(76)--10.4笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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第十章 重 积 分
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第四节 重积分的应用
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主讲 武忠祥 教授
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大一、曲面大的面积 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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A  1  ( ) 2  ( ) 2 d x d y
D  x  y
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国 例1 求锥国面 z  x 2 国 y 2 (0  z 国1) 的面积. 国 国 国 国 国 国 国
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大二、质心大
m ( k
大
1, 2, , n
大
) , (x , y )
大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
k k k
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n n
 
x m y m
C C C C C C C C C C C
O Ok k M O kO k M O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M x  kM1  M y y  k1M  xM M M M M M M
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大 大 大M 大 M大 大 大 大 大 大 大
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国 国 m 国 国 m 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
k k
k1 k1
C  C x(x, y)dCxd y C C C C C C C C
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M x M M M M M M M M M M
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大 大  (x,大y)dxd y 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C  C  y(x, y)dCxd y C C C C C C C C
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M y M  M M M M M M M M M
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大 大  (x大, y)dxd y 大 大 大 大 大 大 大 大
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D
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 
x dxd y ydxd y
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO 形心 ( OO OO  C ) x  OO OO D , OO OO y  D OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 A 学学 A学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
和 之间均匀薄片的质心.
国例2 求位于国两圆 r  2s 国 in r  4 国 sin 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O y O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 4 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C
2
D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
O x
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大三、转动大惯量 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
I   y 2(x, y)dxdy
C x C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
D
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 I  国 x 2(x, y)d国xdy 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
y
D
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
OI   (x 2 O y 2 )(x, y)Odxdy O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 D 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
例3 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大四、引力大 大 大 大 大 大z 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a
M
0
例4 求半径为R 的均匀球 x 2  y 2  z 2  R 2 对位于
R
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 点 M (0,0,a学) ( a  R ) 的 学 单位质量质 学 点的引力. 学 学 学 学 学 学 学
D
大 0 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
z
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
O y
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
C C Cz  a C C C C C C C C
解O O O O O O O O O O O
O F  O G O O d v O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
z
3
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大  [x 大 2  y 2  (z  大 a) 2 ] 2 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
O C R O C O C d x d O y C O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
M  G M  (z  a)dz M M M M M M M M M
学 学 学 学 3 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 [x 2  y 2 大 (z  a) 2 ] 2 大 大 大 大 大 大 大
国 国 R 国 D z 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC RCC 2π CC R 2z 2 CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OOrdr OO OO OO OO OO OO OO
MM
OO
 G MM
OO
(z  a)dz  MMd
OO
  MM
OO
MM
OO
MM
OO
MM
OO
MM
OO
MM
OO
MM
OO
MM
OO
学学 学学 学学 学学 3 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 [ 大大r 2  (z  a) 2 ] 大大2 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 R 国国 0 0 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 R 国 国 国 国 国 国 国 国 国
 1 1 
中  2 中 π G 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 (z  a)    dz
 a  z R 2  2az  a 2 
R
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学  学 R 学 学  学 学 学 学 学 学
大 大 大1 大 大 大 大 大 大 大 大

中 国  2 中 π国G    2R 中 国  (z  中 国 a) d R 2  中 国 2az  a 2 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国

 a
R
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
3
O MO O O O O O O O O O
4 π R
M M M M M M M M M M M
学
 G
学 学 M 学 
为
学
球的质量
学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
2
国 国a 国 国
3
国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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大 内容小大结 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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一、曲面的面积 A  1  f 2 (x, y)  f 2 (x, y) d
C C C C C C C C C C C
x y
O O O O O O O O O O O
D
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 大 国 大  国 大 x(x, y)dxd 国 大 y  国 大 y(x, y)dxd国 大 y 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大
中 二、质心中 中D 中 中 中 中 中 中 中 中
x  D
y 
 (x, y)dxd y  (x, y)dxd y
D
C C C C D C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学  学 学 学 学 学 学 学
x dxd y ydxd y
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
中 国 形心 中 国 ( C ) 中x 国  D 中 国 , y  中 D国 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国
A A
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
三M、转动惯量M I   yM2(x, y)dxdyM I   xM2(x, y)dxdyM M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
x y
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 D国 国 国D 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
四、引力
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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作业
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P177 1 ， 3 ， 6, 11, 13
C C C C C C C C C C C
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中