文档内容
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模
型-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
金字塔和沙漏模型 C 1.能够准确理解金字塔和沙漏模型 少考
2.能够用相似模型解决复杂的几何
问题
知识提要
金字塔和沙漏模型
金字塔模型
CD CE DE
= =
CA CB AB
沙漏模型AB AO BO
= =
CD DO CO
精选例题
金字塔和沙漏模型
1. 正六边形 A ,A ,A ,A ,A ,A 的面积是 2009 平方厘米，B ,B ,B ,B ,B ,B 分别
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米．【答案】 1148
【分析】 方法一：如下左图，连接 A A ,A G,A A ，过 B 做 A A 的平行线
1 3 1 6 3 6 6 3
B E，交 A A 于 E．因为空白的面积等于 △A A G 面积的 6 倍，所以关键求
6 1 3 2 3
△A A G 的面积，在 △A A A 中用燕尾模型时，需要知道 A D,A D 的长度比，根据
2 3 1 2 3 1 3
沙漏模型得 A D=DE，再根据金字塔模型得 A E=A E，因此 A D:A D=1:3，在
1 1 3 1 3
△A A A 中，设 S =1 份，则 S =3 份，S =3 份，所以
1 2 3 △A A G △A A G △A A G
1 2 2 3 3 1
3 3 1 1 1
S = S = × × S = S ，
△A 2 A 3 G 7 △A 1 A 2 A 3 7 3 2 正六边形 14 正六边形
( 1 ) 4
因此 S = 1- ×6 S = ×2009=1148(平方厘米)．
阴影 14 正六边形 7方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，
把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为
8
×2009=1148(平方厘米)．
14
2. 如图，长方形 ABCD 中，E、F 分别为 CD、AB 边上的点，DE=EC，FB=2AF，
求 PM:MN:NQ．
【答案】 7:18:10
【分析】 如图，过 E 作 AD 的平行线交 PQ 于 G．
由于 E 是 DC 的中点，所以 G 是 PQ 的中点．
由于
DE=EC,FB=2AF,
所以
AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.
根据相似性，
PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,
GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是
2
PM = PG,
5
3 3 36
MN = PG+ GQ= PG,
5 7 35
4 4
NQ = GQ= PG,
7 7
所以
2 36 4
PM:MN:NQ= : : =7:18:10.
5 35 7
3. 如图所示，小高测出家里瓷砖的长为 24 厘米，宽为 10 厘米，而且还测出了边上的中间
线段均为 4 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？
【答案】 64
【分析】 利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母
（如图所示），同时过 B 作 BC⊥AG 于 C，DE⊥FG 于 E．
由于 BC 与 FG 平行，所以
BC AC 2 1
= = = ,
FG AG 14 7
因此
1 1
BC= ×FG= ×7=1.
7 7由于 DE 与 AG 平行，所以
DE FE 2
= = ,
AG FG 7
因此
2 2
DE= ×AG= ×14=4.
7 7
由此可得菱形的两条对角线分别为：
24-4×2=16(厘米),
10-1×2=8(厘米).
那么菱形的面积就是
16×8÷2=64(平方厘米).
4. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3
和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
1
【答案】 3
8
1 1
【分析】 由 S =4 可知 S = ×S = ×4×S =8．而 △CDF
△AOD △BCD 2 长方形ABCD 2 △AOD
DF S 5
与 △CDB 从 C 出发的高相同，则 = △CDF = ．
DB S 8
△CDB
CE DF 3
由于 EF∥CD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 = = ，从而得到
BC DB 8
BE 3 5 5
=1- = ，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 ．于是阴影三角形的面积是
BC 8 8 8
5 5 5 25
×S = ×(S -S )= ×(8-3)= .
8 △BCF 8 △BCD △CDF 8 85. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由
① ～ ⑥ 这 6 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少
平方厘米？
【答案】 48
【分析】 因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于
AD，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形 ADEF 中有 ③=④，②×⑤=③×④，
②:⑤=AD2:FE2=4．
又已知 ②-⑤=6，所以 ⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以 ②×⑤=④×④=16，
而 ③=④，所以 ③=④=4，梯形 ADEF 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，
为 8+4+4+2=18．
有 △CEF 与 △ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4．所以 △ADC
4 4 4
面积为梯形 ADEF 面积的 = ，即为 18× =24．
4-1 3 3
因为 D 是 BC 中点，所以 △ABD 与 △ADC 的面积相等，而 △ABC 的面积为 △ABD、
△ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．
6. 如下图所示，三角形 AEF、三角形 BDF、三角形 BCD 都是正三角形，其中
AE:BD=1:3，三角形 AEF 的面积是 1．求阴影部分的面积．【答案】 15
【分析】 S :S =AE2:BD2=1:9，△AEF 面积是 1，那么
△AEF △BDF
S =S =9，
△BDF △BDC
因为 △AEF 与 △ACE 的高之比是 1:7，所以 S =7，因为 AD 与 BC 平行，所以
△ACE
S =S =9，所以 S :S =BI:IE=9:7．
△ABC △BCD △ABC △AEC
假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7，又知道 BF:FE=3:1，所以 BF=12,FE=4，
所以 IF=3,S :S =FE:FI=4:3，所以 S =0.75，又有
△AEF △AIF △AIF
S :S =AF2:BC2=1:9，所以 S =6.75，于是可求阴影部分面积是
△AIF △BCI △BCI
(0.75+6.75)×2=15．
7. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形
PQRS 的面积为多少？2
【答案】
cm2
3
【分析】 （法 1）由 AB∥CD，有
MP PC
= ,
MN DC
所以
PC=2PM,
又
MQ MB
= ,
QC EC
所以
1
MQ=QC= MC,
2
所以
1 1 1
PQ= MC- MC= MC,
2 3 6
1
所以 S 占 S 的 ，得到
SPQR AMCF 6
1 2
S = ×1×(1+1+2)= (cm2 ).
SPQR 6 3
（法 2）如图，连结 AE，则
1
S = ×4×4=8(cm2 ),
△ABE 2
而
RB ER
= ,
AB EF
所以
RB AB
= =2,
EF EF
2 2 16
S = S = ×8= (cm2 ).
△ABR 3 △ABE 3 3
而
1 1
S =S = ×3×4× =3(cm2 ),
△MBQ △ANS 2 2
因为
MN MP
= ,
DC PC
所以
1
MP= MC,
3
则
1 1 4
S = ×2×4× = (cm2 ),
△MNP 2 3 3
阴影部分面积等于
S -S -S +S 16 4 2
△ABR △ANS △MBQ △MNP -3-3+ ¿=¿ (cm2 ).¿
¿ 3 3 3
8. 如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1，E、F 是 AB、AD 的中点，BF 交
EC 于 M，求 △BMG 的面积．1
【答案】
30
【分析】 解法一：由题意可得，E、F 是 AB、AD 的中点，得 EF∥BD，而
FD:BC=FH:HC=1:2,
EB:CD=BG:GD=1:2.
所以
CH:CF=GH:EF=2:3,
并得 G、H 是 BD 的三等分点，可得 BG=GH，所以
BG:EF=BM:MF=2:3,
所以
2
BM= BF,
5
1 1 1 1
S = S = × S = ;
△BFD 2 △ABD 2 2 平行四边形ABCD 4
又因为
1
BG= BD,
3
所以
1 2 1 2 1 1
S = × ×S = × × = .
△BMG 3 5 △BFD 3 5 4 30
解法二：延长 CE 交 DA 于 I，如下图，可得，
AI:BC=AE:EB=1:1,
从而可以确定 M 的点的位置，
BM:MF=BC:IF=2:3,
2
BM= BF,
5
1
BG= BD
3
可得
2 1 2 1 1 1
S = × S = × × S = .
△BMG 5 3 △BDF 5 3 4 平行四边形ABCD 30
