习题教学记76||让“习题AI助手”成为空间观念的“助攻手”

以“拴狗问题”习题教学为例

作者：浙江省桐乡市濮院小学教育集团毛衫城小学陆建友

2025年12月23日周二

在圆面积的教学中，有一道经典的习题（见图1）。此题出现在人教版小学数学六年级教科书p72页上的练习中。

图1

从现在习题中提供的信息而言，理解并解答难度并不是很大，因为绳子的长度小于房子的宽度（4米小于6米），小狗的活动区域是以4米为半径的圆面积的四分之三，只要想清楚小狗活动区域的扇形形状，求面积就不是很大的问题了。

但是，这道习题的教学如果止步于此，我觉得并没有最大程度的发挥它的价值。因为，对学生思维的挑战（思维接受挑战就更好地锻炼思维）是当绳子的长度大于6米时，此时小狗的活动区域就有了两个圆心，理解第二个圆心的存在以及其半径，是思维的挑战。

为了帮助学生，尤其是直观理解绳长大于6米时第二个扇形的形成过程，工作室专门针对这一教学难点开发了“习题AI小助手”（见图2），它能将“绳长-墙角-区域面积”的互动关系动态可视，并支持参数实时调整以进行跟进应用实现巩固。

图2

师：今天我们来做个小侦探，帮一只小狗搞清楚它的“专属游乐场”有多大，它被拴在这个墙角，绳子有4米长。请大家闭上眼睛想一秒，绳子绷直后，小狗活动区域面积有多大？

生：我觉得它能满院子跑！因为绳子固定在一个点上，小狗拉着绳子跑一圈，就像圆规一样，跑出一个大大的圆！

生：不可能！房子在那儿，它会被墙“咚”一下撞晕的！（学生们笑了起来）

生：对……因为墙是实的呀！小狗不能穿墙。它跑到墙那里，就被挡住了，路就断了。

师：几位同学都从不同的角度思考了。考虑了绳子的特性，考虑了墙体的存在。那么，当墙体的阻挡和绳子的拉扯相遇时，会形成什么形状呢？大家试着在草稿纸上画一画你的猜想。

学生开始画图。巡视中，我看到了多种答案：有画扇形的，有画一个不规则的块状区域的…..不过经过刚才讨论画整圆的没有了。

师：出现了好几种可能。到底谁是对的呢？我们怎么验证？

生：我们可以想象小狗贴着墙走。比如，它先贴着短墙（6米这边）往院子里面走，绳子绷直，它走到头，这个点就是边界上的一个点。

生：对！然后它再换方向，贴着长墙（12米这边）走，走到头，是另一个边界点。把所有这些“最远点”连起来……

生：连起来就是扇形的弧，圆心就是木桩，因为无论它往哪个方向去，绳子都是从木桩那里拉直的。

师：精彩的推理！那么，这个扇形的圆心角是多少度呢？为什么？

生：270度。因为两面墙是互相垂直的，它们形成的墙角就是90度。小狗的活动范围刚好被这两个垂直的方向给框住了。

经过这样一番猜想、辩论和基于几何关系的推理，学生们逐渐统一了认识：活动区域是一个以木桩为圆心、4米为半径的四分之三圆。

师：你们的想法到底对不对呢？要不我们根据想法演示一下？

简单介绍“习题AI小助手”的页面，请学生操作（见图3），然后学生愉快地计算出了面积。

图3

师：现在，让我们做个更大胆的假设：如果小狗的绳子变长了，有7米，小狗的最大活动区域的面积又有多大？

生：我觉得它能绕过墙角，去房子的另一面看看！

生：那绕过去的部分怎么算呀？还是扇形吗？它的圆心跑哪儿去了？

正如所料，学生的思维在“7米绳长”这里遇到了真正的关卡。抽象的“绕行”与“圆心转移”过程，仅凭想象和静态画图变得十分困难。

师：看来大家都同意区域会变大、形状会变复杂。但究竟怎么变？我们试着把它画出来，好不好？

学生们尝试在纸上绘制。很快，困惑的声音传来。

生：老师，我画了第一个大扇形，但绳子碰到对面墙角之后，我就不知道该怎么画了……感觉小狗该拐弯了，但拐弯后的这个圆，圆心在哪儿呢？

生：我猜圆心就是那个墙角！可半径是多少呢？是7米吗？好像不对，绳子在路上已经用掉一段了。

生：哎呀，好乱啊。纸上画来画去都是线。要是我们能真的跟着小狗跑一圈，亲眼看看它走过的路线就好了。

生：对对，像看探险动画片那样，光靠想我的脑袋里要打架了。

争议和渴望在此刻同时达到顶点。他们清晰地意识到问题的关键（圆心转移、半径变化），却无法在静态的二维纸面上构建出准确的过程。这正是空间想象遇到困难最需要得到支撑的时候。

师：大家的感受非常真实！从“想到”到“清晰地画出”，确实不容易。当我们的大脑想象遇到障碍时，可以请一位“视觉助手”来帮忙。用刚才的小助手，带着小狗，用这根7米长的绳子，实地跑一次！

当绳长变为7米，熟悉的“四分之三圆”模型瞬间失效。教室里的争论焦点，从“是什么形状”转向了“拐弯后怎么办”。“圆心在哪儿？”“半径是多少？”——这两个问题像两把锁，锁住了学生的想象。他们急需一把能打开动态图景的“钥匙”。此时，静态的草稿纸已无力承载他们活跃却混乱的思维，一句“要是我们能真的跟着小狗跑一圈就好了”道出了所有人对直观演示的渴望。这正是引入“习题AI小助手”的最佳时刻。

生：开始了，看，它先画出了那个熟悉的四分之三圆！

师：注意墙角，绳子的光点“哒”一下碰到那里了，小狗停了一下……

生：拐弯了，小狗跳过去了，跳到那个墙角区域了。

生：快看那个新的扇形的半径长度在变，我原先以为是半径7米的圆再画过去一点，原来是1米的半径。

当动画清晰演示出：绳子在墙角“停顿”，并以此为新圆心，以1米为半径继续画出第二个扇形时（见图4），教室里响起一片恍然大悟的惊叹。

图4

借助“习题AI小助手”功能，学生直观地看到7米绳长形成的面积区域的完整形成过程。

师：现在，谁能当个小解说员，不靠动画就能解释绳子长度7米时小狗是怎么一步一步走出它的最大运动区域面积？

学生基于亲眼所见的动态过程，顺利地总结出规律：到一个新墙角，只要绳子还有剩余，就在那里继续运动，以新的墙角为圆心，以剩下的绳子为半径，再画一个90度的扇形。

之后我又进行两次变式：一是将绳子的长度进行调整到超过12米，二是移动木桩的位置。两次变式是学生思维挑战的进一步跃升。值得一提的是，后续的变式应用我不再使用“习题AI小助手”直观演示，而是要求学生回想刚才的动画演示过程，然后在头脑中想象现在的小狗运动区域。事实证明，有了前面的演示，后续想象就能解决问题，可见“习题AI小助手”在之前的演示中起了极其重要的直观支撑作用。从直观走向想象，空间观念得以更好培养。

回顾整个过程，“习题AI小助手”的价值远不止于展示了一个正确答案的动画。它的核心价值在于，在学生空间想象发生“卡顿”的精确时刻，提供了恰到好处的“视觉缓存”和“动态建模”。它没有替代学生的猜想、推理与计算，而是在他们思维的“最近发展区”内，搭建了一座从“无法想象”通向“清晰建构”的临时桥梁。当学生借助这座桥成功抵达对岸后，我们便可以将桥撤去（后续变式不再演示），因为他们已经内化了那个动态过程，能够进行独立的抽象想象了。这，正是技术工具在培育数学核心素养中所应扮演的理想角色：一个精准、适时、可撤除的“认知助攻手”。