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2024 年上海高考数学第三次模拟考试
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1．方程 的解集为 ，方程 的解集为 ，已知 ，
则 ．
2．复数 满足 ，则 ．
3．若 是直线 的一个法向量，则直线 的倾斜角大小为 ．
4．已知随机变量 服从正态分布 ， ，若 ，则 ．
5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
2 3 4 5 6
3 7 9 10 11
由两组数据可以得到线性回归方程为 ，则 ．
6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ．
7．若多项式 ，则 ．
8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位： ，现在从中
任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是
．
9．已知数列 是等比数列，且 ．设 ，数列 的前 项和为 ，则．
10．已知函数 ，若 ，且函数 的部分图象如图所
示，则 等于 ．
11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要
应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设 ，
， ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ， ， ，
其中 为坐标原点）．已知点 ， ，则 的最大值
为 ．
12．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点， 为 的重心，则A． B．
C． D．
15．下列有关事件的说法正确的是
A．若 （A） （B） ，则事件 ， 为对立事件
B．事件 ， 中至少有一个发生的概率一定比 ， 中恰有一个发生的概率大
C．若 ， 为互斥事件，则 （A） （B）
D．若事件 ， ， 满足条件 （A） ． 和 为互斥事件，则
16．若 在曲线 上，若存在过 的直线交曲线 于 点，交直线 于 点，满
足 或 ，则称 点为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A．曲线 上所有点都是 点
B．曲线 上仅有有限多个点是 点
C．曲线 上所有点都不是 点
D．曲线 上有无穷多个点（但不是全部）是 点
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．
17．（14 分）如图①，在梯形 中， ， ， ， ，，将 沿边 翻折至△ ，使得 ，如图②，过点 作一平面与
垂直，分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
18．（14分）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期以及单调增区间；
（2）在 中，若 ， ，求 周长的取值范围．
19．（14分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该
题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．
测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 1 2 3 4 5
0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
考前预估难度
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 4
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 ，求 的
分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设 为第 题的实测难度，请用 和 设计一
个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
20．（18分）已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点 ，
， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程；
（2）设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 ， 两点，与
相交于 ， 两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值；
（3）设直线 ，直线 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积分别为
， ，若 的最小值为 ，求点 的坐标．21．（18分）已知函数 满足 ，当 时， ．
（1）当 ， 时，求函数 的图像与 轴所围成的图形面积；
（2）当 ， 时，求函数 的最大值；
（3）当 ， 时，函数 与 的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依
次记为 ， ， ， ，数列 是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的 值，
若不可能请说明理由．
