文档内容
几何-直线型几何-蝴蝶模型-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 少考
2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模
型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的
几何知识
知识提要
蝴蝶模型
任意四边形蝴蝶模型
（1）S :S =S :S
1 2 4 3
（2）OA:OC=(S +S ):(S +S )
1 2 4 3
梯形蝴蝶模型
（1）S =S
2 4
（2）S :S =S :S
1 2 4 3
（3）S :S :S :S :S =a2:b2:ab:ab:(a+b) 2
1 3 2 4 梯形精选例题
蝴蝶模型
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O．如果 △ABD 的面积等于
1
△BCD 的面积的 ，且 AO=2，DO=3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的
3
倍．
【答案】 2△ABD 1 AO
【分析】 根据蝴蝶模型： = = ，OC=2×3=6，CO 的长度是 DO 长
△BCD 3 OC
度的 6÷3=2 倍．
2. 已知 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴
影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 21
【分析】 连接 AC．
由于 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，所以 CE:AD=2:3，
根据梯形蝴蝶定理，
S :S :S :S
△COE △AOC △DOE △AOD22:2×3:2×3:32 ¿=¿4:6:6:9,¿
¿
所以
S =6(平方厘米),S =9(平方厘米),
△AOC △AOD
又
S =S =6+9=15(平方厘米),
△ABC △ACD
阴影部分面积为
6+15=21(平方厘米).
3. 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知 △AOB 与
△BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是
平方厘米．【答案】 144
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:ab=25:35,
△AOB △BOC
可得
a:b=5:7,
再根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:b2=52:72=25:49,
△AOB △DOC
所以
S =49(平方厘米).
△DOC
那么梯形 ABCD 的面积为
25+35+35+49=144(平方厘米).
4. 如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4:5，四边形 2 的面积为
36，则三角形 1 的面积为 ．
【答案】 16
【分析】 做辅助线如下：利用蝴蝶模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，
4 5
所以三角形 1 的面积就是 36× =16，三角形 3 的面积就是 36× =20．
4+5 4+5
5. 如图，长方形 ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长
是 9．那么四边形 OECD 的面积是 ．
5
【答案】 119
8
【分析】 解法一：连接 DE，依题意
1 1
S = ×BO×AO= ×9×AO=54,
△AOB 2 2
所以
AO=12,
则
1 1
S = ×DO×AO= ×16×12=96.
△AOD 2 2
又因为
1
S =S =54= ×16×OE,
△AOB △DOE 2
所以
3
OE=6 ,
4
得
1 1 3 3
S = ×BO×EO= ×9×6 =30 ,
△BOE 2 2 4 8
所以
S =S -S
OECD △BDC △BOE
3
¿ =(54+96)-30
8
¿ ¿
解法二：由于
S :S =OD:OB=16:9,
△AOD △AOB
所以
16
S =54× =96,
△AOD 9
而
S =S =54,
△DOE △AOB
根据蝴蝶定理，
S ×S =S ×S ,
△BOE △AOD △AOB △DOE所以
3
S =54×54÷96=30 ,
△BOE 8
所以
S =S -S
OECD △BDC △BOE
3
¿ =(54+96)-30
8
¿ ¿
6. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F
是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点．若三角形 ABC 的面积为 27，三角形 AFG
（阴影部分）的面积是 ．
【答案】 13.5
【分析】 如下图所示，连接 CG，那么 AF∥CG，根据梯形蝴蝶模型，得到
1 1
S =S = S = ×27=13.5.
△AFG △AFC 2 △ABC 27. 如图，梯形 ABCD 的对角线相互垂直．三角形 AOB 的面积是 12，OD 的长是 4，求
OC 的长．
【答案】 6
1
【分析】 S =S =12， ×OC×OD=12，OC=6．
△COD △AOB 2
8. 如图，S =2，S =4，求梯形的面积．
2 3【答案】 9
【分析】 设 S 为 a2 份，S 为 b2 份．
1 3
根据梯形蝴蝶定理，
S =4=b2,
3
所以
b=2;
又因为
S =2=a×b,
2
所以
a=1;
那么
S =a2=1,
1
S =a×b=2,
4
所以梯形面积
S=S +S +S +S =1+2+4+2=9,
1 2 3 4
或者根据梯形蝴蝶定理，
S=(a+b) 2=(1+2) 2=9.
9. 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2，问三角形 AOD 的面积是
多少？【答案】 4cm2
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3，S :S =a2:b2=22:32=4:9，
△AOD △BOC
所以 S =4(cm2 )．
△AOD
10. 如图，在 △ABC 中，已知 M、N 分别在边 AC、BC 上，BM 与 AN 相交于 O，
若 △AOM、△ABO 和 △BON 的面积分别是 3、2、1，则 △MNC 的面积是多少？
【答案】 22.5
【分析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边模型和蝴蝶模型来求解．
根据蝴蝶模型得
S ×S 3×1 3
S = △AOM △BON = =
△MON S 2 2
△AOB
设 S =x，根据共边模型我们可以得
△MNC
S S
△ANM = △ABM ,
S S
△MNC △MBC
3
3+
2 3+2
= ,
x 3
1+ +x
2
解得 x=22.5．
11. 下图中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．1
【答案】
3
【分析】 令三角形 AGM 的面积为 1 份，则三角形 GMC 的面积为 2 份，三角
1 1
形 MCD 的面积为 3 份，所以 1份= ÷6= ．则题目中所求阴影部分面积为：
2 12
1 1
×4= ．
12 3
12. 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2
个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
【答案】 21【分析】 在 △ABE，△CDE 中有 ∠AEB=∠CED，所以 △ABE，△CDE 的面
积比为
(AE×EB):(CE×DE).
同理有 △ADE，△BCE 的面积比为
(AE×DE):(BE×EC).
所以有
S ×S =S ×S .
△ABE △CDE △ADE △BCE
即
S ×6=S ×7,
△ABE △ADE
7
所以有 △ABE 与 △ADE 的面积比为 7:6，S = ×39=21 公顷，S =
△ABE 6+7 △ADE
6
×39=18 公顷．显然，最大的三角形的面积为 21 公顷．
6+7
13. 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9 平方厘米，问三角形 AOD 的
面积是多少？
【答案】 4 平方厘米
【分析】 根据梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3，S :S =a2:b2=22:32=4:9，
△AOD △BOC
所以 S =4(平方厘米)．
△AOD14. 如图：求三角形 ADE 的面积．
【答案】 10
【分析】 应用蝴蝶模型可得：三角形 ADE 的面积等于 12×5÷6=10．
15. 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且
三角形ABD的面积 3
= ，那么 OC 的长是多少？
三角形CBD的面积 5
5
【答案】
3三角形ABD的面积 AO AO 3
【分析】 根据蝴蝶定理， = ，所以 = ，又 AO=1，
三角形CBD的面积 CO CO 5
5
所以 CO= ．
3
16. 右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方
厘米），阴影部分的面积是平方厘米．
【答案】 4
【分析】 连接 AE．
由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S =S ．根据蝴蝶模型，
△OCD △OAE
S ×S =S ×S =2×8=16,
△OCD △OAE △OCE △OAD
故 S 2=16，所以 S =4(平方厘米)．
△OCD △OCD
另解：在平行四边形 ABED 中，
1
S = S
△ADE 2 平行四边形ABED
¿ =12(平方厘米),
所以S =S -S
△AOE △ADE △AOD
¿ =4(平方厘米),
根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为
8×2÷4=4(平方厘米).
17. 如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是 11，三角
形 BCH 的面积是 23，求四边形 EGFH 的面积．
【答案】 34
【分析】连接 EF，S =S ，S =S ．所以，四边形 EGFH 的面积是 11+23=34．
△EFG △ADG △BCH △EFH
18. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB
面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由
陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【答案】 0.58 平方千米
【分析】 应用蝴蝶模型
S ×S =S ×S ,
△AOB △COD △BOC △AOD
S =3×1÷2=1.5(平方千米),
△AOD
四边形 ABCD（公园）的面积是
1+2+3+1.5=7.5(平方千米),
人工湖的面积为7.5-6.92=0.58(平方千米).
19. 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且 $
\dfrac{\text{三角形 $ ABD $ 的面积}}{\text{三角形 $ CBD $ 的面积}}= \dfrac{3}{5}$，那么
OC 的长是多少？
5
【答案】
3
【分析】 根据蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形 $ABD$ 的面积}}{\text{三角形 $CBD$
AO 3 5
的面积}}= \dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以 = ，又 AO=1，所以 CO= ．
CO 5 3
20. 图中 △AOB 的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的
面积．
【答案】 80cm2
【分析】 在 △ABD 中，因为
S =15(cm2 ),
△AOB且 OB=3OD，所以有
S =S ÷3=5(cm2 ).
△AOD △AOB
因为 △ABD 和 △ACD 等底等高，所以有
S =S .
△ABD △ACD
从而
S =15(cm2 ),
△OCD
在 △BCD 中，
S =3S =45(cm2 ),
△BOC △OCD
所以梯形面积：
15+5+15+45=80(cm2 ).
21. 如图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积是
30 平方厘米，三角形 ABC 的面积是 48 平方厘米，三角形 BCD 的面积是 50 平方厘米．
请问：三角形 BOC 的面积是多少？
【答案】 30
【分析】 根据题意可得：\[\text{三角形 $BAD$ 与三角形 $BCD$ 的面积比}=AO:CO
5
= 30:50 = 3:5,\]所以三角形 BOC 的面积为 48× =30．
8
22. 如下图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC,BD 相交于点 O．已知
AB=5,CD=3，且梯形 ABCD 的面积为 4．求三角形 OAB 的面积．25
【答案】
16
【分析】 根据蝴蝶模型．根据题意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5，
则根据蝴蝶模型，
S :S :S :S =9:15:25:15,
△DOC △AOD △AOB △COB
令 S =25 份，则梯形 ABCD 共有：
△AOB
9+15+25+15=64(份).
所以 1 份为：
1
4÷64= ,
16
则三角形 OAB 的面积为
1 25
×25= .
16 16
23. 如图，梯形 ABCD 中，△AOB、△COD 的面积分别为 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD
的面积．【答案】 7.5
【分析】 根据梯形蝴蝶定理，
S :S =a2:b2=4:9,
△AOB △COD
所以 a:b=2:3，S :S =ab:a2=b:a=3:2，
△AOD △AOB
3
S =S =1.2× =1.8,
△AOD △COB 2
S =1.2+1.8+1.8+2.7=7.5．
梯形ABCD
24. 图中的四边形土地的总面积是 48 平方厘米，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其
中 2 个小三角形的面积分别是 3 平方厘米和 4 平方厘米．那么最大的一个三角形的面积是
多少平方厘米？
3
【答案】 23
7
【分析】 在 △AOB，△COD 中有 ∠AOB=∠COD，所以 △AOB，△COD 的
面积比为 (AO×OB):(CO×OD)．同理有 △AOD，△BOC 的面积比为
(AO×DO):(BO×OC)．所以有 S ×S =S ×S ，所以有 △AOB 与
△AOB △COD △AOD △BOC
4 3
△AOD 的面积比为 4:3，S = ×(48-3-4)=23 (平方厘米)，
△AOB 3+4 7
3 4 3
S = ×(48-3-4)=17 (平方厘米)，最大的三角形面积是 23 (平方厘米)．
△AOD 3+4 7 7
25. 如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成4块，△≝¿ 的面积是 4 cm ❑ 2，△CED 的
面积是 6cm2．四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？【答案】 11
【分析】 连接 BF，在右边的梯形 BCDF 中，由梯形基本结论知：
S =S =6，所以 S =9，S =9+6=15，又 AF:BC=(6-4):6=1:3，所以
△BEF △CDE △BEC △BFC
S =5，所以四边形 ABEF 的面积是 11 平方厘米。
△ABF
26. 如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积．
10
【答案】
7
5
【分析】 因为 BD:CE=2:5，且 BD∥CE，所以 DA:AC=2:5，S = ，
△ABC 2+5
5 10
S = ×2= ．
△DBC 7 7
27. 长方形 ABCD 中，对角线交于 O 点，F 是 BC 上一点，连接 AF、DF．如图得到
三块阴影，已知阴影的面积之和是 28 平方厘米，长方形的长是 8 厘米，宽是 6 厘米．求
四边形 OEFG 的面积．【答案】 4 平方厘米．
【分析】 由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 CDG 的面积就等于 AFG 的
面积．
这样阴影面积之和就变成了 △ABD 和四边形 OEFG 的面积之和．
前者面积是
8×6÷2=24(平方厘米).
后者面积是
28-24=4(平方厘米)
即为所求．
28. 如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，三角形 DEF 的面积 4 平方厘米，
三角形 CED 的面积是 6 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？
【答案】 11
【分析】 连接 BF，由于 AD 与 BC 平行的，所以四边形 BCDF 是梯形，
S =S =6,
△BEF △CED
根据蝴蝶模型，
S
△≝¿×S =S ×S ,¿
△BEC △BEF △CED
代入已知部分，可得 S =9(平方厘米)，
△BEC
S =S -S =S -S =9+6-4
ABEF △ABD △≝¿¿ △ABD △≝¿¿
¿ ¿
29. 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个
小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．
【答案】 21 公顷
【分析】 设另两块面积分别为 x,y，如图：
{ 7x=6 y
,
x+ y=52-(6+7)=39设 x=6k，y=7k，则 x+ y=13k，13k=39，
代入，得：
{x=18
,
y=21
所以面积最大的一个的面积为 21 公顷．
30. 在下图的正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形
BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．
【答案】 12
【分析】 连接 DE，根据题意可知 BE:AD=1:2，根据蝴蝶模型得
S =(1+2) 2=9（平方厘米），S =3（平方厘米），那么 S =12（平方厘米）．
梯形 △ECD ▫ABCD
31. 如图，梯形 ABCD 中，三角形 AOB、三角形 COD 的面积分别是 1.2 和 2.7，求梯
形 ABCD 的面积．
【答案】 7.5【分析】 由于四边形 ABCD 是梯形，所以 S =S ，根据蝴蝶模型，
△AOC △BOD
S ×S =S ×S ,
△AOC △BOD △AOB △COD
代入已知面积值，可以求出
S =S =1.8,
△AOC △BOD
所以
ABCD的面积=1.8+1.8+1.2+2.7=7.5.
32. 如图，正六边形面积为 6，那么阴影部分面积为多少？
8
【答案】
3
【分析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性
质，和梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积
8 8
×6= ．
18 333. 如图，长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8
平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积是多少平方厘米？
【答案】 9
【分析】 连接 DE、CF．四边形 EDCF 为梯形，所以 S =S , 又根据蝴蝶模型，
△EOD △FOC
S ⋅S =S ⋅S ,
△EOD △FOC △EOF △COD
所以
S ⋅S =S ⋅S =2×8=16,
△EOD △FOC △EOF △COD
所以 S =4(平方厘米)，S =4+8=12(平方厘米)．那么长方形 ABCD 的面积为
△EOD △ECD
12×2=24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为
24-5-2-8=9(平方厘米).
1 1
34. 如图，△ABC 中 AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，△EOD 的面积是 1 平
4 4
方厘米．那么 △AED 的面积是 平方厘米．
5
【答案】
31 1
【分析】 因为 ED 与 BC 平行，且 AE= AB，所以 ED= BC，所以
4 4
S :S =1:16 又因为 △EOD 的面积是 1 平方厘米，所以 △BOC 的面积是 16 平
△EOD △BOC
方厘米，由蝴蝶模型结论知 △DOC 的面积是 4 平方厘米，所以 △EDC 的面积是 5 平方
1 5
厘米，又因为 AD= AC，所以 AD:DC=1:3 所以 △AED 的面积是 平方厘米．
4 3
35. 如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三
角形 BGC 的面积；（2）AG:GC=？
【答案】 （1）6（2）1:3
【分析】 （1）S ×1=2×3，S =6；
△BGC △BGC
AG S 1 AG S 1+2 3 1
（2） = △ADG= 或 = △ABD= = = ．
GC S 3 GC S 3+6 9 3
△CDG △BCD
