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2024 年高考第二次模拟考试 C．偶函数，且在 上是增函数 D．偶函数，且在 上是减函数
高三数学（理科） 7．“直线 与 平行”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准 8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A为C的右顶点，以 为直径的圆与
考证号填写在答题卡上．
C的一条渐近线交于P，Q两点，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
A． B． C． D．3
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
9． 展开式中常数项为（ ）.
4．测试范围：高考全部内容
A．11 B． C．8 D．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 10．若函数 恒有 ，且 在 上单调递减，则 的值为
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
（ ）
要求的．
A． B． C． D． 或
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
11．在棱长为 的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，则下列说法不正确的是
A． B． C． D．
（ ）
2．设 为虚数单位，且 ，则 （ ）
A．当三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上时，球 的表面积为
A． B． C． D．
B．异面直线 与 所成角的余弦值为
3．若向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D． C．点 为正方形 内一点，当 平面 时， 的最小值为
4．已知等比数列 的前 项和为 且 成等差数列，则 为（ ） D．过点 、 、 的平面截正方体 所得的截面周长为
A．244 B．243 C．242 D．241
12．若点 既在直线 上，又在椭圆 上， 的左、右焦点分别为 ，
5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往
3个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有2名
，且 的平分线与 垂直，则 的长轴长为（ ）
志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D． A． B． C． 或 D． 或
6．已知函数 ，则 是（ ） 第Ⅱ卷
A．奇函数，且在 上是增函数 B．奇函数，且在 上是减函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量 （单位：天）表
13．已知 ，写出符合条件的一个角 的值为 .
14．在正三棱台 中， ， ，侧棱 与底面ABC所成角的正切值为 ．若该三 示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 .
棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
15．已知函数 满足对任意的实数m，n都有 ，则 （ⅰ）设 ，证明： ；
（ⅱ）若第 天元件 发生故障，求第 天系统正常运行的概率．
曲线 在 处的切线方程为 ．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
16．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积，且 ，则
．
的取值范围为 .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
20．（12分）已知抛物线 的焦点为F，若 的三个顶点都在抛物线E上，且满足
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
，则称该三角形为“核心三角形”．
（一）必考题：共60分．
(1)设“核心三角形 ”的一边 所在直线的斜率为2，求直线 的方程；
17．（12分）已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比数列． (2)已知 是“核心三角形”，证明： 三个顶点的横坐标都小于2．
(1)求数列 的通项公式；
21．（12分）已知函数 ， ．
(2)若 ，求 的前1012项和 ．
(1)若 恒成立，求a的取值集合；
18．（12分）在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把
(2)证明： ．
沿 翻折，使得平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，说
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
明理由．
选修4-4：坐标系与参数方程
19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机
变量 ，定义其累积分布函数为 ．已知某系统由一个电源和并联的 ， ， 三个元件组成，
22．（10分）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ．
在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独
立．
(1)求曲线 的普通方程；
(1)已知电源电压 （单位： ）服从正态分布 ，且 的累积分布函数为 ，求 ；(2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 的最小值为 ，若 且 ，求证： ．
