∥AC，
∴
AD
AB = AE
AC ，AD
AB = CF
CB .
我发现只要DE∥BC，那么△ADE 与△ＡＢＣ是相似的．
图３－15
3郾4郾1
相似三角形的判定
77
数学
九年级上册
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
练习
1郾如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°．正方形EFCD
的三个顶点Ｅ，Ｆ，Ｄ分别在边AB，BC，AC 上. 已知
AC = 7.5，BC = 5，求正方形的边长．
（第1 题图）
例1 如图３－16，在△ＡＢＣ中，已知点D，E 分别是
AB，AC 边的中点.
求证：△ＡDE ∽△ABC.
证明
∵
点D，E 分别是AB，AC 边的中点，
∴
DE∥BC.
∴
△ＡDE ∽△ABC．
图３－16
∵
四边形DFCE 为平行四边形，
∴
DE = FC.
∴
AD
AB = AE
AC = DE
BC .
∴
△ADE∽△ABC.
例2 如图３－17，点D 为△ABC 的边AB 的中点，过点
D 作DE∥BC，交边AC 于点E. 延长DE 至点F，使DE = EF.
求证：△CFE ∽△ABC .
证明
∵
DE∥BC，点D 为△ABC 的边AB 的中点，
∴
AE = CE.
又
DE = FE，∠AED = ∠CEF，
∴
△ＡDE ≌△CFE．
∵
DE ∥BC，
∴
△ＡDE ∽△ABC．
∴
△CFE ∽△ABC．
图３－17
78
第3 章
图形的相似
下面我们来证明：
如图３－18，在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，∠B= ∠B′.
在△A′B′C′的边A′B′上取一点Ｄ，使A′D = AB. 过点D 作DE∥B′C′，交
A′C′于点E.
在△Ａ′DE 与△ＡＢＣ中，
∵
∠A′= ∠A，A′D = AB，
∠A′DE = ∠B′=∠B，
∴
△A′DE ≌△ABC.
又
DE∥B′C′，
∴
△A′DE ∽△A′B′C′.
∴
△ABC ∽△A′B′C′.
由此得到相似三角形的判定定理1：
任意画△ABC 和△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使∠A = ∠A′，∠B = ∠B′.
（1）∠C = ∠C′吗？
（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
图３－18
（第2 题图）
2郾如图，已知点O 在四边形ABCD 的对角
线AC 上，OE∥CB，OF∥CD. 试判断四边形
AEOF 与四边形ABCD 是否相似，并说明理由.
两角分别相等的两个三角形相似.
79
数学
九年级上册
例3 如图３－19，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．过点
Ｄ分别作边ＡＢ，ＢＣ的垂线，垂足分别为点Ｅ，Ｆ，
ＤＦ与ＡＢ交于点Ｈ．求证：△ＤＥＨ∽△ＢＣＡ郾
证明
∵
∠C = 90°，∴
AC⊥BC.
∵
DF⊥BC，∴
DF∥AC.
∴
∠DHE = ∠A.
又
DE⊥AB，∴
∠DEH= 90° = ∠C，
∴
△ＤＥＨ∽△ＢＣＡ（两角分别相等的两个三角形相似）.
例4 如图3-20，在Rt△ＡＢＣ与Rt△ＤＥＦ中，∠C ＝90°，∠F ＝90°．若
∠A = ∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，求EF 的长郾
解
∵
∠C ＝90°，∠F ＝90°，∠A =∠D ，
∴
△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ．
∴
AB
DE = BC
EF .
又
AB = 5，BC = 4，DE = 3，
∴
EF = 2.4.
图３－19
图３－20
练习
1郾如图，点E 为荀ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE，交CD 于点
F. 请指出图中有几对相似三角形，并说明理由.
2郾如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE. 已知
ED = 1，BD = 4，求AB 的长．
（第2 题图）
（第1 题图）
80
第3 章
图形的相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
任意画△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使∠A = ∠A′，
AB
A′B′ = AC
A′C′ = k.
（1）分别度量∠B 和∠B′，∠C 和∠C′的大小，它们分别相等吗？
（2）分别量出BC 和B′C′的长，它们的比等于k 吗？
（3）改变∠A 或k 的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
下面我们来证明：
如图3-21，在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
AB
A′B′ = AC
A′C′ .
在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使A′D = AB. 过点D 作DE∥B′C′，交
A′C′于点E.
∵
DE∥B′C′，
∴
△A′DE ∽△A′B′C′.
∴
A′D
A′B′ = A′E
A′C′ .
又
A′D = AB，
AB
A′B′ = AC
A′C′ ，
∴
A′D
A′B′ = A′E
A′C′ = AC
A′C′ .
∴
A′E= AC.
∵
∠A′= ∠A，
∴
△A′DE≌△ABC.
∴
△ABC ∽△A′B′C′.
由此得到相似三角形的判定定理2：
我发现这两个三角形是相似的.
图３－21
81
数学
九年级上册
例5 如图3-22，在△ＡＢＣ与△ＤＥＦ中，已知∠C＝∠F＝７０°，ＡＣ＝３．５ｃｍ，
ＢＣ＝２．５ｃｍ，ＤＦ＝２．１ｃｍ，ＥＦ＝１．５ｃｍ.
求证：△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ郾
证明
∵
ＡＣ＝３．５ｃｍ，ＢＣ＝２．５ｃｍ，
ＤＦ＝２．１ｃｍ，ＥＦ＝１．５ｃｍ，
∴
ＤＦ
ＡＣ＝２．１
３．５＝3
５，ＥＦ
ＢＣ＝１．５
２．５＝3
５，
∴
ＤＦ
ＡＣ＝ＥＦ
ＢＣ郾
又
∠C ＝∠F = 70°，
∴
△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）郾
例6 如图3-23，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD
CD = CD
BD .
求证：∠ACB = 90°.
证明
∵
CD 是边AB 上的高，
∴
∠ADC = ∠CDB = 90°.
又
AD
CD = CD
BD ，
∴
△ACD ∽△CBD.
∴
∠ACD = ∠B.
∴
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = ∠B + ∠BCD = 90°.
图３－22
图３-23
练习
１郾如图，在四边形ABCD 中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，
CD = 7.5，求AD 的长．
2. 如图，点B，C 分别在△ADE 的边AD，AE 上，且AC = 6，AB = 5，
EC = 4，DB= 7. 求证：△ABC∽△AED．
（第1 题图）
（第2 题图）
82
第3 章
图形的相似
任意画两个三角形△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′，使△ＡＢＣ的边长是△Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长
的k 倍.
分别度量∠A 和∠A′，∠B 和∠B′，∠C 和∠C′的大小，它们分别相等吗？
由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
下面我们来证明：
如图3-24，在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB
A′B′ = AC
A′C′ = BC
B′C′ = k .
在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使A′D = AB. 过点D 作DE∥B′C′，交
A′C′边于点E.
∵
DE∥B′C′，
∴
△A′DE ∽△A′B′C′，
∴
A′D
A′B′ = A′E
A′C′ = DE
B′C′ .
又
A′D ＝AB，
ＡＢ
A′B′ = ＡC
A′C′ = BC
B′C′ ，
∴
A′E = AC，DE = BC.
∴
△A′DE≌△ＡＢＣ.
∴
△ABC ∽△A′B′C′.
由此得到相似三角形的判定定理3：
图３－24
三边成比例的两个三角形相似.
83
数学
九年级上册
例7 !如图3-25，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C = 90°，∠C′= 90°，
AB
A′B′ = AC
A′C′ . 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
分析
已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明.
证明
设AB
A′B′ = AC
A′C′ = k，则AB = kA′B′，AC = kA′C′.
由勾股定理，得BC =
AB2 - AC2
姨
=
k2·A′B′2-k2·A′C′2
姨
= k·B′C′，
∴
BC
B′C′ = k·B′C′
B′C′
= k.
∴
AB
A′B′ = AC
A′C′ = BC
B′C′ .
∴
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）.
例8 判断图3-26 中的两个三角形是否相似，并说明理由.
解
△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，理由如下：
在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＢＣ＞ＣＡ，在△ＤＥＦ中，ＤＥ＞ＥＦ＞ＦＤ郾
∵
ＤＥ
ＡＢ＝２郾４
４＝０郾６，ＥＦ
ＢＣ＝２郾１
３郾５＝０郾６，ＦＤ
ＣＡ＝１郾８
３＝０郾６，
∴
ＤＥ
ＡＢ＝ＥＦ
ＢＣ＝ＦＤ
ＣＡ．
∴
△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ.
图３－26
图３－25
84
第3 章
图形的相似
练习
两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似
三角形还有哪些性质呢？
如图3-27，已知△ABC ∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′
上的高，那么AH
A′H′ ＝AB
A′B′ 吗？
图３－27
3郾4郾2
相似三角形的性质
∵
△ABC ∽△A′B′C′，
∴
∠B = ∠B′.
又
∠AHB ＝∠A′H′B′ ＝90°，
∴
△ABH ∽△A′B′H′.
１郾如图，已知点D，E，F 分别是△ABC 三边的中点，求证：△EDF∽
△ACB.
2郾判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
（第1 题图）
（第2 题图）
85
数学
九年级上册
例9 如图3-28，AB∥PQ，
AB = 100 m，
PQ = 120 m. 点P，A，C 在一条直线上，点Q，
B，C 也在一条直线上．若AB 与PQ 的距离是40m，
求点C 到直线PQ 的距离.
解
∵
AB∥PQ，∴
△CAB∽△CPQ.
过点C 作CD⊥PQ，垂足为点D. 设CD 交
AB 的延长线于点E，∴
CE⊥AB ，DE = 40 m.
由“相似三角形对应高的比等于相似比” 可得，
AB
PQ ＝CE
CD ＝CD-DE
CD
.
又AB = 100 m，PQ = 120 m，DE = 40 m，
∴
CD = 240 m.
答：点C 到直线PQ 的距离为240 m.
例10 如图3-29，已知△ABC∽
△A′B′C′，AT，A′T′分别为对应角
∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.
求证：
AT
A′T′ ＝AB
A′B′ .
证明
∵
△ABC ∽△A′B′C′，
∴
∠B = ∠B′，∠BAC = ∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，
∴
∠BAT = 1
2 ∠BAC = 1
2 ∠B′A′C′ = ∠B′A′T′，
∴
△ABT ∽△A′B′T′，
∴
AT
A′T′ = AB
A′B′ .
类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.
由此得到，相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
图３－28
∴摇
AH
A′H′ ＝AB
A′B′ ．
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
由此得到，相似三角形对应高的比等于相似比.
图３－29
86
第3 章
图形的相似
已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则
AD
A′D′ = AB
A′B′ 成立吗？由此你能得出什么结论？
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
练习
１郾已知△ABC ∽△DEF，AM，DN 分别是△ABC，△DEF 的一条中线，
且AM = 6 cm，AB = 8 cm，DE = 4 cm，求DN 的长.
2郾!如图，△ABC ∽△A′B′C′，
AD，BE 分别是△ABC 的高和中
线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的
高和中线，且AD ＝4，A′D′＝3，
BE ＝6，求B′E′的长．
如图3-30，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则S△ＡＢＣ∶S△Ａ′Ｂ′Ｃ′的值是
多少呢？
图３－30
（第2 题图）
87
数学
九年级上册
分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′，则AD
A′D′ ＝k.
因此，
S△ABC
S△A′B′C′
＝
1
2·BC·AD
1
2·B′C′·A′D′
= BC
B′C′· AD
A′D′ = k·k = k2.
由此得到，
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
例11 如图3-31，在△ABC 中，EF∥BC，AE
EB = 1
2 ，S 四边形BCFE=8，求S△ABC．
解
∵
EF∥BC，∴
△AＥＦ∽△ABC．
又
AE
EB = 1
2 ，∴
AE
AB = 1
3 .
∴
S△AEF
S△ABC
=
1
3
3 $
2
= 1
9 ，即
S△AEF
S△AEF+ S四边形BCFE
= 1
9 .
∵
S 四边形BCFE=8，
∴
S△AEF= 1.
∴
S△ABC= 9.
例12 已知△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为2
3 ，且S△ＡＢＣ+ S△Ａ′Ｂ′Ｃ′ = ９１，求
△Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积.
解
∵
△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相似比为2
3 ，
∴
S△ＡＢＣ
S△Ａ′Ｂ′Ｃ′
=
2
3
3 &
2
= 4
9 ，即
S△ＡＢＣ= 4
9 S△Ａ′Ｂ′Ｃ′.
又
S△ＡＢＣ+ S△Ａ′Ｂ′Ｃ′ = 91，
∴
4
9 S△Ａ′Ｂ′Ｃ′ + S△Ａ′Ｂ′Ｃ′ = 91，
∴
S△Ａ′Ｂ′Ｃ′ = 63.
图３－31
88
第3 章
图形的相似
练习
１郾证明：相似三角形的周长比等于相似比.
2郾已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm，且AB =
15 cm，Ｂ′Ｃ′ = 24 cm，求BC，AC，Ａ′Ｂ′，Ａ′C′的长.
3郾有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三
角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？
习题3.4
A 组
1郾如图，已知△ABC 和△DBE，且BD = 2BA，BE = 2BC，DE = 2EF. 试指出
图中有几对相似三角形，并说明理由.
2郾证明：有一个底角相等的两个等腰三角形相似郾
3郾如图，∠1 = ∠2，AB·AD = AC·AE．求证：△ABC∽△AED．
4郾如图，已知点O 是△ABC 内任一点，连接OA，OB，OC，点D，E，F
分别是OA，OB，OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．
（第3 题图）
（第1 题图）
（第4 题图）
89
数学
九年级上册
5郾如图，已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且ＡＤ，ＢＥ是△ＡＢＣ的高，Ａ′Ｄ′，Ｂ′Ｅ′
是△Ａ′Ｂ′Ｃ′的高. 求证：AD·Ｂ′Ｅ′ ＝Ａ′Ｄ′·ＢＥ.
6. 两个相似三角形的一组对应边的长分别为10 cm 和20 cm.
（1）若它们的周长之差是60 cm，则较大的三角形的周长是多少？
（2）若它们的面积之和为260 cm2，则较小的三角形的面积是多少？
B!组
7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D．
若AC = 2，求AD 的长．
8. 如图，点O 是△ABC 外一点，分别在射线OA，OB，OC 上取点A′，B′，
C′，使得OA′
OA = OB′
OB = OC′
OC = 3 ，连接A′B′，B′C′，A′C′．问所得的△A′B′C′是否
与△ABC 相似？请说明你的理由．
9郾如图，△ABC 为锐角三角形，ＡＤ是边ＢＣ
上的高，正方形ＥＦＧＨ的一边ＥＦ在ＢＣ上，顶点
Ｇ，Ｈ分别在ＡＣ，ＡＢ上．已知ＢＣ＝３０ｃｍ，ＡＤ＝
２０ｃｍ，求这个正方形的边长.
（第5 题图）
（第9 题图）
（第7 题图）
（第8 题图）
90
第3 章
图形的相似
相似三角形的应用
3.5
如图3-32，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小
张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接
测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
图３－32
我们可以这样做：
如图3-33，在池塘外取一点C，使它可以直
接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在
AC 的延长线上取一点D，在BC 的延长线上取
一点E，使AC
DC = BC
EC = k （k 为正整数），测量出
DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识
求出A，B 两点间的距离了．
如图3-33，如果AC
DC = BC
EC = 2，且测得DE 的长为50 m，则A，B 两点间
的距离为多少？
图３－33
∵
AC
DC = BC
EC = 2，∠ACB = ∠DCE，
91
数学
九年级上册
∴
△ABC ∽△DEC．
∴
AB
DE =2．
∵
DE = 50 m，
∴
AB = 2DE = 100 m.
例
在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一
条直线上. 在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A′，如图
3-34 所示. 已知OA = 0.2 m，OB = 50 m，
AA′ = 0.000 5 m，求李明射击到的点
B′偏离靶心点B 的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.
解
∵
AA′∥BB′，
∴
△OAA′∽△OBB′．
∴
OA
OB = AA′
BB′ ．
∵
OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA′ = 0.000 5 m，
∴
BB′ = 0.125 m.
答：李明射击到的点B′偏离靶心点B 的长度BB′为0.125 m.
练习
（第1 题图）
图３－34
1. 如图，某路口栏杆的短臂长为1 m，长臂长为6 m. 当短臂端点下降
0.5 m 时，长臂端点升高多少米？
92
第3 章
图形的相似
习题3.5
A!组
1郾摇如图，小杰在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5 m 的位
置上，则球拍击球的高度h 应为多高？（假设球沿直线飞行）
2郾如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚ＡＣ和ＢＤ交叉构
成．把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度ｍ的地方，此时ＯＡ
ＯＣ＝ＯＢ
ＯＤ＝ｍ．
然后张开两脚，使Ａ，Ｂ两个尖端分别在线段ｌ的两个端点上，这时ＣＤ与ＡＢ的
长度有什么关系？位置有什么关系？为什么？
（第1 题图）
（第2 题图）
2. 如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，
她调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直
线上．
已知纸板的两条直角边DE = 80 cm，EF = 40 cm，测得AC = 1.5 m，
CD = 8 m，求树高AB．
（第2 题图）
93
数学
九年级上册
3郾如图C 某宣传栏op后面y r处植有与宣
传栏平行的i棵树C 即ghtopC 且相邻两棵树
干之间的间隔均为y r( 一人站在宣传栏前面的
点c 处正好看到两端的树干C 其余的) 棵树均
被宣传栏挡住( 已知c 2opC c 0- rC 求宣传
栏op的长2不计宣传栏的厚度0(
0组
C郾如图C 一张梯子共有o级互相平行的踏板C 每相邻两级踏板之间的距离
都相等( 已知梯子最上面一级踏板的长度cpop0 gho rC 最下面一级踏板的长度
cooo0 ght rC 求剩余几级踏板的长度2提示( 过点cp作opoo的平行线0(
c郾在一次活动课上C 王老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度h 小
芳同学的测量方法是( 拿一根高 ho r的竹竿-hp 直立在离旗杆-co Be r的p
处C 然后走到g处C 这时目测到旗杆顶部c与竹竿顶部h恰好在同一直线上C
又测得pC g两点间的距离为 rC 小芳的目高-眼睛到地面的距离 g 为pho rC
这样便可知道旗杆co的高度( 你认为这种测量方法是否可行i 如果可行C 请求
出旗杆的高度j 如果不行C 请说明理由(
in g Fo
in u Fo
in n Fo
Do
第3 章
图形的相似
位
似
3.6
图3-35 是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏
幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？
图３－35
这两个图形的形状相同，但大
小不同，它们是相似图形.
如何把一个图形放大或缩小？下面我们来学习一种简单可行的方法.
在图3-35 中的左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别取点Ａ，Ｂ. 右边小狗
的头顶和狗尾巴尖上的点Ａ′，Ｂ′分别为点Ａ和点B 的对应点．
此时我们会发现点Ａ，Ａ′与点Ｏ在一条直线上，点Ｂ，Ｂ′与点Ｏ也在一条
直线上.
分别量出线段ＯＡ，ＯＡ′，ＯＢ，ＯＢ′的长度，计算（精确到０郾１）：
ＯＡ′
ＯＡ＝
，ＯＢ′
ＯＢ＝
．
继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，我们会发现每一对对应点都
与点Ｏ在一条直线上，且每一对对应点与点Ｏ所连线段的比与上述ＯＡ′
ＯＡ，
ＯＢ′
ＯＢ的值相等．
95
数学
九年级上册
图３－36
两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，
对应边互相平行（或在同一直线上）.
利用位似可以把一个图形放大或缩小.
例如，如图3-37，要把△ABC 放大为原来的2 倍，我们可以在三角形外
任意取一点Ｏ，连接OA，OB，OC，分别在线段ＯＡ，ＯB，ＯC 的延长线上取
点Ａ′，B′，C′，使得ＯA′
ＯA ＝ＯB′
ＯB ＝ＯC′
ＯC ＝2，依次连接点Ａ′，B′，C′，则所得到
的△Ａ′B′C′就是所要求的图形.
在图3-35 中，连接AB，A′B′，可以得到图3-36，则AB∥A′B′吗？
∵
ＯA
ＯA′＝ＯB
ＯB′，∠AOB = ∠A′OB′，
∴
△OAB∽△OA′B′.
∴
∠OAB = ∠OA′B′.
∴
AB∥A′B′.
一般地，取定一个点O，如果一个图形G 上每一个点P 对应于另一个图
形G′ 上的点P′ ，且满足：
（1）直线PP′经过点O，
（2）ＯP′
ＯP != | k | ，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′ 在射线OP 上，当
k<0 时，点P′ 在射线OP 的反向延长线上.
那么称图形G 与图形G′是位似图形（ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｆｉｇｕｒｅｓ）．这个点Ｏ叫作位似中
心（ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｃｅｎｔｅｒ），常数ｋ叫作位似比（ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｒａｔｉｏ）．
96
第3 章
图形的相似
如图3-38，我们还可以分别在线段ＯＡ，ＯB，ＯC 的反向延长线上取点
Ａ″，B″，C″，使得ＯA″
ＯA ＝ＯB″
ＯB ＝ＯC″
ＯC ＝2，依次连接点Ａ″，B″，C″，则所得到
的△Ａ″B″C″也是所要求的图形.
练习
1. 如图，已知ＤＥ∥ＢＣ，则△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，找出
它们的位似中心.
2. 如图，将菱形ＡＢＣＤ放大为原图形的2 倍．
图３－37
图３－38
如图3-39，已知△ABC 外一点O，以点O 为位似
中心，将△ABC 缩小为原图形的1
2 .
（第2 题图）
A
B
D
C
（第1 题图）
图３－39
97
数学
九年级上册
如图3-40，在平面直角坐标系中，已知
△AOB 的顶点坐标分别为A（2，4），O（0，0），
B（6，0）.
（1）将各个顶点坐标分别扩大为原来的2 倍，
画出所得到的图形；
（2）以点O 为位似中心，分别在线段OA，
OB 的延长线上取点A′，B′，使ＯA′
ＯA ＝ＯB′
ＯB
＝2 ，
依次连接点A′，O，B′，画出所得到的图形，你发现了什么？
图3-41
将△AOB 各顶点的坐标分别乘2，得点A′（4，8），
O（0，0），B′（12，0），如图3-41，依次连接点A′，
O，B′，得到△A′OB′.
我们可以发现，△A′OB′与△AOB 是以坐标原点
O 为位似中心，位似比为2 的位似图形.
图3-40
如图3-42，在平面直角坐标系中，已知
△AOB 的顶点坐标分别为A（3，6），O（0，0），
B（6，0）.
（1）将各个顶点坐标分别缩小为原来的1
3 ，
画出所得到的图形；
（2）以点O 为位似中心，分别在线段OA，
OB 上取点A″，B″，使ＯA″
ＯA ＝ＯB″
ＯB ＝1
3 ，依次连
接点A″，O，B″，画出所得到的图形，你发现了什么？
图3-42
98
第3 章
图形的相似
数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所
得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位
似图形对应点的坐标的比等于k.
例
如图3-43，在平面直角坐标系中，已知荀OABC 的顶点坐标分别
为O （0，0），A（3，0），B （4，2），C （1，2）. 以坐标原点O 为位似中心，将
荀OABC 放大为原图形的3 倍.
分析
要将荀OABC 放大为
原图形的3 倍，由位似图形的定
义可知，| k | =3，即k = ± 3，因
此我们可以将原四边形每个顶
点的横坐标、纵坐标都乘3，或
都乘-3.
解
（方法一）将荀OABC
的各顶点的坐标分别乘3，得
O（0，0），A′（9，0），B′（12，6），C′（3，6），依次连接点O，A′，B′，C′，则四
边形OA′B′C′即为所要求的图形，如图3-43 所示.
（方法二）将荀OABC 的各顶点的坐标分别乘-3，得O（0，0），A″（-9，0），
B″（-12，-6），C″（-3，-6），依次连接点O，A″，B″，C″，则四边形OA″B″C″即
为所要求的图形，如图3-43 所示.
图3-43
练习
如图，在平面直角坐标系中，已知正方形
OABC 的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），
B（3，3），C（0，3）.
（1）以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形
OABC 放大为原图形的2 倍；
（2）以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形
OABC 缩小为原图形的1
2 .
99
数学
九年级上册
（第5 题图）
习题2.1
习题3.6
A 组
1郾下列图形中，哪些是位似图形？若是，找出它们的位似中心. 其中，图
（1）中ＯA′
ＯA = ＯＢ′
ＯＢ= ＯＣ′
ＯＣ= ＯＤ′
ＯＤ= ＯＥ′
ＯＥ；图（2）中ＯA′
ＯA = ＯＢ′
ＯＢ= ＯＣ′
ＯＣ.
2郾如图，以点O 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原图形的2 倍.
3郾在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），
B（2，1），C（0，1）. 将其各顶点的坐标扩大为原来的2 倍后，画出得到的四边形.
这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？
４郾在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 的顶点坐标分别为A（2，0），
B（4，0），C（4，2），D（2，2）. 以坐标原点O 为位似中心，将正方形ABCD 缩小为
原图形的1
2 .
B 组
５郾如图，将正六边形ABCDEF 放大为原图形的2 倍.
6郾在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为
A（-1，3），O（0，0），B（-3，1）. 以坐标原点O 为位似
中心，将△AOB 放大，记所得三角形为△A′OB′. 若点A
的对应点A′的纵坐标为-6，求点B′的横坐标.
（第1 题图）
（1）
（2）
（第2 题图）
100
第3 章
图形的相似
小结与复习
回顾
1. 比例的基本性质有哪些？什么是比例线段？
2. 平行线分线段成比例的基本事实是什么？
3. 试举例说明什么是相似的图形.
4. 如何判定两个三角形相似？全等三角形相似吗？
5. 相似三角形有哪些性质？举例说明相似三角形在日常生活中的应用.
6. 举例说明什么叫位似图形. 在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶
点坐标扩大或缩小后所得到的图形与原图形有什么关系？
本章知识结构
1. 在判定两个三角形相似时，要注意角、边的对应关系. 全等三角形
是相似比为1 的特殊的相似三角形.
2. 利用相似三角形的知识解决实际问题时，首先要将实际问题抽象为数学
问题，并通过构造相似三角形来解决，最后对所得的结果做出符合实际意义的
解释.
3. 位似图形是相似图形的特殊情形. 两个图形位似，则除相似之外，在
位置上也有一定的要求：两个位似的图形，其对应顶点的连线都相交于同
一点，对应边互相平行（或在同一直线上）.
注意
比例线段
位似
平行线分线段成比例
比例线段
比例的基本性质
判定
性质
应用
相似图形
相似三角形
相似多边形
101
数学
九年级上册
A!组
Co已知C
o p y
r i 求下列算式的值g
ht( C c o
o
)
0( 0C 0 o
0C c o -
0 已知Ci i Bi e是比例线段-
t( 若i p ji o p ri n p gi 求 )
j( 若i F o-ri n F yi F unri 求o)
y( 若C p ri p di e p uui 求ne
ro 如图i EtlEjlEyi 直线et分别与Eti Eji Ey相交于点ei ri ti 直线s.
分别与Eti Eji Ey相交于点si ,i .-已知er
rt F y
j i Lt p di 求L.的长
Ao根据图中已知条件i 试求si ,两点之间的距离g
ho如图i e,与rs相交于点ti 已知et p ri rt p y i ,t p tsi st p g-
求证g erls,
eo如图i 某地四个乡镇ei ri ti s之间建有公路s已知er F eu v;i es F
0d v;i rs F 0e v;i rt F u0 v;i st F yenr v;i 问公路er与st平行吗？说明
你的理由n
7o已知△ert与△s,.相似且对应中线的比为0 ∶y i △ert的周长和面积
复习题3
（第3 题图）
（第4 题图）
（第5 题图）
（第6 题图）
Doc
第3 章
图形的相似
分别为16 和25，求△DEF 的周长及面积.
8郾为了测量一棵树的高度，数学兴趣小
组根据光的反射定律（图中∠1 = ∠2），把一面
镜子放在离树（AB）8 m 的点E 处，然后观测
者沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子
里看到树梢顶点A，此时量得DE = 3 m. 已知
观测者目高CD = 1.5 m，求树AB 的高度．
9郾如图，一教学楼AB 的高为20 m，教学楼后面水塔CD 的高为30 m. 已知
BC=30 m，小张的目高EF 为1.6 m．当小张站在教学楼前E 处时，刚好看到教学
楼顶端A 与水塔顶端D 在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE.
10郾如图，在平面直角坐标系中，已知五边形OＡＢＣＤ的顶点坐标依次为
（0，0），（4，0），（5，5），（2，5），（0，3）.
（1）以坐标原点O 为位似中心，把各顶点坐标分别放大为原来的１郾５倍，
所得五边形与原五边形OＡＢＣＤ是位似图形吗？
（2）以坐标原点O 为位似中心，把各顶点坐标分别缩小为原来的4
5 ，所得
五边形与原五边形OＡＢＣＤ是位似图形吗？
（第10 题图）
（第8 题图）
（第9 题图）
103
数学
九年级上册
B 组
11郾我们可以按以下方法找到线段的黄金分割点：
如图，设AB 是已知线段，以AB 为边作正方形ABCD；取AD 的中点E，
连接EB；延长DA 至F，使EF = EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH，交AB
于点H，则点H 就是线段AB 的黄金分割点.
请试着用上述方法找一条已知线段的黄金分割点.
12郾如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高.
求证：（1）AC2= AD·AB；
（2）CD2= BD·AD.
13郾如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区
ED. 已知光线AE∥BD，亮区E 点与窗口所在墙脚C 点之间的距离EC = 8.7 m，
窗口高AB = 1.8 m，求窗口底边离地面的高BC．
14郾如图，正方形ABCD 的边长是2，BE = CE，MN = 1，线段MN 的两端点
在CD，AD 上滑动. 当DM 为多长时，△ABE 与以D，M，N 为顶点的三角形相
似？请说明理由．
（第12 题图）
（第11 题图）
（第13 题图）
（第14 题图）
104
第3 章
图形的相似
15郾如图，四边形ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点Ｏ，分别在线段ＯＡ，ＯＢ，
ＯＣ，ＯＤ上取点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′，使得ＯＡ′
ＯＡ＝ＯＢ′
ＯＢ＝ＯＣ′
ＯＣ＝ＯＤ′
ＯＤ＝１
３，连接
Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′，所得的四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′与四边形ＡＢＣＤ相似吗？为什么？
16郾如图，将图中的六边形放大为原图形的２倍，画出所得图形，并写出所
得图形的各顶点的坐标.
C 组
17郾某兴趣学习小组到校外进行数学探究活动，
发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中
已有的工具进行了如下一系列操作：
第一步，测量支架底部A，B 两点之间的距离；
第二步，在AP 上取一点C，挂上铅垂线CD，
使点D 恰好落在直线AB 上，测量CD 和AD 的长；
第三步，在BP 上取一点E，挂上铅垂线EF，
使点F 恰好落在直线AB 上，测量EF 和BF 的长．
已知上述步骤中测得数据如下表：
根据以上数据，你能帮他们计算出支架顶端P 到地面的距离吗？如能，请
计算出结果（精确到0.1 m）；如不能，请说明理由．
长度/m
线段
2.5
1
0.8
1.2
0.6
AB
CD
AD
EF
BF
（第15 题图）
（第17 题图）
（第16 题图）
105
数学
九年级上册
美妙的黄金分割
欧洲中世纪的物理学家、天文学家开普勒曾经说过: “几何学里有两
个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），另外一个就是黄金分割．前
者可比喻为金矿，而后者可比喻为珍贵的钻石矿．” 德国数学家阿道夫·
蔡辛也曾断言：宇宙万物，凡符合黄金分割的，总是最美的形体，黄金
分割是解开自然美和艺术美奥秘的关键．黄金分割作为一种数学的比例
关系，它所蕴含的价值如此受到重视，也启示着人们在生活的方方面面
去揭示奥秘，并广泛应用.
在西方古典音乐的创作中，作曲家们有意识地将整章音乐的高潮部
分落在全曲的黄金分割点处，这样奏出的音乐美妙无比，让人回味无穷.
经典乐章《命运交响曲》、《蓝色多瑙河》等作品就是黄金分割在音乐创作
中的经典应用. 中国的二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现，如果把二胡
的千斤放在琴弦某处，音色将美妙动听，人们对这种现象进行研究后发
现：此时千斤的所在位置正是琴弦的黄金分割点．因此许多音乐评论家惊
呼：“艺术上的‘黄金分割比’ 和音乐中高潮的位置有着密切的联系．”
在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从
这些植物的顶端往下看，相邻两片叶子之间成137.5°的夹角，而这恰好
将水平面360°分成1 ∶0.618
137.5
360 - 137.5 ≈0.61
1
#
8 的两部分. 植物的这种
生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图1、图2 所示）．
数学
九年级上册
图1
图2
106
第3 章
图形的相似
实际上，植物的这种生长规律在动物身上也有
所发现，如动物学家在某些甲壳类动物的外壳上就
发现了“黄金螺线”. 例如，图3 的鹦鹉螺身上每圈
螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.
在工业生产中，黄金分割的理念也在发挥着重
要的作用. 例如在制药行业，如何用较少的试验次
数，就能迅速找到最合适的配方、配料比；设计工
业产品时如何找到最合理的设计参数，使得产品的
质量最好，产量最多？我国著名的数学家华罗庚在
20 世纪70 年代就倡导并推广使用单因素优选法，
在生产实践中起到了重要的作用，其中0.618 就是
一个关键的数据，因此人们也把单因素优选法简称
为“0.618 法”.
黄金分割从它被发现，到被人类掌握去探寻自然界的规律，乃至应
用于生活的各个角落，这一过程已长达数千年. 黄金分割如此美妙，也促
使着人们继续去探寻、去思考、去发现，从而使得我们的世界更加美好.
第3 章
图形的相似
华罗庚
图3
107
数学
九年级上册
4
锐角三角函数
第章
4
上图是上海东方明珠电视塔的远景图C 你能测量出该
塔的高度吗o
测量高度或者距离之类的问题C 一般可以用锐角三角
函数的知识来解决p
什么是锐角三角函数o 如何求一个锐角的三角函数值o
锐角三角函数在生活中有哪些应用o 这些都是本章将要学
习的新知识p
yri
第4 章
锐角三角函数
正弦和余弦
4.1
画一个直角三角形，其中一个锐角为６５°，量出６５°角的对边长度和斜边
长度，计算
６５°角的对边
斜边
＝
＝
．
与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等（精确到０郾０１）.
如图４－1，（１）和（２）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A ＝∠A′ ＝
65°，∠C ＝∠C′ ＝90°．
小明量出∠A 的对边BC ＝３ｃｍ，斜边AB ＝３郾３ｃｍ，算出：
∠A 的对边
斜边
＝３
３．３＝10
11 ．
小亮量出∠A′的对边B′C′ ＝２ｃｍ，斜边A′B′ ＝２．２ｃｍ，算出：
∠A′的对边
斜边
＝２
２．２＝10
11 ．
由此猜测：在有一个锐角为６５°的所有直角三角形中，６５°角的对边与斜
边的比值是一个常数，它等于10
11 ．
这个猜测是真的吗？若把６５°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与
斜边的比值是否也是一个常数呢？
图4－1
（1）
（2）
109
数学
九年级上册
∵
∠A = ∠D = α，∠C = ∠F = 90°，
∴
Rt△ABC ∽Rt△DEF.
∴
BC
EF = AB
DE .
即
BC·DE = AB·EF ，
∴
BC
AB = EF
DE .
这说明，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α 的对边与斜边
的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图4-3，在直角三角形中，我们把锐角α 的对边与斜边的比叫作角α 的
正弦（sine），记作sin α，即
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到
sin 30° = 1
2 .
例1 如图4－4，在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，
ＡＢ＝５．
（１）求ｓｉｎＡ的值；
（２）求ｓｉｎＢ的值．
ｓｉｎα ＝角α!!的对边
斜边
．
如图４－2，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都是直
角三角形，其中∠Ａ＝∠Ｄ＝α ，∠C =
∠F = 90°，则BＣ
ＡＢ＝EF
ＤＥ成立吗？为什么？
图4－2
图4－4
α
α
图4－3
α
110
第4 章
锐角三角函数
练习
1. 如图，在直角三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝５. 求ｓｉｎＡ，
ｓｉｎＢ的值．
2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP 与x 轴正
方向所夹锐角α 的正弦值.
（第1 题图）
解
（１）∠Ａ的对边ＢＣ＝３，斜边ＡＢ＝５．于是
ｓｉｎＡ＝BC
ＡB ＝３
５．
（２）∠Ｂ的对边是ＡＣ，根据勾股定理，得
ＡＣ２＝ＡＢ２－ＢＣ２＝５２－３２＝１６．
于是
ＡＣ＝４．
因此
ｓｉｎＢ＝ＡＣ
ＡB = ４
５．
如何求sin 45°的值？
如图４－5，构造一个Ｒｔ△ＡＢＣ，使∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝４５°．
于是
∠Ｂ＝４５°．
从而
ＡＣ＝ＢＣ．
根据勾股定理，得
ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝２ＢＣ２．
图4－5
（第2 题图）
α
111
数学
九年级上册
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一
般锐角α 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结
果为0.766 0….
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知sin α = 0.707 1，依次按键
，
显示结果为44.999…，表示角α 约等于45°.
利用计算器计算：
（１）ｓｉｎ4０°≈
（精确到０郾０００１）；
（2）ｓｉｎ１５°30′ ≈
（精确到０郾０００１）；
（3）若sin α = 0.522 5，则α ≈
（精确到0.1°）；
（4）若sin α = 0.809 0，则α ≈
（精确到0.1°）.
于是
ＡＢ＝
２
姨
ＢＣ．
因此
ｓｉｎ４５°＝ＢＣ
ＡＢ＝
BC
２
姨
BC
=
１
２
姨
＝
２
姨
２
．
如图4-6，构造一个Ｒｔ△ＡＢＣ，使∠Ｃ＝９０°，∠B ＝60°，则∠A＝30°．
从而BC = １
２ＡＢ. 根据勾股定理得
AC２＝ＡＢ２－BＣ２＝ＡＢ２－
１
２Ａ
Ａ
&
Ｂ
２
＝３
４ＡＢ２．
于是
AＣ＝
３
姨
２
ＡＢ．
因此
ｓｉｎ６０° ＝AＣ
ＡＢ＝
３
姨
２
．
如何求sin 60°的值？
图4－6
112
第4 章
锐角三角函数
例2 计算：sin230° -
2
摇姨
sin 45° + sin260°.
解
sin230° -
2
摇姨
sin 45° + sin260°
=
１
２
" #
２
-
2
摇姨
×
2
摇姨
2
+
3
摇姨
２
"
２
２
= 1
4 - 1 + 3
4
= 0.
我们把（sin 30°）2 简记
为sin230°.
1. 用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.000 1）：
（1）35°；
（2）65°36′；
（3）80°54′.
2. 已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）：
（1）sin α = 0.807 1；
（2）sin α = 0.866 0.
3. 计算：
（1）sin260°+ sin245°；
（2）1 - 2sin 30°sin 60°.
∵
∠A = ∠D = α，∠C = ∠F = 90°，
∴
∠B = ∠E .
从而
ｓｉｎB = ｓｉｎE.
因此
AC
AB = DF
DE .
如图４－7，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都是直角三角形，其中∠Ａ＝∠Ｄ＝α ，∠C =
∠F = 90°，则ＡＣ
ＡＢ＝ＤＦ
ＤＥ成立吗？为什么？
练习
图4－7
α
α
113
数学
九年级上册
ｃｏｓα ＝角α 的邻边
斜边
．
由此可得，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α 的邻边与斜
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图4-8，在直角三角形中，我们把锐角α 的邻边与斜边的比叫作角α
的余弦（ｃｏｓｉｎｅ），记作ｃｏｓα，即
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α ，
有
ｃｏｓ!α ＝ｓｉｎ（９０°－α ），
从而有
!!!!!!!!!!!!!!!ｓｉｎα ＝ｃｏｓ（９０°－α ）.
例3 求ｃｏｓ３０°，ｃｏｓ４５°，ｃｏｓ６０°的值．
解
ｃｏｓ３０°＝ｓｉｎ（９０° －３０°）＝ｓｉｎ６０°＝
３
姨
２
，
ｃｏｓ４５°＝ｓｉｎ（９０° －４５°）＝ｓｉｎ４５°＝
２
姨
２
，
ｃｏｓ６０°＝ｓｉｎ（９０°－６０°）＝ｓｉｎ３０°＝１
２.
对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可用计算器来求.
例如求50°角的余弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果
为0.642 7….
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知cos α = 0.866 1，依次按键
，
显示结果为29.991 4…，表示角α 约等于30°.
图4－8
α
114
第4 章
锐角三角函数
练习
1. 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０° ，ＡＣ＝５，
ＡＢ＝７．求ｃｏｓＡ，ｃｏｓＢ的值．
2郾用计算器求下列锐角的余弦值（精确到0.000 1）：
（1）35°；
（2）68°12′；
（3）9°42′.
3郾已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角α
（精确到0.1°）.
（1）cos α = 0.108 7；
（2）cos α = 0.708 1.
4. 计算：
（1）cos260° - sin245°；
（2）1 - 2cos 30°cos 45°.
（第1 题图）
例4 计算：cos 30°-
3
摇姨
cos 60°+
2
摇姨
cos245°.
解
cos 30°-
3
摇姨
cos 60°+
2
摇姨
cos245°
=
3
摇姨
2
-
3
摇姨
× 1
2 +
2
摇姨
×
2
摇姨
２
$
%
２
=
2
摇姨
2
.
利用计算器计算：
（1）cos １５°≈
（精确到0.000 1）；
（2）cos 50° 48 ′ ≈
（精确到０郾０００１）；
（3）若cos α = 0.965 9，则α ≈
（精确到0.1°）；
（4）若cos α = 0.258 8，则α ≈
（精确到0.1°）.
115
数学
九年级上册
习题4.1
A!组
1. 计算：
（1）构造一个直角三角形，求sin 30°，cos 30°，cos 60°的值；
（2）构造一个直角三角形，求cos 45°的值.
2. 计算：
（1）sin230° + sin245°；
（2）1 + 2sin 60°sin 45°.
3. 用计算器求下列锐角的正弦值（精确到０郾０００１）：
（１）15°；
（２）68°24′；
（３）88°36′．
4. 已知正弦值，求相应的锐角α（精确到0.1°）：
（１）ｓｉｎα ＝０．３１５２；
（２）sin α ＝０．996 2．
5郾在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝７ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，求ｃｏｓＡ，ｃｏｓＢ的值．
6. 用计算器求下列锐角的余弦值（精确到０郾０００１）：
（１）８°；
（２）２６°12′；
（３）８３°24′．
7郾已知余弦值，求相应的锐角α（精确到0.1°）：
（１）cos α ＝０．３１５２；
（２）ｃｏｓα ＝０．５１６８．
8. 求下列各式的值.
（1）sin245° + cos245°；
（2）cos 30°cos 45°cos 60°；
（3）2cos260° - 1；
（4）cos 45°cos 30° - sin 45°sin 30°.
B 组
9郾设α 是任一锐角，求证：ｓｉｎ２α ＋ｃｏｓ２α ＝１.
10郾如图，在平行四边形ABCD 中，AB= 60，
AD = 45，∠A = 60°，求四边形ABCD 的面积.
（第10 题图）
116
第4 章
锐角三角函数
正
切
4.2
由此可得，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α 的对边与邻
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图4-10，在直角三角形中，我们把锐角α 的对边与邻边的比叫作角α
的正切（ｔａｎｇｅｎｔ），记作ｔａｎα，即
如图４－9，△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都
是直角三角形，其中∠Ａ＝∠Ｄ＝α，
∠C ＝∠F ＝90°，则BＣ
ＡC ＝EＦ
ＤF 成立吗？
为什么？
∵
∠A = ∠D = α，∠C = ∠F = 90°，
∴
Rt△ABC ∽Rt△DEF.
∴
BC
EF = AC
DF .
即
BC·DF = AC·EF ，
∴
BC
AC = EF
DF .
ｔａｎα ＝角α 的对边
角α 的邻边．
图4－9
α
α
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这
个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一
个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
α
图4－10
117
数学
九年级上册
现在我们把３０°，４５°，６０°的正弦、余弦、正切值列表归纳如下：
如何求tan 30°，tan 60°的值呢？
如图4－11，构造一个Ｒｔ△ＡＢＣ，使∠Ｃ＝９０°，
∠Ａ＝３０°，于是ＢＣ＝１
２ＡＢ，∠B ＝6０°．
从而
! !ＡＣ２＝ＡＢ２－ＢＣ２＝（２ＢＣ）２－ＢＣ２＝３ＢＣ２．
由此得出
ＡＣ＝
３
姨
ＢＣ．
因此
!!!!!!!!!!ｔａｎ３０° ＝ＢＣ
ＡＣ＝
ＢＣ
３
姨
BC
＝
３
姨
３
．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!ｔａｎ6０° ＝AＣ
BＣ＝
３
姨
ＢＣ
BC
＝
３
姨
.
图4－11
α
３０°
４５°
６０°
ｓｉｎα
１
２
２
姨
２
３
姨
２
２
姨
２
１
２
ｃｏｓα
３
姨
２
１
３
姨
ｔａｎα
３
姨
３
求tan 45°的值.
tan ４５° ＝1.
对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求.
例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键
，显示结
果为0.466 3….
如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
118
第4 章
锐角三角函数
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的
比值ｓｉｎα（或ｃｏｓα，ｔａｎα）与它对应. 并且我们还知道，当锐角α 变化时，它
的比值sin α（cos α，tan α）也随之变化. 因此，我们把锐角α 的正弦、余弦和正
切统称为角α 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）．
利用计算器计算：
（1）ｔａｎ21°15′≈
（精确到０郾０００１）；
（2）ｔａｎ89°27′≈
（精确到０郾０００１）；
（3）若ｔａｎα＝１郾２８６８，则α≈
（精确到0.1°）；
（4）若ｔａｎα＝１０８郾５７２９，则α≈
（精确到0.1°）.
例
计算：tan 45° + tan2 30°tan2 60°.
解
tan 45° + tan2 30°tan2 60°
= 1 +
3
摇姨
3
3
$
2
× （
3
摇姨
）
2
= 1 + 1
3 × 3
= 2.
练习
例如，已知tan α=0.839 1，依次按键
，
显示结果为40.000…，表示角α 约等于40°.
1. 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝７，ＢＣ＝５，求ｔａｎＡ，ｔａｎＢ的值．
2郾用计算器求下列锐角的正切值（精确到0.000 1）：
（1）35°；
（2）68°12′；
（3）9°42′.
3郾已知下列正切值，用计算器求对应的锐角α（精确到0.1°）.
（1）tan α= 0.108 7；
（2）tan α= 89.708 1.
4郾计算：
（１）１＋ｔａｎ２６０°；
（２）ｔａｎ３０°ｃｏｓ３０°．
119
数学
九年级上册
习题4.2
A 组
1郾在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２!ｃｍ，ＡＢ＝１３!ｃｍ，求ｔａｎＡ，ｔａｎＢ的值．
2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（5，4），连接OP，求OP 与x 轴正方
向所夹锐角α 的正切值.
3郾求下列各式的值：
（1）ｓｉｎ３０°
ｔａｎ３０° ；
（2）ｔａｎ３０° ｔａｎ６０°；
（３）
２ｔａｎ３０°
１－ｔａｎ２３０°
；
（4）
ｔａｎ６０° －ｔａｎ４５°
１＋ｔａｎ６０° ｔａｎ４５° ．
B!组
4郾设α 是任一锐角，求证：ｔａｎα = ｓｉｎ!α
ｃｏｓα ．
5. 用计算器求锐角α 的三角函数值，并将结果（精确到0.001）填入下表：
由上表你可以猜测出锐角α 在其度数不断增大的情况下，它的三角函数值
是如何变化的吗？
锐角α
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
…
10°
20°
40°
50°
70°
80°
…
…
…
…
…
…
…
（第2 题图）
α
120
第4 章
锐角三角函数
在一个直角三角形中，除直角外有5 个元素（3 条边、2 个锐角），只要知
道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
ｓｉｎＡ＝∠Ａ的对边
斜边
= a
c ，
ｃｏｓＡ＝∠Ａ的邻边
斜边
= b
c ，
ｔａｎＡ＝∠Ａ的对边
∠Ａ的邻边= a
b ．
已知2 个角不行.
已知2 个元素，且至
少有1 个是边就可以了.
解直角三角形
4.3
如图４－12，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０° ，∠Ａ，
∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别记作ａ，ｂ，ｃ．
（１）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
图4－12
ａ２＋ｂ２＝ｃ２（勾股定理），
∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°．
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到
求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用锐角三角函
数的有关知识来解决.
121
数学
九年级上册
在直角三角形中，除直角外有５个元素（即３条边、２个锐角），只要知道
其中的２个元素（至少有1 个是边），就可以求出其余的３个未知元素.
例1 如图4－13，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝30°，a ＝5，求∠Ｂ，
b，ｃ．
解
∠Ｂ＝９０° －∠Ａ＝90° －30° ＝60°.
又∵
ｔａｎB ＝b
a ，
∴
b = a·tan B = 5·tan 60° = 5
3
姨
.
∵
sin A ＝a
c ，
∴
c =
a
sin A =
5
sin 30° = !!5
1
2
= 10.
像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫
作解直角三角形．
图4－13
还可以用勾股定理求c.
例2 如图4-14，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A = 1
3 ，BC = 5，试求
AB 的长.
解
∵
∠C=90°，cos A= 1
3 ，
∴
AC
AB = 1
3 .
设AB = x ，则AC = 1
3 x.
又
AB2= AC2+ BC2，
∴
x2=
1
3
3
%
x
2
+ 52.
解得
x1= 15
2
姨
4
，x2= - 15
2
姨
4
（舍去）.
∴
AB 的长为15
2
姨
4
.
图4-14
122
第4 章
锐角三角函数
练习
1. 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝45°，ｂ＝３ｃｍ，求ａ，ｃ的长度．
2. 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝6 ｃｍ，ｃ＝10 ｃｍ，求ｂ，∠Ａ，∠Ｂ（角
度精确到１°）．
3. 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３0°，ｃ＝16 ｃｍ，求ａ，ｂ的长度.
习题4.3
A 组
1. 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°.
（1）若∠Ａ＝60°，b＝10
3
姨
，求a，c；
（2）若c = 2
3
姨
，b = 3 ，求a，∠Ａ.
2郾如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，cos A = 3
5 ，求tan∠DBE 的值（提
示：可设AD＝5x，其中x>0）．
3郾如图，在△ＡＢＣ中，已知∠Ｃ＝９０°，sin A ＝2
5 ，D 为AC 上一点，
∠ＢDC ＝４5°，DC ＝6 ，求AB 的长.
（第2 题图）
（第3 题图）
123
数学
九年级上册
B!组
4. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，设∠ADE = α，且cos α =
3
5 ，AB = 3，求AD的长．
5. 如图，已知一次函数y =kx +b 的图象与x 轴的正半轴交于点Ｍ（2，0），与
y 轴的正半轴交于点N，且∠OMN = 60°．求此一次函数的表达式．
（第5 题图）
（第4 题图）
124
第4 章
锐角三角函数
解直角三角形的应用
4.4
在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题. 对于
这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决.
某探险者某天到达如图
4-15 所示的点A 处时，他准
备估算出离他的目的地——
—
海拔为3 500 m 的山峰顶点
B 处的水平距离. 你能帮他想
出一个可行的办法吗？
图4－15
如图4-16，BD 表示点B 的海
拔，AE 表示点A 的海拔，AC⊥
BD，垂足为点C. 先测量出海拔
AE，再测出仰角∠BAC，然后用
锐角三角函数的知识就可求出A，
B 两点之间的水平距离AC．
图４-16
如图4-16，如果测得点A 的海拔AE 为1 600 m，仰角∠BAC = 40°，求
A，B 两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.
125
数学
九年级上册
图４－17
如图4-16，∵
BD = 3 500 m，AE = 1 600 m，AC⊥BD，∠BAC = 40°，
∴
在Rt△ABC中，tan∠BAC = BC
AC = BD －AE
AC
= tan 40°．
∴
3 500 - 1 600
AC
≈0.839 1，即AC ≈2 264（m）.
因此，Ａ，B 两点之间的水平距离AC 约为2 264 m.
例1 如图４－17，在离上海东方明珠塔底
部1 000 ｍ的Ａ处，用仪器测得塔顶的仰角
∠BAC 为25°，仪器距地面高AE 为1.7 ｍ．求上
海东方明珠塔的高度ＢＤ（结果精确到1 m）.
解
如图４－17，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠BAC ＝
25°，ＡＣ＝1 000 ｍ，因此
ｔａｎ25°＝ＢＣ
ＡＣ＝
ＢＣ
1 000 ．
从而
ＢＣ= 1 000 × ｔａｎ25° ≈466.3（ｍ）．
因此，上海东方明珠塔的高度
ＢＤ＝466.3 ＋1.7 ＝468（ｍ）．
答：上海东方明珠塔的高度BD 为468 ｍ.
练习
1. 如图，一艘游船在离开码头Ａ后，以和河岸成3０°角的方向行驶了
５００ｍ到达Ｂ处，求Ｂ处与河岸的距离BC．
（第1 题图）
126
第4 章
锐角三角函数
在图4-19 中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α，显然，
如图4-18，从山脚到山顶有两条路AB 与BD，问哪条路比较陡？
图4－18
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
右边的路BD 陡些．
图4－19
α
如图4-19，从山坡脚下点A 上坡走到点B 时，升高的高度h（即线段BC 的
长度）与水平前进的距离l （即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母i 表示，即
i = h
l （坡度通常写成1 ∶m 的形式）．
2. 如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面
MN所形成的夹角∠ABN，∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1 m，
求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1 m）．
（第2 题图）
127
数学
九年级上册
例2 如图4-20，一山坡的坡度为i = 1 ∶2 . 小刚
从山脚A 出发，沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这
座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精
确到0.01°，长度精确到0.1 m）
解
用α 表示坡角的大小，由题意可得ｔａｎα ＝１
2 = ０郾５，
因此
α≈26.57°．
如图4-20，在Rt△ABC 中，∠B ＝９０°，∠A ＝26.57°，AC ＝２４０ｍ，
因此
ｓｉｎα ＝BC
AC ＝BC
２４０．
从而
BC = ２４０× ｓｉｎ26.57°
≈１07.3（ｍ）．
答：这座山坡的坡角约为２6.57°，小刚上升了约１07.3 ｍ．
图4-20
你还可以用其他方法求
出BC 吗？
例3 如图4-21，一艘船以40 km/h 的速度向
正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向
上，继续航行1 h 到达B 处，这时测得灯塔C 在北
偏东30°方向上. 已知在灯塔C 的四周30 km 内有暗
礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
分析
这艘船继续向东航行是否安全，取决
于灯塔C 到AB 航线的距离是否大于30 km．如果大于30 km，则安全，否则
不安全．
解
作CD⊥AB，交AB 延长线于点D．设CD = x km.
在Rt△ACD 中，∵
tan∠CAD = CD
AD ，
∴
AD =
CD
tan∠CAD =
x
tan 30° .
同理，在Rt△BCD 中，BD =
CD
tan∠CBD =
x
tan 60° ．
∵
AB = AD －BD，
图4-21
坡度等于坡角的正切，即i = h
l = tan α．
坡度越大，山坡越陡．
i = 1 ∶2
128
第4 章
锐角三角函数
（第1 题图）
习题4.4
A 组
1. 如图，有一段斜坡BC 长为10 m，坡角∠CBD = 12°，为方便残疾人的轮
椅通行，现准备把坡角降为5°．
练习
1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l 为10 m，
坡屋顶的高度h 为3.5 m，求斜面AB 的长度和坡角α!（长度精确到0.1 m，角度
精确到1°）.
2. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说B 船
在它的正东方向，C 船在它的北偏东55°方向；B 船说C 船在它的北偏西
35°方向；C 船说它到A 船的距离比它到B 船的距离远40 km. 求A，B 两船
的距离（结果精确到0.1 km）.
（第2 题图）
α
（第1 题图）
∴
x
tan 30° －
x
tan 60° = 40．
解得
x = 20
3
摇姨
．
又
20
3
摇姨
≈34.64 ＞30，
因此，该船能继续安全地向东航行．
129
数学
九年级上册
（第2 题图）
（1）求坡高CD（结果精确到0.1 m）；
（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1 m）．
2. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方
向上，渔船向正东方向航行了12 km到达B处，在B处看
到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是多少？
3.图（1）是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，图
（2）是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂
直于墙面CD，且当导风板所在直线AE与竖直线AB的夹角α为40°时，空调风
刚好吹到床的外边沿E处．若AB =0.02 m，BC =0.2 m，床铺长DE =2.3 m，求空
调挂机底部位置距离床的高度CD（结果精确到0.1 m）．
4. 如图所示，某同学站在距离一棵树3 m 的位置C 处. 已知他的目高CD
为1.4 m. 若他测得树顶的仰角为30°，求这棵树的高度（结果精确到0.1 m）.
5. 如图，塔AD的高度为30 m，塔的底部D与桥BC位于同一条水平直线
上. 由塔顶A 测得B 和C 的俯角∠EAB，∠EAC 分别为60°和30°. 求BD，BC
的长（结果精确到0.01 m）.
（第3 题图）
（1）
（2）
α
（第5 题图）
（第4 题图）
130
第4 章
锐角三角函数
B!组
6. 如图（a），A，B 和C 是三个小岛. 一艘船由A 处出发向正东方向航
行4 km 到达B 处，然后向正北方向航行3 km 到达C 处.
（1）求由A 测得C 的方位角的大小（结果精确到1°）.
（2）如图（b），直升机由C 飞往A，其飞行高度一直保持在海平面以上的
h km. 当直升机飞到P 处时，由P 测得C 和A 的俯角分别是48°和65°. 已知A，
C，P 和海平面上一点Ｍ都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h（结果
精确到0.1 km）.
7. 如图，MN 表示水平地面，由地面上A 处测得山上B 处的仰角是25°，
由山顶C 处测得B 处的俯角是40°. 若AB ∶BC = 2 ∶3，求由A 处测得C 处的仰
角（结果精确到0.1°）.
（a）
（b）
（第6 题图）
（第7 题图）
131
数学
九年级上册
探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系
利用计算机可以探究出任意一个角的正弦值与余弦值之间的关系.
1. 打开计算机软件，任意绘制一条线段AB，选择线段AB和点B，选
择菜单【构造】中的【垂线】，如图1.
2. 在所得的垂线上任意选取一点C，选择菜单【构造】中的【线段】，
连接AC和BC，如图2.
3. 选取直线BC，选择菜单【显示】中的【隐藏对象】，将直线BC隐
藏，度量∠CAB的大小，如图3.
4. 在菜单【数据】中选择【计算】，在计算器面板中点击“函数”，并
选择“sin”，点击工作区中的m∠CAB，最后按“确定”，便可求得
sin∠CAB的值，同样，可求cos∠CAB的值，如图4.
图1
图2
图3
图4
数学
九年级上册
132
第4 章
锐角三角函数
5. 先用计算工具求出Copyrigh和t(Cyrigc的值) 再求Copyri c 2
t(Cyrigc的值) 如图5.
0. 移动点i以改变rigc的大小) 观察Copyrigc-t(Cyrigc的值)
你能得出什么结论2 如图0.
. 请用计算机探究一个角和它的余角 即B 和eji nBg的三角函数值
之间的关系.
F
o
D 4 章
o角三角函数Doc
数学
九年级上册
1. 在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比？
2. 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值分别是多少？
3. 在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？
4. 锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际
问题转化为解直角三角形的问题.
1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数值只与角的大小有关，而与直
角三角形的大小无关．
2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出
其他的边和角．
3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结合已知条件，恰当地构造出直
角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题．
小结与复习
回顾
本章知识结构
注意
锐角三角函数
解直角三角形
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
锐角的正弦、余弦、正切的定义
已知锐角求三角函数值或已知三
角函数值求对应的锐角
134
第4 章
锐角三角函数
复习题4
A 组
１郾在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，分别求∠Ａ，∠Ｂ
的正弦、余弦和正切值．
2郾求下列各式的值：
（１）１－２ｓｉｎ２３０°；
（2）ｓｉｎ４５°ｃｏｓ３０° －ｃｏｓ４５°ｓｉｎ３０°；
（3）ｓｉｎ４５°
ｃｏｓ60° ；
（4）
ｔａｎ３０° ＋ｔａｎ４５°
１－ｔａｎ３０° ｔａｎ４５° ．
3郾已知ｔａｎα!＝0.625，α!是锐角，求ｓｉｎα!，ｃｏｓα!的值（精确到０郾０００１）．
4郾用计算器求下列锐角的正弦、余弦和正切值（精确到０郾０００１）：
（１）３°１５′；
（２）６８°6′．
5郾已知锐角三角函数值，求相应的锐角（精确到１°）：
（１）ｓｉｎα!＝０郾３２８６；
（２）ｃｏｓα!＝０郾７１４３；
（３）ｔａｎα!＝０郾２９３６.
6郾在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３0°，ｃ＝１2 ｃｍ，求∠Ｂ，ａ，ｂ．
7郾在菱形ＡＢＣＤ中，已知对角线ＡＣ，ＢＤ的长度分别为４郾８ｃｍ，３郾６ｃｍ，
求菱形的边长以及内角∠A ，∠B 的大小（角度精确到１°）．
8郾某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示. 已知真空集热管AB
与支架CD 所在直线相交于点O，且OB ＝OD . 支架CD 与水平线AE 垂直，
AB = 150 cm，∠BAC = 30°，另一根支架DE = 76 cm，∠CED = 60°.
（1）求垂直支架CD 的长度；
（2）求OD 的长度.
（第8 题图）
135
数学
九年级上册
9郾小明（M）和小丽（N）两人一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中
E 处纠缠在一起，如图所示．若∠EMF = 20°，∠ENF = 30°，且小丽、小明之间的
距离MN 为25 m，则点E到地面的距离ED 为多少（结果保留两位小数）？
10郾如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，虚线与地面所形成的夹角为倾角兹．设
计者准备将楼梯的倾角由40°减小至36°，这样楼梯所占用地面的长度将由d1
增加到d2，如图（2）所示．已知d1 ＝4 m，求楼梯占用地面增加的长度DC（结果
精确到0.01 m）．
B!组
11郾如图，一枚运载火箭从地面O 处发射，当火箭到
达点A 处时，地面R 处的雷达站测得AR 的距离是4 km，
仰角为30°. 5 s 后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面R
处的雷达站测得B 处的仰角为45°. 求火箭从A 到B 处
的平均速度（结果精确到1 m/s）.
12郾在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，斜边ＡＢ上的高ＣＤ＝
３郾８ｃｍ，ＡＤ＝４郾６ｃｍ，求∠Ａ，∠Ｂ以及ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ的
长度（长度精确到０郾１ｃｍ，角度精确到１°）．
（第9 题图）
（第11 题图）
（第10 题图）
（1）
（2）
）"
兹
136
第4 章
锐角三角函数
C!组
14郾在锐角△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，如图（1）
所示．
（1）△ABC 的面积S 与∠A，b，c 之间有什么关系？
（2）求证：
a
sin A =
b
sin B ；
（3）如图（2），已知锐角△ABC 中，AC∶BC=7∶8，sin A= 4
7
3
摇姨
，又
CD⊥AB，垂足为点D，BD = 8. 求AB 的长度．
（第14 题图）
13郾如图，Ａ，Ｂ，Ｃ表示修建在一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，
ＡＢ，ＢＣ表示连接缆车站的钢缆. 已知Ａ，Ｂ，Ｃ所处位置的海拔AA1，BB1，
CC1 分别为124 m，400 m，1 100 m，钢缆ＡＢ与水平线ＡA2 的夹角为3０°，钢缆
ＢC 与水平线ＢB2 的夹角为45°，求钢缆ＡＢ和ＢC 的总长度（结果精确到1 m）．
（第13 题图）
（1）
（2）
137
数学
九年级上册
古代人们是如何测量金字塔的高度的？
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯（Thalēs，约前624—
约前547）曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度.
他的方法是：在金字塔顶部的影子处立一根杆子，借助太阳光线构
成两个相似的三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比，从而推算出
金字塔的高度.
在我国古代许多文献中也提到一些如何测量物体的高度的文字，例如
“今有一旗杆，
不知长与短.
日影来测量，
便知高与矮.”
对于一些难以直接测量高度、距离的实际问题，我们可以利用所学
的数学知识（如三角形全等、三角形相似、直角三角形中边和角的关系
等）来加以解决. 在测量工具缺乏的情况下，我们可以因地制宜，就地取
材，例如利用太阳光线，利用人的脚步等方法测量高度、距离等.
测量物体的高度
金字塔
数学
九年级上册
138
第4 章
锐角三角函数
综合与实践
对同一根旗杆测得的结果一样吗？如不同，这是什么原因造成的？
以小组形式探讨是否可以完善方案，使得测量的数据更准确.
1. 全班同学分组，每组5~10 人.
2. 制订研究方案，明确研究步骤.
研究步骤：
（1）准备采取哪几种方法来测量国旗
旗杆的高度，与小组同学交流方案的可行
性，这些方法的原理是什么，并在笔记本
上草拟你的方案；
（2）准备测量仪器；
（3）对旗杆进行测量，并记录测量数
据（测量3 次，取数据的平均值）；
（4）运用所学的知识求出旗杆的高度；
（5）撰写探索研究总结报告，并向全
班同学展示小组研究成果，全班进行交流、评比.
操作步骤
下面我们利用解直角三角形的知识来研究如何测量学校旗杆的高度.
139
数学
九年级上册
用样本推断总体
第章
5
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，在
种植面积相同的条件下，用相同的管理技术试种了两个品种的
水稻，如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
学完本章知识，你就会知道用样本去推断总体的方法，
在大多数情况下，当样本容量足够大时，用简单随机样本的
统计量去对总体作出相应的估计是合理的．
140
第5 章
用样本推断总体
总体平均数与方差的估计
5.1
阅读下面的公告，回答问题.
从上述公告可见，北京市统计局进行2022 年1 季度人口调查采用的是
什么调查方式？
我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特
性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因
此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推
断总体的相应特性.
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统
计的基本思想. 用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就
是这一思想的一个体现. 实践和理论都表明：对于简单随机样本，在大多数情
况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的.
141
数学
九年级上册
（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？
（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长
度比较整齐？
由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用
简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 例如，我们可
以从某城市所有家庭中随机抽取一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋
个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均值去估计该城市所有家庭一年内
平均丢弃的塑料袋个数. 同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽取一定量的
棉花，分别统计它们的纤维长度的方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉
花纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性较好.
可以进行简单随机抽样，
然后用样本去推断总体.
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技
术试种甲、乙两个品种的水稻各100 亩. 如何确定哪个品种的水稻在该地区
更有推广价值呢？
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定
性（即方差）. 于是，待水稻成熟后，各自从这100 亩水稻随机抽取10 亩水稻，
记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：
甲
乙
865
885
886
876
893
885
870
905
890
895
870
875
884
885
886
888
882
890
895
896
种
类
每亩水稻的产量/kg
142
第5 章
用样本推断总体
可以求出，这10 亩甲、乙品种的水稻的平均产量分别为：
ｘ甲= 1
10（865 + 885 + 886 + 876 + 893 + 885 + 870 + 905 + 890 + 895）= 885（kg），
ｘ乙= 1
10（870 + 875 + 884 + 885 + 886 + 888 + 882 + 890 + 895 + 896）= 885.1（kg）.
由于这10 亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这10 亩水稻的平均
产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量.
由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，从而我们可以估计出大面
积种植这两种水稻后的平均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角度
来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值. 因此，我们还需考虑这两种
水稻产量的稳定性.
利用计算器，我们可计算出这10 亩甲、乙品种水稻产量的方差分别为
129.6，59.09. 由于59.09 < 129.6，即s 2< s 2 . 因此我们可以估计种植乙种水稻的
产量要比种植甲种水稻的产量稳定．从而我们可以得出：在该地区，种植乙种
水稻更有推广价值.
甲
乙
例
一台机床生产一种直径为4０mm 的圆柱形零件，在正常生产时，
生产的零件的直径的方差应不超过０．０１．如果超过0.01，则机床应检修调整.
下表是某日８：３０—９：３０及１０：００—１１：００两个时段中各随机抽取１０个零
件量出的直径的数值（单位：mm）：
８：３０— ９：３０
４０
１０：００— １１：００
４０
３９．８
４０
４０．１
３９．９
４０．２
４０
39.8
３９．９
40.1
４０．２
４０．２
４０
４０．２
４０．１
３９．８
４０
３９．８
３９．９
试判断在这两个时段内机床生产是否正常.
解
在８：３０—９：３０这段时间内生产的零件中，随机抽取的10 个零件的直
径的平均数ｘ1、方差s2
1 分别为：
ｘ1=（40 + 39.8 × 4 + 40.1 × 2 + 40.2 × 3 ）÷ 10= 40.
s2
1= （40 - 40）2+ （39.8 - 40）2 × 4 + （40.1 - 40）2 × 2 + （40.2 - 40）2× 3
10
= 0.03.
在10：0０—11：0０这段时间内生产的零件中，随机抽取的10 个零件的直径
143
数学
九年级上册
练习
习题5.1
A 组
1. 某校为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该校学生中随机抽取
了15 名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min）如下：
75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，118，80，90.
试据此估计该校的学生用于课外作业的平均时间.
的平均数ｘ2、方差s2
2 分别为：
ｘ2= （5 × 40 + 39.9 × 3 + 40.2+ 40.1）÷ 10 = 40.
s2
2 = （40 - 40）2 × 5 + （39.9 - 40）2 × 3 + （40.2 - 40）2 + （40.1 - 40）2
10
= 0.008.
由于随机抽取的８：３０—９：３０这段时间内生产的１０个零件的直径的方差为
０．０3，远远超过０．０１的界限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正
常. 类似地，我们可以推断在10：00—11：00 这段时间内该机床生产正常.
1. 小明为了估计自己从起床至到达教室所需的平均时间，他随机记录了
自己20 天每天从起床至到达教室所需的时间，得到下表：
试据此估计小明从起床至到达教室所需的平均时间．
2. 甲、乙两台包装机同时包装质量为200 g 的糖果，从中随机抽取10
袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下：
试根据以上数据判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定.
202
203
202
196
199
201
197
201
200
甲
201
199
200
204
200
202
195
202
196
乙
199
201
４５
４６
４７
４８
４９
５０
５２
５３
５１
时间/min
２
１
１
２
４
５
１
１
３
天数
144
第5 章
用样本推断总体
2. 甲、乙两工人同时加工同一种圆柱形零件，在正常情况下，生产的零件
的直径的方差应不超过0.035. 在他们所加工的零件中各随机抽取10 个进行直
径检测，测得数据（单位：mm）如下：
请根据以上数据判断哪台机器生产不正常．
B!组
3郾某公司举办了一次“智慧城市” 知识竞赛，为了评价A，B 两个部门的
竞赛成绩，现分别从这两个部门各随机抽取了5 名员工的成绩. 他们的成绩（单
位：分）如下：
A 部门：50，70，70，80，80
B 部门：45，55，80，85，85
如何来评价这两个部门的竞赛成绩呢？
4郾某省农科院准备从甲、乙两种杂交小麦中选择一种进行大面积推广，他
们应该怎么办？请你帮忙设计一个可行的方案.
19.9
19.7
19.8
20.0
20.1
19.9
20.3
20
20.2
甲
20.0
20.2
19.8
19.9
19.7
20.2
19.7
20.2
20.1
乙
20.1
20.2
145
数学
九年级上册
统计的简单应用
5.2
例1 某工厂生产了一批产品，从中随机抽取1 000 件来检查，发现有10
件次品. 试估计这批产品的次品率.
解
由于是随机抽取，即总体中每一件产品都有相同的机会被抽取，因
此，随机抽取的1 000 件产品组成了一个简单随机样本，因而可以用这个样本
的次品率
10
1 000 =
1
100 作为对这批产品的次品率的估计，从而这批产品的次品
率为1%.
某地为提倡节约用水，准备
实行“阶梯水价计费” 方式，用
户月用水量不超出基本月用水量
的部分享受基本价格，超出基本
月用水量的部分实行加价收费. 为
更好地决策，自来水公司随机抽
取了部分用户的月用水量数据，
并将这些数据绘制成了如图5-1
在日常生活中，我们经常遇到各种各样的“率”：一个国家的森林覆盖率、
一个省的婴儿出生率、一个电视栏目的收视率、一种产品的合格率等等. 从统
计的观点看，一个“率” 就是总体中具有某些特性的个体在总体中所占的百分
比. 在一般情况下，当要考察的总体所含个体数量较多时，
“率” 的计算就比
较复杂，有什么方法来对“率” 作出合理的估计吗？
在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的“率” 去估计总体相应
的“率”. 例如工厂为了估计一批产品的合格率，常常从该批产品中随机抽取
一部分进行检查，通过对样本进行分析，推断出这批产品的合格率.
图5-1
用户月用水量频数直方图
146
第5 章
用样本推断总体
由于将基本月用水量定为每户每月12 t，而被抽取的
100 户用户中，有66 户（10 + 20 + 36）没有超出基本月用水
量，因此被随机抽取的用户中有66%的用户能够全部享
受基本价格.
由于这100 户用户是随机抽取的，因此这100 户的
月用水量就构成了一个简单随机样本，从而可以用这个
样本中的能够全部享受基本价格的用户比例去估计总体
相应的比例.
因此，估计在该地20 万用户中约有20 × 66 % = 13.2
（万户）的用户能够全部享受基本价格.
例2
下表给出了某校500 名12 岁男孩中用随机抽样得出的100 人的身
高h 的分组数据（单位：ｃｍ）：
范围
人数
122 ≤h ＜126
126 ≤h ＜130
130 ≤h ＜134
134 ≤h ＜138
138 ≤h ＜142
范围
人数
142 ≤h ＜146
146 ≤h ＜150
150 ≤h ＜154
154 ≤h ＜158
4
7
8
18
28
17
9
5
4
（1）列出样本频率分布表﹔
（2）估计该校500 名12 岁男孩中身高小于134 ｃｍ的人数.
解
（１）根据题意，可得如下样本频率分布表.
所示的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）.
如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12 t，那么该地20 万用户
中约有多少用户能够全部享受基本价格？
147
数学
九年级上册
（2）由上表可知，身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04 + 0.07 +
0.08 = 0.19 . 又随机抽取的这100 名男孩的身高组成了一个简单随机样本，因而
可以用这个样本的频率（0.19）作为该校500 名12 岁男孩相应频率的估计.
因此，估计该校500 名12 岁男孩中身高小于134 cm 的人数约为
500 × 0.19 = 95（人）.
分
组
122 ≤h ＜126
频
数
频
率
126 ≤h ＜130
130 ≤h ＜134
134 ≤h ＜138
4
0.04
7
0.07
8
0.08
18
0.18
142 ≤h ＜146
17
0.28
146 ≤h ＜150
150 ≤h ＜154
9
0.09
5
154 ≤h ＜158
4
合
计
138 ≤h ＜142
28
0.17
0.05
0.04
100
1
练习
1. 某市教育局为了解该市5 万名九年级学生的身体素质情况，随机抽取
了1 000 名九年级学生进行检测．已知被检测学生的身体素质达标率为95%，
请据此估计该市九年级学生中身体素质达标的学生人数.
2. 为有效实施公民道德建设工程，弘扬中华传统美德，某市在中学生中
举行了一次“明大德、守公德、严私德” 知识竞赛，共有19 000 名中学生参
加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了500 名学生
的成绩x（得分均为整数，满分为100 分）进行统计后得到下表．请补全表格
并根据表格解答问题：
假设成绩在71 分至90 分之间（含71 分、90 分）的学生为二等奖，据此
估计该市获得二等奖的学生人数.
148
第5 章
用样本推断总体
李奶奶在小区开了一家便利店，供应Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ５个品种的食物．
由于不同品种的食物的保质期不同，因此，有些品种因滞销而变质，造成浪
费，有些品种因脱销而给居民带来不便. 面对这种情况，李奶奶很着急．
请你想办法帮助李奶奶解决这一问题.
随机抽取几天中这5 个品种食物的销售情况，
再根据结果提出合理建议.
分
组
51 ≤x ＜61
频
数
频
率
61 ≤x ＜71
71 ≤x ＜81
81 ≤x ＜91
40
0.08
0.16
100
160
0.32
合
计
500
91 ≤x ＜101
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
品
种
星
期
日
星
期
数
量
星
期
一
４９４０４３４０４７４３４０５０４２４５４４４３４５４８
４３３５４０３７３７３７３５３０３３４４３４３５３５４０
４０３５３６４１４５４５４０４５４７４３４３４３３６４５
２８３０２３３０２６２５２７３０２８２５２８２８２６２６
１６２０２４２５２５２４２０２５２９１５２０２２１６１８
星
期
六
星
期
五
星
期
四
星
期
三
星
期
二
星
期
日
星
期
一
星
期
六
星
期
五
星
期
四
星
期
三
星
期
二
下面是某位同学的做法：
（1）调查和收集资料．
先随机统计两周中5 个品种食物的每天销售量（结果如下表）．
149
数学
九年级上册
（2）分周统计每个品种的销售情况．
（3）分析统计结果.
从上面的统计表中，可以发现每个品种每周的销售量虽然有时多，有时
少，但变化不大. 这说明这个小区的需求量是很稳定的，但不同品种的销售量
有很大区别，故只需按适当的比例进货，就能既不会因滞销造成浪费，也不会
因脱销而给居民带来不便．
（4）确定进货方案．
按照适当的比例购进商品时，需考虑销售量时有波动的影响，因此应先计
算各品种的周平均销量（结果如下表）.
品
种
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
周平均销量
３０９．５
２５７．５
２９２
１９０
１４９．５
两周销售量之差
15
13
20
2
9
第二周
317
251
302
191
145
第一周
302
264
282
189
154
Ａ
B
C
D
E
利用样本来推断总体的过程是怎样的？
因为
３０９郾５∶２５７郾５∶２９２∶１９０∶１４９郾５
≈３０∶２５∶３０∶２０∶１５
＝６∶５∶６∶４∶３，
于是，可以建议李奶奶按６∶５∶６∶４∶３的比例购进Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ这５种
食物.
总体
确定样本容量
简单随机样本
整理数据
分析数据
推断
150
第5 章
用样本推断总体
通过科学调查，在取得真实可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法
来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间
内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.
下面是2017—2022 年全国居民人均可支配收入统计表：
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年
份
25 974 28 228 30 733 32 189 35 128 36 883
人均可支配收入/元
（1）根据上表数据，以年份为横坐标，以人均可支配收入为纵坐标，建
立平面直角坐标系，并在该坐标系中描出坐标（年份，人均可支配收入）；
（2）试用直线表示全国居民人均可支配收入在近几年内的发展趋势.
按上述要求建立平面直角坐标系后，描出这些数据，可得图5-2.
由于这些点“紧靠” 在如图5-2 所示的直线l 的两旁，因此我们可以认为
这条直线l 近似地表示出了近几年全国居民人均可支配收入的发展趋势. 根
据图5-2 我们可以预测：在未来几年内，全国居民人均可支配收入将会逐年
递增.
由此可以看出：根据已有的资料（在近几年内的数据）确定的一条直线，可
以用来预测事物在未来一段时间内的发展趋势.
2017—2022年全国居民人均可支配收入
图5-2
151
数学
九年级上册
练习
1. 某工厂需要Ａ，Ｂ，Ｃ三种原料用于生产，为了合理进料以维持正常生
产，工厂随机统计了两周中每天原料消耗（单位：t）的情况：
Ａ
Ｂ
Ｃ
３２２５２６２６３０２８２７２８２５２５３０２４２６３０
１８１５１２１０１７２０１０１６１６１０２０１１１２１１
１４１６１４１２１５１５１１１６１３１７１４１６１５１４
星
期
日
星
期
一
星
期
二
星
期
三
星
期
四
星
期
五
星
期
六
星
期
日
星
期
一
星
期
二
星
期
三
星
期
四
星
期
五
星
期
六
试根据上述资料确定每次进料时Ａ，Ｂ，Ｃ三种原料的进料比例，以使工
厂尽量少发生原料过多囤积或短缺的现象．
2. 下表是我国2006—2010 年第一产业在国民生产总值中的比例数据：
（1）请根据表中数据，建立平面直角坐标系，并描出坐标（年份，第一产
业在国民生产总值中的比例）；
（2）试用直线表示第一产业在我国国民生产总值中的比例在近几年内的
发展趋势.
习题5.2
A 组
1. 某城市调查组为了了解该城市的森林覆盖率，随机抽取面积为30 km2 的
土地进行调查后，估算出森林覆盖率为43.5％. 若该城市所占面积为120 km2，
试据此估算出该城市森林所占面积.
2. 某市对九年级学生进行“综合素质” 评价，评价的结果分为A（优）、
B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综
2006
2007
2008
2009
2010
年
份
11.3
11.1
11.3
10.3
10.1
比例/%
152
第5 章
用样本推断总体
（第2 题图）
合素质” 等级作为样本进行数据处理，并作出
如图所示的统计图. 已知图中从左到右的四个矩
形的高的比为14 ∶9 ∶6 ∶1 ，据此估算出该市评价
结果为“D” 级的学生约为2 000 人，试估计该
市有多少名学生可以被评为“A” 级或“B” 级.
3. 下表是2007—2011 年中国数字音乐销售
额统计表：
（1）请根据表中数据，建立平面直角坐标系，并描出坐标（年份，中国数字音
乐销售额）；
（2）试用直线表示我国数字音乐市场规模在这几年内的发展趋势.
B!组
4. 某校开展了为期一个月的“学习新思想，做好接班人” 主题阅读活动.
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数和m 的值；
（2）若该校共有1 600 名学生，估计该校学生在主题阅读活动中阅读4 本
图书的有多少人.
5. 某企业从零件加工厂购回一批零件，加工厂承诺次品率低于1%，请你
想一想如何验收这批零件，并写出你的方案.
2007
2008
2009
2010
2011
年
份
中国数字音乐
销售额/亿元
15.2
16.5
17.9
19.5
21.5
3
4
5
6
7 及以上
阅读本数
人数
20
25
m
15
10
（第4 题图）
153
数学
九年级上册
1. 举例说明如何用样本平均数、样本方差去估计总体平均数、总体方差.
2. 用样本推断总体的过程是怎样的？
3. 举例说明如何通过样本来预测总体在未来一段时间内的发展趋势.
1. 用样本推断总体是统计中的一种重要思想. 在抽样调查时，由于我们
只抽取部分数据组成样本，而总体平均数和总体方差是未知的，因此我们希
望寻找一个好的抽取样本的方法，使得样本能够代表总体，能客观地反映实
际情况. 一般情况下，我们可以采用简单随机抽样的方法得到简单随机样本，
然后用简单随机样本的样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体
方差. 在大多数情况下，当样本容量够大时，这种估计是比较合理的.
2. 在现实生活中，有许多数据是与时间有关的，因此这些数据会呈现一
定的发展趋势，这启发我们用一条直线来表示发展趋势. 通过分析趋势图，
我们可以感受随机现象的变化趋势，感悟一些随机现象的规律性.
小结与复习
回顾
注意
本章知识结构
总
体
随机
抽样简单随
机样本
估计
总体平均值
总体方差
总体相应的“率”
总体的频数、频率分布
总体在未来一段时间的发展水平
总体在未来一段时间的发展趋势
样本平均值
样本方差
样本的某种“率”
样本的频数、频率分布
控制
预测
154
第5 章
用样本推断总体
I m
ag eNam: \192. 9 .10 05shrig nI ○192.教育
社◆材N \★老2.g 版h数初七八上下ri★新正文
_第章EWI ○192. 9 ._0 05ri下gdta
\g :复习Np全复居民上1度人d收入情况g 育社◆材N 2★户家庭进行
调查g 初七人d收入下结果★新（单位文万元）文
3a\g 3a5g 3a\g 3a8g 3a8g 3a★g 3a1g 3a3g 3a5g 3a6g
3a7g 3a9g 3a6g 3a5g 3a8g 3a6g 3a9g 3a2g 3a1g 3a3a
_第章EW该复居民上1度下人d收入及方差a
3g 一台社器.产:种零件g 在正常情况新g 零件长度下gd值应在（2★±
★a5）.. 范围内g 方差不超过★a2a★果不满足这两个条件教下任何一个g 则机
器.产不正常a:日在9文★★—11文★★这一时段用简单育机◆样方法◆材N 2★
个零件g 版出其长度（单位文..）★新表所示文
请根第以上t第g 判断社器在9文★★—11文★★是否工作正常a
4g 今有养殖龙虾专业户g eN估W池塘里龙虾下t目g 第一次捕捞N 576
只虾g 将这些虾一一做上标记数放回池塘a 几天数g 第二次捕捞N 2 1★\ 只虾g
发现其教有2\ 只虾身上有标记g _EW该池塘里约有多少只虾a
复习题5
文
v
个
t
1★
16
12
18
28
11 13
2\
1\
22
22
1★
23
1\
13 12
25
2\
21
2★
文
v
个
t
21
17
18
18
26
27 1\
19
16
15
18
18
12
12
26 13
2★
2\
2\
1★
1
2
3
\
5
6
7
8
9
1★11 12 13 1\ 15 16 17 18 19
\★
3★31 32 33 3\ 35 36 37 38 39
2\ 25 26 27 28 29
21 22 23
2★
2★a2
19a\
19a7
2★a\
2★a7
2★a6
2★a5
2★a1
19a6
2★a★
2★a1
2★a3
2★a3
2★a2
19a8
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19a5
19a7
19a\
19a\
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1
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3
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5
6
7
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11
12
13
1\
15
16
17
18
19
2★
-55
数学
九年级上册
5. 某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多
少” 的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查. 问卷调查的结果分
为“非常了解”、
“比较了解”、
“基本了解”、
“不太了解” 四个等级，划分等
级后的数据整理如下表：
（1）补全上表；
（2）若该校有学生2 500 人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”
垃圾分类知识的人数.
6. 下面是我国2006—2011 年移动电话年末用户数（单位：万户）统计表：
根据表中数据，建立平面直角坐标系，并描出坐标（年份，我国移动电话年
末用户数），并试用直线表示我国移动电话年末用户数在近几年内的发展趋势.
B 组
7. 现从20 000 个某型号电子元件中随机抽查了200 个进行使用寿命调查，
结果如下：
（1）补全上表，并列出样本频率分布表；
等
级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
频
数
40
120
36
4
频
率
0.2
0.18
0.02
2006
2007
2008
2009
2010
2011
年
份
46 106 54 731 64 125 74 721 85 900 98 625
移动电话年末用户数
100≤x<200
使用寿命x/h
20
30
40
30
个数
200≤x<300 300≤x<400 400≤x<500 500≤x<600
156
第5 章
用样本推断总体
（2）试据此估计20 000 个该型号电子元件中使用寿命为100 ≤x < 400（h）的
个数.
8. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中随机检查
了一部分学生的视力情况，结果如下表：
（1）若视力在5.0 以上属于正常，无需矫正，试估计该地区10 000 名九年
级学生中约有多少名学生的视力正常.
（2）若要使该地区九年级学生视力正常的百分率提高到70 %，试估计该地
区要有多少名学生通过矫正达到正常.
C 组
9. 为了调查全市初中学生人数，小刘同学对自己所在城区的初中生人数做
了调查，发现每30 000 城市人口中，大约有初中生1 200 人. 若该市人口数约
为300 万，据此小刘能推断出该市初中生的人数吗？若该市教育局全面统计的
全市初中生人数为8 万，小刘的结果与它相符吗？如不符（与估计有很大的偏
差），请你用所学的统计知识帮他找出其中的原因.
10. 随机统计某商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货
情况提出你的建议.
视
力
人
数
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
0
1
2
1
6
5
7
14
12
6
24
15
5
2
157
数学
九年级上册
数学
九年级上册
（1）小明家承包了一个大鱼塘，鱼长得又肥又大，如何算出该池塘
中鱼的总条数呢？
（2）某鸟类学家想算出某湿地公园中鸟的数量，他该怎么办？
由于受到主客观条件的限制，许多数据，如统计某海洋中的生物数、
陆地上的珍禽野兽数、天空中的飞鸟数，都不可能直接算出. 面对这些问
题，人们想出了“捉放法” 来解决这类问题. 这种方法的实际操作过程可
以简称为以下四步：
下面我们来模拟这一过程.
如何估计鱼的数量
捉
做标记
放
捉
158
第5 章
用样本推断总体
请准备一小袋黄豆和一纸杯红豆，分组合作完成以下试验过程：
第一步——
—捉
从袋子中取出一些黄豆，数出黄豆数（数量为n），并
不再放回去；
第二步——
—做标记
从纸杯中倒出n 粒红豆；
第三步——
—放
将这n 粒红豆放进袋子中，充分混合；
第四步——
—捉
再从袋子中取出一些豆子作为样本，数出样本的总
粒数m 及其中的红豆数r.
设袋子中的豆子共有x 粒，则袋子中红豆所占的比例n
x 就可用样本
中红豆所占的比例r
m 来估计，即n
x ≈r
m ，因此我们可以求出袋子中的豆
子总数约为x≈mn
r ，将结果分别填入下表.
这五次得到的估计值差异大吗？产生差异的原因有哪些？当样本容
量较大时，是否估计得更准确一些？
现在你有办法来帮助小明估算出鱼塘中鱼的数量了吗？
结合自己的体会，说明“如何估计鱼的数量” 的可行办法，以小组
合作的形式写一份研究报告，并在全班交流各自的收获与体会.
试验序号
1
取出的黄豆数n/粒
样本的总粒数m/粒
样本的红豆数r/粒
估计整个袋子里的黄豆数x/粒
2
3
4
5
按上述步骤再重复做四次，但要求在第一步取出黄豆的粒数比上一
次试验时多一些，将结果分别填入上表.
综合与实践159
数学
九年级上册
反比例函数
ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｎｎｎｎｎｎｎ2
双曲线
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ9
一元二次方程
ｑｕａｄｒａｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ
ｎｎ27
根
root
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ30
配方法
solvingbycompletingthesquare
ｎｎｎｎ33
公式法
solvingbyformula
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ36
因式分解法
solving by ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎ38
判别式
discriminant
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ44
比
ｒａｔｉｏ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ64
比例线段
ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ
ｎｎｎｎｎｎｎｎ64
黄金分割
ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ65
相似三角形
ｓｉｍｉｌａｒtriangles
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ74
相似比
ｓｉｍｉｌａｒｒａｔｉｏ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ74
相似多边形
ｓｉｍｉｌａｒpolygons
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ75
位似图形
ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｆｉｇｕｒｅｓ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ96
位似中心
ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｃｅｎｔｅｒ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ96
位似比
ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｒａｔｉｏ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ96
正
弦
ｓｉｎｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ110
余
弦
ｃｏｓｉｎｅ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ114
正
切
ｔａｎｇｅｎｔ
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ117
锐角三角函数
trigonometric function of acute angle
ｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎｎ119
（按词汇所在页码出现的先后排序）
数学词汇汉英对照表
160
第5 章
用样本推断总体
本册教科书是依据教育部颁布的《义务教育数学课程标准》
（2011
年版），在原实验教科书的基础上修订而成的，经国家基础教育课程教
材专家工作委员会2013 年审查通过.
本书在修订过程中，吸收了基础教育课程改革实验的优秀成果，凝
聚了参与课程改革实验的广大数学家、数学课程专家、教研人员以及一
线教师的集体智慧，一大批数学教师为本书的修订提出了宝贵的意见.
在此，对所有为本次修订提供过帮助和支持的社会各界朋友表示衷心的
感谢.
在本书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资料和图片的
作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示诚挚的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请这些作者尽快与我们联系，以
便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望广大教师、学生及家
长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见，并将这些意见和建议及时
反馈给我们. 让我们携起手来，共同完成义务教育教科书建设这一光荣
的使命！
湖南教育出版社
2013 年5 月
后
记
后
记
161
九年级上册
责任编辑：邹楚林
湖南教育出版社出版（长沙市韶山北路443号）
电子邮箱：hnephmath@126.com
客服电话：0731-85486796
湖南出版中心重印
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湖南天闻新华印务有限公司印装
787 × 1092
16开
印张：10.5
字数：186 000
2005年4月第1版
2025年6月第3版第13次印刷
印数：1—500 000册
ISBN 978-7-5355-4575-6
定价：10.59元（2025秋）
著作权所有，请勿擅用本书制作各类出版物，违者必究。
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义务教育教科书
数
学
