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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）01·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知全集
，则
.
【答案】
【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可.
【解析】
,
,
.
故答案为：
2．若复数
满足
，则
．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求出复数
的代数形式，再根据复数模公式运算得解.
【解析】
，
，
.
故答案为：
.
1
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3．设
，不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】由
或
即可求解.
【解析】由
，
可得：
或
，
解得：
或
.
所以不等式的解集为：
.
故答案为：
4．设随机变量
服从二项分布
，则
.
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.
【解析】因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
5．设
若
，则
．
【答案】1
【分析】根据分段函数，分
和
求解即可.
【解析】当
时，
，解得：
，满足；
当
时，
，方程无解，
所以
，
2
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故答案为：1
6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中
，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则
．
【答案】
/0.375
【分析】先得到甲乙的中位数，可得到
，再利用平均数相同即可求解
【解析】通过茎叶图可发现甲的中位数为
，乙的中位数为
因为两组数据的中位数相同，则
，
又因为平均数相同，则
，
∴
．
故答案为：
7．已知抛物线
上有一点
到准线的距离为
，点
到
轴的距离为
，则抛物线的焦点坐标
为 ．
【答案】(0,2)
【分析】根据题意求出点
的纵坐标，结合点
到准线的距离可求出
的值，即可得出抛物线焦点的坐标.
【解析】抛物线
的准线方程为
，
设点
，则
，由于点
到准线的距离为
，可得
，
因为点
到
轴的距离为
，则
，所以，
，解得
，
故抛物线的方程为
，其焦点坐标为
.
故答案为：
.
3
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8．在
中，
，
，
的平分线交BC 于点D，若
，
则
．
【答案】
/
【分析】根据给定条件，探求出线段
与DB的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.
【解析】在
中，
，
，则
，又
平分
，即有
，
因此
，即有
，
，整理得
，
而
，且
不共线，于是
，
所以
.
故答案为：
9．第5 届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4 名同学参加了连续5 天的志
愿者活动．已知甲同学参加了2 天的活动，其余同学各参加了1 天的活动，则甲同学参加连续两天活动的
概率为 ．（结果用分数表示）
【答案】
/
【分析】
根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.
【解析】“甲同学参加了2 天的活动，其余同学各参加了1 天的活动”共有
种可能，
“甲同学参加连续两天活动”共有
种可能，
4
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故甲同学参加连续两天活动的概率
.
故答案为：
.
10．设数列
的前
项和为
，若
，
对任意正整数
恒成立，则
．
【答案】
【分析】利用
与
的关系式证得数列
为等比数列，再利用等比数列的前
项和公式取极限即可得解.
【解析】易知：
，
可得：
（
），
两式相减可得：
（
），
当
时，
，
，可得：
，满足上式，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
可得：
.
故答案为：
.
11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1 百米的半圆形小岛，其圆
心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足
，且AC 长度为3 百米，为便于游客到小岛观光，打
算从点A 到小岛建三段栈道AB、BD 与BE，水面上的点B 在线段AC 上，且BD、BE 均与圆C 相切，切点
分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道
、
以
及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.
5
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【答案】
【分析】连接CD，CE，设
，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小
值.
【解析】连接CD，CE，由半圆半径为1 得：
.
由对称性，设
，又
，
，
所以
，
，
易知
，所以
的长为
.
又
，故
，故
，
令
且
，则
，
，
所以
.
-
0
+
6
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单调递减
极小
值
单调递增
所以栈道总长度最小值
.
故答案为：
.
12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描
述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线
与它的渐近线以及
直线
所围成的图形，将此图形绕
轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖暅原理求出旋转体体
积作答.
【解析】双曲线
的渐近线为
，设直线
交双曲线及其渐近线分
别于
，
及
，
，如图，
由
，得
，
7
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由
，得
,
线段
，
绕
轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，
它是一个圆环，其内径
，外径
，
此圆环面积为
因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为
，旋转体的高为
，而底面圆半径为
，高为
的圆
柱垂直于轴的任意一截面面积都为
，
由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为
，高为
的圆柱的体积为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于
两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键.
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．已知a，b 都是实数，那么“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【解析】由对数函数性质知
，即充分性满足，但
时
，而
不成立
（
不存在），必要性不满足，故为充分不必要条件，
8
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故选：B．
14．设函数
图像的一条对称轴方程为
，若
、
是函数
的两个不同的
零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对称轴和
的范围可得
的值，从而可得周期，然后由题意可知
的最小值为
可得.
【解析】由题知
，则
，
因为
，所以
所以
易知
的最小值为
.
故选：B
15．如图，在正方体
中，
分别是
的中点.下列结论错误的是（ ）
A．
B．
平面
C．
与
所成的角为
D．
平面
A1B1C1D1
【答案】C
9
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【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用线线角的向
量求法求解判断C.
【解析】在正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，
则
，
，
对于A，
，
，
，A 正确；
对于B，
，则
，
，而
平面
，
因此
平面
，B 正确；
对于C，
，
，
因此
与
所成的角为
，C 错误；
对于D，由
平面A1B1C1D1，得平面A1B1C1D1的一个法向量
，
又
，
平面A1B1C1D1，因此
平面A1B1C1D1，D 正确.
故选：C
16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）
（
）；（2）点
在函数
的图
像上；（3）向量
与
互相平行；（4）
与
的等差中项为
（
）；
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那么，这样的数列
，
，
，
的个数为（ ）
A．78
B．80
C．82
D．90
【答案】B
【分析】先分析出
各项均为整数，且
或
，判断出
，依次分析
的变换过程，分类讨论，即可求解.
【解析】由（1）得
，
由（2）点
在函数
的图像上，得：
，
由（3）向量
与
互相平行，得：
，
由（4）得
，从而
或
，
从而
，故
，
考虑
的变换，
每一步变换均为
或
，且
和
所加之和相等，
①若
，则
，则9 步中只有1 步为
，且只能在2 边，故有3 种；
②若
，则
，则9 步中有3 步
，6 步
，
共有
种；
③若
，则
，则9 步中有5 步
，4 步
，
共有
种；
④若
，则
，则9 步中有7 步
，2 步
，共有
种，
⑤若
，则
，则9 步都为
，共有1 种，
11
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综上，共有
种.
故选：B.
【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，在以
为顶点的五面体中，四边形
与四边形
均为等腰梯形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
为线段
上一点，且
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出
平面
，由
平面
进而得出面面垂直；
（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.
【解析】（1）证明：在平面
内，过
做
垂直于
交
于点
，
由
为等腰梯形，且
，则
又
，所以
，
12
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连接
，由
，可知
且
，
所以在三角形
中，
，
从而
，
又
平面
，，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
（2）由（1）知，
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
13
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取
，则
，
所以
，
由图可以看出二面角
为锐角，故二面角
的余弦值为
.
18．已知在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的最大值，并求其取得最大值时
的值．
【答案】(1)
或
；
(2)最大值
，
.
【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．
【解析】（1）
，
，
，
又
，
，
．
又
在
中，
，
，
，
因为
，所以
，
又
在
中，
，
，
再由三角形的余弦定理得：
，
，
即
，解得
或
，
14
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当
时，
，
当
时，
，
（2）
，
，
．
．
其中，
，
，
，
在
中，
，
，
当
时，
取到最大值
，
此时，
．
19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类
基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程
度，随机抽取100 名学生作为样本，按照了解程度分为A 等级和B 等级，得到如下列联表：
男生
女生
总计
A 等级
40
20
60
B 等级
20
20
40
总计
60
40
100
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平
）？
15
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附：
，其中
，
．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人
A 和B 轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A 提问甲赢的概率
为
，主持人B 提问甲赢的概率为
，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人
A 提问．
（i）求比赛只进行3 局就结束的概率；
（ii）设
为结束比赛时甲赢的局数，求
的分布和数学期望
．
【答案】(1)无关
(2)（i）
；（ii）分布列见解析，
【分析】（1） 计算
的值，再与
进行比较即可得结论；
（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；
（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出
，则分布列可得，再由期望公
式求数学期望即可.
【解析】（1）提出原假设
:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平
，由题意得，
可得
，
由
，且
，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
（2）（i）比赛只进行3 局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3 局就结束，乙赢得比赛的概率为
，
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故比赛只进行3 局就结束的概率为
；
（ii）
的可能取值为
，
，即进行了3 场比赛，且乙赢得比赛，故
，
，即进行了4 场比赛，且乙赢得比赛，前3 场中，甲赢得1 场比赛，乙第4 场赢，
故
，
，即进行了5 场比赛，且乙赢得比赛，前4 场中，甲赢得2 场比赛，乙第5 场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得
，
所以分布为
0
1
2
3
故数学期望为
.
20．已知双曲线
的焦距为4，直线l：
与
交于两个不同的
点D､E，且
时直线l 与
的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；
(3)设A､B 分别是
的左､右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P，交直线AD 于点Q，求证：
线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.
【答案】(1)
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(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；
（2）把坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，转化为
，解不等式可得实数m 的取值范
围；
（3）求得P、Q 两点的坐标，得到
，即可证明线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.
【解析】（1）当
直线l：
与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，
又双曲线的渐近线为
，则
又焦距为4，则
，解得
，
，
则所求双曲线
的方程为
.
（2）设
，
，则
，
由
，得
，
则
，
，
，，
又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，
则
，即
，即
，
即
，则
，
即
，则
或
，
即实数m 的取值范围
.
18
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（3）
，
设
，则
，
直线BD 的斜率为
， 又
，
则直线PQ 的方程为
，即
，
直线AD 的斜率为
，直线AD 的方程为
，
由
，得
，
即点Q 的横坐标为
，则
.
故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.
21．设
是定义在区间
上的函数，其导函数为
.如果存在实数
和函数
，其
中
对任意的
都有
，使得
，则称函数
具有性质
.
(1)设函数
，其中
为实数.
（ⅰ）判断函数
是否具有性质
，请说明理由；
（ⅱ）求函数
的单调区间.
(2)已知函数
具有性质
.给定
，
，设
为实数，
，
，且
，
，若
，求
的取值范围.
19
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【答案】(1)（i）函数
具有性质
，理由见解析；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）对
求导，可得
恒成立，即可证明函数
具有性质
；
（ii）
，
与
的符号相同，分
，
，
和
，讨论
的正负，即可得出函数
的单调区间；
（2）对
求导，
，分析可知其
在
恒成立，分
，
和
三种情况讨论求解m 的取值范围．
【解析】（1）（i）函数
具有性质
，理由如下，
，
因为
，
恒成立，所以函数
具有性质
；
（ii）设
，
与
的符号相同.
当
即
时，
，
，
故此时
在区间
上递增；
当
时，对于
，有
，所以此时
在区间
上递增；
当
时，
的图象开口向上，对称轴
，而
，
20
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对于
，总有
，
，所以此时
在区间
上递增；
当
时，
的图象开口向上，对称轴
，方程
的两根为：
，且
，
，
当
时，
，
，此时
在区间
上递减；
同理得：
在区间
上递增.
综上所述：当
时，
在区间
上递增；
当
时，
在区间
上递减，在
上递增；
（2）由题意，得：
，
又
对任意的
都有
，
所以对任意的
都有
，
在
上递增，
又
，
当
时，
，且
，
所以
，所以
或
，
若
，则
，
所以
不合题意，
所以
，即
，解得：
，
，
21
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当
时，
，
，符合题意.
当
时，
，且
，
同理有
，即
，解得：
，
，
综上所述，所求m 的取值范围时
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是对
进行分类讨论，本题主要考查函数的概念、性质、
图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合
能力.
22
